武汉市房屋出租-雷锋的名言名句

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不等式单元知识总结
一、不等式的性质
1．两个实数a与b之间的大小关系

(1)a－b＞0a＞b；


(2)a－b=0a=b；< br>

(3)a－b＜0a＜b．


a

(4)
b
＞1a＞b；


a
若 a、bR

，则

(5)=1a=b；

b

a
( 6)＜1a＜b．


b

2．不等式的性质
(1)a＞bb＜a(对称性)

a＞b

(2)

a＞c(传递性)
b＞c


(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)

a＞b


ac＞bc
c＞0


(4) (乘法单调性)
a＞b


ac＜bc
c＜0


(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)

a＞b

(6)
a＋c＞b＋d(同向不等式可加)
c＞d


(7)a＞b


a－c＞b－d(异向不等式可减)
c＜d

a＞b＞0

(8)

ac＞bd(同向正数不等式可乘)
c＞d＞0


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a＞b＞0

ab
(9)

＞(异向正数不等式可除)< br>cd
0＜c＜d


(10)
a＞b＞0

nn

a＞b(正数不等式可乘方)
nN


a＞b＞0

(11)


n
a＞
n
b(正数不等式可开方)
nN


11
(12)a＞b＞0＜(正数不等式两边取倒数)
ab

3．绝对值不等式的性质

a (a≥0)，
(1)|a|≥a；|a|=


－a (a＜0)．

(2)如果a＞0，那么
|x|＜ax
2
＜a
2
－a＜x＜a；

|x|＞ax
2
＞a
2
x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．
a|a|
(4)||＝ (b≠0)．
b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|． < br>(6)|a
1
＋a
2
＋……＋a
n
|≤|a
1
|＋|a
2
|＋……＋|a
n
|．
二、不等式的证明
1．不等式证明的依据
(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0< br>a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式：①|a|≥0；a
≥0；(a－b)≥0(a、b∈R)
②a
＋b
≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)
22
22

③
ab
≥ab(a、bR

，当且仅当a=b时取“=”号)
2

2．不等式的证明方法
(1)比较 法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的
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方法叫做比较法．
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．
( 2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所
要证明的不等式成立， 这种证明不等式的方法叫做综合法．
(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的 充分条件，直到所
需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．
三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性

f(x)＞0

f(x)＜0
(1)f(x)·g(x)＞0与

或

同解．
g(x)＞0 g(x)＜0



f(x)＞0

f(x)＜0
(2)f(x)·g(x)＜0与

或

同解．
g(x)＜0g(x)＞0


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
f(x)＞0

f(x)＜0
f(x)
(3)＞0与
或

同解．(g(x)≠0)
g(x)
g(x)＞0g( x)＜0


f(x)＞0

f(x)＜0
f(x)(4)＜0与

或

同解．(g(x)≠0)
g(x)g(x)＜0g(x)＞0



(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；② 与g(x)
＜0同解．

f(x)＞[g(x)]
2


f(x)≥0

(7)f(x)＞g(x)与

f(x )≥0或

同解．

g(x)＜0

g(x)≥0



f(x)＜[g(x)]
2
(8)f(x)＜g(x)与
同解．
f(x)≥0


(9)当a＞1时，a
g(x)同解．
f(x)
＞a
g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，a
f(x)
＞a
g(x)
与f(x)＜

f(x)＞g(x)
(10)当a＞1时，log
a
f(x)＞log
a
g(x)与

同解．
f(x)＞0
< br>

f(x)＜g(x)

当0＜a＜1时，log
a
f(x)＞log
a
g(x)与

f(x)＞0同解．


g(x)＞0



单元知识总结

一、坐标法
1．点和坐标
建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应
的关系．
2．两点间的距离公式
设两点的坐标为P
1
(x
1
，y< br>1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，则两点间的距 离
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|P
1
P
2
|=(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：
(1)当x
1
=x
2
时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则
|P
1
P
2
|=|y
2
－y
1
|
(2)当y
1
=y
2
时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则
|P
1
P
2
|=|x
2
－x
1
|
3．线段的定比分点
(1)定义：设P点把有向线段P
1
P
2分成P
1
P和PP
2
两部分，那么有向
线段P
1
P和PP
2
的数量的比，就是P点分P
1
P
2
所成的比， 通常用λ表示，
即λ=
P
1
P
，点P叫做分线段P
1
P
2
为定比λ的定比分点．
PP
2

当P点内分P
1
P
2
时，λ＞0；当P点外分P
1
P
2
时，λ ＜0．

(2)公式：分P
1
(x
1
，y
2
)和P
2
(x
2
，y
2
)连线所成的比为λ的分点坐标是

x
1
λx
2
x

1λ

(λ≠1)

yλy
2

y
1
< br>1λ


特殊情况，当P是P
1
P
2
的中 点时，λ=1，得线段P
1
P
2
的中点坐标

公式
x
1
x
2

x


2
< br>
y
y
1
y
2

2


二、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转
的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．
当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．
所以直线的倾斜角α∈[0，π)．
(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
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率，直线的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠
∴当k≥0时，α=arctank．(锐 角)
当k＜0时，α=π－arctank．(钝角)
π
)．
2

