专业代码-西安政法大学分数线

1.5一质点沿半径为
0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ= 2 +4t
3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]
（1）角速度为
ω= dθdt = 12t2 = 48(rad²s-1)，
法向加速度为
an = rω2 =
230.4(m²s-2)；
角加速度为
β= dωdt = 24t = 48(rad²s-2)，
切向加速度为
at = rβ=
4.8(m²s-2)．
（2）总加速度为，
当at = a2时，有4at2 = at2 + an2，即．由此得，
即，
解得．
1 29

所以=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ= rω2，
即24t = (12t2)2，
解得．
1.7一个半径为R =
1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其
自由端拴一物体
A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt =
2.0s内下降的距离h=
0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加
速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at = 2hΔt2 =
0.2(m²s-2)．
物体下降3s末的速度为
v = att =
0.6(m²s-1)，
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=
0.36(m²s-2)．
2 29

1.8一升降机以加速度
1.22m²s-2上升，当上升速度为
2.44m²s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面
相距
2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降 机上升的高度为；螺帽做竖直上抛
运动，位移为．由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为
=
0.705(s)．
算得h2 = -
0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为
0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，
可列方程，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
第一章质点运动学
1.1一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t
3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
3 29

（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]
（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 6³12 - 2³13 = 4(m)．
在第2s末的位移大小为x(2) = 6³22 - 2³23 = 8(m)．
在第2s内的位移大小为
Δx = x
(2)–x
(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为
=ΔxΔt = 4(m²s-1)．
（2）质点的瞬时速度大小为
v(t) = dxdt = 12t - 6t2，
因此v
(1) = 12³1 - 6³12 = 6(m²s-1)，v(2) = 12³2 - 6³22 = 0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs =Δx = 4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a(t) = dvdt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 12³1 = 0，
第2s内的平均加速度为
= [v
(2) - v
4 29

(1)]Δt = [0–6]1 = -6(m²s-2)．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1.2一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增
为n = 5倍．试证加速度为．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt = nvo，
根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n–1)vot，
(1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得
a = (n2–，
(2)
（1）平方之后除以
（2）式证得．计算得加速度为
=
0.4(m²s-2)．
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成
22.5°的夹角的初速度65m²s- 1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东
边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m²s-
2．问：
（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
5 29

（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？
[解答]方法一：
分步法．
（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速
度的大小为
vy0 = v0sinθ=
24.87(m²s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点
的时间为t1 = vy0g =
2.49(s)．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2 - v02 = 2as，
可得上升的最大高度为．他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度
为
h2 = h1 + h =
100.94(m)．
根据自由落体运动公式，得下落的时间为
=
4.49(s)．
因此他飞越的时间为
6 29

t = t1 + t2 =
6.98(s)．
他飞越的水平速度为
vx0 = v0cosθ=
60.05(m²s-1)，
所以矿坑的宽度为
x = vx0t =
419.19(m)．
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy = gt =
69.8(m²s-1)，
落地速度为
²s-1)，
与水平方向的夹角为
φ= arctan(vyvx) =
49.30?，
方向斜向下．
方法二：
一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为，移项 得时间的一元
二次方程，解得．这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，< br>由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为
t =
7 29

6.98(s)．
由此可以求解其他问题．
1.4一个 正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度
反向、大小与船速平方成正比例的加速 度，即dvdt = -kv2，k为常数．（1）试
证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]
（1）分离变量得，
积分，
可得．
（2）公式可化为，
由于v = dxdt，所以
积分．
因此．证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．由于
a = d2xdt2，
而dxdt = v，
所以a = dvdt，
分离变量得方程，xx即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的
n次方成正比，则
dvdt = -kvn．
8 29

（1）如果n = 1，则得，积分得
lnv = -kt +
C．
当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此
lnvv0 = -kt，
得速度为
v = v0e-kt．
而dv = v0e-ktdt，积分得．当t = 0时，x = 0，所以C` = v0k，因此．（如果
n≠1，则得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．如果n = 2，就是本题的
结果．
如果n≠2，可得，读者不妨自证．
1.5一质点沿半径为
0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ= 2 +4t
3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]2）（1）角速度为
ω= dθdt = 12t2 = 48(rad²s-1)，
法向加速度为
an = rω2 =
9 29

