林语堂散文-工厂规章制度范本

单元一 简谐振动

一、 选择、填空题

1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ 【
C
】
(A)
物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；
(B)
物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；
(C)
物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；
(D)
物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。

2. 一沿
X
轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为
A
，周期 为
T
，振动方程用余弦函数表示，如果该振子
的初相为

，则
t=0
时，质点的位置在： 【
D
】
4
3
11
A
处，向负方向运动；
(B)
过
xA
处，向正方向运动；
22
11
(C)
过
xA
处，向负方向运动；
(D)
过
xA
处，向正方向运动。
22
(A)

过
x

3. 将单摆从平衡位置拉 开，使摆线与竖直方向成一微小角度

，然后由静止释放任其振动，从放手
开始计时， 若用余弦函数表示运动方程，则该单摆的初相为： 【
B
】
(A)


；
(B)

0
；
(C)2
；
(D)

-


4. 图
(a)
、
(b)
、
(c)
为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系 数及重物质量如图所
【
B
】
示，
(a)
、
( b)
、
(c)
三个振动系统的

(

为固有圆频率)值之比为：
(A) 2：1：1； (B) 1：2：4； (C) 4：2：1； (D) 1：1：2
填空选择(4)
填空选择(5)

5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它 可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上
如图，试判断下面哪种情况是正确的： 【
C
】
(A)

竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动；
(B)

竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动；

(C)

两种情况都可作简谐振动；

(D)

两种情况都不能作简谐振动。


6. 一谐振子作振幅为
A
的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为： 【
C
】
21

,A;
332

32
(C),or

,A;
442
(A),or


(B)
53

,A;
662


23
(D),

，
A
332
,

7. 如果外力按简谐振动的规律变化，但不等于振子的固有频率。那么，关于受迫振动，下列说法正
确的是： 【
B
】
(A)
在稳定状态下，受迫振动的频率等于固有频率；
(B)
在稳定状态下，受迫振动的频率等于外力的频率；
(C)
在稳定状态下，受迫振动的振幅与固有频率无关；
(D)
在稳定状态下，外力所作的功大于阻尼损耗的功。

8. 关于共振，下列说法正确的是： 【
A
】
(A)
当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅为无限大；
(B)
当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅很大，但不会无限大；
(C)
当振子为有阻尼振动时，位移振幅的极大值在固有频率处；
(D)
共振不是受迫振动。

9. 下列几个方程，表示质点振动为“拍”现象的是： 【
B
】
(A)yAcos(
ω
t

1< br>)Bcos(
ω
t

2
);(B)yAcos(200 t)Bcos(201t

);
(C)x
1
A
1cos
ω
t,y
2
A
2
sin(
ω
t

);

10. 一质点作简谐振动，周期为
T
，质点 由平衡位置到二分之一最大位移处所需要的时间为
由最大位移到二分之一最大位移处所需要的时间为
11. 两个同频率简谐交流电
i
1
(t)
和
i2
(t)
的振动曲线如图所示，则位相差

2

1


12. 一简谐振动用余弦函数表示，振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：
A=10 cm
，
(D)x
1
A
1
cos
ω
t,y
2
A
2
cos2
ω
t
1
T
；
12
1
T
。
6

2
。
填空选择(11)填空选择(12)




6
rads
，



3

2
13. 一质量为
m
的质点在力
F

x
的作用下沿
x
轴运动(如图所示) ，其运动周期为
2m
。

14. 试在图中画出谐振子的动能，振动势能和 机械能随时间而变的三条曲线。(设
t=0
时物体经过
平衡位置)
填空选择(13)填空选择(14)

15. 当重力加速度
g
改变
dg
时，单摆周期
T
的变化
dT

l
gg
dg
，一只摆钟，在
g=9.80 ms
2
2
处走时准 确，移到另一地点后每天快
10s
，该地点的重力加速度为
9.8023ms
。

16. 有两个弹簧，质量忽略不计，原长都是
10cm
，第一个弹簧 上端固定，下挂一个质量为
m
的物体
后，长
11cm
，两第二个弹簧 上端固定，下挂一质量为
m
的物体后，长
13cm
，现将两弹簧串联，上端固定，下面仍挂一质量为
m
的物体，则两弹簧的总长为
0.24m
。

1
x
1
610
2
cos(5t

)(SI)
2
17. 两个同方向同频率的简谐振动，振动表达式分别为：，它们< br>x
2
210
2
sin(

5t)(SI)< br>的合振动的振幅为
810
2
1
m
，初位相为
< br>
。
2
x
1
Acos(

t)
3
5

)
18. 一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别 为：
x
2
Acos(

t
3
x
3Acos(

t

)
其合成运动的运动方程为
x 0
。

二、 计算题



1. 一物体沿
x
轴作简谐振动，振幅为
10.0cm
，周期为
2.0 s
。在
t=0
时坐标为
5.0cm
，且向
x
轴负方向 运动，求在
x=-6.0cm
处，向
x
轴负方向运动时，物体的速度和加速度 。

物体的振动方程：
xAcos(

t

)
，根据已知的初始条件得到：
x10cos(

t
物体的速 度：
v10

sin(

t
2

3
)


3
)

物体的加速度：
a10

cos(

t

3
)

3< br>
4
)
，
sin(

t)
33535

4
根据物体向
X
轴的负方向运动的条件，
sin(

t)

35
当：
x6.0cm
，
610cos(

t

)
，
cos(
t

所以：
v8

10

2
ms
，
a6

2
10
2
ms< br>2

2. 一质点按如下规律沿
X
轴作简谐振动：
x0.1 cos(8

t2

3)
（
SI
）
(1)

求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加
速度最大值；
计算题(2)
(2)

分别画出这振动的
x-t
图。
2

1

周期：
Ts
；

4
振幅：
A0.1m
；
初相位：


2

；
3

速 度最大值：
x
max
A

，
x
max
 0.8

ms

2
2


x
ms
2
加速度最大值：< br>
max
A

，
x
max
6.4


3. 定滑轮半径为
R
，转动惯量为
J
，轻绳绕过滑 轮，一端与固定的轻弹簧连接，弹簧的倔强系数为
K
；另一端挂一质量为
m
的 物体，如图。现将
m
从平衡位置向下拉一微小距离后放手，试证物体作
简谐振动，并求 其振动周期。(设绳与滑轮间无滑动，轴的摩擦及空气阻力忽略不计)。

以物体的平衡位置为原点建立如图所示的坐标。

x
物体的运动方程：
mgT
1
m



x

R
对于弹簧：
T
2
k(xx
0
)
，
kx
0
mg

滑轮的转动方程：
(T
1
T
2
)RJ

x
由以上四个 方程得到：


k
J
(
2
m)
R
x0


计算题(3)

令


2
k
J
(
2
m)
R


x

x0
物体的运动微分方程：

m< br>物体作简谐振动。振动周期：
T2


4. 一个轻弹簧在
60N
的拉力作用下可伸长
30cm
。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小
物体，它们的总质量为
4kg
。待静止后再把物体向下拉
10cm
， 然后释放。问：
2
k
J
R
2

(1)
此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
(2)
如果使放在振动物 体上的小物体与振动物体分离，则振幅
A
需满足何条件？二者在何位置开
始分离？

物体的振动方程：
xAcos(

t

)
< br>根据题中给定的条件和初始条件得到：
k
F

0
，
k
60
200Nm

0.3


k
52s

m
选取向下为< br>X
轴的正方向，
t0
：物体的位移为为正，速度为零。
所以初位相

0

物体的振动方程：
x0.1cos52t

22
物体的最大加速度 ：
a
max
A

5ms

小物体的运动方程：
mgNma
，物体对小物体的支撑力：
Nmgma

小物体脱离物体的条件：
N0

22
2
即
ag 9.8ms
，而
a
max
5ms9.8ms

(1)

此小物体停在振动物体上面;
(2)

如小物体与振动物体分离，小物体运动的加速度：
ag9.8ms
2

有：
A

g
，
A
2
g
< br>2

A0.196m
，两个物体在振动最高点分离。

5. 两个同振动方向，同频率的谐振动，它们的方程为
x
1
=5cost (cm)
和
x
2
=5cos(t+2) (cm)
，
如有另一个同振向同频率的谐振动
x
3
，使得
x
1
，
x
2
和
x
3
三个谐振动的合振动为零。求第三个谐振动
的 振动方程。

已知
x
1
5cos

t
，
x
2
5cos(

t
x'x
1
 x
2
Acos(

t

)


2
)

2
AA
1
2
A
2
2A
1
A
2
cos (

2


1
)
，
A52cm


arctg
A
1
sin

1
A2
sin

2

，



A
1
cos

1
A
2
cos

2
4
4
5

x
3
52cos(

t)

4

6. 已知两同
x'52cos(

t

)
，
xx'x
3
0
，
x< br>3
x'

振向同频率的简谐振动：
31
x
10.05cos(10t

),x
2
0.06cos(10t< br>
)(SI)

55
(1)

求合成振动的振幅和初相位；
(2)

另有一个同振动方向的谐振动
x
3
0.07cos(10t

3
)(SI)
，问< br>
3
为何值时
x
1
x
3
的振
幅为 最大，

3
为何值时
x
2
x
3
的振幅为 最小;
(3)

用旋转矢量图示
(1)
、
(2)
的结果。


(1) x
1
和
x
2
合振动的振幅：
2
AA
1
2
A
2
2A
1
A
2
cos(

2


1
)

计算题(6)
A0.09m

振动的初相位

arct g
A
1
sin

1
A
2
sin

2

A
1
cos

1
A
2< br>cos

2

68
0

(2)
振动
1
和振动
3
叠加，当满足
3



3


1
2k

, 即

3
2k



时合振动的振幅最大。 5
AA
1
2
A
3
2
2A
1A
3
cos(

3


1
)A1
A
3

A0.12m

振动
2
和振动
3
的叠加，当满足：



3


2
(2k1)


