外交学院研究生院-潘迪生

第十五章 机械振动

一 选择题
1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( )
A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；
B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；
C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；
D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。
解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。
答案选C。
2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ）
A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动；
C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动；
D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。
解：A中小球没有受到回复力的作用。
答案选A。
3. 一个轻质弹簧竖直悬挂 ，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l而平衡。
则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ）
A.
g
B.
l
l
g
C. D.
g
l
l

g
k

m
g
。
l
解 由kl=mg可得k=mgl，系统作简谐振动时振动的固有角频率为


故本题答案为B。
4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻 取
作t=0，则振动初相

为（ ）
A.

π
π
B. 0 C.
2
2
D. π
解 由
xAcos(

t

)
可得振动速度为
v

dx


Asin(

t

)
。速度正最大时
dt
π
有
cos(

t

)0
，
sin(

t

)1
，若t=0，则


。
2
故本题答案为A。
5. 如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为k
1
和k
2
的两个轻弹簧连接，在光滑
导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )

A.

2π
k
1
k
2

m
kk
2
B.


2π
1

m
k
1

k
2

m
C.


D.


1
2π
1
2π< br>k
1
k
2

mk
1
.k
2
k
1
.k
2

m(k
1
k
2
)
选择题5图
解：设当m离开平 衡位置的位移为x，时，劲度系数为k
1
和k
2
的两个轻弹簧的伸长
量分别为x
1
和x
2
，显然有关系
x
1
x
2
x

此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有
k
1
x
1
k
2
x
2

m
d
2
x
dt
2
k
1
x
1< br>
由前面二式解出
x
1

k
2
x
， 将x
1
代入第三式，得到
k
1
k
2
k
1
k
2
x

k
1
k
2
dt
2
k
1
.k2
将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令

2

，即得振动 频率
m(k
1
k
2
)
m
d
2x


1
2π
k
1
.k
2
。
m(k
1
k
2
)
所以答案选D。
6. 如题图 所示，质量为m的物体由劲度系数为k
1
和k
2
的两个轻弹簧连接，在光滑< br>导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 ( )
k
1

m
选择题6图
k
2

A. v2π
C. v
1
2π
k
1
k
2
1
B. v
m
2π
k
1
k
2
1
D. v
mk
1
.k
2
2π
k
1
 k
2
m
k
1
.k
2
m(k
1
k
2
)

解：设质点离开平衡位置的位移是x，假设x>0，则第一个弹簧被拉 长x，而第二个
弹簧被压缩x，作用在质点上的回复力为 ( k
1
x+ k
2
x)。因此简谐振动的动力学方程

m
d
2x
dt
2
(k
1
k
2
)x
< br>令

2

k
1
k
2
1
k
1
k
2
，即
v

2π
m
m
所以答案选B 。
7. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 ( )
A. kA
2
B. (12 )kA
2
C. (14)kA
2
D. 0
解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D。
8. 一弹 簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增
加为原来的4倍，则它的总能 量为 ( )
A. 2E B. 4E C. E D. 16E
1
2
kA
，所以答案选B。
2
9. 已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为
解：因为
E
x
1< br>5cos(10t0.75π)cm；x
2
6cos(10t0.25π)cm

则合振动的振幅为 ( )
A.
61
cm B.
11
cm C. 11cm D. 61cm
2
解
AA
1
2
A
2
2A
1
A
2
cos

(
2


1< br>)

5
2
6
2
256cos(0.25 π0.75π)61

所以答案选A。
10. 一振子的两个分振动方程为x
1
= 4 cos 3 t ，x
2
= 2 cos (3 t +π) ，则其合振动方
程应为：（ ）
A. x = 4 cos (3 t +π) B. x = 4 cos (3 t π)
C. x = 2 cos (3 t π) D. x = 2 cos 3 t
解：x =x
1
+ x
2
= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t +π)= 4 cos 3 t  2 cos 3 t = 2 cos 3 t
所以答案选D。
11. 为测定某音叉C的频率，可选定两个频率已知的音叉 A和B；先使频率为800Hz
的音叉A和音叉C 同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz音叉B和C同
时振动，每秒钟听到一次强音，则 音叉C的频率应为： （ ）
A. 800 H z B. 799 H z C. 798 H z D. 797 H z
解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A和音叉C同时振动时，
拍的频率是2 H z，音叉B和音叉C同时振动时，拍的频率是1H z，显然音叉C的频率
应为798 H z。

所以答案选C。

二 填空题
1. 一质量为m的质点在力F = π
为 。
π
解：
T2
mm
2π
2
2m
。
k
π
2
x作用下沿x轴运动，其运动的周期
2. 如图，一水平弹 簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为ω
A、加速度为零和弹性力为零的状态，对 应曲线上的 点，振子处在位移的绝对
值为A、速度为零、加速度为 ω
2
A和弹性力为 kA的状态，则对于曲线上的 点。
解：b ； a、e 。
x
x(m)
A
O
a
b
d
e
0.04
1
c
t
O
0.04
1
2t(s)
A
填空题2图 填空题3图
3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为
x =_ m。
π
解：
0.04cos(πt)
。
2
4. 一物体作简谐振动，其振动方程为x = 0.04 cos (5πt 3 π 2 ) m。
(1) 此简谐振动的周期T = 。
(2) 当t = 0.6 s时，物体的速度v = 。
解：（1）由5π 3 =2π T，得到T= 1.2s；（2）v= 0.04 5π3sin (5πt 3 π 2 )，
当t = 0.6 s时，v = 0.209 m . s
–1
。
5. 一质点沿x轴做简谐振动，振动中心点为x轴的原点。已知周期为T，振幅为A，
(1)若t =0时刻质点过x=0处且向x轴正方向运动，则振动方程为_______；(2)若t =0时
质点位于x=A2处且向x轴负方向运动，则振动方程为_______。
解：（1）
xAcos(2
t
tπ
（2）
Acos(2
2)
；
π)

