成人笑话短信-喝彩声

大 学 物 理 简 明 教 程 教 案
1

授课章节 第1章 质点运动学
1. 了解描述物体的运动的三个必要条件：参考系（坐标系），物理模型（质
点等），初始条件；
2. 熟悉掌握用适量描述物体运动的方法；即掌握四个物理量：位置矢量、
位移、速度、加速 度的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系中的表示
式；
3. 掌握用微积分的方法处理运动学中的两类问题；
4. 掌握质点作圆周运动的线量、角量的描述；
5. 理解相对运动的有关概念和基本计算方法。

1. 准确理解质点模型的内涵和外延，并能具体实际应用；
2. 掌握任何物理量的矢量增量的模和矢量模的增量的区别。
3. 准确理解线速度和角速度之间的矢量关系；
4. 掌握运动参考系和静止参考系之间的物理量的具体描述。

教学目的
教学重点、难点
教学内容


力学的研究对象──机械运动

第1章 质点运动学


§1.1 参考系、坐标系、物理模型

运动学是研究如何描述物体的空间位置随时间变化的关系，即如何表示一个
物体的运动轨迹，运动的快慢，运动变化的情况等。

一、运动的绝对性和相对性
我们生活的世界是一个永恒运动着的物质世界，即使是最简单的机械运动，
从物体的位置变动来看，运动是绝对的，而“静止”只有相对的意义。
但是，在描述物体的运动时，人们会发现同一个物体的运动，相对不同的参
考物体，可以得出完全不同的结论。如：在匀速运动的车厢内自由落体的质点，
在地面观察则做抛物线运动。
v





v




车厢
地


不同参考系中运动的描述不同



备注
一、力学基础
二、参考系
在描述物体的运动时，被选作参考的物体或物体系称为参考系。
在地面及地面附近运动，通常取地球为参考系；
行星、天体运动通常取太阳为参考系。
1
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三、坐标系
为了定量描述物体的运动，还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐标系。常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。
四、物理模型——质点
实 际物体都有大小和形状，一般说来，运动情况很复杂，但是，如果物体的
大小和形状在所研究的问题中不 起作用或作用很小，就可以忽略其大小和形状，
而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。
应用质点模型的条件为：
（1）当物体运动的空间范围r远大于物体自身线度l时；
（2）物体只作平动时。

§1.2 位置矢量 位移 速度 加速度
一、描述质点运动的物理量
1、位置矢量
由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢，用r表示。
在直角坐标系中为
r= xi + yj + zk
，


r
x
2
y
2
z
2
；

r的方向余弦是
x
，
r
y

cos


，
r
z

cos


。
r

cos


在平面极坐标系中

r = rr
0，


在自然坐标系中 r = r(s)。

运动方程

描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。记为
x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)
Y
v
r = r(t)，
s = s(t)
。

y

例1: 如质点作圆周运动时，有










r
x =
rcos

t
，
y =
rsin

t


消去时间t，就得轨道方程


t

x


0

x
2
y
2
r
2
。

2、位移和路程
位移
r

2
例1-1 图
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(1)定义:
rr
2
r
1
，








注意：








（1）增量的模
r
与模的增量
r
不是同一个量；
（2）位移在直角坐标系中的表示式为

rxi
+
yj
+
z
k
。
路程
s
：
t
时间内质点在空间内实际运行的路径距离位移和路程的比较与联< br>系：

a.矢量与标量,


b.r仅由始未位置决 定与轨道形状无关;
（1） 不同处


s与轨道形状及往返次数有关 ;


c.在一般情况下rs.

（2） 联系在
 t
→0时，
dr
ds
,但仍然
drdr
。

3、 速 度
平均速度
v
r
与平均速率
v
s

t
t
（1）、在一般情况下平均速度大小不等于平均速率
vv
.
（2）、
v
在直角坐标系中的表示式

v
x
i
y
j
z
k

ttt
瞬时速度
vlim
sds
rdr
与瞬时速率vlim
的关系：


t0
t
t0t
dt
dt
ds
（1）、瞬时速度大小
v
dr
dS
v
，等于瞬时速率
v
。
dt
dtdt
τ
0
，

0
为切线方向单位矢量。
vv
（2）、
v
在直角坐标系中的表示式

v
dx
i
dy
j
dz
k
= v
x
i
+
v
y
j
+
v
zk
。
dtdtdt
3
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4、加速度
平均加速度
a
v
与瞬时加速度
t
vdvd
2
r
alim
2
，
t0
Δtdtdt
速度的增量
加速度在直角坐标系中的表示
2
d
2
x
d
2
z
a
2
i
+
dy
j
+
2
k
，
dt
dt
dt
2
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
。

