于是得
m
1

kmm
①

,m
2

k

1k

1又设
m
1
的速度为
v
1
,
m
2
的速度为
v
2
，则有

T
111
2
m
1
v
1
2
m
2
v< br>2
mv
2
②

222

mvm
1
v
1
m
2
v
2
③

联立①、③解得

v
2
(k1)vkv
1
④

将④代入②，并整理得

于是有
v
1

v

2T

km
将其代入④式，有

又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

证毕．

设
F
合

7i

6jN
．(1) 当一质点从原点 运动到
r

3i

4j

16km
时， 求
F
所作的
功．(2)如果质点到
r
处时需，试求平均功率．(3) 如果质点的质量为1kg，试求动能
的变化．


解: (1)由题知，
F
合
为恒力，





∴
A
合

F

r

(7i

6j )

(

3i

4j

16k)








(2)
P

A45

75w



t 0.6
(3)由动能定理，
E
k
A45J

以铁 锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，
在铁锤击第一次时，能将小 钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁
锤两次打击铁钉时的速度相同．

题图

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为
y
坐标正向，如题图，则铁钉所受阻力为

第一锤外力的功为
A
1

A
1


f

dy



fdy


k ydy

ss0
1
k
①

2
式中
f

是铁锤作用于钉上的力，
f
是木板作用于钉上的力，在
dt0
时，
f

f
．< br>
设第二锤外力的功为
A
2
，则同理，有

A
2


kydy

1
y
2
1
2
k
ky
2

②

22
由题意，有

1k
A
2
A1
(mv
2
)
③

22
2
即
ky
2

1
2
kk


22
所以，
y
2

2

于是钉子第二次能进入的深度为

v
设已知一质点(质量 为
m
)在其保守力场中位矢为
r
点的势能为
E
P
( r)kr
n
, 试
求质点所受保守力的大小和方向．

dE
p
(r)
dr
解:
F(r)

nk

n

1
r

方向与位矢
r
的方向相反，方向指向力心．

一根劲度系数 为
k
1
的轻弹簧
A
的下端，挂一根劲度系数为
k
2
的轻弹簧
B
，
B
的下
端又挂一重物
C
，< br>C
的质量为
M
，如题图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比
和弹性 势能之比．

题图

解: 弹簧
A、B
及重物
C
受力如题图所示平衡时，有

又
F
A

k
1

x
1

所以静止时两弹簧伸长量之比为

弹性势能之比为

(1)试计算 月球和地球对
m
物体的引力相抵消的一点
P
，距月球表面的距离是多少?地球质量×10
24
kg，地球中心到月球中心的距离×10
8
m，月球 质量×10
22
kg，月球半
径×10
6
m．(2)如果一个1kg 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么
它在
P
点的势能为多少?

解: (1)设在距月球中心为
r
处
F
月引< br>F
地引
，由万有引力定律，有

经整理，得

7. 35

10
22
5.98

10
24
< br>7.35

10
22
=
3.4810
8

则
P
点处至月球表面的距离为

(2)质量为
1kg
的物体在
P
点的引力势能为

如题图 所示，一物体质量为2kg，以初速度
v
0
＝3m·s
-1
从斜面< br>A
点处下滑，它与斜
面的摩擦力为8N，到达
B
点后压缩弹簧20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度
系数和物体最后能回到的高度．

题图

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。
则由功 能原理，有

式中
s4.80.25m
，
x0.2m
，再代入有关数据，解得

再次运用功能原理，求木块弹回的高度
h


代入有关数据，得
s

1.45m
,

则木块弹回高度

质量为
M
的大木块具有半径为
R
的四分之一弧形槽，如题图所示．质量为m
的小立

方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩 擦的运动，而且
都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

题图

解:
m
从
M
上下滑的过程中，机械能守恒，以
m
，
M
，地球为系统，以最低点为
重力势能零点，则有

又下滑过程 ，动量守恒，以
m
、
M
为系统，则在
m
脱离
M瞬间，水平方向有

联立以上两式，得

一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动
方向互相垂直．

证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

22
v
1
2
v
2
即
v
0
①

题图(a) 题图(b)

又碰撞过程中，动量守恒，即有

亦即
v
0

v
1

v
2

②

由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以
v
0
为
斜边，故知
v
1
与
v
2< br>是互相垂直的．

习题3






选择题

(1) 有 一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，
转动惯量为J，开始时转台以匀角速 度ω
0
转动，此时有一质量为m的人站在
转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达 转台边缘时，转台的角速度为

J
J

0

(B)

0
(J

m)R
2
J

mR
2
(A)
(C)
J

0
(D)

0

2
mR
[答案： (A)]

(2) 如题（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm的半球形碗，以匀角速
度ω绕其对 称轴OC旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P相对于碗静止，
其位置高于碗底4cm，则由此可推知 碗旋转的角速度约为

