考研初试成绩查询-给老师的一封信400

专业学习资料平台网资源
小学数学典型应用题
小学数学中把含有数量关 系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。
任何一道应用题都由两部分构成。 第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。
应用题的条件和问题，组成了应 用题的结构。
应用题可分为一般应用题与典型应用题。
没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。
题目中有特殊的数量关系，可以用 特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资
料主要研究以下30类典型应用题：
1、归一问题
2、归总问题
3、和差问题
4、和倍问题
5、差倍问题
6、倍比问题
7、相遇问题
8、追及问题
9、植树问题
10、年龄问题

1 归一问题
【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量 。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1份数量
1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
11、行船问题
12、列车问题
13、时钟问题
14、盈亏问题
15、工程问题
21、方阵问题
22、商品利润问题
23、存款利率问题
24、溶液浓度问题
25、构图布数问题
16、正反比例问题 26、幻方问题
17、按比例分配
18、百分数问题
27、抽屉原则问题
28、公约公倍问题
19、“牛吃草”问题 29、最值问题
20、鸡兔同笼问题 30、列方程问题
1
网资源

专业学习资料平台网资源
解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.6÷5＝0.12（元）
（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）
列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？
解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）
（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）
列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）
答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。
例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）
（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5×7＝35（吨）
（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）
列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要运3次。
2 归总问题
【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题 ，叫归
总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几 小时行
的总路程等。
【数量关系】 1份数量×份数＝总量
总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1 服装厂原来做一 套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做
791套衣服的布，现在可以做 多少套？
解 （1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）
（2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）
列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）
答：现在可以做904套。
2
网资源

专业学习资料平台网资源
例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完
《红岩》？
解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）
（2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）
列成综合算式 24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以读完《红岩》。
例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天 慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大
家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）
（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）
列成综合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：这批蔬菜可以吃25天。
3 和差问题
【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数＝（和＋差）÷ 2 小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米）
答：长方形的面积为80平方厘米。
例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两 袋共重30千克，甲丙两袋共重22千
克，求三袋化肥各重多少千克。
解 甲乙两 袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大
数，丙是小数。由此 可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
3
网资源

专业学习资料平台网资源
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4 甲乙两车原来共 装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，
两车原来各装苹果多少筐？
解 “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙< br>车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此
甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙车筐数＝97－64＝33（筐）
答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
4 和倍问题
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分 之几），要求这两个数
各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？
解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆， 若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站
24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）
辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，
4
网资源

专业学习资料平台网资源
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；
又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；
这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，
甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙数＝28×2－4＝52
丙数＝28×3＋6＝90
答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
5 差倍问题
【含义】 已知两个数 的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数
各是多少，这类应用题叫做差倍问 题。
【数量关系】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少
岁？
解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）
答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比< br>上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
5
网资源

专业学习资料平台网资源
解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因
此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
本月盈利＝18＋30＝48（万元）
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米， 如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的
玉米是小麦的3倍？
解 由于每 天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－
94）。把几天后剩下 的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3
－1）倍， 因此
剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮的天数＝72÷9＝8（天）
答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6 倍比问题
【含义】 有两个已知的同 类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，
再用倍比的方法算出要求的数，这类应 用题叫做倍比问题。
【数量关系】总量÷一个数量＝倍数
另一个数量×倍数＝另一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）
（2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克）
列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师 生共
植树多少棵？
解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）共植树多少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
6
网资源

专业学习资料平台网资源
答：全县48000名师生共植树64000棵。
例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户 人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡
800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园 共收入多少元？
解 （1）800亩是4亩的几倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800亩收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000亩是800亩的几倍？ 16000÷800＝20（倍）
（4）16000亩收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）
答：全乡800亩果园共收入2222200元，
全县16000亩果园共收入44444000元。
7 相遇问题
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 南京到上海的水路长39 2千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的
船每小时行28千米，从上海开出的船每小 时行21千米，经过几小时两船相遇？
解 392÷（28＋21）＝8（小时）
答：经过8小时两船相遇。
例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，
他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每 小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在
距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲
过了中 点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
7
网资源

专业学习资料平台网资源
答：两地距离是84千米。
8 追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不 是同时出发，或者在不同
地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行 进速度较慢些，在一定时
间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20（天）
列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好马20天能追上劣马。
例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，他们从同一地点同时出发，
同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多 少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200） 米，要知小亮
的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则 跑500米用［40×（500
÷200）］秒，所以小亮的速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始 从甲地以每小时10千米的速
度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙 地追击。已知甲乙两地相距60千
米，问解放军几个小时可以追上敌人？
解 敌人逃跑时间 与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×
（22－6）］千 米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
＝220÷20＝11（小时）
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行< br>40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
8
网资源

专业学习资料平台网资源
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决 。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，
客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）
所以两站间的距离为 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］
＝88×4
＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是352千米。
例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每 分钟走60米。哥哥到校门口时发现
忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇 。问他们家离学校有多远？
解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相 同时间（从出发到相遇）
内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－ 60）米，
那么，二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷（90－60）＝12（分钟）
家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）
答：家离学校有900米远。
例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1
千米时，发现手表 慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家
一开始就跑步， 可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟 ，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后
段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少 用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行
少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行 少用［9－（10－5）］分钟。
所以步行1千米所用时间为 1÷［9－（10－5）］
＝0.25（小时）＝15（分钟）
跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
跑步速度为每小时 1÷11／60＝5.5（千米）
答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。
第一段路 1千米 那么第2段路上 走路的话会迟到10-5=5分钟 跑步刚好 说明第2段
路跑步比走路快了5分钟
而一开始就跑步可以快9分钟 那就是说原来1千米快了4分钟 走路是4千米每小时 用掉
9
网资源

专业学习资料平台网资源
15分钟了 跑步就是用掉11分钟 那么111就是每分钟多少千米了 多简单
求采纳 求好评
还有别说我的答案错了 我只是没把小时=60分钟乘进去！你10千米每小时 你算一下 1千
米时6分钟 有木有？ 走路时15分钟 有木有？你已经节约了9分钟！你怎么从家到学校跑
步比走路快9分钟？难道家离学校 就是1千米么？有木有？你错了！有木有！你傻了！有木
有？
对了 看了下你的方程！你的X是跑步的还是走路的？我靠 （X-14）z是什么？假如X是跑
步总时间！那应该是(X-1z)z+1=y ！你怎么不直接XZ =y？假如X是走路总时间那么是
(X-14)*4+1=y。。。你怎么不4X=y?这就是你所谓的 方程。。。。有木有？第2条我更迷茫了，你
是迷茫哥还是我是还是5小家伙是？有木有！
我的改一下就对了：
（X4-XY）*60=9;
【(X-1)Y-(X-1)4】*60=5

9 植树问题
【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求
第三个量，这类应用题 叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树 棵数＝距离÷棵距
方形植树 棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
解 400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白杨树。
例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个
照明灯？
10
网资源

专业学习资料平台网资源
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（个）
答：一共可以安装106个照明灯。
例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地 板砖的长和宽分别是60厘米和40厘
米，问至少需要多少块地板砖？
解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）
答：至少需要400块地板砖。
例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每 隔50米有一个电杆，每个电杆上
安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11（个）
（2）桥的两边有多少个电杆？ 11×2＝22（个）
（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）
答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10 年龄问题
【含义】 这类问题是 根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两
人年龄之间的倍数关系随着年龄的 增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问 题的解题思路
是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？
解 35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37－7＝30（岁）
（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？
解 今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，
11
网资源

专业学习资料平台网资源
今年二人的年龄和为 49＋3×2＝55（岁）
把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为 55
÷（4＋1）＝11（岁）
今年父亲年龄为 11×4＝44（岁）
答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
例4 甲对乙说：“当我的岁 数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的
岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁” 。求甲乙现在的岁数各是多少？
解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一今 年 将来某一年
年
甲 □岁 △岁 61
岁
乙 4岁 □岁 △
岁
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□－ 4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，
61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为 （61－4）÷3＝19（岁）
甲今年的岁数为 △＝61－19＝42（岁）
乙今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁）
答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11 行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只
本身航行的速度，也就 是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水
速之和；船只逆水航行 的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
12
网资源

