石家庄幼儿师范高等专科学校-技师技术总结

第一章 质点运动学
一、选择题
1、某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t
3
+ 6 (SI)，则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向．
(B) 匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向．
(C) 变加速直线运动，加速度沿x轴正方向．
(D) 变加速直线运动，加速度沿x轴负方向． ［ D ］ 2、一质点沿x轴作直线运动，其vt曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，
则t=4 .5 s时，质点在x轴上的位置为


(A) 5m． (B) 2m．
v

(ms)

(C) 2 m． (D) 0．
2
(E) 5 m. ［ B ］

1
2.5
4.5
t(s)

O
1
2
3 4

1


3、图中p是一圆的竖直直径pc的上端点，一质点从 p开始分别沿不同的弦无摩擦下滑时，
到达各弦的下端所用的时间相比较是
(A) 到a用的时间最短．
(B) 到b用的时间最短．
(C) 到c用的时间最短．
(D) 所用时间都一样． ［ D ］



p

a

b

c


4、几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上．若使一物体（视为< br>质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
(A) 15°． (B) 30°．
(C) 45°． (D) 60°． ［ C ］
5、一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v
2 ms，瞬时加速度
a2ms
，则一秒钟后
质点的速度
(A) 等于零． (B) 等于2 ms．
(C) 等于2 ms． (D) 不能确定． ［ D ］
6、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船 向岸边运
动．设该人以匀速率
v
0
收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动 是
(A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．
(C) 变加速运动． (D) 变减速运动．


(E) 匀速直线运动． ［ C ］




2

v
0

7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
ratibtj
（其中a、b为常
量）, 则该质点作

2

2


(A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动．
(C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动． ［ B ］

8、
一运动质点在某瞬时位于矢径
r

x, y

的端点处, 其速度大小为



drdr
(A) (B)
dtdt

22
dr

dx

dy

(C) (D)




［ D ］

dt

dt

dt

9、质点沿半 径为R的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈．在2T时间间隔中，其平均速度
大小与平均速率大小分别为
(A) 2RT , 2RT． (B) 0 , 2RT
(C) 0 , 0． (D) 2RT , 0. ［ B ］

10、以下五种运动形式中，
a
保持不变的运动是
(A) 单摆的运动． (B) 匀速率圆周运动．
(C) 行星的椭圆轨道运动． (D) 抛体运动．
(E) 圆锥摆运动． ［ D ］
11、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：
(A) 切向加速度必不为零．
(B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）．
(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零．
(D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零．

(E) 若物体的加速度
a
为恒矢量，它一定作匀变速率运动． ［ B ］



12、质点作曲线运动，
r
表 示位置矢量，
v
表示速度，
a
表示加速度，S表示路程，a表示
切向 加速度，下列表达式中，
(1)
dvd ta
， (2)
drdtv
，
(3)
dSd tv
， (4)
dvdta
t
．
(A) 只有(1)、(4)是对的．
(B) 只有(2)、(4)是对的．
(C) 只有(2)是对的．
(D) 只有(3)是对的． ［ D ］
2
13、 某物体的运动规律为
dvdtkvt
，式中的k为大于零的常量．当
t0
时，初速
为v
0
，则速度v
与时间t的函数关系是

1
2
1
ktv
0
, (B)
vkt
2
v
0
,
22
1kt
2
11kt
2
1
(C)

［ C ］

, (D)

v
2
v
0
v
2
v
0

14、 一物体从某一确定高度以
v
0
的速度水平抛出， 已知它落地时的速度为
v
t
，那么它
(A)
v

运动的时间是
(A)
v
t
v
0
vv
0
． (B)
t
．
g2g
2
t
2
v
0
g

v
(C)

12

v
． (D)
2
t
2
v
0
2g

12
.
[ C ]

15、 一个质点在做匀速率圆周运动时
(A) 切向加速度改变，法向加速度也改变．
(B) 切向加速度不变，法向加速度改变．

(C) 切向加速度不变，法向加速度也不变．
(D) 切向加速度改变，法向加速度不变． ［ B ］
16、质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为(v表示任一时刻质点的速率)
dv

2
(A) ． (B)．
dt
R


d
v

2

v
4


dvv


(C) ． (D)




2



d tR



dt


R


2
12
． ［ D ］
1 7、在高台上分别沿45°仰角方向和水平方向，以同样速率投出两颗小石子，忽略空气阻
力，则它们落 地时速度
(A) 大小不同，方向不同． (B) 大小相同，方向不同．
(C) 大小相同，方向相同． (D) 大小不同，方向相同． ［ B ］
18、一条河在某一段直线岸边同侧有A、B两个码头，相距1 km．甲、乙两人需要从码头A
到码头B，再立即由B返回．甲划船前去，船相对河水的速度为4 kmh；而乙沿岸步行，步
行速度也为4 kmh．如河水流速为 2 kmh, 方向从A到B，则
(A) 甲比乙晚10分钟回到A． (B) 甲和乙同时回到A．
(C) 甲比乙早10分钟回到A． (D) 甲比乙早2分钟回到A．
［ A ］
19、下列说法哪一条正确？
(A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变．
(B) 平均速率等于平均速度的大小．
(C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成(v
1
、v
2
分别为初、末速率)

v

v
1
v
2

2
．
(D) 运动物体速率不变时，速度可以变化． ［ D ］
20、下列说法中，哪一个是正确的？
(A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 ms，说明它在此后1 s内一定要经过2 m的路程．
(B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大．
(C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零．
(D) 物体加速度越大，则速度越大． ［ C ］

二、填空题
1、两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同 时出发，并且由
出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：x
A
= 4 t＋t
2
，x
B
= 2 t
2
＋2 t
3
(SI)。它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________。
答案：A

2、两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时 出发，并且由
出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：x
A
= 4 t＋t
2
，x
B
= 2 t
2
＋2 t
3
(SI)。出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是
ｔ
=______ ______________ s。
答案：1.19

3、两辆车A和B，在笔 直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由
出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：x
A
= 4 t＋t
2
，x
B
= 2 t
2
＋2 t
3
(SI)，出发后，B车相对A 车速度为零的时刻是
ｔ
=__________________ s．
答案：0.67

4、一质点沿x方向运动，其加速度随时间变化关系为
a = 3+2 t (SI) ,

如果初始时质点的速度v

0
为5 ms，则当
ｔ
为3s时，质点的速度 v = ms。
答案：23

5、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t
2
(SI)，则在t由0至4s的时间间隔内，
质点的位移大小为 ___________ m．
答案：8

6、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t
2
(SI)，则在t 由0至4s的时间间隔内，
在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为_______ m．
答案： 10

7、
一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如图所示．
则该质点在第 秒瞬时速度为零．

答案：
3


5
x (m)
t (s)
O
1 2 3 4 5 6

8、
一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如图所示．
则该质点在第 秒间速度与加速度同方向．

答案：
3~6


5
x (m)
t (s)
O
1 2 3 4 5 6

13、一辆作匀加速直线运动的汽车，在6 s内通过相隔60 m远的两点，已知汽车经过
第二点时的速率为15 ms，则汽车通过第一点时的速率v

1
=___________ms。

答案：5.00



14、一辆作匀加速直线运动的汽车，在6 s内通过相隔60 m远的两点，已知汽车经过
第二点时的速率为15 ms，则汽车的加速度a = ms
2
．

答案： 1.67



20、在v t图中所示的三条直线都表示同一类型的运动：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三条直线表示的
是 ______________运动。

v
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O
t

答案：匀加速直线

21、在v t图中所示的三条直线都表示同一类型的运动， __________直线所表示的运
动的加速度最大．
v
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O
t