T3
T
6. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m，旋转角速度
ω= 4πrads，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x
= 。
解：t=0时x=0，v>0，所以振动的初相位是π2。故x
O
x
ω
t = 0
填空题6图

π
=
0.04cos(4πt)
。
2
7. 质量为m的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅
为A的简谐振动时，此系统的振动能量E = 。
解：因为km

m
2
4π
2
T
2
8. 将质量为 0.2 kg的物体，系于劲度系数k = 19 Nm的竖直悬挂的弹簧的下端。
1
2
A
2
2
πm
2
。 ，所以
EkA2
2
T
假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为______ ____，
振幅为____________。
解： 1.55 Hz；
Ax
2
0
2
v
0

2
=0.103< br>m
x(m)
9. 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定：
（1） 在 s时速度为零；
（2） 在 s时动能最大；
（3） 在 s时加速度取正的
最大值。
解：（1）0.5(2n+1)， n=0,1,2,3…；
（2）n，n=0,1,2,3…；
（3）0.5(4n+1)，n=0,1,2,3…。
0
1 2
3
t(s)
填空题9图
10. 一质 点作简谐振动，振幅为A，当它离开平衡位置的位移为
x
E
k
和势能Ep
的比值
E
k
=__________。
E
p
A
时，其动能
2
解 势能
E
p
E
1
1
2
1
2
3
总机械能为
EkA
2
，动能
E
k
kA
2

。故
k
3
。
kxkA
，
E
p
2
288
11. 两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为

2ππ2ππ
t)
(SI)，
x
2
4.010
2
cos(t)
(SI)，则其合振
T4T4
动的表达式为________________(SI)。
解 本题为个同方向同频率简谐振动的合成。
(1) 解析法 合振动为
xx
1
x
2
，

x
1< br>6.010
2
cos(
x6.010
2
cos(
2ππ2ππ
t)4.010
2
cos(t)

T4T4
2π2π2π
t)sin(t)]7.210
2
c os(t

)

TTT
210
2
[5cos(

其中


11.3°
(2) 旋转矢量法 如图所示，用旋转矢量A
1
和A
2
分别表示两个简谐振动x
1
和x
2
，合振动为A
1
和A
2
的合矢量A，按矢量合成的平行四边形法则
A10
2
6
2
4
2
7.210
2
m，
Asin

1
A
2
sin
2
1

,

11.3
°
tan


1

A
1
cos
< br>1
A
2
cos

2
5
A
1

A
故合振动的表达式为
x7.210
2
cos(
2π
t11.3)

T
O
A
2

x

三 计算题
1. 已知一个简谐振动的振幅A = 2 cm，圆频率ω= 4πs
1
，以余弦函数表达运动规
律时的初相位

=π 2。试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线）。
解：圆频率ω= 4πs
1
，故周期T=2πω= 2π4π=0.5s ，又知初相位

=π 2，故
位移和时间的关系为x = 0.02cos（4πt +π 2）m，振动曲线如下图所示。
x(m)
0.02
0.25
0.02
2. 一质量为0.02kg的质点作简谐振动，其运动方程为x = 0.60 cos(5 t π2) m。
求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。
dxπ
解：（1）

v
3.0sin(5t)

dt2
π

v
0
3.0sin()3.0
ms
2
（2）
Fmam

2
x

x=A2=0.3 m时，
F0.025
2
0.30.15
N。
3. 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a 。今用手指沿竖直方向将其慢
慢压下，使其浸入水中部分的高度为 b ，然后放手让其运动。试证明：若不计水对木
块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。
证明：选如图坐标系:，静止时:
mg

gaS(1)

0.50
t(s)
S
任意位置时的动力学方程为：
mg

gx
将(1)代入(2)得


gS (xa)m
dx
2
m
2
------(2)
dt
dx

dt
2

2
o
x
d
2
xd
2
ydy
2

令
yx a
，则 ，上式化为：


gSym
2

dt
2
dt
2
dt

dy
2


2
y0
------(3) 令


得:
2< br>m
dt
上式是简谐振动的微分方程,它的通解为:
yAcos(
< br>t

0
)

2

gS
所以木块的运动是简谐振动.
振动周期:
T
2

2
ma

2

gSg
y
2
0
2
v
0
t0
时，x
0
b
，
y
0
ba
，
v
0
0
振幅:
A


2
ba
< br>4.在一轻弹簧下悬挂m
0
=100g的物体时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬 挂
m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cms< br>的初速度（令这时t=0）.选x轴向下，求振动方程
解：在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。
弹簧的劲度系数
km
0
gl
。
当该弹簧与物体
m
构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：
xAcos[
t

