江苏春晚节目单-写信范文

人教版小学数学六年级上册教案
1. 计算题
以复习分数加减法、通分、约分开场。
分数加减法的意义和运算法则。
复习：整数运算
(1)
123234345456567678789



100203



200304



300405

L

700809




100200300L700



203040L80



345L9


222
(2) 78777777787878

77101< br>
77

78101

0

< br>100700

7


2080

 7


39

7
3192

(3)
72125

98

1259

8 125

910009000

1.1. 分数乘法
分数乘以整数
意义：分数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
法则：分数乘以整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
222222+2+2+2422
例如：4个是多少？
4

99999999
一个数乘以分数
意义：一个数乘以分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。
22
例如：4的是多少？
492429=4

99
图示：

151
的2倍：
2
的：

的：


555554542054544
法 则：分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。分数乘法中有带分数
的，通常先把带 分数化成假分数，然后再乘。
如图可以看出，一个正数乘以真分数的得数小于这个数自身，一个正数乘 以假分数则大于这
个数自身。
运用交换率、结合率和分配率使计算简便。先约分后计算，约分的目的是简化分母。
题型一：比较大小
151135311
(1) 下面哪两个数的积在和之间？
,,7,10

4842561412
123473
(2) 已知
A151B1 5C15.2D14.8
，以上四个数的大小顺序为？
9934574
1008573
B15C15.2D14.8
解：先化简等式，
A15
999474
1991914174
令以上等式为1，则
A< br>，
B
，
C
，
D

151001 5815.2514.873
9941119914

，

，< br>AC
，

A
、
C
的两的因数都是真分数，Q
10051515.21510015.25
B
、
D
的第一个 因数是真分数，第二个因数是假分数

9741119174
，
与

，

不能直接比大小。
8731514.815814 .873
1

74

0.2

Q
14. 8150.215

115115


1 57575

174174175
D

14. 873
15
74
731573
75
75
现比较
B 
与
D
，
Q
，
11
，即

，
BD

3873873
175199
易知
DA

157315100
BDAC

易错题：带分数和整数乘以分数易混淆
5151
(3)
36229220

8222
题型二：数字拆解与分配律的运用
84

84

(4)



 272727
L
（人教版，2009：P14）
927

927

3333
(5)
87
861

L
（人教版，2009：P14），引申
85 

861

L
，
86868686
6 1449

1

14491449

1

144914492071242
，
77

7

20121

2012

2014

1 120132012
，



20132013
< br>2013

20121

201392013
10

20130120129

20132013

综合：分配律与结合律
11

1< br>
151515

1

135

1

195

1

12

1

1
(6)



2

















21

7

23
7

303563

7

303563
7

2721

7

2
711

676
题型三：连乘求积，数字拆解
1

2

3

2011

1

1

1

1

111
L
 1
(7)

2



2



2


L


2
 

2

3

4

20 12

2

3

4

201 2

34520132013
L

23420122
1.2. 分数除法
分数除法计算法则：颠倒相乘。
题型一：数字拆解与分配律的运用
11

8

18

(1)
558

55

8

56

87 6

99

9

99

18

11

(2)
578

56

877

77
77

Q

201220131

22

2014

22012



12201212015


2012

2012

题型二：恒等变形
1

141842

4
(4) 填空
1





3
，解：原式







填
5

3551553

5
题型三：利用繁分数形式约分 < br>2
分子分母同乘以20
2

32

88
5< br>(5)







5
45

3

2
15823
45
1 1

分子分母同乘60
1512
(6)
45
2.7

1
10
6
1
1

21

11313
5
3
(7)








5


35

13


21

1
21

5
103
5






15
3513

35

2012 1
(8)
201120111

20111
2 0122013
2011
2013
1
2
20122012
144
1111313
(9)
1
，
Q

，
1111

1
12+113
114
26430
3
222
1 1
4
13
33
44
7733
2
(10) ，
Q

，
3
1777
7
244分子分母同乘
7
415
3
17
3333
24< br>33
2105
原式=

3
1536
3-
5
题型四：凑分母约分
567345 566

345222

345566

345 345566

222345

1566

22 2
1
(11)
567345222567345222567 345222567345222
455545454455545454
< br>54590

545454

545545454

90

(12)
4555454524555459 04555459045554590
545

1454
90
1

45554590
201220112013< br>
20131

20112013
20132011201 31

(13)
2012201312012201312012 20131
2013

12011

1
1
201220131
2016403218672201620162 6367220162016262016
(14)
2

22418144272242249201639224201620163201 6
(3)
2014

综合：凑分母约分、分配律、小数命题
59
1935.22

20110.41.6

(15)
910





527
20130. 52013

1965.22

950
题中的除号可看作繁分数 的主分数线，主分数线上下没有公约数，所以分子分母宜分别
化简计算。
595911545 11534
1935.22171717
9105050

9 50
1

Q
910

9
527523115 34
527

11
1965.22
17

1 717
1

950950950
9

50

50
20110.41.6201122

2011
 0.80.80.8



0.8

20130.520132013

15
原式

0.84
题型五：等比数列
4080
(16) 按规律填数：30，20，，，（ ）
39
2222

4080< br>
160

3333
20

分 析：
30


39

27

1.3. 分数的四则运算
题型一：化小数的灵活运用
分数与小数的加减混合运算，如果分数能化成有限小数，则化成小数后计算可以简便。
分数与小数的乘除混合运算，则将小数化成分数后计算可以简便。
1
9.39.3 7.3
5121.550.451

6

(1) < br>
9.37.3

2
642.252.252.255

42

41

10.50.81.62.550.81 625
12526
(2)
2610.58
261.62


55

252

8. 40.16416
40.18
(3)
0.630.1810.630.630.10.53

51.8
131.53
(4)


20.47

0.020.0210.210.22

50200.15
1

2

43

33
11743119
1 

0.75





12.5
12.5
3

357

86

3123586

(5)
1933711


15

1


10.3750.7540.35 0.1





6

24 4
8

3


86010




117358615
12.512.5
3
18


31243119

36
1
37811011

6
243760136
综合化小数与分配律命题
1711 1

0.487

489990.487

2 

0.487999
(6)
10010236


111


2




236

Q

0.4879990.48710.487< br>
9991

487

2

1

2

9293.5

33.62.11.5
(7)

43.5

1

43.5

40.93.53.6
393103105

11

14151

(8)

9.812



3.272.5

0.77

1

0.770.0550.825

32

1514

14

1

469.2

(9)
37.5

469

4.637.5

37.5

102

37.580.3751 008300

5

4.64.6

32011< br>
33

12011

3

1
3 .638933.613.689.63
(10)

1


21220124

2011

153.6434

1
3.6

189 .610101


2012201249.615815

综合化小数、分配律和繁分数命题
520.552.555
0.61. 20.61.2
分子分母同乘7
0.62.51.20.60.65
21721733
(11)

11110810
10
0 .718
575775

1

0.65
1


3


2


105
题型二：等量代换（换元法、仿原子团）

111

111

111

111

(12)





1

1









357

357

357

357

11 1
解：令
a
，则
原式a

a1

1a
2
a1

357

111
1111

1111

111

(13)

1







1







234< br>
2345

2345

234

1 1111111
解：令
a
，
b
，则
原式< br>
1a

b

1b

aba< br>
23423455

11

1111

1111

11

(14)

1






1

< br>




34

2345

2345

34

11111111
解：令
a 
，
b
，则
原式

1a

b 

1b

aba0.7

34234525

519657573

657573246

5
657573


(15)








< br>123324947

324947173

3
324947

5
,b,c
解：令
a
，则
3
519246
6

原式=

ab

bc



abc

babb2
acbcabb
2
bcac

123173综合仿原子团和分配律
2

123



12
3
4
3
7
3

212324 6481271421

(16)
333
135 26104122072135

135



1247

5

题型三：裂项相消求和
111
11

11


基本公式：，



n

n1

nn1
n

nb

b

nnb



11

11





n

n1

n2

2

n

n 1

n1

n2


a
311


aaaaaaaaaa

12

123

12123
1
(17)



261220304212233445 5667
16

11

11

11

11

11

11






















1

77

12

23

34

45

56

67
1111111111
(18)


36677889910

11

11

11

11

11

11


















0.1

56

67

78

89

910

510
44441

128

1

11

11

1
L


1










L




 1
(19)

15599132529

5

59

913

2929

2529

555555555555
(20)


 
1484277121217172222272732
1

11

1115

11

11

1 1

11

1




< br>








< br>








 

277227273223232

1111< br>(21)