例2: 如图，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端h的平台上，人的
速率 v
0
不变，求小车的速度和加速度大小。
解 小车沿直线运动，以小车前进方向为 x轴正方向，以滑轮为坐标原点，小
车的坐标为x，人的坐标为s，由速度的定义，小车和人的速度大小 应为






例2图

v
车

dx
ds
,
v
人
v
0
；
dt
dt
v
车

dxdl
。

dtdt
由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化率，即
又由 图可以看出有l
2
＝s
2
+h
2
，两边对t求导得
2l
或
dlds
2s
。
dtdt
v
车

v
人
s
v
人
l
ssh
22

v
0
s
sh
22
；
同理可得小车的加速度大小为
dv
a
车

dt
22
v
0
h

s
2
h
3
22
。



4
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§1.3 曲线运动的描述
一、一般的平面曲线运动的描述
1、一般平面曲线运动
加速度的切向分量和法向分量


切向加速度与法向加速度

由上面两图可看出，
t0
时，v



0
、
v
n
n
0
，
所以有：
dv

dvd
2
s
（1） 切向加速度：
a


0

2

0
。
dtdtdt
（2） 法向加速度：

a
n

dv
n
dθdθdsdθ
vn
0
vn
0
v
2
n
0
。
dtdtdsdtds
2
v
∵


ds
∴
a
n
n
0
。
ρ
d

2、抛体运动
地面上物体以某一初速被抛出后，在竖直平面内的运动叫做抛体运动。不计阻力时，抛体的加速度就是重力加速度，所以这是一种匀加速度运动。用直角坐
标系最方便。

a
x

dv
x
0,

a
y
g
。
dt
dt
积分得
dv
y

v
x
v
o
cos
< br>

，

vvsin

-gt
o

y

xv
o
cos

t


1
2
。
yv
o
sin

t-gt

2


二、圆 周 运 动
圆周运动的线量描述
（1）自然坐标系及其速度、加速度表示式
5
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位矢
rr(s)
，位移
drds

0
；
速度
v
ds

0
v

0
；
dt
dvv
2
τ
0
n
0
。 加速度
aa

a
n

dt
ρ
(2) 匀速圆周运动：
a

0
，
a
n

v< br>
常数。
R

v













0
2


Rn
0





匀速圆周运动
圆周运动的角量描述
2

（1）角位置，角位移； 角速度


d

；
dt
d

d
2

（2）角加速度


2
。
dtdt
如果是匀角加速圆周运动，则有




0


t
，
1




0


t

t
2
，
2
2


2

0
2

(



0< br>)
。

2、线量与角量的关系

dsRd

；
v
dsd

RR

，
dtdt
v
2
dvd

R

2
。
a

RR

；
a
n

R
dtdt

§1.4 运动学的两类问题

（1）已知运动方程，运用求导的方法求速度和加速度。
（2）已知加速度和初始条件，用积分的方法求速度和运动方程。
例3：一质点沿x轴运动， 其加速度a=-kv，式中k为正常数，设t=0时，x=0，
v=0；① 求v，x作为t的函数的表示式；② 求v作为x的函数的表示式。
6
2
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解：① 因为
dv
kv
2
，则有
dv
kdt
；

2

dt
v
积分得

1
ktc
。
v
代入x=0，v=
v< br>0
后，有c=-1v
0
。从而，可得
11
kt
，
vv
0
也就是，
v
v
0
；
1v
0
kt
再根据
v
dx
，则
dxvdt
，代入初始条件，进行积分
dt< br>x

dx

0
v
0
dt
，
1v
0
kt
0
t
可得
x
② 根据
1
ln(v
0
kt1)
。
k
dvdvdxdv
vkv
2
，可得
dv
kdx
，
dtdxdtdx
v
dv


kdx
，

v
0v
0
vx
代入初始条件，进行积分
可得
ln
v
kx

v
0
kx

vv
0
e


例4：一质点沿x轴运动，其中加速度与 位置的关系式为
a2bx
2
，设质点
在x=0处，v=
10m s
，试求质点在任何坐标处的速度值。
解 ∵
a
-1
dvdvdxdv
，由
a2bx
2
得
v
dtdxdtdx
2
dv
v2bx
2
，
vdv(2bx)dx
。
dx
积分得
1
2
2
v2xbx
3
c
，
23
∵
x0,v10ms
，

∴
c50ms
，
v(4x
4
bx
3
100 )
2
(ms)