即

3
(2k1)



振幅最小。
2
AA
3
2
A
2
2A
3
A
2
cos(

2


3
)A
3
A
2

1
5

A0.01m

计算题(6)
计算题(6)

单元二 简谐波 波动方程

一、选择题
1. 频率为
100Hz
，传播速度为
300ms
的平面简谐波 ，波线上两点振动的相位差为
两
【
C
】
点相距

，则此
3
：
(A)

2m;

(B)

2.19m;

(C)

0.5m;

(D)

28.6m

2 . 一平面余弦波在

0
时刻的波形曲线如图所示 ，则
O
点的振动初位相

为：
【
D
】
(A)0;
1
(B)

;
2(C)

;
31
(D)

,or


22
选择题(2)选择题(3)
3. 一平面简谐波 ，其振幅为
A
，频率为
v
，波沿
x
轴正方向传播 ，设
tt
0
时刻波形如图
所示 ，则
x=0
处质点振动方程为：
【
B
】

(A)yAcos[2

v(tt
0
)]
2

(C)yAcos[2

v(tt
0
)]
2

(B)yAcos[2

v(tt0
)]
2
(D)yAcos[2

v(tt
0< br>)

]

4. 某平面简谐波在
t=0
时的波形曲线和原点(
x=0
处)的振动曲线如图
(a)(b)
所示 ，则该简谐波
的波动方程
(SI)
为：
选择题(6)
选择题(4)
【
C
】
(A)y2co s(

t
(C)y2cos(

t

2x
x

2
);
);
(B)y2cos(

t
(D)y2cos(

t

2
xx
3

)
2

2

2
< br>2

2

)
5. 在简谐波传播过程中 ，沿传播方向相距为

，（

为波长）的两点的振动速度必定： 【
A
】
2
(A)
大小相同 ，而方向相反 ；
(B)
大小和方向均相同 ；
(C)
大小不同 ，方向相同；
(D)
大小不同 ，而方向相反 。
6. 横波 以波速
u
沿
x
轴负方向传播，
t
时刻的波形曲线如图，则该 时刻： 【
D
】
(A)

A
点的振动速度大于零；
(B)

B
点静止不动；
(C)

C
点向下运动；
(D)

D
点振动速度小于零
【
C
】
7. 当机械波在媒质中传播时 ，一媒质质元的最大变形量发生在：
(A)
媒质质元离开其平衡位置最大位移处；
(B)
媒质质元离开其平衡位置(
(C)
媒质质元在其平衡位置处；
(D)
媒质质元离开其平衡位置
【
C
】
2A
)处；
2
A
处(
A
是振动振幅)。
2
8. 一平面简谐波在弹性媒质中传播 ，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置过程中：
(A)

它的势能转换成动能；
(B)

它的动能转换成势能 ；
(C)

它从相邻的一段媒质质元获得能量 ，其能量逐渐增加；
(D)

它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元 ，其能量逐渐减小 。

9. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时 ，在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处 ，则它的
能
【
B
】
量是：
(A)
动能为零 ，势能最大；
(B)
动能为零 ，势能为零；
(C)
动能最大 ，势能最大；
(D)
动能最大 ，势能为零 。

二、填空题

1. 一平面简谐波的波动方程为
y=0.25cos(125t-0.37x) (SI)
， 其圆频率

125rads
，
波速
u337.80ms
， 波长

16.97m
。
2. 一平面简谐波沿
X
轴正方向传播 ，波速
u=100ms
，
t=0
时刻的波形曲线如图所示 ，波长

0.8m
，振幅
A0.2m
， 频率

125Hz
。

u
填空题(2)
填空题(3)
3. 如图所示 ，一平面简谐波沿
OX
轴正方向传播 ，波长为

，若
P
1
点处质点的振动方程为
y
1
Acos(2

vt
)
，则
P
2
点处质点的振动方程为
y
2Acos(2

t2

L
1
L
2

2
)

]
；与
P
1
点 处质点振动状态相同的那些点的位置是
xk

L
1
,
k1,2,3,
。
4. 一简谐波沿
OX
轴负方向传 播，
x
轴上
P
1
点处振动方程
P
P
10.04cos(

t
点坐标减去
P
1
点坐标等于
)(SI)
，
X
轴
P
2
3

，（

为波长） ，则
P
2
点振动方程：
4
1

处质
4< br>y
P
2
0.04cos(

t

)。
5. 已知
O
点的振动曲线如图
(a)
，试在图
(b)
上画出
x
点
P
的振动曲线 。
6. 余弦波
yAcos

(t
x
)
在介质中传播 ，介质密度为

0
，波
c
的传播过程也是能量传播过程 ，不同位相的波阵面所携带的能量
也不同 ，若在某一时刻去观察位相为

处的波阵面 ，能量密度
2
填空题(5)

为
A

；波阵面位相为

处能量密度为
0
。

三、计算题

1. 如图所示 ，一平面简谐波沿
OX
轴传播 ， 波动方程为
yAcos[2

(vt
22
x
)

]
，求

(1)P
处质点的振动方程；
(2)
该质点的速度表达式与加速度表达式 。
L

P
处 质点的振动方程：
yAcos[2

(vt)

]


（
xL
,
P
处质点的振动位相超前）

2A

vsin[2

(vt)

]
P
处质点的速度：
vy


4A
< br>2
v
2
cos[2

(vt)

]
P
处质点的加速度：
a

y


L
L
计算题(1)
2. 某质点作简谐振动 ，周期为
2s
，振幅为
0.06m
，开始计时(
t=0
) ，质点恰好处在负
向最大位移处 ，求
(1)

该质点的振动方程；
(2)

此振动以速度
u=2 ms
沿
x
轴正方向传播时 ，形成的一维筒谐波的波动方程；
(3)

该波的波长 。

质点作简谐振动的标准方程：
yAcos(2

t


)
，由初始条件得到：
y0.06cos(

t

)

T
x
)

]
, 波长：

uT
，

4m

2
一维筒谐 波的波动方程：
y0.06cos[

(t
3. 一平面简谐波在介质中以速度
u=20 ms
自左向右传播 ，已知
在传播路径上的某点
A
的振动方程为
y3cos(4
< br>t

)(SI)
，另一点
D
在
A
点右方< br>9
米处。
(1)

若取
X
轴方向向左 ，并以
A
为坐标原点 ，试写出波动
方程 ，并求出
D
点的振动方程 ;
(2)

若取
X
轴方向向右 ，以
A
点左方< br>5
米处的
O
点为
x
轴原
点 ，重新写出波动方程及
D
点的振动方程 。

X
轴方向向左，传播方向向右。
A
的振动方程：
y3cos(4

t

)
（坐标原点）
波动方程：
y3co s[4

(t
x
)

]

20
计算题(3)

将
x9m代入波动方程，得到
D
点的振动方程：
y
D
3cos(4
t
4

)

5
5
)

]

20
取X轴方向向右，< br>O
点为
X
轴原点，
O
点的振动方程：
y
O< br>3cos[4

(t
波动方程：
y3cos[4
(t
x5x
)

]
，
y3cos4

(t)

202020
将
x14m
代入波动方程，得到
D
点的振动方程：
y
D
3cos(4

t< br>4

)

5
可见，对于给定的波动，某一点的振动方程与坐标 原点以及
X
轴正方向的选取无关。
4. 一平面简谐波沿
OX
轴的 负方向传播，波长为

，
t=0
时
刻，
P
处质点的 振动规律如图所示。
(1)

求
P
处质点的振动方程；
(2)

求此波的波动方程。若图中
d
处质点的振动方程。

2
，求坐标原点
O

P
处质点的振动方程：< br>y
P
Acos[2

根据图中给出的条件：
T4s

t


]

T
计算题(4)
由初始条 件：
t0,y
P
A
，



，y
P
Acos[
原点
O
的振动方程：
y
O
Acos[(
波动方程：
yAcos(
如果：< br>d

2
t

]


2
t
2

d

)

]
（
O点振动落后于
P
点的振动）

2
t
2
< br>(xd)

)

]

11

，原点
O
的振动方程：
y
O
Acos

t

22
单元三 波的干涉 驻波 多普勒效应

一、 选择、填空题
1. 如图所示，两列波长为

的相干波在
P
点相遇，
S
1点的初位相
是

1
，S
1
到
P
点的距 离是
r
1
，
S
2
点的初位相是

2，S
2
到
P
点的距
离是
r
2
，以k代 表零或正、负整数，则
P
点是干涉极大的条件为：
【
D
】
选择填空题(1)
选择填空题(2)

(A)r
2
r
1
k

;
(B)

2


1
2k

;
(C)

2


1

(D)

2


1

2

(r
2
r
1
)
2k

;

2k


2

(r
1
r
2< br>)

2. 如图所示，
S
1
，S
2
为两相 干波源，其振幅皆为
0.5m
，频率皆为
100Hz
，但当
S
1
为波峰时，
S
2
1
点适为波谷，设在媒质中的波速为
10ms
，则两波抵达
P
点的相位差和
P
点的合振幅为：
【
C
】
(A)200

,1m;(B)201

,0.5m;(C)201

,0;(D)200

,0;(E )201

,1m

3. 两相干波源
S
1
和< br>S
2
的振动方程是
y
1
Acos(

t

2

S
1
距
P
点6个波长，
S
2
)
和
y
2
Acos

t
，
距
P
点为
13.4
个波长，两波在
P
点的相位差的 绝对值是
15.3
。
4. 在弦线上有一简谐波，其表达式为
y
1
2.010cos[100

(t
2
x4

)]
(SI)
为了在此弦线上形
203
成驻波，并在
x=0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为： 【
D
】

x

)](SI)
203
x 4
(B)y
2
2.010
2
cos[100

(t)

](SI)
203

x

(C)y< br>2
2.010
2
cos[100

(t)](SI)
203
x4
(D)y
2
2.010
2
cos[ 100

(t)