答案：Ⅰ

22、一质点沿x轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t+6t
2
t
3
(SI)

则质点在t =0时刻的速度
v
0

__________ ms。
答案：5

23、一质点沿x轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t+6t
2
t
3
(SI)
则加速度为零时，该质点的速度
v
___________ ms．
答案：17

24、一质点作直线运动，其
vt
曲线如图 所示，则BC段时间内的加速度为
_____ ms．
答案：
10
< br>v
(ms)
30
20
10
2
C
B
A
D
1
2
3
4
5
0
t (s)

2

25、一质点作直线运动，其
vt
曲线如图所示，则CD段时 间内的加速度为
_____ ms．
v
(ms)
30
20
10
C
B
A
D
1
2
3
4
5
0
t (s)

答案：
－15

28、一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：



π
1
2
t
(SI)
42
则其切向加速度为
a
t
=______________ ms
2
．
答案：0.1

29、质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为

32t
(SI) ，则
ｔ
时刻质点的
法向加速度大小为a
n
=
R t
．

答案：
16


30、质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为

32t
(SI) ，则
ｔ
时刻质点的
角加速度

=
rad s
．
答案：
4


34、已知质点的 运动学方程为
r(52t
2
2
2
2

当t = 2 s时，加速度的大小为a = ms
2
。
答案：2.24

35、已知质点的运动学方程为
r( 52t
1
2

1

t)i(4tt
3)j
(SI)，
23

当t = 2 s时，加速度
a
与x轴正方向间夹角

=

o
。
答案：104



38、一质点沿半径为R的圆周 运动，其路程S随时间t变化的规律为
Sbt

1
2

1

t)i(4tt
3
)j
(SI)，
23
1
2
ct

2
(SI) ， 式中b、c为大于零的常量,且b
2
>Rc. 则此质点运动的切向加速度
a
t
=______________．
答案：-c

40、一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移

随时间t的变化规律是

= 2 + 4t
2

(SI)．在t =2 s时，它的法向加速度a
n
=______________ ms
2
．
答案：0.8

41、一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移

随时间t的变化规律是

= 2 + 4t
2

(SI)．在t =2 s时，它的切向加速度a
t
=________________ ms
2
．
答案： 0.8

42、距河岸(看成直线)500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 rmin转
动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =__________ ms．
答案：69.8

43、试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况
(v0)
：
at
0,a
n
0
；

____________ ______________。a
t
、a
n
分别表示切向加速度和法向加速 度．
答案：变速率曲线运动

44、试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情 况
(v0)
：
a
t
0
，
a
n
=0；
___________________________。a
t
、a
n
分别表示切向加速度和法向加速度．
答案：变速率直线运动

246、在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为
vct
（式中c为常量），
则t时刻质点的切向加速度a
t
=_____________．
答案：2ct

51、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：
r 10cos5ti10sin5tj
（SI）
则t时刻其切向加速度的大小a
t
______________．

答案：0



52、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：
r 10cos5ti10sin5tj
（SI）
则t时刻该质点运动的轨迹是________ _______________．

答案：圆



53、一质点从O点出发以匀速率1 cms作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m，
如图所示．当它走过23圆周时，走过的路程是________ m．
y
P

O
x

答案：4.19

55、一质点从O点出发以匀速率1 cms作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m，
如图所示．当它走过23圆周时，方向是与x轴成__________
o
角．
答案：60
y
P

O
x


57、一质点从静止出发，沿半径R =3 m的圆周运动．切向加速度
a
t

3 ms
2
保持不变，
当总加速度与半径成角45
o
时，所经过的时间
t
__________ s．
答案：1

58、一质点从静止出发，沿半径R =3 m的圆周运动．切向加速度
a
t

3 ms
2
保持不变，
当总加速度与半径成角45
o
时，质点经过的路程S =____________ m．

答案： 1.5

59、一质点沿半径为0.10 m的圆周运动，其角位移

可用下式表示：


= 2 + 4t
3
(SI)．
当t = 2 s时，切向加速度a
t
=______________ ms
2
。
答案：4.8

60、一质点沿半径为0.10 m的圆周运动，其角位移

可用下式表示：


= 2 + 4t
3
(SI)．

当a< br>t
的大小恰为总加速度
a
大小的一半时，

=______ ____ rad．
答案：3.15

61、一质点在Oxy平面内运动．运动学方程为
x
2 t和
y
19-2 t
2
, (SI)，则在第2秒
内质点的平均速度大小
v
______ ms．
答案：6.32

62、一质点在Oxy平面内运动．运动学方程为
x
2 t和
y
19-2 t
2
, (SI)，则在第2秒
末的瞬时速度大小
v
2

________ ms．
答案：8.25

63、以速度
v
0
、仰角

0
斜向上抛出的物体，不计空气阻力，其切向加速度的大小从抛
出到到达最高点之前，越来越________________．
答案：小

64、以速度
v
0

、仰角

0
斜向上抛出的物体，不计空气阻力，其切向加速度的大小通过
最高点后，越来越__________ __________．
答案：大

66、飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动学方程为S = 0.1 t
3
(SI)。飞轮半径为2 m．当
2
此点的速率
v
30 ms时，其切向加速度为__________ ms．
答案：6

67、飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动学方程为S = 0.1 t
3
(SI).飞轮半径为2
m．当此点的速率
v
30 ms时，其法向加速度为_____________ ms
2
．
答案：450

68、一质点沿半径为R的圆周运动，在t = 0时经过P点，此后它的速率v按
vABt

(A，B为正的已知常量)变化．则 质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度a
t
= ______．
答案：B



71、设质点的运动学方程为
rRcos

t iRsin

t j
(式中R、

皆为常量) 则质
点的dv dt =_________。
答案： 0

74 、一船以速度
v
0
在静水湖中匀速直线航行，一乘客以初速
v
1在船中竖直向上抛出一



石子，则站在岸上的观察者看石子运动 的轨迹是_________．
答案：
抛物线


80、有一旅 客站在沿水平轨道匀速开行的列车最后一节车厢后的平台上，手拿石块，松
手释放,则站在铁路路基旁的 观察者所见石块的运动是_________________．
答案：平抛运动（抛向火车前进的方向）

81、有一旅客站在沿水平轨道匀速开行 的列车最后一节车厢后的平台上，沿水平方向向
车后掷出石块，使石块相对车的速度等于火车相对于地的 速度．则站在铁路路基旁的观察者
所见石块的运动是_______________________ _______．
答案：自由落体运动．

82、轮船在水上以相对于水 的速度
v
1
航行，水流速度为
v
2
，一人相对于甲板以速度
v
3
行走．如人相对于岸静止，则
v
1
、
v
2
和
v
3
的关系是
v
1
v
2
v
3

_____________。
答案：0

83、当一列火车以10 ms的速率向东行驶时，若相对于地面竖直下落的雨滴在列车的< br>窗子上形成的雨迹偏离竖直方向30°，则雨滴相对于地面的速率是__________ ms。
答案：17.3

84、当一列火车以10ms的速率向东行驶时，若相对于地面 竖直下落的雨滴在列车的窗
子上形成的雨迹偏离竖直方向30°，则雨滴相对于列车的速率是_____ _____ ms．
答案：20