(A)13rads (B)17rads

(C)10rads (D)18rads

(a) (b)

题（2）图

[答案： (A)]

(3)如(3 )图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端连
结此物体，；另一端穿过桌面的小孔 ，该物体原以角速度?在距孔为R的圆周

上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体
（A）动能不变，动量改变。

（B）动量不变，动能改变。

（C）角动量不变，动量不变。

（D）角动量改变，动量改变。

（E）角动量不变，动能、动量都改变。

[答案： (E)]

填空题

(1) 半径为30cm的飞轮，从静止开始以·s的匀角加速转动，则飞轮 边缘上
一点在飞轮转过240?时的切向加速度a
τ
= ，法向加速度
a
n
= 。

[答案：
0.15;1.256
]

-2
(2) 如题（2 ）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定
轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一 角度的方向击中木球而嵌于其中，
则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的 守恒，原因
是 。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、
细棒、地球系统的 守恒。

题（2）图

[答案：对o轴的角动量守恒，因为在 子弹击中木球过程中系统所受外力对o
轴的合外力矩为零，机械能守恒]

(3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρ
A
和ρ
B
(ρ
A< br>>ρ
B
)，且两
圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面 的轴的转动
惯量分别为J
A
和J
B
，则有J
A
J
B
。（填>、<或=）

[答案： <]

刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？

解：刚体平动的 特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时
刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动 时刚体上的质元可以作曲线运
动。

刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质 元的角速度、线速度、向
心加速度、切向加速度是否相同？

解：刚体定轴转动的特点 是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在
作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样； 刚体上各质元的角量
相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速
度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。

刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。

解：刚体的转动惯量 与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对
过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大 小完全相同的木质圆盘和
铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。

刚体所受的合外力为零，其合力矩是否一定为零？相反，刚体受到的 合力矩
为零，其合外力是否一定为零？

解：刚体所受的合外力为零，其合力矩不一定 为零；刚体受到的合力矩为零，
其合外力不一定为零。

一质量为
m
的质点位于(
x
1
,y
1
)处，速度为
v
v
x
i

v
y
j
, 质点受到一个沿
x
负
方向的力
f
的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的 力
矩．

解: 由题知，质点的位矢为

作用在质点上的力为

所以，质点对原点的角动量为

作用在质点上的力的力矩为


哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它 离太阳最近距离为
r
1
＝×10
10
m 时的速
率是
v
1
＝×10
4
m·s
-1
，它离太阳最远时的速率是< br>v
2
＝×10
2
m·s
-1
这时它离太阳的



距离
r
2
是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点 。)

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；< br>又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

r
1
mv
1
r
2
mv
2
r
1
v
1
8.75

10
10
5.46

10
4
12
∴
r
2

5.26

10m

2
v
2
9.08

10





1


物体质量为3kg，
t
=0时位于
r

4im
,
vi
6
j
m

s
，如一恒力
f
5jN
作用在物体
上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对
z
轴角动量的变化．

解: (1)

p


fdt


0
5jdt

15jkg

m

s

1

(2)解(一)
xx
0
v
0x
t
4

3

7

即
r
1

4i
,
r
2

7
i
25.5
j

即
v
1

i
1

6j
,
v
2
i
11
j






∴
L
1

r
1

mv
1

4i

3(i

6j)

72k



∴
LL
2
L
1

82.5
k
kg

m
2

s

1



3










解( 二) ∵
M
dz

dt

t

t


∴

L


M

dt


(r

F)dt

00
平板中央开一小孔，质量为
m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为
M
1
的

重 物．小球作匀速圆周运动，当半径为
r
0
时重物达到平衡．今在
M
1
的下方再挂一质
量为
M
2
的物体，如题图．试问这时小球作匀速圆周 运动的角速度


和半径
r

为多少?

题图

解: 在只挂重物时
M
1
，小球作圆周运动的向心力 为
M
1
g
，即

M
1
gmr
0

0
2

①

挂上
M
2
后，则有


(M
1
M
2
)gmr



2

②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．

即
r
0
mv
0
r

mv


r
0
2

0

r

2

③

联立①、②、③得

飞轮的质量
m
＝60kg，半径
R< br>＝，绕其水平中心轴
O
转动，转速为900rev·min
-1
．现< br>利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力
F
，可使飞轮减速．已知
闸杆的尺寸如题图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数

=，飞轮的转动惯量可按匀质
圆盘计算．试求：

(1)设
F
＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?

(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力
F
?

