艾滋病常识-公安海警高等专科学校

小学数学教学设计主要包括如下环节：
(一)确定教学目标。这里的教学目标是由教学 完成之后学生会做什么界定的。《标准》
和学生的学习特点、教材内容是教师确定教学目标的主要依据。 教学目标的叙写要求尽量用
可观察和可测量的行为术语陈述预期学生要获得的学习结果。
(二 )分析教学任务。分析目标中暗含的学习类型，揭示有效学习的条件；分析从学生的
原有水平到达教学目 标之间所需要的从属知识和技能，并确定他们之间的层次关系，确定学
生的起点能力。
(三) 分析学生和环境。分析学生包括分析学生原有知识、技能、学习态度和其他相关的
个性特征等，分析环境 包括分析知识技能学习的情境和知识技能的应用情境。
(三)教学策略设计。根据教师在任务分析中所 确定的教学目标类型，根据学习理论、新
课程的教学理念、学习内容、学生特点选择教学步骤，包括预备 活动、呈现信息、提供练习
与反馈、测验以及课后活动等策略。
(四)选择教辅材料。教学挂图、教具、教学指导书、已有的可以利用的有关教材和电子
资源。
(五)教学设计的评价。对照预先设置的教学目标，确定学生是否达到规定的教学目标，
并提出 修改进教学的意见。
一、小学数学
课堂
教学设计中的目标设计
(一)课程目标和教学目标
数学课程目标（GOALS）体现了用预期达到的教育结果来支配 教育行动的思想。它预
期的是在具体情景下，学生行为变化的结果。即“学完这些数学后学生能够干什么 ”。课程
目标可以分为两个层次：一是宏观目标。指某一课程内容结束时所要达到的目标，也可以是某一学习阶段结束时所要达到的目标。它反映国家或地方教育机构对课程的学习要求，规定
了课程学 习的主要内容和标准。由国家或地方教育机构和课程专家制定。《标准》规定的目
标就属于这类目标。二 是微观目标，即教学目标。指一节或几节课上要完成的具体目标，主
要陈述学生通过学习需要掌握的知识 、技能以及应该形成的情感态度。是宏观目标的具体体
现。由任课教师制定。
课程目标对于整 个教与学的活动有定向、激励、评价的功能。根据课程目标和教学实际
确立教学目标，是给整个教学设计 定位。不同的教学目标，将导致不同的教学设计。所以，
教学目标的设计，是数学教学的重要环节。

(二)课时教学目标的设计与陈述
制定单元教学目标和课时目标，是教师进 行教学目标设计的主要任务。本节主要讨论课
时教学目标的设计。课时教学目标，是指一节课的教学目标 。
1、课时教学目标的设计
确定课时教学目标，首先要根据课程目标确定单元教学目标，明
确单元教学的任务。即学生通过学习后要完成哪些任务。在此基础上
进行设计。在设计教学目标 时，
可以按照以下的步骤进行：
（1）分析教材内容，初步确定教学目标
本书第二 章我们已经学习了如何进行教材分析。在进行课时教学目标的设计
时，还应注意教材的组织和呈现方式、 理解
教材的编排意图，因为教材是根据数学课
程标准编制的，它蕴涵了各个学段数学课程标准的 要求。教材的例题和习题也可以体现教学
的重点，而教学重点和教学的目标往往有对应关系。同时，在分 析教材，也要注意参考其他
一些教学资料和有经验的教师的经典教学案例，用审视的眼光，深入思考、反 复追问：通过
本节课的教学，要达到什么目的。
（2）分析学生特点，明确教学目标
教材分析为课时教学目标的确定奠定了基础，但要使教学目标的确定符合学生的实际，
需要对具体班级 的学生进行分析。学生在学习新知识时，原有的学习起点、学习能力、学习
需要、学习方法和学习习惯、 相关的知识和技能对新的学习非常重要。教师对学生学习状况
的认识，将直接影响目标的确定、教学内容 和教学方法的选择。所以，要在学习之前进行判
定。学生的作业、小测验、平时提问、教师的观察等都可 以作为依据。
对学生的了解，涉及的方面较多。在进行教学设计中，不可能也没有必要对学生的所有< br>特点进行分析，只要抓住与教学任务有关的、重要的特点进行分析既可。在这一环节中，应
注意具 体、有针对性地分析，避免泛泛而谈。
（3）参照课程标准，完善教学目标
《标准》把教学 目标细化为“知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度”四个方
面，前三个目标大致可以归为认知 领域，后一个可以归为情感态度领域。在数学学习中，知
识、技能的掌握是问题解决的基础，而数学思考 、情感态度则伴随在上述目标的实现过程中。
精心设置教学目标，努力实现上述四个方面的整合，这是实 施新课程资源整合的一个重要内

容。
由于教学目标就是教师对学生学习结果的 预期，所以教学目标和学生的学习结果是相同
1
的。如果把上述四个目标和加涅的学习结果分类 相对照，它们之间的对应关系大致可为：知
识属于言语信息，技能和问题解决属于智慧技能，数学思考属 于认知策略，情感与态度则属
于态度范畴。加涅的学习结果分类对于课时教学目标的设计具有重要的指导 作用。
2、目标陈述的基本要求
（1）教学目标陈述的是学生学习的结果
，陈述< br>通过学习后学生会做什么和说什么。
而不是陈述教师应该做什么。
（2）教学目标的陈述应该力求简单、准确、明确。知识技能目标尽量做到可以观察和
检测量。
“简单”指每课时的教学目标不要太多，太多反而没有目标。同时表述要简单易记；
“准确”指目标要与《标准》的要求相一致，否则容易偏离方向。
“明确”指表述要尽量用规 范的、意义明确的用语。用一些行为动词将学生应做什么和
会说什么具体化，这样目标陈述就可明确。
（三）教学目标设计和陈述的实例
【例】教学课题：《认识数1—5》（人民教育出版社义务 教育课程标准实验教科书数学一
年级上册）
1、教材分析：
本单元教材内容由两部 分构成，一是“5以内各数的认识”，另一部分是“5以内数的
加法和减法”，这部分教材是数概念中最 基础的知识之一。是学生学习数学的开始。结合课
程总目标中与“数的认识”相关的要求和第一学段的教 学目标可知，通过学习，学生要能熟
练地数、认、读出1—5各数，了解数的组成，了解基数和序数的含 义，认识数0，初步了
解加减、法的含义并能进行5以内数的口算。
《认识数1—5》是本单 元的第一课时。我们知道：自然数是一类等价的有限集合的标
记。即是说，
0
1

以外的
自然数表示非空有限集合中元素的个数。在九年制义务教育小学

庞国维著：数学学习与教学设计（小学卷）上海教育出版社 2005（6）

数学教科书中，关于10以内自然数的教学，体现了数学家关于自然数概念的一些研究成果。
本节教材基 于儿童已有的关于数数的经验本节教科书突破了以知识为主线的呈现方式，为学
生提供了如下活动：找出 野生动物园各种动物——点数每一种动物的只数——将每一种动
物的数量用小棒表示——抽象出1-5各 数——认读1—5各数——按数摆自己经验中的图
形等。分析教材，我们可以体会其编写意图：
(1)分类：将观察到的动物归类，构建集合。
(2)建立图像模型：引导学生从物体数量的 角度观察事物，并用小棒表示相应集合中对
应元素。
(3)建立符号模型：用数字刻画集合中元素的个数。
(4)自然数的应用：用数表达现实生活中事物的多少。
本节学习内容的教学重点， 是让学生感知自然数基数的含义
（也是难点）
，初步建
立起关于自然数的概念。学会数 数、认数。这一学习过程中，也渗透了数学的分类的思想、
对应的思想、符号化思想。
2、分析学生
我们知道对于刚入学的儿童来说，他们对数的感知是模糊的。虽然他们大都能数出“1、
2、3、4……”，也可以用数表达“几个人”、“几朵花”、“几颗糖”等具体数量，但不能离开这些具体事物抽象出数，对数的基数和序数含义也不太清楚。在教学中通过“实物——图
象——符号 ”这种知识的呈现方式，让学生经历从日常生活中抽象出数的过程，体会自然
数的含义，有助于培养学生 的数感和符号感，体现数学的教育价值。
本节的教学目标可以确定定位为：
(1)能表述5以内数字表示的数的含义。
(2)会读5以内各数。能按物数数、按数取物，会用数字 、实物或图形等多种方式表示物