专业学习资料平台网资源
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程
需用几小时？
解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小
时 320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速为 25－15＝10（千米）
船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时）
答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地 需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小
时，返回原地需多少时间？
解由题意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可见 （36－20）相当于水速的2倍，
所以， 水速为每小时 （36－20）÷2＝8（千米）
又因为， 乙船速－水速＝360÷15，
所以， 乙船速为 360÷15＋8＝32（千米）
乙船顺水速为 32＋8＝40（千米）
所以， 乙船顺水航行360千米需要
360÷40＝9（小时）
答：乙船返回原地需要9小时。
例3 一架飞机飞行 在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，
飞机逆风飞行3小时到达， 顺风飞回需要几小时？
解 这道题可以按照流水问题来解答。
（1）两城相距多少千米？
（576－24）×3＝1656（千米）
（2）顺风飞回需要多少小时？
1656÷（576＋24）＝2.76（小时）
列成综合算式
［（576－24）×3］÷（576＋24） ＝2.76（小时）
13
网资源

专业学习资料平台网资源
答：飞机顺风飞回需要2.76小时。
12 列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速－乙车速）
火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾 离
开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
（1）火车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）
（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米）
列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：这列火车长300米。
例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥
的长度是多少米？
解 火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（2 00
米＋桥长），所以，桥长为
8×125－200＝800（米）
答：大桥的长度是800米。
例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速
度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（2 25＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因
此，所求的时间为
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。
例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每 秒3米的速度迎面走
来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？
14
网资源

专业学习资料平台网资源
解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米 的大
桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但 通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在
（88－58）秒的时间内行驶了（ 2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒
（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，
因此，车长为 25×58－1250＝200（米）
答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。
13 时钟问题
【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两
针夹角为60度等。时 钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】 分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为1112。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解 钟面的一周分为60格，分针每分 钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走560
＝112格。每分钟分针比时针多走（ 1－112）＝1112格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20
格。所以
分针追上时针的时间为 20÷（1－112）≈ 22（分）
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解 钟面上有60格，它的14是15格，因而两 针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前
或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后 （5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分
针就要比时针多走 （5×4－15）格 ，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5
×4＋15）格。再根据1分钟分针比时 针多走（1－112）格就可以求出二针成直角的时间。
（5×4－15）÷（1－112）≈ 6（分）
15
网资源

专业学习资料平台网资源
（5×4＋15）÷（1－112）≈ 38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要 与时针重合，就得追上时针。这实际上是一
个追及问题。
（5×6）÷（1－112）≈ 33（分）
答：6点33分的时候分针与时针重合。
14 盈亏问题
【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏） ，
或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 给幼儿园小 朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小
朋友？有多少个苹果？
解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友12人，有47个苹果。
例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完
全 长仍得延长4天。这条路全长多少米？
解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数 ”，按照“参加分配的总人数＝（大
亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
这条路全长为 300×（22＋4）＝7800（米）
答：这条路全长7800米。
16
网资源

专业学习资料平台网资源
例3 学 校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。
问有多少车？多 少人？
解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有
（1）有多少车？ （30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）
答：有6 辆车，有270人。
15 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间 的关系。这类问题在已知
条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、 “一条水渠”、“一件工
作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的
倒数（ 它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者
之间的 关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，
需要几天完成？
解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的110；乙队单独做需15天完成，每天
完成这项工程的115；两队合做，每天可以完成这项工程的（110＋115）。
由此可以列出算式： 1÷（110＋115）＝1÷16＝6（天）
答：两队合做需要6天完成。
例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两 人合做，完成任务时甲比乙
多做24个，求这批零件共有多少个？
解 设总工作量为1，则 甲每小时完成16，乙每小时完成18，甲比乙每小时多完成（16－18），
二人合做时每小时完成（ 16＋18）。因为二人合做需要［1÷（16＋18）］小时，这个时间内，甲比乙
多做24个零件， 所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
17
网资源

专业学习资料平台网资源
24÷［1÷（16＋18）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（16－18）＝168（个）
答：这批零件共有168个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 16∶18＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 4＋3 ＝17
所以，这批零件共有 24÷17＝168（个）
例3 一件工作，甲独做12 小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做
2小时，余下的由乙丙二人合做，还 需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算 带来方便，因此，
我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙 三人的工作效率分别是
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完成。
例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小< br>时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水 池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量
就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。 要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水
管 、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水
管 15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2，
所以，2小时内注满一池水
18
网资源

专业学习资料平台网资源
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
16 正反比例问题
【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的比
的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们 的关系叫做正比例关系。正比例应用
题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关 联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，
这两种量就叫做 成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知
识的综合运用。
【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的
性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1 修一条公路，已修的是未修的13，再 修300米后，已修的变成未修的12，求这条公
路总长是多少米？
解 由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300
÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 这条公路总长3600米。
例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天
就可以看完？
19
网资源

专业学习资料平台网资源
解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15
36X＝24×15 X＝10
答：10天就可以看完。
例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
A


36 B 16
25 20
解 由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比， 所以每一上下两个小矩形面积之
比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三 个小矩形的宽也相等。因此，
A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16
解这两个比例，得 A＝45 B＝20
所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面积是162
17 按比例分配问题
【含义】 所谓按比例分配，就 是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般
有两种形式：一是用比或连比的形式反映各 部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总
份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占 总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份
数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的 前后项分别作分子），再按照求一个数的几分
之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人 ，
三班有45人，三个班各植树多少棵？
解 总份数为 47＋48＋45＝140
一班植树 560×47140＝188（棵）
20
网资源

专业学习资料平台网资源
二班植树 560×48140＝192（棵）
三班植树 560×45140＝180（棵）
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是
多少厘米？
解 3＋4＋5＝12 60×312＝15（厘米）
60×412＝20（厘米）
60×512＝25（厘米）
答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的12，二< br>儿子分总数的13，三儿子分总数的19，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法
解，则 很容易得到
12∶13∶19＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×917＝9
17×617＝6 17×217＝2
答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个 车
间共多少人？
人 数
对应的份数
80人
12－8
一共多少人？
8＋12＋21
解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三个车间一共820人。
18 百分数问题
【含义】 百分数是表示一 个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分
数常常可以通分、约分，而百分数则无需 ；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表
示“率”；分数的分子、分母必须是自然 数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。
在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
21
网资源

专业学习资料平台网资源
百分数＝比较量÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：
（1） 求一个数是另一个数的百分之几；
（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分
之几？
解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%
（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之
几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比
较 量
所以 （525－420）÷525＝0.2＝20%
或者 1－420÷525＝0.2＝20%
答：男职工人数比女职工少20%。
例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之
几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25%
或者 525÷420－1＝0.25＝25%
答：女职工人数比男职工多25%。
例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分
之几？
解 （1）男职工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女职工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：
增长率＝增长数÷原来基数×100%
合格率＝合格产品数÷产品总数×100%
22
网资源

专业学习资料平台网资源
出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%
缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%
出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%
命中率＝命中次数÷总次数×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
19 “牛吃草”问题
【含义】 “ 牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于
要考虑草边吃边长这 个因素。
【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1 一块草地，10头 牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5
天可以把草吃完？
解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5
天可以把草吃 完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草
量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为， 一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天
内的 草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
23
网资源

专业学习资料平台网资源
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发 现漏洞时已经进了一些水。如果有
12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能 淘完。求17人几小时可以淘完？
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一 问给出了人数（相当于“牛数”），
求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2 ），
所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。
20 鸡兔同笼问题
【含义】 这是古典的算术 问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有
多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。 已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫
做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有
24
网资源

