中国古代十大美女-医院年终总结

小学数学六年级培优题库 - 培优题库含答案

一、培优题易错题
1．对于实数a、b，定义运算：a▲b= ；如：2▲3=2
﹣
3
= ，
4▲2=4
2
=16．照此定义的运算方式计算[2▲（﹣4）]×[（﹣4）▲（ ﹣2）]=________．

【答案】1

【解析】【解答】解：根据题意得：2▲（﹣4）=2
4
=
2
=16，
﹣
，（﹣4）▲（﹣2）=（﹣4）

则[2▲（﹣4）]×[（﹣4）▲（﹣2）]= ×16=1，

故答案为：1

【分析】先利用定义计算括号中的值，再进行计算即可.在利用新运算 的时候需要先判断两
个数的大小关系，根据其选择算式.


2．如图，已知 数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出
发，以每秒5个单位长度的 速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。


（1）写出数轴上点B表示的数 ________，点P表示的数________（用含t的代数式表
示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同
时出发， 问点P运动多少秒时追上点Q？

（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在 运动的过程中，线段MN的长度是否发
生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线 段MN的长；

（4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+ 6|+|x-8|是否有最小值？
如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

【答案】（1）-6；8-5t

（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）


则AC=5x，BC=3x，

∵AC-BC=AB

∴5x-3x=14

解得：x=7，

∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q

（3）解：没有变化．分两种情况：

①当点P在点A、B两点之间运动时：


MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=7

②当点P运动到点B的左侧时：


MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7

综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7


（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小值为14．

【解析】【解答】解：（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，

【分析】（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，

【分析】（1）根据点A的坐标和AB之间的距离即可得出B点的坐标和P点的坐标；

（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据距离的差为14列出
方程即可求解；

（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，根据MN=MP+N P进行计算即可；
②当点P运动到点B的左侧时，根据MN=MP-NP计算即可；

（4）分三种情况去绝对值符号：x8时，原式=x+6+x-8=2x-214; -6x
=x+6+8-x=14; x-6时，原式=-x-6-x+8=-2x+214，综上所述得出最小值。

8时，原式

3．学校举行“创客节”，明明的创客作品模型中需要用到一种花瓣图案 （如下图），花瓣图
案的各个小圆半径都是1cm。明明打算从一块长10cm，宽8cm的长方形纸板 上剪花瓣图
案。（注：花瓣图案不能使用胶水、胶带等剪拼）

（1）这块长方形纸板的面积是多大？

（2）这个花瓣图案的面积是多大？（π取3.14）


（3）明 明还能从这块长方形纸板的剩余部分再剪出1个花瓣图案吗？如果能，如何剪？请
你画一画、写一写；如 果不能，请说明理由。

【答案】 （1）10×8=80（平方厘米）

答：这块长方形纸板的面积是80平方厘米。

（2）如图：


1×1×16+3.14×1
2

=16+3.14

=19.14（平方厘米）

答：花瓣图案的面积是19.14平方厘米。

（3）


【解析】【分析】（1）用长乘宽求出长方形纸板的面积；


（2）花瓣中间是4个正方形， 每个花瓣处组合后刚好是3个正方形和1个圆，这样总面
积就是16个正方形和1个圆的面积；

（3）在纸板的右上角剪下同样的花瓣图案。


4．甲容器中有浓度为 的盐水 克，乙容器有浓度为 的盐水 克．分别从甲和
乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出 的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在
甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲（乙）容器取出多少 克盐水倒入了另一个容器中？

【答案】 解：互换后盐水的浓度：

（400×20%+600×10%）÷（400+600）

=140÷1000

=14%

互换的质量：

400×（20%-14%）÷（20%-10%）

=400×0.06÷0.1

=240（千克）

答：从两个容器中各取出240千克盐水倒入另一个容器中。

【解析】【分析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变，
先计 算出互换后盐水的浓度，然后求出互换的重量即可。


5．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为
盐浓度为
得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?

，盐浓度为 ，乙溶液中的酒精浓度为 ，
．现在有甲溶液 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所

【答案】 解：甲中酒精：1×10%=0.1（千克），盐：1×30%=0.3（千克）；

1千克乙中酒精：1×50%=0.5（千克），盐：1×10%=0.1（千克）；

0.5÷2=0.25（千克），0.1÷2=0.05（千克），0.1+0.25=0.35（千克），0 .3+0.05=0.35（千
克）

答：需要0.5千克乙溶液， 将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等。



【解析 】【分析】根据浓度的意义求出甲溶液中酒精和盐分别有多少千克。假设乙溶液也
有1千克，然后分别计 算出乙溶液中盐和酒精的含量，试算后确定乙溶液的重量即可。


6．蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需 小时；排光一池
水，单开排水管需 小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序
轮流各开 小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