体的个数。
(3)能积极主动地参与学习活动。
如果将本节目标陈述为：“了解生活中数及生活常识，感受到生活 中处处有数学，体会
用数学的乐趣，进而体验成功的乐趣”，那么，一方面，“了解生活中的数”属于认 知领域，
“体会用数学的乐趣”属于情感领域，这出现了学习类型的交叉，另一方面，也不能确定学生通过学习具体能学到什么。
二、小学数学课堂教学任务分析设计
任务分析的 基本思想是主张学习有不同的类型，不同类型的学习有不同的过程和条件。
任务分析的目的，是促使教师 运用现代学习论和教学论，依据学生学习的规律进行教学。这
里，我们把课堂教学任务分析界定为做以下 几项工作：
（一）对教学目标中蕴涵的学习结果进行分类
当代学习心理学关于学习结果分类 的理论，为我们进行小学生数学学习的分类提供了理
论指导，利用学习结果分类知识，将有助于更好地鉴 别教学目标中学习结果的学习类型。
比如，“长方形面积计算”教学目标：
1、借助带有方格的面积图，说明当长与宽都是整数时，长方形面积等于它的长乘宽的
理由；
2、对给予的长方形和实物，能正确计算它的面积；
3、学习利用数形结合、对应的思想方法解决问题的策略；
4、培养学生初步的辨证唯物主义观点。
学习目标中，目标1属于陈述性知识的学习，是长方 形面积计算公式学习的陈述性阶段，
目标2属于智慧技能中的规则运用，即对外办事的能力。目标3为策 略性知识，目标4为情
感与态度目标。
（二）分析实现教学目标（预期的学习结果）需要的条件
分析实现教学目标需要的条件，包括 内部条件（学生自身的条件）和外部条件（学生自
身之外的条件），这里主要指内部条件。内部条件又分 为必要条件和支持性条件。必要条件
是指缺少了它学习不能产生的条件。比如智慧技能学习的必要条件， 就是使终点目标得以实
现而必须先行掌握的子目标。可以从终点目标出发，反复提出这样的问题：“学生 要完成这
一目标，必须预先具备哪些能力？”一直追问到学生的起点状态，即起点能力为止。然后教师把学生需要掌握的子目标按顺序排列出来，为教学顺序提供依据。支持性条件是促进或减

< br>缓新能力形成的条件（包括学习习惯、态度、学习方式等）。比如，上述“长方形面积计算”
学习 中：
必要条件：掌握长方形中“长”和“宽”的概念。按照加涅的智慧技能学习层次论，规
则 学习的先决条件是概念，所以长方形面积计算公式（规则）的学习以“长”和“宽”的概
念为前提条件。
支持性条件：能使用数形结合思想方法和归纳推理的策略。由于长方形面积计算公式的
得出，是 学生第一次经历由面积的直接计量发展到间接计量，所以掌握了“长”和“宽”两
个概念还不足以理解面 积的计算公式。最重要的是找到长方形的面积和边长的关系。而这需
要通过陈述性知识的形象表征形式， 让学生用单位面积（透明方格）去发现长边边长和宽边
边长与单位面积个数的对应关系。从而归纳出面积 公式。
三、小学数学教学策略设计
教学策略设计主要指教学过程的安排、教学方法 的选用等方面的设计。解决“如何教”、
“如何学”的问题。教学策略是指向具体的、特定的教学目标而 采取的有针对性的措施，不
同的学习类型、不同的教学目标，应该有不同的教学策略，所以，它具有灵活 性、多样性的
特点。
教学策略的设计，尤其要重视体现教学方式和学习方式的转变，体现“预 设”与“生成”
的统一。“预设”是预测和设计，是教师课前对课堂教学进行的有目的有计划的设想和安 排。
“生成”是生长和建构。是师生在交往互动中超出教师预设方案之外的新问题、新情况。要
实现预设和生成的统一，教师应为学生的自主、合作、探究的学习方式提供空间。
（一）概念的教学策略设计
小学数学概念包括数的概念、运算概念、量的概念、几何概念、统 计概率的概念、简易
方程的概念、比和比例的概念、数的整除概念等共560多个。象1+1=2这样的 简单算式，
就涉及到数概念、运算概念、符号概念。所以，数学概念是形成数学知识体系的基本要素，< br>是基础知识的核心。加强概念的教学，是提高教学质量的重要保证。
概念学习的本质是掌握一类 事物的共同本质特征。具体的学习有两种水平，一是把概念
作为陈述性知识学，要求学生能说出概念的名 称、含义或其关键特征。二是把概念作为程序
性知识学习，习得概念后能用概念的关键特征对概念的正反 例进行区分，能够熟练运用概念
的定义去进行判断、分类、推理。这两种学习水平，前者是后者的基础和 前提。即学生首先
以陈述性知识的形式掌握概念的关键特征，再利用这一关键特征去做事。落实概念学习 的这
两种水平，才能够形成智慧技能。

由于获得概念的主要形式是概念的形成 和同化，因此，小学数学概念教学主要采取两
种方式。
1．概念形成的教学策略
概念的形成，是指对同类事物中若干不同例子进行反复感知、分析、比较和抽象，以归
纳 方式概括出这类事物本质特征，从而达到掌握这一概念的过程。对于初次接触或较难理解
的概念，可以采 用概念形成的方式进行学习。下面结合教学案例来说明概念形成的教学过程
和方法。
【例】分数的意义教学片段：
联系生活，认识分数的意义
1．出示生活中的分数，引导学生，看一看，说一说；把什么看作一个整体，平均分成
多少
份？表示这样的几份？
（1）活动中的分数：中国象棋；
第1副棋盘上，红棋子占棋子的
1
，
2
8
第2副棋盘上，红棋子占棋子的。
17
生：把棋盘上的棋子看作一个整体，平均分成2份，红棋子表示这样的1份；
生：把棋盘上的棋子看作一个整体，平均分成17份，红棋子表示这样的8份；
【反思：这是 一个下象棋的过程，之所以选择这样的素材，一方面是因为素材离学生的
生活近，另一方面，中国象棋本 身是一种民族的素材，是一种民族文化的渗透和传递。在这
方面很值得我们进一步探索，一个渗透民族文 化的数学学习体系有待创建。】
（2）网络上的分数。
中小学生的睡眠状况让人担忧，约有 23的小学生和34的初中生睡眠严重不足！中
国青少年研究中心副主任孙云晓公布了当前青少年生活习 惯研究的一些数据。
师：上面数据23把什么看作一个整体，平均分成多少份？表示这样的几份？

生：把所有的小学生看作一个整体，平均分成3份，睡眠严重不足的有这样的2份；
师：你们的睡眠时间足吗？生：不足。【几乎异口同声，这是怎么回事？】
师：有谁知道小学生睡眠时间多少才算不足？生：10 时。
师：初中生的睡眠情况怎样？我 们也来关心一下他们。生：把所有的初中生看作一个整
体，平均分成4份，睡眠严重不足的有这样的3份 ；生：初中生更可怜了。
（3）报纸中的分数。
师：杭州的房产一直备受关注，现在二手房 市场也日趋火爆。到底怎样的价位的二手房
最抢手呢？我们来看一则报道。
信息：《今日早报 》3月13日，8版，标题：60万元二手房最抢手；据报道，从三月第
一周的成交结构看来，总价在6 0万元以下的二手房成交量占总成交量的34。
生：把总成交量看作一个整体，平均分成4份，总价在 60万以下的二手房成交量有这
样的3份；
（4）电视里的分数。
信息：据中央电 视台3月5日报道，综合考虑国内外各种因素，今年经济社会发展主要
预期目标是：增长部分将占去年国 内生产总值的8100左右。（讨论略）
师：你们知道这个8100是什么意思吗？
生：【开始有点困难】把经济社会发展……
生：不对，把国内生产总值看作一个整体。
师：能更明确吗？生：去年国内生产总值；
生：平均分成100份，增长的部分表示这样的8份。
师：听的出来，我们对这个分数 的了解是粗浅的。包括老师在内，对它的了解也是有限
的。国内生产总值简称GDP，听说GDP是衡量 一个国家富有程度的重要标志。至于它的内

涵，以后我们慢慢会了解的。
【反 思：信息的获取的途径分别是网络、报纸和电视。简单看来，这是一种外在的表现形式，
但其实质也不容 小视。从培养学生信息素养的角度看来，从不同的渠道获取信息本身也是一
种需要促成的技能和素质。这 也是数学课程标准所关注的一条具体目标。同时，从多种媒体
都能获取分数的信息，也说明分数在生活存 在的广泛性和普遍性。】
（5）概括分数的意义：
师：刚才，我们从身边的活动中，通过网络、报纸、电视知道了很多的分数，那么到底
什么是分数呢？
【结合板书】我们把用来平均分的整体，用一个词来概括，叫做单位“1”，把单位“1”
用来平均的份数，也用一个词来概括：平均分成若干份，表示这样的1份或几份，这样的
数就叫做分数 。
教师板书：
把？看作一个整体，平均分成？份，表示这样的？份
所有的棋子 2 1
所有的棋子 17 8
全国小学生 3 2
全国初中生 4 3
所有成交量 4 3
去年国民生产总值 100 8
…… …… ……
单位“1” 若干份 1份或几份。
【就是通过呈现不同题材，反映分数的基本特征，都是把一个整体（也就是单位1）平均 分