解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中
N
、
N
是正压力，
F
r
、
F
r

是
摩擦力，
F
x
和
F
y
是杆在
A
点转轴处 所受支承力，
R
是轮的重力，
P
是轮在
O
轴处所
受 支承力．

题图（a）

题图(b)

杆处于静止状态，所以对
A
点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
对飞轮，按转动定律有

F
r
RI
，式中负号表示

与角速度

方向相反．

∵
F
r


N

NN


l
1

l
2
F

l
1
∴
F
r


N



1
2
又∵
ImR
2
,

F
r
R2

( l
1
l
2
)

F
①

ImRl
1
∴


以
F100N
等代入上式，得

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

这段时间内飞轮的角位移为

可知在这段时间里，飞轮转了
53.1
转．

(2)

0

900

2

rad
< br>s

1
，要求飞轮转速在
t2
s
内减少一半，可知

60
用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为

固定 在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴
OO

转动．设大小圆柱
体的半径分别为
R
和
r
，质量分别为
M
和
m．绕在两柱体上的细绳分别与物体
m
1
和
m
2
相连，< br>m
1
和
m
2
则挂在圆柱体的两侧，如题图所示．设
R
＝,
r
＝，
m
＝4 kg，
M
＝
10 kg，
m
1
＝
m
2
＝2 kg，且开始时
m
1
，
m
2
离地均为
h
＝2m．求：

(1)柱体转动时的角加速度；

(2)两侧细绳的张力．

解: 设
a
1
,
a
2
和β分别为
m
1
,
m
2
和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．

题(a)图 题(b)图

(1)
m
1
,
m
2
和柱体的运动方程如下：

T
2
m
2
gm
2
a
2
①

m
1
gT
1
m
1
a
1
②


T
1
RT
2
rI
③

式中
T
1
< br>T
1
,T
2

T
2
,a
2r

,a
1
R


而
IMR
2
mr
2

1
2
1
2
由上式求得

(2)由①式

由②式

计算题图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质 量为
M
，
半径为
r
，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物 体间的摩擦，设
m
1
＝50
kg，
m
2
＝200 kg,M＝15 kg,
r
＝ m

解: 分别以
m
1< br>,
m
2
滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对
m
1,
m
2
运用牛顿定律，
有

m
2
g< br>
T
2

m
2
a
①

T
1

m
1
a
②

对滑轮运用转动定律，有

1
T
2
rT1
r(Mr
2
)

③

2
又，
ar

④

联立以上4个方程，得

题(a)图 题(b)图

如题图所示，一匀质细杆质量为
m
，长为
l
，可绕过一端
O
的水平轴自由转动，杆
于水平位置由静止开始摆下．求：

(1)初始时刻的角加速度；

(2)杆转过

角时的角速度.

题图

解: (1)由转动定律，有

∴


3g


2l
(2)由机械能守恒定律，有

3gsin


l
∴


如题图所示，质量为
M
，长为
l
的均匀直棒 ，可绕垂直于棒一端的水平轴
O
无摩擦
地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量 为
m
的弹性小球飞来，正好在棒的
下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆 动到最大角度


30°处．
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速< br>v
0
的值；
(2)相撞时小球受到多大的冲量?



题图

解: (1)设小球的初速度为
v
0
，棒经小球碰撞后得到的初角速度为

，而小球的速
度变为
v
，按 题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能
守恒定律，可列式：

mv
0
lI

mvl
①

1
2
mv
2
1
2
1
2
0

2
I


2
mv

②

上两式中
I
1
3
Ml
2
， 碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显着的角位移；碰撞后，棒
从竖直位置上摆到最大角度
30
o
，按机械能守恒定律可列式：

1
2
I

2

Mg
l
2
(1

cos30
)
③

由③式得

由①式

v

v
0

I

ml
④

由②式

2

v
2
0
I

2
v
m
⑤

所以

求得

(2)相碰时小球受到的冲量为

由①式求得

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

一个质量为M、半径为
R
并以角速度

转动着的飞轮(可看作匀 质圆盘)，在某一瞬
时突然有一片质量为
m
的碎片从轮的边缘上飞出，见题图．假定碎 片脱离飞轮时的
瞬时速度方向正好竖直向上．
(1)问它能升高多少?


(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
题图


解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

设碎片上升高度
h
时的速度为
v
，则有

令
v0
，可求出上升最大高度为

(2)圆盘的转动惯量
IMR
2
，碎片抛出后圆盘的转动惯量
I

MR
2mR
2
，碎片脱
离前，盘的角动量为
I

，碎片刚脱 离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不
影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即

式中


为破盘的角速度．于是

得




(角速度不变)

圆盘余下部分的角动量为

1
2
1
2

转动动能为
E
k

(
MR
2
mR
2< br>)

2

一质量为
m
、半径为R的自行车轮，假定 质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另
一质量为
m
0
的子弹以速度v
0
射入轮缘(如题图所示方向)．

(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?