专业学习资料平台网资源
鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。
如果先 假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先
假设， 再置换，使问题得到解决。
例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚 数共有九十四。请你仔细
算一算，多少兔子多少鸡？
解 假设35只全为兔，则
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23只，有兔12只。
例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求
白菜有多少亩？
解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有< br>两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总 数”
相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜地有10亩。
例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每
本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本）
25
网资源

专业学习资料平台网资源
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少
只？
解 假设100只全都是鸡，则有
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡80只，有兔20只。
例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚
各多少人？
解 假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因 为把小
和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小 和尚换掉
一个大和尚可减少馍（3－13）个。因此，共有小和尚 （3×100－100）÷（3－13）
＝75（人）
共有大和尚 100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21 方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根 据已知条件求总人数或总
物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种 。实心方阵的求法是以每边的数自乘；
空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
26
网资源

专业学习资料平台网资源
例1 在 育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的
同学一共有多少人？
解 22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解 10－（10－3×2） ＝84（人）
答：全方阵84人。
例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学
生共多少人？
解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两 个方向各增加一层，则缺
少9只棋子，问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排 多1棵，最下面一
排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？
解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
21 方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总
物数，这类问题就叫做方 阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
27
网资源

专业学习资料平台网资源
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种 。实心方阵的求法是以每边的数自乘；
空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演< br>的同学一共有多少人？
解 22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解 10－（10－3×2）
＝84（人）
答：全方阵84人。
例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队
学生共多少人？
解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两 个方向各增加一层，则缺
少9只棋子，问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多 1棵，最下面一排
有5棵树。这个树林一共有多少棵树？
28
网资源

专业学习资料平台网资源
解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
22 商品利润问题
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损
率等方面的问题。
【数量关系】 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到
二月份的价格变 动情况如何？
解 设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1 ＋10%）×（1－10%），
所以二月份售价比原价下降了 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了1%。
例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件 衣服用去52元，已知衣服原来
按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是< br>原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 52÷80%÷（1
＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为 （52－50）÷50＝4%
答：该店是盈利的，盈利率是4%。
例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出8 0%后，
剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少 折扣？
解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原 定价
是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利 多少元。剩下
的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
29
网资源

专业学习资料平台网资源
剩下的作业本每册盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价 便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按
20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元 ，求乙店的定价。
解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9
甲店定价为 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得 乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是240元。
23 存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本 金、利率、存期这三个因素有
关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占 本金的百分数；月利率是指存
期一月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%
利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期
多长。
解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，
所以存款月数为 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：李大强的存款期是30月即两年半。
例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7. 92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲
乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本 带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时
取出，那么，谁的收益多？多多少元？
解 甲的总利息
［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
30
网资源

专业学习资料平台网资源
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。
24 溶液浓度问题
【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水
或其它液体）、溶质、 溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后
的混合物叫溶液。溶质 的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质
浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把 它变成30%
的糖水，需加糖多少克？
解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水
各多少 克？
解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总 重量600克不变的情况下，用15%的溶液来
“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100 克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所
以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
例3 甲容器有浓度为 12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙
中，混合后再把乙中现有盐水的 一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中
的盐水同样多。求最后乙中盐水 的百分比浓度。
31
网资源

专业学习资料平台网资源
解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器
中最 后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：

原 有
甲容器
盐水500
盐500×12%＝60
第一次把甲中一盐水500÷2＝250
半倒入乙中后 盐60÷2＝30
盐水500＋250＝750
盐30
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
盐水500
盐45－36＋15
＝24
由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
25 构图布数问题
【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问 题。所谓“构图”，就是设计
出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问 题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】 根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构
图布数，符合题目所给的条件。
例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2＝10
因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。
例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。
乙容器
水500
第而次把乙中一盐水250＋375＝625
半倒入甲中后 盐30＋15＝45
第三次使甲乙中 盐水500
盐水同样多 盐45－9＝36
32
网资源

专业学习资料平台网资源
解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9
棵。 4×3－3＝9
例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计 一种图形，填入
这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。
解 共有五种写法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、 6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的
交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设 计出以下三种图形：
26 幻方问题
【含义】 把n×n个自然数排在正方形 的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和
都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方 。
【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。
三级幻方的幻和＝45÷3＝15
五级幻方的幻和＝325÷5＝65
【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确
定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例1 把1，2，3，4，5，6，7， 8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角
线上三个数的和相等。
解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九个数在这八条线上反复出现构成 幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到
四次（即出现在中行、中列、和两条对角线 这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用
到两次。看来，用到四次的“中心数”地位 重要，宜优先考虑。
设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （1＋2＋3
＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
即 45＋3Χ＝60
所以 Χ＝5
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们
分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别
在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。
33
网资源
2
9
4
7
5
3
6
1
8

专业学习资料平台网资源
例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假设符合要求的数都已经填好，那么 三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，
我们看18能写成哪三个数之和： 最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大数是7： 18＝7＋6＋5 刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间 方格的数，共用了四次。
观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。
9
4
5
2
6
10
7
8
3
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的
和都为18。
最后确定其它方格中的数。如图。
27 抽屉原则问题
【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，
剩下的一个放进另一个 抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有
一个抽屉中放了2只或 2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n＋ 1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至
少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。
抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要
放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么 至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更
多的元素。
【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
34
网资源

专业学习资料平台网资源
解 由于1999年是润年， 全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的
学生看作367个“元素 ”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更
多的“元素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
例2 据说人的头发不超过20万跟， 如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西
省至少有多少人头发根数一样多吗？
解 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，
把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到
3645÷20＝182……5 根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183
答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。
例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有 颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8
个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至 少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相
同？
解 把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋
1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
28 公约公倍问题
【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】 先确定 题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约
数和最小公倍数的求法，最常用的是“短 除法”。
例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最 大的正方
形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？
解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答：正方形的边长是4厘米。
例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要
30分 钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同
时又 在起点相遇？
35
网资源

专业学习资料平台网资源
解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少
要 多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。 36、30、48的最小公倍数
是720。
答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3 一个四边 形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，
若四边上每两棵树间距 相等，至少要植多少棵树？
解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树 的棵数尽量少，须使相邻两树的
间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数 的最大公约数12。
所以，至少应植树 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：至少要植26棵树。
例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又
知棋子总数在15 0到200之间，求棋子总数。
解 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数 。因为4、5、6的最小公倍数是
60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为
60×3＋1＝181（个）
答：棋子的总数是181个。
29 最值问题
【含义】 科学的发展观认 为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多
办事，办好事，以最小的代价取得最大的 效益。这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例1 在火炉上烤饼，饼的 两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现
在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？
解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。< br>这样做，用的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤< br>100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中 到一个
煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？
36
网资源

专业学习资料平台网资源
解 我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到1号场总费用为 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中到2号场总费用为 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中到3号场总费用为 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中到4号场总费用为 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中到5号场总费用为 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。
答：集中到5号煤场费用最少。
例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10

台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？
解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京
往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调
往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。
30 列方程问题
【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。
【数量关系】 方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容 ，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未
知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数 都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，
在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须 检验。
37
网资源
北京
上海
重庆
800
500
武汉
400
300

专业学习资料平台网资源
例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？
解 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。
找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。
列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50
第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50
答：甲班有50人，乙班有40人。
例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？
解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35 －Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－
Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94” 可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程
得 Χ＝12 则35－Χ＝23
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，
则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：鸡是23只，兔是12只。
例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车
每次运多少袋？
解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。 940
÷4－125＝110（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。
（940－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程
940÷4－Χ＝125
解方程得 Χ＝110
第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得
（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110
答：乙汽车每次运110袋。
38
网资源