](SI)
203
(A)y
2
2.010
2
cos[100

(t
5. 如图所 示，为一向右传播的简谐波在
t
时刻的波形图，
BC
为波密介质的反射面，波 由
P
点反射，则反射波在
t
时
刻
【
B
】
6. 如果在固定端
x=0
处反射的反射波方程式是
的波形图为
y
2
Acos2

(t
x

)，设反射波无能量损失，那么入射波
x
的方程式
y
1
Acos [2

(

t

)

]
，形 成驻波的表达式
选择填空题(5)
y2Acos(2

x



2
)cos(2

t

2
)
。
2

x
)
，入射波在
x=0
处绳端反 射，反射端为自
2

x
7. 在绳上传播的入射波波动方程
y
1
Acos(

t

由端，设反射波不衰减，则反射波波动方 程
y
2
Acos(

t

)
，形成驻 波波动方程

y2Acos
2

x< br>
cos

t
。
8. 弦线上的驻波方程为
y Acos(
2

x



2
)cosωt
，则振动势能总是为零的点的位置是
x(2k1)

4
；振动动 能总是为零的位置是
xk

2
。其中
(A)
k0,1 ,2,3

9. 已知一驻波在
t
时刻各点振动到最大位移处，其波形 如图
(B)
(A)
所示，一行波在
t
时刻的波形如图
(B)
所示，试分别在图
(A)
、图
(B)
上注明所示的
a
、
b
、
c
、
d
四点此时的运动速度的
方向(设为 横波)。
在图
A
中：
v
a
v
b
v< br>c
v
d
0


二、计算题
1. 两列 相干平面简谐波沿
X
轴传播。波源
S
1
与
S
2相距
选择填空题(9)
d=30 m
，
S
1
为坐标原点。已知
x
1
=9 m
和
x
2
=12 m
处的
两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两
波源的最小位相差。

选取
X
轴正方向向右，
S
1
向右传播，
S
2
向左传播。
两列波的波动方程：
y
1
A
1
cos[(

t
x
2

)

10
]


计算题(1)
dx
2

)

20
]


x
1
9m
和x
2
12m
的两点为干涉相消。
y
2
A
2
cos[(

t
满足：

2

1
[(

t
dx


2
)

20
][(

t
)(2k1)


x

2

)

10
]( 2k1)


(

20


10
)2

(
(

20


10
)2

(
两式相减：
4

(
x
1

x
2


dx
1
dx
2



)[2(k1)1]


x
1
x
2
x
1
)2

，

6m
。由
(

20


10
)2

(


dx
1

)(2k1)


1，2，3
，两波源的最小位相差：

20


10


得到
(

20


1 0
)(2k1)

4

,
k0，
2.
(1)
一列波长为

的平面简谐波沿
X
轴正方向传播。已知 在
x

2
处振动方程
y=Acost
，试
写出 该平面简谐波的波动方程；
(2)
如果在上述波的波线上
xL(L

2)
处放一和波
线相垂直的波密介质反射面，如图，假 设反射波的振幅为
A'
，

计算题(2)

试证明反射波的方程为
y'A'cos(

t
2

x


4

L

)


已知
x

2
处振动方程：
yA cos

t

原点处
O
点的振动方程：
2

)
，
y
O
A cos(

t

)


2
2

x


)
平面简谐波的波动方程：
yA cos(

t
y
O
A cos(

t

反射面处入射波的振动方程：
yA cos(

t

)


2

L
)
（波疏到波密介质，反射波发生

相变）反射面处反射波的振动方程：
y'A' cos(

t


2

L
)
（反射波沿
X
轴负方向传播，
O
点的反射波在原点
O
的振动方程：
y'
O
A' cos(

t2

振动位相滞后）
反射波的方程：
y'
O
A' cos(

t
2

L< br>2

x


4

L

)< br>
3. 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的方程为：
y
1
0.06 cos

(x4t)
y
2
0.06 cos

(x4t)

(1)

证明细绳上作驻波振动，并求波节和波腹的位置;
(2)

波腹处的振幅有多大？在
x=1.2m
处振幅有多大？

y
1
0.06 cos(

x4t

)
，
y
1
0.06 cos(4

t

x)
向右传播的行波。
y
2
0.06 cos(

x4t

)
，
y
2
0.06 cos(4t



x)
向左传播的行波。
两列波的频率相等、且沿相反方向传播，因此细绳作驻波振动:
y2Acos

xcos4

t

A
合
2Acos

x

1
，
k0,1,2,3

2
2
波幅满足 ：

xk

，
xk
，
k0,1,2, 3

波节满足：

x(2k1)
，
xk
波幅处的振幅：
A
合
2Acos

x
，将
xk
和
A0.06m
代入得到：
A0.12m

在
x1.2m
处，振幅：
A2Acos

x
，
A0.1 2cos1.2

，
A0.097m



tx
)
，在
x=0
发生反射，反射点为一固定端，求：
T

(1)
反射波的表达式；
(2)
驻波的表达式；
(3)
波腹、波节的位置。
4. 设入射波的表达式为
y
1
A cos2

(

入射波：
y
1
A cos2

(
tx
 )
，反射点
x=0
为固定点，说明反射波存在半波损失。
T

tx
反射波的波动方程：
y
2
A cos[2

()

]

T


（2

根据波的叠加原理， 驻波方程：
y2A cos
x

＋

2


1
2x
）cos(2

t


)

T将

1
0
和

2


代入 得到：驻波方程：
y2Asin2

驻波的振幅：
A
合
 2Asin2

波幅的位置：
2

波节的位置：
2


cos(2

t

2
)

x


(2k1)
，
x(2k1)
，k0,1,2，3


24
x
x


k

，
x
x
k

，
k 0,1,2，3
（因为波只在
x>0
的空间，
k
取正整数）
2
cos

t
，求： 5. 一驻波的表达式
y2Acos2


(1)
x

2
处质点的振动表达式；
(2)
该质点的振动速度。

驻波方程：
y2Acos2

x

cos
t
，在
x

2
处的质点，振幅：
2Aco s2

x

2A

振动表达式：
y2Acos(

t

)

2A

sin(

t

)
，
v2A

sin

t
该质点的振动速度：
vy
6. 一固定波源在海水中发射频率为

的超声波 ，射在一艘运动的潜艇上反射回来，反射波与入射波
的频率差为

，潜艇的运动速度
V
远小于海水中的声速
u
，试证明潜艇运动的速度为：
V
u


2

v

根据多普勒效应，舰艇收到的信 号频率：

'(1)

（波源静止，观察者背离波源运动）
u
u
)

'
（观察者静止，波源背离观察者运动） 潜艇反 射回来的信号频率：

''(
uV
uVu

''() (1)

，
V()(



'')
， 当
Vu
，



''2

,





''
，
uVu



''
u
V


2

7. 一个观测者在铁路边，看到一列火车从远处开来，他测得远处传来的火车汽笛声的频率为
650
Hz
，当列车从身旁驶过而远离他时，他测得汽笛声频率降低为
540 Hz
，求火车行驶的速度。已知
空气中的声速为
330 ms
。

根据多普勒效应, 列车接近观察者时，测得汽笛的频率：

'(
朝
着观察者运动）
列车离开观察者时，测得汽笛的频率：

''(
u
)

0
（观察者静止，波源
uv
s
u
)

0
（观察者静止，波源背离观察者运动）
uv
s

由上面两式得到：

'
uv
s

'

''

u
,
v
s
30.5ms
，列车行驶的速度：
v
s


''uv
s

'

''
单元四 (一) 振动和波习题课

一、填空、选择题
1. 如图所示一平面简谐波在t=0
时的波形图，则
O
点的振动方程
y
0
0.04 cos(0.4

t
波的波动方程

2
)
，该< br>y0.04cos(0.4

t5

x

2< br>)

选择填空题(1)
选择填空题(2)

波的标准方程为< br>yAcos[

(t)

]
，将图中所示的数据代入即 可得
O
点和波动方程。

2. 如图一平面简谐波在
t=0
时刻的波形图，试在图
(b)
、
(c)
画出
P
处质点和< br>Q
处质点的振动曲线，
并写出相应的振动方程。其中波速
u20ms.x, y
以米计，
t
以秒计。
1
x
u

平面 简谐波的方程为
yAcos[

(t)

]
， y0.2cos[2

(0.5t
P
点振动方程：
y
P
0.2cos[2

(0.5t

x
u
x

)]

402
20

)]0.2cos[

t]

4022
30

)]0.2cos[

t

]

402
Q
点振动方程：
y
Q
0.2 cos[2

(0.5t

选择填空题(2)选择填空题(2)

3. 如图为一平面简谐波在< br>t
时刻的波形曲线，其中质量
选择填空题(3)
元
A
、
B
的
y
A
y
B
若此时
A
点动能增大。 则：
【
B
】
(A)A
的弹性势能在减少；
(B)
波沿
x
轴负方向传播；
(C)B
点振动动能在减少；
(D)
各质量元的能量密度都不随时间变化。

A
点动能增大，说明波沿
X
轴的负方向传播，答案
A
、
C
和
D
与情况不符。

4.如图所示，
P
点距波源
S
1
和
S
2
的距离分别为
3
和
103
，

为两列波在介质中的波长，若
P
点
的合振幅总是极大值，则两波源应满足的条件是

0


2

1
2k


2

。
3

根据两列波叠加，振幅具有最大值的条件为是两列波在
P
点振动的位相差：

(

2


1
)2

r
2
r
1

2k


r
2r
1
两列波源的初位相差：

0


2< br>

1
2k

2



2k


2


3
选择填空题(5)选择填空题(4)