3

例5：一质点其速度表示式为v=1+ s，则在任一位置处其切向加速度
a

为多
7
2
1
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少。
解：
a


dvds
2s2vs2 s(1s
2
)

dtdt
*
§1.5 相对运动

参照系彼此之间有相对运动
一、绝对位矢、牵连位矢、相对位矢
绝对位矢r — 质点相对静止参照系的位矢
牵连位矢
r
0
— 运动参照系相对静止参照系的位矢
相对位矢
r

— 质点相对运动参照系的位矢
r =
r
0
+
r

。



二、相对速度，牵连速度，相对速度


，
v
绝
v
牵
v
相
-1
例6：一人骑自行 车向东行。在速度为
10ms
时，觉得有南风；速度增至
15ms
-1< br>时，觉得有东南风。求：风的速度。
解 画出速度矢量图如下：

v

人地 = 15



v人地 = 10


45


v 风人= 5


v

风人

v
风地


 =
27



例1-5 图

风的速度不变，

v
风人
v
人地
v
风地
，


v

风人
v
人地
v
风地
。
由图中不难得出：

v
风地
10511.2ms
。
22-1
8
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风向与正东方 向夹角

arctg
5
27

、即东偏北
27

。
10

复习与思考



drdvdv
dr
1. ｜Δ
r
｜ 与Δr有无不同?｜｜和有无不同?｜｜和有无不同?
dtdtdt
dt
其不同在哪里 ?试举例说明。
2. 设质点的运动方程为x＝x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度 时，
d
2
r
dr
有人先求出r＝
xy
，然后根据 v＝
，及a＝
2
而求得结果；又有人先
dt
dt
22
计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

dx

dy

v




及
a

dt

dt

22

d
2
x

d
2
y



dt
2
< br>



dt
2




22
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
3. 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
4. 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x=-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运 动是加速的
还是减速的。（x单位为m，t单位为s）
5. 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为
零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运
动。
6. 一船以速率
v
1
＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v
2
＝
-1
40km·h沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少 ?在艇上看船的速度又为
多少?
1
9
-1
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1. 了解描述物体的运动的三个必要条件：参考系（坐标系），物理模型（质
点等），初始条件；
2. 熟悉掌握用适量描述物体运动的方法；即掌握四个物理量：位置矢量、
位移、速度、加速 度的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系中的表示
式；
3. 掌握用微积分的方法处理运动学中的两类问题；
4. 掌握质点作圆周运动的线量、角量的描述；
5. 理解相对运动的有关概念和基本计算方法。

1. 准确理解质点模型的内涵和外延，并能具体实际应用；
2. 掌握任何物理量的矢量增量的模和矢量模的增量的区别。
3. 准确理解线速度和角速度之间的矢量关系；
4. 掌握运动参考系和静止参考系之间的物理量的具体描述。

教学目的
教学重点、难点
教学内容


力学的研究对象──机械运动

第1章 质点运动学


§1.1 参考系、坐标系、物理模型

运动学是研究如何描述物体的空间位置随时间变化的关系，即如何表示一个
物体的运动轨迹，运动的快慢，运动变化的情况等。

一、运动的绝对性和相对性
我们生活的世界是一个永恒运动着的物质世界，即使是最简单的机械运动，
从物体的位置变动来看，运动是绝对的，而“静止”只有相对的意义。
但是，在描述物体的运动时，人们会发现同一个物体的运动，相对不同的参
考物体，可以得出完全不同的结论。如：在匀速运动的车厢内自由落体的质点，
在地面观察则做抛物线运动。
v





v




车厢
地


不同参考系中运动的描述不同



备注
一、力学基础
二、参考系
在描述物体的运动时，被选作参考的物体或物体系称为参考系。
在地面及地面附近运动，通常取地球为参考系；
行星、天体运动通常取太阳为参考系。
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三、坐标系
为了定量描述物体的运动，还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐标系。常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。
四、物理模型——质点
实 际物体都有大小和形状，一般说来，运动情况很复杂，但是，如果物体的
大小和形状在所研究的问题中不 起作用或作用很小，就可以忽略其大小和形状，
而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。
应用质点模型的条件为：
（1）当物体运动的空间范围r远大于物体自身线度l时；
（2）物体只作平动时。