]

角频率为

km
代入数据后求得

7
rad s
1

以平衡位置为原点建立坐标，有：
x
0
0.04
m,
v
0
0.21
ms
1

据
A x
0
2
(v
0


)
2
得：A0.05
m
据

cos
1
x
0
得

0.64
rad,由于
v
0
0
,应取

0.64
rad
A
于是，所求方程为：
x0.05cos(7t0.64)
m
据

cos
1
x
0
得

 2
,由于
v
0
0
,应取

2

A
于是，其振动方程为：
x
2
0.06cos(10t2)
m
5. 已知某质点作 简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求（1）振动

表达式，（2）与P点 状态对应的相位，（3）与P点状态相应的时刻。
解 （1）设振动表达式为
x = A cos (

t+

)
由题图可见，A=0.1m，当t = 0时，有
x(m)
0.10
0.05
O
P
4.0
计算题5图
t(s)
π
x
0
0.1cos

0.05
m，这样得到


。由振
3
动曲线可 以看到，在t = 0时刻曲线的斜率大于
零，故t =0时刻的速度大于零，由振动表达式
可得
v
0
= 2

sin

> 0
即sin

< 0，由此得到初相位


π
。
3
类似地，从振动曲线可以看到，当t=4s时有
π
x
4
0.1cos(4

)0

3
π
v
4
0.1

sin(4

) 0

3
5
ππ
联立以上两式解得
4

 
，则

π
rad s
1
，因此得到振动表达式
24
32
5
π
x0.10cos(
π
t) m
243
5
π
5
π
（2）在P点，
x 0.10cos(
π
t)0.1
，因此相位
(
π
t) 0
。
243243
5
π
（3）由
(
π
t)0
，解出与P点状态相应的时刻t = 1.6 s。
243
6. 两个质点在同方向作同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当它们经过< br>振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并画出相遇处的旋转矢量
图。
解：因为
A
Acos(

t

1
)Acos(

t

2
)
，所以
2
π
3
π
3
A
2
o



A
1
x

t

1
,

t

2

，
故


0 或
2π
2π
，取



。
3
3
旋转矢量图如左。
7. 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24Nm，重物的质量m = 6kg，
重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之
由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运
F
动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。
m
O
计算题7图
x

解：设物体振动方程为：x = A c o s (ωt +

)，恒外力所做的功即为弹簧振子的能量
E：
E = F 0.05 = 0.5 J
当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能即为弹簧振子的能量E：
kA
2
2= 0.5
由此球出振幅A = 0.204 m 。
根据ω
2
= k m = 246 = 4 ( r a d s )
2
，求出ω= 2 r a d s 。
按题中所述时刻计时，初相位为

=π。所以物体运动方程为
x = 0.204 c o s (2 t +π) m
8. 一水平放置的弹簧系一小球在光滑的水平面作简谐振动。已知球经平衡位置向
右运动时，v = 100 cms
1
，周期T = 1.0s，求再经过13秒时间，小球的动能是原来的多
少倍？弹簧的质量不计。
解：设小球的速度方程为：
v = v
m
c o s (2πt T +

)
以经过平衡位置的时刻为t = 0，根据题意t = 0时 v = v
0
= 100 cm s
-1
，且 v＞0。所以
v
m
= v
0
，

= 0
此时小球的动能E
k0
= m v
0
2
2。
经过1 3秒后，速度为v = v
0
c o s [2π（3T）] =  v
0
2 。其动能
E
k
= m v
2
2 = m v
0
2
8
所以E
k
E
0
= 1 4，即动能是原来的1 4倍。
9. 一质点作简谐振动，其振动方程为： x = 6.0×10
-2
cos (πt 3 π 4) m。
（1）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
（2）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解：（1）势能E
p
= kx
2
2 ，总能量E = kA
2
2。根据题意，kx
2
2 = kA
2
4，得到
xA24.2410
2
m，此时系统的势能为总能量的一半。
(2) 简谐振动的周期T = 2πω = 6 s，根据简谐振动的旋转矢量图，易知从平衡位
置运动到
xA2
的最短时间t为T 8 ，所以
t = 6 8 = 0.75 s
10. 如图所示，劲度系数为k，质量 为m
0
的弹
簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为m
的子弹以水平速 度v
1
射入m
0
中，与之一起运动。
选m、m
0
开 始共同运动的时刻为 t = 0，求振动的
固有角频率、振幅和初相位。
解：碰后振子的质量为m+ m
0
，故角频率


k
m
0

v
1

m
x
计算题10图
k
。
m
0
m

设 碰撞后系统的速度为v
0
，
碰撞过程中动量守恒，故得到
v
0

m
v
1
。系统的初
m
0
m
1
1
2
始动能为
(
m
0
m
)
v
0
，在最大位移处全部转换为弹性势能
kA
2
，即振幅
2
2
A
m
0
m
v
0

k
m2
v
1

k(m
0
m)
m
v
1
k(m
0
m)

