泉州医学高等专科学校-寒假日记300字

综合应用：确定起跑线

1. 圆周率
圆周率是圆的周长和它的直径的比。这个比值是一个无限不循环
小数，通常用希腊字母π来表示。
圆周率π的值是怎样计算出来的呢？
在半径为r的圆中，作一个内接正六边形（如图）。

这时，正六边形的边长等于圆 的半径r，因此，正六边形的周长
等于6r。如果把圆内接正六边形的周长看作圆的周长的近似值，然后
把圆内接正六边形的周长与圆的直径的比看作圆的周长与圆直径的
比，这样得到的圆周率是3， 显然这是不精确的。
如果把圆内接正六边形的边数加倍，可以得到圆内接正十二边
形；再 加倍，可以得到圆内接正二十四边形……不难看出，当圆内接
正多边形的边数不断地成倍增加时，它们的 周长就越来越接近于圆的
周长，也就是说它们的周长与圆的直径的比值，也越来越接近于圆的
周 长与圆的直径的比值。根据计算，得到下列数字：

这样，我们就得到了一种计算圆周率π的近似值的方法。
早在一千七百多年前，我国古代数学家刘 徽曾用割圆术求出圆周
率是3.141024。继刘徽之后，我国古代数学家祖冲之在推求圆周率
的研究方面，又有了重要发展。他计算的结果共得到两个数：一个是
盈数（即过剩的近似值），为3. 1415927；另一个是朒（ｎǜ）数（即
不足的近似值），为3.1415926。圆周率的真值正 好在盈朒两数之间。
祖冲之还采用了两个分数值：一个是227（约等于3.14），称之为“约
率”；另一个是355113（约等于3.1415929），称之为“密率”。祖冲
之求得的密率， 比外国数学家求得这个值，早一千多年。
2. 圆的面积
在半径为R的圆中，当内 接正多边形的边数不断地成倍增加时，
正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。

如图，AB是圆O的内接正n边形的一边，OD垂直于AB（它
的长度用r表示）。所以△ AOB的面积等于12AB·r。正n边形的面
积等于△AOB面积的n倍，因此，正n边形的面积＝( 12)AB·r·n＝
(12)（AB·n）·r。因为正n边形的周长p＝AB·n，所以正n边形的 面
积＝(12)p·r。

当正n边形的边数不断地成倍增加时；正n边形 的面积n越来
越接近于圆的面积；同时，正n边形的周长p也越来越接近于圆的周
长2πR；r 也越来越接近于圆的半径R。因此，圆的面积
S=(12)pR=(12)×2πR×R=πR2。[小 精灵儿童网站]

教材说明
综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的 概念和周长等知识
的基础上设计的。通过该活动一方面让学生了解椭圆式田径场跑道的
结构，学 会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学
在体育等领域的广泛应用。

“确定起跑线”活动由以下四个部分组成。
1. 提出研究的问题。
教材在田径场400 m跑道的背景下开门见山地提出问题：“为什
么运动员要站在不同的起跑线上”， 引起学生对起跑线位置的关注和
思考。经过小组同学共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外
圈跑道的起跑线位置应该往前移 ”。在此认知基础上，教材紧接着引

申出进一步研究的问题“各条跑道的起跑线应该相差 多少米”，即如何
确定每条跑道的起跑线。
2. 收集数据。
教材第75页第二幅图中呈现了小组同学测量有关数据的场景，
旨在帮助学生了解400 m跑道的结构以及各部分的数据：直道的长
度是85.96 m，第一条半圆形跑道的直径为72.6 m，每条跑道宽1.25
m。
3. 分析数据。
学生对已获得的数据进 行整理，通过讨论明确以下信息：（1）
两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。（2）各条跑道直道长度 相同。
（3）每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个
直道的长度。上述分 析过程主要体现在第76页第三幅图中。
4. 得出结论。
在学生明确解决问题的 思路和方法后，教材在第四幅图中给出了
一张表格，通过让学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径、 两个
半圆形跑道的周长以及跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，
确定每条跑道的起跑线 。最后，为了巩固对该类问题的认识，请学生
进一步确定200 m赛跑中跑道起跑线的位置。
教学建议