5. 如图所示，
S
1
和
S
2
为两相干波源，它们的振动方向均垂直图面，发出波长为

的简谐波。
P
点是
两列波相遇区域一点，已知
S
1
P=2
，
S
2
P=2.2
，两列波在
P
点 发生的相消干涉，若
S
1
的振动方程
为
y
1
Ac os(2

t

2
)
，则
S
2
的振动方程为： 【
D
】
(B)y
2
Acos(2

t

);


);
2


(C)y
2
Acos( 2

t);
2
(A)y
2
Acos(2
t
(D)y
2
2Acos(2

t0.1
)

两列波在
P
合成振动振幅的最小值条件为

两列波在
P
点的位相差：

(

2


1
)2

r
2
r
1

(2k1)


两列波源的初位相差：

0


2


1
(2k1)< br>
2

r
2
r
1

(2k 1)


2


5
2

2


1



，所以：
y
2
Acos(2

t0.1

)

55210
tx
6.如果入射波的方程式是
y
1
Acos2
()
，在
x=0
处发生反射后形成驻波，反射点为波腹，
T

tx2

设反射后波的强度不变，则反射波的方程式
y
2
Acos2

()
；在
x
处质点合振动的振
T

3
k0
，

2


< br>幅等于
A
。

反射波沿
X
轴正方向，且反射点为波腹，无半波损失。
所以
y
2
Acos2

(
将
x

二、计算题

1. 一轻弹簧的倔强系数为
k
，其下悬有一质量为
m
的盘子，现有一质量为
M
的物体从离盘
h
高度处
自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动
txx
)
，驻波方程：y2Acos2

cos2

t

T
< br>
2

代入驻波方程，得到该处质点振幅为
A
。
3
(1)

此时振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?
(2)

此时的振动的振幅多大?
(3)

取平衡位置为 原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振
动时为计时起点，求初相，并写出物体与盘子的振动的
方程。


研究对象为倔强系数为
k
的弹簧、质量为
m
的盘子和质量
为
M
的物体。
选取系统的平衡点
O
原点，物体振动在任一位置时满足的


x
方程：
(mM)gk(xx
0
x'
0
)(m M)


式中：
Mgkx
0
,mgkx'
0

2
计算题(1)

x

2
x0
，式中：

所以，

k

mM
m

k
(1)
物体
M
未粘之前，托盘的振动周期：
T
0
2

物体
M
粘之后，托盘的振动周期：
T2

mM
，由此可见托盘振动的周期变长。
k

(2)
物体
M
与托盘
m
碰撞，在
X< br>轴方向（垂直方向）动量近似守恒。
M2gh(mM)v
0
，
v
0

M
mM
2gh

M
Mg
，
v
0

mM
k
(
以物体粘上托盘开始运动为起始 时刻：
t0
，
x
0

2gh

M)
2
2gh
2
v
0
Mg
22
)mM
托盘和物体振动的振幅：
Ax
0

2
(
k

k
mM
A
Mg2kh
1

k(mM)g
v

(3)
振动的初位相：
tg


0
，
x
0< br>



arctg
2kh
（位移为负，速度为正 ，
(mM)g
，物体和托盘的振动方程：

为第三象限）
x

Mg2khk2kh
1cos(t

arctg)

k(mM)gmM(mM)g
2. 如图所示，两根相同的弹簧与质点
m
联接，放在光
滑水平面上。弹簧另一端各固定在墙上，两端墙之间距
离等于弹簧原长二倍，令
m
沿水平面振动，当
m
运动
到二墙中点时，将一质量为
M< br>的质点轻轻地粘在
m
上
(设粘上
m
前，
M
的 速度为
O
)。求
M
与
m
粘上前后，振
动系统的圆频 率。

x

m
质点振动的微分方程：

2k
x0

m
计算题(2)
m
质点振动的圆频率：


2k

m
M
与
m
粘上以后，系统振动的圆频率：

'
2 k

mM
M
与
m
粘上后，系统振动振幅的计算；
设原来的振动振幅为
A
，粘上以后系统的振动振幅为
A'
。
在水平方向系统的动量守恒（平衡位置）：
mv
max
(mM)v'
m ax

v'
max

mm
v
max
A< br>

mMmM
m
A


mM
因为
v'
max
A'

'
，所以：
A'

'

M
与
m
粘上后，系统振动振幅：
A'

m
A

mM
x
3. 一平面简谐波沿
X
正方向传播，波函数

Acos[2

(vt

)< br>
0
]
求
(1)x=L
处媒质质点振动的初位相；
(2)
与
x=L
处质点的振动状态在各时刻相同的其它质点位置；
(3)
与
x=L
处质点在各时刻振动速度大小均相同，而振动方向均相反的各点的位置 。
L

(1)
xL
处振动方程：

Ac os[2

(

t)

0
]



Acos[2

t(
2

L



0
)]Acos(2

t

)
, 初位相：


2

L


0

(2)
xL
处质点在任意时刻的振动方程：

Acos[2

(

t
L

)< br>
0
]

x
距离原点
x
处的一点在任意时刻 的振动方程：

x
Acos[2

(

t两各质点的振动状态一样，须满足：

)

0
]

[2

(

t
L

)
0
][2

(

t
x

)
0
]2k

,
xk

L
，
k1,2,3,4,

L

2

Asin[2

(

t )

0
]

(3)
xL
处质点在任意时刻 的振动速度方程：



2

Asin[2

(

t
x
)

]
距离原点
x
处的一点在任意时刻的速度振动方程：

x0

如果速度大小一 样，振动方向相反，须满足：
[2

(

t
L

)

0
][2

(

t

2
x

)

0
](2k1)

x(2k1)

L
，
k1,2,3,4,

*4. 一平面余弦波 沿
X
轴正向传播，已知
a
点的振动
表示式为

a< br>Acos

t,
在
X
轴原点
O
的右侧l
处有
一厚度为
D
的媒质
2
，在媒质
1
和媒质
2
中的波速为
u
1
和
u
2
，且< br>
1
u
1


2
u
2
，如 图所示。
(1)

写出
1
区沿
X
正向传播的波的波函数；
(2)

写出在
S
1
面上反射波的波函数(设振幅为
A
1R
)；
(3)

写出在
S
2
面上反射波在
1
区的波函数(设回
到
1
区的反射波振幅为
A
2R
)；
计算题(4)

(4)

若使上两列反 射波在
1
区内叠加后的合振幅
A
为最大，问媒质
2
的厚度< br>D
至少应为多厚?

a
点振动方程为：

a
Acos

t
, 原点< br>O
处质点的振动方程：

O
Acos

(t(1)1
区沿
X
正方向的波函数：

1
Acos
(t
d
)

u
1
xd
)

u
1
(2)
在反射面
S
1
上，波是从波疏媒质到波密媒质，有半波损失。
反 射波在反射面
S
1
的质点振动方程：

1R
Acos[< br>
(t
反射波在原点
O
的振动方程：

O1RAcos[

(t
反射波在
1
区沿
X
轴负 方向波函数：

1R
Ld
)

]

u
1

2Ld
)

]

u
1

A
1R
cos[

(t
x(2Ld)
)

]

u
1
(3) < br>波传播到
S
2
面上时的振动方程：

2
Acos< br>
(t
xdD
)

u
1
u
2
LdD
)

u
1< br>u
2
在反射面
S
2
上，波是从波密媒质到波疏媒质，无半波损 失。
反射波在反射面
S
2
的质点振动方程：

2R
Acos

(t
反射波在原点
O
的振动方程：
< br>O2R
Acos

(t
2Ld2D
)
u
1
u
2
反射波在
1
区沿
X
轴负方向 波函数：

2R
Acos

[t
x(2Ld)2D
]

u
1
u
2
(4)
两列反射波在
1
区叠加，振幅
A
为最大，须满足：
< br>

[
x(2Ld)2Dx(2Ld)
][
< br>

]2k


u
1
u
2
u
1
2D

2D
2k



，令
k = 1




()

 2k

，
u
2
u
2
媒质
2
的厚度 至少为：
D

u
2
2




单元四 (二) 杨氏双缝实验

一、填空题
1. 相干光满足的条件是1）频率相同；2）位相差恒定；3）光矢量振动方向平行，有两束相干光, 频
率 为

，初相相同，在空气中传播，若在相遇点它们几何路程差为
r
2
r
1
,
则相位差


< br>2

(r
2
r
1
)
。
c
2. 光强均为
I
0
的两束相干光相遇而发生干涉时，在相遇区域 内有可能出现的最大光强是
4I
0
。可能
出现的最小光强是
0
。
3. 在真空中沿
Z
轴负方向传播的平面电磁波，
O
点处电场 强度
E
x
300cos(2

t

3
则
)
(SI)
，
O
点处磁场强度：
H
y
300
间的关系。

0

cos(2

t)
。用图示表明电场强度、磁场强度和传播速度之

0
3
填空题 (3)

4. 试分析在双缝实验中，当作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化?
填空题(4)
(A)

双缝间距变小：条纹变宽；
(B)

屏幕移近： 条纹变窄；
(C)

波长变长： 条纹变宽；
(D)

如图所示，把双缝中的一条狭缝挡住，并在两缝垂直平分线上放一块平面反射镜： 看到的
明条纹亮度暗一些，与杨氏双缝干涉相比较，明暗条纹相反；
(E)

将光源
S
向下移动到
S'
位置：条纹上移。

二、计算题

1. 在双缝干涉的实验中，用波长

546nm
的单色光照射，双缝与屏的距离
D=300mm
，测得中央
明条纹两侧的两个 第五级明条纹之间的间距为
12.2mm
，求双缝间的距离。

由在杨氏双 缝干涉实验中，亮条纹的位置由
x
D
k

来确定。
d
D
10


d
用波长

54 6nm
的单色光照射，得到两个第五级明条纹之间的间距：

x
5

双缝间的距离：
d
D
10



x5
d
300
1054610
9
m
，
d 1.3410
4
m

12.2

2. 在一双缝实验中，缝间距为
5.0mm
，缝离屏
1.0m< br>，在屏上可见到两个干涉花样。一个由

480nm
的光产生，另一个由
'600nm
的光产生。问在屏上两个不同花样第三级干涉条纹间
的距离是多 少?