令振动方程为
xAcos(

t

)
，则速 度
v

dx


Asin(

t
)
。
dt
π
。
2
11. 一个劲度系数 为k的弹簧所系物体质量为m
0
，物体在光滑的水平面上作振幅为
当t=0时，
Acos

x0,v

0
Asin

 v
0
0
，可解出初相位


A的简谐振动时，一质量为m 的粘土从高度h处自由下落，正好在（a）物体通过平衡
位置时，（b）物体在最大位移处时，落在物体 m
0
上。分别求：（1）振动的周期有何变
化？（2）振幅有何变化？
解： （1）物体的原有周期为
T
0
2πm
0
k
，粘土附上后， 振动周期变为
T2π(m
0
m)k
，显然周期增大。不管粘土是在何时落 在物体上的，这一结论都正
确。
（2） 设物体通过平衡位置时落下粘土，此时物体的速度从 v
0
变为v，根据动量守
恒定律，得到
m
0
v

v
0

m
0
 m
又设粘土附上前后物体的振幅由A
0
变为A，则
有
k
m
1

R
m
11
22

m< br>0
v
0
kA
0
22
11
(m
0< br>m)v
2
kA
2

22
由以上三式解出
A
m
0

A
0
，即振幅减小。
m
0
m
计算题12图
m
2

1
2
1
2
物体在最大位移处时落下 粘土，
kA
0
kA
，此时振幅不变。
22
12. 如题 图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量
为m
1
的物体 ，放在光滑的水平面上。将一质量为m
2
的物体跨过一质量为m，半径为R
的定滑轮与 m
1
相连，求其系统的振动圆频率。

解 方法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标S。对m
1
和
m
2
应用牛顿第二定律、对m应用刚体定轴转动定律，得到
d
2
S
T
1
kSm
1
am
1
2

dt
d
2
S
m
2
gT
2
m< br>2
am
2
2

dt
(T
2
T< br>1
)RJ


加速度和角加速度之间具有关系
1
mR
2


2
a1d
2
S



RR
dt
2
解上面的方程组得
mg
1d
2
S
(m
1
m
2
m)
2
k(S
2
)0

2k
dt
令
xS
m
2
g
，上式简化为标准的振动方程
k
d
2
x
dt
2

k
m
1
m
2
m2
x0

系统的振动圆频率


k

m
1
m< br>2
m2
方法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的 机
械能守恒。
1
2
111
kSm
1
v
2
J

2
m
2
v
2
m
2< br>gS0

2222
将


v
1
和 JmR
2
代入
，得到
R2
1
2
1dS
kS(m
1
m
2
m)()
2
m
2
gS0

22dt
将上式对时间求一阶导数，得到
mg
1d< br>2
S
(m
1
m
2
m)
2
k( S
2
)0

2dtk
上式和解法一的结果一样。同样，圆频率为
+


k

m
1
m
2
m2

13. 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x
1
= 0.04 cos (2πt +π2) m；x
2
= 0.03
cos (2πt +π) m 。求此物体的振动方程。
解：这是两个同方向同频率的简谐振动的合成，合成后的振动仍为同频率的简谐振
动。 设合成运动的振动方程为：
x = A cos (ωt +

)
则
A
2
= A
1
2

+A
2
2
+2 A
1
A
2
cos(

2


1
)
式中

2


1
= ππ 2 =π 2。代入上式得

A4
2
3
2
5
cm
又
Asi n

1
A
2
sin

2
4
ta n

=
1


A
1
cos
1
A
2
cos

2
3
根据两个分振动的初相 位，可知合振动的初相位是

18053.132.21
rad
故此物体的振动方程
x0.05cos(2πt2.21)
m
14 .有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为2m，位相与第一振动的

位相差为， 已知第一振动的振幅为1.73m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振
6
动的位相差。

解：由题意可做出旋转矢量图．
由图知
2
A
2
A
1
2
A
2
2A
1
Acos30
(1.73)
2
(2)
2
21.73232

1
所以
A
2
1m

设角
AA
，则
1
O为

2
A
2
A
1
2
A
2
2A
1
A
2< br>cos



2
A
1
2
A
2
A
2
(1.73)
2
1
2
2
2

即
cos
2A
1
A
2
21.731

0


，这说明，
A
1
与
A
2< br>间夹角为

，即二振动的位相差为

。
2
2
2
15. 一质量为2.5kg的物体与一劲度系数为1250Nm< br>1
的弹簧相连作阻尼振动，阻
力系数

为50.0kgs
1
，求阻尼振动的角频率。
解：准周期振动的角频率为 即

2



0


2< br>km(

2m)
2
12502.5(50(22.5))< br>2
20
rads
16. 一质量为1.0kg的物体与一劲度系数为90 0Nm
1
的弹簧相连作阻尼振动，阻尼
1
因子
 为10.0s。为了使振动持续，现给振动系统加上一个周期性的外力F = 100 cos 30t (N)。求：（1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率；（2）若外力的角频率可以改变，
则当 其值为多少时系统出现共振现象？（3）共振的振幅多大？
解：（1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率就是驱动力的频率

= 30 rads。
（2）动频率

等于
2

r
< br>
0
2

2
 km2

2
 9001.0210
2
26.5
rads。
（3）共振的振幅
A
r


F
0m
2

2

0


2
1001.0
2109001.010
2
0.177
m

第十五章 机械振动

一 选择题
1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( )
A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；
B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；
C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；
D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。
解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。
答案选C。
2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ）
A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动；
C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动；
D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。
解：A中小球没有受到回复力的作用。
答案选A。
3. 一个轻质弹簧竖直悬挂 ，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l而平衡。
则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ）
A.
g
B.
l
l
g
C. D.
g
l
l

g
k

m
g
。
l
解 由kl=mg可得k=mgl，系统作简谐振动时振动的固有角频率为


故本题答案为B。
4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻 取
作t=0，则振动初相

为（ ）
A.

