财经法规与会计职业道德-雪散文

习题1

√
1.1选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r(x,y)
的端点处，其速度大小为


drdr
(A) (B)
dt
dt

d|r|
dx
2
dy
2
(C) (D)
()()

dt
dtdt
[答案：D]

2
(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v2ms
，瞬时加速度< br>a2ms
，则
一秒钟后质点的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
[答案：D]

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在 2t时间间隔中，其平均
速度大小和平均速率大小分别为
2

R2

R2

R
,
(B)
0,

ttt
2

R
,0
(C)
0,0
(D)
t
(A)
[答案：B]

√
1.2填空题
(1) 一质点，以

ms
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在 5s内，位移的大小
是 ；经过的路程是 。
[答案： 10 m； 5π m]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的
速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。
[答案： 23 m·s
-1
]

1


(3) 轮船在水上以相对于水的速度
V
1航行，水流速度为
V
2
，一人相对于甲板以速度
V
3
行 走。


如人相对于岸静止，则
V
1
、
V
2
和
V
3
的关系是 。
[答案：
V
1
V
2
V
3
0
]


1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远 小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研
究问题的性质决定。

???1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（ 2）x=-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8 t+4；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3 s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得 （3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v
dx
4t8
dt

2
dx
a
2
4
dt
t=3 s时的速度和加速度分别为v=20 ms，a=4ms
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.6 ｜
r
｜与

r

有无不同?
试举例说明． 解：（1）
r
是位移的模，

r
是位矢的模的增量，即
rr
2
r
1
，

rr
2
r< br>1
；
（2）
drdrdvdv
和有无不同? 和有无不同?其不同在 哪里?
dtdtdtdt

ds
drdr
是速度的模，即.
v
dt
dtdt
dr
只是速度在径向上的分量.
dt
ˆ
（式中
r
ˆ
叫做单位矢）∵有
rrr
，则式中
ˆ
drdrdr
ˆ
rr

dtdtdt
dr
就是速度在径向上的分量，
dt

∴
drdr
与
不同如题1.6图所示.
dtdt
题1.6图



dv
dv

dv
(3)表示加速度的模，即
a
，是加速度
a
在切向上的分量.
d t
dtdt
∵有
vv

(

表示轨道切线方向单 位矢），所以


dvdv

d



v

dtdtdt
dv
就是加速度的切向分量.
d t

ˆ
d

ˆ
dr
(

的运算 较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
与
dtdt
式中

1.7 设质点的运动方程为
x
=
x
(
t
)，
y
=
y
(
t
)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
dr
d
2
r
出
r
＝
xy
，然后根据
v
=及
a
＝
2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的
dt
dt
22
分量，再合成求得结果，即

d
2
x

d
2
y


dx

dy




你认为两种方法哪一种
v
=



，
a
=

2
2


dt

dt

dt

dt

正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方 法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
rxiyj
，
2 2
22




drdx

dy

vij
dtdtdt



d
2rd
2
x

d
2
y

a
2

2
i
2
j
dtdtdt
故它们的模即为 
dx

dy

22
vv
x
v
y





dt

dt

2
2
22

dx

dy
< br>22
aa
x
a
y



dt< br>2





dt
2



2
2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

< br>dr
v
dt
d
2
r
a
2
dt
dr
drd
2
r
与
2
误作速度与加速度的 模。在1.6题中已说明不是速度的模，其二，可能是将
dt
dt
dt
d2
r
而只是速度在径向上的分量，同样，
2
也不是加速度的模，它只是加 速度在径向分量中
dt
2

d
2
r

< br>d



的一部分

a
径

2
r

或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢
r
在径向（即


。
dt

dt





量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢
r
及速度< br>v
的方向随时间的变化率对速度、加
速度的贡献。

√
1.8 一质点在
xOy
平面上运动，运动方程为
x
=3
t
+5,
y
=
1
2
t
+3
t
-4.
2
式中
t
以 s计，
x
,
y
以m计．(1 )以时间
t
为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
t
=1
s 时刻和
t
＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算
t
＝0 s时刻到
t
＝4s
时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算
t
＝4 s 时质点的速度；(5)计算
t
＝
0s 到
t
＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算
t
＝4s 时质点
的 加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成
直角坐标系中的 矢量式)．