对于

480nm
的光，第三级条纹的位置：
x 
D
3


d
D
对于

'60 0nm
的光，第三级条纹的位置：
x'3

'

d
D
5
那么：

xx'x3(

'
< br>)
，

x7.210m

d
单元五 双缝干涉（续）劈尖的干涉，牛顿环

一、 选择、填空题

1. 在相同的时间内，一束波长为

的单色光在空气中和在玻璃中： 【
C
】
(A)
传播的路程相等，走过的光程相等；
(B)
传播的路程相等，走过的光程不相等；
(C)
传播的路程不相等，走过的光程相等；
(D)
传播的路程不相等，走过的光程不相等。
2. 如图，如果
S
1
、
S
2
是两个相干光源， 它们到
P
点的距离分别为
r
1
、
r
2
和， 路径
S
1
P
垂直穿过一
块厚度为
t
1
，折 射率为
n
1
的介质板，路径
S
2
P
垂直穿过厚度为
t
2
，折射率为
n
2
的另一介质板，其余
部分可看 作真空，这两条路径的光程差等于： 【
B
】
(A)(r
2
n
2
t
2< br>)(r
1
n
1
t
1
);(B)[r
2< br>(n
2
1)t
2
][r
1
(n
1< br>1)t
1
];

(C)(r
2
n
2< br>t
2
)(r
1
n
1
t
1
);( D)n
2
t
2
n
1
t
1
选择填空题(2 )选择填空题(3)

3. 如图所示，在双缝干涉实验中
SS
1
=
SS
2
用波长为

的光照射双缝
S
1
、
S
2
，通过空气后在屏幕
E
上形成干涉条纹，已知
P
点处为第三级明条纹，则
S
1
、
S
2
到
P
点的光程差为
3

。若将整个装置放
于某种透明液体中，
P
点为第四级明条纹，则该液体的折射率
n1.33
。
4. 一双缝干 涉装置，在空气中观察时干涉条纹间距为
1.0mm
，若
整个装置放在水中，干涉条纹 的间距将为
0.75mm
。(设水的折射
率为
43
)
5. 如图所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射
的两束光发生干涉，若薄膜厚度为
e
，而且
n
1
n
2
n
3
，

1
为入
选择填空题(5)

射光在折射率为
n
1
的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的位相差为：
【
C
】
ne
ne
(A)
2

n
2
e
；
(B)

4

n
1
e


；
(C)

4

2


；
(D)

4

2

n
1

1
n
1

1
n
1

1
n
1

1
6. 两块平玻璃构成空气劈尖，左边为棱边， 用单色平行光垂直入射，若上面的平玻璃慢慢地向上平
移，则干涉条纹： 【
E
】
(A)

向棱边方向平移，条纹间隔变小；
(B)

向远离棱的方向平移，条纹间隔不变；
(C)

向棱边方向平移，条纹间隔变大；
(D)

向远离棱的方向平移，条纹间隔变小；
(E)

向棱边方向平移，条纹间隔不变。
7. 如图所示，一光学平板玻璃
A
与 待测工件
B
之间形成空气
劈尖，用波长
=500 nm
的单色光垂直入射。 看到的反射光的
干涉条纹如图所示。有些条纹弯曲部分的顶点恰好与 其右边条
纹的直线部分相切。 则工件的上表面缺陷是： 【
B
】
(A)

不平处为凸起纹，最大高度为
500 nm；
(B)
不平处为凸起纹，最大高度为
250 nm;

(C)
不平处为凹槽，最大深度为
500 nm；

(D)
不平处为凹槽，最大深度为
250 nm

选择填空题(7)

8. 如图所示，用单色光垂直照射在观察牛顿环的装置上，当平 凸透镜向上缓慢平移而远离平面玻璃
时，可以观察到这些环状干涉条纹： 【
B
】
(A)
向右平移；
(B)
向中心收缩；
(C)
向外扩张；
(D)
静止不动；
(E)
向左平
选择填空题(8)选择填空题(9)
移

9. 如图所示，平板玻璃和凸透镜构成牛顿环装置，全部浸入
n=1.60
的液体中，凸透镜可沿
OO’
移动，用波长
=500 nm
的单色光垂直 入射。从上向下观察，看到中心是一个暗斑，此时凸透镜顶
点距平板玻璃的距离最少是 【
A
】
(A) 78.1 nm；

(B)

74.4 nm
；
(C)

156.3 nm；

(D) 148.8 nm；

(E)

0

10. 在牛顿环装置的平凸透镜和平板玻璃间充以某种透明液体，观测到第
10
个明 环的直径由充液前
的
14.8 cm
变成充液后的
12.7 cm
，则这种液体的折射率：
n1.36
。

二、计算题
1. 在双缝干涉的实验装置中，幕到双缝的距离
D
远大
于双缝之间的距离
d
。整个双缝装置放在空气中。对于
钠黄光

589.3nm
，产生的干涉条纹相邻两明纹的角
距离（即相邻两明纹对双缝中心处 的张角）为
0.20
。

(1)

对于什么波长的光，这 个双缝装置所得相邻
两明纹的角距离将比用钠黄光测得的角距离大
10%
？
(2)

假想将此整个装置浸入水中（水的折射率
n=1.33
）， 相邻两明纹的角距离有多大？

第
k
级明条纹的位置：
x
k

因为
D>>d
，
tg

k


k

x
D
k

，
tg

k

k

dD
计算题(1)

1


(x
k1< br>x
k
)
，


，
d
Dd

'

已知

0.20
，如果
'0.22
，入射光波长

'd

'
，

'

，

'648.2nm

由图中可以得到： 明条纹的角距离



k1

k
，



589.3nm
，

'443.1nm

n

'443.1
相邻两明纹的 角距离：

'

，

'0.20
0< br>，

'0.15
0


589.3
将此 整个装置浸入水中，光在水中的波长：

'

2. 在折射率为
n =1.68
的平板玻璃表面涂一层折射率为
计算题(2)
n=1.38
的MgF
2
透明薄膜，可以减少玻璃表面的反射光。若有
波长

 500nm
的单色光垂直入射，为了尽量减少反射，则
MgF
2
薄膜的最小厚 度应是多少?

MgF
2
透明薄膜上下两个表面反射光在相遇点的光程差：

2en
2
（上下两个表面的反射光均有半波损失）。
要求反射最小，满足
2en
2
(2k1)

2

MgF
2
薄膜的最小厚度：
e
min


4n
2

8
将
n
2
1.38
和

500nm
带入得到：
e
min
9.05810m


3. 在双缝干涉实验中，单色光源
S
0
到两缝
S< br>1
、
S
2
的距离分
别为
l
1
、l
2
，并且
l
1
l
2
3

,

为入射光的波长，双缝之
间的距离为
d
，双缝到屏幕的距离为
D
，如图，求：
(1)
零级明纹到屏幕中央
O
点的距离；
(2)
相邻明条纹

计算题(3)

间的距离。


两缝发出的光在相遇点的位相差：



10


20

2



根据 给出的条件：

10


20

所以，

6


2


3


2



明条纹满足：

2k
< br>，
6


明条纹的位置：
x
2

2k

，

(k3)


DD

，
x(k3)


dd
3D< br>令
k0
，得到零级明条纹的位置：
x
0


，零级明条纹在
O
点上方。
d
相邻明条纹间的距离：

x

4. 用真空中波长=589.3nm
的单色光垂直照射折射率为
1.50
的劈尖薄膜，产生等厚干 涉条纹，
测得相邻暗条纹间距
l0.15cm
，那么劈尖角

应是 多少?
D


d

劈尖薄膜干涉中，条纹间距
l 
暗条纹的光程差满足：
2ne
k


e
k

sin

1


(2k1)
，
2 ne
k
k


22

e
k
< br>
暗条纹的厚度差：

e
k

，劈尖角：
s in




2nl2nl

sin

1.310
4
rad


5. 用波长为

的平行单色光垂直照射图中所示的
装置，观察空气薄膜上下表面反射光形成的等厚干
涉 条纹，试在图中所示的装置下方的方框内画出相
应的条纹，只画暗条纹，表示出它们的形状，条数
和疏密。

劈尖空气薄膜干涉中，暗条纹的光程差满足：
1

2e

(2k1)
，
2ek


227
B
点干涉级数：
2

k

，
k 3.5

4
即：
B
点不是暗条纹。
明条纹的光程差满足 ：
2e
计算题(5)
11

k

，
2 e(k)

, 将
B
点厚度带入得到：
k4
。
22

说明
B
点是第
4
级明条纹。暗条纹的形状，条数和疏密如图所示。

6. 在牛顿环装置的平凸透镜和平板玻璃之间充满折射率
n=1.33
的 透明液体（设平凸透镜和平板玻
璃的折射率都大于
1.33
），凸透镜的曲率半径为< br>300cm
，波长
=650nm

的平行单色光垂直照射到牛顿环装置上，凸透镜的顶部刚好与平玻璃板接触。求：
(1)

从中心向外数第十个明环所在处液体厚度
e
10
；
(2)

第十个明环的半径
r
10
。
1

在牛顿环干涉实验中明环的光程差满足：
2ne

k


2
2k1
明环所在处液体的厚度：
e


4n
2101
第十个明环所在处液体厚度：
e
10

，
e
10
2.310
6
m

4n
r
2
3
由
e
，可以得到第10 个明环的 半径：
r
10
2Re
10
，
r
10
3 .7210m

2R
单元六 牛顿环（续）单缝衍射， 光学仪器的分辨率

一、 选择、填空题
1. 惠更斯引进子波的概念提出了惠更斯原理，菲涅耳再用 子波相干叠加的思想补充了惠更斯原理，
发展成了惠更斯-菲涅耳原理。

2. 平 行单色光垂直入射于单缝上，观察夫琅和费衍射，若屏上
P
点处为第二级暗纹，则单缝处波面< br>相应地可划分为
4
个半波带，若将单缝缩小一半，
P
点将是
1
级暗纹，若衍射角