π
π
B. 0 C.
2
2
D. π
解 由
xAcos(

t

)
可得振动速度为
v

dx


Asin(

t

)
。速度正最大时
dt
π
有
cos(

t

)0
，
sin(

t

)1
，若t=0，则


。
2
故本题答案为A。
5. 如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为k
1
和k
2
的两个轻弹簧连接，在光滑
导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )

A.

2π
k
1
k
2

m
kk
2
B.


2π
1

m
k
1

k
2

m
C.


D.


1
2π
1
2π< br>k
1
k
2

mk
1
.k
2
k
1
.k
2

m(k
1
k
2
)
选择题5图
解：设当m离开平 衡位置的位移为x，时，劲度系数为k
1
和k
2
的两个轻弹簧的伸长
量分别为x
1
和x
2
，显然有关系
x
1
x
2
x

此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有
k
1
x
1
k
2
x
2

m
d
2
x
dt
2
k
1
x
1< br>
由前面二式解出
x
1

k
2
x
， 将x
1
代入第三式，得到
k
1
k
2
k
1
k
2
x

k
1
k
2
dt
2
k
1
.k2
将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令

2

，即得振动 频率
m(k
1
k
2
)
m
d
2x


1
2π
k
1
.k
2
。
m(k
1
k
2
)
所以答案选D。
6. 如题图 所示，质量为m的物体由劲度系数为k
1
和k
2
的两个轻弹簧连接，在光滑< br>导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 ( )
k
1

m
选择题6图
k
2

A. v2π
C. v
1
2π
k
1
k
2
1
B. v
m
2π
k
1
k
2
1
D. v
mk
1
.k
2
2π
k
1
 k
2
m
k
1
.k
2
m(k
1
k
2
)

解：设质点离开平衡位置的位移是x，假设x>0，则第一个弹簧被拉 长x，而第二个
弹簧被压缩x，作用在质点上的回复力为 ( k
1
x+ k
2
x)。因此简谐振动的动力学方程

m
d
2x
dt
2
(k
1
k
2
)x
< br>令

2

k
1
k
2
1
k
1
k
2
，即
v

2π
m
m
所以答案选B 。
7. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 ( )
A. kA
2
B. (12 )kA
2
C. (14)kA
2
D. 0
解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D。
8. 一弹 簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增
加为原来的4倍，则它的总能 量为 ( )
A. 2E B. 4E C. E D. 16E
1
2
kA
，所以答案选B。
2
9. 已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为
解：因为
E
x
1< br>5cos(10t0.75π)cm；x
2
6cos(10t0.25π)cm

则合振动的振幅为 ( )
A.
61
cm B.
11
cm C. 11cm D. 61cm
2
解
AA
1
2
A
2
2A
1
A
2
cos

(
2


1< br>)

5
2
6
2
256cos(0.25 π0.75π)61

所以答案选A。
10. 一振子的两个分振动方程为x
1
= 4 cos 3 t ，x
2
= 2 cos (3 t +π) ，则其合振动方
程应为：（ ）
A. x = 4 cos (3 t +π) B. x = 4 cos (3 t π)
C. x = 2 cos (3 t π) D. x = 2 cos 3 t
解：x =x
1
+ x
2
= 4 cos 3 t + 2 cos (3 t +π)= 4 cos 3 t  2 cos 3 t = 2 cos 3 t
所以答案选D。
11. 为测定某音叉C的频率，可选定两个频率已知的音叉 A和B；先使频率为800Hz
的音叉A和音叉C 同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz音叉B和C同
时振动，每秒钟听到一次强音，则 音叉C的频率应为： （ ）
A. 800 H z B. 799 H z C. 798 H z D. 797 H z
解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A和音叉C同时振动时，
拍的频率是2 H z，音叉B和音叉C同时振动时，拍的频率是1H z，显然音叉C的频率
应为798 H z。

所以答案选C。

二 填空题
1. 一质量为m的质点在力F = π
为 。
π
解：
T2
mm
2π
2
2m
。
k
π
2
x作用下沿x轴运动，其运动的周期
2. 如图，一水平弹 簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为ω
A、加速度为零和弹性力为零的状态，对 应曲线上的 点，振子处在位移的绝对
值为A、速度为零、加速度为 ω
2
A和弹性力为 kA的状态，则对于曲线上的 点。
解：b ； a、e 。
x
x(m)
A
O
a
b
d
e
0.04
1
c
t
O
0.04
1
2t(s)
A
填空题2图 填空题3图
3. 一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为
x =_ m。
π
解：
0.04cos(πt)
。
2
4. 一物体作简谐振动，其振动方程为x = 0.04 cos (5πt 3 π 2 ) m。
(1) 此简谐振动的周期T = 。
(2) 当t = 0.6 s时，物体的速度v = 。
解：（1）由5π 3 =2π T，得到T= 1.2s；（2）v= 0.04 5π3sin (5πt 3 π 2 )，
当t = 0.6 s时，v = 0.209 m . s
–1
。
5. 一质点沿x轴做简谐振动，振动中心点为x轴的原点。已知周期为T，振幅为A，
(1)若t =0时刻质点过x=0处且向x轴正方向运动，则振动方程为_______；(2)若t =0时
质点位于x=A2处且向x轴负方向运动，则振动方程为_______。
解：（1）
xAcos(2
t
tπ
（2）
Acos(2
2)
；
π)

