英语4级准考证-广东药学院录取分数线

第一章 质点运动学
1–18 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为
x4.5t
2
2t
3
（SI）。试求：（1）第
2s内的平均速 度；（2）第2s末的瞬时速度；（3）第2s内的路程。
解：（1）将t=1s代入
x4 .5t
2
2t
3
得第1s末的位置为
x
1
4.522.5m

将t=2s代入
x4.5 t
2
2t
3
得第2s末的位置为
x
2
4.5 2
2
22
3
2.0m

则第2s内质点的位移为
xx
2
x
1
2.0m-2.5m0.5m

第2s内的平均速度
v

x0.5
-0.5ms

t1
式中负号表示平均速的方向沿x轴负方向。
（2）质点在任意时刻的速度为
v
将
t2s
代入上式得第2s末的瞬时速度为
dx
9t6t
2

dt
v9262
2
6ms

式中负号表示瞬时速度的方向沿x轴负方向。
（3）由
v

dx< br>由此计算得第1s末到1.5s
9t6t
2
0
得质点停止运动的 时刻为
t1.5s
。
dt
s
1
4.51.5
2
21.5
3
2.50.875m

末的时间内质点走过的路程为
第1.5s末到第2s末的时间内质点走过的路程为
s
2
4.51.5
2
21.5
3
2.01.3 75m

则第2s内的质点走过的路程为
ss
1
s
2
0.8751.3752.25m

1–20 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，
大小 与速度平方成正比，即
驶x距离时的速度为
d
v
K
v
2
，式中K为常量。试证明电艇在关闭发动机后又行
dt
v

v< br>0
e
Kx

其中
v
0
是发动机关闭时的速度。
证明：由
d
v
K
v
2
得
dt
d
v
dxd
v

v
K
v
2

dxdtdx
即

1

d
v
Kdx

v
上式积分为

得
v
d
v
x
Kdx

v
0
v
0

v

v
0
e
 Kx

1–21 一质点沿圆周运动，其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设

为质点
在圆周上任意两点速度
v
与
v
之间的夹角。试证 ：
vv
e

。
12
21
d
v
v
2
证明：因
a
n

，
a
t
< br>，所以
dt
R
v
2
d
v
d
v
v
d


ds
Rdt
即
d
s
dv


R
v
对上式积分

0
R

v

得
s
ds
v
2
d
v
v

s
ln
R
v
2

v
1


所以

s
v
ln
2

R
v
1
v
2
v
1
e


1–22 长为l的细棒，在竖直平面内沿墙角下滑，上端A下滑速度为匀速
v
，如图 1-4
所示。当下端B离墙角距离为x（x解：建立如图所示的坐标系。设A端离地高度为y。∆AOB为直角三角形，有
x
2
y
2
l
2