230.4(m²s-2)；
角加速度为
β= dωdt = 24t = 48(rad²s-2)，
切向加速度为
at = rβ=
4.8(m²s-2)．
（2）总加速度为，
当at = a2时，有4at2 = at2 + an2，即．由此得，
即，
解得．
所以=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ= rω2，
即24t = (12t2)2，
解得．
1.6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m²s-1，方向与水
平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m²s-2 ，方向与水平前进方
向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机< br>在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ，
v0y =v0sinθ．
加速度的大小为
10 29

ax = acosα，
ay = asinα．
运动方程为，．
即，．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t = 0（舍去）；(s)．
将t代入x的方程求得x = 9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a 的方向或者沿着v0的方向，
也能求出相同的结果．
1.7一个半径为R =
1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其
自由端拴一物体
A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt =
2.0s内下降的距离h=
0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加
速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at = 2hΔt2 =
0.2(m²s-2)．
物体下降3s末的速度为
v = att =
0.6(m²s-1)，
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这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=
0.36(m²s-2)．
1.8一升降机以加速度
1.22m²s-2上升，当上升速度为
2.44m²s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面
相距
2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降 机上升的高度为；螺帽做竖直上抛
运动，位移为．由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为
=
0.705(s)．
算得h2 = -
0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为
0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，
可列方程，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
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1.9有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相
对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不
变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；
（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；
（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．
[证明]
（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 =
2lv．（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所
以飞行时间为．
（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使 飞机
沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，
其中沿AB 方向的速度大小为，所以飞行时间为
．证毕．
1.10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶 ，其速度为v1，下落雨的速度方
向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v
2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水
淋湿？
[ 解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角
形．根据题意得tanα= lh．
方法一：
利用xx．根据xx得
v1 = v2sinθ+ v3sinα，
其中v3 = v⊥cosα，而v⊥= v2cosθ，
因此v1 = v2sinθ+ v2cosθsinαcosα，
13 29

即．证毕．
方法二：
利用正弦定理．根据正弦定理可得，所以，即．
方法三：
利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，
雨滴的位移为
l = (v1–v2sinθ)t，
h = v2cosθ?t．
两式消去时间t即得所求．证毕．
2.12质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常 数)作用下沿直线运
动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1x–．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
利用v = dxdt，可得，因此方程变为，积分得．利用初始条件，当x = x0
时，v = 0，所以C = -kx0，因此，即．证毕．
[讨论]此题中，力是位置的函数：
f = f(x)，利用变换可得方程：
mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
如果f(x) = -kxn，则得．（1）当n = 1时，可得．利用初始条件x = x0时，
v = 0，所以C = lnx0，因此，
即．
（2）如果n≠1，可得．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，因此，
即．
14 29

当n = 2时，即证明了本题的结果．
2.13一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动 过程
中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]
（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向
为下，根据牛顿第二定律得方程，分离变量得，积分得．当t = 0时，v = v0，所
以，因此，小球速率随时间的变化关系为．（2）当小球运动到最高点时v = 0，
所需要的时间为．[讨论]
（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
由于v = dxdt，所以，即，积分得，当t = 0时，x = 0，所以，因此．（2）
如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变
为，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为．这个公式可将上面
公式中的g改为- g得出．由此可见：
不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mgk．
2.14如图所示：
光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧 运
动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，
求此后时刻 t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即N = mv2R．
物体所受的摩擦力为
f = -μkN，
15 29

负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据xx第二定律得，即．
积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．
解得．
由于，积分得，当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此．
2.15如图所示 ，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上
套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω ，试求在不同转动速度下珠子能
静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解 答]珠子
受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，
其大小为
F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为
r = Rsinθ．
根据xx公式得
F = mgtgθ= mω2Rsinθ，
可得，解得．
2.16如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x
=Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t =π2ω的时间间隔内弹力予
小球的冲量．
[解答]方法一：
利用冲量公式．根据冲量的定义得
dI = Fdt = -kAcosωtdt，
积分得冲量为，方法二：
16 29