增加，则单缝被
分的半波带数增加，每个半波带的面积减 小（与4个半波带时的面积相比），相应明纹亮度减弱。

3. 测量未知单缝宽度
a
的一种方法是：用已知波长

的平行光垂直入射在单缝上，在距单缝的距离
为
D
处测出衍射花样的中央亮纹宽度L，(实验上应保证
D10a
，或D
为几米)，则由单缝衍射的
原理可标出
a
与

，D
，
L
的关系为：
a2

4. 如果单缝夫琅和费衍 射的第一级暗纹发生在衍射角
30°
的方向上，所用单色光波长
3
D

。
L

500nm
，则单缝宽度为
1
m
。

5. 一束波长

的平行单色光垂直入射到一单缝AB
上，装置如图，在屏幕
D
上形成衍射图样，如果
P
是中央亮 纹一侧第一个暗纹所在的位置，则
BC
的长度为 【
A
】

(A) ；

(B)

2；

(C) 32；

(D)

2

选择填空题(5)
选择填空题(6)

6. 在单缝 夫琅和费衍射示意图中，所画出的各条正入射光线间距相等，那末光线
1
与
3
在幕上
P
点上相遇时的位相差为
2

，
P
点应为暗 点（在该方向上，单缝可分为4个半波带）。

7. 当把单缝衍射装置放在水中时，衍射图 样发生的变化是条纹收缩，条纹间距变窄。用公式
asin

(2k1)

2
来测定光的波长，测出光的波长是光在水中的波长。
8. 波长为
< br>的单色平行光，经园孔(直径为
D
)衍射后，在屏上形成同心圆形状（或圆环）的明暗条
纹，中央亮班叫爱里斑，根据瑞利判据，园孔的最小分辨角

1.22
二 、计算题

1. 一平凸透镜放在一平晶上，以波长为

D
。 < br>
589.3nm
单色光垂直照射于其上，测量反射光
的牛顿环，测得从中央 数起第
k
个暗环的弦长为
L
k
3.00mm,
第
(k+5)
个暗环的弦长为
L
k5
4.60mm
，如图所示，求 平凸透镜的球面的
曲率半径
R
。

对于第
k
级暗环：
r
k
kR


对于第
k+5
级暗环：
r
k5
(k5)R


r
2
k5
r
2
k
R

5

由几何关系得到：
计算题(1)
r
2
k(
r
2
k5
L
k
2
L
)r2
k5
(
k5
)
2

22
2< br>k
r
L
k5
2
L
k
2
L
2
k5
L
2
k

()()
，
R
20

22

将

589.3nm
,
L
k< br>3.00mm
和
L
k5
4.60mm
代入得到：
R1.03m


2. 波长为
500nm
的平行光垂直地入射 于一宽为
1mm
的狭缝，若在缝的后面有一焦距为
100cm
的薄
透 镜，使光线会聚于一屏幕上，试求： 中央明纹宽度；第一级明纹的位置，两侧第二级暗纹之间的
距离。

中央明纹宽度：

x
0
f'
2
3
，

x
0
10m

a
第一级明 纹的位置：
asin

(2k1)

2
，
s in


3


2a
3

f'
，
x
1
7.510
4
m

2a2

两侧第二级暗纹之间的距离：

x2f'
，

x
2
2.010
3
m

a
x
1
f'sin



3. 今有白 光形成的单缝夫琅和费衍射图样，若其中某一光波的第
3
级明纹和红光(

 600nm
)的
第二级明纹相重合，求此这一光波的波长。

对于夫琅和费 单缝衍射，明纹的位置：
asin

(2k1)
根据题意：
a sin

(231)

2



'
2
和
asin

(221)

2
(231)


'
2
(221)

2
，

'428.6nm

4. 如图所示，设有一波长为

的单色平面波沿着与缝面的法线成

角的方向入射于宽为
a
的单 狭缝
AB
上，试求出决定各极小值的衍射角

的条件。
1

将单缝上的波面分成宽度为

s
，相邻

s
上各对 应点发出光的光程差为

，

s
称为半波带。
2
如果衍射光与入射光不在同一侧（如左图所示），
AB
两点到
P
点的光程差：

ACBD

计算题(4)
计算题(4)


asin

a sin

，平行于狭缝的半波带的数目：
N
a(sin

sin

)
a(sin

sin

)

2

衍射极小值满足：
N

2
2k
，
a(sin

sin

)k


如 果衍射光与入射光在同一侧（如右图所示），
AB
两点到
P
点的光程差：
ACAD


asin

asin

，平行于狭缝的半波带的数目：
N
a(sin

sin

)
a(sin

sin

)

2< br>
衍射极小值满足：
N

2
2k
，
a( sin

sin

)k


所以，各极小值的衍射角

的条件：
a(sin

si n

)k

a(sin

sin

) k


(IncidencelightandDiffractionlight arenotinthesameside)

(IncidencelightandDif fractionlightareinthesameside)
5. 通常亮度下，人眼瞳孔直径约
3mm
，人眼的最小分辨角是多大？远处两根细丝之间的距离为
2.0mm
， 问离开多远恰能分辨？（人眼视觉最敏感的黄绿光波长

550nm
）


根据瑞利判据：人眼瞳孔的最小分辨角：

1.22

D
2.0

1.22

xD
2.0
D
，
x8.93m

将
< br>550nm
，
D3.0mm
代入得到：
x
1.22
单元七 光 栅
设两根细丝离开
x
远时人眼恰能分辨，则

一、选择、填空题
1. 波长为
500nm
单色光垂直入射到光栅常数为< br>1.010cm
的衍射光栅上，第一级衍射主极大所
4

对应的衍射角

30
。
2. 用波 长为
589.3nm
钠黄光垂直入射在每毫米有
500
条缝的光栅上，求第一 级主极大的衍射角。
(A)

21.7° (B) 17.1° (C) 33.6° (D) 8.4°

【
B
】
3. 波长

550nm
单色光垂直入射于光栅常数
d2 10cm
的平面衍射光栅上，可能观察到的
光谱线的最大级次为： 【
B
】
4
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4. 平面衍射光栅宽
2cm
，共有
8000
条缝。用钠黄光（589.3nm
）垂直照射，可观察到光谱线最大
级次
4
，对应衍射角< br>70
。
5. 一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是： 【
D
】
(A)
紫光
(B)
绿光
(C)
黄光
(D)
红光
6. 设光栅平面、透镜均与屏幕平行。则当入射的平行单色光从垂直于光栅平面入射变为斜入射时，< br>能观察到的光谱线的最高级数
k
： 【
B
】
(A)
变小
(B)
变大
(C)
不变
(D)
改变无法确定
7. 若光栅的光栅常数为
(a+b)
，透光缝宽为
a
，则同时满足
asin

k'

和，
(ab)sin
k

时，
会出现缺级现象，如果
b=a
，则光谱中缺
k2,4,
级。如果
b=2a
，缺
k3,6,
级
8. 一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数
(a+b)
为下列哪种情况时， (
a
代表每条缝的宽
度)，
k=3、6、9
等级次的主极大均不出现 ：
【
B
】
(A) a+b=2a

(B) a+b=3a (C) a+b=4a (D) a+b=6a
二、计算题

1. 用一束具有两种波长

1
600nm,

2
400nm
的平
行光垂直 入射在光栅上，发现距中央明纹
5cm
处，

1
光
的第k
级主极大和

2
光的第
(k+1)
级主极大相重合， 放
置在光栅与屏之间的透镜的焦距
f=50 m
，试问：
(1)
上述
k=?；(2)
光栅常数
d=?


根据题意对于两种波长的光有：
dsin

k

1和
dsin

(k1)

2

从上面两式 得到：
k

2

1


2
< br>计算题(1)
将

1
600nm,

2
 400nm
带入解得，
k2

又
xfsin

，
xf
k

1
k

1
，
df

dx

d50cm
2600nm
5
，
d1.210m

5cm
3
2. 一衍射光栅，每厘米有
200
条透光缝，每条透光 缝宽为
a210cm
，在光栅后放一焦距
f=1m
的凸透镜，现以

600nm
单色平行光垂直照射光栅，求：
(1)
透光缝
a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少?
(2)
在该宽度内，有几个光栅衍射主极大?