方程两边对t求导得
y
y
A
2x
所以B端水平速度为
dxdy
2y0

dtdt
l
dxydyy
l
2
x
2
v
v

dtxdt
x
x
B端水平方向加速度为
2
d
2< br>xxdydtydxdt
l

v

v
2

22
dtx
x
3
1–23 质点作半径为
R3m
的圆周运动，切向加速度为

2
O
图1-4
B
x
x

（1）
t1s< br>时的速度与加速度；（2）第2s
a
t
3ms
2
，在t0
时质点的速度为零。试求：
内质点所通过的路程。
解：（1）按定义
a
t

d
v
，得
dva
t
dt
，两端积分，并利用初始条件，可得
dt

0
当
t1s
时，质点的速度为
v
d
v


0
t
a
t
dta
t

0
dt

t
va
t
t3t

v3ms

方向沿圆周的切线方向。
任意时刻质点的法线加速度的大小为
v
2
9t
2
a
n
3t
2
m s
2

RR
任意时刻质点加速度的大小为
2
a
2
99t
4
ms
2

aa
tn
任意时刻加速度的方向，可由其与速度方向的夹角θ给出。且有
a
n
3t
2
2
tan

t

a
t
3
当
t1s
时有
a991
4
32ms
2
，
tan

1

注意到
a
t
0
。所以得

45

（2）按定义
v
ds
，得
dsvdt
，两端积分可得
dt

ds

vdt

3tdt

故得经t时间后质点沿圆周走过的路程为
3
st
2
C

2
其中C为积分常数。则第2s内质点走过的路程为：
33
ss(2) s(1)(2
2
C)(1
2
C)4.5m

22
1–24 一飞机相对于空气以恒定速率
v
沿正方形轨道飞行，在无风天 气其运动周期为T。
若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为
Vkv(k1)
。求飞机仍沿原正方形
（对地）轨道飞行时周期要增加多少？
解：依题意，设飞机沿 如图1-5所示的ABCD矩形路径运
动，设矩形每边长为l，如无风时，依题意有
D
V
v
v

3
A
图1-5
V
v
v
V
B
V
C
T
4l
（1）
v
当有风时，设风的速度如图1-5所示，则飞机沿AB运动

时的速度为
vVvkv
，飞机从A飞到B所花时间为
t
1

l
（2）
v

kv
飞机沿CD运动时的速度为
vVvkv
，飞机从C 飞到D所花时间为
t
2

l
（3）
v

kv
飞机沿BC运动和沿DA运动所花的时间是相同的，为了使 飞机沿矩形线运动，飞机相
对于地的飞行速度方向应与运动路径成一夹角，使得飞机速度时的速度
v
在水平方向的分量
等于
kv
，故飞机沿BC运动和沿DA运动的速度大 小为
v
2
k
2
v
2
，飞机在BC和DA上
所花的总时间为
t
3

2l
v
2

k
2
v
2
（4）
综上，飞机在有风沿此矩形路径运动所花的总时间，即周期为
T

t
1
t
2
t
3

利用（1）式，（5）式变 为
ll2l

（5）
222
v
k
vv
k
v
v
k
v
2T(11k
2
)T(4k
2
)


22
4(1k)4(1k)
T


飞机在有风时的周期与无风时的周 期相比，周期增加值为
T(4k
2
)3k
2
T

TTT

T
2
4
4(1k)



4

第一章 质点运动学
1–18 有一质点 沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为
x4.5t
2
2t
3
（SI ）。试求：（1）第
2s内的平均速度；（2）第2s末的瞬时速度；（3）第2s内的路程。
解：（1）将t=1s代入
x4.5t
2
2t
3
得第1s末的 位置为
x
1
4.522.5m

将t=2s代入
x 4.5t
2
2t
3
得第2s末的位置为
x
2
4.52
2
22
3
2.0m

则第2s内质点的位移为
xx
2
x
1
2.0m-2.5m0.5m

第2s内的平均速度
v

x0.5
-0.5ms

t1
式中负号表示平均速的方向沿x轴负方向。
（2）质点在任意时刻的速度为
v
将
t2s
代入上式得第2s末的瞬时速度为
dx
9t6t
2

dt
v9262
2
6ms

式中负号表示瞬时速度的方向沿x轴负方向。
（3）由
v

dx< br>由此计算得第1s末到1.5s
9t6t
2
0
得质点停止运动的 时刻为
t1.5s
。
dt
s
1
4.51.5
2
21.5
3
2.50.875m

末的时间内质点走过的路程为
第1.5s末到第2s末的时间内质点走过的路程为
s
2
4.51.5
2
21.5
3
2.01.3 75m

则第2s内的质点走过的路程为
ss
1
s
2
0.8751.3752.25m

1–20 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，
大小 与速度平方成正比，即
驶x距离时的速度为
d
v
K
v
2
，式中K为常量。试证明电艇在关闭发动机后又行
dt
v