T3
T
6. 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m，旋转角速度
ω= 4πrads，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x
= 。
解：t=0时x=0，v>0，所以振动的初相位是π2。故x
O
x
ω
t = 0
填空题6图

π
=
0.04cos(4πt)
。
2
7. 质量为m的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅
为A的简谐振动时，此系统的振动能量E = 。
解：因为km

m
2
4π
2
T
2
8. 将质量为 0.2 kg的物体，系于劲度系数k = 19 Nm的竖直悬挂的弹簧的下端。
1
2
A
2
2
πm
2
。 ，所以
EkA2
2
T
假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为______ ____，
振幅为____________。
解： 1.55 Hz；
Ax
2
0
2
v
0

2
=0.103< br>m
x(m)
9. 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定：
（1） 在 s时速度为零；
（2） 在 s时动能最大；
（3） 在 s时加速度取正的
最大值。
解：（1）0.5(2n+1)， n=0,1,2,3…；
（2）n，n=0,1,2,3…；
（3）0.5(4n+1)，n=0,1,2,3…。
0
1 2
3
t(s)
填空题9图
10. 一质 点作简谐振动，振幅为A，当它离开平衡位置的位移为
x
E
k
和势能Ep
的比值
E
k
=__________。
E
p
A
时，其动能
2
解 势能
E
p
E
1
1
2
1
2
3
总机械能为
EkA
2
，动能
E
k
kA
2

。故
k
3
。
kxkA
，
E
p
2
288
11. 两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为

2ππ2ππ
t)
(SI)，
x
2
4.010
2
cos(t)
(SI)，则其合振
T4T4
动的表达式为________________(SI)。
解 本题为个同方向同频率简谐振动的合成。
(1) 解析法 合振动为
xx
1
x
2
，

x
1< br>6.010
2
cos(
x6.010
2
cos(
2ππ2ππ
t)4.010
2
cos(t)

T4T4
2π2π2π
t)sin(t)]7.210
2
c os(t

)

TTT
210
2
[5cos(

其中


11.3°
(2) 旋转矢量法 如图所示，用旋转矢量A
1
和A
2
分别表示两个简谐振动x
1
和x
2
，合振动为A
1
和A
2
的合矢量A，按矢量合成的平行四边形法则
A10
2
6
2
4
2
7.210
2
m，
Asin

1
A
2
sin
2
1

,

11.3
°
tan


1

A
1
cos
< br>1
A
2
cos

2
5
A
1

A
故合振动的表达式为
x7.210
2
cos(
2π
t11.3)

T
O
A
2

x

三 计算题
1. 已知一个简谐振动的振幅A = 2 cm，圆频率ω= 4πs
1
，以余弦函数表达运动规
律时的初相位

=π 2。试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线）。
解：圆频率ω= 4πs
1
，故周期T=2πω= 2π4π=0.5s ，又知初相位

=π 2，故
位移和时间的关系为x = 0.02cos（4πt +π 2）m，振动曲线如下图所示。
x(m)
0.02
0.25
0.02
2. 一质量为0.02kg的质点作简谐振动，其运动方程为x = 0.60 cos(5 t π2) m。
求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。
dxπ
解：（1）

v
3.0sin(5t)

dt2
π

v
0
3.0sin()3.0
ms
2
（2）
Fmam

2
x

x=A2=0.3 m时，
F0.025
2
0.30.15
N。
3. 一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为 a 。今用手指沿竖直方向将其慢
慢压下，使其浸入水中部分的高度为 b ，然后放手让其运动。试证明：若不计水对木
块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。
证明：选如图坐标系:，静止时:
mg

gaS(1)

0.50
t(s)
S
任意位置时的动力学方程为：
mg

gx
将(1)代入(2)得


gS (xa)m
dx
2
m
2
------(2)
dt
dx

dt
2

2
o
x
d
2
xd
2
ydy
2

令
yx a
，则 ，上式化为：


gSym
2

dt
2
dt
2
dt

dy
2


2
y0
------(3) 令


得:
2< br>m
dt
上式是简谐振动的微分方程,它的通解为:
yAcos(
< br>t

0
)

2

gS
所以木块的运动是简谐振动.
振动周期:
T
2

2
ma

2

gSg
y
2
0
2
v
0
t0
时，x
0
b
，
y
0
ba
，
v
0
0
振幅:
A


2
ba
< br>4.在一轻弹簧下悬挂m
0
=100g的物体时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬 挂
m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cms< br>的初速度（令这时t=0）.选x轴向下，求振动方程
解：在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。
弹簧的劲度系数
km
0
gl
。
当该弹簧与物体
m
构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：
xAcos[
t