专业学习资料平台网资源
一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往 乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七
分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之 七。甲乙两地相距多少千米？
解：把全部路程看作单位1，那么客车到达终点行了全程，也就是单位1 。当客车到达乙地时，货车行了
全程的八分之七，相同的时间，路程比就是速度比。由此我们可以知道客 车货车的速度比=1：78=8：7，
所以客车行的路程是货车的87倍
所以当客车行了全程的47时，
货车行了全程的（47）（87）=12
那么甲乙两地相距180（12）=360千米，
12就是180千米的对应分率
分析：此题中运用了单位1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关系，
一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成反比
例，这个是基本常识。
43、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前 行，当甲车到达B地时，乙
车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。
解：将全部路程看作单位1，速度比=路程比=3：2，也就是说乙行的路程是甲的23
那么甲到达B地时，行了全部路程，乙行了1×23=23，此时距离终点A还有1-23=13 那么全程=60（13）=180千米，速度和=1802=90千米小时，甲的速度=90×3（3+2） =54千米小时
乙的速度=90-54=36千米小时
从甲地去乙地，如车速比原来提高1 9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，
再将车速比原来提高13，就比预 定时间提前30分钟赶到。甲乙两地相距多少千米？
解：20分钟=13小时。30分钟=12小时
因为路程一定，时间和速度成反比，那么原来的车速和提高19后的车速之比为1：（1+19）=9： 10
那么时间比为10：9，将原来的时间看作单位1，那么提速19后的时间为1x910=910
所以原来需要的时间为（13）（1-910）=103小时
第二次行驶完72千米后，原来 的速度和提高后的速度比为1：（1+13）=3：4，那么时间比为4：3
将行驶完72千米后的时间看作单位1，那么这一段用的时间为（12）（1-34）=2小时
那么原来行驶72千米用的时间=103-2=43小时，原来的速度=72（43）=54千米小时
甲乙两地相距=54×103=180千米
14、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相 对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙
车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米 在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60
39
网资源

专业学习资料平台网资源
15、千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？
解：原来的相遇时间=10-4=6小时，乙的速度=60千米小时
BC距离=60×2.5=150千米（从凌晨4时到6时30分是2.5小时）
原来相遇时乙应该走的距离=60×6=360千米
甲比原来夺走360-150-210千 米，那么甲行驶6-2.5=3.5小时应该行驶的距离=350-210=140千米
所以甲的速度 =1403.5=40千米小时，那么AB距离=（40+60）×6=600千米，AC距离=600-150 =450千
米
实际相遇的时间=45040=11.25小时=11小时15分钟，那么相遇 时的时间是15小时15分
乙到达A地需要的时间=45060=7.5小时=7小时30分
所以乙到达A地时间为15小时15分+7小时30分=22时45分
9、AB两地相距60 千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B
地，甲乙两车的速 度比是2:5，求乙车的速度。
如果甲不比乙车先行1小时，那么乙要比甲车早1+3060=1.5小时到达B地
甲乙的速度比=2：5，那他们用的时间比为5：2
将甲用的时间看作单位1，那么乙用的时间是甲的25
甲比乙多用1-25=35
所以甲行完全程用的时间为1.5（35）=2.5小时，乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1小时
那么乙车的速度=601=60千米小时
10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每 分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处
相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明 每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两
人的家相距多少米？
解：两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：90=7：9
时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为9：7
将第一次相遇的时间看做单位1那么第二次相遇小明用的时间为79
第一次比第二次多用的时间为1-79=29那么第一次用的时间为4（29）=18分钟
所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米
方程：设第一次相遇时间为t分
90×[（52t-52x4）52]=70a t=18分钟（过程从略）
所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米
40
网资源

专业学习资料平台网资源
11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小 时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距
196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全 程的80%，问货车行完全程用多少小时 ？
解：将全部路程看作单位1，那么相距196千米时，
客车行驶了全程的1×23=23，距离目的地还有1-23=13，货车行驶了全程的1×80%=4 5
那么全程=196（45-13）=196（715）=420千米，客车和货车的速度比=23： 45=5：6
客车和货车的速度和=4205=84千米小时，货车的速度=84×611=50411千米小时
那么货车行完全程需要420（50411）=556小时=9小时10分钟
客货两车分别从 甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇，
两次相遇的地点相 距3000米。已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？（要算
式和解题过程）
解：将全部的路程看作单位1，
货车和客车的速度比=2：3
第一次相遇货车行了全程的25，客车行了全程的35
因为是2次相遇，所以两车走的路程一 共是3倍甲乙两地距离，也就是1x3=3，货车行了整个过程的
3x25=65
因此第二次相遇是在距离甲地65-1=15处
第一次相遇是在距离甲地35处，那么两处相 距35-15=25，甲乙两地距离3000（25）
=7500米

12、甲、乙两 辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，
这时甲车与乙车所行的 路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？

设甲的速度为2a千米小时，乙的速度为3a千米小时，总路程=（2a+3a）×3=15a千米
甲行的路程=15a×25=6a 15a2-6a=18
15a-12a=36 3a=36 a=12
甲的速度=12x2=24千米小时，乙的速度=12x3=36千米小时
或者将全部路程看 作单位1，那么相遇时甲行了25，乙行了1-25=35，全程=（12-25）=110
全程=18（110）=180千米
甲乙的速度和=1803=60千米小时，甲的速度=6 0x25=24千米小时，乙的速度=60-24=36千米小时
13、甲乙两车同时从AB两地出发 ，相向而行，甲与乙的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提
高了4分之一，乙的速度提高了 3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第
一次相遇点48KM，AB两地 相距多少千米？
41
网资源

专业学习资料平台网资源
解：将全部的路程看作单位1
因为时间一样，路程比就是速度比，所以相遇时，甲行了全程的 1x4（5+4）=49，乙行了1-49=59
此时甲乙提速，速度比由4：5变为4（1+14）：5（1+13）=5：103=3:4
甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离，也就是2
此时第二次相遇，乙行了全程的2x4（3 +4）=87，第二次相遇点的距离占全部路程的87-49=4463
距离第一次相遇点4463-49=1663 ，AB距离=48（1663）=189千米

14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份 走
70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离
解：乙丙的速度差=60-50=10米分
那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）×15=1800米
那么甲乙相遇时用的时间=180010=180分钟
那么AB距离=（70+60）×180=23400米
15、甲乙两人同时从山脚开始爬山 ，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的
二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有5 00米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。
解：下山速度是上山的2倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的12
速度都是上山的速度。那么，原来上山的路程，占总路程的23，
下山路程占总路程的13， 甲返回山脚，乙一共行了全程的23+13×12=56，乙的速度是甲的56。甲
到达山顶，即行了全 程的23，乙应该行了全程的：23×56=59，实际上乙行了全程的23减去500
米
所以全程为：500÷（23-59）=4500米
从山脚到山顶的距离为：4500×23=3000米
16、汽车从A地到B地，如果速度比 预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多18，如果速度比预
定的增加13，到达时间将比预定的 早1小时。求A,B两地间的路程？
解：将原来的时间看到单位1，那么每小时慢5千米，用的时间是1×（1+18）=98
那么实际用的时间和原来的时间之比为98：1=9：8，那么原来速度和实际速度之比为8：9
那么实际速度是原来速度的89，那么
原来的速度=5（1-89）=45千米小时
第二次速度增加13，实际速度与原来的速度之比为为
（1+13）：1=4：3
实际用的时间和原来的时间之比为3：4，那么实际用的时间是原来的34
42
网资源

专业学习资料平台网资源
原来所用的时间为1（1-34）=4小时，AB距离=45×4=180千米
简析：此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。
17、两辆汽车 同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的
速度前进，各 自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？
解：我们拿从东站出来的车考虑
在整个相遇过程中，两车一共走了3个全程
第一次相遇时，从东站出来的车走了45千米
那么整个过程走了45×3=135千米
此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米
所以全程=（135-9）（1+12）=84千米
将全部路程看作单位1，第二次相遇时这辆车走了1又12还多9千米。


43
网资源

专业学习资料平台网资源
小学数学典型应用题
小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样 所形成的题目叫做应用题。
任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部 分是所求问题（简称问题）。
应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。
应用题可分为一般应用题与典型应用题。
没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。
题目中有特殊的数量关系，可以用 特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资
料主要研究以下30类典型应用题：
1、归一问题
2、归总问题
3、和差问题
4、和倍问题
5、差倍问题
6、倍比问题
7、相遇问题
8、追及问题
9、植树问题
10、年龄问题