v< br>0
e
Kx

其中
v
0
是发动机关闭时的速度。
证明：由
d
v
K
v
2
得
dt
d
v
dxd
v

v
K
v
2

dxdtdx
即

1

d
v
Kdx

v
上式积分为

得
v
d
v
x
Kdx

v
0
v
0

v

v
0
e
 Kx

1–21 一质点沿圆周运动，其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设

为质点
在圆周上任意两点速度
v
与
v
之间的夹角。试证 ：
vv
e

。
12
21
d
v
v
2
证明：因
a
n

，
a
t
< br>，所以
dt
R
v
2
d
v
d
v
v
d


ds
Rdt
即
d
s
dv


R
v
对上式积分

0
R

v

得
s
ds
v
2
d
v
v

s
ln
R
v
2

v
1


所以

s
v
ln
2

R
v
1
v
2
v
1
e


1–22 长为l的细棒，在竖直平面内沿墙角下滑，上端A下滑速度为匀速
v
，如图 1-4
所示。当下端B离墙角距离为x（x解：建立如图所示的坐标系。设A端离地高度为y。∆AOB为直角三角形，有
x
2
y
2
l
2

方程两边对t求导得
y
y
A
2x
所以B端水平速度为
dxdy
2y0

dtdt
l
dxydyy
l
2
x
2
v
v

dtxdt
x
x
B端水平方向加速度为
2
d
2< br>xxdydtydxdt
l

v

v
2

22
dtx
x
3
1–23 质点作半径为
R3m
的圆周运动，切向加速度为

2
O
图1-4
B
x
x

（1）
t1s< br>时的速度与加速度；（2）第2s
a
t
3ms
2
，在t0
时质点的速度为零。试求：
内质点所通过的路程。
解：（1）按定义
a
t

d
v
，得
dva
t
dt
，两端积分，并利用初始条件，可得
dt

0
当
t1s
时，质点的速度为
v
d
v


0
t
a
t
dta
t

0
dt

t
va
t
t3t

v3ms

方向沿圆周的切线方向。
任意时刻质点的法线加速度的大小为
v
2
9t
2
a
n
3t
2
m s
2

RR
任意时刻质点加速度的大小为
2
a
2
99t
4
ms
2

aa
tn
任意时刻加速度的方向，可由其与速度方向的夹角θ给出。且有
a
n
3t
2
2
tan

t

a
t
3
当
t1s
时有
a991
4
32ms
2
，
tan

1

注意到
a
t
0
。所以得

45

（2）按定义
v
ds
，得
dsvdt
，两端积分可得
dt

ds

vdt

3tdt

故得经t时间后质点沿圆周走过的路程为
3
st
2
C

2
其中C为积分常数。则第2s内质点走过的路程为：
33
ss(2) s(1)(2
2
C)(1
2
C)4.5m

22
1–24 一飞机相对于空气以恒定速率
v
沿正方形轨道飞行，在无风天 气其运动周期为T。
若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为
Vkv(k1)
。求飞机仍沿原正方形
（对地）轨道飞行时周期要增加多少？
解：依题意，设飞机沿 如图1-5所示的ABCD矩形路径运
动，设矩形每边长为l，如无风时，依题意有
D
V
v
v

3
A
图1-5
V
v
v
V
B
V
C
T
4l
（1）
v
当有风时，设风的速度如图1-5所示，则飞机沿AB运动

时的速度为
vVvkv
，飞机从A飞到B所花时间为
t
1

l
（2）
v

kv
飞机沿CD运动时的速度为
vVvkv
，飞机从C 飞到D所花时间为
t
2

l
（3）
v

kv
飞机沿BC运动和沿DA运动所花的时间是相同的，为了使 飞机沿矩形线运动，飞机相
对于地的飞行速度方向应与运动路径成一夹角，使得飞机速度时的速度
v
在水平方向的分量
等于
kv
，故飞机沿BC运动和沿DA运动的速度大 小为
v
2
k
2
v
2
，飞机在BC和DA上
所花的总时间为
t
3

2l
v
2

k
2
v
2
（4）
综上，飞机在有风沿此矩形路径运动所花的总时间，即周期为
T

t
1
t
2
t
3

利用（1）式，（5）式变 为
ll2l

（5）
222
v
k
vv
k
v
v
k
v
2T(11k
2
)T(4k
2
)


22
4(1k)4(1k)
T


飞机在有风时的周期与无风时的周 期相比，周期增加值为
T(4k
2
)3k
2
T

TTT

T
2
4
4(1k)



4