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西师大版数学六年级上学期
3、
圆的面积
第1课时
圆面积的意义和计算公式
 教学内容：
教科书第19～20页，圆面积的意义和圆面积计算公式的推导。
 教学提示：
教 材首先通过“已知云南景洪的曼飞龙白塔的塔基是圆柱形石座，底面周长是42.6米，
求这座塔基的占 地面积”的实际情境提出圆面积的概念，使学生在以前所学知识的基础上理
解“圆的面积就是它所占平面 的大小”。
由于以前学生所求的图形面积都是多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、< br>梯形等）的面积，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到。教材没有直
给出圆 的面积计算公式，而是先通过例1，把圆的面积与正方形的面积进行比较，利用数格
子的方法估算圆的面 积，使学生对圆的面积有一个初步的感性认识。进而引导学生运用转化
的思想来推导圆的面积计算公式。
由于让学生完全自主地探索如何把圆转化成长方形是有很大难度的，教材上给出了明确
的提示， 让学生利用学具进行操作，在此基础上，让学生自主发现圆的面积与拼成的长方形
面积的关系，圆的周长 、半径和长方形的长、宽的关系，并推导出圆的面积计算公式。
最后，本节课教材安排了两道例题， 例1用石塔占地突出圆面积的概念，强调与周长的
区别。通过“估”和“数”的活动，使学生感受到圆的 面积与r有关，为后面的圆面积公式
的推导作准备。
感受过程：（1） 圆的面积比4个小正 方形面积小，就是比4r²小。（2）用数方格的方
式，让学生知道圆面积比3r²大。（3）结论：圆 面积是半径平方的3倍多一些。
例2用实验的方法探索圆面积的计算公式。
实验的方式：（ 1）图形转化。（浸透极限思想）（2）讨论：平行四边形与圆的关系。（3）
比较推理（4）归纳圆面 积计算公式。
 教学目标：
1.知识与技能：知道圆面积的含义。理解和掌握圆面积计算公式。会运用圆面积公式计
算圆面积。
2.过程与方法：通过教具演示，渗透转化的数学思想和极限思想，使学生经历探索圆的
面积计算公式的过程。

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3.情感态度与价值观：激发学生参与教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概
括能力，发展学 生的空间观念。
 重点难点：
教学重点：圆面积的计算方法。
教学难点：推导圆面积计算公式。
 教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：8和16等份的圆形纸片各1个，正方形、圆形物品、圆规、剪刀等。
 教学过程：
（一）新课导入
（投影出示 ——《马儿的困惑》的场景）
谈话：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？
预设：是一个圆形。
那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？
预设：圆的面积。
教师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积）
圆的面积是指的什么？
归纳：圆所占平面的大小，就是圆的面积。
【设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟
到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习
的兴趣。】
（二）探究新知
1.初步感知圆的面积。
（1）估一估圆的面积。
投影出示一个圆，如图。

有一个圆，并以圆的半径r为边长画一个小正方形。

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请同学们估一估，圆的面积大约是小正方形面积的多少倍？
让学生独立思考，同桌合作交流，然后反馈学生估的结果。
预设：
生1：这个圆 面上可以画4个这样的小正方形，但圆的面积没有四个小正方形的面积大。
所以，我估计，圆的面积大约 是小正方形面积的3倍。
教师给予肯定：这样的估计有道理。
生2：我不是想在圆面上 画4个这样的小正方形。是想把这个圆对折两次后，平分成4
等份，一等份的圆和大半个小正方形的面积 相等，4等份一定比两个正方形大，比4个正方
形小，所以，我也估计，圆的面积大约是小正方形面积的 3倍。
教师给予肯定：分析得不错。难道圆的面积刚好是小正方形面积的3倍吗？
（2）数方格验证，得出结论。
提问：如果我们将正方形的边长r平均分成4份，在小正方 形内就有16个方格。于是
得到现在的图，(出示)你能用数方格的方法回答刚才的问题吗？(非常接近 1格的算做1格，
其余不足1格的算半格)
反馈学生数的结果：小正方形有16个方格，14圆里大约有13格。
教师接着问：整个圆里大约有多少个方格？(13×4=52)
52大约是16的多少倍？
师生共同小结：圆的面积是小正方形面积的3倍多一些，也就是半径平方(r)的3倍多
一些。
（板书：S=r的3倍多。）
【设计意图：通过本环节让学生对圆的面积与正方形的面积进行 比较，估一估圆的面积
与正方形的面积的关系，然后通过数格子的方法进行验证，使学生对圆的面积有一 个初步的
感知，也为下面的推导圆的面积公式做好铺垫。】
2.探究圆的面积计算公式。
（1）谈话：刚才我们通过估一估，数一数，得出了圆的面积是半径平方的3倍多一些
这一结论 ，这一结论对所有的圆都适用，也就是说，只要知道圆的半径，就能估算出圆的面
积。
试一试：一个圆的半径是5 cm，它的面积大约是多少平方厘米？
让学生说说想法。
用这个方法只能估算出圆的面积。要想得到准确值还需要进一步探索圆的面积计算公式。

