高中学习方法-山东力明学院

数学广角——算术与图形的转化

1.在实践操作中,使学生能够感受到数与形可以互相转化,数与形相结合是数学解题思想方
法。 2.使学生认识到数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思
维为形 象思维。
3.在研究例题的数形结合的过程中,使学生加深对数形结合思想方法的认识,充分感受数形 结
合在小学数学学习中的应用。

1.介绍有关数学史。
数与形是数学中 的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。作
为一种数学思想方法,数形 结合的应用大致又可分为两种情形:一是借助于数的精确性来阐明形的
某些属性,二是借助形的几何直观 性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形
是“以数解形”,而第二种情形是“以 形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不
出什么规律来,这时就需要给图形赋 值,如边长、角度等。
2.在学生的学习过程中,可以灵活地选择合适的方法,老师不要加以限制。

1课时


算术与图形的转换
教材第107~111页的内容。

1.使学生认识到数形结合的思想可以使某些抽 象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思
维为形象思维。
2.使学生能够感受到数与形可以互相转化,树立数与形相结合是数学解题思想方法。
3.使学生加深对数形结合思想方法的认识,充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。

1

重点:感受数与形可以互相转化,树立数与形相结合是数学解题思想方法。
难 点:寻找和发现数与形相互转化的途径与方法通过数与形的转化,认识到数形结合的思想可
以使某些抽象 的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维。

实物投影。


投影出示。
计算下面的算式
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=?
(1)学生读题,理解题意。
(2)尝试独立完成。
(3)介绍解题方法。
如果有的学生能够想出来好的解题方 法,就让他们说一说他们的解题思路,老师加以点拨、归
纳。

1.出示例1。
(1)学生读题,教师整理。
为了便于观察,我们可以把图形与算式一一对应起来,找出图形和算式存在的相互关系。



1+3=(

1+3+5=(
(2)老师:先填一下算式括号。
1=(1)
2
1+3=(2)
2
1+3+5=(4)
2

提问①:算式左边的加数有什么特点?
小组内讨论,然后集体汇报。
(观察后会发现:算式左边的加数是连续的奇数)
提问②:算式左边的加数与构成的图形之间有什么关系?
小组内讨论,然后集体汇报。
1=( )
2
)
2
)
2


( 仔细观察后,我们会发现:算式左边的加数是大正方形左下角的小正方形和其他“”形图形所
包含的小正 方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方)
2

提问③:算式右边括号里的数字与构成的图形之间有什么关系?
小组内讨论,然后集体汇报。
(仔细观察后会发现:算式右边括号里的数字是图形构成小正方形的个数)
提问④:算式左边 加数(除1图外)与右边括号里的数字之间有什么关系?算式左边的加数是
1、3、5……
n< br>,右边括号里的数字用
a
表示,那么你能用字母表示其关系吗?小组内讨论,然后集体< br>汇报。
(观察计算后,我们会发现:算式左边加数和的一半等于右边括号里的数字)
老师:可以举一个例子吗?
学生:




























提问②:从左到右连续相加计算,你发现了什么?
小组内讨论,然后集体汇报。


3

老师小结:有些问题通过画图,把数字、算式转化为图形,利用图形解答,更简洁直观。
3.完成教材第108页“做一做”。
(1)学生读题,然后独立完成。
(2)集体订正。

观察点阵与算式的对应规律,再填空。
… …
①1 ②1+4 ③1+4+4 ④1+4+4+4 ⑤…… ⑥1+4+4+4+4+4
第⑥个点阵图中有多少个点?


4

如图,是用棋子摆成的图案, 摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3
个图案需要37枚棋子,按照这样的 方式摆下去,则摆第10个图案需要多少枚棋子?