L

133557200920 11
1

1

1

11

1
11

1

11



1








< br>
L





2

3

2

35

2

57

2

20092011

1

1

11

11

1

1

1

1005

1




1










L


1




2


3

35

57

200920 11


2

2011

2011
111 11
(22)

144771010131316
1< br>
1

1

11

1

1 1

1

11

1

11
1

1

5


1

 
















1



3

4

3

47

3

710

3

1013

3

1316

3

16

16
1111
(23)
2


2

2
< br>L

2
2141611001
分析：利用公式
a2
b
2


ab

ab
< br>
原式=
1111

L


21


21

41


41

61



61

1001



1001


1111

L


13355799101
1
1

1

11

1

11

1

11



1

< br>







L
 




2

3

2

35

2

57

2

991 01

1

1

11

11

1

1

1

50

1< br>



1










L


1




2


3

35

57

991012101101




57911131517
(24)
1

62

11

11

11

11

11

11

11

1 





























23

34

45

56

67

78

89

111117
1 1

233445566778892918
11111
(25)

 
L

123234345891091011
1 11192
分析：，

91010119101191011< br>1

11

1

11

1

11


原式=



L

2

1223

2

2 334

2

3445

1

1 1

1

11



L



2

89910

2

9101011

1

11
 
11

11

1

11



1




L




2


1223
2334

3445

89910

9101011


1

11

1

1

15427


1



2

121011

4

55

455110
1111

11

1

11

1

11




(26)


5676787 892

5667

2

6778

2

7889

1

11

7





2

5689
720
111

(27) 在括号里填两个不同的自然数：


15

1116151111
，



1516150
11181531111
，

Q

15181518151890151890
11201551 111
Q

，


15201520152 060152060
11241591111
，

Q


15241524152440152440
111

(28) 在括号 里填两个不同的自然数：

10

Q
1111101111< br>
，


1011100
1112102111 1
Q

，


1012101210126 0101260
11141041111
，


Q
 
10141014101435101435
11151051111
Q

，


10151015101530101530
111

(29) 在括号里填两个不同的自然数：

3

Q




111111
Q
，


34123412
11
(30) 在括号里填两个不同的自然数：

8


1


111111
，


Q
89728972
1121111
，


Q

810810408940
1141111
，
< br>
Q

8128122481224
1111
(31) 已知

，
A,B,C
是不同的自然数，求两组
A,B,C
的值
18ABC
方法一：（运用两重裂项相消法举穷）
11a
Q

，其中
a
从1列举到18为止，选择
18

18 a

能整除的
a

1818a18

18a

11a11

，
1818a
1818a1 8

18a

18a

a
1
1< br>然后分别同理拆解和，
1818a
18a

a
11 b
Q

，
18a18ab

18a



18ab


其中
b
从1列举到

18a1

为止，选择

18a



18ab

能整除的
b

11b11


18a18ab

18a< br>


18ab

18ab

18 a



18ab

b
11c
Q< br>

18

18a

18

18a


18

18a


18

18a


c

c
< br>

aa
aa



18

18a


18

18a

 
18

18a


其中
c
从1列举 到

选择

1

为止，
c

能整除的
c




aaa

11c


18

18a

18

18a

1818a1818a






c

c

aa
aa

1 1


18

18a


18
18a


18

18a


c

c



a
aa

c
1111

故

，
1818a b

18a



18ab

1 8

18a

ba


1111


1818a
18

18a


18

18a


18

18a

c

c



a
aa

c
例如：
1
，

；又
Q
，

，
Q
342192
1111
故


1820380342
1
，

；又
Q
，
 
，
Q
1820
1111
故

，列举如下：

1821420180
1


9343117306
111111111




24
111111






222230
111111






241283
111111






251836
111111






28738
111111






30089
111111






364518
111111111




28
111111






244674
…… ……
疑问：不知以上方法是否有重复？总共有多少组不同的解？
方法二：（运用单位分数的等比级数分解公式找到一组解）

n1
1

1
，
Q
1

1

1< br>
11
Q

nn1n

n1

nn1n

n1

n

n1

Q

n1

1

1
，

1
1

1

11

n

n 1


n1

2
n

n1

2
n

n1

2
n

n1


n1

2
n

n1
< br>2
1111
，依此类推

nn1

n1< br>
2
n

n1

2
Q
11111 1


L

kk
nn1

n 1

2

n1

3

n1

n

n1


1111111

 
18181

181

2
18
< br>181

2
193616498
方法三：（运用完全数找到一组解）
完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以
外的约数 ）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去 它本身6外，其余3个数相加，1
＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14 、28，除去它本身28外，其
余5个数相加，1＋2＋4+7+14＝28。后面的数是496、81 28。
1

abc

1abc


1818

abc

18

abc< br>
18

abc

18

ab c

右边三项中的分子考虑用

abc

整除，则有条 件
abckabc
，完全数6正好满足
该条件，于是
1

123

1123111


1818 

123

18

123

18

123

18

123
1085436
方法三：（运用18的约数找到多组解）
1

abc

1abc


1818

abc

18

abc

18

abc

18

abc

右边三项中的分子考虑用18整除，则有条件
a,b,c
为18的任意3个不同的 约数。18的
654
3
约数共6个：1、2、3、6、9、18，选择方式共有< br>C
6
20
种，例如
3!
1

126

1126111


1818

126

18918918 91628127
后记：
已知通过方法一求得
1111abc


18

abc

18

abc

18

abc

求对应
a,b,c

利用Excel规划求解，可变单元格
a,b ,c
，目标单元格
18

abc

1881c0< br>
限制条件：
18

abc

19a0，
18

abc

418b0
，
a, b,cint
(整数)，
a,b,c1

解得
a594,b 27,c6
，这组数不能被18和

abc

单独整除，而是 被
18

abc

整
除，这说明了方法二、三的不必要 性。
综合裂项相消和等差数列求和公式
111

11111
< br>11


1357911





(32)
1357911
612203042
612203042

1111

1


111

3




23 34455667



11

11

11

11

11

5
11

36





















36



 36

14

27



23
 
34

45

56

67

111111
911
(33)
1357

140

11111

1


135 7911







2558811111414171720

1

11

1

11

1

11

1< br>
11

1

11

1

11




111

3










< br>















3

25
3

58

3

811

3

1114

3

1417

3

1720


1

11

3
36



36

3

220

20
1111
(34)
1


L

12123123412 3
L
100

1100

100
100101
，
12
解：
Q123L100

22
123L100100101
2222111
1

1
L
12


L< br>


233445100101100101

233445


11

11

11

1

2

99

1

11


12













L


12111




1001 01



2101

101

101


23

34

45

2 34100

L

(35)
1

12< br>
12



123

12 3



1234

123
L99



123
L
100
22

1100

101

1
100 101

Q123L100
22
1001004


1 1
123
L
99123
L
10099100 101


99100



100 101



2

2

11< br>
2




99100100101< br>
1

1

1

11

1

1

1


原式
2

22
L
2


12 23

2334

3445

9910 0100101

115049

1

2

1


50505050

12100101

题型四：等比数列的错位相减法求和
111111
(36)
1

248163264

解：设
x1 
，则
2x21

24832
163
1
原式=
2xx2
6464< br>分析：
Q123L99

199

99

1
99100

2. 应用题
2.1. 分数乘法应用题
乘法在应用题中的意义：
(1) 整体的几分之几；(2) 速度×时间、定额×工程量；(3) 单位换算；(4) 面积计算。
其中(1)在本节详细分解，(2)、(3)在下一节倒数与量纲中讲解，(4)与整数乘法相同。
公式：标准量（单位“1”的量）×比较量的对应分率=比较量

如何找标准量？
甲是乙的几分之几，甲相当于乙的几分之几，甲占乙的几分之几：“的”字前面的乙是标准量。
甲比乙多几分之几，甲比乙少几分之几：“比”字后面的乙是标准量。
甲减少几分之几，甲完 成几分之几：对于分数前面省略“的”和“比”的情况，句首主语甲
是标准量。
分数乘法应用题基本题型：
c
(1) 甲为
a
，乙是甲的，求乙？
b
c
甲开始为
a
，然后增加（减少）了，求增加（减少）了多少？
b
c
任务甲为
a
，完成了，求完成了多少？
b
c
答案：
a

b
c
(2) 甲为
a
，乙比甲多，求乙？
b
c
甲开始为
a
，然后增加了，求增加后的甲是多少？
b

c

答案：
a

1



b

c
(3) 甲为
a
，乙比甲少，求乙？
b
c
甲开始为
a
，然后减少了，求减少后的甲是多少？
b
c
任务甲为
a
，完成了，求还剩多少？
b
< br>c

