浮点数
萌到你眼炸
527次浏览
2020年08月02日 00:13
最佳经验
本文由作者推荐
couldnt-磋商
在实际应用中，往往会使用实数，例如下面的一些十进制实数：
179.2356=0.1792356x10^3
0.000000001=0.1x10^8
3155760000=0.215576x10^6
很明显，上述第一个数既有整数也有小数，不能用定点数格式化直接表示，后两个数则可能超出了定点数的表示范围，所以计算机引入了类似与科学表示法来标示实数。
(1)典型的浮点数格式
在机器中，典型的浮点数格式如图所示
浮点数代码由两部分组成：阶码E和尾数M。浮点数真值为：
N=+/-(R^E)xM
R是阶码的底。在机器中一般规定R为2，4，8或16，与尾数的基数相同。例如尾数为二进制，则R也为2。同一种机器的R值是固定不变的，所以不需要在浮点数代码中表示出来，他是隐含约定的。因此，机器中的浮点数只需表示出阶码和尾数部分。
E是阶码，即指数值，为带符号整数，常用移码或补码表示。
M是尾数，通常是纯小数，常用原码或补码表示。
S是尾数的符号位，安排在最高位。它也是整个浮点数的符号位，表示该浮点数的正负。
浮点数表示范围主要由阶码决定，精度则主要由尾数决定。为了充分利用尾数的有效位数，同时也使一个浮点数具有确定的表示形式，通常采用浮点数规格化形式，即将位数的绝对值限定在某个范围之内。如果阶码的底位2，则规格化浮点数的尾数应满足条件：1/2=<|M|<1.尾数作为定点数小数，其绝对值应小于1；由于利用了最高位，其绝对值应大于或等于(0.1)2,即1/2。从形式上看：对于正数，规格化尾数最高数位m1=1，这意味着尾数的有效位数被充分利用了。对于负数补码，一般情况下尾数最高位数m1=0，但有一种特殊情况除外，即M=-1/2(此时m1=1)。(这时它讨论的前提是位数是用补码表示)
例：某浮点数长12位，其中阶码4位用补码表示；尾符1位，尾数7位用补码表示。写出二进制(-101.011)2的规格化浮点数代码。
(-101.011)2=(-0.101011)2x2^3
其浮点数代码为| 1| 0 | 011|0101010 |
尾符 阶码 尾数
这个题你要小心的是尾数是7位，你把-0.101011换成补码时要先补满7位。
(2)移码(增码)
浮点数的阶码是带符号定点整数，常用移码表示。
若浮点数阶码为n+1(包括阶符)，则移码定义如下：
[x]移=2^n+x -2^n=
移码的一些性质a移码其实就是把真值映射到0~255正数域，若将移码视作无符号数，则移码的大小就反映了真值的大小，这讲便于两个浮点数的阶码比较。
b最高位为符号位，表示形式与原码和补码相反，1表示正，0表示负。
c移码与补码的关系：[x]补=2^(n+1)+x(mod 2^(n+1))=2^n+2^n+x=2^n+[x]移。从形式上看，[x] 移与[x]补符号位相反外，其余各位相同。
d移码表示中，0有唯一的编码，即[+0]移=[-0]移=100……0。
e[x]移位全0时，表示阶码最小
(3)浮点数表示范围
浮点数的表示范围和阶码的底有关，也与阶码和尾数的位数以及采用的机器数表示形式有关。
-------------------------------------------------------------------------
典型值 阶码 尾数 真值
-------------------------------------------------------------------------
最大整数 11……1 0.11……1 2^(2^k-1)x(1-2^(-n))
-------------------------------------------------------------------------
绝对值最大负数 11……1 1.00……0 2^(2^k-1)x(-1)
-------------------------------------------------------------------------
非0最小正数 00……0 0.10……0 2^(-2^k)x2^(-1)
-------------------------------------------------------------------------
绝对值最小负数 00……0 1.0……0 2^(-2^k)x(-2^(-1))
-------------------------------------------------------------------------
(4)使用浮点数格式举例
按IEEE标准，常用的浮点数的格式为：
数符 阶码 尾数 总位数
短实数 1 8 23 32
长实数 1 11 52 64
临时实数 1 15 64 80
下面以32位浮点数(短实数)为例，讨论浮点代码与其真值之间的关系，其浮点格式如下
31 30 23 22 0
| s | | | | | | |
数符|…… 阶码 …………||………… 阶码 …………|
最高位是数符s，其后8位阶码，以2为底，阶码偏置位127。其余23位是尾数，为了尾数部分能表示更多一位的有效值，IEEE754采用隐含尾数最搞数位1(即这一位1不表示出来)的方法，因此尾数实际上是24位。应注意隐含的1是一位整数(即位权位2^0)，在浮点格式中表示出来的23位尾数是纯小数并用原码表示，尾数的真值为：1+尾数。这样，上述格式的非0浮点数真值为
(-1)x2^(阶码-127)x(1+尾数)
根据上式，可得出上述格式的浮点数表示范围位-2^128x(2-2^(-23))~2^128x(2-2^(-23)),所能表示的最小绝对值位2^(-127).