]

角频率为

km
代入数据后求得

7
rad s
1

以平衡位置为原点建立坐标，有：
x
0
0.04
m,
v
0
0.21
ms
1

据
A x
0
2
(v
0


)
2
得：A0.05
m
据

cos
1
x
0
得

0.64
rad,由于
v
0
0
,应取

0.64
rad
A
于是，所求方程为：
x0.05cos(7t0.64)
m
据

cos
1
x
0
得

 2
,由于
v
0
0
,应取

2

A
于是，其振动方程为：
x
2
0.06cos(10t2)
m
5. 已知某质点作 简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求（1）振动

表达式，（2）与P点 状态对应的相位，（3）与P点状态相应的时刻。
解 （1）设振动表达式为
x = A cos (

t+

)
由题图可见，A=0.1m，当t = 0时，有
x(m)
0.10
0.05
O
P
4.0
计算题5图
t(s)
π
x
0
0.1cos

0.05
m，这样得到


。由振
3
动曲线可 以看到，在t = 0时刻曲线的斜率大于
零，故t =0时刻的速度大于零，由振动表达式
可得
v
0
= 2

sin

> 0
即sin

< 0，由此得到初相位


π
。
3
类似地，从振动曲线可以看到，当t=4s时有
π
x
4
0.1cos(4

)0

3
π
v
4
0.1

sin(4

) 0

3
5
ππ
联立以上两式解得
4

 
，则

π
rad s
1
，因此得到振动表达式
24
32
5
π
x0.10cos(
π
t) m
243
5
π
5
π
（2）在P点，
x 0.10cos(
π
t)0.1
，因此相位
(
π
t) 0
。
243243
5
π
（3）由
(
π
t)0
，解出与P点状态相应的时刻t = 1.6 s。
243
6. 两个质点在同方向作同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当它们经过< br>振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的相位差，并画出相遇处的旋转矢量
图。
解：因为
A
Acos(

t

1
)Acos(

t

2
)
，所以
2
π
3
π
3
A
2
o



A
1
x

t

1
,

t

2

，
故


0 或
2π
2π
，取



。
3
3
旋转矢量图如左。
7. 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24Nm，重物的质量m = 6kg，
重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之
由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运
F
动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。
m
O
计算题7图
x

解：设物体振动方程为：x = A c o s (ωt +

)，恒外力所做的功即为弹簧振子的能量
E：
E = F 0.05 = 0.5 J
当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能即为弹簧振子的能量E：
kA
2
2= 0.5
由此球出振幅A = 0.204 m 。
根据ω
2
= k m = 246 = 4 ( r a d s )
2
，求出ω= 2 r a d s 。
按题中所述时刻计时，初相位为

=π。所以物体运动方程为
x = 0.204 c o s (2 t +π) m
8. 一水平放置的弹簧系一小球在光滑的水平面作简谐振动。已知球经平衡位置向
右运动时，v = 100 cms
1
，周期T = 1.0s，求再经过13秒时间，小球的动能是原来的多
少倍？弹簧的质量不计。
解：设小球的速度方程为：
v = v
m
c o s (2πt T +

)
以经过平衡位置的时刻为t = 0，根据题意t = 0时 v = v
0
= 100 cm s
-1
，且 v＞0。所以
v
m
= v
0
，

= 0
此时小球的动能E
k0
= m v
0
2
2。
经过1 3秒后，速度为v = v
0
c o s [2π（3T）] =  v
0
2 。其动能
E
k
= m v
2
2 = m v
0
2
8
所以E
k
E
0
= 1 4，即动能是原来的1 4倍。
9. 一质点作简谐振动，其振动方程为： x = 6.0×10
-2
cos (πt 3 π 4) m。
（1）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
（2）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？
解：（1）势能E
p
= kx
2
2 ，总能量E = kA
2
2。根据题意，kx
2
2 = kA
2
4，得到
xA24.2410
2
m，此时系统的势能为总能量的一半。
(2) 简谐振动的周期T = 2πω = 6 s，根据简谐振动的旋转矢量图，易知从平衡位
置运动到
xA2
的最短时间t为T 8 ，所以
t = 6 8 = 0.75 s
10. 如图所示，劲度系数为k，质量 为m
0
的弹
簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为m
的子弹以水平速 度v
1
射入m
0
中，与之一起运动。
选m、m
0
开 始共同运动的时刻为 t = 0，求振动的
固有角频率、振幅和初相位。
解：碰后振子的质量为m+ m
0
，故角频率


k
m
0

v
1

m
x
计算题10图
k
。
m
0
m

设 碰撞后系统的速度为v
0
，
碰撞过程中动量守恒，故得到
v
0

m
v
1
。系统的初
m
0
m
1
1
2
始动能为
(
m
0
m
)
v
0
，在最大位移处全部转换为弹性势能
kA
2
，即振幅
2
2
A
m
0
m
v
0

k
m2
v
1

k(m
0
m)
m
v
1
k(m
0
m)

