有理数多还是无理数多
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2020年07月31日 23:21
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反驳《实变函数论与泛函分析》中关于无限集合数量比较的方法和结论
简介：本文就引用文章中的论据进行了反驳，得到结论：讨论无理数多还是有理数多的问题，我们过分高估了自己的能力。我们甚至不能写出一个位数最长的有理数。
作者：胡文胜
电话：137********
电子信箱：huws@
2006年12月前第一版
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引文“对等的概念。
设A、B是两个集，如果存在一个A到B的一一对应，那么称集A与集B对等（或相似），记为A～B，规定空集跟自身对等。
而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。
例如，正偶数集合和自然数集，ψ:n->2n，即可使得两集合之间建立一一对应，因此他们是对等的。”
反驳:
错误1：对等的方法，只能在有限集比较中有效。扩展到无限集是不可信的。
例：“问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上，而且一个学生只能坐一张凳子。最后，如果有学生没坐到凳子，那么便是学生多。如果最后有凳子空着，那么便是凳子多。”
如果是有限数量，可以用一对一的方法比较，无限数量，不行。
假设来个副校长，要求每两个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好是学生数量的一半。
第二天，又来个副校长，要求每个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好等于学生数量。
两位自以为是的校长都有可能是对的，也可能是错的，方法不对。
补充：在有限集的比较过程中，关键不在建立了怎样的对应关系，关键在于我们要比较到最后，至少一个集合结束了，而另一个集合中元素数量已经超过对比集合数量，而且还没结束，我们才能证明一个集合比另一个集合数量多。
自然数集中可以抽出偶数集，跟偶数集完全对应，而自然数集还有剩余元素，因此我们可以得到结论：自然数集比偶数集多。
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错误2：偷换概念或概念混淆。
原文定义：“凡是与自然数集N对等的集，称为可列集，或可数无限集。”
反驳：可列和可数在英文里是一个词：countable，这是以前科学不够发达，不需要进行
区分时的结果。
而现在我们需要进行概念区分，因此按字面意思，将“可列”理解为“可以写出”；“可数”理解为“可以记数”。在下面的论述中，分这样两个概念讨论。
我们无法写出一个最大的自然数，因此自然数全体是不可写全的，任何无限集，都是不可写全的。(不可列)
如果有一些数，位数多的我们承认有生之年无法完全比较，而在可比较的范围内它们又一样，这样我们在数元素个数时，不知道它们该算一个元素还是多个元素，这种情况，称为不可记数。
从定义可以看出，不可写全的数，如果我们发现它的一部分，和集合中的其它元素都不一样，我们就知道它是一个独立元素，就可以记数。而不可记数的数，我们可能可以知道它的数量范围（最大全单算，最小全合并），或者也可以知道它们都是可写的。因此这两个概念是有交叉而互不影响的。
无理数除了能用有理数表示的和可以定义的，都是不可写的。（我没想到反例）
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康托尔对角线证明法引文：
“现在来证明实数区间[0, 1]中所有的实数组成的集合是不可列集。
其实只要证明(0,1]区间的实数集是不可列的。如果它是可列的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。好，这时我们将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...
t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...
...
tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...
...