成若干份，表示其中的一份或几份，这样的数就叫分数。】
（1）教学的基本步骤：
（1）概念的引入——提供概念的例证
上 例提供的分数概念的几个例证，突出了概念的关键特征。利用例证，激活学生原有的
关于该概念的已有的 知识和生活经验，这是概念教学的重要步骤，目的是让学生理解概念的
关键特征。概念引入的方法很多， 常用的有实例引入、计算引入、猜想引入、情景引入等。
（2）概念的形成——揭示概念的本质属性
在学生初步感知概念的某些本质属性之后，这一环节 的教学重点是引导学生分析、比较，
及时抽象、概括出概念的本质属性。具体的做法是：
分化出概念例证的各种属性。比如，上例中单位“1”、平均分、这样的一份或几份数。
概括出概念例证中共同的本质属性。比如：上例中关于分数意义的概括。
检验假设，确认关键 属性。在这方面，采用变式是一种有效手段。变式是指概念的例证
在非本质属性方面的变化。利用变式的 目的是通过非本质属性的变化突出本质属性，如果特
征在变式中都出现，就可以确认是共同本质属性。
完成本质属性的概括，形成概念。用语言对概念进行描述或为概念下定义。
（3）概念的理解和转化
学生知道了概念的含义并能用语言陈述同类事物的共同本质属性，只是完成了 陈述性阶
段的学习，即第一级水平。但这还不够。不少学生在解决一个问题时，百思不得其解。可是经过别人的提醒，会恍然大悟。其原因就在于不是缺乏所需要的陈述性知识，而是缺乏与具
体的知识 相对应的以“如果…那么…”的形式表示的规则。在概念教学中，要把陈述性知识
转化为程序性知识，使 之能在新的情景中应用，需要有一个练习和转化的环节。通过练习促
进学生对概念的深入理解，转化为办 事的规则。
（4）
打破学生原有的知识结构,将知识进行有必要的拆分、加工和重组.

我们还认 识到：学生学习的过程，应该是自我生成的过程，这种生成是他人无法取代的，是
由内向外的生长。因此 学生的学习应该是以原有的知识与经验为基础，主动建构的过程。构
建知识需要遵循知识的内在规律，遵 循学习的内在规律，遵循大脑的内在运行规律。如果你
不按照知识的内在规律来构建知识，知识之间联系 就会发生混乱，知识 就会解体。如果你
不按照学习的内在规律来构建知识，不但学习的效果很差，而且 你也不能很好的理解知识，
不能在知识之间建立起有效的联系，更不能很好的记忆 知识。如果你不按照 大脑的内在运

行规律来构建知识，你会感到很困难，常常只是对知识的表面理解，而不能 将知识与自己的
智力融合在一起，构成知-能体系。
（5）概念的运用
要 使概念在学生头脑中形成稳定的观念，还需要用它解决问题。在小学主要是通过设置
练习情景来达到运用 概念的目的。运用概念的过程，实际上是概念具体化的过程，而概念的
具体化有助于学生对概念的深刻理 解和牢固掌握。
【例】一块地的面积是200平方米，这块地的
1
种黄瓜，黄瓜地是多少平方米？
4
师：现在是把什么看作单位“1”，平均分成几份？怎样求这样的1份。
生：列式计算：200÷4＝50（平方米），
师：我们也可以用分数来表示黄瓜地的大小，怎样表示：
200
。
4
【反思：虽然学生已有相应的用整数解决问题的基础，但用分数表示结果，既可以沟通
分数和除法之间 的关系，还可以借助书写外形，强化分数的意义。因为
既是200的
200
具有双重含 义：
4
1200
，又是1的。就知道把200看作单位“1”，平均分成4份，表示这 样的
44
1份。从解决这个问题的角度看来，可以只用整数的“归一”方法来解答，但从巩固分 数意
义的角度，用分数的形式来表示这样的1份，有一定的必要。】
2．概念同化的教学策略
概念同化是指学生利用原有认知结构中的观念来接纳新概念的过程。概念同化的过程不
仅 使知识获得意义，而且扩大了原有的认知结构，它是一种有意义的学习。学习的关键是要
把握好新概念和 原有概念之间的关系。
【例】正方形的认识
正方形的认识之前认识了长方形。在判断一些图 形的时候，引出一个特殊的长方形，那
就是四条边都相等的长方形。



教学的基本步骤：

（1）概念的引入——提示原有的知识
和概念形成的教学一样，概念同化的教学也要让学生理解概念的关键特征。但理解的方
式不一样。概念形 成是上位学习*，而概念同化是下位学习。如本例中，在学习“正方形”
时，用于同化的上位概念是“长 方形”。因此，概念同化教学在引入环节中，要注意引导学
生回忆原有的、概括程度、包容范围更大的概 念和相关概念。
（2）概念的形成——揭示概念的本质属性
采用概念同化的方式教学，基本步骤是：
揭示概念的本质属性，给出概念的定义、名称和符号。 解释定义中的词语符号代表的意
义，使学生准确理解概念；
（3） 找出新旧概念的异同，将新旧概念相联系，将新概念纳入到已有的认知结构中；
（4）利用肯定例证和否定例证进行辨认，以便区分新旧概念，促进知识的迁移；
（5）概念的理解和转化；
（6）概念的运用。
在概念教学中，由于新概念有的是 在原有概念基础上形成的，有的是原有概念的限制、
延伸或扩充，因此，概念之间有着内在的关系，如对 立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关
系、并列关系等，这些联系是建立概念系统的前提，也是形成良好 认知结构的重要好内容，
所以要及时将所学的概念加以整理，形成概念网络，这有助于理解和吸收新概念 。
（二）规则的教学策略设计
数学规则的学习主要是指公式和法则、定律和性质 的学习。规则学习，实际上是学习几
个概念之间的关系。因此，概念学习是规则学习的基础。作为程序性 知识的规则，它的学习
首先要经历陈述性学习阶段，但规则学习不仅是习得描述规则的言语信息。即是说 ，学生能
理解并能陈述表达规则的命题，并不能认为他已经掌握了规则。规则学习还需要将陈述性知识转化程序性知识，以便在新的具体情境中解决新问题。规则教学一般有两种形式：例—规
法；规— 例法。
1．例—规法
例—规法的教学是从若干例证中归纳出一般结论的教学。它首先与规则的上位学习相对
应。
【例】《长方形体积计算》（教学片段）（上海市特级教师 叶季明）
《新课程备课新思维》P137

师：我们已经知道，长方体的体积就是 指长方体含有的体积单位数。所以，求长方体的
体积就是求长方体所含有的体积单位数。下面就让我们运 用1立方厘米的体积单位来研究
长方体的体积的计算方法。
1．教师拿出12个1立方 厘米的体积单位，请学生堆放一个长方体。摆一摆，可以摆出
长、宽、高分别是多少的长方体？说一说， 怎样计算长方体所含有的体积单位数？
学生分别摆放出不同长、宽、高的长方体，并明确只要用 长一行放的体积单位数乘以宽
一行所放的行数，得出一层所含的体积单位数，再乘以高一行所放的层数， 就是它所含的体
积单位数。为学生的认识打下了感性的基础。
2．教师要求学生仍然用 这12个1立方厘米的体积单位，摆出一个体积要比12立方厘
米更大的长方体。
师：刚才大家不论怎样 摆，所摆出的长方体的体积都只有12立方厘米，能不能仍然用这
12 个1立方厘米的体积单位，凭借你们的想像， 摆出一个体积比12立方厘米更大的
长方体？
这样一个具有挑战性的问题激起了学生的好奇和疑问，能堆放出这样的长方体吗？经
过短时间的沉思，学 生尝试着拉开各个体积单位之间的距离，终于有1个、2个、3个……
更多的学生摆出来了。
生1：我用12个1立方厘米的小正方体摆成一个体积是15立方厘米的长方体，我想像中
间是3个1立 方厘米的小正方体。这样，长一行有5个1立方厘米，宽一行有这样的
3个，摆了一层，体积是15立方 厘米。
生2：我先摆了一层，是9立方厘米，再借助想象，这样表示摆了两层，体积是18立方厘
米。
师：（借助电脑演示）噢！原来是摆了这样的一个虚拟的长方体。

生3：老师 ，我把它上面放的3个小正方体竖起来放，成为一个有这样4层的虚拟的长方体，
体积更大了，它的体积 是一层的9立方厘米乘以4，是36立方厘米。
师：好，现在你们能再摆出一个体积更大的虚拟的长方体吗？
这时学生不再如刚才那么困惑，人人都为自己的创造欣喜，为自己的成功骄傲，并进
一步摆
出了表示长、宽、高三条棱所组成的一个虚拟的长方体。
教师再配上电脑画面的演示， 使学生对长方体的体积与从它的一个顶点引出的三条棱之
间的关系，有了一个清楚的认识。
3．教师出示一个长方体的立体图，要求学生求这个长方体的体积。（单位：厘米）
生：只要把它的长、宽、高相乘就是它的体积，也就是10×6×5=300（立方厘米）。
师：为什么用它的长、宽、高相乘就可以得到它的体积呢？
生：因为它的长是10厘米，长一 行可以放10个1立方厘米的体积单位，宽6厘米，就可
以放这样的6行，一层就是10×6=60厘米 。高5厘米，就可以放这样的5层，再乘
以5，体积是300立方厘米。所以，长方体的体积是：10× 6×5=300立方厘米。
教师在学生解释的同时配置了电脑动画的演示，学生对长方体里含 有的体积单位数—
—正好是长、宽、高相乘的积——有了一个清晰的理解。
4．总结长方体的体积计算公式。
例—规法教学的基本步骤：
（1） 回忆原有的与新知识相关的知识；
（2）提供丰富的例子，引导发现；在这一环节，例证应尽量涵盖各 种典型类别，以使学生
发现原理和理解原理。
（3） 比较分析，概括原理；
（4）利用正反例，明确规则的适用条件；
（5）变式练习，巩固规则。