(3)斜率公式：经过两点P
1
(x
1
，y
1
)、 P
2
(x
2
，y
2
)的直线的斜率为
k=
y
2
y
1
(x≠x
2
)
x
2
x
1
1

2．直线的方程
(1)点斜式 已知直线过点(x< br>0
，y
0
)，斜率为k，则其方程为：y－y
0
=k(x－x
0
)
(2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kx＋b
(3)两点式 已知直线过两 点(x
1
，y
1
)和(x
2
，y
2
)，则 其方程为：
yy
1
xx
1
=(x≠x
2
)< br>y
2
y
1
x
2
x
1
1

(4)截距式 已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：
xy
1
ab

(5)参数式 已知直线过点P(x
0
，y
0
)，它的一个方向向量是(a，b)，

xx
0
at
则其参数式方程为

(t为参数)，特 别地，当方向向量为
yybt
0


v(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为

xx
0
tcosα
(t为参数)

yytsinα
0
< br>
这时，t的几何意义是tv=p
0
p，|t|=|p
0
p| =|p
0
p|

(6)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．
(7)特殊的直线方程
①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0．
②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当直线
l
1
和
l< br>2
有斜截式方程时，k
1
=k
2
且b
1
≠b
2
．
→→
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当l
1
和l
2
是一般式方程时，
A
1
B< br>1
C
≠
1
A
2
B
2
C
2

(2)重合：当
l
1
和
l
2
有斜截式方 程时，k
1
=k
2
且b
1
=b
2
，当l
1
和
l
2
是
A
1
B
1< br>C
1
一般方程时，
A
2
B
2
C
2

(3)相交：当
l
1
，
l
2
是斜截式 方程时，k
1
≠k
2
当l
1
，l
2
是一 般式方程时，
A
2
B
≠
1
A
2
B
2



A
1
xB
1
yC
1
0
的解

交点：

AxByC0
22
2
①


k
2
k
1
< br>斜

到角：l
1
到l
2
的角tanθ(1k1
k
2
≠0)
1kk
12
交

< br>k
2
k
1
|(1k
1
k
2
≠0 )

夹角公式：l
1
和l
2
夹角tanθ|
1 kk

12


当l
1
和l
2
有 叙截式方程时，k
1
k
2
=－1
②垂直


当l
1
和l
2
是一般式方程时，A
1
A
2
＋B
1
B
2
=0

4．点P(x
0
，y
0
)与直线
l
：Ax＋By＋C=0的位置关系：

Ax
0
＋By
0
＋C=0P在直线l上(点的坐标满足直线方程)
Ax
0
＋By
0
＋C≠0P在直线l外．
点P(x
0
，y
0
)到直线l的距离为：d=
|Ax
0
+By
0
+C|
A
2
B
2


5．两条平行直线
l
1
∶Ax＋By＋C
1
=0，
l
2
∶Ax＋B y＋C
2
=0间
的距离为：d=
6．直线系方程
|C
1
C
2
|
AB
22
．

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量
x，y以外， 还含有特定的系数(也称参变量)．
确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先 根据一个条件写
出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．
(1)共点直线系方程：
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经过两直线
l
1
∶A
1
x＋B
1
y＋C< br>1
=0，
l
2
∶A
2
x＋B
2
y＋ C
2
=0的交点的直线系方程为：A
1
x＋
B
1
y ＋C
1
＋λ(A
2
x＋B
2
y＋C
2
)= 0，其中λ是待定的系数．
在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A
2
x＋B
2
y＋C
2
=0，因此它不表示
l
2
．当
λ=0时，即得A
1
x＋B
1
y＋C
1
=0，此时表示l
1
．
(2)平行直线系方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时， 表示平行直线系
方程．与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)， λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方 程是：Bx
－Ay＋λ=0．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系
方程来求解．
7．简单的线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋B y＋C=0某一侧所有点组
成的平面区域．
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式 所表示的平面点集的交集，即各
个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)线性规划：求 线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为
线性规划问题，
例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：

A
1
x＋B
1
y＋C
1
≥0(或≤0)


A
2x＋B
2
y＋C
2
≥0(或≤0)


……< br>
Ax＋Bx＋C≥0(或≤0)
nn

n
(*)

求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的
线性约束 条件，z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，
由所有可行解 组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫
做最优解．
三、曲线和方程
1．定义
在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解
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建立了如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；
(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．
这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x
0
，y
0
)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述 为：
(1)M∈P(x
0
，y
0
)∈Q，即PQ；
( 2)(x
0
，y
0
)∈QM∈P，即QP．

以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x
0
，y< br>0
)QMP；
(2)MP(x
0
，y
0
) Q．