§1.2 位置矢量 位移 速度 加速度
一、描述质点运动的物理量
1、位置矢量
由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢，用r表示。
在直角坐标系中为
r= xi + yj + zk
，


r
x
2
y
2
z
2
；

r的方向余弦是
x
，
r
y

cos


，
r
z

cos


。
r

cos


在平面极坐标系中

r = rr
0，


在自然坐标系中 r = r(s)。

运动方程

描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。记为
x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)
Y
v
r = r(t)，
s = s(t)
。

y

例1: 如质点作圆周运动时，有










r
x =
rcos

t
，
y =
rsin

t


消去时间t，就得轨道方程


t

x


0

x
2
y
2
r
2
。

2、位移和路程
位移
r

2
例1-1 图
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(1)定义:
rr
2
r
1
，








注意：








（1）增量的模
r
与模的增量
r
不是同一个量；
（2）位移在直角坐标系中的表示式为

rxi
+
yj
+
z
k
。
路程
s
：
t
时间内质点在空间内实际运行的路径距离位移和路程的比较与联< br>系：

a.矢量与标量,


b.r仅由始未位置决 定与轨道形状无关;
（1） 不同处


s与轨道形状及往返次数有关 ;


c.在一般情况下rs.

（2） 联系在
 t
→0时，
dr
ds
,但仍然
drdr
。

3、 速 度
平均速度
v
r
与平均速率
v
s

t
t
（1）、在一般情况下平均速度大小不等于平均速率
vv
.
（2）、
v
在直角坐标系中的表示式

v
x
i
y
j
z
k

ttt
瞬时速度
vlim
sds
rdr
与瞬时速率vlim
的关系：


t0
t
t0t
dt
dt
ds
（1）、瞬时速度大小
v
dr
dS
v
，等于瞬时速率
v
。
dt
dtdt
τ
0
，

0
为切线方向单位矢量。
vv
（2）、
v
在直角坐标系中的表示式

v
dx
i
dy
j
dz
k
= v
x
i
+
v
y
j
+
v
zk
。
dtdtdt
3
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4、加速度
平均加速度
a
v
与瞬时加速度
t
vdvd
2
r
alim
2
，
t0
Δtdtdt
速度的增量
加速度在直角坐标系中的表示
2
d
2
x
d
2
z
a
2
i
+
dy
j
+
2
k
，
dt
dt
dt
2
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
。

例2: 如图，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端h的平台上，人的
速率 v
0
不变，求小车的速度和加速度大小。
解 小车沿直线运动，以小车前进方向为 x轴正方向，以滑轮为坐标原点，小
车的坐标为x，人的坐标为s，由速度的定义，小车和人的速度大小 应为






例2图

v
车

dx
ds
,
v
人
v
0
；
dt
dt
v
车

dxdl
。

dtdt
由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化率，即
又由 图可以看出有l
2
＝s
2
+h
2
，两边对t求导得
2l
或
dlds
2s
。
dtdt
v
车

v
人
s
v
人
l
ssh
22

v
0
s
sh
22
；
同理可得小车的加速度大小为
dv
a
车

dt
22
v
0
h

s
2
h
3
22
。



4
大学物理

大 学 物 理 简 明 教 程 教 案
§1.3 曲线运动的描述
一、一般的平面曲线运动的描述
1、一般平面曲线运动
加速度的切向分量和法向分量


切向加速度与法向加速度

由上面两图可看出，
t0
时，v



0
、
v
n
n
0
，
所以有：
dv

dvd
2
s
（1） 切向加速度：
a


0

2

0
。
dtdtdt
（2） 法向加速度：

a
n

dv
n
dθdθdsdθ
vn
0
vn
0
v
2
n
0
。
dtdtdsdtds
2
v
∵


ds
∴
a
n
n
0
。
ρ
d

2、抛体运动
地面上物体以某一初速被抛出后，在竖直平面内的运动叫做抛体运动。不计阻力时，抛体的加速度就是重力加速度，所以这是一种匀加速度运动。用直角坐
标系最方便。

a
x

dv
x
0,

a
y
g
。
dt
dt
积分得
dv
y

v
x
v
o
cos
< br>

，

vvsin

-gt
o

y

xv
o
cos

t


1
2
。
yv
o
sin

t-gt

2


二、圆 周 运 动
圆周运动的线量描述
（1）自然坐标系及其速度、加速度表示式
5
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大 学 物 理 简 明 教 程 教 案
位矢
rr(s)
，位移
drds