上述教学案例中教师的教学基本遵循了例—规法的一般教学过程，但又对传统的教学结
构中各个教学步骤 进行了更符合新课程理念的改造。体现了新课程教学观下的设计理念，即
从公式的形式推导转变为公式意 义的理解。。
首先，在提示了前提性知识后，老师让学生自己摆长方形。由学生自己生成了多样的例< br>子，开发了丰富的教学资源。其次，学生通过操作实物教具————操作虚拟变式实物——
分析抽 象的几何图形，使学生经历了“感知规则—形成关于规则的表象—抽象概括规则”的
心理过程和“具体— 抽象—符号”的数学化过程知识的形成过程。并且每次操作都给学生交
流和反思的时间和机会。再次，学 生关于规则的陈述性知识，是自己建构的。学生同时由于
有多次的变式操作，深入理解了法则，也缩短了 向程序性知识转化的过程。
（2）规—例法
规—例法的教学是先给学生呈现规则，再用实 例说明规则的教学。与规则的下位学习相对
应。呈现规则有两种不同的形式：直接陈述和推演式。
推演式教学案例：
【例】除数是小数的除法数学学习与教学设计P131
1．出示例题：0.45÷0.9=
看看这题与前面学的除法有什么不同？（学生：齐答）（学生：齐读课题）
（1）提示课题：除数是小数的除法
这是一个新的知识点。一般我们在学新知识时，往往把新知识 转换成已学过的知识。想想
把除数是小数的除法转换成已学过的什么除法，我们就会计算了呢？
（2）如何转换呢？（学生：四人讨论，师生共同完成）
第一步：把除数转换成整数，也 就是把0.9扩大10倍变成9；那么在除法列竖式时该
如何处理呢？撇去除数的小数点。
第 二步：如果除数扩大10倍，要使商不变，被除数也要怎么办？所以它的小数点也
要向右移一位。怎么移 动呢？撇去被除数的小数点，点上被除数新的小数点。
第三步：点什么？（学生：回答）点上商的小数 点。注意：要和被除数现在的小数点

对齐。
（3）视算：现在就可按除数是整数除法的方法进行计算了。（学生视算）
2．小结：我们把 中间的转换过程概括为四个字：撇——撇去除数的小数点，使除法
成整数；撇——自撇去被除数的小数点 ；点——扩大相同倍数后，点上被除数新小数点；
点——商的小数点与被除数新小数点对齐。
规—例法教学的基本步骤为：
（1）复习旧知识，激活相关规则；
（2）利用迁移，引入新规则；
（3）呈现例证，支持新规则；
（4）提供规则的正反例，理解规则；
（5）尝试运用，巩固新规则。
上述案例中新规则的教学是用规—例法进行的。老师先结合例子，和学生一起，利用
商不变的性质将除数 是小数的除法转化为除数是整数的除法，从而概括出新规则。再应用规
则进行变式练习。使学生将规则的 运用逐渐变得自动化。
让学生在规则的学习中进行练习是极为重要的一个环节，但是单调重复的练习并 不有
效。我国一个小学生基本计算技能的测查结果显示，六年级小学生在计算28÷7×4时错误
率为11%，不少学生先算7×4。可见，要使学生掌握规则，习得“如果。。。那么”的产生式，
要 注意让学生进行变式练习，并及时给学生提供反馈信息，及时分析练习中的错误，防止积
习难改。
（三）问题解决策略的设计
关于问题解决，在第三章有较详细的论述。从20世 纪80年代起，问题解决（解决问题）
就成为国际数学教育的主流。但什么是问题解决，由于理解的层面 不同，至今没有统一的认
识。在加涅和奥苏贝尔的学习分类中，问题解决指学习的最高形式，即学生改组 已有的知识、
概念、规则，获得新规则或新思想的过程。美国数学指导委员会在《21世纪的数学基础》
中指出，“问题解决是把前面学到的知识应用于新的和不熟悉的情境中的过程”。我国《课程
标 准》把也把解决问题作为教学的目标之一。我国有学者认为：问题解决中的问题不是常规
问题，即没有现 成的法则原理可以直接运用。它不仅仅是一种情境，人们可以从不同的角度

去理解。问题 应具有开放性、新奇性和可探究性。问题解决就是学生在新的情境下，综合运
用知识、技能、策略对面临 的问题寻求结果的活动过程。
【例】两位数乘两位数
特级教师朱乐平老师上过一节课“两位 数乘两位数”，虽然他那节课的重点研究的问题
是关于如何处理算法多样化。然而，在基于问题教学方面 也是独具匠心，因为之前，学生刚
好学习过年月日的知识，接下来就学习两位数乘两位数。教学开始，他 创设这个一个情境:
师：“我们学习过有关年月日的知识，你们知道了些什么？
生：回忆，交流……
师：那你们知道一个大月有多少小时吗？
生：一个大月是31日，1日有24小时，列式：31×24；
……
【虽然同样是 呈现一个两位数乘两位数，但这样的教学就是基于问题解决的数学学习，教学
设计中赋予这个算式以实际 的含义。就有更多的价值驱动学生参与到学习中来。】
在问题解决教学中，应着重注意几个问题：
1．学会表征问题。表征问题是一个关键环节。如果对问题是什么，要做什么，自己可
以做什么 都不知道，就不可能解决问题。表征问题有两种方式。一种的内部表征，一种是外
部表征。内部表征既是 在头脑中考虑问题，它依赖于问题解决者的知识和经验。外部表征的
形式主要有：
(1)简缩 问题：情境中的数学问题是什么？给了什么数据？哪些是重要信息？然后简述重
要部分；
(2)将内部表征用数学语言符号写出来。
(3)用列表格、画示意图的方式来揭示隐含的数量关系。
(4)把特殊的问题一般化或一般 的问题特殊化。比如，面临困难的问题时，从简单的问题
入手，考虑特殊情形、特殊位置、特殊数据等方 式，发现一般规律。
2．学会建立数学模型
培养学生解决实际问题的能力 ，关键是数学建模能力。即把实际问题转化为纯数学问题

的能力。在问题解决中，当能用 自己的语言复述问题后，接下来要做的就是学会把问题简单
化或符号化。即尽量转化为一个比较熟悉或简 单的问题。并把问题中的数量关系用数学知识
表示出来。在平时的训练中，学习用不同的方式表述问题或 改变叙述方式，比如，“甲比乙
多几”可以表示为“乙比甲少几”、“甲与乙的差是几”。训练逆向思考 能力。这些都有助于
建立数学模型。
3．合理选择运算方法
通过建立数学模型，把实际问题转化为数学模型，然后运用所掌握的数学知识来解决
问题，要合理选择简 简捷合理的算法，不能只顾埋头计算，盲目推演。并应该将结果返回到
实际情景中去，看看答案是否合理 ，是否有现实意义。
（四）课堂教学设计的其他策略
新课程把转变学生的学习方式作为改革 的主要内容，提倡学生自主、探究、合作学习，
主张使教学过程成为学生经历数学化的过程、自己构建知 识的过程和师生互动的过程。新的
学习方式创造出一种新的互动式的学习文化，下面我们介绍几种教学活 动的基本结构。
1．“多向互动、动态生成”式教学过程
(1)通过开放式的问题、情境 、活动，要求学生联系自己的经验、体验、问题、想法或预
习时收集的信息进行多种形式的交流，开发学 生的“原始资源”，实现课堂教学过程中的资
源生成；
(2)在教师初步汇集资源基础上，生成与教学内容相关的新问题“生长元”；
(3)通过网络式的生生、师生多向互动，形成对“生长元”多解的“方案性资源”；
(4)教师汇集 不同的方案性资源，组织学生一起进行讨论、比较、评价、互补、修正、形
成较不同方案性资源更为丰富 、综合、完善的新的认识，并引出新的开放性问题。
【例】 “复式统计图”教学
老师利用 学生在探究活动中自已收集数据制作的统计表，组织学生进行交流，说明自己
小组采用统计图表表示调查 结果的意义。学生在交流从中发现“健身小组”在分别使用两个
条形统计图表示男女生喜欢的体育项目时 ，忽略取相同的刻度，因而影响观察效果的问题（知
识的生长元），启发学生把两个图合并成一个图，以 便比较。学生分组进行复式统计图的制
作尝试和大组交流（方案性资源），通过自我实践和群体互动，“ 先求异——再求同——最