利用动量定理．小球的速度为
v = dxdt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为
p1 = mv1 = 0，
末动量为
p2 = mv2 = -mωA，
小球获得的冲量为
I = p2–p1 = -mωA，
可以证明k =mω2，因此
I = -kAω．
2.17一个质量m = 50g，以速率的v = 20m²s-1作匀速圆周运动的小球，在周
期内向心力给予小球的冲量等于多少？
[解答]小球动量的大小为
p = mv，
但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
得，
由此可作矢量三角形，可得．因此向心力给予小球的的冲量大小为=
1.41(N²s)．
[注意]质点向心力大小为F=mv2R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发
生改变，所以 不能直接用下式计算冲量．假设小球被轻绳拉着以角速度ω= vR
运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2R = mωv，
17 29

其分量大小分别为
Fx = Fcosθ= Fcosωt，
Fy = Fsinθ= Fsinωt，
给小球的冲量大小为
dIx = Fxdt = Fcosωtdt，
dIy = Fydt = Fsinωtdt，
积分得，，
合冲量为，所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2.18用棒打击质量
0. 3kg，速率等于20m²s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高
度．求棒给予球的冲量多 大？设球与棒的接触时间为
0.02s，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为
= 14(m²s-1)，
其速度的增量为
=
24.4(m²s-1)．
棒给球冲量为
I = mΔv =
7.3(N²s)，
对球的作用力为（不计重力）
F = It =
18 29

366.2(N)．
2.19如图所示，3个物体
A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者
连有一段长度为
0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而
与A相连．已知滑 轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，
经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速 度是多少？（取g = 10m²s-2）[解
答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg–T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，
可列方程T = Ma，
联立方程可得
a = g2 = 5(m²s-2)．
根据运动学公式，可得B拉C之前的运动时间
=
0.4(s)．
此时B的速度大小为
v = at = 2(m²s-1)．
物体A跨过动滑轮向 下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B
拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可 得
2Mv = 3Mv`，
因此C开始运动的速度为
v` = 2v3 =
19 29

1.33(m²s-1)．
2.22如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移
动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为
m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底 端拉上45°圆弧时，马对雪橇
做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为
ds = Rdθ．
重力的大小为
G = mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π+θ，所做的功 元为，积分得重力所做
的功为．摩擦力的大小为
f =μkN =μkmgcosθ， 方向与弧位移的方向相反，所做的功元为，积分得摩擦力所做的功为．要
使雪橇缓慢地匀速移动，雪 橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即，
或者．
拉力的功元为，拉力所做的功为．由此可见：
重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2.23一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙
水平面上作半径为r的圆 周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，
其速率变为，求：
（1）摩擦力所做的功；
（2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
20 29

[解答]
（1）质点的初动能为，末动能为，动能的增量为
ΔEk = E2–，
这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于
dW = -fds = -μkNds =-μkmgrdθ，
积分得．由于W =ΔE，可得滑动摩擦因数为．（3）在自然坐标中，质点的
切向加速度为
at = fm = -μkg，
根据公式vt2–vo2 = 2ats，可得质点运动的弧长为，圈数为n = s2π．[注意]
根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量
-fs =ΔE k，
可得s = -ΔE kf，
由此也能计算弧长和圈数。
2.24如图所示，物体A的质量m =
0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s
=3m．弹簧的倔强系数k = 400N²m-
1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大
压缩量是多大？
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹
簧组成的系统只有 保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得
方程，整理和一元二次方程，解得
=
21 29

0.24(m)（取正根）．
2.29如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量
的方向会改变吗？
（3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
[解答]
（1）由于单摆速度 的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩
l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒．
（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针 运
动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改
变．
（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力
矩，因此角动量的变化率为 < br>2.31我国第一颗人造地于卫星的质量为173kg，其近地点高度为439km，远
地点高度 为2384km，求它的轨道总能量．
[解答]地球半径R0 = 6371km，因此
r1 = R0 + h1，r2 = R0 + h
2．
根据万有引力定律，在地球表面有，因此，根据上题的结果可得卫星的轨
道总能量为
= -
4.42³109(J)．
22 29