其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
但是现在我们可以构造一个小数a=0. a1 a2 a3 ... ak ...，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。
当我们构造好了这样的一个小数之后，我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。这就造成了逻辑上的矛盾，你说已经把所有小数都列出来了，但是我却发现至少我构造的这个小数，你还没有罗列出来。就算你亡羊补牢，把我这个也补充进去，但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。所以，只能说明实数是无法跟可列集形成一一对应的，也就是前面的假设是错误的。
因此[0, 1]区间的实数不是可列集。同样，取掉0，1两个数之后的(0,1)区间的实数也不是可列集。”
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错误3：反驳：无限集都是不可写全的，对比定理“最大元素数量的有限集是不可能写全的”的证明方法，我们发现，康托尔不过是假设了自然数可以全写出来，
然后又假设写出一个在已写出的自然数中不存在的自然数。对于无限集，他是不能做此假设的。而事实上，如果允许等势的概念存在，所有无穷集，都等势。总是你有一个元素，我就能拿出一个元素对应，同样也都可以你拿1个我拿2个，或相反，你拿2个我拿1个，都是能永远对应的，没有尽头。
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“定理2 任何无限集，必与它的一个真子集对等。
证明：首先任何无限集都必然至少含有一可列子集，因为我们可以从无限集中不停地取互不相同的元素，将它们用自然数n作下标编号，那么这个取出来的子无限集，就是定义中的可列集，我们可以记做{a[n]|n=1,2,...}”
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错误4：证明过程中假设了可以记数条件，“我们可以从无限集中不停地取互不相同的元素”，如果元素数量是不可记数的，我们不知道是否是不相同的元素，则无法对应，证明也就不成立。
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用自然数集数数的方法对应其它集合的方法是不对的，首先它依赖于无限集对等（映射）概念，其次依赖于集合可以记数，如果不考虑记数问题，根本不能证明有任何集合不能对等自然数集。
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我们甚至不能确定一个小数位很长很长的数是有理数还是无理数，因此讨论无理数多还是有理数多的问题，我们过分高估了自己的能力。
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参考附件：
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一些概念定义：
(1)如果集A中的元素，都是集B的元素，那么称A是B的子集。记做A(B（符号是∪横过来的样子，打不出来，暂以(代替）。
根据定义有A(A。
(2)另外我们定义不含任何元素的集合为空集，规定空集是任何集合的子集。空集记做φ。
(3)如果集合A(B，而B中确实存在不属于A的元素，那么称A是B的真子集。
(4)如果A(B，且B(A，那么A、B由相同的元素组成，此时称A=B。
(5)由集A和集B的一切元素组成的集合，叫A和B的和集或并集。记做A∪B。
(6)所有既属于集A又属于集B的元素组成的集合，叫A和B的通集或交集。记做A∩B。
这两个概念可以推广到任意个集合进行并或者交的情形。
(7)若A∩B=φ，称A、B不相交，否则称A、B相交。
从以上概念定义可以推导出集合运算的一些性质：
1. A∪A=A， A∩A=A
2. A∪φ=A， A∩φ=φ（φ类似于0，∪类似于加法运算，∩类似于乘法运算）
3. A∪B=B∪A， A∩B=B∩A （并、交的交换律）
4. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C) （并、交的结合律）
5. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) （分配律）
再来定义集合的“减法”：
(8)集合A中所有不属于集合B的元素组成的集合，称作集A减集B的差集，记做A-B。注意这里并不要求B(A。
(9)如果B(A，则称差集A-B为集B关于集A的余集。记做C(A,B)。
(10)(A-B)∪(B-A)称做A、B的对称差。记做A△B。实际上它就是那些只属于A或只属于B的元素组成的集合。
同样从以上概念定义可以推导出集合“减法”运算的一些性质：