令振动方程为
xAcos(

t

)
，则速 度
v

dx


Asin(

t
)
。
dt
π
。
2
11. 一个劲度系数 为k的弹簧所系物体质量为m
0
，物体在光滑的水平面上作振幅为
当t=0时，
Acos

x0,v

0
Asin

 v
0
0
，可解出初相位


A的简谐振动时，一质量为m 的粘土从高度h处自由下落，正好在（a）物体通过平衡
位置时，（b）物体在最大位移处时，落在物体 m
0
上。分别求：（1）振动的周期有何变
化？（2）振幅有何变化？
解： （1）物体的原有周期为
T
0
2πm
0
k
，粘土附上后， 振动周期变为
T2π(m
0
m)k
，显然周期增大。不管粘土是在何时落 在物体上的，这一结论都正
确。
（2） 设物体通过平衡位置时落下粘土，此时物体的速度从 v
0
变为v，根据动量守
恒定律，得到
m
0
v

v
0

m
0
 m
又设粘土附上前后物体的振幅由A
0
变为A，则
有
k
m
1

R
m
11
22

m< br>0
v
0
kA
0
22
11
(m
0< br>m)v
2
kA
2

22
由以上三式解出
A
m
0

A
0
，即振幅减小。
m
0
m
计算题12图
m
2

1
2
1
2
物体在最大位移处时落下 粘土，
kA
0
kA
，此时振幅不变。
22
12. 如题 图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量
为m
1
的物体 ，放在光滑的水平面上。将一质量为m
2
的物体跨过一质量为m，半径为R
的定滑轮与 m
1
相连，求其系统的振动圆频率。

解 方法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标S。对m
1
和
m
2
应用牛顿第二定律、对m应用刚体定轴转动定律，得到
d
2
S
T
1
kSm
1
am
1
2

dt
d
2
S
m
2
gT
2
m< br>2
am
2
2

dt
(T
2
T< br>1
)RJ


加速度和角加速度之间具有关系
1
mR
2


2
a1d
2
S



RR
dt
2
解上面的方程组得
mg
1d
2
S
(m
1
m
2
m)
2
k(S
2
)0

2k
dt
令
xS
m
2
g
，上式简化为标准的振动方程
k
d
2
x
dt
2

k
m
1
m
2
m2
x0

系统的振动圆频率


k

m
1
m< br>2
m2
方法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的 机
械能守恒。
1
2
111
kSm
1
v
2
J

2
m
2
v
2
m
2< br>gS0

2222
将


v
1
和 JmR
2
代入
，得到
R2
1
2
1dS
kS(m
1
m
2
m)()
2
m
2
gS0

22dt
将上式对时间求一阶导数，得到
mg
1d< br>2
S
(m
1
m
2
m)
2
k( S
2
)0

2dtk
上式和解法一的结果一样。同样，圆频率为
+


k

m
1
m
2
m2

13. 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x
1
= 0.04 cos (2πt +π2) m；x
2
= 0.03
cos (2πt +π) m 。求此物体的振动方程。
解：这是两个同方向同频率的简谐振动的合成，合成后的振动仍为同频率的简谐振
动。 设合成运动的振动方程为：
x = A cos (ωt +

)
则
A
2
= A
1
2

+A
2
2
+2 A
1
A
2
cos(

2


1
)
式中

2


1
= ππ 2 =π 2。代入上式得

A4
2
3
2
5
cm
又
Asi n

1
A
2
sin

2
4
ta n

=
1


A
1
cos
1
A
2
cos

2
3
根据两个分振动的初相 位，可知合振动的初相位是

18053.132.21
rad
故此物体的振动方程
x0.05cos(2πt2.21)
m
14 .有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为2m，位相与第一振动的

位相差为， 已知第一振动的振幅为1.73m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振
6
动的位相差。

解：由题意可做出旋转矢量图．
由图知
2
A
2
A
1
2
A
2
2A
1
Acos30
(1.73)
2
(2)
2
21.73232

1
所以
A
2
1m

设角
AA
，则
1
O为

2
A
2
A
1
2
A
2
2A
1
A
2< br>cos



2
A
1
2
A
2
A
2
(1.73)
2
1
2
2
2

即
cos
2A
1
A
2
21.731

0


，这说明，
A
1
与
A
2< br>间夹角为

，即二振动的位相差为

。
2
2
2
15. 一质量为2.5kg的物体与一劲度系数为1250Nm< br>1
的弹簧相连作阻尼振动，阻
力系数

为50.0kgs
1
，求阻尼振动的角频率。
解：准周期振动的角频率为 即

2



0


2< br>km(

2m)
2
12502.5(50(22.5))< br>2
20
rads
16. 一质量为1.0kg的物体与一劲度系数为90 0Nm
1
的弹簧相连作阻尼振动，阻尼
1
因子
 为10.0s。为了使振动持续，现给振动系统加上一个周期性的外力F = 100 cos 30t (N)。求：（1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率；（2）若外力的角频率可以改变，
则当 其值为多少时系统出现共振现象？（3）共振的振幅多大？
解：（1）振动物体达到稳定状态时的振动角频率就是驱动力的频率

= 30 rads。
（2）动频率

等于
2

r
< br>
0
2

2
 km2

2
 9001.0210
2
26.5
rads。
（3）共振的振幅
A
r


F
0m
2

2

0


2
1001.0
2109001.010
2
0.177
m