2.38质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所< br>示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多
少圈？
[解答]圆盘对水平面的压力为
N = mg，
压在水平面上的面积为
S =πR2，
压强为
p = NS = mgπR
2．
当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为dS =
rdθdr，
对水平面的压力为
dN = pdS = prdθ，
所受的摩擦力为
df =μdN =μprdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为
dM = rdf =μpr2drdθ，
总力矩为．圆盘的转动惯量为，角加速度大小为，负号表示其方向与角速
度的方向相反．
根据转动公式ω2 =ω02 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω= 0，所以圆盘转过的角
度为，
23 29

转过的圈数为．[注意]在圆盘上取一个细圆环，其面积为ds = 2πrdr，这样
计算力矩等更简单。
4.1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A=
0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x =
0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t = T4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x = -
0.06m，向x轴负方向运 动第一次回到平衡位置所需的时间．
（1）设物体的简谐振动方程为
x = Acos(ωt +φ)，
其中A=
0.12m，角频率ω= 2πT =π．
当t = 0时，x =
0.06m，所以
cosφ=
0.5，
因此
φ=±π
3．
物体的速度为
24 29

解答] [

v = dxdt = -ωAsin(ωt +φ)．
当t = 0时，
v = -ωAsinφ，
由于v > 0，所以sinφ< 0，因此
φ=-π
3．
简谐振动的表达式为
x =
0.12cos(πt–π3)．
（2）当t = T4时物体的位置为
x =
0.12cos(π2–π3)
=
0.12cosπ6 =
0.104(m)．
速度为
v = -πAsin(π2–π3)
= -
0.12πsinπ6 =-
0.188(m²s-1)．
加速度为

25 29

a = dvdt = -ω2Acos(ωt +φ)
= -π2Acos(πt-π3)
= -
0.12π2cosπ6 =-
1.03(m²s-2)．
（3）方法一：
求时间差．当x = -
0.06m时，可得
cos(πt1-π3) =-
0.5，
因此
πt1-π3 =±2π
3．
由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1-π3) > 0，因此
= 2π3，
得t1 = 1s．
当物体从x = -
0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此
cos(πt2-π3) = 0，
可得πt2-π3 =-π2或3π2等．
由于t2 > 0，所以
26 29

πt1-π3

πt2-π3 = 3π2，
可得．
所需要的时间为
Δt = t2- t1 =
0.83(s)．
方法二：
反向运动．物体从x = -
0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x =
0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平
衡位置时，x = 0，v < 0，因此
cos(πt -π3) = 0，
可得πt-π3 =π2，
解得．
[注意]根据振动方程
x = Acos(ωt +φ)，
当t = 0时，可得
φ=±arccos(x0A)，（-π<φ<=π），
初位相的取值由速度决定．
由于
v = dxdt = -ωAsin(ωt +φ)，
当t = 0时，
27 29

v = -ωAsinφ，
当v > 0时，sinφ< 0，因此
φ=-arccos(x0A)；
当v < 0时，sinφ> 0，因此
φ= arccos(x0A)π
3．
可见：
当速度大于零时，初位相取负值；当速度 小于零时，初位相取正值．如果
速度等于零，当初位置x0 = A时，φ= 0；当初位置x0 = -A时，φ=π．
5.8一简谐波沿x轴正向传播，波长λ= 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质
点的振动曲线如图所示．
（1）写出时x = 0处质点的振动方程；
（2）写出波的表达式；
（3）画出t = 1s时刻的波形曲线．
[解答]波速为u =λT = 1(m²s-1)．
（1）设x = 0处的质点的振动方程为
y = Acos(ωt +φ)，
其中A= 1m，ω= 2πT =π
2．
当t = 0时，y =
0.5，因此
28 29

cosφ=
0.5，
φ=±π
3．
在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此φ=π
3．振动方程为
y = cos(πt2 +π3)．
（2）波的表达式为．（3）t = 1s时刻的波形方程为，波形曲线如图所示．
29 29