1 归一问题
【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量 。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1份数量
1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
11、行船问题
12、列车问题
13、时钟问题
14、盈亏问题
15、工程问题
21、方阵问题
22、商品利润问题
23、存款利率问题
24、溶液浓度问题
25、构图布数问题
16、正反比例问题 26、幻方问题
17、按比例分配
18、百分数问题
27、抽屉原则问题
28、公约公倍问题
19、“牛吃草”问题 29、最值问题
20、鸡兔同笼问题 30、列方程问题
1
网资源

专业学习资料平台网资源
解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.6÷5＝0.12（元）
（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）
列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？
解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）
（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）
列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）
答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。
例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）
（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5×7＝35（吨）
（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）
列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要运3次。
2 归总问题
【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题 ，叫归
总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几 小时行
的总路程等。
【数量关系】 1份数量×份数＝总量
总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1 服装厂原来做一 套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做
791套衣服的布，现在可以做 多少套？
解 （1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）
（2）现在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）
列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）
答：现在可以做904套。
2
网资源

专业学习资料平台网资源
例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完
《红岩》？
解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）
（2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）
列成综合算式 24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以读完《红岩》。
例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天 慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大
家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）
（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）
列成综合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：这批蔬菜可以吃25天。
3 和差问题
【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数＝（和＋差）÷ 2 小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米）
答：长方形的面积为80平方厘米。
例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两 袋共重30千克，甲丙两袋共重22千
克，求三袋化肥各重多少千克。
解 甲乙两 袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大
数，丙是小数。由此 可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
3
网资源

专业学习资料平台网资源
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4 甲乙两车原来共 装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，
两车原来各装苹果多少筐？
解 “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙< br>车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此
甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙车筐数＝97－64＝33（筐）
答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
4 和倍问题
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分 之几），要求这两个数
各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？
解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。
例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆， 若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站
24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）
辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，
4
网资源

专业学习资料平台网资源
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；
又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；
这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，
甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙数＝28×2－4＝52
丙数＝28×3＋6＝90
答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
5 差倍问题
【含义】 已知两个数 的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数
各是多少，这类应用题叫做差倍问 题。
【数量关系】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少
岁？
解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）
答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比< br>上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
5
网资源

专业学习资料平台网资源
解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因
此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
本月盈利＝18＋30＝48（万元）
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米， 如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的
玉米是小麦的3倍？
解 由于每 天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－
94）。把几天后剩下 的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3
－1）倍， 因此
剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮的天数＝72÷9＝8（天）
答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6 倍比问题
【含义】 有两个已知的同 类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，
再用倍比的方法算出要求的数，这类应 用题叫做倍比问题。
【数量关系】总量÷一个数量＝倍数
另一个数量×倍数＝另一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）
（2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克）
列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师 生共
植树多少棵？
解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）共植树多少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
6
网资源

专业学习资料平台网资源
答：全县48000名师生共植树64000棵。
例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户 人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡
800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园 共收入多少元？
解 （1）800亩是4亩的几倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800亩收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000亩是800亩的几倍？ 16000÷800＝20（倍）
（4）16000亩收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）
答：全乡800亩果园共收入2222200元，
全县16000亩果园共收入44444000元。
7 相遇问题
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 南京到上海的水路长39 2千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的
船每小时行28千米，从上海开出的船每小 时行21千米，经过几小时两船相遇？
解 392÷（28＋21）＝8（小时）
答：经过8小时两船相遇。
例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，
他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每 小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在
距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲
过了中 点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
7
网资源

专业学习资料平台网资源
答：两地距离是84千米。
8 追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不 是同时出发，或者在不同
地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行 进速度较慢些，在一定时
间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20（天）
列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好马20天能追上劣马。
例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，他们从同一地点同时出发，
同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多 少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200） 米，要知小亮
的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则 跑500米用［40×（500
÷200）］秒，所以小亮的速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始 从甲地以每小时10千米的速
度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙 地追击。已知甲乙两地相距60千
米，问解放军几个小时可以追上敌人？
解 敌人逃跑时间 与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×
（22－6）］千 米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
＝220÷20＝11（小时）
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行< br>40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
8
网资源

专业学习资料平台网资源
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决 。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，
客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）
所以两站间的距离为 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］
＝88×4
＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是352千米。
例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每 分钟走60米。哥哥到校门口时发现
忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇 。问他们家离学校有多远？
解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相 同时间（从出发到相遇）
内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－ 60）米，
那么，二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷（90－60）＝12（分钟）
家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）
答：家离学校有900米远。
例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1
千米时，发现手表 慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家
一开始就跑步， 可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟 ，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后
段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少 用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行
少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行 少用［9－（10－5）］分钟。
所以步行1千米所用时间为 1÷［9－（10－5）］
＝0.25（小时）＝15（分钟）
跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟）
跑步速度为每小时 1÷11／60＝5.5（千米）
答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。
第一段路 1千米 那么第2段路上 走路的话会迟到10-5=5分钟 跑步刚好 说明第2段
路跑步比走路快了5分钟
而一开始就跑步可以快9分钟 那就是说原来1千米快了4分钟 走路是4千米每小时 用掉
9
网资源

专业学习资料平台网资源
15分钟了 跑步就是用掉11分钟 那么111就是每分钟多少千米了 多简单
求采纳 求好评
还有别说我的答案错了 我只是没把小时=60分钟乘进去！你10千米每小时 你算一下 1千
米时6分钟 有木有？ 走路时15分钟 有木有？你已经节约了9分钟！你怎么从家到学校跑
步比走路快9分钟？难道家离学校 就是1千米么？有木有？你错了！有木有！你傻了！有木
有？
对了 看了下你的方程！你的X是跑步的还是走路的？我靠 （X-14）z是什么？假如X是跑
步总时间！那应该是(X-1z)z+1=y ！你怎么不直接XZ =y？假如X是走路总时间那么是
(X-14)*4+1=y。。。你怎么不4X=y?这就是你所谓的 方程。。。。有木有？第2条我更迷茫了，你
是迷茫哥还是我是还是5小家伙是？有木有！
我的改一下就对了：
（X4-XY）*60=9;
【(X-1)Y-(X-1)4】*60=5

9 植树问题
【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求
第三个量，这类应用题 叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树 棵数＝距离÷棵距
方形植树 棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3
面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
解 400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白杨树。
例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个
照明灯？
10
网资源

专业学习资料平台网资源
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（个）
答：一共可以安装106个照明灯。
例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地 板砖的长和宽分别是60厘米和40厘
米，问至少需要多少块地板砖？
解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）
答：至少需要400块地板砖。
例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每 隔50米有一个电杆，每个电杆上
安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11（个）
（2）桥的两边有多少个电杆？ 11×2＝22（个）
（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）
答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10 年龄问题
【含义】 这类问题是 根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两
人年龄之间的倍数关系随着年龄的 增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问 题的解题思路
是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？
解 35÷5＝7（倍）
（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37－7＝30（岁）
（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？
解 今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，
11
网资源

专业学习资料平台网资源
今年二人的年龄和为 49＋3×2＝55（岁）
把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此，今年儿子年龄为 55
÷（4＋1）＝11（岁）
今年父亲年龄为 11×4＝44（岁）
答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。
例4 甲对乙说：“当我的岁 数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的
岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁” 。求甲乙现在的岁数各是多少？
解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一今 年 将来某一年
年
甲 □岁 △岁 61
岁
乙 4岁 □岁 △
岁
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□－ 4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，
61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为 （61－4）÷3＝19（岁）
甲今年的岁数为 △＝61－19＝42（岁）
乙今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁）
答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11 行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只
本身航行的速度，也就 是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水
速之和；船只逆水航行 的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
12
网资源