后求佳”，进而得出新知识。
学生在交流中，经历了 复式条形统计图的形成过程，体验到了条形统计图表现形式的合
理性和必要性，感受到条形统计图的优越 性。使学生知其然并知其所以然，实现了知识的意
义建构。同时，学生在探索新知识时的经历与思考和获 得新知时的感悟与体验，为人格的整
合发展提供了时空。
2．建立数学模型的教学过程
建立数学模型的教学是一种普遍适用的教学模式。其教学过程用图形表示为：
来源于生活 ——→ 创设问题情境 ——→ 激发求知欲望，培养问题意识
↓ ↓ ↓
提升为数学 ——→ 建立数学模型 ——→ 进行思维活动，探索模型建构
↓ ↓ ↓
应用于实际 —— 解释与应用 ——→ 巩固所学知识，运用所学知识
【例】“归一问题”的教学
1．课前活动，创造教学所需的素材。
根据学生自己的意愿分成四个活动小组：跳绳、踢毽子、写字和 口算组，进行2分钟
的比赛活动，并把个别同学的活动结果绘制成下表，如：
项目
时间
数量

跳绳
2分
210次

踢毽子
2分
83个

写字
2分
36个

口算
2分
52题

①
2．沟通学生已有的旧知，复习基本的数量关系，进一步明确“工作效率”的含义。
师：根据表中的信息，你能知道什么？
生1：我能知道一分钟跳绳的次数（210÷2=105次），还能求出其他项目一分钟所做

①

的工作量。
生2：应该说是平均每分钟的工作量。
师：（肯定学生的观点，再出示第二组信息如下表）从这些信息中，又能知道什么呢？
项目
时间
数量

跳绳
2分
210次
105次
踢毽子
2分
83个

写字
2分
36个
18个
口算
2分
52题
26题
机器抽水
3小时
420吨

打字
30秒
90个

生产机应
3个月
60台

生3：我能知道抽水机每小时抽水多少吨，列式为：420÷3=140（吨）。
生4：我能求出平均每秒打字多少个，列式为90÷30=3（个）。
生5：我能求出平均每月生产机应的台数，列式为60÷3=20（台）。
随着学生的回答，板书出现：
抽水
打字
生产机床
抽象、概括
420（吨）
90（个）
60（台）
工作量
3小时
30（秒）
3（个月）
工作时间
每小时抽水量420÷3
每秒打字90÷30
每月产量60÷3
工作效率
从而得出：工作量÷工作时间=工作效率。
接着，请学生说出“工作效率”是什么意思，求“工作效率”有什么实际意义。
在上述课例中 ，教师将一些具体的事件列表，以便学生观察，让学生从不同的事件中看
到它们数量上的共同特点，比如 ，420吨、90个、60台是不同的数量，但它们都是“工作
量”。在这个过程中，舍去了与数学无关 的具体情节，而把反映数学问题的“本质特征”抽
象出来，再概括成“单位时间内所作的工作量叫做工作 效率”，数学表达式为“工作量÷工
作时间＝工作效率”。这一过程，实际上就是“数学化”的过程。抽 象和概括是把实际问题
转化为数学问题基本和常用的方法。
3．探究性学习的教学过程

探究，是指学生构建知识，形成科学观念，领悟科学研究方法的各种活动。探究 学习的
基本特征是：学习内容不以定论的形式直接呈现给学生，而是引导学生通过探索，发现应有
的结论。为了使探究和发现在教学实践中可行，教师要精心设计、简化发现的过程。使探究
学习符合小 学生的知识基础和思维水平，并提供足够的探究时间。探究式学习的基本步骤为：
比如：有人走进生意兴浓的商店，会思考：
“人们对这个商场感兴趣的原因是什么？”（提出问题）
“该商场是否在价格、品种、质量、 购物环境、服务态度等方面与别的商场不同？”（建
立假设）——基于具有解决该问题的相关知识。
然后设计出表格，分头到各商场了解、统计 （执行实验）
通过分析比较，对问题作出解释。（得出结论）
这种发现问题、建立假说、收集数据、进行统计、得出结论的方法，实际上也是科学探
究的一般步骤。
类似的，
(1)问题——提出疑惑事件或提出研究事例。
(2)猜想——根据已有的知识和经验作出假说和猜想。
（3）检验猜想并修改猜想。 (4)论证猜想——为了确保猜想的真实可靠，需要找到猜想和已有的、确实可靠的知识之
间的必然 的逻辑联系，并由后者通过严密的推理推出前者。
(4)解释——学生从证据出发形成解释。（将收 集的证据进行筛选、归类、统计和列表分
析等，并运用已有的知识得出符合证据的结论，对问题作出科学 的解释。）
(5)评价——对结论的可靠性作出评价。（比较各自的结果，或与教材提供的结论相比较 ，
以检查自己提出的结论是否正确。）
(4)交流——学生阐述和论证自已的解释。（解释论 证过程，使别人有机会质疑、挑问题。
最终将实验证据、科学知识与自己的解释结合）。
【例】《分数能否化成有限小数的规律》

①
①
《小学数学教师》
2003年10期浙江宁波市怡江中心小学邵陈标

一、写数、计算：
教师让学生任意写一个最简分数，然后借助计算 器把这个分数化为小数，看看结果能否
化成有限小数，并上黑板书写自己写的数据，并按能化成有限小数 分为两列。
二、提出问题：
师：观察上面的数据，你想提出什么问题？
生：为什 么有的分数化成的小数是有限小数，有的分数化成的是无限小数？什么样的分
数可以化成有限小数，什么 样的不能？
三、猜测：
师：教师请同学猜一猜，分数能否化成有限小数到底和分数的哪个部分有关？学生认为
1．可能与分子有关；2．可能与分母有关；3．可能与分子和分母都有关。
四、证据：
1．如何证明与分子有关？在小组讨论后认为，可以把分母固定，分子变换后观察结果。< br>教师引导学生各选择一个分数，如1÷4、2÷3把分子换成其它数，分母不变（强调要是最
简分 数），进行验证。学生发现分数能否化成有限小数与分子无关。
2．类示地：讨论分数的分子不变，分母变的情形（教师提议在25以内试验），
学生整理出 分母换为2、4、6、8、。。。25时分数能化为有限小数，分母换为3、6、7、
9、11等的分数 不能化为有限小数。在充分举例的基础上，得出“与分子无关，与分母有关”
的结论
五、解释：
师：对能化成有限小数的分数的分母，你还有什么发现？。。。通过讨论，学生得 出结论。
并练习。

六、评价：
师：根据刚才得出的方法，3÷15不能化成有限小数 ，但通过计算又能化成有限小数，
为什么？
学生讨论 （进一步完善分数化有限小数的规律）
探究式教学不一定要包含上述全部基本特征，但是不能缺少起核心要素作用的探究性活
动的内容 ，这一核心内容就是建立假说。因为它是证据收集的方向。要实施真正意义上的探
究式学习，不能省掉假 说这一环节。
探究性学习的实质在于让学生经历理智和情感的体验，让学生的思维和情感受到刺激和< br>训练，因此，小学数学教学课堂上所采用的归纳探究方式，如：操作——发现；观察——归
纳等丰 富多彩的、多种多样的探究性学习，都是必要的和正确的。
探究性学习中，建立猜想是一个重要的环节 。但是提出猜想以后必须检验，检验中发现
矛盾，原猜想即被推翻。这时需要重新提出猜想或修改原来的 猜想，逐渐使学生对客观规律
的认识趋于全面。论证是当前小学数学教学中比较薄弱的环节。但通过由合 情推理到论证推
理的训练，可以使学生受到比较完整的科学方法论教育，这是学生在学习上能否做到“可 持
续发展”、适应未来学习的关键。当然，论证的方式要适合学生已有的知识基础和思维水平。
4．以实验操作为主线的教学过程
动手操作是学生学习的重要途径。它可以使学生用外显的动 作来驱动内在的思维，并将
外显的操作抽象成数学的表达，以感悟并理解新知。通过操作，加深学生对知 识的概念性理
解，培养数学的数学观念。以实验性操作为主线的教学，即指学生对材料的实验性操作为起
点，通过教师的引导分析比较、获得新的结论。其结构可表示为：
材料呈现——尝试操作——发现特征——重新操作——修正认识——问题解决——获得
认识。
以操作为主线的教学中，要注意留给学生足够的时间，同时应注意适度、适量。适度即
指并非所 有的内容都要操作；适量，即是说在操作时要在丰富的表象的基础上及时抽象。