三、计算题
1、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为
a＝2＋6 x
2
(SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
解：设质点在x处的速度为v，





a
v
d
v
d
v
dx
26x
2


dtdxdt


vdv
0


26x

dx

2
0
x
v2xx
2




2、一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a
0
， 此后加速度随时间均匀增加，经过
时间

后，加速度为2a
0
，经过 时间2

后，加速度为3 a
0
,…求经过时间n

后，该质点的速度
和走过的距离．
解：设质点的加速度为 a = a
0
+

t
∵ t =

时， a =2 a
0
∴

= a
0



即





a = a
0
+ a
0
t



，
由 a = dv dt ， 得 dv = adt

3

1

v
t
0


d
v


(a
00
a
0t

)dt

∴
va
0
t
s
a
0
2
t

2

tt
由 v = ds dt ， ds = v dt

ds

v
dt

(a
0
t 
000
a
0
2
t)dt

2

s
a
0
2
a
0
3
tt

26

1
n(n2)a
0


2
1
22
质点走过的距离
s
n

n(n3)a
0


6
t = n

时，质点的速度
v
n



3、一球从高h处落向水平面，经碰撞后又上升 到h
1
处，如果每次碰撞后与碰撞前速度之比
为常数，问球在n次碰撞后还能升多高？
解：
h


h
1

1
2
v
1

g
;
2
1
2
v
g

21
2
1
2
h
2
v
2

g
;

;

h
n
v
n

g

22
22
k
2
v
n
v
n1


由题意，各次碰撞后、与碰撞前速度之比均为k，有
22

k
2
v
1
v
2
k
2
v
2
v
1
2
 ;
将这些方程连乘得出：
2

k
2n
v
n
v
2
h
n
h , h
n
hk
2n

又  
kv
1
vh
1
h

故 
h
n
h
h
1
h

h
1
n
h
n1

n
222
4、有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t
2
– 2 t
3
(SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；
(2) 第2秒末的瞬时速度；
(3) 第2秒内的路程．
解：(1)
v

x

t0.5
ms 1分
(2) v = d xd t = 9t - 6t
2
1分
v(2) =-6 ms 1分
(3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m
5、一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其 加速度为
a
ky，式中k为常量，y是以平衡位置
为原点所测得的坐标. 假定振 动的物体在坐标y
0
处的速度为v
0
，试求速度v与坐标y的函数
关 系式．
解：
a
d
v
d
v
dydv

v

dtdydtdy
又
a
ky ∴ -k
y
v dv dy

1
2
1
2
kyvC

22
1
2
1
2
ky
0
已知
y
y
0

，
v
v
0

则
Cv
0
22
22

v
2
v
0
k(y
0
y
2
)

6、
一质点沿x轴运动，其加速度为a  4t (SI)，已知t  0时，质点位于x

10 m处，初速



kydy

vdv , 
度v

 0．试求其位置和时间的关系式
解：
a
dv dt
4
t ， dv
4
t dt


v
0
d
v


4tdt

0
2
t
v
2
t
v
d
x d t
2
t
2



x
x
0
d x

2t
2
dt

0
t
x
2
t
3
3+x
0
(SI) < br>7、（1）对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径r、角速
度
和单位矢量
i
、
j
表示其t时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度




(3) 试证加速度指向圆心．



j


r
(x,y)
解：(1)
rx iy jrcos

t irsin

t j

x




dr
r

s in

t ir

cos

t j



O
(2)
v

i

dt




d
v< br>22
r

cos

t ir

sin

t j

a
dt


2

(3)
a


rcos

t irsin

t j



2
r




这说明
a
与
r
方向相反，即
a
指向圆心


（2） 由(1)导出速度
v
与加速度
a
的矢量表示式；
如图所示；

y




8、由楼窗口以水平初速度
v
0
射出一 发子弹，取枪口为原点，沿
v
0
方向为x轴，竖直向下
为y轴，并取发射时刻 t为0，试求：
(1) 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程；
(2) 子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度．
解：(1)
xv
0
t , y
轨迹方程是：
y
1
2
gt

2

O
1
22
xg

v
0



2


v
0


a
n



a
t

x
(2) v

x
= v

0
，v

y
= g t，速度大小为：

vv
x
v
y
v
0
gt

方向为：与x轴夹角

= tg
1
( gt v

0
) 1分
22222
y


g



2
a
t
dvdt g
2
tv
0
g
2
t
2
与
v同向．

22
12
2
v
0
gv
0
g
2
t
2
方向与
a
t
垂 直．
a
n
ga
t


9、质点M在水平面 内的运动轨迹如图所示，OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的
两个14圆周．设t =0时，M在O点，已知运动学方程为
S =30t+5t
2
(SI)

求t =2 s时刻，质点M的切向加速度和法向加速度．
M
B


15 m
解：首先求出t=2 s时质点在轨迹上的位置.
S

A
S =80 (m) (在大圆上)
30 m

15 m
C
各瞬时质点的速率：
vdSdt3010t


O

故t =2 s时, v =50 ms
因此，各瞬时质点的切向加速度和法向加速度：
d
v
d
2
S
2
10

a
t

ms
2
dt
dt
v
2

a
n



故t =2 s时， a
t
=10 ms
2
, a
n
=83.3 ms
2










10、 一人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向正西北走
18 m．求在这50 s内，
(1) 平均速度的大小和方向;
(2) 平均速率的大小．
解：(1)
OCOAABBC


y北


30i(10j)18(cos45i)sin45j)

C


17.27i2.73j

西


OC
=17.48 m，方向

=8.98°(东偏北)

O
B
南


A
x
东

v
rtOCt

0.35 ms
方向东偏北8.98°
(2) (路程)
S

301018

m=58m,

vSt1.16
ms

11、一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的 关系为
Sbt
1
2
ct
其
2
中b、c是大 于零的常量，求从
t0
开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时
间．
解：
vdSdtbct


a
t
dvdtc


a
n


bct

R

2
根据题意： a
t
= a
n


即
c

bct

R

2
解得
t
Rb


cc
12、如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度< br>
与时间
2
t的函数关系为

kt
(k为常量)．已知
t2s
时，质点P的速度值为32 ms．试求
t1
s
时，质点P的速度与加速度的大小．
解：根据已知条件确定常量k


kωt
2
vRt
2
4rads
2

P
O
2

2


4t
,
vR

4Rt
R
t1s
时， v = 4Rt
2
= 8 ms


a
t
dvdt8Rt16ms
2




a
n
v
2
R32ms
2

35.8
ms
2

aa
t
a
n



13、质点在重力 场中作斜上抛运动，初速度的大小为v
0
，与水平方向成

角．求质点到达抛
出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略
空气 阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为a
n
= v

2


．
解：运动过程中，质点的总加速度a = g．
由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时



v
0

质点的速度大小
vv
0
，其方向与水平线夹角也是

．


故切向加速度
a
t
gsina




a
n
a
t

法向加速度
a
n
gcosa





g
v

2
22

22
12
v
0
v
因
a
n








a
n
gco

s
v






14、一物体以初速度
v
0
、仰角

由地面抛出，并落回到与抛出处同一水平面上．求地面上
方该抛体运动轨道的最大曲率半径与最小曲率 半径．
解：以

表示物体在运动轨道上任意点P处其速度与水平方向的夹角, 则有

2
v
0
cos
2


v
cos

v
0
cos

,
v
2
cos

2
cos
2

v
2
v
0
又因
a
n
gcos

故该点




a
n
gcos
3

2



v
0

P


θ


v



因为



, 所以地面上方的轨道各点均有
cos

cos

，上式的分母在



处最小，在

0
处最大，故
2


max
v< br>0


gcos



2

min
v
0
cos
2

g



15、河水自西向东流动，速度为10 kmh．一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏
西30°，相对于河水的航速为20 kmh. 此时风向为正西，风速为10 kmh．试求在船上观
察到的烟囱冒出的烟缕的飘向．(设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度)
解： 记水、风、船和地球分别为w
，
f
，
s和e，则水地、风
船、风地和船地间的相对速度分别为
V
we
、
V
fs
、
V
fe
和
V
se
．