0
；
速度
v
ds

0
v

0
；
dt
dvv
2
τ
0
n
0
。 加速度
aa

a
n

dt
ρ
(2) 匀速圆周运动：
a

0
，
a
n

v< br>
常数。
R

v













0
2


Rn
0





匀速圆周运动
圆周运动的角量描述
2

（1）角位置，角位移； 角速度


d

；
dt
d

d
2

（2）角加速度


2
。
dtdt
如果是匀角加速圆周运动，则有




0


t
，
1




0


t

t
2
，
2
2


2

0
2

(



0< br>)
。

2、线量与角量的关系

dsRd

；
v
dsd

RR

，
dtdt
v
2
dvd

R

2
。
a

RR

；
a
n

R
dtdt

§1.4 运动学的两类问题

（1）已知运动方程，运用求导的方法求速度和加速度。
（2）已知加速度和初始条件，用积分的方法求速度和运动方程。
例3：一质点沿x轴运动， 其加速度a=-kv，式中k为正常数，设t=0时，x=0，
v=0；① 求v，x作为t的函数的表示式；② 求v作为x的函数的表示式。
6
2
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大 学 物 理 简 明 教 程 教 案
解：① 因为
dv
kv
2
，则有
dv
kdt
；

2

dt
v
积分得

1
ktc
。
v
代入x=0，v=
v< br>0
后，有c=-1v
0
。从而，可得
11
kt
，
vv
0
也就是，
v
v
0
；
1v
0
kt
再根据
v
dx
，则
dxvdt
，代入初始条件，进行积分
dt< br>x

dx

0
v
0
dt
，
1v
0
kt
0
t
可得
x
② 根据
1
ln(v
0
kt1)
。
k
dvdvdxdv
vkv
2
，可得
dv
kdx
，
dtdxdtdx
v
dv


kdx
，

v
0v
0
vx
代入初始条件，进行积分
可得
ln
v
kx

v
0
kx

vv
0
e


例4：一质点沿x轴运动，其中加速度与 位置的关系式为
a2bx
2
，设质点
在x=0处，v=
10m s
，试求质点在任何坐标处的速度值。
解 ∵
a
-1
dvdvdxdv
，由
a2bx
2
得
v
dtdxdtdx
2
dv
v2bx
2
，
vdv(2bx)dx
。
dx
积分得
1
2
2
v2xbx
3
c
，
23
∵
x0,v10ms
，

∴
c50ms
，
v(4x
4
bx
3
100 )
2
(ms)

3

例5：一质点其速度表示式为v=1+ s，则在任一位置处其切向加速度
a

为多
7
2
1
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大 学 物 理 简 明 教 程 教 案
少。
解：
a


dvds
2s2vs2 s(1s
2
)

dtdt
*
§1.5 相对运动

参照系彼此之间有相对运动
一、绝对位矢、牵连位矢、相对位矢
绝对位矢r — 质点相对静止参照系的位矢
牵连位矢
r
0
— 运动参照系相对静止参照系的位矢
相对位矢
r

— 质点相对运动参照系的位矢
r =
r
0
+
r

。



二、相对速度，牵连速度，相对速度


，
v
绝
v
牵
v
相
-1
例6：一人骑自行 车向东行。在速度为
10ms
时，觉得有南风；速度增至
15ms
-1< br>时，觉得有东南风。求：风的速度。
解 画出速度矢量图如下：

v

人地 = 15



v人地 = 10


45


v 风人= 5


v

风人

v
风地


 =
27



例1-5 图

风的速度不变，

v
风人
v
人地
v
风地
，


v

风人
v
人地
v
风地
。
由图中不难得出：

v
风地
10511.2ms
。
22-1
8
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大 学 物 理 简 明 教 程 教 案
风向与正东方 向夹角

arctg
5
27

、即东偏北
27

。
10

复习与思考



drdvdv
dr
1. ｜Δ
r
｜ 与Δr有无不同?｜｜和有无不同?｜｜和有无不同?
dtdtdt
dt
其不同在哪里 ?试举例说明。
2. 设质点的运动方程为x＝x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度 时，
d
2
r
dr
有人先求出r＝
xy
，然后根据 v＝
，及a＝
2
而求得结果；又有人先
dt
dt
22
计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

dx

dy

v




及
a

dt

dt

22

d
2
x

d
2
y



dt
2
< br>



dt
2




22
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
3. 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
4. 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？
（1）x=4t-3；（2）x=-4t
3
+3t
2
+6；（3）x=-2t
2
+8t+4；（4）x=2t
2
-4t。
给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运 动是加速的
还是减速的。（x单位为m，t单位为s）
5. 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为
零哪些不为零？
(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运
动。
6. 一船以速率
v
1
＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v
2
＝
-1
40km·h沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少 ?在艇上看船的速度又为
多少?
1
9
-1
大学物理