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回想一下以前我们是怎样推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的？
我们都是把 这个图形转化成学过的图形，从而推导出它们的面积计算公式的。那我们能
不能把圆也转化成学过的图形 到来推导出圆的面积计算公式呢？
今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。
教 师：今天我们能否运用转化的方法研究圆的面积呢？那圆能转化成我们学过的什么图
形？你们想知道吗？
（2）观察猜想：
课件出示：分成16等分的圆。
教师：圆是个曲线图形，想想它可能转化为什么图形呢？你是怎样想的？
（3）操作验证
教师指导：
让学生利用课前准备好的学具，选择其中一个圆形纸片（16等份或32等份）， 剪开，
独立或与同伴合作拼成一个学过的平面图形。
教师指导学生拼图。
教师：谁想把你的结果展示出来？
“化曲为直”渗透极限思想
多媒体课件直观演示 把圆分成64等份、128等份……转化成长方形的过程，使学生理
解如果把圆分的份数越多，每一份就 会越小，拼成的图形就会越接近长方形。
教师提问：你们发现什么吗？
学生推导圆的面积公式（课件出示：32等分的圆转化为近似长方形）
教师：那么拼出来的这个近似的长方形和圆形之间有什么关系呢？
课件出示：拼成近似长方形和原来的圆的面积有什么关系？
近似的长方形的长相当于圆的哪一部分？近似长方形的宽又是圆的哪一部分？
根据汇报板书
指导学生推导公式
请同学们试一试，根据已经学过的长方形的面积公式，推导出圆的面积公式吧！
教师：圆的面积和什么有关？
让学生通过观察、分析。由看到16等份都是近似的等腰三角形 而猜想出有可能转化成
一个平行四边形、长方形、三角形、梯形等。然后学生回答。
（3）学生动手：

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把圆形纸片剪成16份或32份，再拼成一个自己学过的图形。
（预设生成）学生可能拼成一个近似的平行四边形、长方形、三角形、梯形。
学生动手操作、观察后，汇报并展示结果，注重不同情况的展示。（贴在黑板上）
学生观察，渗透极限思想
学生观察多媒体的演示，理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形
就会越接近长方形。
【设计意图：通过这一环节，渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生
抽象概括 出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并借助电脑课件的演
示，生动形象地展示了 化曲为直的剪拼过程。】
学生交流汇报以上结果。
学生自主推导圆的面积公式
学生观察：发现涂色的圆分成上、下两个部分。
学生交流，汇报发现的结果：
①形状变化了，面积没相等。
②近似长方形的长相当于圆周长的一半。
③近似长方形的宽相当于半径（r） 指名学生进行汇报，投影演示“变曲为直”的过
程。
教师这时给予学生鼓励性评价，然后接着提出，我们从多角度，多侧面推导出了圆的面
积公式。如果我们 用S表示圆的面积，r表示圆的半径。你会用字母表示圆的面积公式吗？
学生汇报，教师板书：
平行四边形的面积＝ 底 × 高
↓ ↓ ↓
圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径
1
C×r
2
1
= ×2πr×r
2
=
= πr
如果用字母S表示圆的面积，那圆的面积计算公式就是：S=πr。
【设计意图：先让 学生观察再猜想的方法，既培养了学生的空间想象力，又发展了学
生的逻辑推理能力。激发学生想动手拼 一拼的欲望。这个环节中，探究是开放的，学生通过

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观察、探讨，合作，归纳出 圆的面积公式，突出重点。在探究的过程中体验成功的满足和喜
悦，提高学生观察，探究能力。培养学合 作精神。】
（三）巩固新知
分两组分别完成课堂活动第1、2题。
学生分两组分别进行测量，计算，教师适时给予指导。
学生做完之后两个小组进行交流，评价。
【设计意图：练习的设计，除激发学生的学习兴趣 、有效巩固了新知外，更重要的是让
学生动手操作，增强数学的应用意识，提高操作能力。】
（四）达标反馈
1.填空题。
（1）把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于
（ ），长方形的宽就是圆的（ ）。因为长方形的面积是（ ），所
以圆的面积是（ ）。
（2）圆的直径是6厘米，它的周长是（ ），面积是（ ）。
2.填表。