30
o
V
o

V
fs

由已知条件
30
sw

V
se


V
we
=10 kmh，正东方向．

V
fe
=10 kmh，正西方向．


V
sw
=20 kmh，北偏西
30
方向．
fe
0



V


V

we



根据速度合成法则：
V
se
=
V
sw
＋
V
we

北



由图可得：
V
se
=
103
kmh，方向正北．
同理 
V
fs
=
V
fe
－
V
se
， 由于
V
fe
=－
V
we






∴
V
fs
=
V
sw
，
V
fs
的方向为南偏西30°

在船上观察烟缕的飘向即
V
fs
的方向，它为南偏西30°．
东


16、有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u< br>0
，靠两岸的流速为零．江中
任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方 成正比．今有相对于水的速度为

v
0
的汽船由西岸出发,向东偏北45°方 向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地
点．
解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为y方向，
由题意可得 u
x
= 0
u
y
= a(xl2)
2
＋b
令 x = 0, x = l处 u
y
= 0, x = l2处 u
y
＝－u
0
，
代入上式定出a、
ｂ
，而得
u
y

船相对于岸的速度
v
(v
x
，v
y
)明显可知是

v
x
v
0
2


v
y
(
v
0
2)u
y
，
将上二式的第一式进行积分，有

x

4u
0

lx

x

2
l
y
v
0

45
°


u
0
l
x
v
0
2
t

还有，
dydydx
v
0
dy
v
0
4u
0
=

2

l

x

x

dtdxdt
2
l
2
dx
42u
dy
即
1
2
0

lx

x

dx
l
v
0

v
y


因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程： < br>
yx
22u
0
2
42u
0
3
x
2
x

l
v
0
3l
v
0
32u
0
3
v< br>0





到达东岸的地点(x

，y

)为


y
xl
l

1

x

l
,
y



17、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a，他向车前进的斜
上方抛出一 球，设抛球过程对车的加速度a的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就
能接住球，则抛出的方向 与竖直方向的夹角

应为多大？

解：设抛出时刻车的速度为
v
0
，球的相对于车的速度为
v
0
，与竖


直方向成

角．抛射过程中，在地面参照系中，车的位移
θ
1
2
x
1
v
0
tat
①
a
2

球的位移

x< br>2
v
0
v
0
sin

t
②
v
0
1
2

y
2
v
0
cos

tgt
③
2
小孩接住球的条件
x
1
x
2
, y
2
0

11

即 
at
2


v
0
sin


t
，
gt2


v
0
cos


t

22
1
两式相比得
agtg


，∴

tg

ag




v
0




18、 一质点以相对于斜面的速度
v
其中y为下滑的高度．斜
2gy
从其顶端沿斜 面下滑，
面倾角为

，它在地面上以水平速度u向质点滑下的前方运动，求质点下滑高 度为h (h小于
斜面高度)时，对地速度的大小和方向．

解：选取如图所示的坐 标系，以
V
表示质点的对地速度，其x、y方向投影为：
V
x
v
x
u2gycos

u
，

V
y
v
y


O


当y=h时，
V
的大小为：
y

u

v
x

2
u2gh2u2ghcos






h



V

y



VV
x
2
V
y
2


2


v

V





V
的方向与x轴夹角为

，

y
V
y
2ghsin

1

tg tg
1

V
x
2ghcos

u
2gysin


x



19、一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 kmh的速度由东向西刮来，如果飞机的航
速（在静止空气中的速率）为 180 kmh，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速
率为多少？试用矢量图说明．
解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：

北

v
FE
=60 kmh 正西方向
v
FE
v
AF
=180 kmh 方向未知

西
v
AE
v
AE
大小未知， 正北方向


v
v
AF
由相对速度关系有：


v


v
AE

v
AF

v
FE


v


v
AE
、

v
AF
、
v
EE
构成直角三角形，可得

2

2
v
AE


v
AF



v
FE


170

kmh




tg
1

v
FE

v
AE< br>
19.4


（飞机应取向北偏东19.4的航向）．




20、
当一列火车以36 km h的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴，在
列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成3 0°角．
(1) 雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？
(2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？
解：(1) 题给雨 滴相对于地面竖直下落，故相对于地面的水平分速为零．雨滴相对于列车的
水平分速与列车速度等值反向 为10 ms，正西方向.
(2) 设下标W指雨滴，t指列车，E指地面，则有





v
WE

=
v
Wt
+
v
tE
, v

tE
=10 ms
30°
v
WE
v
WE
竖直向下，v
W t
偏离竖直方向30°，由图求得
雨滴相对于地面的速率为 v
WE
= v
tE
ctg30
o
=17.3 ms
雨滴相对于列车的速率
v
Wt
v
Wt


21、当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°，当火车以35 ms的速
率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45°，假设雨滴相对于地的速
度保持不变 ，试计算雨滴相对地的速度大小．
解：选地为静系，火车为动系．


已知：雨滴对地速度
v
a
的方向偏前30°， 火车行驶时，雨滴对火车的相对速度
v
r
偏后
45°，火车速度v
t
=35 ms，方向水平．
由图可知：





v
tE
v
20
ms
tE


sin30

va
sin30
v
r
sin45
v
t

v
a
cos30
o
v
r
cos45
o< br>
v
t
由此二式解出：
v
a


25.6
ms
cos30sin30

sin45

cos45


oo
v
r

45
°


v

v
t


v
30
°


v
a



v
v

22、一 小船相对于河水以速率v划行．当它在流速为u的河水中逆流而上之时，有一木桨落
入水中顺流而下，船 上人两秒钟后发觉，即返回追赶，问几秒钟后可追上此桨？
解：取河水为参照系．相对河水，木 桨落入水中是不动的．不论顺水或者逆水，船对水的速
率均是v

．2秒钟后发现失桨，木桨与船之间距离为S =2v．返回追赶时船速仍为v

．
因此


t
S2
v
2s

vv

23、 装在小车上的弹簧发射器射出一小球，根据小球在地上水平射程和射高的测量数据，得
知小球射出时相对 地面的速度为10 ms．小车的反冲速度为2 ms．求小球射出时相对于小
车的速率．已知小车位于水平面上，弹簧发射器仰角为 30°．
解：以地为静系，小车为动系．

已知小球对地速度
v
a

10 ms，小车反冲速度
v
t

2 ms，方向
水平向左
.
令小球相对小车的速度为
v
r
，则有
30

°




v
a

v
t

v
r

2

v
a
v
t
2
v
r
2

2
v
r
v
t
cos3 0





v
r
v
t
cos30



v

t
cos30

2
2

v
a

v
t
2
11.7
ms


v
a

v
r




v
t
30
o




24、一敞顶电梯以恒定速率v 10 ms上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛
出一球．球相对于电梯初速率
v
0
20
ms．试问：
(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？
(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？
解：(1) 球相对地面的初速度

v

v
0
v
30 ms



v

2
抛出后上升高度
h45.9
ms
2g
离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m
(2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度

vt(vv
0
)t

t
1
2
gt

2
2
v
0
4.08
s
g

第一章 质点运动学
一、选择题
1、某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t
3
+ 6 (SI)，则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向．
(B) 匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向．
(C) 变加速直线运动，加速度沿x轴正方向．
(D) 变加速直线运动，加速度沿x轴负方向． ［ D ］ 2、一质点沿x轴作直线运动，其vt曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，
则t=4 .5 s时，质点在x轴上的位置为