小学数学教学设计主要包括如下环节：
(一)确定教学目标。这里的教学目标 是由教学完成之后学生会做什么界定的。《标准》
和学生的学习特点、教材内容是教师确定教学目标的主 要依据。教学目标的叙写要求尽量用
可观察和可测量的行为术语陈述预期学生要获得的学习结果。 (二)分析教学任务。分析目标中暗含的学习类型，揭示有效学习的条件；分析从学生的
原有水平到 达教学目标之间所需要的从属知识和技能，并确定他们之间的层次关系，确定学
生的起点能力。
(三)分析学生和环境。分析学生包括分析学生原有知识、技能、学习态度和其他相关的
个性特征等， 分析环境包括分析知识技能学习的情境和知识技能的应用情境。
(三)教学策略设计。根据教师在任务 分析中所确定的教学目标类型，根据学习理论、新
课程的教学理念、学习内容、学生特点选择教学步骤， 包括预备活动、呈现信息、提供练习
与反馈、测验以及课后活动等策略。
(四)选择教辅材料。教学挂图、教具、教学指导书、已有的可以利用的有关教材和电子
资源。
(五)教学设计的评价。对照预先设置的教学目标，确定学生是否达到规定的教学目标，
并提出 修改进教学的意见。
一、小学数学
课堂
教学设计中的目标设计
(一)课程目标和教学目标
数学课程目标（GOALS）体现了用预期达到的教育结果来支配 教育行动的思想。它预
期的是在具体情景下，学生行为变化的结果。即“学完这些数学后学生能够干什么 ”。课程
目标可以分为两个层次：一是宏观目标。指某一课程内容结束时所要达到的目标，也可以是某一学习阶段结束时所要达到的目标。它反映国家或地方教育机构对课程的学习要求，规定
了课程学 习的主要内容和标准。由国家或地方教育机构和课程专家制定。《标准》规定的目
标就属于这类目标。二 是微观目标，即教学目标。指一节或几节课上要完成的具体目标，主
要陈述学生通过学习需要掌握的知识 、技能以及应该形成的情感态度。是宏观目标的具体体
现。由任课教师制定。
课程目标对于整 个教与学的活动有定向、激励、评价的功能。根据课程目标和教学实际
确立教学目标，是给整个教学设计 定位。不同的教学目标，将导致不同的教学设计。所以，
教学目标的设计，是数学教学的重要环节。

(二)课时教学目标的设计与陈述
制定单元教学目标和课时目标，是教师进 行教学目标设计的主要任务。本节主要讨论课
时教学目标的设计。课时教学目标，是指一节课的教学目标 。
1、课时教学目标的设计
确定课时教学目标，首先要根据课程目标确定单元教学目标，明
确单元教学的任务。即学生通过学习后要完成哪些任务。在此基础上
进行设计。在设计教学目标 时，
可以按照以下的步骤进行：
（1）分析教材内容，初步确定教学目标
本书第二 章我们已经学习了如何进行教材分析。在进行课时教学目标的设计
时，还应注意教材的组织和呈现方式、 理解
教材的编排意图，因为教材是根据数学课
程标准编制的，它蕴涵了各个学段数学课程标准的 要求。教材的例题和习题也可以体现教学
的重点，而教学重点和教学的目标往往有对应关系。同时，在分 析教材，也要注意参考其他
一些教学资料和有经验的教师的经典教学案例，用审视的眼光，深入思考、反 复追问：通过
本节课的教学，要达到什么目的。
（2）分析学生特点，明确教学目标
教材分析为课时教学目标的确定奠定了基础，但要使教学目标的确定符合学生的实际，
需要对具体班级 的学生进行分析。学生在学习新知识时，原有的学习起点、学习能力、学习
需要、学习方法和学习习惯、 相关的知识和技能对新的学习非常重要。教师对学生学习状况
的认识，将直接影响目标的确定、教学内容 和教学方法的选择。所以，要在学习之前进行判
定。学生的作业、小测验、平时提问、教师的观察等都可 以作为依据。
对学生的了解，涉及的方面较多。在进行教学设计中，不可能也没有必要对学生的所有< br>特点进行分析，只要抓住与教学任务有关的、重要的特点进行分析既可。在这一环节中，应
注意具 体、有针对性地分析，避免泛泛而谈。
（3）参照课程标准，完善教学目标
《标准》把教学 目标细化为“知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度”四个方
面，前三个目标大致可以归为认知 领域，后一个可以归为情感态度领域。在数学学习中，知
识、技能的掌握是问题解决的基础，而数学思考 、情感态度则伴随在上述目标的实现过程中。
精心设置教学目标，努力实现上述四个方面的整合，这是实 施新课程资源整合的一个重要内

容。
由于教学目标就是教师对学生学习结果的 预期，所以教学目标和学生的学习结果是相同
1
的。如果把上述四个目标和加涅的学习结果分类 相对照，它们之间的对应关系大致可为：知
识属于言语信息，技能和问题解决属于智慧技能，数学思考属 于认知策略，情感与态度则属
于态度范畴。加涅的学习结果分类对于课时教学目标的设计具有重要的指导 作用。
2、目标陈述的基本要求
（1）教学目标陈述的是学生学习的结果
，陈述< br>通过学习后学生会做什么和说什么。
而不是陈述教师应该做什么。
（2）教学目标的陈述应该力求简单、准确、明确。知识技能目标尽量做到可以观察和
检测量。
“简单”指每课时的教学目标不要太多，太多反而没有目标。同时表述要简单易记；
“准确”指目标要与《标准》的要求相一致，否则容易偏离方向。
“明确”指表述要尽量用规 范的、意义明确的用语。用一些行为动词将学生应做什么和
会说什么具体化，这样目标陈述就可明确。
（三）教学目标设计和陈述的实例
【例】教学课题：《认识数1—5》（人民教育出版社义务 教育课程标准实验教科书数学一
年级上册）
1、教材分析：
本单元教材内容由两部 分构成，一是“5以内各数的认识”，另一部分是“5以内数的
加法和减法”，这部分教材是数概念中最 基础的知识之一。是学生学习数学的开始。结合课
程总目标中与“数的认识”相关的要求和第一学段的教 学目标可知，通过学习，学生要能熟
练地数、认、读出1—5各数，了解数的组成，了解基数和序数的含 义，认识数0，初步了
解加减、法的含义并能进行5以内数的口算。
《认识数1—5》是本单 元的第一课时。我们知道：自然数是一类等价的有限集合的标
记。即是说，
0
1

以外的
自然数表示非空有限集合中元素的个数。在九年制义务教育小学

庞国维著：数学学习与教学设计（小学卷）上海教育出版社 2005（6）

数学教科书中，关于10以内自然数的教学，体现了数学家关于自然数概念的一些研究成果。
本节教材基 于儿童已有的关于数数的经验本节教科书突破了以知识为主线的呈现方式，为学
生提供了如下活动：找出 野生动物园各种动物——点数每一种动物的只数——将每一种动
物的数量用小棒表示——抽象出1-5各 数——认读1—5各数——按数摆自己经验中的图
形等。分析教材，我们可以体会其编写意图：
(1)分类：将观察到的动物归类，构建集合。
(2)建立图像模型：引导学生从物体数量的 角度观察事物，并用小棒表示相应集合中对
应元素。
(3)建立符号模型：用数字刻画集合中元素的个数。
(4)自然数的应用：用数表达现实生活中事物的多少。
本节学习内容的教学重点， 是让学生感知自然数基数的含义
（也是难点）
，初步建
立起关于自然数的概念。学会数 数、认数。这一学习过程中，也渗透了数学的分类的思想、
对应的思想、符号化思想。
2、分析学生
我们知道对于刚入学的儿童来说，他们对数的感知是模糊的。虽然他们大都能数出“1、
2、3、4……”，也可以用数表达“几个人”、“几朵花”、“几颗糖”等具体数量，但不能离开这些具体事物抽象出数，对数的基数和序数含义也不太清楚。在教学中通过“实物——图
象——符号 ”这种知识的呈现方式，让学生经历从日常生活中抽象出数的过程，体会自然
数的含义，有助于培养学生 的数感和符号感，体现数学的教育价值。
本节的教学目标可以确定定位为：
(1)能表述5以内数字表示的数的含义。
(2)会读5以内各数。能按物数数、按数取物，会用数字 、实物或图形等多种方式表示物