(2)用
m,
m
0
和

表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比 ．

题图

解: (1)射入的过程对
O
轴的角动量守恒

m
0
v
0
sin


(m

m
0
)R
11
22
∴


mvsin

2
1
[(m

m
0
)R
2
][
00
]
E
k
2( m

m
0
)Rm
0
sin
2

 
(2)

1
E
k
0
m

m
0
2
m
0
v
0
2
弹簧、定滑轮和物体的连接如题图所示，弹簧的劲度系数为 N·m
-1
；定滑轮的转动
惯量是·m
2
，半径为 ，问当 kg质量的物体落下 时，它的速率为多大? 假设开始时
物体静止而弹簧无伸长．

题图

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒 ，以最
低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有

又

vR

(2mgh

kh
2
)R
2
故有
v


mR
2

I
习题4

选择题

（1）在一惯性系中观测，两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观测，他们
[ ]。

（A）一定同时 （B）可能同时

（C）不可能同时，但可能同地 （D）不可能同时，也不可能同地

[答案：D ]

（2）在一惯性系中观测，两个事件同地不同时，则在其他惯性系中观测，他们
[ ]。

（A）一定同地 （B）可能同地

（C）不可能同地，但可能同时 （D）不可能同地，也不可能同时

[答案：D ]

（3）宇宙飞船相对于地面以速度
v
作匀速直线飞 行，某一时刻飞船头部的宇航员向
飞船尾部发出一个光讯号，经过
t
（飞船上的钟） 时间后，被尾部的接收器收到，

则由此可知飞船的固有长度为（
c
表示 真空中光速）[ ]。

（A）
ct
（B）
vt

c

t
1


vc

2
（C） （D）
ct1

vc


2
[答案：A ]

（4）一宇航员要到离地球5光年的星球去旅行。如果宇航员希望把这路程缩 短为3
光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度
v
应为[ ]。

（A）

（B）

（C）

（D）

[答案：C ]

（5）某宇宙飞船以的速度离开地球，若 地球上测到它发出的两个信号之间的时间间
隔为10
s
。则宇航员测出的相应的时间间 隔为[ ]。

（A）6
s
（B）8
s

（C）10
s
（D）103
s

[答案：A ]

填空题

（1） 有一速度为
ｕ
的宇宙飞船沿
Ｘ
轴正方向飞行 ，飞船头尾各有一个脉冲光源在
工作，处于船尾的观察者测得船头光源发出的光脉冲的传播速度大小为_ ________；
处于船头的观察者测得船尾光源发出的光脉冲的传播速度大小为_________ _。

[答案：c，c； ]

（2）
S
'
系相 对
S
系沿
x
轴匀速运动的速度为，在
S
'
中观测， 两个事件的时间间隔

t
'

5

10

7
s
，空间间隔是
x
'
120m
，则在S
系中测得的两事件的空间间隔
x
，时间间隔
t
。

[答案：0，
3

10

7
s
]

（3）用v表示物体的速度，则当

时，
m2m
0
；

时，
E
k
E
0
。

v
c
v
c
[答案：
33
， ]

22
（4）电子的静止质量为
m
e
，将一个电子从静止加速到速率为（c为真 空中的光速），
需做功 。

[答案：
m
e
c
2
]

（5）

粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能量
的 倍。

[答案：4 ]

（6）质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时，其质量为静止质量的

倍。

[答案：4 ]

惯性系S′相对另一惯性 系
S
沿
x
轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计
时起点． 在S系中测得两事件的时空坐标分别为
x
1
=6×10
4
m,
t
1
=2×10
-4
s，以及
x
2
=12
×10
4
m,
t
2
=1×10
-4
s．已知在 S′系中测得该两事件同时发生．试问：

(1)S′系相对S系的速度是多少?

(2)
S

系中测得的两事件的空间间隔是多少?

解: 设
(S

)
相对
S
的速度为
v
，




(t
1

(1)
t
1
v
x)

2
1
c

t
1


0

由题意
t
2
则
t
2
t
1

v
(x
2
x
1)

2
c
故
v

c
2
t
2

t
1
c

1.5

10
8
m

s

1

x
2

x
1
2



(x
1
vt
1
),x
2



(x
2
vt
2
)

(2)由洛仑兹变换
x
1

x
1


5.2
10
4
m


代入数值，
x
2
长度
l
0
=1 m的米尺静止于S′系中，与
x
′
轴的夹角

'
=30°，S′系相对S系沿
x
轴
运动，在S系中观测者测得米尺与
x
轴夹角为


45

． 试求：

(1)S′系和S系的相对运动速度.

(2)S系中测得的米尺长度．

解: (1)米尺相对
S
静止，它在
x

,y

轴上的投影分别为：



L
0
cos



0.866m< br>，
L

L
x
y
L
0
sin


0.5m

米尺相对
S
沿
x
方向运 动，设速度为
v
，对
S
系中的观察者测得米尺在
x
方向收缩 ，
而
y
方向的长度不变，即

L
y
L
x< br>L

y
L
x
L

y

1< br>
L
x
v
c
2
2
故
tan




,L

把

45
ο
及
L
xy
代入

v
2
0.5
则得
1

2


0.866
c
故
v0.816c

L
y
sin45

(2)在< br>S
系中测得米尺长度为
L

0.707m

< br>4-5两个惯性系中的观察者
O
和
O

以(c表示真空中光速 )的相对速度相互接近，如果
O
测得两者的初始距离是20m，则
O

测得两者经过多少时间相遇?