单缝衍射中央明条纹的角宽度：

0
2
，

0
610
4
r ad

a
中央明条纹宽度：

x
0
f

0
2f

a
2
，

x
0
610m

10
2
m
，
d510
5
m
光栅 常数：
d
200
单缝衍射的第一级暗纹的位置：
asin

k'

，
asin

1



在该方向上光栅衍射主极大的级数：
dsin

1
k


两式相比：
k
d
5
5
，将
a210m< br>和
d510m
带入：
k2.5

a
0
即单缝衍射中央明条纹宽度内有
5
个光栅衍射主极大：
＋2
，
＋1< br>，
0
，
－1
，
－2

3. 波长为

600nm
的单色光垂直入射到光栅上，测得第
2
级主极大的衍射角为< br>30
，且第三级
缺级，问：
(1)

光栅常数
(a+b)
是多少?
(2)

透光缝可能的最小宽度
a
是多少?
(3)

在选定了上 述
(a+b)
与
a
值后，屏幕上可能出现的全部主极大的级数。
k

2600nm
6

由光栅衍射方程：
ds in

k

，
d
，
d2.410m
0
sin

sin30
光栅衍射缺级级数满足：
k
d
k'

a
d2.4

m
6
，
a0.810m


k3
d
0
屏幕上光栅衍射 谱线的可能最大级数：
dsin90k

，
k
，
k4
（该衍射条纹不可能观
如果第三级谱线缺级，透光缝可能的最小宽度：
a

测到）。
屏幕上光栅衍射谱线的缺级级数：
k3

屏幕上可能出现的全部主极大的级数：
2,1,0
，共
5
个条纹

4. 以波长为

500nm
的单色平行光斜入射在光栅常数< br>ab2.10

m
，缝宽
a0.70

m的光
栅上，入射角
i=30
，问屏上能看到哪几级谱线?
0

在斜入射情况下，光栅方程：
d(sinisin

)k

入射光和衍射光在同一侧：令

90
，
d(sin30s in90)k

，最大谱线级数：
k6.3

000
d (sin30sin90)k

，入射光和衍射光不在同一侧：令

9 0
，最大谱线级数：
k2.1

000

d
k'
，
k3k'
，
k3,6,9

a
屏上能看到的谱线级数：
k5,4,2,1,0,1,2
， 共
7
条谱线。

缺级级数：
k
单元八 （一）光的偏振

一、选择、填空题
2
1. 马吕斯定律的数学表达式为
II< br>0
cos

。式中
I
为通过检偏器的透射光的强度，
I
0
为入射线
偏振光的强度；

为入射光矢量的振动方向和检偏器偏 振化方向之间的夹角。
2. 两个偏振片堆叠在一起，偏振化方向相互垂直，若一束强度为
I
0
的线偏振光入射，其光矢量振
动方向与第一偏振片偏振化方向夹角为
的光强 为
0
。
3. 光强为
I
0
的自然光依次通过两个偏振片< br>P
1
和
P
2
，
P
1
和
P< br>2
的偏振化方向的夹角

30,
则透射
偏振光的强度
I
是： 【
E
】
.
1

，则穿过第一偏振片后的光强为I
0
，穿过两个偏振片后
2
4
I
(A)
0;
4
(B)
3I
0
4
;(C)
3I
0
2

;(D)
I
0
;
8
(E)
3 I
0

8
4. 使一光强为
I
0
的平面偏振光先 后通过两个偏振片
P
1
和
P
2
，
P
1和
P
2
的偏振化方向与原入射光光
【
C
】
矢振动方向的夹角分别是

and90
，则通过这两个偏振片后的光强
I< br>是：
(A)
1
I
0
cos2

;
2
(B)0;(C)
11
I
0
sin
2
(2

);(D)I
0
sin
2

;
44

E

I
0
cos
2< br>

5. 当一束自然光在两种介质分界面处发生反射和折射时，若反 射光为完全偏振光，则折射光为部分
偏振光，且反射光线和折射光线之间的夹角为
1

。反射光的光矢量振动方向垂直于入射面。
2
6. 一束自然光自空气射向一块平玻 璃（如图），设入射角等于布儒斯特角
i
0
，则在界面
2
的反射光< br>是： 【
B
】
(A)

自然光；
(B)

完全偏振光且光矢量振动方向垂直于入射面；
(C)

完全偏振光且光矢量振动方向平行于入射面；
(D)

部分偏振光。
选择填空题(6)

选择填空题(8)

7. 一 束平行的自然光，以
60
角入射到平玻璃表面上，若反射光束是完全偏振的，则透射光束的折< br>射角是
30
；玻璃的折射率为
3
。
8.
ABC D
为一块方解石的一个截面，
AB
为垂直于纸面的晶体平面与纸面的交线，光轴方向在 纸面内
且与
AB
成一锐角

，如图所示，一束平行的单色自然光垂直 于
AB
端面入射，在方解石内折射光分
解为
o
光和
e
光，
o
光和
e
光的： 【
C
】

(A)

传播方向相同，电场强度的振动方向互相垂直；
(B)

传播方向相同，电场强度的振动方向不互相垂直；
(C)

传播方向不同，电场强度的振动方向互相垂直；
(D)

传播方向不同，电场强度的振动方向不互相垂直。
9. 在光学各向异性晶体内部有一确定的方向，沿这一方向寻常光和非常光的传播速度相等，这一方< br>向称为晶体的光轴，只具有一个光轴方向的晶体称为单轴晶体。

二、 计算题
1. 两偏振片叠在一起， 欲使一束垂直入射的线偏振光经过这两个偏振片之后振动方向转过了
90
，
且使出射光强尽可能大，那么入射光振动方向和两偏振片的偏振化方向间的夹角应如何 选择？这种
情况下的最大出射光强与入射光强的比值是多少？


设入射线 偏振光的强度为
I
0
，入射光振动方向
A
和两偏振片的偏振化方向如 图所示。
根据题意：



90

2
通过
P
1
的偏振光强度：
I
1
I
0
co s

；通过
P
2
的
0

22
偏振 光强度：
I
2
I
0
cos

cos
< br>
1
I
0
sin
2
2


4
1
0
显然 当



45
时 ，出射光强最大。
I
2
I
0

4
I
1
最大出射光强与入射光强的比值：
2

< br>I
0
4
将

90

代入得到：
I
2

0
计算题(1)

2. 将三块偏振片叠放在一起， 第二个与第三个的偏振化方
向分别与第一个的偏振化方向成
45
和
90
角。
(1)
光强为

I
0
的自然光垂直地射到这一堆偏 振片上，试求经每一偏振
片后的光强和偏振状态；
(2)
如果将第二个偏振片抽走，< br>情况又如何？

按照题意，三块偏振片的偏振化方向如图所示。
1
I
0
，为线偏振光；
2
11
20
通过
P
2
的光强：
I
2
I
0
cos45，
I
2
I
0

24
通过
P
1
的光强：
I
1

为线偏振光；
计算题(2)

20
通过
P
3
的光强：
I
3
I
2
cos45
，
I
3

1
I
0
，为线偏振光；
8
20
如果将第二个偏振片抽走，
I
3
I
1
cos90
，
I
3
0

3. 三块偏振片
P
1
、
P
2
、
P< br>3
平行地放置，
P
1
的偏振
化方向和
P
3< br>的偏振化方向垂直，一束光强为
I
0
的平
行单色自然光垂直入射到偏振 片
P
1
上，若每个偏振
片吸收
10%
的入射光，当旋转偏振 片
P
2
时(保持平
面方向不变)，通过
P
3
的最大 光强
I
等于多少？

通过
P
1
的光强：
I
1

111
I
0
I
0
10%,
I
1
0.9I
0

222
计算题(3)
通过
P
2
的光强：
1
I
2
I
1
cos
2

I
1
cos
2

10%
,
I
2
0.81I
0
cos
2

2
2020
通过
P
3
的光强：
I
3
 I
2
cos(90

)I
2
cos(90

)10%

11
I
3
0.729I
0
cos
2

sin
2

，
I
3
0.729I
0
sin
2
2


28
1
0
显然当

45
时，通过
P
3
的最大 光强：
I
3
0.729I
0
，
I
3
 0.091I
0

8

单元八（二） 波动光学习题课

一、选择、填空题
1. 真空中波长为

的单色光，在折射率为
n
的均匀透明媒质中，从
A
点沿某一路径传播到
B
点，
若 < br>A
、
B
两点位相差为
3π
，则路径
AB
的光 程为： 【
A
】

(A)l1.5

;(B)l1.5n

;(C )l3

;(D)l1.5

n

2. 用波长为

的单色光垂直照射如图的劈尖膜
(n
1
> n
2
>n
3
)
，观察反射光干涉。从劈尖顶开始算起，
第二 条明纹中心所对应的膜厚度
e

2n
2


亮条纹满足的光程差条件：

2n
2
ek


第二条（
k1
）亮条纹对应膜的厚度：
e

2n2

选择填空题(3)

选择填空题(2)

3. 在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在< br>接触点
P
处形成的圆斑为： 【
D
】
(A)
全明；
(B)
全暗；
(C)
右半部明，左半部暗；
(D)
右半部暗，左半部明。


右半部份上下两个面的光程差：

R
2n
2
e
，左半部份上下两个面的光程差：

L
2n
2
e

2
所以在
e0
处，

R


2
和

L
0
，
P
处形成的圆斑右半 部暗，左半部明。
4. 惠更斯-菲涅耳原理的基本内容是：波阵面上各面积元所发出的子波在观察点
P
的相干叠加，决
定了
P
点的合振动及光强。
5. 光在 装满水的玻璃容器底部反射时的布儒斯特角
i
b
tg
折射率
1.3 3
。
6. 一束光是自然光和线偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片，若以此入射光束为 轴旋转偏振片，
测得透射光强度最大值是最小值的
5
倍，那么入射光束中自然光和线偏 振光的光强比值为
1
n
2
48.4
。设玻璃折射率
1 .50
， 水
n
1
I
0
1

。
I
p
2

设自然光强度为
I
0
，线偏振光强度为
I
P
透射光最大时：
I
0
I
p
，透射光最小时：
I
0
，根据题意有：
I
0
I
p
5
0
1
2
1
2
1
2
I
1
1
所以
0


I
0
，
I
p
2
2
7. 自然光以
60
的入射角照射到某两介质交界面时，反射光为完全偏振光，则知折射光为：【
D
】
(A)

(B)

(C)

(D)


二、计算题
完全偏振光且折射角是
30
；
部分偏振光且只在该光由真空入射到折射率为
3
的介质时，折射角是
30
；
部分偏振光，但须知两种介质的折射率才能确定折射角；
部分偏振光且折射角是
30
。
0
0
0

因为反射光为偏振光时：
i
b


90
，折射光为部分 偏振光，

30

1.一双缝的缝距
d=0.40 mm
，两缝宽度都是
a=0.080 mm
，用波长为

480n m
的单色光垂直照
射双缝，在双缝后放一焦距
f=2.0 m
的透镜，求：
(1)

在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距；
(2)

在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目和相应的级数。

(1)