例：
若采用IEEE短实数格式，试求出32位浮点数代码(CC968000)16的真值。
解：以上代码转换位2进制如下：
1，10011001，
阶码 尾
数
由于数符是1，所以该数是负数。
阶码真值=10011001-(127)10=(153)10-(127)10=(26)10
尾数真值=1+0.00101101=1+(0.00101101)2=1+(0.17578125)10=(1.17578125)10
故该浮点数的真值=-2x1.17578125 。
例：
试将-(0.11)2用IEEE短实数浮点数格式表示出来。
解：(-0.11)2=-0.11x2^0
=-1.1x2^(-1)
=-(1+0.1)x2^(-1)
该数为负数，所以数符为1.
阶码=阶码真值+127=-1+127=126=(01111110)2
尾数=0.1000……0
所以浮点数代码为1，01111110，1
注意：IEEE标准尾数采用的是原码
现在来看一个10进制转换为16进制以IEEE为标准：
float
共计32位，折合4字节
由最高到最低位分别是第31、30、29、……、0位
31位是符号位，1表示该数为负，0反之。
30-23位，一共8位是指数位。
22-0位，一共23位是尾数位。
每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组。
每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即：DCBA
一步步的将float型浮点数12345.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示：1 11100010 01000000也可以这样表示：11110.0然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样：1.11100 * ( 2 ^ 16 )好了，现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧！所以这个1我们还有必要保留他吗？好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了：11100最后在尾数的后面补0，一直到补够23位： 再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 - 255的无符号整数，也可以表示-128 - 127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时都先加上127，在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为：1.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来：
0 10001111
01000111 11110001 00100000 00000000
再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了：00 20 F1 47。(因为在内存中的存储是倒序的)
现在你自己把54321.0f转为二进制表示，自己动手练一下！
最后我们来讨论精度的问题：
记得以前我和我们老师讨论个问题，这个老师的确不咋样，float的确有个取值区间，可是不是在这区间里的值它都能准确表示。由于灵敏度的原因。
以下为COPY
有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。
按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制：100100011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000……，这些位阶分母的关系是10^1、10^2、10^3……，现假设每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在这里就是5、7、8、2、6，而这个纯小数就可以这样表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样：
n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) )
天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了！没办法，为了广大编程爱好者的切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.45这个十进制纯小数，化为该如何表示呢？现在你动手算一下，最好不要先看到答案，这样对你理解有好处。
我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步骤：1 / 2 ^1位（为了方便，下面仅用2的指数来表示位），0.456小于位阶值0.5故为0；2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.45减去0.25得0.206进下一位；3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；5位0.0185小于0.03125，为0……问题出来了，即使超过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在这里不是要给大家讲《数值计算》，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。
OK，我们继续。嗯，刚说哪了？哦对对，那个数还没转完呢，反正最后一直求也求不尽，加上前面的整数部算够24位就行了：1111011.11001。某BC问：“不是23位吗？”我：“倒，不是说过了要把第一个1去掉吗？当然要加一位喽！”现在开始向左移小数点，大家和我一起移，众：“1、2、3……”好了，一共移了6位，6加上127得131（怎么跟教小学生似的？呵呵~），二进制表示为：10000101，符号位为……再……不说了，越说越啰嗦，
大家自己看吧：
0 10000101
42 F6 E9 79
79 E9 F6 42
下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。对于纯小数，比如0.0456，我们需要把他规格化，变为 * （2 ^ n ）的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log (2)X );
0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。转化为这样形式后，再按照上面第二个例子里的流程处理：
1.
去掉第一个1
-5 + 127 = 122
0 01111010
最后：
11 C7 3A 3D
另外不得不提到的一点是0.0f对应的十六进制是00 00 00 00，记住就可以了。
最后贴一个可以分析并输出浮点数结构的函数源代码，有兴趣的自己看看吧：
// 输入4个字节的浮点数内存数据
void DecodeFloat( BYTE pByte[4] )
{
printf( "原始（十进制）：%d %d %d %d
" , (int)pByte[0],
(int)pByte[1], (int)pByte[2], (int)pByte[3] );
printf( "翻转（十进制）：%d %d %d %d
" , (int)pByte[3],
(int)pByte[2], (int)pByte[1], (int)pByte[0] );
bitset<32> bitAll( *(ULONG*)pByte );
string strBinary = _string
( 9, " " );
( 1, " " );
cout << "二进制：" << strBinary.c_str() << endl;
cout << "符号：" << ( bitAll[31] ? "-" : "+" ) << endl;
bitset<32> bitTemp;
bitTemp = bitAll;
bitTemp <<= 1;
LONG ulExponent = 0;
for ( int i = 0; i < 8; i++ )
{
ulExponent |= ( bitTemp[ 31 - i ] << ( 7 - i ) );
}
ulExponent -= 127;
cout << "指数（十进制）：" << ulExponent << endl;
bitTemp = bitAll;
bitTemp <<= 9;
float fMantissa = 1.0f;
for ( int i = 0; i < 23; i++ )
{
bool b = bitTemp[ 31 - i ];
fMantissa += ( (float)bitTemp[ 31 - i ] / (float)( 2 << i ) );
}
cout << "尾数（十进制）：" << fMantissa << endl;
float fPow;
if ( ulExponent >= 0 )
{
fPow = (float)( 2 << ( ulExponent - 1 ) );
}
else
{
fPow = 1.0f / (float)( 2 << ( -1 - ulExponent ) );
}
cout << "运算结果：" << fMantissa * fPow << endl;
}