1
2


解：（1）
r(3t5)i(t3t4)j
m

2
(2)将
t1
,
t2
代入上式即有


r
1
8i0.5j

m



r
2
11i4j
m


rr
2
r
1
3i4.5j
m

(3)∵
r
0
5i4j,r
4
17i16j

< br>






rr
12i20j

r

40
3i5jms
1< br> ∴
v
t404


dr
3i(t3)jms
1
(4)
v
dt


1
则
v
4
3i7j

ms

(5)∵
v
0
3i3j,v
4
3i7j











v
v
4
v
0
4j
1jms
2
a
t44



dv
1jms
2
(6)
a
dt
这说明该点只有
y
方向的加速度，且为恒量。

√
1.9 质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为
a
＝2+6
x
，
a
的单位为
ms
22
，
x
的
单位为 m. 质点在
x
＝0处，速度为10
ms
,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
a
1
dvdvdxdv
v

dtdxdtdx
分离变量：
vdvadx(26x
2
)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0
10
,∴
c50

∴
v2x
3
x25ms
1


1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

ms
，开始运动时，
x
＝5 m，
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a
2
dv
43t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4t
由题知，
t0
,
v
0
0
,∴
c
1
0

3
2
tc
1

2
3
2
t

2
dx3
4tt
2
又因为
v
dt2
3
2
分离变量，
dx(4tt)dt

2
1
32
积分得
x2ttc
2

2
故
v4t
由题知
t0
,
x
0
5
,∴
c
2
5

故
x2t
所以
t10s
时
2
1
3
t5

2
v
10
4 10
3
10
2
190ms
1
2

1
x
10
210
2
10
3
5705 m
2

√
1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为

=2+3
t
d

d

9t
2
,

18t

dtdt
3
，式中
< br>以弧度计，
t
以秒计，求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°
角时，其角位移是多少?

解：


(1)
t2s
时，
a

R

118236ms
2


a
n
R

2
1(92
2
)
2
1296ms
2
(2)当加速度方向与半径成
45角时，有
ο

tan45
2
a

1

a
n
即
R

R


亦即
(9t)18t

则解得
t
于是角位移为
3
22
2

9
29

23t
3
232.67rad


bt
√
1.12 质点沿半径为
R
的圆周按
s
＝< br>vt
1
2
0
2
的规律运动，式中
s
为质点 离圆周上某
点的弧长,
v
0
，
b
都是常量，求：(1)t
时刻质点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值
上等于
b
．
解：（1）
v
ds
v
0
bt

dt

dv
b
dt

2
2
(vbt)
v
a
n

0
RR
a


(v
0
bt)
4
则
aa

ab

R
2
22
n
2
加速度与半径的夹角为

arctan
(2)由题意应有
a

Rb


a
n
(v
0
bt)
2
(v
0
bt)
4

abb
2
R
2
(v< br>0
bt)
4
,(v
0
bt)
4
0< br> 即
bb
2
R
22
∴当
t

v
0
时，
ab

b
1.13 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·
s
，求
t
＝2s时 边缘
上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当
t2s
时，



t0.220.4

rads

1
则
vR

0.40.4 0.16
ms

1
2
a
n
R
< br>2
0.4(0.4)
2
0.064
ms
2

a

R

0.40.20.08
ms
 2

2
aa
n
a

2
(0.064 )
2
(0.08)
2
0.102ms
2


1.14 一船以速率
v
1
＝30 km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率
v
2
＝40 km·h
-1-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少? < br>解：(1)大船看小艇，则有
v
21
v
2
v
1< br>，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)



题1.14图
由图可知
v
21
< br>2
v
1
2
v
2
50kmh
1

方向北偏西

arctan
v
13
arctan36.87

v
2
4
(2)小艇 看大船，则有
v
12
v
1
v
2
，依题意作出速 度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得


v
12
50
kmh
1

方向南偏东
36.87
.
o

习题1

√
1.1选择题
(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r(x,y)
的端点处，其速度大小为


drdr
(A) (B)
dt
dt

d|r|
dx
2
dy
2
(C) (D)
()()

dt
dtdt
[答案：D]