6. 如果A(B，那么A-B=φ
7. (A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C) （“减法”的分配律）
8. (C-A)-B=C-(A∪B)
9. A∪B = (A△B)∪(A∩B)
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以上只是集合的一些基本概念定义。下面来定义集合的映射：
(11)设A、B是两个非空集，如果存在一个规则ψ，使得对于A中的任何一个元素x，按照规则ψ，在B中有一个确定的元素y与之对应，那么称这个规则ψ是从A到B的映射。元素y称做元素x（在映射ψ下）的象。记做y=ψ(x)。
(12)对任一个固定的y，称适合关系y=ψ(x)的x全体为y（在映射ψ之下）的原象。集合A称作映射ψ的定义域，ψ(A)称作映射ψ的值域。注意ψ(A)不一定等于B，只能说它一定是B的子集。
(13)如果ψ(A)=B，那么称ψ是 A到B上的 映射，又称为A到B的满射。
特别地，如果A、B都是实数或复数集，那么ψ就是我们高中时候学过的所谓函数了。所以函数不过是集合论中的一个特例罢了。
下面要讲讲一一对应（这些概念都跟函数中概念类似）。
(14)设ψ是 A到B中的 映射，若对每一个属于ψ(A)值域的y，A中只有一个元素x满足ψ(x)=y，那么称ψ是可逆映射或一对一的映射，或单射。
换句话说，对A中任意两个元素x1，x2，当x1不等于x2时，必然有ψ(x1)不等于ψ(x2)，那么ψ就是 A到B的 可逆映射。
(15)设ψ是 集A到集B上的 可逆映射，那么称ψ为A到B的一一对应或双射。
也就是，如果ψ是A到B的一一对应，意味着对于A中任何一个元素a，有唯一的b=ψ(a)，且对B中的每一个元素b，必在A中有唯一的元素a，适合ψ(a)=b。
这里尤其要注意“A到B中的(或A到B的)可逆映射”跟“A到B上的可逆映射”的区别。否则容易将可逆映射跟一一对应搞混。相信高中时候专心记笔记的人还有印象吧，因为讲函数的时候，这个中跟上的区别仍然会强调的。
例如，假设ψ是A到B中的可逆映射，那么或许在B中还存在某个元素y，它是无法由ψ来从A中任何一个元素对应过来的。但如果ψ是A到B上的一一对应，那么这样的y是不存在的。
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对等的概念。
(16)设A、B是两个集，如果存在一个A到B的一一对应，那么称集A与集B对等（或相似），记为A～B，规定空集跟
自身对等。
接下来，集合的势的概念快要出来了。而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。
例如，正偶数集合和自然数集，ψ:n->2n，即可使得两集合之间建立一一对应，因此他们是对等的。
显然，对等具有以下性质：
10. A～A，对等的自反性
11. 若A～B，那么B～A，对等的对称性
12. 若A～B，B～C，则A～C，对等的传递性
刚才已经强调过，若ψ是A到B中的可逆映射，ψ未必是A到B的一一对应。但我们知道ψ实现了A到值域ψ(A)的一一对应。因此A与B的子集ψ(A)对等。
如果A与B的子集对等，而B又与A的子集对等，那么可以证明A、B是对等的。这个定理叫伯恩斯坦(Bernstein)定理。
好了，前面这些概念和定理都是在做铺垫，现在我们要正式开始进行集合个数的比较了。
集论最初的一个基本课题就是研究元素个数有多少的问题，我们称之为集的势论。
关于事物的多或少是很普通的概念，例如，问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上，而且一个学生只能坐一张凳子。最后，如果有学生没坐到凳子，那么便是学生多。如果最后有凳子空着，那么便是凳子多。
所以，类比上面这样的方法，我们引入以下这个定义：
设A、B是两个集。
(1)如果A和B对等，那么称A和B具有相同的势（或基数）。记集A的势为P(A)（其实正确的写法是A上面两横，因为无法打出这样的符号，就以P(A)代替，不影响讨论）。A和B具有相同的势时，记为P(A)=P(B)。
(2)如果A对等于B的某个子集B1，那么称A的势小于或等于B的势，记为P(A)<=P(B)。如果A对等于B的某个子集B1，但A不对等于B，即P(A)<=P(B)，并且P(A)!=P(B)，那么称A的势小于B的势，记做P(A)
如果有人不认同，那么等于我们之间无法达成关于个数多少比较的统一标准，那就无法继续讨论了。这就好比有些偏执狂会执意地认为即使正好一个学生坐一张凳子，也不承认学生跟凳子一样多，或者有凳子空着，也不承认凳子比学生多，那是谁也拿他没办法了。
在这样一个严格定义了关于“多少”比较方法的背景下，我们就可以通过某种逻辑推理，得到关于有理数无理数等的谁多谁少的结果。
譬如虽然正偶数集E是自然数集N的真子集，但是因为E能和N对等，所以P(E)=P(N)。
从势的概念来重新看待伯恩斯坦