答案：
a

1



b

c
e
(4) 甲为
a
，乙是甲的，丙是乙的，求丙？
b
d
ce
答案：
a

bd
《教材》P19，9，P122，7
《小灵通》P10，六，P11，六，七，P16，七，八
《英才教程》P32，例2，P36，（8），4，P42，（2），（3）

1

甲


a
c
b

乙

c


a

b

丙

ce


a
bd

题干分解：
1
e
d

c
第一步：甲为
a
，乙是甲的，求乙？
b
c
标准量：甲，即
a
；比较量：乙；对应分率：，
b
c
所以乙等于
a

b
c
e
第二步：乙是
a
，丙是乙的，求丙？
b
d
c
e
标准量：乙，即
a
；比较量：丙；对应分率：
b
d
ce
所以丙等于
a

bd
c
e
(5) *甲开始为
a
，先减少，再减少，求共减少多少？
b
d

ce

答案：
a





bd

《小灵通》P18，五，3
《英才教程》P48，（4）
1

甲最初的


a
e
d
甲共少的


a

c

e



bd


c
b
ce

bd


ce

标准量：甲开始的，即
a
；比较量 ：甲共减少的；对应分率：



，

bd
< /p>


ce

所以甲共减少
a




bd

c
e
(6) *甲开始为
a
，先减少，再减少，求剩下的？
b
d

ce

答案：
a

1



bd

《英才教程》P48，（5）
1

甲最 初的


a
ce
1
bd
e
d
c
b

甲最后的


a

1
c

e



bd





ce

标准量：甲开始的，即
a
；比较量：甲最后的 ；对应分率：

1

，

bd


ce

所以甲最后的等于
a

1



bd

c
e
(7) *甲开始为
a
，先减少，再减少剩下的，求甲最后剩多少？
b
d
c
e
甲为
a
，乙比甲少，丙比乙少，求丙？
b
d
e

c

答案：
a

1



1



b

d

《小灵通》P18，五，4
《英才教程》P49，2
1

甲


甲最初的< br>
a

c
c
1
b
b

乙

1

甲剩下的


c

a

1



b

e
e
1
d
d


丙


甲最后的< br>

c

e


a

1



1



b
< br>d


题干一分解：
c
第一步：甲开始为
a
，先减少，求甲剩下的？
b

c

标准量：甲开始的，即
a
；比较量： 甲剩下的；对应分率：

1

，

b

所以甲剩下的等于
a


c


1
b



第二步：甲剩下
a



1
c

b

< br>，再减少剩下的
e
d
，求甲最后的？
标准量：甲剩下的，即a



1
c

b


；比较量：甲最后的；对应分率：
所以甲最后的等于
a

< br>c

e


1
b





1
d



题干二分解：
第一步：甲为
a
，乙比甲少
c
b
，求乙？
标 准量：甲，即
a
；比较量：乙；对应分率：


c


1
b


，
所以乙等于
a


c

1

b



第二步：乙是
a


e

1
c
< br>b


，丙比乙少
d
，求丙？
标准量：乙，即
a



1
c

e
b


；比较量：丙；对应分率：


1
d



所以丙等于
a



1
c

b





1
e

d



(8) *甲开始为
a
，先减少
c
e
b
，再增加剩下的
d
，求甲最后 是多少？
甲为
a
，乙比甲少
c
b
，丙比乙多
e< br>d
，求丙？
答案：
a



1
c

b


e





1
d



《英才教程》P49，数学万花筒



1
e

d




甲


甲最初的

a


乙


甲剩下的


c

a

1



b

1
1
c
b
c
b

丙


甲最后的


c

e


a

1



1



b
d

题干一分解：
1
e
d
1
e
d

c
第一步：甲开始为
a
，先减少，求甲剩下的？
b

c

标准量：甲开始的，即
a
；比较量： 甲剩下的；对应分率：

1

，

b


c

所以甲剩下的等于
a

1



b

e

c

第二步：甲剩下
a

1
，再增加剩下的，求甲最后的？
d

b

e

c

标准 量：甲剩下的，即
a

1

；比较量：甲最后的；对应分率：< br>
1



b


d

e

c

所以甲最后的等于
a

1



1



b

d

题干二分解：
c
第一步：甲为
a
，乙比甲少，求乙？
b

c

标准量：甲，即
a
；比较量：乙；对应分率：

1

，

b


c

所以乙等于
a

1



b

e

c

第二步：乙是
a

1
< br>，丙比乙多，求丙？
d

b

e

c

标准 量：乙，即
a

1

；比较量：丙；对应分率：
1



b


d

e< br>
c

所以丙等于
a

1
< br>

1



b

d

c

c

c
c
(9) *乙比甲少，甲比乙多几分之几？答案：


1



bbbc
b


《英才教程》P37，6
1甲
1
cbc

bb
b
bc
c
b
乙
1
c
bc
c
分析：如线段图甲，“乙比甲少”表示：
b
标准量（单位“1”的量）是甲，标准量的对应分率就是1；
c
第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；
b

c

第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是

1

。

b

不论标准量甲等于多少，以上三个量之间的比值不变，即： < br>c

c

甲与乙的差׃甲׃乙=
:1:

1 

c:b:

bc


b

b

要求“甲比乙多几分之几”就是要求“甲与乙的差”与“乙”的比值，即
c< br>
c

c
c
:

1

 c:

bc

:1
，如线段图乙，即“甲比乙多
”，它 表示：
b

b

bc
bc
标准量（单位“1 ”的量）是乙，标准量的对应分率就是1；
c
第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；
bc
cb
第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是
1
。

bcbc
不论标准量乙等于多少，以上三个量之间的比值不变，即：
cb
甲与乙的差׃甲׃乙=
::1c:b:

bc


bcbc
可见不管以谁为标准量，各量之间的比值不变。
c

c

c
c
(10) *乙比甲多，甲比乙少几分之几？答案：


1



b

b

bc
b

1
甲
cbc

bb
1
1
乙
b
b c
c
b
c
bc
c
分析：如线段图甲，“乙比甲多”表示：
b
标准量（单位“1”的量）是甲，标准量的对应分率就是1；
c
第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；
b

c

第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是

1

。

b

不论标准量甲等于多少，以上三个量之间的比值不变，即： < br>c

c

甲与乙的差׃甲׃乙=
:1:

1 

c:b:

bc


b

b

要求“甲比乙少几分之几”就是要求“甲与乙的差”与“乙”的比值，即
c< br>
c

c
c
:

1

 c:

bc

:1
，如线段图乙，即“甲比乙少
”，它 表示：
b

b

bc
bc
标准量（单位“1 ”的量）是乙，标准量的对应分率就是1；
c
第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；
bc
cb
第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是
1
。

bcbc
不论标准量乙等于多少，以上三个量之间的比值不变，即：
cb
甲与乙的差׃甲׃乙=
::1c:b:

bc


bcbc
可见不管以谁为标准量，各量之间的比值不变。
标*号的教材中没有但是教辅书中常出现的题型。
例题：用分数乘法求比较量
(1) 为迎接“六一”儿童节，星光玩具厂四月份计划生产12000件玩具，实际上半月生产了70 00
件,要超额完成全月计划的15%，下半月还要生产多少件玩具？（《知识大集结》P133，3）
解：12000×(1+15%)−7000=6800（件）
1
(2) 每排树可 使噪音降低，城市道路行车道噪音为80分贝，某临近道路学校的要求噪音不
8
超过60分贝， 问需要设置几排树？

1

解：一排树后面噪音为
80

1

70
（分贝），两排树后面噪音为

8


(3)
(4)
(5)
(6)
1

1

1

80

1
< br>

1

61
（分贝），三排树后面噪音为
4< br>
8

8

19

1

1

1

80

1



1



1

5360
（分贝 ），故设置三排树。
88832

331
56名同学打扫卫生， 其中的人打扫礼堂，剩下的同学中打扫操场，再剩下的打扫
784
教室，其余打扫花坛，问打扫 花坛多少人？

3

分析：除了打扫礼堂外的，剩下的人占总数的几分之几 ？

1



7


3

除了打扫礼堂和操场，再剩下的人占剩下的几分之几？

1



8


3

3

再剩下的人 占总数的几分之几？

1



1



7

8


1

除了打扫礼 堂、操场和教室，打扫花坛的人占再剩下的几分之几？

1



4


3

3

1

打扫花坛的人占总数的几分之几？

1



1


1



7

8

4


3

3

1
解：
56

1



1


1

15
（人）

7< br>
8

4

21
某布行有一批布，第一天卖出， 第二天卖出第一天剩下的，第三天补进第二天剩下
97
1
的，问第三天补进后和第一天 卖出前相比，布行的布增多了还是减少了？
2
2