【答案】 解： 小时排水比1小时进水多
各开3小时后还有的水量： ，

，

再开1小时进水管后的水量：
拍完这些水需要：
，

（小时）=54（分），

共需要：3×2+1+=（小时）=7小时54分。

答：7小时54分后水池的水刚好排完。

【解析】【分析】进水管每小时进水量为 ， 排水管每小时排水量为 ， 这样就可以计算
出1小时排水比进水多的分率。假设两个水管各开了3小时（实际共6小时），用1小时
排水比进水多 的分率乘3求出排水量，用原有水量减去排水量即可求出剩下的水量。此时
该开进水管了，每小时进水后 实际还有剩下的水量加上。然后开排水管，用此时的水量
除以每小时的排水量即可求出剩下的水需要的时 间。然后把总时间相加即可求出刚好排完
的时间。


7．规定两人轮流做一 个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然
后再由第一个人做1个小时，然后又 由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果
甲、乙轮流做一个工程需要 小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要 小时，那乙
单独做这个工程需要多少小时？

【答案】 解：1-0.6=0.4（小时），1-0.8=0.2（小时），甲工作2小时 相当于乙1小时的工
作量，

9.8-5+5÷2=7.3（小时）

答：乙单独做这个工程需要7.3小时。

【解析】【分析】两 队交替做工程，两种情况下做到最后剩下的工作量是相同的，两次需
要的时间不同，是因为一种情况剩下 的工作量是甲做的，另一种情况是剩下的工作量是乙
做的，也就是 ， 这样求出甲做0.4小时与乙 做0.2小时
的工作量相等，这样就可以求出两人工作效率的倍数关系。9.8小时中甲做了5小时，乙 做
了4.8小时，而甲做的5小时相当于乙2.5小时，所以乙单独做需要4.8+2.5=7.3小时 。


8．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需 小时，
单开丙管需要 小时，要排光一池水，单开乙管需要 小时，单开丁管需要 小时，现在
池内有 的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开 小时，问多少
时间后水开始溢出水池？

【答案】 解： 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：
循环5次后还空的水量：
这项水量要甲注需要：
，

（小时），

，

溢出的时间：4×5+
答：
（小时）。

小时后水开始溢出水池。

【解析】【分析】四根水管交替循环开关，每个循环的进水量是 ， 每个循环4个水管
各开 1小时，共开4小时。开5个循环后水池的水距离溢出还需要的水量，这部分水量该
甲来灌水，用这部分 水量除以甲的工作效率即可求出注满这部分需要的时间，然后再加上
5个循环需要的时间即可。


9．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数< br>天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天；若按丙、甲、
乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天．已知甲单独完成这件工作需
天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

【答案】 解：甲的工作效率：1÷10.75= ， 乙的工作效率： ， 丙的工作效

率： ，

（天）。

答：完成工作需要天。



【解析】【分析】 以甲、乙、丙 各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第
一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本 题中，有两种可能，第一种可能是完整周
期
有
天，第二种可能是完整周期
， 得
天。如果是第一种可能，
。然而此时甲、乙、丙的效率和
为 ， 经过4个周期后完成 ， 还剩
下 ， 而甲每天完成 ， 所以剩下的 不可能由甲1天
完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。

第二种可能：


第一
完整周期

不完整周期

甲1天，乙1天

完成总工程量

“1”

种情n个周期

况

第二
种情n个周期

况

第三
种情n个周期

况



可得
乙1天，丙1天，甲天

“1”

丙1天，甲1天，乙天

“1”

， 所以 ， 。因为甲单
独做需
率为
天，所以工作效率为 ， 于是乙的工作效率为
。

， 丙的工作效

于是，一个周期内他们完成的工程量为
需 个完整周期，剩下
。则
的工程量；正好甲、乙各一天
完成．所以第二种可能是符合题意的。这样用总 工作量除以三人的工作效率和即可求出合
作完成的时间。


10．搬运一个仓库的货物，甲需 小时，乙需 小时，丙需 小时．有同样的仓库 和
，甲在 仓库，乙在 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬
运， 最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【答案】 解：甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：
丙帮助甲搬运了：
丙帮助乙搬运了：（小时）。

（小时），

（小时），

答：丙帮助甲搬运了3小时，帮助乙搬运了5小时。

【解析】【分析】整个 搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两
个仓库的货物，用工作量2除以三人的 工作效率和求出共同完成工作量需要的时间。在这
段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两 个仓库都搬运过。用甲的工作效率
乘共同完成的时间即可求出甲完成的工作量，用1减去甲完成的工作量 即可求出丙帮甲完
成的工作量，用这个工作量除以丙的工作效率即可求出丙帮甲的时间，进而求出丙帮乙 的
时间即可。