答案：
1.（1）圆周长的一半 半径 长×宽 πr（2）18.84 28.26
2.如下表。
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（五）课堂小结
今天我们学了什么知识？是怎样学习的？你有什么感受吗？
同学们，猜想验证、操作发现是 我们在数学学习中探索未知领域时经常要用到的方法，
用好它相信同学们会有更多的发现！
【设计意图：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。
在这一过程中， 学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】
（六）布置作业
1.填空题。
（1）一个半径为4厘米的圆，把它平均剪成若干份后，拼成一个近似平行四边 形，这
个平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
（2）一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
（3）一个圆的直径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
2.求下列圆的面积。





答案：
1.（1）12.56 4（2）200.96 （3）50.24
2.3.14×（4÷2） =12.56（平方厘米）
3.14×3=28.26（平方厘米）




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
板书设计

圆面积的意义及计算公式
平行四边形的面积 ＝ 底 × 高
↓ ↓ ↓
圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径
1
C×r
2
1
= ×2πr×r
2
=
= πr
2

用字母表示圆的面积计算公式：S=πr
2
。


 教学反思
《圆的面积》是小学数学教学中的一个难点，又是学习圆柱与圆锥的基础，圆面 积公式
的推导过程运用了“极限”的思想和方法，这对小学生来讲是深奥难懂的。教材首先用云南
景洪的曼飞龙塔基的情景引出了圆的面积概念，接着让学生比较圆的面积和以圆的半径为边
长的正方形 的面积，对圆的面积有一个初步的感性认识，接下来让学生尝试运用以前曾多次
采用过的“转化”的数学 思想，把圆转化成已学过的图形（主要是长方形）来计算面积，引
导学生自主推导出圆面积的计算公式， 再一次让学生熟悉运用“转化”这种数学思想方法来
解决较复杂问题的策略。
学习此知识之前 ，学生已初步认识了圆，理解了面积的含义，并且掌握了长方形、正方
形、平行四边形、三角形、梯形的 面积计算公式的推导过程，因此学习圆的面积公式推导过
程时只需要教师启发、点拨学生依然从转化的思 想入手，将圆转化为已学过的图形进行计算，
然后通过等量代换得到圆面积公式。因此，新课内容必须从 贴近学生生活的情境出发，激发
学生的探究欲望，降低内容的抽象性，引导学生用转化的方法推导出圆面 积的计算公式。
在教学“圆的面积”计算公式推导时，我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法 ，
引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等
平 面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合
作动手、动脑剪 一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。再引导学生交流、验证自己
的推导想法，师生共同倾听并 判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，有效地体验从猜想—

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—实践验证——分析——归纳总结的科学探究问题 的方法。看看他们的推导方法是否科学、
合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习， 提高了学生的实践能力和创
新意识。
在学生实践操作的基础上，我利用多媒体精确演示圆割补 拼图的过程，让学生清楚地理
解自己推导方法的科学性和准确性，极大地激发了学生们的学习兴趣，为学 生今后圆锥，圆
柱奠定了有力的基础。
课上及时安排了坡度适当、由易到难的练习题，使学 生由浅入深地掌握了知识，形成了
技能。同时，还注意培养学生逻辑推理的能力。
圆除了剪拼 成近似的长方形外，还可以转化成近似的三角形、近似的梯形。如果让学生
在这里再动手操作，对学生思 维的拓展是有很大的好处，但一节课无法容纳这么多的内容，
所以这一节课就选择了单纯让学生把圆转化 成近似长方形来推导圆面积的公式。但回头想想，
也可以把圆的面积分两课时来上，一课时是让学生操作 ，圆可以转化成什么图形？第二课时
才深入地研究如何推导圆面积的公式，这样费时多些但对学生的能力 开拓会更有好处。
 教学资料包
（一）
教学精彩片段

圆面积的意义和计算公式(教学片断)
探究合作，推导圆面积公式
1.渗透“转化”的数学思想和方法。
师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？
我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？
生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？
（教师演示）。
生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长
方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高 。
师：同学们对原来的知识掌握 得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化
成别的图形。这样有什么好处呢？
生：这样就把一个不懂的问题转化成我们可以解决的问题。
师：对，这是我们在学习数学的过 程当中的一种很好的方法。今天，我们就用这种方法
把圆转化成已学过的图形。
师：那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？
2.演示揭疑。