2

分 析：已知第一天卖出，则第一天剩下的是原总量的几分之几？

1

9

9

1

1

已知第二天卖出第 一天剩下的，则第二天剩下的是第一天剩下的几分之几？

1


7

7


2

1

第二天剩 下的是原总量的几分之几？

1



1
< br>

9

7

1

1

已知第三天补进第二天剩下的，则第三天补进后的是第二天剩下的几分之几？

1< br>
2

2


2

1
 
1

第三天补进后的是原总量的几分之几？

1


1



1



9

7

2


2
1

1

解：

1



1



1

1
，故数量相等。

9

7

2

32
小明看 一本书，第一天看了24页，第二天只看了第一天的，第三天看的是第二天的。
43
他第三天看 了多少页？（《英才教程》P36，（8））
32
解：
2412
（页）
43
14
某村共 有小麦40公顷，第一天收割了全部小麦的，第二天收割的比第一天的多4公
45
顷，两天一共 收割多少公顷？（《英才教程》P36，4）


114

解 ：
40



422
（公顷）

445

12
，第二天运出的相当于第一天运出的。第
43
二天运 出多少包？（《英才教程》P42，（3））
12
解：
240

43
11
(8) 一批钢材有24吨，第一次用去了这批钢材的，第二次用去了这批钢 材的。两次一共
34
用去了多少吨？（《英才教程》P48，（4））

1 1

解：
24



14
（吨）

34

23
(9) 某厂第一季度计划生产零件5000个，实际 一月份完成了，二月份完成了，三月份还
58
要生产多少个就能完成任务？（《英才教程》P4 8，（4））

23

5000

1
< br>1125
（个）

58

2
(10) 六年级三 个班的学生参加栽树活动。一班栽树39棵，二班栽树的棵数是一班的，三班
3
栽的比二班的2 倍少5棵。三班栽树多少棵？（《小灵通》P10，六）
2

解：
2< br>
39

547
（棵）
3

53
(11) 小亮的储蓄箱中有24元，小华储蓄的钱是小亮的，小 明储蓄的钱是小华的。小明储
64
蓄了多少元？（《小灵通》P11，六）
53
解：
2415
（元）
64
2
(12) 球从高处自由下落，每次接触地面后弹起的高度是前次下落高度的。如果球从35米高
5
处落下 ，那么第二次弹起的高度是多少米？（《小灵通》P11，七）
2228
解：
35
（米）
555
3
(13) 王师傅四月份共加工了500个零件，李师傅加工的零件数是王师 傅的，程师傅加工的
5
2
零件数是李师傅的，求程师傅四月份加工多少个零件？（《小 灵通》P16，七）
3
32
解：
500200
（个）
53
11
(14) 水果店有一些苹果、梨和桔子，苹果有60千克，梨的重量是苹果 的，桔子的重量是梨
15
5
的，桔子有多少千克？（《小灵通》P16，八）
4
115
解：
6055
（千克）
154
15
(15) 水果店运来240筐水果，第一天卖出总数的，第二天卖出的相 当于第一天的。第二天
38
(7) 仓库里有水泥240包，第一天运出总数的

卖出多少筐水果？（《小灵通》P22，三）
15
解：
24050
（筐）
38
13
(16) 一堆煤120吨，第一次运走总数的，第二次运走总数的，两次共 运走多少吨？（《小
58
灵通》P18，五，3）

13

解：
120



（吨）

58

33
(17) 某人从甲地到乙地，第一天行了全程的，第 二天行了剩下的。甲乙两地相距100千
54
米。问行了两天后还剩下多少千米？（《小灵通》 P18，五，4）
3

3

3
解：
100

1

1



10
（ 千米）

5

5

4

2.2. 倒数与量纲分析
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。1除以一个数（0除外）的结果就是这个数的倒数 。
0没有倒数：1除以0是无穷大，这从反比例函数可以看出，但是无穷大不是可以度量的数，
所以0没有倒数。
速度的倒数是定额（单位产品或单位工作中人工、材料、机械和资金消耗量的规定额度。）
题型一：工程问题，工作效率与定额互为倒数（倒数的物理意义，多量纲）
20
(1) 抹灰工每小时可粉刷平方米，求每平方米粉刷需多少小时？6平方米粉刷需多少小
11
时？（由人教版，2009：P10，3引申）
20201111
取倒 数

每小时粉刷平方米

平方米时

时平方米

每平方米粉刷需小时
11112020
1133

6平方米粉刷 需小时数为：6平方米×时平方米=时，
2010
2033
或6平方米

平方米时=时
1110
(2) 青藏高原每年上升7cm，问 每上升1cm需要几分之几年？上升10cm需要多少年？50年
能上升多少cm？（人教版，2009 ：P12，4）
32
(3) 蜂鸟每分钟飞km，问飞1km需要多少分钟？飞10km需要 多少分钟？分钟能飞多少
103
km？（人教版，2009：P11，4）
(4) 甲工人每小时做200个零件，乙工人每小时做同样的零件150个。他们各做同样一批零
件，甲比乙提 前4小时完成。他们各做零件多少个？（《小学数学教师》1997（4），P82）
1
取倒 数

甲工人做一个零件需要解：甲工人每小时做200个零件

小时 < br>200
1
取倒数

乙工人做一个零件需要乙工人每小时做150个零件

小时
150
1

1

乙做一个 零件比甲多用

小时
150200

1

1

同样一批零件，乙比甲多花4小时，说明所做的零件数为
4

（个）
150200

(5) 一项工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做 20完成。甲队单独做5天后，再由甲、

乙两队合做，几天才能完成全部工程的
1

41

1
解：

5





4
（天）

515
< br>1520

4
呢？（《知识大集结》P134，5）
5
1< br>。现在两人合做
32
完成这批零件的加工任务，甲中途休息了5天，乙也休息了若干天， 这样用了19天才完
成任务。求乙休息的天数。（《知识大集结》P135，14）
11代数解法：设乙休息
x
天，


195

 

19x

1

2032
算术解法：甲工作的天数为
19516
（天），
11
甲完成的工作量的份额为


195

，乙完成工作量的 份额为
1

195

，
2020
1
1

1
乙的工效为，乙的实际工作天数为

1
< br>195




32

20
< br>32
1

1
乙的休息天数为
19

1 

195


9.4
（天）

20

32
(7) 一个水池有甲、乙两个排水管和一个进水管丙 。若同时开放甲、丙两管，20小时可将满
池水排空；若同时开放乙、丙两管，30小时可将满池水排空 ；若单独开丙管，60小时可
将空池注满，若同时打开甲、乙、丙三个水管，要排空水池的水需几小时？ （《知识大集
结》P135，13）
解：设排水速率为正速率，进水速率为负速率，
于是设甲、乙、丙的工效（速率）分别为
x
、
y
、
z

11
甲、丙同时开时排水速率为
xz
，乙、丙同时开时排水速率为
yz

2030
111
甲、乙、丙同时打开时排水速率为
x yz

xz



yz

z 

203060
11

1
甲、乙、丙同时打开时排水 时间：
1



10
（小时）

203060

(8) （调和平均数的应用）小明骑自行车从甲地去乙地 ，每小时行12千米，到达乙地后立即
按原路返回，每小时行15千米。小明骑车往返的平均速度是多少 ？正确的计算式是（ ）
（《知识大集结》P133，一，3）

11

11

A.
2



B.
1



C.