1.5一质点沿半径为
0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ= 2 +4t
3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]
（1）角速度为
ω= dθdt = 12t2 = 48(rad²s-1)，
法向加速度为
an = rω2 =
230.4(m²s-2)；
角加速度为
β= dωdt = 24t = 48(rad²s-2)，
切向加速度为
at = rβ=
4.8(m²s-2)．
（2）总加速度为，
当at = a2时，有4at2 = at2 + an2，即．由此得，
即，
解得．
1 29

所以=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ= rω2，
即24t = (12t2)2，
解得．
1.7一个半径为R =
1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其
自由端拴一物体
A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt =
2.0s内下降的距离h=
0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加
速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at = 2hΔt2 =
0.2(m²s-2)．
物体下降3s末的速度为
v = att =
0.6(m²s-1)，
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=
0.36(m²s-2)．
2 29

1.8一升降机以加速度
1.22m²s-2上升，当上升速度为
2.44m²s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面
相距
2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降 机上升的高度为；螺帽做竖直上抛
运动，位移为．由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为
=
0.705(s)．
算得h2 = -
0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为
0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，
可列方程，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
第一章质点运动学
1.1一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t
3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
3 29

（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]
（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 6³12 - 2³13 = 4(m)．
在第2s末的位移大小为x(2) = 6³22 - 2³23 = 8(m)．
在第2s内的位移大小为
Δx = x
(2)–x
(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为
=ΔxΔt = 4(m²s-1)．
（2）质点的瞬时速度大小为
v(t) = dxdt = 12t - 6t2，
因此v
(1) = 12³1 - 6³12 = 6(m²s-1)，v(2) = 12³2 - 6³22 = 0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs =Δx = 4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a(t) = dvdt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 12³1 = 0，
第2s内的平均加速度为
= [v
(2) - v
4 29

(1)]Δt = [0–6]1 = -6(m²s-2)．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1.2一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增
为n = 5倍．试证加速度为．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt = nvo，
根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n–1)vot，
(1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得
a = (n2–，
(2)
（1）平方之后除以
（2）式证得．计算得加速度为
=
0.4(m²s-2)．
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成
22.5°的夹角的初速度65m²s- 1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东
边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m²s-
2．问：
（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
5 29

（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？
[解答]方法一：
分步法．
（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速
度的大小为
vy0 = v0sinθ=
24.87(m²s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点
的时间为t1 = vy0g =
2.49(s)．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2 - v02 = 2as，
可得上升的最大高度为．他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度
为
h2 = h1 + h =
100.94(m)．
根据自由落体运动公式，得下落的时间为
=
4.49(s)．
因此他飞越的时间为
6 29

t = t1 + t2 =
6.98(s)．
他飞越的水平速度为
vx0 = v0cosθ=
60.05(m²s-1)，
所以矿坑的宽度为
x = vx0t =
419.19(m)．
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy = gt =
69.8(m²s-1)，
落地速度为
²s-1)，
与水平方向的夹角为
φ= arctan(vyvx) =
49.30?，
方向斜向下．
方法二：
一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为，移项 得时间的一元
二次方程，解得．这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，< br>由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为
t =
7 29

6.98(s)．
由此可以求解其他问题．
1.4一个 正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度
反向、大小与船速平方成正比例的加速 度，即dvdt = -kv2，k为常数．（1）试
证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]
（1）分离变量得，
积分，
可得．
（2）公式可化为，
由于v = dxdt，所以
积分．
因此．证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．由于
a = d2xdt2，
而dxdt = v，
所以a = dvdt，
分离变量得方程，xx即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的
n次方成正比，则
dvdt = -kvn．
8 29

（1）如果n = 1，则得，积分得
lnv = -kt +
C．
当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此
lnvv0 = -kt，
得速度为
v = v0e-kt．
而dv = v0e-ktdt，积分得．当t = 0时，x = 0，所以C` = v0k，因此．（如果
n≠1，则得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．如果n = 2，就是本题的
结果．
如果n≠2，可得，读者不妨自证．
1.5一质点沿半径为
0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ= 2 +4t
3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]2）（1）角速度为
ω= dθdt = 12t2 = 48(rad²s-1)，
法向加速度为
an = rω2 =
9 29