1. 这部分内容可用1课时进行教学。
2. 六年级的学生对起跑线并不陌生，也知道在400 m跑道上进
行200 m、400 m、800 m等的赛跑时，不同跑道上的运动员起跑的
位置是各不相同的。但为什么呢？学生可能很少 从数学的角度去认真
地思考。因而在活动开始，老师可以以图片、投影片或多媒体课件等
形式呈 现田径场上的400 m跑道，并直接提出问题“为什么运动员要
站在不同的起跑线上？”引发学生的思 考和讨论，学生凭借日常的体
育活动和观看体育比赛的经验应该能够很快地理清思路，回答出问
题。老师可根据学生的回答适时地引出进一步研究的问题：“各跑道
的起跑线应该相差多少米呢？”显然 这很难通过经验和观察得到，需
要学生收集相关数据，具体分析起跑线的位置与什么有关。
3. 收集数据部分，教材中给出了小组合作实地测量的情境，但
由于不同田径场的规格可能有所不同， 而且进行实地测量需要花费较
多的时间，同时测量还可能会产生误差，因而实际教学时不必带领学
生去田径场实际测量跑道各部分的数据。只要通过该图让学生明确相
关的数据是通过测量获得的即可， 具体的数据则可以配合前面的图
片、投影片等相应形式给出。老师还可就半圆形跑道的直径在此是如何规定的，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向学生作一具体说
明。
4. 在具体分析数据时，教师可引导学生充分讨论并认识到：由
于每条跑道宽1.25 m，所以相邻两条跑道，外圈跑道圆的直径等于

里圈跑道圆的直径加2.5 m。在探讨 具体的解决方法时，老师也要引
导学生灵活思考，而不仅仅局限于计算出各条跑道总长度这种思路。在学生明确各条跑道的直道长度相同时，老师可适时启发学生：“既
然直道长度相同，我们只要计算 什么就可以找出相邻跑道长度之差
呢？”
5. 在学生明确解决的思路后，老师可出示第 四幅图中的表格，
请学生具体说一说表格中各项目的含义并计算出相应的结果。老师要
帮助学生 明确不仅可以通过计算“全长”之差，也可计算“周长”之差得
到各跑道起跑线应该相差的距离。在此， 需要特别说明的是，在结果
中，两条相邻跑道的差实际是(72.6+2.5n)π［-72.6+2. 5(n-1)］π=2.5π,
由于π的取值（π≈3.14159）导致结果中有的相邻跑道之间的差 是
7.85 m，有的是7.86 m，0.01水平上的差别较小，对结果影响不大，
在这里 可以不予考虑。如果有学生能够直接得出2.5π，也应予以肯
定。
6.教材最后提出的确定200 m跑道的起跑线问题，如课堂时间不
够，可让学生课后解决

综合应用：确定起跑线

1. 圆周率
圆周率是圆的周长和它的直径的比。这个比值是一个无限不循环
小数，通常用希腊字母π来表示。
圆周率π的值是怎样计算出来的呢？
在半径为r的圆中，作一个内接正六边形（如图）。

这时，正六边形的边长等于圆 的半径r，因此，正六边形的周长
等于6r。如果把圆内接正六边形的周长看作圆的周长的近似值，然后
把圆内接正六边形的周长与圆的直径的比看作圆的周长与圆直径的
比，这样得到的圆周率是3， 显然这是不精确的。
如果把圆内接正六边形的边数加倍，可以得到圆内接正十二边
形；再 加倍，可以得到圆内接正二十四边形……不难看出，当圆内接
正多边形的边数不断地成倍增加时，它们的 周长就越来越接近于圆的
周长，也就是说它们的周长与圆的直径的比值，也越来越接近于圆的
周 长与圆的直径的比值。根据计算，得到下列数字：

这样，我们就得到了一种计算圆周率π的近似值的方法。
早在一千七百多年前，我国古代数学家刘 徽曾用割圆术求出圆周
率是3.141024。继刘徽之后，我国古代数学家祖冲之在推求圆周率
的研究方面，又有了重要发展。他计算的结果共得到两个数：一个是
盈数（即过剩的近似值），为3. 1415927；另一个是朒（ｎǜ）数（即
不足的近似值），为3.1415926。圆周率的真值正 好在盈朒两数之间。
祖冲之还采用了两个分数值：一个是227（约等于3.14），称之为“约
率”；另一个是355113（约等于3.1415929），称之为“密率”。祖冲
之求得的密率， 比外国数学家求得这个值，早一千多年。
2. 圆的面积
在半径为R的圆中，当内 接正多边形的边数不断地成倍增加时，
正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。

如图，AB是圆O的内接正n边形的一边，OD垂直于AB（它
的长度用r表示）。所以△ AOB的面积等于12AB·r。正n边形的面
积等于△AOB面积的n倍，因此，正n边形的面积＝( 12)AB·r·n＝
(12)（AB·n）·r。因为正n边形的周长p＝AB·n，所以正n边形的 面
积＝(12)p·r。