显然，当且仅当PQ且QP，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0

为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．
2．曲线方程的两个基本问题
(1)由曲线(图形)求方程的步骤：
①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；
③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；
④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；
⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化 简过程是同解变形过程；或最简方程的
解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求 得的最简方程就是所
求曲线的方程．
(2)由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；
②求截距：

f(x， y)0
方程组

的解是曲线与x轴交点的坐标；
y0


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
f(x，y)0
方程组

的解是曲线与y轴交点的坐标；
x0


③讨论曲线的范围；
④列表、描点、画线．
3．交点
求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
4．曲线系方程
过两曲线f
1
(x，y)=0和f
2
(x，y)=0的交点的曲线系 方程是f
1
(x，y)＋λf
2
(x，y)=0(λ
∈R)．
四、圆
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
2．圆的方程
(1)标准方程(x－a)＋(y－b)=r．(a，b)为圆心，r为半径．
特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x＋y=r
(2)一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0
22
222
222
D
2
E
2
D
2
E
2
4F
配方( x)(y)
224

当D
2
＋E
2
－4F ＞0时，方程表示以(－
1
D
2
E
2
4F为半径的圆；
2
当D
2
＋E
2
－4F=0时，方程表示点(－
2 2
DE
，－)为圆心，以
22

DE
，－)
22

当D＋E－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．
(3)参数方程 以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

xa rcosθ
(θ为参数)


ybrsinθ

特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
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
xrcosθ
(θ为参数)

yrsinθ


3．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
(1)点在圆 外d＞r；
(2)点在圆上d=r；
(3)点在圆内d＜r．

4．直线与圆的位置关系
设直线
l
：Ax＋By＋C=0和圆C：(x－a)＋(y－b)=r，则
222
d
|AaBbC|
AB
22
．
< br>(1)相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞0或d＜r；
(2)相切直线与圆的方 程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；
(3)相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜0或 d＞r．
5．求圆的切线方法
(1)已知圆x＋y＋Dx＋Ey＋F=0．
①若已知切点(x
0
，y
0
)在圆上，则切线只有一条，其方程是
22

D(xx
0
)E(yy
0
)
 F0．
22

xxyy
当(x
0
，y
0< br>)在圆外时，x
0
x＋y
0
y＋D(
0
)＋E(0
)＋F=0表示
22

x
0
xy
0
y
过两个切点的切点弦方程．
② 若已知切线过圆外一点(x
0
，y
0
)，则设切线方程为y－y
0< br>=k(x－x
0
)，再利用相切条
件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平 行于y轴的切线．
③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx＋b，再利用相切条件求b，这时 必有
两条切线．
(2)已知圆x＋y=r．
①若已知切点P
0
( x
0
，y
0
)在圆上，则该圆过P
0
点的切线方程为x0
x＋y
0
y=r
．
2
222
②已知圆的切 线的斜率为k，圆的切线方程为y=kx±rk
2
1．

6．圆与圆的位置关系
已知两圆圆心分别为O
1
、O
2
， 半径分别为r
1
、r
2
，则
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(1)两圆外切|O
1
O
2
|=r
1
＋r
2
；
(2)两圆内切|O
1
O
2
|=|r
1< br>－r
2
|；
(3)两圆相交|r
1
－r
2
|＜|O
1
O
2
|＜r
1
＋r
2
．



单元知识总结

一、圆锥曲线
1．椭圆
(1)定义
定义1：平面内一个动点到两个定点F
1
、 F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常
c
数e＝(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆．
a

(2)图形和标准方程

x
2
y
2
图8－1的标 准方程为：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)
ab
x
2< br>y
2
图8－2的标准方程为：
2
＋
2
＝1(a＞b＞ 0)
ba

(3)几何性质
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条件
{M|MF
1
|+|MF
2
|=2a，2a＞|F1
F
2
|}
{M|
标准方程
顶点
轴
焦 点
焦距
|MF
1
|
点M到l
1
的距离
=
|MF
2
|
点M到l
2
的距离
=e，0＜e＜1}
x
2
y
2
1(a＞b＞0)
a
2
b< br>2
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0)
B
1
(0，－b)，B
2
(0，b)
F
1
(－c，0)，F2
(c，0)
|F
1
F
2
|=2c(c＞0)，c2
=a
2
－b
2
x
2
y
2
 1(a＞b＞0)
b
2
a
2
A
1
(0，－a)， A
2
(0，a)
B
1
(－b，0)，B
2
(b，0 )
F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
对称轴：x轴，y轴 ．长轴长|A
1
A
2
|=2a，短轴长|B
1
B
2
|=2b


c
e＝(0＜e＜1)
离心率
aa
2
a
2
；l
2
：x＝
准线方程
l< br>1
：x＝
cc
焦点半径
|MF
1
|＝a＋ex0
，
|MF
2
|＝a－ex
0
a
2
a
2
l
1
：y＝；l
2
：y＝
cc
|MF
1
|＝a＋ey
0
，
|MF
2
|＝a－ey
0
＞
点和椭圆
的关系
外
x
2
0
a
2

y
2
0
b
2
1(x
0
,y
0
)在椭圆上
＜内
(k为切线斜率)，
y＝kx±b
2
k
2
a
2
(k为切线斜率)，
y＝kx±a
2< br>k
2
b
2
切线方程
x
0
x
a2
＋
y
0
y
b
2
＝1
x
0< br>x
b
2
＋
y
0
y
a
2
＝1
(x
0
，y
0
)为切点
切点弦
方　程
(x
0
，y
0
)在椭圆外
x
0
xy
0
y
＋＝1
a
2
b
2
(x
0
，y
0
)为切点
(x
0
，y
0
)在椭圆外
x
0< br>xy
0
y
＋＝1
b
2
a
2
1
k
2
弦长公式
其中(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)为割弦端点坐标，k为割弦所在直
|x
2
－x
1
|1+k
2
或|y
1
－y
2
|1+线的斜率