(A) 5m． (B) 2m．
v

(ms)

(C) 2 m． (D) 0．
2
(E) 5 m. ［ B ］

1
2.5
4.5
t(s)

O
1
2
3 4

1


3、图中p是一圆的竖直直径pc的上端点，一质点从 p开始分别沿不同的弦无摩擦下滑时，
到达各弦的下端所用的时间相比较是
(A) 到a用的时间最短．
(B) 到b用的时间最短．
(C) 到c用的时间最短．
(D) 所用时间都一样． ［ D ］



p

a

b

c


4、几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上．若使一物体（视为< br>质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
(A) 15°． (B) 30°．
(C) 45°． (D) 60°． ［ C ］
5、一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度
v
2 ms，瞬时加速度
a2ms
，则一秒钟后
质点的速度
(A) 等于零． (B) 等于2 ms．
(C) 等于2 ms． (D) 不能确定． ［ D ］
6、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船 向岸边运
动．设该人以匀速率
v
0
收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动 是
(A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动．
(C) 变加速运动． (D) 变减速运动．


(E) 匀速直线运动． ［ C ］




2

v
0

7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
ratibtj
（其中a、b为常
量）, 则该质点作

2

2


(A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动．
(C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动． ［ B ］

8、
一运动质点在某瞬时位于矢径
r

x, y

的端点处, 其速度大小为



drdr
(A) (B)
dtdt

22
dr

dx

dy

(C) (D)




［ D ］

dt

dt

dt

9、质点沿半 径为R的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈．在2T时间间隔中，其平均速度
大小与平均速率大小分别为
(A) 2RT , 2RT． (B) 0 , 2RT
(C) 0 , 0． (D) 2RT , 0. ［ B ］

10、以下五种运动形式中，
a
保持不变的运动是
(A) 单摆的运动． (B) 匀速率圆周运动．
(C) 行星的椭圆轨道运动． (D) 抛体运动．
(E) 圆锥摆运动． ［ D ］
11、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：
(A) 切向加速度必不为零．
(B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）．
(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零．
(D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零．

(E) 若物体的加速度
a
为恒矢量，它一定作匀变速率运动． ［ B ］



12、质点作曲线运动，
r
表 示位置矢量，
v
表示速度，
a
表示加速度，S表示路程，a表示
切向 加速度，下列表达式中，
(1)
dvd ta
， (2)
drdtv
，
(3)
dSd tv
， (4)
dvdta
t
．
(A) 只有(1)、(4)是对的．
(B) 只有(2)、(4)是对的．
(C) 只有(2)是对的．
(D) 只有(3)是对的． ［ D ］
2
13、 某物体的运动规律为
dvdtkvt
，式中的k为大于零的常量．当
t0
时，初速
为v
0
，则速度v
与时间t的函数关系是

1
2
1
ktv
0
, (B)
vkt
2
v
0
,
22
1kt
2
11kt
2
1
(C)

［ C ］

, (D)

v
2
v
0
v
2
v
0

14、 一物体从某一确定高度以
v
0
的速度水平抛出， 已知它落地时的速度为
v
t
，那么它
(A)
v

运动的时间是
(A)
v
t
v
0
vv
0
． (B)
t
．
g2g
2
t
2
v
0
g

v
(C)

12

v
． (D)
2
t
2
v
0
2g

12
.
[ C ]

15、 一个质点在做匀速率圆周运动时
(A) 切向加速度改变，法向加速度也改变．
(B) 切向加速度不变，法向加速度改变．

(C) 切向加速度不变，法向加速度也不变．
(D) 切向加速度改变，法向加速度不变． ［ B ］
16、质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为(v表示任一时刻质点的速率)
dv

2
(A) ． (B)．
dt
R


d
v

2

v
4


dvv


(C) ． (D)




2



d tR



dt


R


2
12
． ［ D ］
1 7、在高台上分别沿45°仰角方向和水平方向，以同样速率投出两颗小石子，忽略空气阻
力，则它们落 地时速度
(A) 大小不同，方向不同． (B) 大小相同，方向不同．
(C) 大小相同，方向相同． (D) 大小不同，方向相同． ［ B ］
18、一条河在某一段直线岸边同侧有A、B两个码头，相距1 km．甲、乙两人需要从码头A
到码头B，再立即由B返回．甲划船前去，船相对河水的速度为4 kmh；而乙沿岸步行，步
行速度也为4 kmh．如河水流速为 2 kmh, 方向从A到B，则
(A) 甲比乙晚10分钟回到A． (B) 甲和乙同时回到A．
(C) 甲比乙早10分钟回到A． (D) 甲比乙早2分钟回到A．
［ A ］
19、下列说法哪一条正确？
(A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变．
(B) 平均速率等于平均速度的大小．
(C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成(v
1
、v
2
分别为初、末速率)

v

v
1
v
2

2
．
(D) 运动物体速率不变时，速度可以变化． ［ D ］
20、下列说法中，哪一个是正确的？
(A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 ms，说明它在此后1 s内一定要经过2 m的路程．
(B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大．
(C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零．
(D) 物体加速度越大，则速度越大． ［ C ］

二、填空题
1、两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同 时出发，并且由
出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：x
A
= 4 t＋t
2
，x
B
= 2 t
2
＋2 t
3
(SI)。它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________。
答案：A

2、两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时 出发，并且由
出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：x
A
= 4 t＋t
2
，x
B
= 2 t
2
＋2 t
3
(SI)。出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是
ｔ
=______ ______________ s。
答案：1.19

3、两辆车A和B，在笔 直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由
出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：x
A
= 4 t＋t
2
，x
B
= 2 t
2
＋2 t
3
(SI)，出发后，B车相对A 车速度为零的时刻是
ｔ
=__________________ s．
答案：0.67

4、一质点沿x方向运动，其加速度随时间变化关系为
a = 3+2 t (SI) ,

如果初始时质点的速度v

0
为5 ms，则当
ｔ
为3s时，质点的速度 v = ms。
答案：23

5、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t
2
(SI)，则在t由0至4s的时间间隔内，
质点的位移大小为 ___________ m．
答案：8

6、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t
2
(SI)，则在t 由0至4s的时间间隔内，
在t由0到4s的时间间隔内质点走过的路程为_______ m．
答案： 10

7、
一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如图所示．
则该质点在第 秒瞬时速度为零．

答案：
3


5
x (m)
t (s)
O
1 2 3 4 5 6

8、
一质点作直线运动，其坐标x与时间t的关系曲线如图所示．
则该质点在第 秒间速度与加速度同方向．

答案：
3~6


5
x (m)
t (s)
O
1 2 3 4 5 6

13、一辆作匀加速直线运动的汽车，在6 s内通过相隔60 m远的两点，已知汽车经过
第二点时的速率为15 ms，则汽车通过第一点时的速率v

1
=___________ms。

答案：5.00



14、一辆作匀加速直线运动的汽车，在6 s内通过相隔60 m远的两点，已知汽车经过
第二点时的速率为15 ms，则汽车的加速度a = ms
2
．

答案： 1.67



20、在v t图中所示的三条直线都表示同一类型的运动：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三条直线表示的
是 ______________运动。

v
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O
t

答案：匀加速直线

21、在v t图中所示的三条直线都表示同一类型的运动， __________直线所表示的运
动的加速度最大．
v
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O
t