定理，发现它其实可以如下表示：如果P(A)<=P(B)，P(B)<=P(A)，那么P(A)=P(B)。
此定理在势的比较大小问题中的地位，相当于实数比较大小中由a<=b和b<=a同时成立必有a=b这个事实。任何两个实数都是可以比较它们的大小的，这是因为实数具有全序性，关于实数全序性的话题，这里暂不多讨论了。
我们很自然会问：那是否任何两个集也一定可以比较它们的势的大小（也就是它们元素个数的多少）呢？
我们先来考察任意两个集A、B，从逻辑上分析，必然发生下面四种情况之一：
(1) A可以对等于B的某个子集B1，而B永远不对等于A的任何一个子集；
(2) B可以对等于A的某个子集A1，而A永远不对等于B的任何一个子集；
(3) A可以对等于B的某个子集B1，而B也可以对等于A的某个子集A1；
(4) A永远不对等于B的任何一个子集，而B也永远不对等于A的任何一个子集。
情况(1)就是上面定义(2)里的P(A)
当然，写了这么多，目的是为了讲清楚有理数无理数的个数多少问题，而这两个集合都是拥有无限个元素的，所以，仍然有必要给有限集、无限集下个严格的定义。
设n是自然数，令Mn={1,2,...,n}。如果集A能与某个集Mn对等，那么称A是有限集。当A～Mn时，称n为集A的计数。规定空集为有限集，并且它的计数规定为零。
下面给出几个有/无限集的相关定理。
定理1 集Mn与其任何真子集不对等。即有限集决不与其真子集对等。这可以导出一个结论：有限集具有唯一的计数。
由定理可知，两个有限集相互对等的充要条件是他们的计数相等。
规定有限集A的势为A的计数，即如果A～Mn，那么规定P(A)=n。
称不是有限集的集为无限集。
例如自然数集N，因为它能和它的真子集E（正偶数集）对等，所以根据定义我们认为它不是有限集，即它是无限集。
我们定义，凡是与自然数集N对等的集，称为可列集，或可数无限集。
我们把可列集的势记做阿列夫零，记作§0。因此§0，它是一个表示集合里元素个数多少的量。
定理2 任何无限集，必与它的一个真子集对等。
证明：首先任何无限集都必然至少含有一可列子集，因为我们可以从无限集中不停地取互不相同的元素，将它们用自然数n作下标编号，那
盆...盆，其中聚跟盆字都有阿列夫零个，那么它的金币就比聚宝盆多了。
上面的段子有点绕，呵呵，言归正传，现在我们可以开始计算有理数集的势了。
首先我们知道，平面上的格点，即直角坐标下两坐标x、y均为整数的点(x,y)的全体是成一可列集的。这是因为我们可以将这些格点看成在y方向可列个的x方向可列集的并集。即我们构造可列集An={(n,m)|其中m是整数}，这是m固定，n在变的一些点的集合，它自然是可列集。那么根据定理4，所有n从-∞到+∞的An的并集，也是可列集。
另一方面，我们还知道有理数一定可以写成一个分数p/q，而每对这样的分数正好和平面上的格点(p,q)一一对应。既然平面上所有格点的全体是可列集，那与之对等的分数的全体即有理数的全体，也是可列集了。
所以我们得到第一个结论：有理数集是可列集，它的势为§0(阿列夫零)。它跟自然数一样多。
对于无理数。我们先从集合的乘法与代数数说起。
定义：设A、B是两个非空集，任取元素a属于A，b属于B，组成元素对(a,b)。所有这种元素对的全体组成的合集称为A与B的乘积，记为A×B。平面上所有格点成一可列集实际上说明了当A、B均是可列集时，A×B也是可列集。同样，n维空间的格点是可列集可类推出
定理5 如果A、B、...、C是有限多个有限集（或可列集），那么乘积集
A×B×...×C = {(a,b,...,c) | 其中a属于A, b属于B, ..., c属于C}
它是有限集（或可列集）。
现在我们来看整系数多项式。n次整系数多项式
（类似a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+...+a[2]x^2+a[1]x+a[0]=0）
的全体可以与n+1个自然数集的乘积对等（上式有n+1个可变系数）。所以，它也是可列集。
换个角度，因为整系数多项式的实数根是被我们称为代数数的，显然，全体的代数数也是一可列集。
代数数集已经包含了全体有理数以及一部分的无理数，但我们发现它还是可列的。其中的无理数就是例如根号2，根号3，黄金分割率等一切有限次根号能表达的数。
现在来证明实数区间[0, 1]中所有的实数组成的集合是不可列集。
其实只要证明(0, 1]区间的实数集是不可列的。如果它是可列的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。好，这时我们将将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...
t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...
...
tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...
...