小学数学六年级培优题库 - 培优题库含答案

一、培优题易错题
1．对于实数a、b，定义运算：a▲b= ；如：2▲3=2
﹣
3
= ，
4▲2=4
2
=16．照此定义的运算方式计算[2▲（﹣4）]×[（﹣4）▲（ ﹣2）]=________．

【答案】1

【解析】【解答】解：根据题意得：2▲（﹣4）=2
4
=
2
=16，
﹣
，（﹣4）▲（﹣2）=（﹣4）

则[2▲（﹣4）]×[（﹣4）▲（﹣2）]= ×16=1，

故答案为：1

【分析】先利用定义计算括号中的值，再进行计算即可.在利用新运算 的时候需要先判断两
个数的大小关系，根据其选择算式.


2．如图，已知 数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出
发，以每秒5个单位长度的 速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。


（1）写出数轴上点B表示的数 ________，点P表示的数________（用含t的代数式表
示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同
时出发， 问点P运动多少秒时追上点Q？

（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在 运动的过程中，线段MN的长度是否发
生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线 段MN的长；

（4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+ 6|+|x-8|是否有最小值？
如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

【答案】（1）-6；8-5t

（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）


则AC=5x，BC=3x，

∵AC-BC=AB

∴5x-3x=14

解得：x=7，

∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q

（3）解：没有变化．分两种情况：

①当点P在点A、B两点之间运动时：


MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=7

②当点P运动到点B的左侧时：


MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7

综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7


（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小值为14．

【解析】【解答】解：（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，

【分析】（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，

【分析】（1）根据点A的坐标和AB之间的距离即可得出B点的坐标和P点的坐标；

（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据距离的差为14列出
方程即可求解；

（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，根据MN=MP+N P进行计算即可；
②当点P运动到点B的左侧时，根据MN=MP-NP计算即可；

（4）分三种情况去绝对值符号：x8时，原式=x+6+x-8=2x-214; -6x
=x+6+8-x=14; x-6时，原式=-x-6-x+8=-2x+214，综上所述得出最小值。

8时，原式

3．学校举行“创客节”，明明的创客作品模型中需要用到一种花瓣图案 （如下图），花瓣图
案的各个小圆半径都是1cm。明明打算从一块长10cm，宽8cm的长方形纸板 上剪花瓣图
案。（注：花瓣图案不能使用胶水、胶带等剪拼）

（1）这块长方形纸板的面积是多大？

（2）这个花瓣图案的面积是多大？（π取3.14）


（3）明 明还能从这块长方形纸板的剩余部分再剪出1个花瓣图案吗？如果能，如何剪？请
你画一画、写一写；如 果不能，请说明理由。

【答案】 （1）10×8=80（平方厘米）

答：这块长方形纸板的面积是80平方厘米。

（2）如图：


1×1×16+3.14×1
2

=16+3.14

=19.14（平方厘米）

答：花瓣图案的面积是19.14平方厘米。

（3）


【解析】【分析】（1）用长乘宽求出长方形纸板的面积；


（2）花瓣中间是4个正方形， 每个花瓣处组合后刚好是3个正方形和1个圆，这样总面
积就是16个正方形和1个圆的面积；

（3）在纸板的右上角剪下同样的花瓣图案。


4．甲容器中有浓度为 的盐水 克，乙容器有浓度为 的盐水 克．分别从甲和
乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出 的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在
甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲（乙）容器取出多少 克盐水倒入了另一个容器中？

【答案】 解：互换后盐水的浓度：

（400×20%+600×10%）÷（400+600）

=140÷1000

=14%

互换的质量：

400×（20%-14%）÷（20%-10%）

=400×0.06÷0.1

=240（千克）

答：从两个容器中各取出240千克盐水倒入另一个容器中。

【解析】【分析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变，
先计 算出互换后盐水的浓度，然后求出互换的重量即可。


5．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为
盐浓度为
得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?

，盐浓度为 ，乙溶液中的酒精浓度为 ，
．现在有甲溶液 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所

【答案】 解：甲中酒精：1×10%=0.1（千克），盐：1×30%=0.3（千克）；

1千克乙中酒精：1×50%=0.5（千克），盐：1×10%=0.1（千克）；

0.5÷2=0.25（千克），0.1÷2=0.05（千克），0.1+0.25=0.35（千克），0 .3+0.05=0.35（千
克）

答：需要0.5千克乙溶液， 将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等。



【解析 】【分析】根据浓度的意义求出甲溶液中酒精和盐分别有多少千克。假设乙溶液也
有1千克，然后分别计 算出乙溶液中盐和酒精的含量，试算后确定乙溶液的重量即可。


6．蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需 小时；排光一池
水，单开排水管需 小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序
轮流各开 小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