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师：（边说明边演示）把这个圆平均分成16份，沿着直径来切，变成两个半圆，拼成一
个 近似的平行四边形。
师：如果老师把这个圆平均分成32份，那又会拼成一个什么图形？我们一起来看一看
（师课件演示）。
师：大家想象一下，如果老师再继续分下去，分的份数越多，每一份就会越小，拼成的
图形就会越接近于什么图形？（长方形）
【评析：教师通过这一环节，渗透一种重要的数学思想 ，那就是转化的思想，引导学生
抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并 借助电脑课件的演
示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。】


（二） 数学资源

1.填空题。
（1）一个圆形桌面的直径是 2米，它的面积是（ ）平方米。
（2）鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（ ）平方米。
（3）用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（ ）厘米，画
出的这个圆的面积是（ ）平方厘米。
（4）将一个圆平均分成1 000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来
圆周长长10厘米，这个长方形的面积是 （ ）平方厘米。
2.一个水缸，从里面量，缸口直径是 50厘米，缸壁厚 5厘 米。要制做一个缸盖，使
它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴 上一圈金属
（不计接头），这个金属条长多少厘米？



答案：
1.（1）3.14 （2）314 （3） 8 200.96 （4）78.5
2.50÷2=25（厘米） 25+5=30（厘米） 3.14×30=2826（平方厘米） 3.14×30×
2=188.4（厘米）




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资料链接
你知道吗？
怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式 一算，结论就出来了。可是你可知
道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为了研究和解 决这个问题，不知遇
到了多少困苦，花费了多少精力和时间。
在平面图形中，以长方 形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，
如果横向用八块，纵向用六块，那一共 就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：
长×宽。
求平行四边形的面 积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方
形的长和宽，就是平行四边形的底和 高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。
求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的 三角形，成为一个平行四边形。这样，三
角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。因 此，求三角形面积的公式是：
底×高÷2。任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面 积，就等于这些
三角形面积的和。
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一 个正方形，占地52900平方米。它的底
座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积 的技术水平已经很高。
圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面 积，是数学
对人类智慧的一次考验。
也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我 们只要想办法做出一个正方形，使它的
面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能 做出这样的正方形呢？
你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。这个起源 于古希腊的
几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几 何
题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。

开普勒的求解方法

约翰尼斯·开普勒是德国天文学家，他发现了行星运动
的三大定律，这三大定律可 分别描述为：所有行星分别是在大
小不同的椭圆轨道上运行；在同样的时间里行星向径在轨道平

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面上所扫过的面积相等；行星公转周期的平方与它 同太阳距离的立方成正比。这三大定律最
终使他赢得了“天空立法者”的美名。为哥白尼的日心说提供了 最可靠的证据，同时他对光
学、数学也做出了重要的贡献，他是现代实验光学的奠基人。
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦天文学家第
谷遗留下来的大量 天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。
开普勒第一次告诉人们，地球围 绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。
提出圆面积公式。
开 普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古
代数学家用分割的方 法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不
断地增加分割次数。但是，不管分 割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是
圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必 须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小 扇形；不同的是，他一开始就把圆分成
无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以在最 后一个式子中，各段小弧
相加就是圆的周长2πR，所以有这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆
面积的新方法， 发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无 穷小的扇形面积，和它对应的
无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的 一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作 ，
称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。
一种新的理论，在开始 的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了
一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出 来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？
如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇 形OAB就不存在了；如果客观存在的面积
不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等 。开普勒把两者看作相等就不对了。
面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。
卡瓦利里的求解方法

他是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。
卡瓦利里想，开普勒把 圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，
就不好确定了。但是，只要小扇形还 是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分
下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度 为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉

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思之中。
有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，不 是可以看成
为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像< br>布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到
直线就 应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可
分量，直线是平面面 积的不可分量。
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书 ，组成书
的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。
1635年，当 《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里
的《不可分量几何学》。在这 本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立
体的不可分量；把直线看成是点的总和，把 平面看成直线的总和，把立体看成是平面的总和。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本 书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，
薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体 积就应该相等。他认为这个道理，
适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有 名的“卡瓦利里原理。”
事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖暅。比卡瓦利里早1000多 年，所以我们叫
它“祖暅原理”。
在一个圆里画一个最大的正方形，正方形占圆面积 的约63.7%，在一个圆外画一个最小
的正方形，正方形面积是圆形面积的157%。
在卡 瓦利里的观点上拓展，也可以将曲线看做不可分量。所以圆面积近似于无数个圆周
长曲线的拼接。