其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
但是现在我们可以构造一个小数a=0. a1 a2 a3 ... ak ...，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列
中第i行第i个数字不同。这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。
当我们构造好了这样的一个小数之后，我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。这就造成了逻辑上的矛盾，你说已经把所有小数都列出来了，但是我却发现至少我构造的这个小数，你还没有罗列出来。就算你亡羊补牢，把我这个也补充进去，但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。所以，只能说明实数是无法跟可列集形成一一对应的，也就是前面的假设是错误的。
因此[0, 1]区间的实数不是可列集。同样，取掉0，1两个数之后的(0,1)区间的实数也不是可列集。
我们再构造一个映射：
ψ(x)=tan(x-1/2)π
不用多解释了吧？大家画个图就知道，这个映射显然是(0,1)到(-∞，+∞)的一一对应。因此，整个实数集，它也是不可列集。
我们把实数（注意实数当然也包括有理数）集的势，称为阿列夫，记作§。当然也有人叫它阿列夫1。
好像已经结束了，但我们发现刚才我们只是得到所有实数要比所有有理数多，可是实数是包括有理数的啊，我们怎么知道实数里面剔除有理数之后，它是否还能比有理数多呢？当然这不能乱想，必须要有严格的证明。
让我们回过头来看定理4，说的是，可列个可列集的并集，还是可列集。好，如果假设无理数也是可列的，那么 实数集=有理数集∪无理数集=可列集∪可列集=可列集。但是上面我们已经证明了实数集它不是可列集。因此得到了矛盾的结果，说明假设是错的，因此只能是无理数集不是可列集。
严谨、细心的朋友，可能还对前面提到的泽梅洛选择公理念念不忘吧？是的，如果不承认选择公理，也就是认为前述中“(4) A永远不对等于B的任何一个子集，而B也永远不对等于A的任何一个子集。”将是存在的。这不是说明集合的势有可能不能比较了吗？确实！对于任意无限集之间势的比较，要么我们肯定选择公理，这样发展出一套理论，这套理论里，任意无限集的势都是可以比较大小的；或者否定选择公理，也可以发展出一套自恰的理论，这套理论里，不是任意无限集的势都能拿来比较大小的。这就好比我们设定平行线不相交从而发展出欧几里德几何，而设定平行线也相交从而发展出黎曼几何一样。
看起来似乎前面的一切努力都白费了，只要有人不承认选择公理，那么对他来说后面的推导自然也就不成立了。不过庆幸的是，我们发现我们处理的问题要简单些，从而避开了面对选择公理的两难决定。
我们再来看刚才的话“(4) A永远不对等于B的任何一个子集，而B也永远不对等于A的任何一个子集。
”如果A是有理数集，B是无理数集，情况怎样呢？显然，因为A是可列集，B是无限集，而无限集中肯定可以取出一可列集来与A对等。因此，在确定了A、B的具体集合之后，是可以不需要选择公理就能排除(4)这种情况的。
现在，我们终于可以下个完善的结论了：只要认可是否一一对应是用来比较集合元素多少的标准，那么不再需要额外的公理，无理数要比有理数来得多的多。
下面的内容，作为一些补充吧，有兴趣深入了解的人可以继续看下去。
我们知道所有无理数又分为代数数和超越数。代数数就是前面讲的n次整系数多项式的实根，而超越数当然就是所有非n次整系数多项式的实根的数。通俗的理解，代数数我们至少还可以用各种运算符号将其完整地写在纸上，而超越数我们根本写不完，没办法只能用一个特殊符号来代替，譬如π和e。
因为代数数也是可列的，势为§0，而全体有理数是不可列的，势为§1，由此我们也可以推导出全体超越数是不可列的，势为§1。这说明超越数要比代数数多得多的多。
定理6 设A是有限集或可列集，B是任一无限集，那么P(A∪B)=P(B)。
这个定理的意思是，任何一个无限集加上可列集或者有限集之后，它的势是不会变的。α+§0=α，或者α+x=α，其中α为无限集的势，x为任意一个自然数，它代表了某个有限集的势。