解:
O
测得相遇时间为
t

O

测得的是固有时
t



题图

L
0
1


2
∴

t



8.8910
8
s
，



v

t


v1
，

0.6
，


c0.8
或者，
O

测得长度收缩，

观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系
S和
S

中，甲测得在同一地点发生的两事件
的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求：

(1)
S

相对于
S
的运动速度．

(2) 乙测得这两个事件发生的地点间的距离．


x
1

′

解: 甲测得

t4s,

x0
,乙测得

t5s
，坐标差为
x

x
2
v

x)



t
2
c
1
v
1

()
2
c
(1)∴

t


(

t

t

v
2

t4


1

2



t

5
c

t
2
43
)

c1

()< br>2

c


t

55

t

5
,
x
0


t4
解出
v

c1

(
(2)

x





x

v

t

,



∴

x



v

tc
4

3
c
9

10
8
m


x
1


0
．

负号表示
x
2
53
45
6000m 的高空大气层中产生 了一个

介子以速度
v
=飞向地球．假定该

介子在其自< br>身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10
-6
s．试分别从下面两个角度，即地球上的
观测者和

介子静止系中观测者来判断

介子能否到达地球．

解:

介子在其自身静止系中的寿命

t
0

2

10

6
s
是固有(本征)时间，对地球观 测
者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为

这段时间飞行距离为
dv

t9470m


因
d6000m
，故该

介子能到达地球．

或 在

介子静止系中，

介子是静止的．地球则以速度
v
接近 介子，在
t
0
时间内，
地球接近的距离为
d

 v

t
0

599m

d
0

6000m
经洛仑兹收缩后的值为：


，故

介子能到达地球．

d

d
0
设物体相对S′系沿
x

轴 正向以运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是，
问物体相对S系的速度是多少?

解: 根据速度合成定理，
u0.8c
,
v

x
0.8c

∴
vx

v

0.8c

0.8c
x
< br>u

0.98c

uv

0.8c
0.8c
1

2
x
1

c
2
c
飞船
A
以的速度相对地球向正东飞行，飞船
B
以的速度相对地球 向正西方向飞
行．当两飞船即将相遇时
A
飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹 ．在
B
飞船
的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?

解: 取
B
为
S
系，地球为
S

系，自西向东为
x
(
x

)轴正向，则
A
对
S

系的速度
v

x
0.8c
，
S

系对< br>S
系的速度为
u0.6c
，则
A
对
S
系(
B
船)的速度为

发射弹是从
A
的同一点发出，其时间间隔 为固有时

t

2s
，

题图

∴
B
中测得的时间间隔为：

(1)火箭
A
和
B
分别以和的速度相对地球向+
x
和-
x
方向飞行．试求由 火箭
B
测得
A
的速度．(2)若火箭
A
相对地球以的速度向 +
y
方向运动，火箭
B
的速度不变，求
A
相
对B
的速度．

解: (1)如图
a
，取地球为
S系，
B
为
S

系，则
S

相对
S
的速度
u0.6c
，火箭
A
相
对
S
的速度
v
x
0.8c
，则
A
相对
S
< br>(
B
)的速度为：

或者取
A
为
S

系，则
u0.8c
，于是
B
相对
A
的速度为：

B
相对
S
系的速度
v
x
0.6c< br>，
(2)如图
b
，取地球为
S
系，火箭
B
为
S

系，
S

系相对
S
系沿
x
方向运动，速度

u0.6c
，
A
对
S
系的速度为,
v
x
0
,
v
y
0.8c
,由洛仑兹变换式
A
相对
B
的速度为：

∴
A
相对
B
的速度大小为

速度与
x

轴的夹角


为

题图

静止在S系中的观测者测得一光子沿与
x
轴成
60 
角的方向飞行．另一观测者静止于
S′系，S′系的
x

轴与x
轴一致，并以的速度沿
x
方向运动．试问S′系中的观测者
观测到的光 子运动方向如何?

解:
S
系中光子运动速度的分量为

由速度变换公式，光子在
S

系中的速度分量为

光子运动方向与
x

轴的夹角


满足



在第二象限为


98.2
ο

在
S

系中，光子的运动速度为

2

2
v


v

x

v
y

c
正是光速不变．

(1)如果将电子由静止加速到速率为，须对它作多 少功?(2)如果将电子由速率为加
速到，又须对它作多少功?