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圆的面积
第1课时
圆面积的意义和计算公式
 教学内容：
教科书第19～20页，圆面积的意义和圆面积计算公式的推导。
 教学提示：
教 材首先通过“已知云南景洪的曼飞龙白塔的塔基是圆柱形石座，底面周长是42.6米，
求这座塔基的占 地面积”的实际情境提出圆面积的概念，使学生在以前所学知识的基础上理
解“圆的面积就是它所占平面 的大小”。
由于以前学生所求的图形面积都是多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、< br>梯形等）的面积，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到。教材没有直
给出圆 的面积计算公式，而是先通过例1，把圆的面积与正方形的面积进行比较，利用数格
子的方法估算圆的面 积，使学生对圆的面积有一个初步的感性认识。进而引导学生运用转化
的思想来推导圆的面积计算公式。
由于让学生完全自主地探索如何把圆转化成长方形是有很大难度的，教材上给出了明确
的提示， 让学生利用学具进行操作，在此基础上，让学生自主发现圆的面积与拼成的长方形
面积的关系，圆的周长 、半径和长方形的长、宽的关系，并推导出圆的面积计算公式。
最后，本节课教材安排了两道例题， 例1用石塔占地突出圆面积的概念，强调与周长的
区别。通过“估”和“数”的活动，使学生感受到圆的 面积与r有关，为后面的圆面积公式
的推导作准备。
感受过程：（1） 圆的面积比4个小正 方形面积小，就是比4r²小。（2）用数方格的方
式，让学生知道圆面积比3r²大。（3）结论：圆 面积是半径平方的3倍多一些。
例2用实验的方法探索圆面积的计算公式。
实验的方式：（ 1）图形转化。（浸透极限思想）（2）讨论：平行四边形与圆的关系。（3）
比较推理（4）归纳圆面 积计算公式。
 教学目标：
1.知识与技能：知道圆面积的含义。理解和掌握圆面积计算公式。会运用圆面积公式计
算圆面积。
2.过程与方法：通过教具演示，渗透转化的数学思想和极限思想，使学生经历探索圆的
面积计算公式的过程。

西师大版数学六年级上学期
3.情感态度与价值观：激发学生参与教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概
括能力，发展学 生的空间观念。
 重点难点：
教学重点：圆面积的计算方法。
教学难点：推导圆面积计算公式。
 教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：8和16等份的圆形纸片各1个，正方形、圆形物品、圆规、剪刀等。
 教学过程：
（一）新课导入
（投影出示 ——《马儿的困惑》的场景）
谈话：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？
预设：是一个圆形。
那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？
预设：圆的面积。
教师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积）
圆的面积是指的什么？
归纳：圆所占平面的大小，就是圆的面积。
【设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟
到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习
的兴趣。】
（二）探究新知
1.初步感知圆的面积。
（1）估一估圆的面积。
投影出示一个圆，如图。

有一个圆，并以圆的半径r为边长画一个小正方形。

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请同学们估一估，圆的面积大约是小正方形面积的多少倍？
让学生独立思考，同桌合作交流，然后反馈学生估的结果。
预设：
生1：这个圆 面上可以画4个这样的小正方形，但圆的面积没有四个小正方形的面积大。
所以，我估计，圆的面积大约 是小正方形面积的3倍。
教师给予肯定：这样的估计有道理。
生2：我不是想在圆面上 画4个这样的小正方形。是想把这个圆对折两次后，平分成4
等份，一等份的圆和大半个小正方形的面积 相等，4等份一定比两个正方形大，比4个正方
形小，所以，我也估计，圆的面积大约是小正方形面积的 3倍。
教师给予肯定：分析得不错。难道圆的面积刚好是小正方形面积的3倍吗？
（2）数方格验证，得出结论。
提问：如果我们将正方形的边长r平均分成4份，在小正方 形内就有16个方格。于是
得到现在的图，(出示)你能用数方格的方法回答刚才的问题吗？(非常接近 1格的算做1格，
其余不足1格的算半格)
反馈学生数的结果：小正方形有16个方格，14圆里大约有13格。
教师接着问：整个圆里大约有多少个方格？(13×4=52)
52大约是16的多少倍？
师生共同小结：圆的面积是小正方形面积的3倍多一些，也就是半径平方(r)的3倍多
一些。
（板书：S=r的3倍多。）
【设计意图：通过本环节让学生对圆的面积与正方形的面积进行 比较，估一估圆的面积
与正方形的面积的关系，然后通过数格子的方法进行验证，使学生对圆的面积有一 个初步的
感知，也为下面的推导圆的面积公式做好铺垫。】
2.探究圆的面积计算公式。
（1）谈话：刚才我们通过估一估，数一数，得出了圆的面积是半径平方的3倍多一些
这一结论 ，这一结论对所有的圆都适用，也就是说，只要知道圆的半径，就能估算出圆的面
积。
试一试：一个圆的半径是5 cm，它的面积大约是多少平方厘米？
让学生说说想法。
用这个方法只能估算出圆的面积。要想得到准确值还需要进一步探索圆的面积计算公式。