专业学习资料平台网资源
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程
需用几小时？
解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小
时 320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速为 25－15＝10（千米）
船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时）
答：这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地 需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小
时，返回原地需多少时间？
解由题意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可见 （36－20）相当于水速的2倍，
所以， 水速为每小时 （36－20）÷2＝8（千米）
又因为， 乙船速－水速＝360÷15，
所以， 乙船速为 360÷15＋8＝32（千米）
乙船顺水速为 32＋8＝40（千米）
所以， 乙船顺水航行360千米需要
360÷40＝9（小时）
答：乙船返回原地需要9小时。
例3 一架飞机飞行 在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，
飞机逆风飞行3小时到达， 顺风飞回需要几小时？
解 这道题可以按照流水问题来解答。
（1）两城相距多少千米？
（576－24）×3＝1656（千米）
（2）顺风飞回需要多少小时？
1656÷（576＋24）＝2.76（小时）
列成综合算式
［（576－24）×3］÷（576＋24） ＝2.76（小时）
13
网资源

专业学习资料平台网资源
答：飞机顺风飞回需要2.76小时。
12 列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速－乙车速）
火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）
÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾 离
开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？
解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
（1）火车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）
（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米）
列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：这列火车长300米。
例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥
的长度是多少米？
解 火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（2 00
米＋桥长），所以，桥长为
8×125－200＝800（米）
答：大桥的长度是800米。
例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速
度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（2 25＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因
此，所求的时间为
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。
例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每 秒3米的速度迎面走
来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？
14
网资源

专业学习资料平台网资源
解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米 的大
桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但 通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在
（88－58）秒的时间内行驶了（ 2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒
（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，
因此，车长为 25×58－1250＝200（米）
答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。
13 时钟问题
【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两
针夹角为60度等。时 钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】 分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为1112。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解 钟面的一周分为60格，分针每分 钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走560
＝112格。每分钟分针比时针多走（ 1－112）＝1112格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20
格。所以
分针追上时针的时间为 20÷（1－112）≈ 22（分）
答：再经过22分钟时针正好与分针重合。
例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解 钟面上有60格，它的14是15格，因而两 针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前
或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后 （5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分
针就要比时针多走 （5×4－15）格 ，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5
×4＋15）格。再根据1分钟分针比时 针多走（1－112）格就可以求出二针成直角的时间。
（5×4－15）÷（1－112）≈ 6（分）
15
网资源

专业学习资料平台网资源
（5×4＋15）÷（1－112）≈ 38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。
例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要 与时针重合，就得追上时针。这实际上是一
个追及问题。
（5×6）÷（1－112）≈ 33（分）
答：6点33分的时候分针与时针重合。
14 盈亏问题
【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏） ，
或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1 给幼儿园小 朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小
朋友？有多少个苹果？
解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友12人，有47个苹果。
例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完
全 长仍得延长4天。这条路全长多少米？
解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数 ”，按照“参加分配的总人数＝（大
亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
这条路全长为 300×（22＋4）＝7800（米）
答：这条路全长7800米。
16
网资源

专业学习资料平台网资源
例3 学 校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。
问有多少车？多 少人？
解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有
（1）有多少车？ （30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）
答：有6 辆车，有270人。
15 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间 的关系。这类问题在已知
条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、 “一条水渠”、“一件工
作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的
倒数（ 它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者
之间的 关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，
需要几天完成？
解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的110；乙队单独做需15天完成，每天
完成这项工程的115；两队合做，每天可以完成这项工程的（110＋115）。
由此可以列出算式： 1÷（110＋115）＝1÷16＝6（天）
答：两队合做需要6天完成。
例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两 人合做，完成任务时甲比乙
多做24个，求这批零件共有多少个？
解 设总工作量为1，则 甲每小时完成16，乙每小时完成18，甲比乙每小时多完成（16－18），
二人合做时每小时完成（ 16＋18）。因为二人合做需要［1÷（16＋18）］小时，这个时间内，甲比乙
多做24个零件， 所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
17
网资源

专业学习资料平台网资源
24÷［1÷（16＋18）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（16－18）＝168（个）
答：这批零件共有168个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 16∶18＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 4＋3 ＝17
所以，这批零件共有 24÷17＝168（个）
例3 一件工作，甲独做12 小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做
2小时，余下的由乙丙二人合做，还 需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算 带来方便，因此，
我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙 三人的工作效率分别是
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要5小时才能完成。
例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小< br>时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水 池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量
就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。 要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水
管 、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水
管 15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2，
所以，2小时内注满一池水
18
网资源

专业学习资料平台网资源
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）
＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
16 正反比例问题
【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的比
的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们 的关系叫做正比例关系。正比例应用
题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关 联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，
这两种量就叫做 成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知
识的综合运用。
【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的
性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1 修一条公路，已修的是未修的13，再 修300米后，已修的变成未修的12，求这条公
路总长是多少米？
解 由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300
÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 这条公路总长3600米。
例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？
解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分钟可以做13道应用题。
例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天
就可以看完？
19
网资源

专业学习资料平台网资源
解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15
36X＝24×15 X＝10
答：10天就可以看完。
例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
A


36 B 16
25 20
解 由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比， 所以每一上下两个小矩形面积之
比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三 个小矩形的宽也相等。因此，
A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16
解这两个比例，得 A＝45 B＝20
所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面积是162
17 按比例分配问题
【含义】 所谓按比例分配，就 是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般
有两种形式：一是用比或连比的形式反映各 部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总
份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占 总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份
数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的 前后项分别作分子），再按照求一个数的几分
之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人 ，
三班有45人，三个班各植树多少棵？
解 总份数为 47＋48＋45＝140
一班植树 560×47140＝188（棵）
20
网资源

专业学习资料平台网资源
二班植树 560×48140＝192（棵）
三班植树 560×45140＝180（棵）
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是
多少厘米？
解 3＋4＋5＝12 60×312＝15（厘米）
60×412＝20（厘米）
60×512＝25（厘米）
答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的12，二< br>儿子分总数的13，三儿子分总数的19，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法
解，则 很容易得到
12∶13∶19＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×917＝9
17×617＝6 17×217＝2
答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个 车
间共多少人？
人 数
对应的份数
80人
12－8
一共多少人？
8＋12＋21
解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三个车间一共820人。
18 百分数问题
【含义】 百分数是表示一 个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分
数常常可以通分、约分，而百分数则无需 ；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表
示“率”；分数的分子、分母必须是自然 数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。
在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：
21
网资源

专业学习资料平台网资源
百分数＝比较量÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：
（1） 求一个数是另一个数的百分之几；
（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分
之几？
解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%
（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之
几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比
较 量
所以 （525－420）÷525＝0.2＝20%
或者 1－420÷525＝0.2＝20%
答：男职工人数比女职工少20%。
例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之
几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25%
或者 525÷420－1＝0.25＝25%
答：女职工人数比男职工多25%。
例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分
之几？
解 （1）男职工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女职工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：
增长率＝增长数÷原来基数×100%
合格率＝合格产品数÷产品总数×100%
22
网资源

专业学习资料平台网资源
出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%
缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%
出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%
命中率＝命中次数÷总次数×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
19 “牛吃草”问题
【含义】 “ 牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于
要考虑草边吃边长这 个因素。
【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1 一块草地，10头 牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5
天可以把草吃完？
解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5
天可以把草吃 完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草
量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为， 一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天
内的 草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知 （20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
23
网资源

专业学习资料平台网资源
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发 现漏洞时已经进了一些水。如果有
12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能 淘完。求17人几小时可以淘完？
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一 问给出了人数（相当于“牛数”），
求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2 ），
所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。
20 鸡兔同笼问题
【含义】 这是古典的算术 问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有
多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。 已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫
做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有
24
网资源

专业学习资料平台网资源
鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。
如果先 假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先
假设， 再置换，使问题得到解决。
例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚 数共有九十四。请你仔细
算一算，多少兔子多少鸡？
解 假设35只全为兔，则
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23只，有兔12只。
例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求
白菜有多少亩？
解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有< br>两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总 数”
相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜地有10亩。
例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每
本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本）
25
网资源