由
dsin

k

得相邻两个亮纹间距：
xf(tg

k1
tg

k
)f
48 0nm
2.4mm
，

x2.410
3
m

6
0.410nm
d
(2)
由于单缝衍射极小值而形成缺级的亮纹级数：
kk'5k'

a
所以单缝衍射中央亮条纹范围内的双缝干涉条纹的数目为
9
条

d


x2000mm

相应的级数：
01234

2. 如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平面玻璃有一小缝
e
0
。现用波长为

单色光垂直照射，已
知平凸透镜的曲率半径为
R
，求反射光形成的牛顿环的各 暗环半径。

上下两个表面任意厚度两束光光程差为：
r
k
2


2(e
0
)

2R2
r
k
2

)(2k1)

暗纹满足：

2(e
0

2R22
暗环的半径：
r
k
(k

2e
0
)R


计算题(2)
3.
(1)
在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两 种波长，

1
400nm,

2
760nm
已 知单
缝宽度
a1.010cm
，透镜焦距
f=50 cm
。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。
2
(2)
若用光栅常 数
d1.010
3
cm
的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两 种光第一级
主极大之间的距离。

(1)
单缝衍射明纹满足：
a sin

(2k1)
对于

1
400nm
，
sin

1
3

2

f

1

2a
2a

f

对于

2
760nm
，
sin

'
1
3
2
，
x'
1
fsin

'
1
3
2

2a2a
f
x'
1
x
1
3(

2


1
)2.7mm
，
x'
1
x
1
2.7mm

2a
，x
1
fsin

1
3

1
(2)
两种光入射
d1.010
3
cm
的光栅，谱线的光栅方程dsin

k



f

对于
1
400nm
，
sin

1

1
，
x
1
fsin

1

1
< br>d

f

对于

2
760nm
，
sin

'
1

2
，
x'
1fsin

'
1

2

dd
fx'
1
x
1
(

2


1
)18mm
，
x'
1
x
1
18mm

d
d
4. 以氢放电管发出的光垂直照射到某光栅上，在衍射角
=41
的方向上看到

1
656.2nm
和
0

2
410.1nm
的谱线相重合，求光栅常数最小是多少？

对于
1
656.2nm
，满足
dsin

k

1
， 对于

2
410.1nm
，满足
dsi n

k'

2

设

1
65 6.2nm
的第
k
级谱线和

2
410.1nm
的第
k'
级谱线重合。
则满足：
k'

2
k< br>
1
，
k'

2
8
kk
，k
和
k’
均为整数。

2
5

1< br>656.2nm
发生重合的谱线级数：
k5,10,15,20


2
410.1nm
发生重合的谱线级数：
k'8,16,24,32 

从光栅方程
dsin

k

1
可以看出，给定衍射角

和波长

，谱线 级数越高，要求光栅常数越大。
所以
k5
级

1
65 6.2nm
谱线和
k'8
级

2
410.1nm
谱线重合所对应的光栅常数为最小：
d
min

5

1
5.010
6
m

sin

5. 一光束由强度相同的自然光和线偏振光混合而成，此光束垂直入射到几个叠在一起的偏振片上。
(1)

欲使最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向，并且入射 光中两种成分的
光的出射光强相等，至少需要几个偏振片？它们的偏振化方向应如何放置？
(2)

这种情况下最后出射光强与入射光强的比值是多少？

(1)

设入射自然光强度为
I
0
，入射线偏振光强度I
p0
，根据题意
I
0
I
p0

为满足题目的要求，至少需要
2
片偏振片，放置位置如图所示。
1
I
0

2
1
2
自然光通过
P< br>2
出射光强为：
I
2
I
0
sin


2
自然光通过
P
1
，光强为
I
1
< br>线偏振光通过
P
1
，光强为：
I
p1
I
p 0
cos
线偏振光通过
P
2
出射光强为：
2


I
p2
I
p1
sin
2

I
p0
cos
2

sin
2


根据题目要求：
I
2
I
p2

1< br>I
0
sin
2

I
p0
cos
2

sin
2


2
1
0
2
将
I
0
I
p0
代入得到：
cos

，

45


2
I2
1I
1

0


(2)
最后总的出射光强：
II
2
I
p2
I
0，
I
0
I
p0
I
0
I
0
4
2
计算题(5)
6. 如图所示，
A
是一块有小圆孔
S
的金属挡板，
B
是一块方解石，其光轴方向在纸面内，
P
是一块偏振片，
C
是屏幕。一束平行的自然光穿过小孔
S
后，垂直入射到方解石 的端面上，当以入射光线
为轴，转动方解石时，在屏幕
C
上能看到什么现象？

自然光入射方解石晶体，在晶体中形成光振动相互垂直的
o
光和
e
光，出射光形成两个光点。
11
I
0
和
I
e1< br>A
2
e1
I
0

22
当方解石以入射光 为轴旋转时，入射偏振片
P
之
I
o1
A
在空气中：
2
o1

前，
I
o1
传播方向不变，偏振方向变化；I
e1
的传
播方向变化，偏振方向发生变化。
设开始时偏振片
P
偏振化方向与
I
o1
和
I
e1
的传播
方 向在纸面内，偏振片
P
方向和
I
e1
的振动方向
一致。将方 解石转旋一个角度，即
P
和
A
e1
之间
计算题(6)

的角度为

，屏幕
C
两光的光强分 别为：
I
1

11
I
0
cos
2

和
I
2
I
0
sin
2


22
结果：1）
I
2
光点的位置不变，强度发生周期性变化；
2）
I
1
光点绕
I
2
光点旋转，强度发生周期性变化； < br>3）
I
1
I
2
I
0
2
，两束光 的光强发生明暗交替的变化。
单元九 洛仑兹变换 狭义相对论的时空观

一、 选择、填空题
1. 下列几种说法:
(1)

所有惯性系对物理基本规律都是等价的；
(2)

在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关；
(3)

在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度都相同。
其中哪些说法是正确的？ 【
D
】
(A)
只有
(1)
、
(2)
是正确的；
(B)
只有
(1)
、
(3)
是正确的；
(C)
只有
(2)
、
(3)
是正确的；
(D)
三种说法都是正确的。
2. 在一惯性系
S
中同一地点，同时发生的两个事件，在 相对于它运动的任一惯性系
S’
中的观察者
看来，必定同时同地发生。
3. 如果两个事件在某惯性系中是在同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，
只有在此 惯性系中最短。
如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间距离 ，只有在此
惯性系中最短。
4. 宇宙飞船相对地面以匀速度
u
直线飞行， 某一时刻宇航员从飞船头部向飞船尾部发出一光讯号，
经
t
时间(飞船上的钟)后传 到尾部，则此飞船固有长度为: 【
A
】
(A)c

t;(B)u

t;(C)< br>c

t
;
u
1()
2
c
u
(D)1()
2
c

t
(
c
为真空中光速)
c
5. 边长为
a
的正方形薄板静止 于惯性系
S
的
XOY
平面内，且两边分别与
X
，
Y
轴平行，今有惯性系
S’
以
0.8 c
(
c
为真 空中光速)的速度相对于
S
系沿X轴作匀速直线运动，则从
S’
系测得薄板的
面积为： 【
B
】
(A)a;
2
(B)0.6a;
2
( C)0.8a;
2
a
2
(D)

0.6
6. 牛郎星距离地球约
16
光年，宇宙飞船若以
0.97c
的匀速度飞行，将用
4
年的时间(宇宙飞船的
钟指示的时间)抵达牛郎星。

二、计算题

1. 观察者
A
测得与他相对静止的XOY
平面上一个圆的面积是
12cm
，另一观察者
B
相对A
以
0.8c
(
c
为真空中光速)平行于
XOY< br>平面作匀速直线运动，
B
测得这一图形为一椭圆，面积是多少?
2

观察者
A
测得
XOY
平面上一 个圆的面积
S

r
2
12cm
2

观 察者
B
测得的面积：
S'

ab
，其中
ar< br>（垂直于运动方向，长度不发生收缩）
u
2
br1
2
（运动方向上长度发生收缩）
c
u
2
u
2
S'

r1
2
，
S'S1
2
，将
S12cm
2
和
u0.8c
代入得到：
S'7.2cm
2

cc
2

2. 一宇宙飞船固有长度
L
0
90m
，相对地面以
u=0.8c
匀速度在一观测站上空飞过，则观测站测
得飞船船身通过观测站时间间隔是多少？宇航员测得船身通过 观测站的时间隔是多少？
u
2

观测站测得飞船船身的长度：
L L
0
1
2
，
L54m

c
L547
，

t
，

t2.2510s
< br>u0.8c
L
90
7
宇航员测得船身通过观测站的时间隔：

t'
0
，

t'
，

t'3.7 510s

u0.8c
船身通过观测站时间间隔：

t

3. 在惯性系
S
中，有两个事件同时发生在
X
轴上相距
1000 m
的两点，而在另一惯性系
S’
(沿
X
轴方向相对于
S< br>系运动)中测得这两个事件发生的地点相距
2000 m
。求在
S’
系中测得这两个事件
的时间间隔。

惯性系
S
中两个同时不同地事件：事件
1
：
x
1
,t，事件
2
：
x
2
,t

惯性系
S’
中测得这两个事件间隔：事件
1
：
x'
1
,t'
1
，事件
2
：
x'
2
,t'< br>2

u

x
2
根据洛伦兹变换式，
S’< br>系中测得这两个事件的时间间隔：

t'
c

2
u
1
2
c

3
u
2

x'
2
1
2
()
，
uc

S’
系中测 得这两个事件的空间间隔：

x'
，由此式解得：
2
c

x
2
u
1
2
c

x
u

x
3
2
6
c
将
u
，得到

t'5.6710s

c
代入

t'
2< br>u
2
1
2
c


4. 观测者甲和乙分别 静止于两个惯性参照系
S
和
S’
中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间
间隔为
4s
，而乙测得这两个事件的时间间隔为
5s
，求:

(1) S’
相对于
S
的运动速度；
(2)
乙测得这两个事件发生的地点的距离。