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回想一下以前我们是怎样推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的？
我们都是把 这个图形转化成学过的图形，从而推导出它们的面积计算公式的。那我们能
不能把圆也转化成学过的图形 到来推导出圆的面积计算公式呢？
今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。
教 师：今天我们能否运用转化的方法研究圆的面积呢？那圆能转化成我们学过的什么图
形？你们想知道吗？
（2）观察猜想：
课件出示：分成16等分的圆。
教师：圆是个曲线图形，想想它可能转化为什么图形呢？你是怎样想的？
（3）操作验证
教师指导：
让学生利用课前准备好的学具，选择其中一个圆形纸片（16等份或32等份）， 剪开，
独立或与同伴合作拼成一个学过的平面图形。
教师指导学生拼图。
教师：谁想把你的结果展示出来？
“化曲为直”渗透极限思想
多媒体课件直观演示 把圆分成64等份、128等份……转化成长方形的过程，使学生理
解如果把圆分的份数越多，每一份就 会越小，拼成的图形就会越接近长方形。
教师提问：你们发现什么吗？
学生推导圆的面积公式（课件出示：32等分的圆转化为近似长方形）
教师：那么拼出来的这个近似的长方形和圆形之间有什么关系呢？
课件出示：拼成近似长方形和原来的圆的面积有什么关系？
近似的长方形的长相当于圆的哪一部分？近似长方形的宽又是圆的哪一部分？
根据汇报板书
指导学生推导公式
请同学们试一试，根据已经学过的长方形的面积公式，推导出圆的面积公式吧！
教师：圆的面积和什么有关？
让学生通过观察、分析。由看到16等份都是近似的等腰三角形 而猜想出有可能转化成
一个平行四边形、长方形、三角形、梯形等。然后学生回答。
（3）学生动手：

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把圆形纸片剪成16份或32份，再拼成一个自己学过的图形。
（预设生成）学生可能拼成一个近似的平行四边形、长方形、三角形、梯形。
学生动手操作、观察后，汇报并展示结果，注重不同情况的展示。（贴在黑板上）
学生观察，渗透极限思想
学生观察多媒体的演示，理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形
就会越接近长方形。
【设计意图：通过这一环节，渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生
抽象概括 出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并借助电脑课件的演
示，生动形象地展示了 化曲为直的剪拼过程。】
学生交流汇报以上结果。
学生自主推导圆的面积公式
学生观察：发现涂色的圆分成上、下两个部分。
学生交流，汇报发现的结果：
①形状变化了，面积没相等。
②近似长方形的长相当于圆周长的一半。
③近似长方形的宽相当于半径（r） 指名学生进行汇报，投影演示“变曲为直”的过
程。
教师这时给予学生鼓励性评价，然后接着提出，我们从多角度，多侧面推导出了圆的面
积公式。如果我们 用S表示圆的面积，r表示圆的半径。你会用字母表示圆的面积公式吗？
学生汇报，教师板书：
平行四边形的面积＝ 底 × 高
↓ ↓ ↓
圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径
1
C×r
2
1
= ×2πr×r
2
=
= πr
如果用字母S表示圆的面积，那圆的面积计算公式就是：S=πr。
【设计意图：先让 学生观察再猜想的方法，既培养了学生的空间想象力，又发展了学
生的逻辑推理能力。激发学生想动手拼 一拼的欲望。这个环节中，探究是开放的，学生通过

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观察、探讨，合作，归纳出 圆的面积公式，突出重点。在探究的过程中体验成功的满足和喜
悦，提高学生观察，探究能力。培养学合 作精神。】
（三）巩固新知
分两组分别完成课堂活动第1、2题。
学生分两组分别进行测量，计算，教师适时给予指导。
学生做完之后两个小组进行交流，评价。
【设计意图：练习的设计，除激发学生的学习兴趣 、有效巩固了新知外，更重要的是让
学生动手操作，增强数学的应用意识，提高操作能力。】
（四）达标反馈
1.填空题。
（1）把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于
（ ），长方形的宽就是圆的（ ）。因为长方形的面积是（ ），所
以圆的面积是（ ）。
（2）圆的直径是6厘米，它的周长是（ ），面积是（ ）。
2.填表。




