判断函数奇偶性不能忽视的定义域
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2020年08月02日 04:02
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■汪小兵
作为函数三大要素之一的定义域，在函数奇偶性的判断中起着至关重要的作用，研究函数的奇偶性时，应特别注意考查函数的定义域，否则将导致解题出错。
一、未注意定义域的对称性出错
例1、判断函数f（x）＝（1＋x）的奇偶性。
错解：f（－x）＝（1－x）
＝（1－x）
＝（1＋x）
＝（1＋x）＝f（x）
∴函数f（x）为偶函数。
分析：函数为奇偶函数的必要条件是定义域关于原点中心对称，故判断函数的奇偶性，应先考虑定义域及对称性。
由≥0知定义域为｛x│－1＜x≤1｝，不关于原点对称，故函数f（x）为非奇非偶函数。
二、定义域为动区间时不讨论出错
例2、判断函数f（x）＝的奇偶性。
错解：由x＋a≠0知定义域为（－∞,a）∪（a, ＋∞），不关于原点中心对称，故函数f（x）为非奇非偶函数。
分析：参数的取值不确定，在不同取值情况下，定义域也不同，应作分类讨论，当a≠0时，上述解法是正确的，而当a＝0时，定义域为（－∞,0）∪（0, ＋∞）关于原点对称，且f（x）＝x2,函数为偶函数。
三、误求定义域出错
例3、已知f（x2－3）＝lg，判断函数f（x）的奇偶性。
错解：设t＝x2－3,则x2＝t＋3，∴f（t）＝lg∴f（x）＝lg由＞0及x－3≠0知定义域为（－∞,－3）∪（3, ＋∞）关于原点对称。
又∴函数f（－x）＝lg＝lg
＝lg（）－1 ＝－f（－x）
∴函数f（x）为奇函数。
分析：用变量代换法要注意新旧变量的取值范围及其关系，错解没有考虑新变量的取值范围，误求定义域，导致错判奇偶性。
由＞0，得x2－6＞0，即x2＞6，∵t＝x2－3,∴t＞3从而应由f（t）＝lg（t＞3）得f（x）＝lg（x＞3），由于定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数。
四、化简变形脱离定义域出错
例4、判断函数f（x）＝的奇偶性。
错解：由9－x2≥0且│x－3│≠0知函数的定义域
为｛x│－3≤x≤3且x≠0｝，关于原点中心对称。
∵f（－x）＝＝≠±f（x）
∴函数为非奇非偶函数。
分析：利用定义域可以简化复杂函数的解析式，使f（－x）与f（x）的隐含关系显露出来，错解在化简时没有结合定义域，使化简半途而废，从而误判奇偶性。
当－3≤x≤3且x≠0时，│x＋3│＝x＋3, │x－3│＝3－x,则f（x）＝，f（－x）＝，∴f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数。
五、取值超越定义域出错
例5、函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域中任意两个不同的值x1,x2,都有f（x1－x2）＝，判断f（x
）的奇偶性。
错解：设x
是定义域中的一个值，令x1＝0,x2＝x≠0，得f（－x）＝，再令x1＝x≠0，x2＝0得f（x）＝，∴f（－x）＝f（x）∴函数f（x）为奇函数。
分析：题设中“定义域关于原点对称”并无“一定包括原点”的含意，若原点不在定义域中，则令x1＝0或x2＝0将使式子无意义，如函数f（x）＝cotx的定义域关于原点对称，且cot（x1－x2）＝,但x1＝0或x2＝0时，由于0不在定义域内，所以cotx不存在。
正解：由已知式知x1－x2在定义域内，设x＝x1－x2由定义域关于原点对称知－x＝x2－x1也在定义域内，于是有f（－x）＝f（x2－x1）＝，而f（x）＝f（x1－x2）＝，∴f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数