1215

2

12151215


aa

解：设单程为
a
千米，则往返时间为
< br>

小时，

1215


11

于是平均速度为
2a



千米小时。选A。

1215

(9) 加工一批零件，原计划15天完成，现在工作效率提高 了20%。问：现在几天可以完成？
正确的列式为（ ）（《知识大集结》P133，一，2）

1

A.
15

120%

B.
1



120%




15


1

C.
15

120%

D.
1



120%




15

答案：选B。
(6) 加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做每天完成这批零件的

(10) 从时针指 向4，分针指向12开始，至少经过多少分钟，分针与时针重合？（《小灵通》P31，
七（追赶问题） ）
分针转一圈60分钟，时针转一圈12小时，即12×60分钟，
1
分针的速度可表示为圈分钟
60
1
时针的速度可表示为圈分钟
6012
1
它们初始的距离差为圈，设需要
x
分钟重合（相遇）， 则
3
分针的速度×
x
时针的速度×
x
=它们初始的距离 差，即
1

11

9
1119
21
，
xx
，
x


4:00~4:21

3

606012

11
606012311
题型二：引入比例，单位换算（倒数的物理意义，单量纲，多单位）
211
(11) 人一步是袋鼠一跳的，人走一步为米，1英尺为米，
1123
（i）袋鼠一跳是人的几分之几？
（ii）问袋鼠一跳为多少米？
（iii）人走一步为多少英尺？（由人教版，2009：P8，1引申）
2211
取倒数

步跳，解：（i）人一步是袋鼠一跳的，可记作跳步

它代表的 含义是：（ ）
11112
111111
A. 袋鼠一跳是人的步 B. 袋鼠一跳比人多 C. 人一步比袋鼠少
222
11
（ii）人走一步为米，可 记作米步，要求袋鼠一跳为多少米，即要求多少米跳，即
22
1
米步×（ ）=（ ）米跳，看乘以哪个可是使得单位约分成等号右边的形
2
211
式，左边第一个括号里填（ ）A. 跳步，B. 步跳
112
111
（iii）1英尺为米可记作米英尺？还是英尺米？取导数得3（ ）（填单位）
333
要求人走一步为多少英尺，是不是就是要求多少英尺步？
1
米步×（ ）=（ ）英尺步，乘以哪个可是使得单位约分成等号右边的
2
形式？
ab
题型三：甲是乙的，则乙是甲的（倒数的倍比意义）
ba
11
(12) 三块布共长96米，第一块布的长度是第二块长度的，是第三块长 度的，求三块布每
34
块多长？（《小学数学教师》1997（4），P82）
1
取倒数

第二块布的长度是第一块长度的3倍 解：第一块布的长度是第二 块长度的

3
1
取倒数

第二块布的长度是第一块长度 的4倍 第一块布的长度是第三块长度的

4
第一块布:第二块布:第三块布=1:3:4
第一块布的长度：
96

134

12
（ 米）
第二块布的长度：
12336
（米）

第三块布的长度：
12448
（米）
4
(13) 婴儿每分钟心跳次数比青少年多。问青少年每分钟心跳比婴儿少几分之几？（由人 教
5
版，2009：P21，3引申）
解法一（运用倒数概念）：以青少年每分钟心 跳的次数为参照“1”，婴儿每分钟心跳次数比青
4

4

9
少年多

婴儿每分钟心跳次数是青少年的

1


取倒数后以婴儿每分钟心跳
5

5

5
5< br>的次数为参照“1”：青少年每分钟心跳次数是婴儿的

青少年每分钟心跳比婴儿少9

5

4

1


< br>
9

9
解法二（运用除法概念）：以青少年每分钟心跳的次数为参照 “1”：婴儿每分钟心跳次数是青
494

4

9
少年的< br>
1




，相除之后参照“1”变为分母， 即婴儿每分钟心跳次数。
559

5

5
4
答：青少年每分钟心跳比婴儿少
9
16
(14) 小强有若干个手工艺品，恰是小明的，而小明的手工艺品又是小新的 ，小新的手工
411
艺品是小强的多少倍？（《英才教程》P60，8）
16322
取倒数

小新的手工艺品是小强的解：小强的手工艺品是小新的
< br>倍
411223
2.3. 分数除法应用题
分数除法应用题知识体系
分整数应用倒数的应总量

单位数=件数 《课本》P28-36所有应用题过
数题，多量用：速度总量

件数=单位数 一遍，P42，11《小灵通》P31，
除纲问题 与定额互联系：㈠倒数的物理意义；㈡七（追赶问题）
法为倒数。 解比例（正比例、反比例）
应
c
分数应用倒数的应例题：《课本》P37-39
a
型
用
题，单量用：甲是《英才教程》P61-64，P65，例
b
题
1
c
纲问题
乙的，则
练习：《课本》P40，1，2，3，b
P41，7，8，9，P42，12，13，
乙是甲的
P52，4（1），P5 3，4，5，P54，
b

6《英才教程》P68，3，（1），
c
（2），P87，6，（1）
《课 本》P40，4，P42，14，

c

c

a

1

型或
a

1

型
P52，4（2）

b

b

《英才教程》P 66，例2，P68，
3，（3），P69，（7），P84，3，
P87，6，（2），（3 ）

《英才教程》P83，例3，P83，

ce

a

1

型
1，2，P87，（4）

bd

ce
多重比率 《英才教程》P60，8
a
型
bd


c

e

a

1



1

型

b

d

分数除法

综合
分数乘法

与除法综
合

求比率
《英才教程》P65，培优范例
《英才教程》P82，例2
《英才教程》P69，（5），P70，
5，P84，3，P88（6）
《课本》P48，思考题，《英才
教程》P77课本难题解答，P54，
例1

比
和
比
的
应
用
《课本》P51，7，《英才教程》
P81，8
《英才教程》P80，（6），P81，
7，87，6，（3），P88，（6）
连比的活用 《英才教程》P69，（7），P84，
3《小灵通》P27，六
用方 程求已知甲:乙=
k
1
，甲增加
b
1
，乙增加
b< br>2
后，

解，没有
甲:乙=
k
2
，甲乙原来是多少？
不变的
量，连比
的失效
双框线中的大样：
用分数乘法求比较量：标准量×对应分率=比较量
用分数除法求对应量：比较量

对应分率=标准量
用分数除法求对应分率：比较量

标准量=对应分率
《英才教程》P61，63，67
分数乘法 分数除法
cc
(1)甲为
a
，乙是甲的，求乙？ (1)甲为
a
，是乙的，求乙？
bb
cc
(2)甲开始为
a
，然后增加了，求增加了多少？ (2) 甲增加了，增加量为
a
，求甲开始为
bb
工程问题（分数除法与一项工程甲需
a
天，乙需
b
1
倒数的物理意义综合）
天，则甲工效为， 乙工效位
a
1

11

，甲乙合做
1



天
b

ab

分数除法与整数除法

综合，混合量纲问题
比的意义 化最简整

数比
配分比例按正比例

（按比例分配
分配）
按反比例一项工程甲需
a
天，乙需
b
11
分配
天，甲乙工效比
:

ab
化连比已知甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙？
式，找不
变的量
已知甲:总，乙:丙，求甲:乙:丙？
《英才教程》P88，2
《课本》P43-48过一遍，《英
才教程》P80（2）
《课本》P49-51逐一过关，
P52，4，（3），P54，8，9

c
列式：
a

b
多少？
c
列式：
a

b
cc
(1)甲为
a
，乙比甲多，求乙？ (1)甲为
a
，比乙多，求乙？
bb
cc
(2)甲开始为
a
，然后增加了，求增加后的甲是(2)甲增加后变为
a
，求增加前的甲是多
bb
多少？ 少？

c

c

列式：
a

1

列式：
a

1



b

b

题型一：用分数除法求对应量
3
(1) 一盒纸用去，比剩下的多100张，这盒纸一共有多少张？（《小灵通》P68，五，8）
5
3

3


解：
100



1


500
（张）

5

5


11
(2) 一辆汽车从甲 地驶往乙地，第一天行了全程的，第二天行了全程的，这时离乙地还
43
有140千米。甲、乙 两地相距多少千米？（《英才教程》P88，（4））

11

解：
140

1

336
（千米）

43

1
(3) 有甲、乙两袋大豆，甲袋装大豆20千克，如果 从乙袋中倒出给甲袋，两袋一样重。乙
6
袋原来装大豆多少千克？比甲袋多多少千克？（《英才 教程》P69，（7））

11

解：
20

1

30
（千克）30−20=10（千克）

66

答：乙袋原来装大豆30千克,比甲袋多10千克。
11
(4) 一筐梨分给赵、钱、孙3人，赵分得全部梨的加5个梨，钱分得全部梨的加7个梨 ，
54
11
孙分得其余梨的，最后剩下的梨正好等于一筐梨的。这筐梨有多少个？（《 英才教程》
28
P83，例3）
1111

1

40
（个）

57





5488

11(5) 小明三天看完一本故事书，第一天看了全书的还少4页，第二天看了全书的还多14
43< br>页，第三天看了90页。这本书有多少页？（《英才教程》P83，1）
11

1

240
（页）

90 144





34

11
(6) 王师傅运一批大米，第一天运走总数的多60袋，第二天运走总数的少60袋，还剩
54下220袋没有运走。这批大米原有多少袋？（《英才教程》P83，2）
11

1

400
（袋）

22 06060




54

(7) 丢潘图 是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一道谜语式的短诗，内容是一道有趣

111< br>的数学题：“丢潘图的一生，幼年占，青少年占，又过了才结婚，5年后生子，子
6127
先其父4年而死，寿命是他父亲的一半。”问丢潘图活了多少岁？（《小灵通》P29，七）
1111