答案：
1.（1）圆周长的一半 半径 长×宽 πr（2）18.84 28.26
2.如下表。
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（五）课堂小结
今天我们学了什么知识？是怎样学习的？你有什么感受吗？
同学们，猜想验证、操作发现是 我们在数学学习中探索未知领域时经常要用到的方法，
用好它相信同学们会有更多的发现！
【设计意图：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。
在这一过程中， 学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】
（六）布置作业
1.填空题。
（1）一个半径为4厘米的圆，把它平均剪成若干份后，拼成一个近似平行四边 形，这
个平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
（2）一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
（3）一个圆的直径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
2.求下列圆的面积。





答案：
1.（1）12.56 4（2）200.96 （3）50.24
2.3.14×（4÷2） =12.56（平方厘米）
3.14×3=28.26（平方厘米）




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
板书设计

圆面积的意义及计算公式
平行四边形的面积 ＝ 底 × 高
↓ ↓ ↓
圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径
1
C×r
2
1
= ×2πr×r
2
=
= πr
2

用字母表示圆的面积计算公式：S=πr
2
。


 教学反思
《圆的面积》是小学数学教学中的一个难点，又是学习圆柱与圆锥的基础，圆面 积公式
的推导过程运用了“极限”的思想和方法，这对小学生来讲是深奥难懂的。教材首先用云南
景洪的曼飞龙塔基的情景引出了圆的面积概念，接着让学生比较圆的面积和以圆的半径为边
长的正方形 的面积，对圆的面积有一个初步的感性认识，接下来让学生尝试运用以前曾多次
采用过的“转化”的数学 思想，把圆转化成已学过的图形（主要是长方形）来计算面积，引
导学生自主推导出圆面积的计算公式， 再一次让学生熟悉运用“转化”这种数学思想方法来
解决较复杂问题的策略。
学习此知识之前 ，学生已初步认识了圆，理解了面积的含义，并且掌握了长方形、正方
形、平行四边形、三角形、梯形的 面积计算公式的推导过程，因此学习圆的面积公式推导过
程时只需要教师启发、点拨学生依然从转化的思 想入手，将圆转化为已学过的图形进行计算，
然后通过等量代换得到圆面积公式。因此，新课内容必须从 贴近学生生活的情境出发，激发
学生的探究欲望，降低内容的抽象性，引导学生用转化的方法推导出圆面 积的计算公式。
在教学“圆的面积”计算公式推导时，我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法 ，
引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等
平 面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合
作动手、动脑剪 一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。再引导学生交流、验证自己
的推导想法，师生共同倾听并 判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，有效地体验从猜想—

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—实践验证——分析——归纳总结的科学探究问题 的方法。看看他们的推导方法是否科学、
合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习， 提高了学生的实践能力和创
新意识。
在学生实践操作的基础上，我利用多媒体精确演示圆割补 拼图的过程，让学生清楚地理
解自己推导方法的科学性和准确性，极大地激发了学生们的学习兴趣，为学 生今后圆锥，圆
柱奠定了有力的基础。
课上及时安排了坡度适当、由易到难的练习题，使学 生由浅入深地掌握了知识，形成了
技能。同时，还注意培养学生逻辑推理的能力。
圆除了剪拼 成近似的长方形外，还可以转化成近似的三角形、近似的梯形。如果让学生
在这里再动手操作，对学生思 维的拓展是有很大的好处，但一节课无法容纳这么多的内容，
所以这一节课就选择了单纯让学生把圆转化 成近似长方形来推导圆面积的公式。但回头想想，
也可以把圆的面积分两课时来上，一课时是让学生操作 ，圆可以转化成什么图形？第二课时
才深入地研究如何推导圆面积的公式，这样费时多些但对学生的能力 开拓会更有好处。
 教学资料包
（一）
教学精彩片段

圆面积的意义和计算公式(教学片断)
探究合作，推导圆面积公式
1.渗透“转化”的数学思想和方法。
师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？
我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？
生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？
（教师演示）。
生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长
方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高 。
师：同学们对原来的知识掌握 得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化
成别的图形。这样有什么好处呢？
生：这样就把一个不懂的问题转化成我们可以解决的问题。
师：对，这是我们在学习数学的过 程当中的一种很好的方法。今天，我们就用这种方法
把圆转化成已学过的图形。
师：那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？
2.演示揭疑。