解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得


4.12

10

16
J=
2.5710
3
eV

< /p>



E
k

E
k

(m
2
c
2

m
0
c
2
)

(m
1
c
2

m
0
c
2)

(2)

E
k
21
m
2
c
2

m
1
c
2
m
0
c
2
(
1
1

vc
2
2
2

1
1

v
c2
1
2
)
)

9.1

10

31

3
2

10
16
(
1
1

0.9
2

1
1

0.8< br>2
)


5.14

10
14
J
3.2110
5
eV




子静止 质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命

0
=2×10
-6s，若它在实
验室参考系中的平均寿命

= 7×10
-6
s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?

解: 设

子静止质量为
m
0
，相对实验室参考系的速度为
v
< br>c
，相应质量为
m
，电
子静止质量为
m
0e
，因



0
1


2
,
即
1
1


2


7



0
2
由质速关系，在实验室参考系中质量为：

m2077

207

725

m
0
e
2
1


2
故
一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?

解: 设静止质量为
m
0
，运动质量为
m
，

m

m
0

0.10

m
0
由题设
由此二式得
1
1


2

1

0.10

∴
1


2

1

1.10
在运动 方向上的长度和静长分别为
l
和
l
0
，则相对收缩量为：

34
氢原子的同位素氘(
2
1
H)和氚(
1
H) 在高温条件下发生聚变反应，产生氦(
2
He)原子核
3
和一个中子(
0
1
n)，并释放出大量能量，其反应方程为
2
1
H +
1
H
1
→
4
2
He +
0
n已 知
氘核的静止质量为原子质量单位(1原子质量单位＝×10
-27
kg)，氚核和氦 核及中子的
质量分别为，，原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量．

解: 反应前总质量为
2.01353.01555.0290
amu

反应后总质量为
4.00151.00875.0102
amu

质量亏损
m5.02905.01020.0188
amu
由质能关系得

E

mc
2
3.1210

29


310
8


2
要使电子的速率从
1.210
8
ms增加到
2.410
8
ms，必须做多少功？

解：由于电子的速率接近光速，因此经典力学的动能公式已经不适用 ，只能运用相
对论的动能表达式


Ek

mc
2

m
0
c
2
。< br>
再根据相对论中运动质量和静止质量的关系

m
0
1

v
c
2
1
2

m
1

,

m
2

m
0
1

v
c
2
2
2
。

可得出

m
0
2
v
2
1

2
c

E
k

m
0
v
1
2
1

2
c

4.7

10

14
( J)
，

由功能关系可知，这就是所需要做的功。

粒子的静止质量为
m
0
,当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少？

解：由题意有

E
k

m
0
c
2
，

再 根据相对论中的动能关系：
E
k

mc
2

m0
c
2
，则有


m2m
0
。

由动量和能量的关系，


pc(mc
2
)
2
(m
0
c
2
)
2
，

得动量为


p3m
0
c
。

太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应 。太阳每秒钟向周围空间辐射出的能量约为
510
26
Js，由于这个原因，太阳每 秒钟减少多少质量？把这个质量同太阳目前的质
量
210
30
Kg作比较， 估算太阳的寿命是多少年。

解：由质能关系

Emc
2
，

可得出太阳每秒钟减少的质量为


E5

10
26


m

2

5.610
9
(kgs)
。

82
c(3

10)
进而，可估计太阳的寿命是

2

10
30
13

1.13

10
n
（年）。

9
5.6< br>
10

3600

24

365
习题5

选择题


(1)一物体作简谐振动，振动方程为
xA
cos(

t
)
，则该物体在
t0
时< br>2
刻的动能与
tT8
（
T
为振动周期）时刻的动能之比为：

(A)1：4 （B）1：2 （C）1：1 (D) 2：1

[答案：D]

(2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作
的功为

(A)kA
2
(B) kA
2
2

大学物理课后答案
（上）
习题1

选择题

(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径
r(x,y)
的端点处，其速度大小为


dr
dr
(A) (B)

dt
dt

dxdy
d|r|
(C) (D)
()
2

()
2

dtdt
dt

[答案：D]

(2) 一质点作直线运动 ，某时刻的瞬时速度
v2ms
，瞬时加速度
a2ms
2
，则一
秒钟后质点的速度

(A)等于零 (B)等于-2ms

(C)等于2ms (D)不能确定。

[答案：D]

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2 t时间间隔中，其
平均速度大小和平均速率大小分别为

(A)
2

R2

R2

R
(B)
0,

,
ttt

(C)
0,0
(D)
2

R
,0

t
[答案：B]

填空题

(1) 一质点，以

ms
1
的匀速 率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移
的大小是 ；经过的路程是 。

[答案： 10m； 5πm]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始
时刻质点的速度 v
0
为5m·s
-1
，则当t为3s时，质点的速度v= 。

[答案： 23m·s
-1
]



(3) 轮船在水上以相对于水的速度
V
1
航行，水 流速度为
V
2
，一人相对于甲板以速度
V
3


行走。如人相对于岸静止，则
V
1
、
V
2
和
V
3
的关系是 。


[答案：
V
1
V
2
V
3

0
]