解：

54



1 

84
（岁）

26127

1
(8) 某学校举办数学竞赛，按参加人数的颁奖 ，分设一、二、三等奖各若干名。竞赛结果，
5
29
获一、二等奖的人数占获奖总数的 ，获二、三等奖的人数占获奖总数的，已知12
510
人获二等奖。该校有多少学生参加数学竞 赛？（《英才教程》P82，例2）

29

1
解：
12 

1

200
（人）

510

5
11
(9) 修一条路，第一天修了全长的， 第二天修了余下的，这时还剩120米，这条路全长
45
多少米？（《英才教程》P65，例）

1

1

解：
120

1 



1

200
（米）

5

4

11
(10) 小明读一本故事书， 第一天读了这本书的，第二天读了余下的，还剩60页没有读，
34
这本书有多少页？（《小灵 通》P68，五，3）

1

1

解：
60

1



1

120
（ 页）

4

3

11
(11) 王丽读一本书 ，第一天读了20页，比第二天多读，第二天读的是全书的，这本书共
48
有多少页？（《英才 教程》P124，（4））

1

1
解：
20

1

128
（页）

4

8
17
(12) 有三筐同样重的苹果，取出第一筐 质量的，第二筐质量的，从第三筐中取出12千
220
克，这时三筐剩下的苹果恰好等于原来两 筐苹果的质量。原来两筐苹果重多少千克？（《知
识大集结》P136，1）
代数解：设每筐苹果重
x
千克，则
7

17
< br>1

17

1x1xx122xx12

xx12x



1

 80
（千克）
220

2

20

2 20

算术解释：三筐苹果取出若干，剩下的苹果等于原来的两筐，可理解为总共取出的为一< br>
17

17

筐，于是12千克对应标准量一筐的分率为

1

，故一筐重量为
12

1

80


220

220

11
(13) 某校一年级 原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班人数的于原二班人数的组
34
11
成新 一班，将原一班人数的与原二班人数的组成新二班，余下30人组成新三班。问：
43
原一班和 二班共有学生多少人？（《知识大集结》P135，16）
代数解：设原一班
x
人， 原二班
y
人，则

11

11

11

1x1y30xy30
,

1< br>
72
（人）
3443

34


算术解释：可理解为从一班二班中两次取出若干人，共留下30人。一班一共取出
11 7117

，二班一共取出

，所取出的分率恰好相同，于是可看作从一 二班总
34124312
7


11


体中取出之后留下30人，故原一二班总人数：
30

1

< br>

72
（人）
12


34


3
(14) （分数除 法的多标准量问题）小华读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了余
8
1
下页数 的还多8页,这时还有52页没读。这本故事书有多少页？（《知识大集结》P134,9）
5
解法一：
全书页数为单位“1”
解法二：
全书页数为单位“1”
3
第一天,
8
3
1

8
3
第一天,
8
3
1

8
余下页数为单位“1”
1
5
1
1
5

3

1

1



8

5
8页 52页
第二天
8页 52页
第二天

528



1

3

3

1


1

 120（页）
8

8

5



528




1

1

3

（页）



1

1205

8

1
(15) （分数除法的多标准量问题）一批零件 ，第一天加工了总数的，第二天加工的是第一
3
1
天的，这时还剩22个零件未加工。 这批零件一共有多少个？（《知识大集结》P133,2）
6
整批零件为单位“1”
解：
1
第一天,
3
11
第二天,


36

111
1
336
22个

111

22

1

36（页）
336

综合乘法除法求对应量和标准量

(16) 图书室有文艺书 120本，科技书的本数是文艺书的
31
，又是故事书的，故事书有多少
43
本？（《英才教程》P66，例3）
31
解：
120270
（本）
43
13
(17) 甲堆货物的与乙堆货物的相等，已知乙堆货物重280千克，求甲 堆货物有多少千克？
45
（《英才教程》P69，（5））
31
解：
280672
（千克）
54
2
(18) 有甲、乙两只水桶，把甲桶里的半桶水倒入乙桶，刚好装了乙桶的， 再把乙桶里的水
3

1
倒出全桶的后，还剩15千克水，甲桶可装水多少 千克？（《英才教程》P70，5）
6

21

21
解：
15



40
（千克）

36

32
11
(19) 一桶油，第一次用去，正好是 4升，第二次又用去这桶油的，还剩多少升？（《小灵
34
通》P26，七）
1
11

解：
4

1

5
（升）
3

34

25
(20) 水果店运来苹 果120箱，是梨的，桔子的箱数是梨的。桔子多少箱？（《小灵通》P46，
39
七，5）
25
解：
120100
（箱）
39
(21) 新华 书店运到一批图书，第一天卖出这批图书的32%，第二天卖出这批图书的45%。已
知第一天卖出64 0本，第二天比第一天多卖出多少本？（《知识大集结》P134，6）
解：
64032%45%640260
（本）
综合乘除法和加减法
311
(22) 食堂买回吨大米，第一周用去它的，第二周用去吨，还剩多少吨？（《小灵通 》P68，
438
五，4）
3

1

13
解：


1


（吨）
4

3

88
题型二：用分数除法求对应分率
1
(23) 学校有足球若干个，篮球比足球多，足球比篮球少几分之几？
5
1
排球比足球少，足球是排球的几分之几？足球比排球多几分之几？
6
11
(24) 甲、乙、丙三人赛跑，甲比乙快，丙比乙慢，则甲的速度是丙的几分之几？
1010
（《英才教程》P54，例1）
1
甲比乙快，则甲是乙的几分之几？
10
1
丙比乙慢，则丙是乙的几分之几？
10
甲的速度是丙的几分之几？
1
(25) 学校春季给学生做体检，量得 明明的体重是36千克，艳艳的体重比明明的体重轻，明
6
明的体重比艳艳的体重重几分之几？ （《英才教程》P37，6）
1
1
1

1

解： 体重差:明明的体重:艳艳的体重=
:1:

1

，故明明的体重 比艳艳的重
6


1
5
6

6

1
6
11
(26) 甲、乙、丙三人赛跑，甲比乙快，丙比乙慢。甲的速度 是丙的几分之几？（《英才
1010
教程》P54，例1）

1

1

11

解：

1



1




10

10

9
24
(27) 乙数是甲数的，丙数是乙数的。丙数是甲数的几分之几？（《小灵通》P8，五）
35
2488
解：

，答：丙数是甲数的。
351515
(28) 一杯牛奶，喝去20%后，加满水搅匀，再喝去50%后，此时杯中的纯牛奶占杯子容积的
（ ） A. 50% B. 40% C. 30% （《知识大集结》P133，一，5）
1 41
分析：设一杯水容积为
a
，如图第一次20%，即喝去
a
牛奶， 还剩
a
。加水
a
搅匀再
555
14
喝50%，可以 认为，分别从
a
的水中和
a
的牛奶中分别抽取50%，即这次喝的
5 5
11

1414

11
a

a的水 a的牛奶

a的水a的牛奶
，也即第二次喝去的牛奶为
22

5525

25
14

1

4
a
，剩下牛奶为

1

a40%a
，故选B
25

2

5
解法一：
整杯容积为单位“1”
解法二：
整杯容积为单位“1”
1
第一次,
5
1
1

5

1

1


1



1

40%

5

2

1
2
1
1
2< br>1
第一次,

5

1

1
第二次,

1




5

2
1
1

5

1

1

1

1


1

40%


5

5

2
第二次

(29) 小明上个月支出120元，比计划节约了30元，节约了百分之几？正确的算式是（ ）
（《知识大集结》P133，一，1）
120303030
A. B.
100%

100%
C.
100%

12012030120
选B。
题型三：比和比的应用
按正比例分配：
(30) 70人分成三个科研组，按科研任务的大小，要使第一组和第二组人数的比是2:3，第二组
和第三组人数的比是4:5，求各组人数？
解：第一、二、三组人数的连比：8:12:15
8
第一组人数：
7016
（人）
81215
12
24
（人） 第二组人数：
70
81215
15
30
（人） 第三组人数：
70
81215
(31) 在比例尺是1:6 000 000的 中国地图上，量得两地间距离为10厘米。甲、乙两列火车同时
从两地相对开出，6小时后相遇。已知甲 、乙两车速度比为11:9，两车相遇时，行了多少
千米？（《知识大集结》P142，3）
余下牛奶为单位“1”