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师：（边说明边演示）把这个圆平均分成16份，沿着直径来切，变成两个半圆，拼成一
个 近似的平行四边形。
师：如果老师把这个圆平均分成32份，那又会拼成一个什么图形？我们一起来看一看
（师课件演示）。
师：大家想象一下，如果老师再继续分下去，分的份数越多，每一份就会越小，拼成的
图形就会越接近于什么图形？（长方形）
【评析：教师通过这一环节，渗透一种重要的数学思想 ，那就是转化的思想，引导学生
抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并 借助电脑课件的演
示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。】


（二） 数学资源

1.填空题。
（1）一个圆形桌面的直径是 2米，它的面积是（ ）平方米。
（2）鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（ ）平方米。
（3）用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（ ）厘米，画
出的这个圆的面积是（ ）平方厘米。
（4）将一个圆平均分成1 000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来
圆周长长10厘米，这个长方形的面积是 （ ）平方厘米。
2.一个水缸，从里面量，缸口直径是 50厘米，缸壁厚 5厘 米。要制做一个缸盖，使
它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴 上一圈金属
（不计接头），这个金属条长多少厘米？



答案：
1.（1）3.14 （2）314 （3） 8 200.96 （4）78.5
2.50÷2=25（厘米） 25+5=30（厘米） 3.14×30=2826（平方厘米） 3.14×30×
2=188.4（厘米）




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资料链接
你知道吗？
怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式 一算，结论就出来了。可是你可知
道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为了研究和解 决这个问题，不知遇
到了多少困苦，花费了多少精力和时间。
在平面图形中，以长方 形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，
如果横向用八块，纵向用六块，那一共 就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：
长×宽。
求平行四边形的面 积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方
形的长和宽，就是平行四边形的底和 高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。
求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的 三角形，成为一个平行四边形。这样，三
角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。因 此，求三角形面积的公式是：
底×高÷2。任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面 积，就等于这些
三角形面积的和。
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一 个正方形，占地52900平方米。它的底
座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积 的技术水平已经很高。
圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面 积，是数学
对人类智慧的一次考验。
也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我 们只要想办法做出一个正方形，使它的
面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能 做出这样的正方形呢？
你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。这个起源 于古希腊的
几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几 何
题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。

开普勒的求解方法

约翰尼斯·开普勒是德国天文学家，他发现了行星运动
的三大定律，这三大定律可 分别描述为：所有行星分别是在大
小不同的椭圆轨道上运行；在同样的时间里行星向径在轨道平

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面上所扫过的面积相等；行星公转周期的平方与它 同太阳距离的立方成正比。这三大定律最
终使他赢得了“天空立法者”的美名。为哥白尼的日心说提供了 最可靠的证据，同时他对光
学、数学也做出了重要的贡献，他是现代实验光学的奠基人。
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦天文学家第
谷遗留下来的大量 天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。
开普勒第一次告诉人们，地球围 绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。
提出圆面积公式。
开 普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古
代数学家用分割的方 法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不
断地增加分割次数。但是，不管分 割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是
圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必 须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小 扇形；不同的是，他一开始就把圆分成
无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以在最 后一个式子中，各段小弧
相加就是圆的周长2πR，所以有这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆
面积的新方法， 发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无 穷小的扇形面积，和它对应的
无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的 一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作 ，
称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。
一种新的理论，在开始 的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了
一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出 来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？
如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇 形OAB就不存在了；如果客观存在的面积
不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等 。开普勒把两者看作相等就不对了。
面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。
卡瓦利里的求解方法

他是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。
卡瓦利里想，开普勒把 圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，
就不好确定了。但是，只要小扇形还 是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分
下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度 为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉

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思之中。
有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，不 是可以看成
为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像< br>布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到
直线就 应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可
分量，直线是平面面 积的不可分量。
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书 ，组成书
的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。
1635年，当 《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里
的《不可分量几何学》。在这 本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立
体的不可分量；把直线看成是点的总和，把 平面看成直线的总和，把立体看成是平面的总和。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本 书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，
薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体 积就应该相等。他认为这个道理，
适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有 名的“卡瓦利里原理。”
事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖暅。比卡瓦利里早1000多 年，所以我们叫
它“祖暅原理”。
在一个圆里画一个最大的正方形，正方形占圆面积 的约63.7%，在一个圆外画一个最小
的正方形，正方形面积是圆形面积的157%。
在卡 瓦利里的观点上拓展，也可以将曲线看做不可分量。所以圆面积近似于无数个圆周
长曲线的拼接。

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