一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：

(1) 物体的大小和形状；

(2) 物体的内部结构；

(3) 所研究问题的性质。

解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此 主要由所

研究问题的性质决定。

下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？

（1）x=4t-3；（2）x=-4t +3t+6；（3）x=-2t+8t+4；（4）x=2t-4t。

给出这个匀变速直线运 动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还
是减速的。（x单位为m，t单位为s）

解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间
的 两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。

其速度和加速度表达式分别为
t=3s时的速度和加速度分别为
v
=20ms，
a
=4ms
2
。因加速度为正所以是加速的。

在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不
为零？

(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。

解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；

(2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；

(3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；

(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。

3222

｜
r
｜与

r

有无不同?
试举例说明．

drdrdvdv
和有无不同? 和有无 不同?其不同在哪里?
dtdtdtdt

解：（1）
r
是位移 的模，

r
是位矢的模的增量，即
rr
2
r
1
，

r

r
2

r
1
；

drdr
ds
是速度的模，即.

v
dt dt
dt
（2）
dr
只是速度在径向上的分量.

dtˆ
（式中
r
ˆ
叫做单位矢）∵有
rrr
，则
dr
就是速度在径向上的分量，

dt
ˆ
drdrdr
ˆ

r


r
dtdtdt
式中
∴
drdr
与
不同如题图所示.
dtdt


题图


dv
dv

dv
(3)表示加速度的模，即
a

，
是加速度
a
在切向上的分量.

dtdtdt
∵有
vv

(

表轨道节线方向单位矢），所以

式中
dv
就是加速度的切向分量.

dt
< br>
ˆ
d

ˆ
dr
(
与
的运算较 复杂，超出教材规定，故不予讨论)

dtdt

设质点的运动方程为
x
=
x
(
t
)，
y
=
y
(
t
)，在计算质点的速度和加速度时，有人先
d
2
r
dr
求出
r
＝
xy
，然后根据
v
=及
a< br>＝
2
而求得结果；又有人先计算速度和加
dt
dt
22
速度的分量，再合成求得结果，即
22


dx

dy


v< br>=



，
a
=

dt

dt


d
2
x

d
2
y



dt
2





dt
2


你认为两种方法哪一种

22
正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有


r

xi

yj
，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义
作

drd
2
r
dr
其二，可能是将
与
2
误作 速度与加速度的模。在题中已说明不是速度的模，
dt
dt
dt
d
2
r
而只是速度在径向上的分量，同样，
2
也不是加速度的模，它只是加速度在 径向
dt
2

d
2
r


d


分量中的一部分

a
径

2< br>
r


。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢
r< br>dt

dt





在径向 （即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢
r
及速度
v
的方向随时间的
变化率对速度、加速度的贡献。

一质点在
xOy
平面上运动，运动方程为

x
=3
t
+5,
y
=
1
2
t
+3
t
-4.

2
式中
t
以 s计，
x
,
y
以m计．(1 )以时间
t
为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)
求出
t
=1 s 时刻和
t
＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算
t
＝0 s
时刻到
t
＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算
t
＝4 s 时质点
的速度；(5)计算
t
＝0s 到
t
＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的
表示式，计算
t
＝4s 时质点的 加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、
平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的 矢量式)．
解：（1）
r

(3t

5)i

(t
2

3t

4)j
m



1
2


(2)将
t1
,
t2
代入上式即有

(3)∵
r
0
5i4j,r
4
17i16j







r
r
4

r
0
12i

20j

3
i
5< br>j
m

s

1

∴
v


t4

04


dr
(4)
v

3
i
(
t
3)
j
m

s

1

dt
v
vv
v
vv
则
v
4

3i

7j

m

s

1

(5)∵
v
0

3i

3j,v
4

3i

7j




dv
(6)
a

1
j
m

s

2


dt






这说 明该点只有
y
方向的加速度，且为恒量。

质点沿
x
轴运动，其加速度和位置的关系为
a
＝2+6
x
2
，
a
的单位为
m

s

2
，< br>x
的单

位为 m. 质点在
x
＝0处，速度为10m

s

1
,试求质点在任何坐标处的速度值．

解： ∵
a

dvdvdxdv

v

dtdxdtdx
分离变量：
vdvadx(26x
2
)dx

两边积分得
由题知，
x0
时，
v
0

10
,∴
c50

∴
v
2
x
3
x
25m

s

1

x
＝5
v
=0，
已知一质点作直线运动，其加速度为
a
＝4+3
t

m

s

2，开始运动时，m，
求该质点在
t
＝10s 时的速度和位置．

解：∵
a

dv

4

3t

dt
分离变量，得
dv(43t)dt

积分，得

v4tt
2
c
1

由题知，
t0
,
v
0

0
,∴
c
1
0

故
v4tt
2

又因为
v
分离变量，
dx

(4t

t
2
)dt


积分得
x2t
2
t
3
c
2

1
2
3
2
dx3
4tt
2

dt2
3
2
3
2

由题知
t0
,
x
0

5
,∴
c
2
5

故
x
2
t
2
t
3

5

所以
t10s
时

1
2
一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为

=2+3
t
3
，式中

以弧度计，
t
以
秒计，求：(1)
t
＝2 s时，质点的 切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成
45°角时，其角位移是多少?