解：甲乙两地实际距离：
610
6
10cm600km
，
s
甲
v
甲
11
11

，
s
甲
600330km

s
乙
v
乙
9
119
按反比例分配（涉及倒数的物理意义）：
(32) 制造一个零件，甲要6分钟，乙要5分钟，丙要4.5分钟。现有1590个零件，分配给他
们三人，要使他们在相同的时间内完成，问每人应分配多少个零件？
解：要使他们在相同的时 间里完成，先要求出他们在同一单位时间内能完成的个数。甲、
111111
乙、丙每分钟可以 制造零件的个数依次是、、，他们的工效比是：
::
，即
654.5654.5
15:18:20
，于是
15
甲应分配的个数：
1590450
（个）
151820
18
乙应分配的个数：
1590540
（个）
151820
20
丙应分配的个数：
1590600
（个）
151820
(33) 加工同一种零件，甲2分钟加工一个，乙3分钟加工一个，丙4分 钟加工一个。现有1170
个零件需加工，甲、乙、丙三人同时加工，完工时三人各加工了多少个？（《 知识大集结》
P138，例3）
分析：题中已知三人各加工一个零件所需的时间，很多同学容 易误解为甲做
23
（个），乙做
1170
，丙做1170−260−390 =520（个）。
1170260390
（个）
234234
这样理解当然不对。三人同时加工一批零件，要同时加工完，则加工快的就会多加工，
也就是说，工作同 样长的时间，工作量按效率分配，而不是按时间分配。三人加工零件
111
的时间比是2:3: 4，那么他们加工零件的效率比就是
::6:4:3
，按效率比分配。
2341116
解：甲、乙、丙三人工效比：
::6:4:3
，甲做：
117 0
，
540
（个）
234643
4
乙做：
1170
，丙做：1170−540−360=270（个）
360
（个）
643
连比的活用：
(34) 已知甲:总、乙:丙，求甲:乙:丙
设甲乙丙组成全体，则
甲:全甲:

乙+丙




甲:乙:丙

乙:丙

乙+丙

:乙:丙


1
(35) 校园里有 桃树、杏树、苹果树共80棵。其中，苹果树占总数的，桃树与苹果树的比是
4
5:4。杏树有 多少棵？（《英才教程》P80，（6））
151
解法一：
80808035
（棵）
444苹果树:总数1:44:16

解法二：

桃树:苹果树:总数 5:4:16

桃树:苹果树5:4

7
桃树:苹果树:杏树 5:4:7
，故杏树=
8035
（棵）
16

2
(36) 王师傅计划3天内运完一批货，第一天运了42吨， 占这批货的，第二天与第三天运的
5
质量比是4:3，第二天运货多少吨？（《英才教程》P8 1，7）
4
2524

2

36
（吨）解法 一：
42105
（吨），
105

1


；或
42

36
（吨）
543
5243

第一天:总数2:5第一天:

第二天第三天

2:314:21


解法二：


第二天:第三天 4:3第二天:第三天:

第二天第三天

4:3:712:9:2 1


12
第一天:第二天:第三天14:12:9
，故第二天=
4236
（吨）
14
4
(37) 李明家养的鸡、鸭、鹅共5 4只，其中鸡的只数占，鸭和鹅的只数的比是3:2，养的鸭
9
和鹅各有多少只？（《英才教程 》P88，（6））
32

4

解法一：
54

1

30
（只），鸭：
30
，鹅：
30 18
（只）
12
（只）
3232

9

鸡:总4:9鸡:

鸭鹅

4:5

< br>解法二：

鸡:鸭:鹅4:3:2

鸭:鹅3:2
< br>
32
鸭：
54
，鹅：
5418
（只）
12
（只）
432432
(38) 水泥、石子、黄沙各60吨，将水 泥、石子、黄沙按5:3:2拌制混凝土，水泥正好用完，
石子、黄沙各余多少吨？（《英才教程》P8 8，1）
5
解法一：
60
，
120
（吨）
532
32
石子：
60120
，黄沙：
601202 4
（吨）
36
（吨）
532532
33
解法二 ：用去石子：
60
，余下石子：
606024
（吨）
55
22
用去黄沙：
60
，余下黄沙：
606036
（ 吨）
55
49
(39) 阅览室有36名学生，其中女生占，后来又来了几名女生， 这时女生人数占总人数的。
919
又来了几名女生？（《英才教程》P84，3）
9

4

解法一：
36

1


1

362
（名）

9

19

解法二：
初
男女I
新来
末
男女II

男:女I5:4< br>

男:女I:女II10:8:9
，
新来:

男女I



女II女I

:

男 女I

1:18
，
男:女II10:9


1
2
（人）
18
(40)
甲、乙、丙、丁四个人加工一批零 件，甲和乙共加工54
个，乙、丙、丁三人共加工零件90个。已知乙加工的零件
1
数 是这批零件总数的。求这批零件一共有多少个？
5
（《小灵通》P27，七）
解：

甲乙



乙丙丁

乙总 5490144

于是新来=
36
甲
丁
乙
丙

5
乙:总1:5


乙总
< br>:总6:5
，于是
总144120
（个）
6
(41) 学校体育室排球与足球的个数比是9:10，足球与篮球个数比是5:7。已知篮 球与排球共有
69个，求篮球比排球少多少个？（《英才教程》P124，1）
解：排球:足 球:篮球=9:10:14，

篮球−排球:篮球+排球=(14−9):(14+9)=5: 23，故
1495
，答：篮球比排球少15个。
696915
（个）
14923
5
(42) 合唱队中男 生占女生人数的，后来又增加了3名女生，此时男生人数占合唱队人数的
6
5
。合唱队 现有男生、女生各多少人？（《英才教程》P203，1）
12
解：男:(男+女II)=5 :12，

男:女II=5:7，又
Q
男:女I=5:6，故男:女II:女 II−女I=5:7:1
故男5×3=15（人），女II=7×3=21（人）
11
(43) 有甲、乙两根绳子，甲绳子比乙绳子长35米，已知甲绳的和乙绳的相等。两根 绳子
94
各长多少米？（《知识大集结》P135，11）
解：二元一次方程模型：

甲乙35



11
甲乙0

4

9
11
:9:4
，


甲 乙

:甲:乙

94

:9:4

49
94
甲：
35
，乙：
3563
（米）
 28
（米）
9494
活用连比：
Q甲:乙
1
(44) 四位同学做红花， 甲做的是其它三位做的总数的一半，乙做的是其它三位做的总数的，
3
1
丙做的是其它 三位做的总数的，丁正好做了26朵。问：四位同学共做了多少个？（《知
4
识大集结》P13 4，10）
解：甲:(乙+丙+丁)=1:2，故甲:(甲+乙+丙+丁)=1:(2+1)
乙:(甲+丙+丁)=1:3，故乙:(甲+乙+丙+丁)=1:(3+1)
丙:(甲+乙+丁)=1:4，故丙:(甲+乙+丙+丁)=1:(4+1)
111
故丁占总数的分率为
1
，正好是26朵，

2 13141
111


故总数为
26

1

120
（朵）
213141


2.4. 二元一次方程问题（鸡兔同笼问题）和二次问题（多量纲问题）
问题的引入及其与前文的联系： 和差
甲,x
甲,x
1
丙,x
2
比率k
_
比率k

比率k
1
b
比率k
b

和差
和差
乙,k
1
x丙,k
2
x
乙,k
1
x
1
丁,k
2
x
2
k
1
x
1
k
2
x
2
b

x
1
x
2
b
1

a
11
x
1
a
12
x
2
b
1

一般 地,

kxkxbaxaxb

11222

2 112222
2
12
比率k
1
比率k
2
甲,x 乙,k
1
x丙,k
2
x

k
1
k
2
xb
（多标准量）
比率k
甲,x乙,kx

kxb
（单标准量）
典型的二元一次问题由两个和差关系、两个倍比关系组成。且和差均不能为零，否则会
蜕化为三个倍比关 系和一个和差关系，可直接用按比例分配求解。
题型一：鸡兔同笼，两个和差关系均为和
(45) 甲、乙、丙、丁四袋水泥，甲与乙的重量比为1:
k
1
，丙与丁的 重量比为1:
k
2
，甲与丙的
和为
b
1
斤，乙与丁 的和为
b
2
斤。求甲、乙、丙、丁各重多少？（
k
1
k< br>2
1
，
b
2
b
1
）
二元一次方程模型：
①根据和差关系列等式，
甲:x
倍比
和差
丙:y
倍比
b