体的个数。
(3)能积极主动地参与学习活动。
如果将本节目标陈述为：“了解生活中数及生活常识，感受到生活 中处处有数学，体会
用数学的乐趣，进而体验成功的乐趣”，那么，一方面，“了解生活中的数”属于认 知领域，
“体会用数学的乐趣”属于情感领域，这出现了学习类型的交叉，另一方面，也不能确定学生通过学习具体能学到什么。
二、小学数学课堂教学任务分析设计
任务分析的 基本思想是主张学习有不同的类型，不同类型的学习有不同的过程和条件。
任务分析的目的，是促使教师 运用现代学习论和教学论，依据学生学习的规律进行教学。这
里，我们把课堂教学任务分析界定为做以下 几项工作：
（一）对教学目标中蕴涵的学习结果进行分类
当代学习心理学关于学习结果分类 的理论，为我们进行小学生数学学习的分类提供了理
论指导，利用学习结果分类知识，将有助于更好地鉴 别教学目标中学习结果的学习类型。
比如，“长方形面积计算”教学目标：
1、借助带有方格的面积图，说明当长与宽都是整数时，长方形面积等于它的长乘宽的
理由；
2、对给予的长方形和实物，能正确计算它的面积；
3、学习利用数形结合、对应的思想方法解决问题的策略；
4、培养学生初步的辨证唯物主义观点。
学习目标中，目标1属于陈述性知识的学习，是长方 形面积计算公式学习的陈述性阶段，
目标2属于智慧技能中的规则运用，即对外办事的能力。目标3为策 略性知识，目标4为情
感与态度目标。
（二）分析实现教学目标（预期的学习结果）需要的条件
分析实现教学目标需要的条件，包括 内部条件（学生自身的条件）和外部条件（学生自
身之外的条件），这里主要指内部条件。内部条件又分 为必要条件和支持性条件。必要条件
是指缺少了它学习不能产生的条件。比如智慧技能学习的必要条件， 就是使终点目标得以实
现而必须先行掌握的子目标。可以从终点目标出发，反复提出这样的问题：“学生 要完成这
一目标，必须预先具备哪些能力？”一直追问到学生的起点状态，即起点能力为止。然后教师把学生需要掌握的子目标按顺序排列出来，为教学顺序提供依据。支持性条件是促进或减

< br>缓新能力形成的条件（包括学习习惯、态度、学习方式等）。比如，上述“长方形面积计算”
学习 中：
必要条件：掌握长方形中“长”和“宽”的概念。按照加涅的智慧技能学习层次论，规
则 学习的先决条件是概念，所以长方形面积计算公式（规则）的学习以“长”和“宽”的概
念为前提条件。
支持性条件：能使用数形结合思想方法和归纳推理的策略。由于长方形面积计算公式的
得出，是 学生第一次经历由面积的直接计量发展到间接计量，所以掌握了“长”和“宽”两
个概念还不足以理解面 积的计算公式。最重要的是找到长方形的面积和边长的关系。而这需
要通过陈述性知识的形象表征形式， 让学生用单位面积（透明方格）去发现长边边长和宽边
边长与单位面积个数的对应关系。从而归纳出面积 公式。
三、小学数学教学策略设计
教学策略设计主要指教学过程的安排、教学方法 的选用等方面的设计。解决“如何教”、
“如何学”的问题。教学策略是指向具体的、特定的教学目标而 采取的有针对性的措施，不
同的学习类型、不同的教学目标，应该有不同的教学策略，所以，它具有灵活 性、多样性的
特点。
教学策略的设计，尤其要重视体现教学方式和学习方式的转变，体现“预 设”与“生成”
的统一。“预设”是预测和设计，是教师课前对课堂教学进行的有目的有计划的设想和安 排。
“生成”是生长和建构。是师生在交往互动中超出教师预设方案之外的新问题、新情况。要
实现预设和生成的统一，教师应为学生的自主、合作、探究的学习方式提供空间。
（一）概念的教学策略设计
小学数学概念包括数的概念、运算概念、量的概念、几何概念、统 计概率的概念、简易
方程的概念、比和比例的概念、数的整除概念等共560多个。象1+1=2这样的 简单算式，
就涉及到数概念、运算概念、符号概念。所以，数学概念是形成数学知识体系的基本要素，< br>是基础知识的核心。加强概念的教学，是提高教学质量的重要保证。
概念学习的本质是掌握一类 事物的共同本质特征。具体的学习有两种水平，一是把概念
作为陈述性知识学，要求学生能说出概念的名 称、含义或其关键特征。二是把概念作为程序
性知识学习，习得概念后能用概念的关键特征对概念的正反 例进行区分，能够熟练运用概念
的定义去进行判断、分类、推理。这两种学习水平，前者是后者的基础和 前提。即学生首先
以陈述性知识的形式掌握概念的关键特征，再利用这一关键特征去做事。落实概念学习 的这
两种水平，才能够形成智慧技能。

由于获得概念的主要形式是概念的形成 和同化，因此，小学数学概念教学主要采取两
种方式。
1．概念形成的教学策略
概念的形成，是指对同类事物中若干不同例子进行反复感知、分析、比较和抽象，以归
纳 方式概括出这类事物本质特征，从而达到掌握这一概念的过程。对于初次接触或较难理解
的概念，可以采 用概念形成的方式进行学习。下面结合教学案例来说明概念形成的教学过程
和方法。
【例】分数的意义教学片段：
联系生活，认识分数的意义
1．出示生活中的分数，引导学生，看一看，说一说；把什么看作一个整体，平均分成
多少
份？表示这样的几份？
（1）活动中的分数：中国象棋；
第1副棋盘上，红棋子占棋子的
1
，
2
8
第2副棋盘上，红棋子占棋子的。
17
生：把棋盘上的棋子看作一个整体，平均分成2份，红棋子表示这样的1份；
生：把棋盘上的棋子看作一个整体，平均分成17份，红棋子表示这样的8份；
【反思：这是 一个下象棋的过程，之所以选择这样的素材，一方面是因为素材离学生的
生活近，另一方面，中国象棋本 身是一种民族的素材，是一种民族文化的渗透和传递。在这
方面很值得我们进一步探索，一个渗透民族文 化的数学学习体系有待创建。】
（2）网络上的分数。
中小学生的睡眠状况让人担忧，约有 23的小学生和34的初中生睡眠严重不足！中
国青少年研究中心副主任孙云晓公布了当前青少年生活习 惯研究的一些数据。
师：上面数据23把什么看作一个整体，平均分成多少份？表示这样的几份？

生：把所有的小学生看作一个整体，平均分成3份，睡眠严重不足的有这样的2份；
师：你们的睡眠时间足吗？生：不足。【几乎异口同声，这是怎么回事？】
师：有谁知道小学生睡眠时间多少才算不足？生：10 时。
师：初中生的睡眠情况怎样？我 们也来关心一下他们。生：把所有的初中生看作一个整
体，平均分成4份，睡眠严重不足的有这样的3份 ；生：初中生更可怜了。
（3）报纸中的分数。
师：杭州的房产一直备受关注，现在二手房 市场也日趋火爆。到底怎样的价位的二手房
最抢手呢？我们来看一则报道。
信息：《今日早报 》3月13日，8版，标题：60万元二手房最抢手；据报道，从三月第
一周的成交结构看来，总价在6 0万元以下的二手房成交量占总成交量的34。
生：把总成交量看作一个整体，平均分成4份，总价在 60万以下的二手房成交量有这
样的3份；
（4）电视里的分数。
信息：据中央电 视台3月5日报道，综合考虑国内外各种因素，今年经济社会发展主要
预期目标是：增长部分将占去年国 内生产总值的8100左右。（讨论略）
师：你们知道这个8100是什么意思吗？
生：【开始有点困难】把经济社会发展……
生：不对，把国内生产总值看作一个整体。
师：能更明确吗？生：去年国内生产总值；
生：平均分成100份，增长的部分表示这样的8份。
师：听的出来，我们对这个分数 的了解是粗浅的。包括老师在内，对它的了解也是有限
的。国内生产总值简称GDP，听说GDP是衡量 一个国家富有程度的重要标志。至于它的内

涵，以后我们慢慢会了解的。
【反 思：信息的获取的途径分别是网络、报纸和电视。简单看来，这是一种外在的表现形式，
但其实质也不容 小视。从培养学生信息素养的角度看来，从不同的渠道获取信息本身也是一
种需要促成的技能和素质。这 也是数学课程标准所关注的一条具体目标。同时，从多种媒体
都能获取分数的信息，也说明分数在生活存 在的广泛性和普遍性。】
（5）概括分数的意义：
师：刚才，我们从身边的活动中，通过网络、报纸、电视知道了很多的分数，那么到底
什么是分数呢？
【结合板书】我们把用来平均分的整体，用一个词来概括，叫做单位“1”，把单位“1”
用来平均的份数，也用一个词来概括：平均分成若干份，表示这样的1份或几份，这样的
数就叫做分数 。
教师板书：
把？看作一个整体，平均分成？份，表示这样的？份
所有的棋子 2 1
所有的棋子 17 8
全国小学生 3 2
全国初中生 4 3
所有成交量 4 3
去年国民生产总值 100 8
…… …… ……
单位“1” 若干份 1份或几份。
【就是通过呈现不同题材，反映分数的基本特征，都是把一个整体（也就是单位1）平均 分

成若干份，表示其中的一份或几份，这样的数就叫分数。】
（1）教学的基本步骤：
（1）概念的引入——提供概念的例证
上 例提供的分数概念的几个例证，突出了概念的关键特征。利用例证，激活学生原有的
关于该概念的已有的 知识和生活经验，这是概念教学的重要步骤，目的是让学生理解概念的
关键特征。概念引入的方法很多， 常用的有实例引入、计算引入、猜想引入、情景引入等。
（2）概念的形成——揭示概念的本质属性
在学生初步感知概念的某些本质属性之后，这一环节 的教学重点是引导学生分析、比较，
及时抽象、概括出概念的本质属性。具体的做法是：
分化出概念例证的各种属性。比如，上例中单位“1”、平均分、这样的一份或几份数。
概括出概念例证中共同的本质属性。比如：上例中关于分数意义的概括。
检验假设，确认关键 属性。在这方面，采用变式是一种有效手段。变式是指概念的例证
在非本质属性方面的变化。利用变式的 目的是通过非本质属性的变化突出本质属性，如果特
征在变式中都出现，就可以确认是共同本质属性。
完成本质属性的概括，形成概念。用语言对概念进行描述或为概念下定义。
（3）概念的理解和转化
学生知道了概念的含义并能用语言陈述同类事物的共同本质属性，只是完成了 陈述性阶
段的学习，即第一级水平。但这还不够。不少学生在解决一个问题时，百思不得其解。可是经过别人的提醒，会恍然大悟。其原因就在于不是缺乏所需要的陈述性知识，而是缺乏与具
体的知识 相对应的以“如果…那么…”的形式表示的规则。在概念教学中，要把陈述性知识
转化为程序性知识，使 之能在新的情景中应用，需要有一个练习和转化的环节。通过练习促
进学生对概念的深入理解，转化为办 事的规则。
（4）
打破学生原有的知识结构,将知识进行有必要的拆分、加工和重组.