如此，我们还可以再写出§0+§0=§0，§0+x=§0 等等。
下面这个定理比较重要，它跟我们所说的函数集有些关系。
定理7 实数列全体T，它的∞次乘积集的势仍然是§1。
它的证明懒得写了，比较烦琐。为什么说它跟函数集的势有关呢？
或许有些人已经知道，所有函数集的势是大于阿列夫1的，有人称之为阿列夫2。
但是要注意，跟实数分代数数跟超越数（代数数我们研究较多，超越数目前仍然知道的不多）的情况类似，我们通常情况下研究的那些函数（连续可导函数，就是一般我们能画在图上的曲线），它们组成的集合的势，其实还是§1的。这点恐怕知道的人甚少。
为什么这么说呢？我们把一个函数写成y=f(x)的形式，如果函数处处可导并连续，那么我们可以应用泰勒展开，将其转化成y=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n+...这样一个无限次的实数值系数（跟前面的整系数不同，这里ai是任意一实数）的函数。可知道，任意这样的函数组成的集合，正好对等于定理7说的实数列的无穷次乘积集。于是它的势也为§1。
这个结论告诉我们，不管我们人类怎么画图，实际上我们永远不可能画的比无理数还多。
不过，别忘了世界上还存在着很多很多我们人类画不出来的图形，这些图形就是那些处处不可导或者处处不连续
的奇异函数。
譬如，一个定义在[0,1]上的函数，它的任意一点的函数值非0，即1。这样的函数处处不可导，处处不连续，我们根本不可能将其在纸面上表达出来。所有这样的函数组成的函数集，它的势就要比§1还大。
为了解释这一点，得再给大家讲一下势的运算的一些内容。
设P(A)=α，P(B)=β，如果A∩B＝φ，那么P(A∪B)=α+β，称为势的加法。
A和B的乘积集A×B={(a,b)|a属于A,b属于B}，为P(A×B)=αβ，称为势的乘法。
另外，集B中每一个元素都用集A中的元素代替，一切可能的代替所形成的集称为A盖B的集。例如A={p,q}，B={a,b,c}，那么A盖B的集就是{p,p,p},{p,p,q},{p,q,p},{q,p,p},{p,q,q},{q,p,q},{q,q,p},{q,q,q}这8个集合为元素组成的集上集。如果记A盖B的集为C[A,B]，那么P(C)=α^β。
如果以势的运算观点来看待以前的一些定理，那么定理4就可以表达成§0§0=§0。定理5就是(§0)^n=§0，定理6相当于α+§0=α。定理7相当于(§1)^(§0)=§1。另外，还有一些类似的结论(§0)^(§0)=§1（这就是为什么聚聚...聚宝盆盆...盆要比聚宝盆好的原因了^_^），以及n^(§0)=§1等等。
定理8 设B是一个集，S是B的一切子集所构成的集。那么P(S)>P(B)。证明就不多写了。
我们知道，假设X是S中的一个元素，那么根据题意，X是B的一个子集，对于任何属于B的元素，如果也属于X，我们说“取”，如果不属于，我们说“不取”，那么实际上S就可以看作是用“取”或“不取”这两个词去代替B中的元素的一切可能方式。另A={"取","不取"}，那么S便是A盖B的集，因此P(S)=2^P(B)。而定理说P(S)>P(B)，因此2^P(B)>P(B)。
这是一个很重要的公式，它是连接各阶阿列夫之间的桥梁，而定理8，则给我们提出了一个具体构造高阶阿列夫的实现方法！
回过头来，在[0,1]上不取0便取1的实函数全体，正好就是集{0,1}盖集[0,1]所形成的集，根据定理8，就知道这样的集的势是大于实数的势的。任意的实值函数形成的集显然包含了刚才那个实函数集，因此，所有的实函数全体的势要大于§1。
于是，根据定理8，我们知道，实函数集的所有子集形成的集合，它的势会比所有实函数（所有图形）的势还要大！
最后，说一下康托尔连续统假设。这是Cantor提出的，是否存在一个势α，有§0<α<§1？这个问题在google上应该比较容易找到。目前已经证明了，这个假设同样是不可证明的（在目前的集合论公理体系下），因此，我们最多也只能将它作为一个公理来使用。
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阿列夫序列定义：χ_n表示阿列夫n
2＾(χ_n)=χ_(n+1)
2＾(χ_n)比χ_n要大