和差
乙:k
1
x丁:k
2
y
b

k
2
b
1
b
2

甲:x
< br>k
2
k
1

xyb
1

< br>


bkb
kxkyb

122

丙:y
211

k
2
k
1

②根据倍比关系列等式，
k
2
b
1
b
2

y
甲:x
k

1

k
2
k
1

x

倍比
b
倍比
b




by
kkbb
和差

2

乙:y
1

212

k
2
乙:y 丁:b
2
y


k
2
k
1< br>
b
1
x

线段图算术解：根据①，拆解
k
2
k
1


k
2
k
1
< br>将
x
、
y
前系数凑为相同，然后
k
1
xk
2
y

甲:x
和差
丙:b
1
x
k
1

xy



k
2k
1

yk
1
b
1


k
2
k
1

yb
2
，
图解一
乙:
k
1
x

实图
虚图
k
1
x

b
2

图解二
丁:
k
2
y

k
2
b
1
b
2

b
2

乙:
k
1
x


丁:
k
2
y


k
2
k
1

y
k
1
y

b
2
k
1
b
1


k
2
k
1

x
k
2
x

k
2
y

k
1

xy

k
1
b
1

k
2

xy

k
2
b
1

b
2
k
1
b
1

k
2
k
1
bk
1
b
1
k
2
b
1< br>b
2

甲：
xb
1

2
k
2
k
1
k
2
k
1
丙：
y
k
2
b
1
b
2

k
2k
1
kbbbkb
丙：
yb
1

21 2

211

k
2
k
1
k
2< br>k
1
甲：
x

53
(46) 甲、乙两班共84 人，甲班人数的与乙班人数的共有58人，问两班各多少人？（《英
84
才教程》）

代数解：设甲、乙班分别有
x
人、
y
人，则

xy84

x40

，解得
3


5
xy58

y44

4
< br>8
算术解：设制虚拟数量。虚拟假设的目的：把两个不确定的因素通过相加减变成一个不
确定因素（消元）。如何绘制线段图：找等量关系，而不是抓单位“1”的量。已知甲班
5335155
人数的与乙班人数的共有58人，注意到

，即知甲班人数的+乙班人数的+
8448888
155
乙班人数的=58人。由甲、乙班共84人，设置虚拟数量为甲班人数 的和乙班人数的
888
5
51

共有
84
人。 如图，两者相减得乙班人数的为

5884

人，故乙班人数为
8
88

5

1
5884

 44
人
8

8
图解一
5
甲
8
58人
3
乙
4
图解二
3
8458（人）

4
1

35
< br>


甲甲
8

48

58人
5
甲
8
3
乙
4
实图
虚图
5
甲

8
5
乙
8
1

35




乙乙
8

48

5

5884（人）
8
3
甲

4
3
乙
4
33

甲乙

84

44
55

甲乙

84

88
3
8458
4
乙：甲：
40
（人）
3535

4848
甲：84−44=40（人）

乙：84−40=44（人）


(47) 加工一批零件，甲、乙合做24 天可以完成，现由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩
2
下这批零件的没有完成，已知甲每 天比乙多加工3个零件，求这批零件的个数？（《知
5
识大集结》P132，例8）
1
算术分析：由题意，甲、乙的工作效率和为。甲先做16天，然后乙再做12天，我们
24< br>可以理解为甲、乙合做12天后，甲再单独做16−12=4（天）
[以此达到消元的目的]，这样甲4
21111
天完成的工作量为
112
，于是，可以求 出甲的工作效率为
4
，乙的
524101040
11111
< br>工作效率为

，所以3个零件就占这批零件的

，于是可以求出这批零
2440604060
件的个数。
11

11



21

1121612
，
3



40


24

40


360
（个）
52440


< br>代数分析：设甲的工作效率为
x
批天，乙的工作效率为
y
批天，依题意
5884
5
8
44
（人）

1

xy

2

24
，由第二式得，将第一 式代入得
16x12y12xy1612x1


5

16x12y1
2

5

1221112

1612

x1
，

1612

x112

24552410
1
111

21

x

112



1612


，代入第一式得
y

52440
244060

11
故甲、乙工效分别为批天 、批天。
4060
设这批零件共有
a
个，则
a1aa
甲的工作效率为个天（
Q
，乙的工作效率为个天
批天a 个批个天
）
40404060
1

aa

1于是
个天个天3个天
，
a3



 360
（个）答：这批零件有360个。
4060

4060

(48) 一项工程，甲、乙、丙3人合做6 小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2
2
小时，可以完成这项工程的，如果甲、乙 合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这
3
2
项工程的。如果让甲、丙合做，需要几 小时完成这项工程？（《知识大集结》P136，3）
3
代数解：设甲工效为
x
批时，乙工效为
y
批时，依题意
1

xyz

6

2


6x2yz


3

2

3x y6z


3

212
由第二式得

62

x2

xyz


，将第一式代 入得

62

x2
，故
363
1

1

2
x

2



62



3

12

3212
由第三式得
3

xyz


63

z
，将第一式代入得
3

63

z
，故
363
1

1
11
2
z

3



63

，故甲、乙工效分别为批时、批时
6

18
1218

3
1

11

甲丙合做时需时：
1



7
（时）
5

1218
1
算术解：由题意知，甲、乙、丙三人的工效和为。甲工作6时后，乙、丙合做2时，
6< br>可以理解为甲、乙、丙合做2时后，甲再单独做6−2=4时
[以此达到消元的目的]
， 这样甲4时
21111
完成的工作量为
2
，于是可以求出甲的工作效率 为
4
。同理可得丙的工
363312
1
效为。
18< /p>

1

11

1

2

2
甲工作效率：

2



62


，丙工作效率：

3



6 3



3

126

18
< br>3

3
1

11

于是甲乙合做需时：1



7
（时）
5

1218

从成比例的量的交叉减比法到线性方程组的解法
《小学数学教师》1982，4：P49
(49) （预备题）现有含盐量
a%的浓盐水和含盐量
c%
的稀盐水，需要配置成含盐量
b%
的盐
水 ，问各取多少？（
abc
）
解：设取含盐量
a%
的盐水
x
斤与含盐量
c%
的盐水
y
斤相混合，得到含盐量为
b%
的盐水

xy

斤，则
a%xb%yb%

xy

，移项得

ab

x
bc

y
，

浓溶液重量混合后的溶液浓度稀溶液浓度< br>xbc

Q
abc


，

，即

稀溶液重量浓溶液浓度混合后的溶液浓度
yab

b c0,ab0

c%（稀）
（浓）
1. 先画出交叉的四条斜线，在 上面两角上写浓稀两种溶
a%
]
[
液的浓度，中间写混合溶液的浓度（平均浓 度）。
b%（混）
2. 然后依斜线相减，得到的差写在该斜线延长线的下面
[]< br>（必须是大数减小数），即把左上角数与中间数的差写

bc

%< br>
ab

%
y斤
x斤
在右下角，右上角数与中间数 的差写在左下角。

3. 从竖列看，左（右）下角相减结果为左（右）上角溶液的质量比率 ，然后将斜线的
左、右下角的两组数列成比例，再解比例式。此法可简述为：一交叉、二相减、三
解比例式。

(50) （预备题：一元一次方程模型→正比例问题→解比例方法）某生产 队要用0.15%的氨水进
行油菜追肥，现有含氨量16%的氨水30斤，配制时需要加水多少斤？ < br>16%（氨水）
0%（水）
交叉解：第一行写现有氨水的含氨量和水的含氨量（0%）。
]
[
第二行中间写混合溶液的含氨量。然后交叉相减：
15%
16% −0.15%=15.85%，0.15%−0%=0.15%
[]
15.85%
0 .15%
列式：0.15%:15.85%=30:
x
，
x3170（斤）
x斤
30斤
答：需加水3170斤。


代 数解：设加水
x
斤，则
16%300.15%

30x
，移项得

16%0.15%

300.15%x< br>
x16%0.15%
，解比例得
x3170


300.15%
(51) （二元一次方程模型→逆向等量代换消常数项→正比例问 题→按比例分配的方法）某人
买每斤0.28元的梨与每斤0.42元的桔子，共买7斤，付人民币2. 8元，求各买多少斤？
0.28 0.42
交叉解：一般地，如果已知两数的单位量及他们 的平均量，求
]
[
这两个数的总量，这类题目均可用“交叉减比法”来解。
0.4
7斤水果共付2.8元，那么平均数是2.8÷7=0.4（元），如右图
[]
0.02 0.12
列式：0.02:0.12=1:6

16
1
（斤）
6
（斤） ∴梨：
7
，桔：< br>7
1616
代数解：设梨
x
斤，桔子
y
斤，则

xy7
，消去常数项，用逆向等量代换的方法把成线性关系的
x
、
y
化作成

0.28x0.42y2.8

比例的 关系。
0.28x0.42y2.80.470.4

xy

，移项后化作成比例的关系


0.40.28

x< br>
0.420.4

y
，
x0.420.40.021< br>16

，
x71
，
y76

y0.40.280.126
1616