2．双曲线
(1)定义
定义1：平面内与两个定点F1
、F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于|F
1
F
2
|)的点的
轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．
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定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这
个动点的 轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．
(2)图形和标准方程

图8－3的标准方程为：
x
2
y
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)
a
2
b


图8－4的标准方程为：
y
2
x
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)
a
2
b

(3)几何性质
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P＝{M|MF
1
|－|MF
2
|＝2a，a＞0，2a＜|F1
F
2
|}．
条件
|MF
1
||MF
2
|
P＝{M|＝＝e，e＞1}．
点M到l
1
的距离点M到l2
的距离
y
2
y
2
x
2
x
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)－
2
＝1(a＞0，b＞0)
标准方程
a
2
ba
2
b
A
1
(－a，0) ，A
2
(a，0)A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)顶点
对称轴：x轴，y轴，实轴长|A
1
A
2
|＝2a，虚轴长 |B
1
B
2
|＝2b
轴
焦点
焦距
F
1
(－c，0)，F
2
(c，0)F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
|F
1
F
2
|＝2c(c＞0)，c
2
＝a
2
＋b
2
c
e＝(e＞1)
离心率
a
a
2
a
2
准线方程
l
1
：x＝－
c
；l
2
：x＝
c
渐近线
方 程
共渐近线的双曲线
系方程
a
2
a
2
l
1
：y＝ －；l
2
：y＝
cc
y
2
bx
2
y＝±x (或
2
－
2
＝0)
a
ab
y
2
x
2
－
2
＝k(k≠0)
2
ab
y
2
ax
2
y＝±x(或
2
－
2
＝0)
b
a b
y
2
x
2
－
2
＝k(k≠0)
2
ab
|MF
1
|＝ey
0
＋a，
|MF
2
|＝ey
0
－a
y＝kx±b
2
k
2
a
2
(k为切线斜率)
|MF
1
|＝ex
0
＋a，
焦点半径
|MF
2
|＝ex
0
－a
y＝kx±a
2
k
2
b
2
(k为切线斜率)
bb
k＞或k＜－< br>a
x
0
x
a
y
0
y
－
2< br>＝1
切线方程
2
ab
((x
0
，y
0
)为切点
aa
k＞或k＜－
b
y
0
y
b
x
0
x
－
2
＝1
2
ab
((x
0
，y
0
)为切点
xy＝a
2
的切线方程：
x
0
yy
0
x
＝a
2
((x
0
，y0
)为切点
2

(x
0
，y
0
)在双 曲线外
y
0
yx
0
x
－＝1
22
ab切点弦
方 程
(x
0
，y
0
)在双曲线外
x
0
xy
0
y
－＝1
22
ab
1
k
2
弦长公式
其中(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)为割弦端点坐标，k为
|x
2
－x
1|1+k
2
或|y
1
－y
2
|1+
割弦所在直 线的斜率

3．抛物线
(1)定义
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平面内与一个定点F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：

①抛物线的标准方程有以下 特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程
不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦 点的距离等于顶点到准线距离．
②p的几何意义：焦点F到准线
l
的距离．
③弦长公式：设直线为y＝kx＋b抛物线为y
2
＝2px，|AB|＝1k
2< br>
|x
2
－x
1
|＝1
1
|y
2
－y
1
|
2
k

焦点弦长公式：|AB|＝p＋x
1
＋x
2

4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直 线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点
叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当
e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
二、利用平移化简二元二次方程
1．定义
缺xy项的二元二次方程Ax＋Cy＋D x＋Ey＋F＝0(A、C不同时为0)※，通过配方和
平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型 方程的标准形式的过程，称为利用平移
化简二元二次方程．
A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．
A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．
A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．
A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
2．对于缺xy项的二元二次方程：
Ax＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同时为0) 利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方
22
22
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程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．
(xh)
2
(y k)
2
(xh)
2
(yk)
2
椭圆：＋＝1或＋＝1
2222
abba

中心O′(h，k)
(xh)
2< br>(yk)
2
(yk)
2
(xh)
2
双曲线：－ ＝1或－＝1
a
2
b
2
a
2
b
2

中心O′(h，k)
抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为
(y－k)＝2p(x－h)或(y－k)＝－2p(x－h)，
顶点O′(h，k)．
对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(x－h)＝2p(y－k)或(x－h)＝－2p(y－k)
顶点O′(h，k)．
以上方程对应的曲线按向量a＝(－h，－k)平移，就可将其方程化 为圆锥曲线的标
准方程的形式．