答案：Ⅰ

22、一质点沿x轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t+6t
2
t
3
(SI)

则质点在t =0时刻的速度
v
0

__________ ms。
答案：5

23、一质点沿x轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t+6t
2
t
3
(SI)
则加速度为零时，该质点的速度
v
___________ ms．
答案：17

24、一质点作直线运动，其
vt
曲线如图 所示，则BC段时间内的加速度为
_____ ms．
答案：
10
< br>v
(ms)
30
20
10
2
C
B
A
D
1
2
3
4
5
0
t (s)

2

25、一质点作直线运动，其
vt
曲线如图所示，则CD段时 间内的加速度为
_____ ms．
v
(ms)
30
20
10
C
B
A
D
1
2
3
4
5
0
t (s)

答案：
－15

28、一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：



π
1
2
t
(SI)
42
则其切向加速度为
a
t
=______________ ms
2
．
答案：0.1

29、质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为

32t
(SI) ，则
ｔ
时刻质点的
法向加速度大小为a
n
=
R t
．

答案：
16


30、质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为

32t
(SI) ，则
ｔ
时刻质点的
角加速度

=
rad s
．
答案：
4


34、已知质点的 运动学方程为
r(52t
2
2
2
2

当t = 2 s时，加速度的大小为a = ms
2
。
答案：2.24

35、已知质点的运动学方程为
r( 52t
1
2

1

t)i(4tt
3)j
(SI)，
23

当t = 2 s时，加速度
a
与x轴正方向间夹角

=

o
。
答案：104



38、一质点沿半径为R的圆周 运动，其路程S随时间t变化的规律为
Sbt

1
2

1

t)i(4tt
3
)j
(SI)，
23
1
2
ct

2
(SI) ， 式中b、c为大于零的常量,且b
2
>Rc. 则此质点运动的切向加速度
a
t
=______________．
答案：-c

40、一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移

随时间t的变化规律是

= 2 + 4t
2

(SI)．在t =2 s时，它的法向加速度a
n
=______________ ms
2
．
答案：0.8

41、一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移

随时间t的变化规律是

= 2 + 4t
2

(SI)．在t =2 s时，它的切向加速度a
t
=________________ ms
2
．
答案： 0.8

42、距河岸(看成直线)500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 rmin转
动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =__________ ms．
答案：69.8

43、试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况
(v0)
：
at
0,a
n
0
；

____________ ______________。a
t
、a
n
分别表示切向加速度和法向加速 度．
答案：变速率曲线运动

44、试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情 况
(v0)
：
a
t
0
，
a
n
=0；
___________________________。a
t
、a
n
分别表示切向加速度和法向加速度．
答案：变速率直线运动

246、在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为
vct
（式中c为常量），
则t时刻质点的切向加速度a
t
=_____________．
答案：2ct

51、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：
r 10cos5ti10sin5tj
（SI）
则t时刻其切向加速度的大小a
t
______________．

答案：0



52、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：
r 10cos5ti10sin5tj
（SI）
则t时刻该质点运动的轨迹是________ _______________．

答案：圆



53、一质点从O点出发以匀速率1 cms作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m，
如图所示．当它走过23圆周时，走过的路程是________ m．
y
P

O
x

答案：4.19

55、一质点从O点出发以匀速率1 cms作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m，
如图所示．当它走过23圆周时，方向是与x轴成__________
o
角．
答案：60
y
P

O
x


57、一质点从静止出发，沿半径R =3 m的圆周运动．切向加速度
a
t

3 ms
2
保持不变，
当总加速度与半径成角45
o
时，所经过的时间
t
__________ s．
答案：1

58、一质点从静止出发，沿半径R =3 m的圆周运动．切向加速度
a
t

3 ms
2
保持不变，
当总加速度与半径成角45
o
时，质点经过的路程S =____________ m．

答案： 1.5

59、一质点沿半径为0.10 m的圆周运动，其角位移

可用下式表示：


= 2 + 4t
3
(SI)．
当t = 2 s时，切向加速度a
t
=______________ ms
2
。
答案：4.8

60、一质点沿半径为0.10 m的圆周运动，其角位移

可用下式表示：


= 2 + 4t
3
(SI)．

当a< br>t
的大小恰为总加速度
a
大小的一半时，

=______ ____ rad．
答案：3.15

61、一质点在Oxy平面内运动．运动学方程为
x
2 t和
y
19-2 t
2
, (SI)，则在第2秒
内质点的平均速度大小
v
______ ms．
答案：6.32

62、一质点在Oxy平面内运动．运动学方程为
x
2 t和
y
19-2 t
2
, (SI)，则在第2秒
末的瞬时速度大小
v
2

________ ms．
答案：8.25

63、以速度
v
0
、仰角

0
斜向上抛出的物体，不计空气阻力，其切向加速度的大小从抛
出到到达最高点之前，越来越________________．
答案：小

64、以速度
v
0

、仰角

0
斜向上抛出的物体，不计空气阻力，其切向加速度的大小通过
最高点后，越来越__________ __________．
答案：大

66、飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动学方程为S = 0.1 t
3
(SI)。飞轮半径为2 m．当
2
此点的速率
v
30 ms时，其切向加速度为__________ ms．
答案：6

67、飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动学方程为S = 0.1 t
3
(SI).飞轮半径为2
m．当此点的速率
v
30 ms时，其法向加速度为_____________ ms
2
．
答案：450

68、一质点沿半径为R的圆周运动，在t = 0时经过P点，此后它的速率v按
vABt

(A，B为正的已知常量)变化．则 质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度a
t
= ______．
答案：B



71、设质点的运动学方程为
rRcos

t iRsin

t j
(式中R、

皆为常量) 则质
点的dv dt =_________。
答案： 0

74 、一船以速度
v
0
在静水湖中匀速直线航行，一乘客以初速
v
1在船中竖直向上抛出一



石子，则站在岸上的观察者看石子运动 的轨迹是_________．
答案：
抛物线


80、有一旅 客站在沿水平轨道匀速开行的列车最后一节车厢后的平台上，手拿石块，松
手释放,则站在铁路路基旁的 观察者所见石块的运动是_________________．
答案：平抛运动（抛向火车前进的方向）

81、有一旅客站在沿水平轨道匀速开行 的列车最后一节车厢后的平台上，沿水平方向向
车后掷出石块，使石块相对车的速度等于火车相对于地的 速度．则站在铁路路基旁的观察者
所见石块的运动是_______________________ _______．
答案：自由落体运动．

82、轮船在水上以相对于水 的速度
v
1
航行，水流速度为
v
2
，一人相对于甲板以速度
v
3
行走．如人相对于岸静止，则
v
1
、
v
2
和
v
3
的关系是
v
1
v
2
v
3

_____________。
答案：0

83、当一列火车以10 ms的速率向东行驶时，若相对于地面竖直下落的雨滴在列车的< br>窗子上形成的雨迹偏离竖直方向30°，则雨滴相对于地面的速率是__________ ms。
答案：17.3

84、当一列火车以10ms的速率向东行驶时，若相对于地面 竖直下落的雨滴在列车的窗
子上形成的雨迹偏离竖直方向30°，则雨滴相对于列车的速率是_____ _____ ms．
答案：20