当正n边形的边数不断地成倍增加时；正n边形 的面积n越来
越接近于圆的面积；同时，正n边形的周长p也越来越接近于圆的周
长2πR；r 也越来越接近于圆的半径R。因此，圆的面积
S=(12)pR=(12)×2πR×R=πR2。[小 精灵儿童网站]

教材说明
综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的 概念和周长等知识
的基础上设计的。通过该活动一方面让学生了解椭圆式田径场跑道的
结构，学 会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学
在体育等领域的广泛应用。

“确定起跑线”活动由以下四个部分组成。
1. 提出研究的问题。
教材在田径场400 m跑道的背景下开门见山地提出问题：“为什
么运动员要站在不同的起跑线上”， 引起学生对起跑线位置的关注和
思考。经过小组同学共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外
圈跑道的起跑线位置应该往前移 ”。在此认知基础上，教材紧接着引

申出进一步研究的问题“各条跑道的起跑线应该相差 多少米”，即如何
确定每条跑道的起跑线。
2. 收集数据。
教材第75页第二幅图中呈现了小组同学测量有关数据的场景，
旨在帮助学生了解400 m跑道的结构以及各部分的数据：直道的长
度是85.96 m，第一条半圆形跑道的直径为72.6 m，每条跑道宽1.25
m。
3. 分析数据。
学生对已获得的数据进 行整理，通过讨论明确以下信息：（1）
两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。（2）各条跑道直道长度 相同。
（3）每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个
直道的长度。上述分 析过程主要体现在第76页第三幅图中。
4. 得出结论。
在学生明确解决问题的 思路和方法后，教材在第四幅图中给出了
一张表格，通过让学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径、 两个
半圆形跑道的周长以及跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，
确定每条跑道的起跑线 。最后，为了巩固对该类问题的认识，请学生
进一步确定200 m赛跑中跑道起跑线的位置。
教学建议

1. 这部分内容可用1课时进行教学。
2. 六年级的学生对起跑线并不陌生，也知道在400 m跑道上进
行200 m、400 m、800 m等的赛跑时，不同跑道上的运动员起跑的
位置是各不相同的。但为什么呢？学生可能很少 从数学的角度去认真
地思考。因而在活动开始，老师可以以图片、投影片或多媒体课件等
形式呈 现田径场上的400 m跑道，并直接提出问题“为什么运动员要
站在不同的起跑线上？”引发学生的思 考和讨论，学生凭借日常的体
育活动和观看体育比赛的经验应该能够很快地理清思路，回答出问
题。老师可根据学生的回答适时地引出进一步研究的问题：“各跑道
的起跑线应该相差多少米呢？”显然 这很难通过经验和观察得到，需
要学生收集相关数据，具体分析起跑线的位置与什么有关。
3. 收集数据部分，教材中给出了小组合作实地测量的情境，但
由于不同田径场的规格可能有所不同， 而且进行实地测量需要花费较
多的时间，同时测量还可能会产生误差，因而实际教学时不必带领学
生去田径场实际测量跑道各部分的数据。只要通过该图让学生明确相
关的数据是通过测量获得的即可， 具体的数据则可以配合前面的图
片、投影片等相应形式给出。老师还可就半圆形跑道的直径在此是如何规定的，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向学生作一具体说
明。
4. 在具体分析数据时，教师可引导学生充分讨论并认识到：由
于每条跑道宽1.25 m，所以相邻两条跑道，外圈跑道圆的直径等于

里圈跑道圆的直径加2.5 m。在探讨 具体的解决方法时，老师也要引
导学生灵活思考，而不仅仅局限于计算出各条跑道总长度这种思路。在学生明确各条跑道的直道长度相同时，老师可适时启发学生：“既
然直道长度相同，我们只要计算 什么就可以找出相邻跑道长度之差
呢？”
5. 在学生明确解决的思路后，老师可出示第 四幅图中的表格，
请学生具体说一说表格中各项目的含义并计算出相应的结果。老师要
帮助学生 明确不仅可以通过计算“全长”之差，也可计算“周长”之差得
到各跑道起跑线应该相差的距离。在此， 需要特别说明的是，在结果
中，两条相邻跑道的差实际是(72.6+2.5n)π［-72.6+2. 5(n-1)］π=2.5π,
由于π的取值（π≈3.14159）导致结果中有的相邻跑道之间的差 是
7.85 m，有的是7.86 m，0.01水平上的差别较小，对结果影响不大，
在这里 可以不予考虑。如果有学生能够直接得出2.5π，也应予以肯
定。
6.教材最后提出的确定200 m跑道的起跑线问题，如课堂时间不
够，可让学生课后解决