22
22
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不等式单元知识总结
一、不等式的性质
1．两个实数a与b之间的大小关系

(1)a－b＞0a＞b；


(2)a－b=0a=b；< br>

(3)a－b＜0a＜b．


a

(4)
b
＞1a＞b；


a
若 a、bR

，则

(5)=1a=b；

b

a
( 6)＜1a＜b．


b

2．不等式的性质
(1)a＞bb＜a(对称性)

a＞b

(2)

a＞c(传递性)
b＞c


(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)

a＞b


ac＞bc
c＞0


(4) (乘法单调性)
a＞b


ac＜bc
c＜0


(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)

a＞b

(6)
a＋c＞b＋d(同向不等式可加)
c＞d


(7)a＞b


a－c＞b－d(异向不等式可减)
c＜d

a＞b＞0

(8)

ac＞bd(同向正数不等式可乘)
c＞d＞0


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a＞b＞0

ab
(9)

＞(异向正数不等式可除)< br>cd
0＜c＜d


(10)
a＞b＞0

nn

a＞b(正数不等式可乘方)
nN


a＞b＞0

(11)


n
a＞
n
b(正数不等式可开方)
nN


11
(12)a＞b＞0＜(正数不等式两边取倒数)
ab

3．绝对值不等式的性质

a (a≥0)，
(1)|a|≥a；|a|=


－a (a＜0)．

(2)如果a＞0，那么
|x|＜ax
2
＜a
2
－a＜x＜a；

|x|＞ax
2
＞a
2
x＞a或x＜－a．

(3)|a·b|＝|a|·|b|．
a|a|
(4)||＝ (b≠0)．
b|b|

(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|． < br>(6)|a
1
＋a
2
＋……＋a
n
|≤|a
1
|＋|a
2
|＋……＋|a
n
|．
二、不等式的证明
1．不等式证明的依据
(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0< br>a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式：①|a|≥0；a
≥0；(a－b)≥0(a、b∈R)
②a
＋b
≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)
22
22

③
ab
≥ab(a、bR

，当且仅当a=b时取“=”号)
2

2．不等式的证明方法
(1)比较 法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的
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方法叫做比较法．
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．
( 2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所
要证明的不等式成立， 这种证明不等式的方法叫做综合法．
(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的 充分条件，直到所
需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．
三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性

f(x)＞0

f(x)＜0
(1)f(x)·g(x)＞0与

或

同解．
g(x)＞0 g(x)＜0



f(x)＞0

f(x)＜0
(2)f(x)·g(x)＜0与

或

同解．
g(x)＜0g(x)＞0


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
f(x)＞0

f(x)＜0
f(x)
(3)＞0与
或

同解．(g(x)≠0)
g(x)
g(x)＞0g( x)＜0


f(x)＞0

f(x)＜0
f(x)(4)＜0与

或

同解．(g(x)≠0)
g(x)g(x)＜0g(x)＞0



(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；② 与g(x)
＜0同解．

f(x)＞[g(x)]
2


f(x)≥0

(7)f(x)＞g(x)与

f(x )≥0或

同解．

g(x)＜0

g(x)≥0



f(x)＜[g(x)]
2
(8)f(x)＜g(x)与
同解．
f(x)≥0


(9)当a＞1时，a
g(x)同解．
f(x)
＞a
g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，a
f(x)
＞a
g(x)
与f(x)＜

f(x)＞g(x)
(10)当a＞1时，log
a
f(x)＞log
a
g(x)与

同解．
f(x)＞0
< br>

f(x)＜g(x)

当0＜a＜1时，log
a
f(x)＞log
a
g(x)与

f(x)＞0同解．


g(x)＞0



单元知识总结

一、坐标法
1．点和坐标
建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应
的关系．
2．两点间的距离公式
设两点的坐标为P
1
(x
1
，y< br>1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，则两点间的距 离
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|P
1
P
2
|=(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：
(1)当x
1
=x
2
时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则
|P
1
P
2
|=|y
2
－y
1
|
(2)当y
1
=y
2
时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则
|P
1
P
2
|=|x
2
－x
1
|
3．线段的定比分点
(1)定义：设P点把有向线段P
1
P
2分成P
1
P和PP
2
两部分，那么有向
线段P
1
P和PP
2
的数量的比，就是P点分P
1
P
2
所成的比， 通常用λ表示，
即λ=
P
1
P
，点P叫做分线段P
1
P
2
为定比λ的定比分点．
PP
2

当P点内分P
1
P
2
时，λ＞0；当P点外分P
1
P
2
时，λ ＜0．

(2)公式：分P
1
(x
1
，y
2
)和P
2
(x
2
，y
2
)连线所成的比为λ的分点坐标是

x
1
λx
2
x

1λ

(λ≠1)

yλy
2

y
1
< br>1λ


特殊情况，当P是P
1
P
2
的中 点时，λ=1，得线段P
1
P
2
的中点坐标

公式
x
1
x
2

x


2
< br>
y
y
1
y
2

2


二、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转
的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．
当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．
所以直线的倾斜角α∈[0，π)．
(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
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率，直线的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠
∴当k≥0时，α=arctank．(锐 角)
当k＜0时，α=π－arctank．(钝角)
π
)．
2