230.4(m²s-2)；
角加速度为
β= dωdt = 24t = 48(rad²s-2)，
切向加速度为
at = rβ=
4.8(m²s-2)．
（2）总加速度为，
当at = a2时，有4at2 = at2 + an2，即．由此得，
即，
解得．
所以=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ= rω2，
即24t = (12t2)2，
解得．
1.6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m²s-1，方向与水
平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m²s-2 ，方向与水平前进方
向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机< br>在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ，
v0y =v0sinθ．
加速度的大小为
10 29

ax = acosα，
ay = asinα．
运动方程为，．
即，．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t = 0（舍去）；(s)．
将t代入x的方程求得x = 9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a 的方向或者沿着v0的方向，
也能求出相同的结果．
1.7一个半径为R =
1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其
自由端拴一物体
A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt =
2.0s内下降的距离h=
0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加
速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at = 2hΔt2 =
0.2(m²s-2)．
物体下降3s末的速度为
v = att =
0.6(m²s-1)，
11 29

这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=
0.36(m²s-2)．
1.8一升降机以加速度
1.22m²s-2上升，当上升速度为
2.44m²s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面
相距
2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降 机上升的高度为；螺帽做竖直上抛
运动，位移为．由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为
=
0.705(s)．
算得h2 = -
0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为
0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，
可列方程，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
12 29

1.9有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相
对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不
变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；
（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；
（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．
[证明]
（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 =
2lv．（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所
以飞行时间为．
（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使 飞机
沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，
其中沿AB 方向的速度大小为，所以飞行时间为
．证毕．
1.10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶 ，其速度为v1，下落雨的速度方
向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v
2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水
淋湿？
[ 解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角
形．根据题意得tanα= lh．
方法一：
利用xx．根据xx得
v1 = v2sinθ+ v3sinα，
其中v3 = v⊥cosα，而v⊥= v2cosθ，
因此v1 = v2sinθ+ v2cosθsinαcosα，
13 29

即．证毕．
方法二：
利用正弦定理．根据正弦定理可得，所以，即．
方法三：
利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，
雨滴的位移为
l = (v1–v2sinθ)t，
h = v2cosθ?t．
两式消去时间t即得所求．证毕．
2.12质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常 数)作用下沿直线运
动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1x–．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
利用v = dxdt，可得，因此方程变为，积分得．利用初始条件，当x = x0
时，v = 0，所以C = -kx0，因此，即．证毕．
[讨论]此题中，力是位置的函数：
f = f(x)，利用变换可得方程：
mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
如果f(x) = -kxn，则得．（1）当n = 1时，可得．利用初始条件x = x0时，
v = 0，所以C = lnx0，因此，
即．
（2）如果n≠1，可得．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，因此，
即．
14 29

当n = 2时，即证明了本题的结果．
2.13一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动 过程
中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]
（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向
为下，根据牛顿第二定律得方程，分离变量得，积分得．当t = 0时，v = v0，所
以，因此，小球速率随时间的变化关系为．（2）当小球运动到最高点时v = 0，
所需要的时间为．[讨论]
（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
由于v = dxdt，所以，即，积分得，当t = 0时，x = 0，所以，因此．（2）
如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变
为，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为．这个公式可将上面
公式中的g改为- g得出．由此可见：
不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mgk．
2.14如图所示：
光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧 运
动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，
求此后时刻 t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即N = mv2R．
物体所受的摩擦力为
f = -μkN，
15 29

负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据xx第二定律得，即．
积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．
解得．
由于，积分得，当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此．
2.15如图所示 ，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上
套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω ，试求在不同转动速度下珠子能
静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解 答]珠子
受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，
其大小为
F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为
r = Rsinθ．
根据xx公式得
F = mgtgθ= mω2Rsinθ，
可得，解得．
2.16如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x
=Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t =π2ω的时间间隔内弹力予
小球的冲量．
[解答]方法一：
利用冲量公式．根据冲量的定义得
dI = Fdt = -kAcosωtdt，
积分得冲量为，方法二：
16 29