专业学习资料平台网资源
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少
只？
解 假设100只全都是鸡，则有
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡80只，有兔20只。
例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚
各多少人？
解 假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因 为把小
和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小 和尚换掉
一个大和尚可减少馍（3－13）个。因此，共有小和尚 （3×100－100）÷（3－13）
＝75（人）
共有大和尚 100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21 方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根 据已知条件求总人数或总
物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种 。实心方阵的求法是以每边的数自乘；
空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
26
网资源

专业学习资料平台网资源
例1 在 育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的
同学一共有多少人？
解 22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解 10－（10－3×2） ＝84（人）
答：全方阵84人。
例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学
生共多少人？
解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两 个方向各增加一层，则缺
少9只棋子，问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排 多1棵，最下面一
排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？
解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
21 方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总
物数，这类问题就叫做方 阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
27
网资源

专业学习资料平台网资源
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种 。实心方阵的求法是以每边的数自乘；
空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演< br>的同学一共有多少人？
解 22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解 10－（10－3×2）
＝84（人）
答：全方阵84人。
例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队
学生共多少人？
解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两 个方向各增加一层，则缺
少9只棋子，问有棋子多少个？
解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多 1棵，最下面一排
有5棵树。这个树林一共有多少棵树？
28
网资源

专业学习资料平台网资源
解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
22 商品利润问题
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损
率等方面的问题。
【数量关系】 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%
售价＝进货价×（1＋利润率）
亏损＝进货价－售价
亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到
二月份的价格变 动情况如何？
解 设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1 ＋10%）×（1－10%），
所以二月份售价比原价下降了 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原价下降了1%。
例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件 衣服用去52元，已知衣服原来
按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是< br>原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 52÷80%÷（1
＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为 （52－50）÷50＝4%
答：该店是盈利的，盈利率是4%。
例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出8 0%后，
剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少 折扣？
解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原 定价
是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利 多少元。剩下
的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
29
网资源

专业学习资料平台网资源
剩下的作业本每册盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价 便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按
20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元 ，求乙店的定价。
解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9
甲店定价为 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得 乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定价为 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定价是240元。
23 存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本 金、利率、存期这三个因素有
关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占 本金的百分数；月利率是指存
期一月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%
利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期
多长。
解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，
所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又因为已知月利率，
所以存款月数为 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：李大强的存款期是30月即两年半。
例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7. 92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲
乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本 带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时
取出，那么，谁的收益多？多多少元？
解 甲的总利息
［10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3
30
网资源

专业学习资料平台网资源
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。
24 溶液浓度问题
【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水
或其它液体）、溶质、 溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后
的混合物叫溶液。溶质 的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质
浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把 它变成30%
的糖水，需加糖多少克？
解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50
＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水
各多少 克？
解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总 重量600克不变的情况下，用15%的溶液来
“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100 克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所
以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
例3 甲容器有浓度为 12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙
中，混合后再把乙中现有盐水的 一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中
的盐水同样多。求最后乙中盐水 的百分比浓度。
31
网资源

专业学习资料平台网资源
解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器
中最 后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：

原 有
甲容器
盐水500
盐500×12%＝60
第一次把甲中一盐水500÷2＝250
半倒入乙中后 盐60÷2＝30
盐水500＋250＝750
盐30
盐水750÷2＝375
盐30÷2＝15
盐水500
盐45－36＋15
＝24
由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
25 构图布数问题
【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问 题。所谓“构图”，就是设计
出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问 题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】 根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构
图布数，符合题目所给的条件。
例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4×5÷2＝10
因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。
例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。
乙容器
水500
第而次把乙中一盐水250＋375＝625
半倒入甲中后 盐30＋15＝45
第三次使甲乙中 盐水500
盐水同样多 盐45－9＝36
32
网资源

专业学习资料平台网资源
解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去，正好9
棵。 4×3－3＝9
例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计 一种图形，填入
这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。
解 共有五种写法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
在这五个算式中，4出现三次，其余的1、2、3、5、 6、7各出现两次，因此，4应位于三条线的
交点处，其余数都位于两条线的交点处。据此，我们可以设 计出以下三种图形：
26 幻方问题
【含义】 把n×n个自然数排在正方形 的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和
都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方 。
【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。
三级幻方的幻和＝45÷3＝15
五级幻方的幻和＝325÷5＝65
【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确
定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例1 把1，2，3，4，5，6，7， 8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角
线上三个数的和相等。
解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九个数在这八条线上反复出现构成 幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到
四次（即出现在中行、中列、和两条对角线 这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用
到两次。看来，用到四次的“中心数”地位 重要，宜优先考虑。
设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （1＋2＋3
＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
即 45＋3Χ＝60
所以 Χ＝5
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们
分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别
在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。
33
网资源
2
9
4
7
5
3
6
1
8

专业学习资料平台网资源
例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假设符合要求的数都已经填好，那么 三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，
我们看18能写成哪三个数之和： 最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大数是7： 18＝7＋6＋5 刚好写成8个算式。
首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间 方格的数，共用了四次。
观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。
9
4
5
2
6
10
7
8
3
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的
和都为18。
最后确定其它方格中的数。如图。
27 抽屉原则问题
【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，
剩下的一个放进另一个 抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有
一个抽屉中放了2只或 2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n＋ 1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至
少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。
抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要
放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么 至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更
多的元素。
【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
34
网资源

专业学习资料平台网资源
解 由于1999年是润年， 全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的
学生看作367个“元素 ”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更
多的“元素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
例2 据说人的头发不超过20万跟， 如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西
省至少有多少人头发根数一样多吗？
解 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，
把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到
3645÷20＝182……5 根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183
答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。
例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有 颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8
个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至 少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相
同？
解 把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作11个“抽屉”，那么，至少要取（11＋
1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。
28 公约公倍问题
【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】 先确定 题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约
数和最小公倍数的求法，最常用的是“短 除法”。
例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最 大的正方
形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？
解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答：正方形的边长是4厘米。
例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要
30分 钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同
时又 在起点相遇？
35
网资源

专业学习资料平台网资源
解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少
要 多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。 36、30、48的最小公倍数
是720。
答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3 一个四边 形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，
若四边上每两棵树间距 相等，至少要植多少棵树？
解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树 的棵数尽量少，须使相邻两树的
间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数 的最大公约数12。
所以，至少应植树 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：至少要植26棵树。
例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又
知棋子总数在15 0到200之间，求棋子总数。
解 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数 。因为4、5、6的最小公倍数是
60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为
60×3＋1＝181（个）
答：棋子的总数是181个。
29 最值问题
【含义】 科学的发展观认 为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多
办事，办好事，以最小的代价取得最大的 效益。这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例1 在火炉上烤饼，饼的 两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现
在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？
解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。< br>这样做，用的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤< br>100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中 到一个
煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？
36
网资源

专业学习资料平台网资源
解 我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到1号场总费用为 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中到2号场总费用为 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中到3号场总费用为 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中到4号场总费用为 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中到5号场总费用为 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少。
答：集中到5号煤场费用最少。
例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10

台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？
解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京
往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调
往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。
30 列方程问题
【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。
【数量关系】 方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容 ，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未
知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数 都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，
在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须 检验。
37
网资源
北京
上海
重庆
800
500
武汉
400
300

专业学习资料平台网资源
例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？
解 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。
找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。
列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50
第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50
答：甲班有50人，乙班有40人。
例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？
解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35 －Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－
Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94” 可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程
得 Χ＝12 则35－Χ＝23
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，
则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：鸡是23只，兔是12只。
例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车
每次运多少袋？
解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。 940
÷4－125＝110（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。
（940－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程
940÷4－Χ＝125
解方程得 Χ＝110
第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得
（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110
答：乙汽车每次运110袋。
38
网资源