三、计算题
1、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为
a＝2＋6 x
2
(SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
解：设质点在x处的速度为v，





a
v
d
v
d
v
dx
26x
2


dtdxdt


vdv
0


26x

dx

2
0
x
v2xx
2




2、一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a
0
， 此后加速度随时间均匀增加，经过
时间

后，加速度为2a
0
，经过 时间2

后，加速度为3 a
0
,…求经过时间n

后，该质点的速度
和走过的距离．
解：设质点的加速度为 a = a
0
+

t
∵ t =

时， a =2 a
0
∴

= a
0



即





a = a
0
+ a
0
t



，
由 a = dv dt ， 得 dv = adt

3

1

v
t
0


d
v


(a
00
a
0t

)dt

∴
va
0
t
s
a
0
2
t

2

tt
由 v = ds dt ， ds = v dt

ds

v
dt

(a
0
t 
000
a
0
2
t)dt

2

s
a
0
2
a
0
3
tt

26

1
n(n2)a
0


2
1
22
质点走过的距离
s
n

n(n3)a
0


6
t = n

时，质点的速度
v
n



3、一球从高h处落向水平面，经碰撞后又上升 到h
1
处，如果每次碰撞后与碰撞前速度之比
为常数，问球在n次碰撞后还能升多高？
解：
h


h
1

1
2
v
1

g
;
2
1
2
v
g

21
2
1
2
h
2
v
2

g
;

;

h
n
v
n

g

22
22
k
2
v
n
v
n1


由题意，各次碰撞后、与碰撞前速度之比均为k，有
22

k
2
v
1
v
2
k
2
v
2
v
1
2
 ;
将这些方程连乘得出：
2

k
2n
v
n
v
2
h
n
h , h
n
hk
2n

又  
kv
1
vh
1
h

故 
h
n
h
h
1
h

h
1
n
h
n1

n
222
4、有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t
2
– 2 t
3
(SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；
(2) 第2秒末的瞬时速度；
(3) 第2秒内的路程．
解：(1)
v

x

t0.5
ms 1分
(2) v = d xd t = 9t - 6t
2
1分
v(2) =-6 ms 1分
(3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m
5、一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其 加速度为
a
ky，式中k为常量，y是以平衡位置
为原点所测得的坐标. 假定振 动的物体在坐标y
0
处的速度为v
0
，试求速度v与坐标y的函数
关 系式．
解：
a
d
v
d
v
dydv

v

dtdydtdy
又
a
ky ∴ -k
y
v dv dy

1
2
1
2
kyvC

22
1
2
1
2
ky
0
已知
y
y
0

，
v
v
0

则
Cv
0
22
22

v
2
v
0
k(y
0
y
2
)

6、
一质点沿x轴运动，其加速度为a  4t (SI)，已知t  0时，质点位于x

10 m处，初速



kydy

vdv , 
度v

 0．试求其位置和时间的关系式
解：
a
dv dt
4
t ， dv
4
t dt


v
0
d
v


4tdt

0
2
t
v
2
t
v
d
x d t
2
t
2



x
x
0
d x

2t
2
dt

0
t
x
2
t
3
3+x
0
(SI) < br>7、（1）对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径r、角速
度
和单位矢量
i
、
j
表示其t时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度




(3) 试证加速度指向圆心．



j


r
(x,y)
解：(1)
rx iy jrcos

t irsin

t j

x




dr
r

s in

t ir

cos

t j



O
(2)
v

i

dt




d
v< br>22
r

cos

t ir

sin

t j

a
dt


2

(3)
a


rcos

t irsin

t j



2
r




这说明
a
与
r
方向相反，即
a
指向圆心


（2） 由(1)导出速度
v
与加速度
a
的矢量表示式；
如图所示；

y




8、由楼窗口以水平初速度
v
0
射出一 发子弹，取枪口为原点，沿
v
0
方向为x轴，竖直向下
为y轴，并取发射时刻 t为0，试求：
(1) 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程；
(2) 子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度．
解：(1)
xv
0
t , y
轨迹方程是：
y
1
2
gt

2

O
1
22
xg

v
0



2


v
0


a
n



a
t

x
(2) v

x
= v

0
，v

y
= g t，速度大小为：

vv
x
v
y
v
0
gt

方向为：与x轴夹角

= tg
1
( gt v

0
) 1分
22222
y


g



2
a
t
dvdt g
2
tv
0
g
2
t
2
与
v同向．

22
12
2
v
0
gv
0
g
2
t
2
方向与
a
t
垂 直．
a
n
ga
t


9、质点M在水平面 内的运动轨迹如图所示，OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的
两个14圆周．设t =0时，M在O点，已知运动学方程为
S =30t+5t
2
(SI)

求t =2 s时刻，质点M的切向加速度和法向加速度．
M
B


15 m
解：首先求出t=2 s时质点在轨迹上的位置.
S

A
S =80 (m) (在大圆上)
30 m

15 m
C
各瞬时质点的速率：
vdSdt3010t


O

故t =2 s时, v =50 ms
因此，各瞬时质点的切向加速度和法向加速度：
d
v
d
2
S
2
10

a
t

ms
2
dt
dt
v
2

a
n



故t =2 s时， a
t
=10 ms
2
, a
n
=83.3 ms
2










10、 一人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向正西北走
18 m．求在这50 s内，
(1) 平均速度的大小和方向;
(2) 平均速率的大小．
解：(1)
OCOAABBC


y北


30i(10j)18(cos45i)sin45j)

C


17.27i2.73j

西


OC
=17.48 m，方向

=8.98°(东偏北)

O
B
南


A
x
东

v
rtOCt

0.35 ms
方向东偏北8.98°
(2) (路程)
S

301018

m=58m,

vSt1.16
ms

11、一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的 关系为
Sbt
1
2
ct
其
2
中b、c是大 于零的常量，求从
t0
开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时
间．
解：
vdSdtbct


a
t
dvdtc


a
n


bct

R

2
根据题意： a
t
= a
n


即
c

bct

R

2
解得
t
Rb


cc
12、如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度< br>
与时间
2
t的函数关系为

kt
(k为常量)．已知
t2s
时，质点P的速度值为32 ms．试求
t1
s
时，质点P的速度与加速度的大小．
解：根据已知条件确定常量k


kωt
2
vRt
2
4rads
2

P
O
2

2


4t
,
vR

4Rt
R
t1s
时， v = 4Rt
2
= 8 ms


a
t
dvdt8Rt16ms
2




a
n
v
2
R32ms
2

35.8
ms
2

aa
t
a
n



13、质点在重力 场中作斜上抛运动，初速度的大小为v
0
，与水平方向成

角．求质点到达抛
出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略
空气 阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为a
n
= v

2


．
解：运动过程中，质点的总加速度a = g．
由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时



v
0

质点的速度大小
vv
0
，其方向与水平线夹角也是

．


故切向加速度
a
t
gsina




a
n
a
t

法向加速度
a
n
gcosa





g
v

2
22

22
12
v
0
v
因
a
n








a
n
gco

s
v






14、一物体以初速度
v
0
、仰角

由地面抛出，并落回到与抛出处同一水平面上．求地面上
方该抛体运动轨道的最大曲率半径与最小曲率 半径．
解：以

表示物体在运动轨道上任意点P处其速度与水平方向的夹角, 则有

2
v
0
cos
2


v
cos

v
0
cos

,
v
2
cos

2
cos
2

v
2
v
0
又因
a
n
gcos

故该点




a
n
gcos
3

2



v
0

P


θ


v



因为



, 所以地面上方的轨道各点均有
cos

cos

，上式的分母在



处最小，在

0
处最大，故
2


max
v< br>0


gcos



2

min
v
0
cos
2

g



15、河水自西向东流动，速度为10 kmh．一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏
西30°，相对于河水的航速为20 kmh. 此时风向为正西，风速为10 kmh．试求在船上观
察到的烟囱冒出的烟缕的飘向．(设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度)
解： 记水、风、船和地球分别为w
，
f
，
s和e，则水地、风
船、风地和船地间的相对速度分别为
V
we
、
V
fs
、
V
fe
和
V
se
．