①6+1=7 ②6×(1+2)+1=19 ③6×(1+2+3)+1=37 …… ⑩

课堂作业新设计
观察图形可得:第一个图形有1个点,可以写作1+(1-1)×4;第二个 图形有1+4个点,可以
写作1+(2-1)×4;第三个图形有1+4+4个点,可以写作1+(3- 1)×4……则第
n
个图形的点数就
可以写作1
+
(
n-< br>1)
×
4。当
n=
5时,点数为:1
+
(5
-
1)
×
4
=
17(个)当
n
=6时,点数为:1 +(6-
1)×4=21(个)。
思维训练
第1个图案有7枚棋子;第2个图案有 19枚棋子;相差12;6的2倍;第3个图案有37枚
棋子;相差18;6的3倍;第4个图案有61 枚棋子;相差24;6的4倍;……第
n
个图案有
3
n
(
n +
1)
+
1枚棋子;相差6
n
;6的
n
倍;那么所 求摆第10个图案需要棋
子:3
n
(
n+
1)
+
1
=
3
×
10
×
(10
+
1)
+< br>1
=
331,即摆第10个图案需要331枚棋子。
教材习题
教材第108页做一做
1. 4
2
+3
2
7
2
+6
2

2. 第6个图形中有6个红色小正方形,18个蓝色 小正方形;第10个图形中有10个红色小正
方形,26个蓝色小正方形。
练习二十二
1. 第5个图形最外圈有小正方形个数为11
2
-9
2
=40。道理略
2. 画图略 第10个数是55。
3. 三角形个数:1 4 9 16 周长:3 6 9 12
问题:(答案不唯一)如第10个图的周长是多少?含有多少个小三角形?
4. 200×2=400(米)
5. 妈妈:第二幅图;爸爸:第三幅图;小兰:第一幅图。
6. 2盘,分别和小林、小强下的。
7. 关系:①两边各是1,往中间数是左右对称状, 数字相同;②且左右两边往中间数的第二个数,
等于所在行的行数减1;下一行的数等于上一行左右两数 的和。
8.
*
因为大正方形面积
=
(
a+b
)
2
,四个小图形的面积之和
=a
2
+b
2
+
2
ab
,所以(
a+b
)
2
=a
2
+< br>2
ab+b
2
。
5

1.学生对富有情趣的古代著名数学问题很感兴趣。
2.对于绝大多数没有培优的学生来说,用“数形结合”思想解题既是重点也是难点。


学生已经在前面接触过“数形结合”思想,在解题时,老师要引导学生往“数形结合”思想这 一方
面靠拢,帮助学生突破难关。

1.教学时,强调激发学生兴趣,可讲古代数学故事。
2.老师适当引导,引导学生尝试用“数形结合”的思想去解题。

6

数学广角——算术与图形的转化

1.在实践操作中,使学生能够感受到数与形可以互相转化,数与形相结合是数学解题思想方
法。 2.使学生认识到数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思
维为形 象思维。
3.在研究例题的数形结合的过程中,使学生加深对数形结合思想方法的认识,充分感受数形 结
合在小学数学学习中的应用。

1.介绍有关数学史。
数与形是数学中 的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。作
为一种数学思想方法,数形 结合的应用大致又可分为两种情形:一是借助于数的精确性来阐明形的
某些属性,二是借助形的几何直观 性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形
是“以数解形”,而第二种情形是“以 形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不
出什么规律来,这时就需要给图形赋 值,如边长、角度等。
2.在学生的学习过程中,可以灵活地选择合适的方法,老师不要加以限制。

1课时


算术与图形的转换
教材第107~111页的内容。

1.使学生认识到数形结合的思想可以使某些抽 象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思
维为形象思维。
2.使学生能够感受到数与形可以互相转化,树立数与形相结合是数学解题思想方法。
3.使学生加深对数形结合思想方法的认识,充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。

1

重点:感受数与形可以互相转化,树立数与形相结合是数学解题思想方法。
难 点:寻找和发现数与形相互转化的途径与方法通过数与形的转化,认识到数形结合的思想可
以使某些抽象 的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维。

实物投影。


投影出示。
计算下面的算式
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=?
(1)学生读题,理解题意。
(2)尝试独立完成。
(3)介绍解题方法。
如果有的学生能够想出来好的解题方 法,就让他们说一说他们的解题思路,老师加以点拨、归
纳。

1.出示例1。
(1)学生读题,教师整理。
为了便于观察,我们可以把图形与算式一一对应起来,找出图形和算式存在的相互关系。



1+3=(

1+3+5=(
(2)老师:先填一下算式括号。
1=(1)
2
1+3=(2)
2
1+3+5=(4)
2

提问①:算式左边的加数有什么特点?
小组内讨论,然后集体汇报。
(观察后会发现:算式左边的加数是连续的奇数)
提问②:算式左边的加数与构成的图形之间有什么关系?
小组内讨论,然后集体汇报。
1=( )
2
)
2
)
2