利用动量定理．小球的速度为
v = dxdt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为
p1 = mv1 = 0，
末动量为
p2 = mv2 = -mωA，
小球获得的冲量为
I = p2–p1 = -mωA，
可以证明k =mω2，因此
I = -kAω．
2.17一个质量m = 50g，以速率的v = 20m²s-1作匀速圆周运动的小球，在周
期内向心力给予小球的冲量等于多少？
[解答]小球动量的大小为
p = mv，
但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
得，
由此可作矢量三角形，可得．因此向心力给予小球的的冲量大小为=
1.41(N²s)．
[注意]质点向心力大小为F=mv2R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发
生改变，所以 不能直接用下式计算冲量．假设小球被轻绳拉着以角速度ω= vR
运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2R = mωv，
17 29

其分量大小分别为
Fx = Fcosθ= Fcosωt，
Fy = Fsinθ= Fsinωt，
给小球的冲量大小为
dIx = Fxdt = Fcosωtdt，
dIy = Fydt = Fsinωtdt，
积分得，，
合冲量为，所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2.18用棒打击质量
0. 3kg，速率等于20m²s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高
度．求棒给予球的冲量多 大？设球与棒的接触时间为
0.02s，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为
= 14(m²s-1)，
其速度的增量为
=
24.4(m²s-1)．
棒给球冲量为
I = mΔv =
7.3(N²s)，
对球的作用力为（不计重力）
F = It =
18 29

366.2(N)．
2.19如图所示，3个物体
A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者
连有一段长度为
0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而
与A相连．已知滑 轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，
经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速 度是多少？（取g = 10m²s-2）[解
答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg–T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，
可列方程T = Ma，
联立方程可得
a = g2 = 5(m²s-2)．
根据运动学公式，可得B拉C之前的运动时间
=
0.4(s)．
此时B的速度大小为
v = at = 2(m²s-1)．
物体A跨过动滑轮向 下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B
拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可 得
2Mv = 3Mv`，
因此C开始运动的速度为
v` = 2v3 =
19 29

1.33(m²s-1)．
2.22如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移
动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为
m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底 端拉上45°圆弧时，马对雪橇
做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为
ds = Rdθ．
重力的大小为
G = mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π+θ，所做的功 元为，积分得重力所做
的功为．摩擦力的大小为
f =μkN =μkmgcosθ， 方向与弧位移的方向相反，所做的功元为，积分得摩擦力所做的功为．要
使雪橇缓慢地匀速移动，雪 橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即，
或者．
拉力的功元为，拉力所做的功为．由此可见：
重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2.23一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙
水平面上作半径为r的圆 周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，
其速率变为，求：
（1）摩擦力所做的功；
（2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
20 29

[解答]
（1）质点的初动能为，末动能为，动能的增量为
ΔEk = E2–，
这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于
dW = -fds = -μkNds =-μkmgrdθ，
积分得．由于W =ΔE，可得滑动摩擦因数为．（3）在自然坐标中，质点的
切向加速度为
at = fm = -μkg，
根据公式vt2–vo2 = 2ats，可得质点运动的弧长为，圈数为n = s2π．[注意]
根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量
-fs =ΔE k，
可得s = -ΔE kf，
由此也能计算弧长和圈数。
2.24如图所示，物体A的质量m =
0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s
=3m．弹簧的倔强系数k = 400N²m-
1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大
压缩量是多大？
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹
簧组成的系统只有 保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得
方程，整理和一元二次方程，解得
=
21 29

0.24(m)（取正根）．
2.29如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量
的方向会改变吗？
（3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
[解答]
（1）由于单摆速度 的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩
l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒．
（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针 运
动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改
变．
（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力
矩，因此角动量的变化率为 < br>2.31我国第一颗人造地于卫星的质量为173kg，其近地点高度为439km，远
地点高度 为2384km，求它的轨道总能量．
[解答]地球半径R0 = 6371km，因此
r1 = R0 + h1，r2 = R0 + h
2．
根据万有引力定律，在地球表面有，因此，根据上题的结果可得卫星的轨
道总能量为
= -
4.42³109(J)．
22 29