(3)斜率公式：经过两点P
1
(x
1
，y
1
)、 P
2
(x
2
，y
2
)的直线的斜率为
k=
y
2
y
1
(x≠x
2
)
x
2
x
1
1

2．直线的方程
(1)点斜式 已知直线过点(x< br>0
，y
0
)，斜率为k，则其方程为：y－y
0
=k(x－x
0
)
(2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kx＋b
(3)两点式 已知直线过两 点(x
1
，y
1
)和(x
2
，y
2
)，则 其方程为：
yy
1
xx
1
=(x≠x
2
)< br>y
2
y
1
x
2
x
1
1

(4)截距式 已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：
xy
1
ab

(5)参数式 已知直线过点P(x
0
，y
0
)，它的一个方向向量是(a，b)，

xx
0
at
则其参数式方程为

(t为参数)，特 别地，当方向向量为
yybt
0


v(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为

xx
0
tcosα
(t为参数)

yytsinα
0
< br>
这时，t的几何意义是tv=p
0
p，|t|=|p
0
p| =|p
0
p|

(6)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．
(7)特殊的直线方程
①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0．
②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当直线
l
1
和
l< br>2
有斜截式方程时，k
1
=k
2
且b
1
≠b
2
．
→→
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当l
1
和l
2
是一般式方程时，
A
1
B< br>1
C
≠
1
A
2
B
2
C
2

(2)重合：当
l
1
和
l
2
有斜截式方 程时，k
1
=k
2
且b
1
=b
2
，当l
1
和
l
2
是
A
1
B
1< br>C
1
一般方程时，
A
2
B
2
C
2

(3)相交：当
l
1
，
l
2
是斜截式 方程时，k
1
≠k
2
当l
1
，l
2
是一 般式方程时，
A
2
B
≠
1
A
2
B
2



A
1
xB
1
yC
1
0
的解

交点：

AxByC0
22
2
①


k
2
k
1
< br>斜

到角：l
1
到l
2
的角tanθ(1k1
k
2
≠0)
1kk
12
交

< br>k
2
k
1
|(1k
1
k
2
≠0 )

夹角公式：l
1
和l
2
夹角tanθ|
1 kk

12


当l
1
和l
2
有 叙截式方程时，k
1
k
2
=－1
②垂直


当l
1
和l
2
是一般式方程时，A
1
A
2
＋B
1
B
2
=0

4．点P(x
0
，y
0
)与直线
l
：Ax＋By＋C=0的位置关系：

Ax
0
＋By
0
＋C=0P在直线l上(点的坐标满足直线方程)
Ax
0
＋By
0
＋C≠0P在直线l外．
点P(x
0
，y
0
)到直线l的距离为：d=
|Ax
0
+By
0
+C|
A
2
B
2


5．两条平行直线
l
1
∶Ax＋By＋C
1
=0，
l
2
∶Ax＋B y＋C
2
=0间
的距离为：d=
6．直线系方程
|C
1
C
2
|
AB
22
．

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量
x，y以外， 还含有特定的系数(也称参变量)．
确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先 根据一个条件写
出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．
(1)共点直线系方程：
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经过两直线
l
1
∶A
1
x＋B
1
y＋C< br>1
=0，
l
2
∶A
2
x＋B
2
y＋ C
2
=0的交点的直线系方程为：A
1
x＋
B
1
y ＋C
1
＋λ(A
2
x＋B
2
y＋C
2
)= 0，其中λ是待定的系数．
在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A
2
x＋B
2
y＋C
2
=0，因此它不表示
l
2
．当
λ=0时，即得A
1
x＋B
1
y＋C
1
=0，此时表示l
1
．
(2)平行直线系方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时， 表示平行直线系
方程．与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)， λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方 程是：Bx
－Ay＋λ=0．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系
方程来求解．
7．简单的线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋B y＋C=0某一侧所有点组
成的平面区域．
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式 所表示的平面点集的交集，即各
个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)线性规划：求 线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为
线性规划问题，
例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：

A
1
x＋B
1
y＋C
1
≥0(或≤0)


A
2x＋B
2
y＋C
2
≥0(或≤0)


……< br>
Ax＋Bx＋C≥0(或≤0)
nn

n
(*)

求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的
线性约束 条件，z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，
由所有可行解 组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫
做最优解．
三、曲线和方程
1．定义
在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解
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建立了如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；
(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．
这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x
0
，y
0
)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述 为：
(1)M∈P(x
0
，y
0
)∈Q，即PQ；
( 2)(x
0
，y
0
)∈QM∈P，即QP．

以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x
0
，y< br>0
)QMP；
(2)MP(x
0
，y
0
) Q．