2
(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v2ms
，瞬时加速度< br>a2ms
，则
一秒钟后质点的速度
(A)等于零 (B)等于-2ms
(C)等于2ms (D)不能确定。
[答案：D]

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在 2t时间间隔中，其平均
速度大小和平均速率大小分别为
2

R2

R2

R
,
(B)
0,

ttt
2

R
,0
(C)
0,0
(D)
t
(A)
[答案：B]

√
1.2填空题
(1) 一质点，以

ms
的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在 5s内，位移的大小
是 ；经过的路程是 。
[答案： 10 m； 5π m]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的
速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。
[答案： 23 m·s
-1
]

1


(3) 轮船在水上以相对于水的速度
V
1航行，水流速度为
V
2
，一人相对于甲板以速度
V
3
行 走。


如人相对于岸静止，则
V
1
、
V
2
和
V
3
的关系是 。
[答案：
V
1
V
2
V
3
0
]


1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远 小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研
究问题的性质决定。

???1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（ 2）x=-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8 t+4；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3 s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）
解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间
的两阶导数。于是可得 （3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为
v
dx
4t8
dt

2
dx
a
2
4
dt
t=3 s时的速度和加速度分别为v=20 ms，a=4ms
2
。因加速度为正所以是加速的。

1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。
解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；
(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；
(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

1.6 ｜
r
｜与

r

有无不同?
试举例说明． 解：（1）
r
是位移的模，

r
是位矢的模的增量，即
rr
2
r
1
，

rr
2
r< br>1
；
（2）
drdrdvdv
和有无不同? 和有无不同?其不同在 哪里?
dtdtdtdt

ds
drdr
是速度的模，即.
v
dt
dtdt
dr
只是速度在径向上的分量.
dt
ˆ
（式中
r
ˆ
叫做单位矢）∵有
rrr
，则式中
ˆ
drdrdr
ˆ
rr

dtdtdt
dr
就是速度在径向上的分量，
dt

∴
drdr
与
不同如题1.6图所示.
dtdt
题1.6图



dv
dv

dv
(3)表示加速度的模，即
a
，是加速度
a
在切向上的分量.
d t
dtdt
∵有
vv

(

表示轨道切线方向单 位矢），所以


dvdv

d



v

dtdtdt
dv
就是加速度的切向分量.
d t

ˆ
d

ˆ
dr
(

的运算 较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
与
dtdt
式中

1.7 设质点的运动方程为
x
=
x
(
t
)，
y
=
y
(
t
)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
dr
d
2
r
出
r
＝
xy
，然后根据
v
=及
a
＝
2
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的
dt
dt
22
分量，再合成求得结果，即

d
2
x

d
2
y


dx

dy




你认为两种方法哪一种
v
=



，
a
=

2
2


dt

dt

dt

dt

正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方 法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
rxiyj
，
2 2
22




drdx

dy

vij
dtdtdt



d
2rd
2
x

d
2
y

a
2

2
i
2
j
dtdtdt
故它们的模即为 
dx

dy

22
vv
x
v
y





dt

dt

2
2
22

dx

dy
< br>22
aa
x
a
y



dt< br>2





dt
2



2
2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

< br>dr
v
dt
d
2
r
a
2
dt
dr
drd
2
r
与
2
误作速度与加速度的 模。在1.6题中已说明不是速度的模，其二，可能是将
dt
dt
dt
d2
r
而只是速度在径向上的分量，同样，
2
也不是加速度的模，它只是加 速度在径向分量中
dt
2

d
2
r

< br>d



的一部分

a
径

2
r

或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢
r
在径向（即


。
dt

dt





量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢
r
及速度< br>v
的方向随时间的变化率对速度、加
速度的贡献。

√
1.8 一质点在
xOy
平面上运动，运动方程为
x
=3
t
+5,
y
=
1
2
t
+3
t
-4.
2
式中
t
以 s计，
x
,
y
以m计．(1 )以时间
t
为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出
t
=1
s 时刻和
t
＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算
t
＝0 s时刻到
t
＝4s
时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算
t
＝4 s 时质点的速度；(5)计算
t
＝
0s 到
t
＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算
t
＝4s 时质点
的 加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成
直角坐标系中的 矢量式)．