解：


d

d


9t
2
,


18t

dtdt

(1)
t2s
时，
a


R


1

18

2
36m

s

2

(2)当加速度方向与半径成
45
ο
角时，有

即
R

2
R


亦即
(9t
2
)
2

18t

则解得
t
3

2

9
于是角位移为

质点沿半径为
R
的圆周按
s
＝
v
0
tbt
2
的规律运动，式中
s
为质点离圆周上某点的
弧长,
v
0
，
b
都是常量，求：(1)
t
时刻质点的加速度；(2)
t
为何值时，加速度在数
值上等于
b
．

解：（1）
v
ds
v
0
bt

dt
1
2

(v
0

bt)
4
则
a

a


a

b


R
2
22
n
2
加速度与半径的夹角为

(2)由题意应有

(v
0

bt)
4
4
,

(
vbt
)

0

即
b

b

0
2
R
22
∴当
t

v
0
时，
ab

b
飞轮半径为 m，自静止启动，其角加速度为
β
= rad·
s

2
，求
t
＝2s时边缘上各

点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
解：当
t2s
时，
< br>

t0.220.4

rad

s

1

则
vR
< br>0.40.40.16
m

s

1

一船以速率
v
1
＝30km·h
-1
沿直线向东行驶，另一小艇在其 前方以速率
v
2
＝40km·h
-1

沿直线向北行驶，问 在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?
解：(1)大船看小艇，则有
v21

v
2

v
1
，依题意作速度矢量图如题 图(a)




题图

2
由图可知
v
21
 v
1
2
v
2

50km

h

1

方向北偏西

arctan

v
1
3
arctan36.87

v
2< br>4
(2)小艇看大船，则有
v
12

v
1

v
2
，依题意作出速度矢量图如题图(b)，同上法，得

方向南偏东
36.87
o
.

习题2

选择题

(1) 一质点作匀速率圆周运动时，

(A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。

(B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。

(C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。

(D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。

[答案：C]

(2) 质点系的内力可以改变

(A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。

(C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。



[答案：C]

(3) 对功的概念有以下几种说法：

①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。

②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。

③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。

在上述说法中：

(A)①、②是正确的。

(B)②、③是正确的。

(C)只有②是正确的。

(D)只有③是正确的。

[答案：C]

填空题



(1) 某质点在力
F(45x)i
（SI）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m

的过程中，力
F
所做功为 。

[答案：290
J
]

(2) 质量为m的物体在水平 面上作直线运动，当速度为v时仅在摩擦力作用下开始

作匀减速运动，经过距离s后速度 减为零。则物体加速度的大小为 ，物
体与水平面间的摩擦系数为 。

v
2
[答案：
;
2s
v
2
]

2gs
(3) 在光滑的水平面内有两个物体A和B，已知m
A
=2m
B
。（a）物体A以一定的动能
E
k
与静止的物体B发生完全弹性碰撞，则 碰撞后两物体的总动能为 ；
（b）物体A以一定的动能E
k
与静止的物 体B发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体
的总动能为 。

[答案：
E
k
;
2
E
k
]

3
在下列情况下，说明质点所受合力的特点：

（1）质点作匀速直线运动；

（2）质点作匀减速直线运动；

（3）质点作匀速圆周运动；

（4）质点作匀加速圆周运动。

解：（1）所受合力为零；

（2）所受合力为大小、方向均保持不变的力，其方向与运动方向相反；

（3）所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力；

（4）所受合力为大小和方向均不断变化的力，其切向力的方向与运动方向相同，大
小恒定；法向力方向 指向圆心。

举例说明以下两种说法是不正确的：

（1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反；

（2）摩擦力总是阻碍物体运动的。

解：（1）人走路时，所受地面的摩擦力与人的运动方向相同；

（2）车作加速运动 时，放在车上的物体受到车子对它的摩擦力，该摩擦力是引起物
体相对地面运动的原因。
质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒
定律近似求解？< br>
解：质点系动量守恒的条件是质点系所受合外力为零。当系统只受有限大小的外力
作用 ，且作用时间很短时，有限大小外力的冲量可忽略，故也可用动量守恒定律近
似求解。

在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、
势能、功？

解：在经典力学中，动量、动能、势能、功与参考系的选取有关。

一细绳跨过一 定滑轮，绳的一边悬有一质量为
m
1
的物体，另一边穿在质量为
m
2
的
圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