显然，当且仅当PQ且QP，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0

为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．
2．曲线方程的两个基本问题
(1)由曲线(图形)求方程的步骤：
①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；
③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；
④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；
⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化 简过程是同解变形过程；或最简方程的
解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求 得的最简方程就是所
求曲线的方程．
(2)由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；
②求截距：

f(x， y)0
方程组

的解是曲线与x轴交点的坐标；
y0


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
f(x，y)0
方程组

的解是曲线与y轴交点的坐标；
x0


③讨论曲线的范围；
④列表、描点、画线．
3．交点
求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
4．曲线系方程
过两曲线f
1
(x，y)=0和f
2
(x，y)=0的交点的曲线系 方程是f
1
(x，y)＋λf
2
(x，y)=0(λ
∈R)．
四、圆
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
2．圆的方程
(1)标准方程(x－a)＋(y－b)=r．(a，b)为圆心，r为半径．
特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x＋y=r
(2)一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0
22
222
222
D
2
E
2
D
2
E
2
4F
配方( x)(y)
224

当D
2
＋E
2
－4F ＞0时，方程表示以(－
1
D
2
E
2
4F为半径的圆；
2
当D
2
＋E
2
－4F=0时，方程表示点(－
2 2
DE
，－)为圆心，以
22

DE
，－)
22

当D＋E－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．
(3)参数方程 以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

xa rcosθ
(θ为参数)


ybrsinθ

特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
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
xrcosθ
(θ为参数)

yrsinθ


3．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
(1)点在圆 外d＞r；
(2)点在圆上d=r；
(3)点在圆内d＜r．

4．直线与圆的位置关系
设直线
l
：Ax＋By＋C=0和圆C：(x－a)＋(y－b)=r，则
222
d
|AaBbC|
AB
22
．
< br>(1)相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞0或d＜r；
(2)相切直线与圆的方 程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；
(3)相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜0或 d＞r．
5．求圆的切线方法
(1)已知圆x＋y＋Dx＋Ey＋F=0．
①若已知切点(x
0
，y
0
)在圆上，则切线只有一条，其方程是
22

D(xx
0
)E(yy
0
)
 F0．
22

xxyy
当(x
0
，y
0< br>)在圆外时，x
0
x＋y
0
y＋D(
0
)＋E(0
)＋F=0表示
22

x
0
xy
0
y
过两个切点的切点弦方程．
② 若已知切线过圆外一点(x
0
，y
0
)，则设切线方程为y－y
0< br>=k(x－x
0
)，再利用相切条
件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平 行于y轴的切线．
③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx＋b，再利用相切条件求b，这时 必有
两条切线．
(2)已知圆x＋y=r．
①若已知切点P
0
( x
0
，y
0
)在圆上，则该圆过P
0
点的切线方程为x0
x＋y
0
y=r
．
2
222
②已知圆的切 线的斜率为k，圆的切线方程为y=kx±rk
2
1．

6．圆与圆的位置关系
已知两圆圆心分别为O
1
、O
2
， 半径分别为r
1
、r
2
，则
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(1)两圆外切|O
1
O
2
|=r
1
＋r
2
；
(2)两圆内切|O
1
O
2
|=|r
1< br>－r
2
|；
(3)两圆相交|r
1
－r
2
|＜|O
1
O
2
|＜r
1
＋r
2
．



单元知识总结

一、圆锥曲线
1．椭圆
(1)定义
定义1：平面内一个动点到两个定点F
1
、 F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常
c
数e＝(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆．
a

(2)图形和标准方程

x
2
y
2
图8－1的标 准方程为：
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)
ab
x
2< br>y
2
图8－2的标准方程为：
2
＋
2
＝1(a＞b＞ 0)
ba

(3)几何性质
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条件
{M|MF
1
|+|MF
2
|=2a，2a＞|F1
F
2
|}
{M|
标准方程
顶点
轴
焦 点
焦距
|MF
1
|
点M到l
1
的距离
=
|MF
2
|
点M到l
2
的距离
=e，0＜e＜1}
x
2
y
2
1(a＞b＞0)
a
2
b< br>2
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0)
B
1
(0，－b)，B
2
(0，b)
F
1
(－c，0)，F2
(c，0)
|F
1
F
2
|=2c(c＞0)，c2
=a
2
－b
2
x
2
y
2
 1(a＞b＞0)
b
2
a
2
A
1
(0，－a)， A
2
(0，a)
B
1
(－b，0)，B
2
(b，0 )
F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
对称轴：x轴，y轴 ．长轴长|A
1
A
2
|=2a，短轴长|B
1
B
2
|=2b


c
e＝(0＜e＜1)
离心率
aa
2
a
2
；l
2
：x＝
准线方程
l< br>1
：x＝
cc
焦点半径
|MF
1
|＝a＋ex0
，
|MF
2
|＝a－ex
0
a
2
a
2
l
1
：y＝；l
2
：y＝
cc
|MF
1
|＝a＋ey
0
，
|MF
2
|＝a－ey
0
＞
点和椭圆
的关系
外
x
2
0
a
2

y
2
0
b
2
1(x
0
,y
0
)在椭圆上
＜内
(k为切线斜率)，
y＝kx±b
2
k
2
a
2
(k为切线斜率)，
y＝kx±a
2< br>k
2
b
2
切线方程
x
0
x
a2
＋
y
0
y
b
2
＝1
x
0< br>x
b
2
＋
y
0
y
a
2
＝1
(x
0
，y
0
)为切点
切点弦
方　程
(x
0
，y
0
)在椭圆外
x
0
xy
0
y
＋＝1
a
2
b
2
(x
0
，y
0
)为切点
(x
0
，y
0
)在椭圆外
x
0< br>xy
0
y
＋＝1
b
2
a
2
1
k
2
弦长公式
其中(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)为割弦端点坐标，k为割弦所在直
|x
2
－x
1
|1+k
2
或|y
1
－y
2
|1+线的斜率