【答案】 解： 小时排水比1小时进水多
各开3小时后还有的水量： ，

，

再开1小时进水管后的水量：
拍完这些水需要：
，

（小时）=54（分），

共需要：3×2+1+=（小时）=7小时54分。

答：7小时54分后水池的水刚好排完。

【解析】【分析】进水管每小时进水量为 ， 排水管每小时排水量为 ， 这样就可以计算
出1小时排水比进水多的分率。假设两个水管各开了3小时（实际共6小时），用1小时
排水比进水多 的分率乘3求出排水量，用原有水量减去排水量即可求出剩下的水量。此时
该开进水管了，每小时进水后 实际还有剩下的水量加上。然后开排水管，用此时的水量
除以每小时的排水量即可求出剩下的水需要的时 间。然后把总时间相加即可求出刚好排完
的时间。


7．规定两人轮流做一 个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然
后再由第一个人做1个小时，然后又 由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果
甲、乙轮流做一个工程需要 小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要 小时，那乙
单独做这个工程需要多少小时？

【答案】 解：1-0.6=0.4（小时），1-0.8=0.2（小时），甲工作2小时 相当于乙1小时的工
作量，

9.8-5+5÷2=7.3（小时）

答：乙单独做这个工程需要7.3小时。

【解析】【分析】两 队交替做工程，两种情况下做到最后剩下的工作量是相同的，两次需
要的时间不同，是因为一种情况剩下 的工作量是甲做的，另一种情况是剩下的工作量是乙
做的，也就是 ， 这样求出甲做0.4小时与乙 做0.2小时
的工作量相等，这样就可以求出两人工作效率的倍数关系。9.8小时中甲做了5小时，乙 做
了4.8小时，而甲做的5小时相当于乙2.5小时，所以乙单独做需要4.8+2.5=7.3小时 。


8．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需 小时，
单开丙管需要 小时，要排光一池水，单开乙管需要 小时，单开丁管需要 小时，现在
池内有 的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开 小时，问多少
时间后水开始溢出水池？

【答案】 解： 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：
循环5次后还空的水量：
这项水量要甲注需要：
，

（小时），

，

溢出的时间：4×5+
答：
（小时）。

小时后水开始溢出水池。

【解析】【分析】四根水管交替循环开关，每个循环的进水量是 ， 每个循环4个水管
各开 1小时，共开4小时。开5个循环后水池的水距离溢出还需要的水量，这部分水量该
甲来灌水，用这部分 水量除以甲的工作效率即可求出注满这部分需要的时间，然后再加上
5个循环需要的时间即可。


9．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数< br>天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天；若按丙、甲、
乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天．已知甲单独完成这件工作需
天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？

【答案】 解：甲的工作效率：1÷10.75= ， 乙的工作效率： ， 丙的工作效

率： ，

（天）。

答：完成工作需要天。



【解析】【分析】 以甲、乙、丙 各工作一天为一个周期，即3天一个周期。容易知道，第
一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本 题中，有两种可能，第一种可能是完整周
期
有
天，第二种可能是完整周期
， 得
天。如果是第一种可能，
。然而此时甲、乙、丙的效率和
为 ， 经过4个周期后完成 ， 还剩
下 ， 而甲每天完成 ， 所以剩下的 不可能由甲1天
完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立。

第二种可能：


第一
完整周期

不完整周期

甲1天，乙1天

完成总工程量

“1”

种情n个周期

况

第二
种情n个周期

况

第三
种情n个周期

况



可得
乙1天，丙1天，甲天

“1”

丙1天，甲1天，乙天

“1”

， 所以 ， 。因为甲单
独做需
率为
天，所以工作效率为 ， 于是乙的工作效率为
。

， 丙的工作效

于是，一个周期内他们完成的工程量为
需 个完整周期，剩下
。则
的工程量；正好甲、乙各一天
完成．所以第二种可能是符合题意的。这样用总 工作量除以三人的工作效率和即可求出合
作完成的时间。


10．搬运一个仓库的货物，甲需 小时，乙需 小时，丙需 小时．有同样的仓库 和
，甲在 仓库，乙在 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬
运， 最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？

【答案】 解：甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：
丙帮助甲搬运了：
丙帮助乙搬运了：（小时）。

（小时），

（小时），

答：丙帮助甲搬运了3小时，帮助乙搬运了5小时。

【解析】【分析】整个 搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两
个仓库的货物，用工作量2除以三人的 工作效率和求出共同完成工作量需要的时间。在这
段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两 个仓库都搬运过。用甲的工作效率
乘共同完成的时间即可求出甲完成的工作量，用1减去甲完成的工作量 即可求出丙帮甲完
成的工作量，用这个工作量除以丙的工作效率即可求出丙帮甲的时间，进而求出丙帮乙 的
时间即可。