( 仔细观察后,我们会发现:算式左边的加数是大正方形左下角的小正方形和其他“”形图形所
包含的小正 方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方)
2

提问③:算式右边括号里的数字与构成的图形之间有什么关系?
小组内讨论,然后集体汇报。
(仔细观察后会发现:算式右边括号里的数字是图形构成小正方形的个数)
提问④:算式左边 加数(除1图外)与右边括号里的数字之间有什么关系?算式左边的加数是
1、3、5……
n< br>,右边括号里的数字用
a
表示,那么你能用字母表示其关系吗?小组内讨论,然后集体< br>汇报。
(观察计算后,我们会发现:算式左边加数和的一半等于右边括号里的数字)
老师:可以举一个例子吗?
学生:




























提问②:从左到右连续相加计算,你发现了什么?
小组内讨论,然后集体汇报。


3

老师小结:有些问题通过画图,把数字、算式转化为图形,利用图形解答,更简洁直观。
3.完成教材第108页“做一做”。
(1)学生读题,然后独立完成。
(2)集体订正。

观察点阵与算式的对应规律,再填空。
… …
①1 ②1+4 ③1+4+4 ④1+4+4+4 ⑤…… ⑥1+4+4+4+4+4
第⑥个点阵图中有多少个点?


4

如图,是用棋子摆成的图案, 摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3
个图案需要37枚棋子,按照这样的 方式摆下去,则摆第10个图案需要多少枚棋子?

①6+1=7 ②6×(1+2)+1=19 ③6×(1+2+3)+1=37 …… ⑩

课堂作业新设计
观察图形可得:第一个图形有1个点,可以写作1+(1-1)×4;第二个 图形有1+4个点,可以
写作1+(2-1)×4;第三个图形有1+4+4个点,可以写作1+(3- 1)×4……则第
n
个图形的点数就
可以写作1
+
(
n-< br>1)
×
4。当
n=
5时,点数为:1
+
(5
-
1)
×
4
=
17(个)当
n
=6时,点数为:1 +(6-
1)×4=21(个)。
思维训练
第1个图案有7枚棋子;第2个图案有 19枚棋子;相差12;6的2倍;第3个图案有37枚
棋子;相差18;6的3倍;第4个图案有61 枚棋子;相差24;6的4倍;……第
n
个图案有
3
n
(
n +
1)
+
1枚棋子;相差6
n
;6的
n
倍;那么所 求摆第10个图案需要棋
子:3
n
(
n+
1)
+
1
=
3
×
10
×
(10
+
1)
+< br>1
=
331,即摆第10个图案需要331枚棋子。
教材习题
教材第108页做一做
1. 4
2
+3
2
7
2
+6
2

2. 第6个图形中有6个红色小正方形,18个蓝色 小正方形;第10个图形中有10个红色小正
方形,26个蓝色小正方形。
练习二十二
1. 第5个图形最外圈有小正方形个数为11
2
-9
2
=40。道理略
2. 画图略 第10个数是55。
3. 三角形个数:1 4 9 16 周长:3 6 9 12
问题:(答案不唯一)如第10个图的周长是多少?含有多少个小三角形?
4. 200×2=400(米)
5. 妈妈:第二幅图;爸爸:第三幅图;小兰:第一幅图。
6. 2盘,分别和小林、小强下的。
7. 关系:①两边各是1,往中间数是左右对称状, 数字相同;②且左右两边往中间数的第二个数,
等于所在行的行数减1;下一行的数等于上一行左右两数 的和。
8.
*
因为大正方形面积
=
(
a+b
)
2
,四个小图形的面积之和
=a
2
+b
2
+
2
ab
,所以(
a+b
)
2
=a
2
+< br>2
ab+b
2
。
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1.学生对富有情趣的古代著名数学问题很感兴趣。
2.对于绝大多数没有培优的学生来说,用“数形结合”思想解题既是重点也是难点。


学生已经在前面接触过“数形结合”思想,在解题时,老师要引导学生往“数形结合”思想这 一方
面靠拢,帮助学生突破难关。

1.教学时,强调激发学生兴趣,可讲古代数学故事。
2.老师适当引导,引导学生尝试用“数形结合”的思想去解题。

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