2．双曲线
(1)定义
定义1：平面内与两个定点F1
、F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于|F
1
F
2
|)的点的
轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．
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定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这
个动点的 轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．
(2)图形和标准方程

图8－3的标准方程为：
x
2
y
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)
a
2
b


图8－4的标准方程为：
y
2
x
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)
a
2
b

(3)几何性质
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P＝{M|MF
1
|－|MF
2
|＝2a，a＞0，2a＜|F1
F
2
|}．
条件
|MF
1
||MF
2
|
P＝{M|＝＝e，e＞1}．
点M到l
1
的距离点M到l2
的距离
y
2
y
2
x
2
x
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)－
2
＝1(a＞0，b＞0)
标准方程
a
2
ba
2
b
A
1
(－a，0) ，A
2
(a，0)A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)顶点
对称轴：x轴，y轴，实轴长|A
1
A
2
|＝2a，虚轴长 |B
1
B
2
|＝2b
轴
焦点
焦距
F
1
(－c，0)，F
2
(c，0)F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
|F
1
F
2
|＝2c(c＞0)，c
2
＝a
2
＋b
2
c
e＝(e＞1)
离心率
a
a
2
a
2
准线方程
l
1
：x＝－
c
；l
2
：x＝
c
渐近线
方 程
共渐近线的双曲线
系方程
a
2
a
2
l
1
：y＝ －；l
2
：y＝
cc
y
2
bx
2
y＝±x (或
2
－
2
＝0)
a
ab
y
2
x
2
－
2
＝k(k≠0)
2
ab
y
2
ax
2
y＝±x(或
2
－
2
＝0)
b
a b
y
2
x
2
－
2
＝k(k≠0)
2
ab
|MF
1
|＝ey
0
＋a，
|MF
2
|＝ey
0
－a
y＝kx±b
2
k
2
a
2
(k为切线斜率)
|MF
1
|＝ex
0
＋a，
焦点半径
|MF
2
|＝ex
0
－a
y＝kx±a
2
k
2
b
2
(k为切线斜率)
bb
k＞或k＜－< br>a
x
0
x
a
y
0
y
－
2< br>＝1
切线方程
2
ab
((x
0
，y
0
)为切点
aa
k＞或k＜－
b
y
0
y
b
x
0
x
－
2
＝1
2
ab
((x
0
，y
0
)为切点
xy＝a
2
的切线方程：
x
0
yy
0
x
＝a
2
((x
0
，y0
)为切点
2

(x
0
，y
0
)在双 曲线外
y
0
yx
0
x
－＝1
22
ab切点弦
方 程
(x
0
，y
0
)在双曲线外
x
0
xy
0
y
－＝1
22
ab
1
k
2
弦长公式
其中(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)为割弦端点坐标，k为
|x
2
－x
1|1+k
2
或|y
1
－y
2
|1+
割弦所在直 线的斜率

3．抛物线
(1)定义
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平面内与一个定点F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：

①抛物线的标准方程有以下 特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程
不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦 点的距离等于顶点到准线距离．
②p的几何意义：焦点F到准线
l
的距离．
③弦长公式：设直线为y＝kx＋b抛物线为y
2
＝2px，|AB|＝1k
2< br>
|x
2
－x
1
|＝1
1
|y
2
－y
1
|
2
k

焦点弦长公式：|AB|＝p＋x
1
＋x
2

4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直 线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点
叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用 e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当
e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
二、利用平移化简二元二次方程
1．定义
缺xy项的二元二次方程Ax＋Cy＋D x＋Ey＋F＝0(A、C不同时为0)※，通过配方和
平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型 方程的标准形式的过程，称为利用平移
化简二元二次方程．
A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．
A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．
A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．
A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
2．对于缺xy项的二元二次方程：
Ax＋Cy＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同时为0) 利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方
22
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程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．
(xh)
2
(y k)
2
(xh)
2
(yk)
2
椭圆：＋＝1或＋＝1
2222
abba

中心O′(h，k)
(xh)
2< br>(yk)
2
(yk)
2
(xh)
2
双曲线：－ ＝1或－＝1
a
2
b
2
a
2
b
2

中心O′(h，k)
抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为
(y－k)＝2p(x－h)或(y－k)＝－2p(x－h)，
顶点O′(h，k)．
对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(x－h)＝2p(y－k)或(x－h)＝－2p(y－k)
顶点O′(h，k)．
以上方程对应的曲线按向量a＝(－h，－k)平移，就可将其方程化 为圆锥曲线的标
准方程的形式．



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