1
2


解：（1）
r(3t5)i(t3t4)j
m

2
(2)将
t1
,
t2
代入上式即有


r
1
8i0.5j

m



r
2
11i4j
m


rr
2
r
1
3i4.5j
m

(3)∵
r
0
5i4j,r
4
17i16j

< br>






rr
12i20j

r

40
3i5jms
1< br> ∴
v
t404


dr
3i(t3)jms
1
(4)
v
dt


1
则
v
4
3i7j

ms

(5)∵
v
0
3i3j,v
4
3i7j











v
v
4
v
0
4j
1jms
2
a
t44



dv
1jms
2
(6)
a
dt
这说明该点只有
y
方向的加速度，且为恒量。

√
1.9 质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为
a
＝2+6
x
，
a
的单位为
ms
22
，
x
的
单位为 m. 质点在
x
＝0处，速度为10
ms
,试求质点在任何坐标处的速度值．
解： ∵
a
1
dvdvdxdv
v

dtdxdtdx
分离变量：
vdvadx(26x
2
)dx

两边积分得
1
2
v2x2x
3
c

2
由题知，
x0
时，
v
0
10
,∴
c50

∴
v2x
3
x25ms
1


1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

ms
，开始运动时，
x
＝5 m，
v
=0，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．
解：∵
a
2
dv
43t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4t
由题知，
t0
,
v
0
0
,∴
c
1
0

3
2
tc
1

2
3
2
t

2
dx3
4tt
2
又因为
v
dt2
3
2
分离变量，
dx(4tt)dt

2
1
32
积分得
x2ttc
2

2
故
v4t
由题知
t0
,
x
0
5
,∴
c
2
5

故
x2t
所以
t10s
时
2
1
3
t5

2
v
10
4 10
3
10
2
190ms
1
2

1
x
10
210
2
10
3
5705 m
2

√
1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为

=2+3
t
d

d

9t
2
,

18t

dtdt
3
，式中
< br>以弧度计，
t
以秒计，求：(1)
t
＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°
角时，其角位移是多少?

解：


(1)
t2s
时，
a

R

118236ms
2


a
n
R

2
1(92
2
)
2
1296ms
2
(2)当加速度方向与半径成
45角时，有
ο

tan45
2
a

1

a
n
即
R

R


亦即
(9t)18t

则解得
t
于是角位移为
3
22
2

9
29

23t
3
232.67rad


bt
√
1.12 质点沿半径为
R
的圆周按
s
＝< br>vt
1
2
0
2
的规律运动，式中
s
为质点 离圆周上某
点的弧长,
v
0
，
b
都是常量，求：(1)t
时刻质点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数值
上等于
b
．
解：（1）
v
ds
v
0
bt

dt

dv
b
dt

2
2
(vbt)
v
a
n

0
RR
a


(v
0
bt)
4
则
aa

ab

R
2
22
n
2
加速度与半径的夹角为

arctan
(2)由题意应有
a

Rb


a
n
(v
0
bt)
2
(v
0
bt)
4

abb
2
R
2
(v< br>0
bt)
4
,(v
0
bt)
4
0< br> 即
bb
2
R
22
∴当
t

v
0
时，
ab

b
1.13 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·
s
，求
t
＝2s时 边缘
上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当
t2s
时，



t0.220.4

rads

1
则
vR

0.40.4 0.16
ms

1
2
a
n
R
< br>2
0.4(0.4)
2
0.064
ms
2

a

R

0.40.20.08
ms
 2

2
aa
n
a

2
(0.064 )
2
(0.08)
2
0.102ms
2


1.14 一船以速率
v
1
＝30 km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率
v
2
＝40 km·h
-1-1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少? < br>解：(1)大船看小艇，则有
v
21
v
2
v
1< br>，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)



题1.14图
由图可知
v
21
< br>2
v
1
2
v
2
50kmh
1

方向北偏西

arctan
v
13
arctan36.87

v
2
4
(2)小艇 看大船，则有
v
12
v
1
v
2
，依题意作出速 度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得


v
12
50
kmh
1

方向南偏东
36.87
.
o