2.38质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所< br>示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多
少圈？
[解答]圆盘对水平面的压力为
N = mg，
压在水平面上的面积为
S =πR2，
压强为
p = NS = mgπR
2．
当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为dS =
rdθdr，
对水平面的压力为
dN = pdS = prdθ，
所受的摩擦力为
df =μdN =μprdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为
dM = rdf =μpr2drdθ，
总力矩为．圆盘的转动惯量为，角加速度大小为，负号表示其方向与角速
度的方向相反．
根据转动公式ω2 =ω02 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω= 0，所以圆盘转过的角
度为，
23 29

转过的圈数为．[注意]在圆盘上取一个细圆环，其面积为ds = 2πrdr，这样
计算力矩等更简单。
4.1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A=
0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x =
0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t = T4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x = -
0.06m，向x轴负方向运 动第一次回到平衡位置所需的时间．
（1）设物体的简谐振动方程为
x = Acos(ωt +φ)，
其中A=
0.12m，角频率ω= 2πT =π．
当t = 0时，x =
0.06m，所以
cosφ=
0.5，
因此
φ=±π
3．
物体的速度为
24 29

解答] [

v = dxdt = -ωAsin(ωt +φ)．
当t = 0时，
v = -ωAsinφ，
由于v > 0，所以sinφ< 0，因此
φ=-π
3．
简谐振动的表达式为
x =
0.12cos(πt–π3)．
（2）当t = T4时物体的位置为
x =
0.12cos(π2–π3)
=
0.12cosπ6 =
0.104(m)．
速度为
v = -πAsin(π2–π3)
= -
0.12πsinπ6 =-
0.188(m²s-1)．
加速度为

25 29

a = dvdt = -ω2Acos(ωt +φ)
= -π2Acos(πt-π3)
= -
0.12π2cosπ6 =-
1.03(m²s-2)．
（3）方法一：
求时间差．当x = -
0.06m时，可得
cos(πt1-π3) =-
0.5，
因此
πt1-π3 =±2π
3．
由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1-π3) > 0，因此
= 2π3，
得t1 = 1s．
当物体从x = -
0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此
cos(πt2-π3) = 0，
可得πt2-π3 =-π2或3π2等．
由于t2 > 0，所以
26 29

πt1-π3

πt2-π3 = 3π2，
可得．
所需要的时间为
Δt = t2- t1 =
0.83(s)．
方法二：
反向运动．物体从x = -
0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x =
0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平
衡位置时，x = 0，v < 0，因此
cos(πt -π3) = 0，
可得πt-π3 =π2，
解得．
[注意]根据振动方程
x = Acos(ωt +φ)，
当t = 0时，可得
φ=±arccos(x0A)，（-π<φ<=π），
初位相的取值由速度决定．
由于
v = dxdt = -ωAsin(ωt +φ)，
当t = 0时，
27 29

v = -ωAsinφ，
当v > 0时，sinφ< 0，因此
φ=-arccos(x0A)；
当v < 0时，sinφ> 0，因此
φ= arccos(x0A)π
3．
可见：
当速度大于零时，初位相取负值；当速度 小于零时，初位相取正值．如果
速度等于零，当初位置x0 = A时，φ= 0；当初位置x0 = -A时，φ=π．
5.8一简谐波沿x轴正向传播，波长λ= 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质
点的振动曲线如图所示．
（1）写出时x = 0处质点的振动方程；
（2）写出波的表达式；
（3）画出t = 1s时刻的波形曲线．
[解答]波速为u =λT = 1(m²s-1)．
（1）设x = 0处的质点的振动方程为
y = Acos(ωt +φ)，
其中A= 1m，ω= 2πT =π
2．
当t = 0时，y =
0.5，因此
28 29

cosφ=
0.5，
φ=±π
3．
在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此φ=π
3．振动方程为
y = cos(πt2 +π3)．
（2）波的表达式为．（3）t = 1s时刻的波形方程为，波形曲线如图所示．
29 29