专业学习资料平台网资源
一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往 乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七
分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之 七。甲乙两地相距多少千米？
解：把全部路程看作单位1，那么客车到达终点行了全程，也就是单位1 。当客车到达乙地时，货车行了
全程的八分之七，相同的时间，路程比就是速度比。由此我们可以知道客 车货车的速度比=1：78=8：7，
所以客车行的路程是货车的87倍
所以当客车行了全程的47时，
货车行了全程的（47）（87）=12
那么甲乙两地相距180（12）=360千米，
12就是180千米的对应分率
分析：此题中运用了单位1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关系，
一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成反比
例，这个是基本常识。
43、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前 行，当甲车到达B地时，乙
车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。
解：将全部路程看作单位1，速度比=路程比=3：2，也就是说乙行的路程是甲的23
那么甲到达B地时，行了全部路程，乙行了1×23=23，此时距离终点A还有1-23=13 那么全程=60（13）=180千米，速度和=1802=90千米小时，甲的速度=90×3（3+2） =54千米小时
乙的速度=90-54=36千米小时
从甲地去乙地，如车速比原来提高1 9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，
再将车速比原来提高13，就比预 定时间提前30分钟赶到。甲乙两地相距多少千米？
解：20分钟=13小时。30分钟=12小时
因为路程一定，时间和速度成反比，那么原来的车速和提高19后的车速之比为1：（1+19）=9： 10
那么时间比为10：9，将原来的时间看作单位1，那么提速19后的时间为1x910=910
所以原来需要的时间为（13）（1-910）=103小时
第二次行驶完72千米后，原来 的速度和提高后的速度比为1：（1+13）=3：4，那么时间比为4：3
将行驶完72千米后的时间看作单位1，那么这一段用的时间为（12）（1-34）=2小时
那么原来行驶72千米用的时间=103-2=43小时，原来的速度=72（43）=54千米小时
甲乙两地相距=54×103=180千米
14、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相 对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙
车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米 在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60
39
网资源

专业学习资料平台网资源
15、千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？
解：原来的相遇时间=10-4=6小时，乙的速度=60千米小时
BC距离=60×2.5=150千米（从凌晨4时到6时30分是2.5小时）
原来相遇时乙应该走的距离=60×6=360千米
甲比原来夺走360-150-210千 米，那么甲行驶6-2.5=3.5小时应该行驶的距离=350-210=140千米
所以甲的速度 =1403.5=40千米小时，那么AB距离=（40+60）×6=600千米，AC距离=600-150 =450千
米
实际相遇的时间=45040=11.25小时=11小时15分钟，那么相遇 时的时间是15小时15分
乙到达A地需要的时间=45060=7.5小时=7小时30分
所以乙到达A地时间为15小时15分+7小时30分=22时45分
9、AB两地相距60 千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B
地，甲乙两车的速 度比是2:5，求乙车的速度。
如果甲不比乙车先行1小时，那么乙要比甲车早1+3060=1.5小时到达B地
甲乙的速度比=2：5，那他们用的时间比为5：2
将甲用的时间看作单位1，那么乙用的时间是甲的25
甲比乙多用1-25=35
所以甲行完全程用的时间为1.5（35）=2.5小时，乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1小时
那么乙车的速度=601=60千米小时
10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每 分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处
相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明 每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两
人的家相距多少米？
解：两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：90=7：9
时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为9：7
将第一次相遇的时间看做单位1那么第二次相遇小明用的时间为79
第一次比第二次多用的时间为1-79=29那么第一次用的时间为4（29）=18分钟
所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米
方程：设第一次相遇时间为t分
90×[（52t-52x4）52]=70a t=18分钟（过程从略）
所以小刚和小明的家相距（52+70）×18=2196米
40
网资源

专业学习资料平台网资源
11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小 时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距
196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全 程的80%，问货车行完全程用多少小时 ？
解：将全部路程看作单位1，那么相距196千米时，
客车行驶了全程的1×23=23，距离目的地还有1-23=13，货车行驶了全程的1×80%=4 5
那么全程=196（45-13）=196（715）=420千米，客车和货车的速度比=23： 45=5：6
客车和货车的速度和=4205=84千米小时，货车的速度=84×611=50411千米小时
那么货车行完全程需要420（50411）=556小时=9小时10分钟
客货两车分别从 甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇，
两次相遇的地点相 距3000米。已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？（要算
式和解题过程）
解：将全部的路程看作单位1，
货车和客车的速度比=2：3
第一次相遇货车行了全程的25，客车行了全程的35
因为是2次相遇，所以两车走的路程一 共是3倍甲乙两地距离，也就是1x3=3，货车行了整个过程的
3x25=65
因此第二次相遇是在距离甲地65-1=15处
第一次相遇是在距离甲地35处，那么两处相 距35-15=25，甲乙两地距离3000（25）
=7500米

12、甲、乙两 辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，
这时甲车与乙车所行的 路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？

设甲的速度为2a千米小时，乙的速度为3a千米小时，总路程=（2a+3a）×3=15a千米
甲行的路程=15a×25=6a 15a2-6a=18
15a-12a=36 3a=36 a=12
甲的速度=12x2=24千米小时，乙的速度=12x3=36千米小时
或者将全部路程看 作单位1，那么相遇时甲行了25，乙行了1-25=35，全程=（12-25）=110
全程=18（110）=180千米
甲乙的速度和=1803=60千米小时，甲的速度=6 0x25=24千米小时，乙的速度=60-24=36千米小时
13、甲乙两车同时从AB两地出发 ，相向而行，甲与乙的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提
高了4分之一，乙的速度提高了 3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第
一次相遇点48KM，AB两地 相距多少千米？
41
网资源

专业学习资料平台网资源
解：将全部的路程看作单位1
因为时间一样，路程比就是速度比，所以相遇时，甲行了全程的 1x4（5+4）=49，乙行了1-49=59
此时甲乙提速，速度比由4：5变为4（1+14）：5（1+13）=5：103=3:4
甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离，也就是2
此时第二次相遇，乙行了全程的2x4（3 +4）=87，第二次相遇点的距离占全部路程的87-49=4463
距离第一次相遇点4463-49=1663 ，AB距离=48（1663）=189千米

14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份 走
70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离
解：乙丙的速度差=60-50=10米分
那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）×15=1800米
那么甲乙相遇时用的时间=180010=180分钟
那么AB距离=（70+60）×180=23400米
15、甲乙两人同时从山脚开始爬山 ，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的
二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有5 00米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。
解：下山速度是上山的2倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的12
速度都是上山的速度。那么，原来上山的路程，占总路程的23，
下山路程占总路程的13， 甲返回山脚，乙一共行了全程的23+13×12=56，乙的速度是甲的56。甲
到达山顶，即行了全 程的23，乙应该行了全程的：23×56=59，实际上乙行了全程的23减去500
米
所以全程为：500÷（23-59）=4500米
从山脚到山顶的距离为：4500×23=3000米
16、汽车从A地到B地，如果速度比 预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多18，如果速度比预
定的增加13，到达时间将比预定的 早1小时。求A,B两地间的路程？
解：将原来的时间看到单位1，那么每小时慢5千米，用的时间是1×（1+18）=98
那么实际用的时间和原来的时间之比为98：1=9：8，那么原来速度和实际速度之比为8：9
那么实际速度是原来速度的89，那么
原来的速度=5（1-89）=45千米小时
第二次速度增加13，实际速度与原来的速度之比为为
（1+13）：1=4：3
实际用的时间和原来的时间之比为3：4，那么实际用的时间是原来的34
42
网资源

专业学习资料平台网资源
原来所用的时间为1（1-34）=4小时，AB距离=45×4=180千米
简析：此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。
17、两辆汽车 同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的
速度前进，各 自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？
解：我们拿从东站出来的车考虑
在整个相遇过程中，两车一共走了3个全程
第一次相遇时，从东站出来的车走了45千米
那么整个过程走了45×3=135千米
此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米
所以全程=（135-9）（1+12）=84千米
将全部路程看作单位1，第二次相遇时这辆车走了1又12还多9千米。


43
网资源