30
o
V
o

V
fs

由已知条件
30
sw

V
se


V
we
=10 kmh，正东方向．

V
fe
=10 kmh，正西方向．


V
sw
=20 kmh，北偏西
30
方向．
fe
0



V


V

we



根据速度合成法则：
V
se
=
V
sw
＋
V
we

北



由图可得：
V
se
=
103
kmh，方向正北．
同理 
V
fs
=
V
fe
－
V
se
， 由于
V
fe
=－
V
we






∴
V
fs
=
V
sw
，
V
fs
的方向为南偏西30°

在船上观察烟缕的飘向即
V
fs
的方向，它为南偏西30°．
东


16、有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u< br>0
，靠两岸的流速为零．江中
任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方 成正比．今有相对于水的速度为

v
0
的汽船由西岸出发,向东偏北45°方 向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地
点．
解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为y方向，
由题意可得 u
x
= 0
u
y
= a(xl2)
2
＋b
令 x = 0, x = l处 u
y
= 0, x = l2处 u
y
＝－u
0
，
代入上式定出a、
ｂ
，而得
u
y

船相对于岸的速度
v
(v
x
，v
y
)明显可知是

v
x
v
0
2


v
y
(
v
0
2)u
y
，
将上二式的第一式进行积分，有

x

4u
0

lx

x

2
l
y
v
0

45
°


u
0
l
x
v
0
2
t

还有，
dydydx
v
0
dy
v
0
4u
0
=

2

l

x

x

dtdxdt
2
l
2
dx
42u
dy
即
1
2
0

lx

x

dx
l
v
0

v
y


因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程： < br>
yx
22u
0
2
42u
0
3
x
2
x

l
v
0
3l
v
0
32u
0
3
v< br>0





到达东岸的地点(x

，y

)为


y
xl
l

1

x

l
,
y



17、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a，他向车前进的斜
上方抛出一 球，设抛球过程对车的加速度a的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就
能接住球，则抛出的方向 与竖直方向的夹角

应为多大？

解：设抛出时刻车的速度为
v
0
，球的相对于车的速度为
v
0
，与竖


直方向成

角．抛射过程中，在地面参照系中，车的位移
θ
1
2
x
1
v
0
tat
①
a
2

球的位移

x< br>2
v
0
v
0
sin

t
②
v
0
1
2

y
2
v
0
cos

tgt
③
2
小孩接住球的条件
x
1
x
2
, y
2
0

11

即 
at
2


v
0
sin


t
，
gt2


v
0
cos


t

22
1
两式相比得
agtg


，∴

tg

ag




v
0




18、 一质点以相对于斜面的速度
v
其中y为下滑的高度．斜
2gy
从其顶端沿斜 面下滑，
面倾角为

，它在地面上以水平速度u向质点滑下的前方运动，求质点下滑高 度为h (h小于
斜面高度)时，对地速度的大小和方向．

解：选取如图所示的坐 标系，以
V
表示质点的对地速度，其x、y方向投影为：
V
x
v
x
u2gycos

u
，

V
y
v
y


O


当y=h时，
V
的大小为：
y

u

v
x

2
u2gh2u2ghcos






h



V

y



VV
x
2
V
y
2


2


v

V





V
的方向与x轴夹角为

，

y
V
y
2ghsin

1

tg tg
1

V
x
2ghcos

u
2gysin


x



19、一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 kmh的速度由东向西刮来，如果飞机的航
速（在静止空气中的速率）为 180 kmh，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速
率为多少？试用矢量图说明．
解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：

北

v
FE
=60 kmh 正西方向
v
FE
v
AF
=180 kmh 方向未知

西
v
AE
v
AE
大小未知， 正北方向


v
v
AF
由相对速度关系有：


v


v
AE

v
AF

v
FE


v


v
AE
、

v
AF
、
v
EE
构成直角三角形，可得

2

2
v
AE


v
AF



v
FE


170

kmh




tg
1

v
FE

v
AE< br>
19.4


（飞机应取向北偏东19.4的航向）．




20、
当一列火车以36 km h的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴，在
列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成3 0°角．
(1) 雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？
(2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？
解：(1) 题给雨 滴相对于地面竖直下落，故相对于地面的水平分速为零．雨滴相对于列车的
水平分速与列车速度等值反向 为10 ms，正西方向.
(2) 设下标W指雨滴，t指列车，E指地面，则有





v
WE

=
v
Wt
+
v
tE
, v

tE
=10 ms
30°
v
WE
v
WE
竖直向下，v
W t
偏离竖直方向30°，由图求得
雨滴相对于地面的速率为 v
WE
= v
tE
ctg30
o
=17.3 ms
雨滴相对于列车的速率
v
Wt
v
Wt


21、当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°，当火车以35 ms的速
率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45°，假设雨滴相对于地的速
度保持不变 ，试计算雨滴相对地的速度大小．
解：选地为静系，火车为动系．


已知：雨滴对地速度
v
a
的方向偏前30°， 火车行驶时，雨滴对火车的相对速度
v
r
偏后
45°，火车速度v
t
=35 ms，方向水平．
由图可知：





v
tE
v
20
ms
tE


sin30

va
sin30
v
r
sin45
v
t

v
a
cos30
o
v
r
cos45
o< br>
v
t
由此二式解出：
v
a


25.6
ms
cos30sin30

sin45

cos45


oo
v
r

45
°


v

v
t


v
30
°


v
a



v
v

22、一 小船相对于河水以速率v划行．当它在流速为u的河水中逆流而上之时，有一木桨落
入水中顺流而下，船 上人两秒钟后发觉，即返回追赶，问几秒钟后可追上此桨？
解：取河水为参照系．相对河水，木 桨落入水中是不动的．不论顺水或者逆水，船对水的速
率均是v

．2秒钟后发现失桨，木桨与船之间距离为S =2v．返回追赶时船速仍为v

．
因此


t
S2
v
2s

vv

23、 装在小车上的弹簧发射器射出一小球，根据小球在地上水平射程和射高的测量数据，得
知小球射出时相对 地面的速度为10 ms．小车的反冲速度为2 ms．求小球射出时相对于小
车的速率．已知小车位于水平面上，弹簧发射器仰角为 30°．
解：以地为静系，小车为动系．

已知小球对地速度
v
a

10 ms，小车反冲速度
v
t

2 ms，方向
水平向左
.
令小球相对小车的速度为
v
r
，则有
30

°




v
a

v
t

v
r

2

v
a
v
t
2
v
r
2

2
v
r
v
t
cos3 0





v
r
v
t
cos30



v

t
cos30

2
2

v
a

v
t
2
11.7
ms


v
a

v
r




v
t
30
o




24、一敞顶电梯以恒定速率v 10 ms上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛
出一球．球相对于电梯初速率
v
0
20
ms．试问：
(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？
(2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？
解：(1) 球相对地面的初速度

v

v
0
v
30 ms



v

2
抛出后上升高度
h45.9
ms
2g
离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m
(2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度

vt(vv
0
)t

t
1
2
gt

2
2
v
0
4.08
s
g