我们还认 识到：学生学习的过程，应该是自我生成的过程，这种生成是他人无法取代的，是
由内向外的生长。因此 学生的学习应该是以原有的知识与经验为基础，主动建构的过程。构
建知识需要遵循知识的内在规律，遵 循学习的内在规律，遵循大脑的内在运行规律。如果你
不按照知识的内在规律来构建知识，知识之间联系 就会发生混乱，知识 就会解体。如果你
不按照学习的内在规律来构建知识，不但学习的效果很差，而且 你也不能很好的理解知识，
不能在知识之间建立起有效的联系，更不能很好的记忆 知识。如果你不按照 大脑的内在运

行规律来构建知识，你会感到很困难，常常只是对知识的表面理解，而不能 将知识与自己的
智力融合在一起，构成知-能体系。
（5）概念的运用
要 使概念在学生头脑中形成稳定的观念，还需要用它解决问题。在小学主要是通过设置
练习情景来达到运用 概念的目的。运用概念的过程，实际上是概念具体化的过程，而概念的
具体化有助于学生对概念的深刻理 解和牢固掌握。
【例】一块地的面积是200平方米，这块地的
1
种黄瓜，黄瓜地是多少平方米？
4
师：现在是把什么看作单位“1”，平均分成几份？怎样求这样的1份。
生：列式计算：200÷4＝50（平方米），
师：我们也可以用分数来表示黄瓜地的大小，怎样表示：
200
。
4
【反思：虽然学生已有相应的用整数解决问题的基础，但用分数表示结果，既可以沟通
分数和除法之间 的关系，还可以借助书写外形，强化分数的意义。因为
既是200的
200
具有双重含 义：
4
1200
，又是1的。就知道把200看作单位“1”，平均分成4份，表示这 样的
44
1份。从解决这个问题的角度看来，可以只用整数的“归一”方法来解答，但从巩固分 数意
义的角度，用分数的形式来表示这样的1份，有一定的必要。】
2．概念同化的教学策略
概念同化是指学生利用原有认知结构中的观念来接纳新概念的过程。概念同化的过程不
仅 使知识获得意义，而且扩大了原有的认知结构，它是一种有意义的学习。学习的关键是要
把握好新概念和 原有概念之间的关系。
【例】正方形的认识
正方形的认识之前认识了长方形。在判断一些图 形的时候，引出一个特殊的长方形，那
就是四条边都相等的长方形。



教学的基本步骤：

（1）概念的引入——提示原有的知识
和概念形成的教学一样，概念同化的教学也要让学生理解概念的关键特征。但理解的方
式不一样。概念形 成是上位学习*，而概念同化是下位学习。如本例中，在学习“正方形”
时，用于同化的上位概念是“长 方形”。因此，概念同化教学在引入环节中，要注意引导学
生回忆原有的、概括程度、包容范围更大的概 念和相关概念。
（2）概念的形成——揭示概念的本质属性
采用概念同化的方式教学，基本步骤是：
揭示概念的本质属性，给出概念的定义、名称和符号。 解释定义中的词语符号代表的意
义，使学生准确理解概念；
（3） 找出新旧概念的异同，将新旧概念相联系，将新概念纳入到已有的认知结构中；
（4）利用肯定例证和否定例证进行辨认，以便区分新旧概念，促进知识的迁移；
（5）概念的理解和转化；
（6）概念的运用。
在概念教学中，由于新概念有的是 在原有概念基础上形成的，有的是原有概念的限制、
延伸或扩充，因此，概念之间有着内在的关系，如对 立关系、矛盾关系、交叉关系、从属关
系、并列关系等，这些联系是建立概念系统的前提，也是形成良好 认知结构的重要好内容，
所以要及时将所学的概念加以整理，形成概念网络，这有助于理解和吸收新概念 。
（二）规则的教学策略设计
数学规则的学习主要是指公式和法则、定律和性质 的学习。规则学习，实际上是学习几
个概念之间的关系。因此，概念学习是规则学习的基础。作为程序性 知识的规则，它的学习
首先要经历陈述性学习阶段，但规则学习不仅是习得描述规则的言语信息。即是说 ，学生能
理解并能陈述表达规则的命题，并不能认为他已经掌握了规则。规则学习还需要将陈述性知识转化程序性知识，以便在新的具体情境中解决新问题。规则教学一般有两种形式：例—规
法；规— 例法。
1．例—规法
例—规法的教学是从若干例证中归纳出一般结论的教学。它首先与规则的上位学习相对
应。
【例】《长方形体积计算》（教学片段）（上海市特级教师 叶季明）
《新课程备课新思维》P137

师：我们已经知道，长方体的体积就是 指长方体含有的体积单位数。所以，求长方体的
体积就是求长方体所含有的体积单位数。下面就让我们运 用1立方厘米的体积单位来研究
长方体的体积的计算方法。
1．教师拿出12个1立方 厘米的体积单位，请学生堆放一个长方体。摆一摆，可以摆出
长、宽、高分别是多少的长方体？说一说， 怎样计算长方体所含有的体积单位数？
学生分别摆放出不同长、宽、高的长方体，并明确只要用 长一行放的体积单位数乘以宽
一行所放的行数，得出一层所含的体积单位数，再乘以高一行所放的层数， 就是它所含的体
积单位数。为学生的认识打下了感性的基础。
2．教师要求学生仍然用 这12个1立方厘米的体积单位，摆出一个体积要比12立方厘
米更大的长方体。
师：刚才大家不论怎样 摆，所摆出的长方体的体积都只有12立方厘米，能不能仍然用这
12 个1立方厘米的体积单位，凭借你们的想像， 摆出一个体积比12立方厘米更大的
长方体？
这样一个具有挑战性的问题激起了学生的好奇和疑问，能堆放出这样的长方体吗？经
过短时间的沉思，学 生尝试着拉开各个体积单位之间的距离，终于有1个、2个、3个……
更多的学生摆出来了。
生1：我用12个1立方厘米的小正方体摆成一个体积是15立方厘米的长方体，我想像中
间是3个1立 方厘米的小正方体。这样，长一行有5个1立方厘米，宽一行有这样的
3个，摆了一层，体积是15立方 厘米。
生2：我先摆了一层，是9立方厘米，再借助想象，这样表示摆了两层，体积是18立方厘
米。
师：（借助电脑演示）噢！原来是摆了这样的一个虚拟的长方体。

生3：老师 ，我把它上面放的3个小正方体竖起来放，成为一个有这样4层的虚拟的长方体，
体积更大了，它的体积 是一层的9立方厘米乘以4，是36立方厘米。
师：好，现在你们能再摆出一个体积更大的虚拟的长方体吗？
这时学生不再如刚才那么困惑，人人都为自己的创造欣喜，为自己的成功骄傲，并进
一步摆
出了表示长、宽、高三条棱所组成的一个虚拟的长方体。
教师再配上电脑画面的演示， 使学生对长方体的体积与从它的一个顶点引出的三条棱之
间的关系，有了一个清楚的认识。
3．教师出示一个长方体的立体图，要求学生求这个长方体的体积。（单位：厘米）
生：只要把它的长、宽、高相乘就是它的体积，也就是10×6×5=300（立方厘米）。
师：为什么用它的长、宽、高相乘就可以得到它的体积呢？
生：因为它的长是10厘米，长一 行可以放10个1立方厘米的体积单位，宽6厘米，就可
以放这样的6行，一层就是10×6=60厘米 。高5厘米，就可以放这样的5层，再乘
以5，体积是300立方厘米。所以，长方体的体积是：10× 6×5=300立方厘米。
教师在学生解释的同时配置了电脑动画的演示，学生对长方体里含 有的体积单位数—
—正好是长、宽、高相乘的积——有了一个清晰的理解。
4．总结长方体的体积计算公式。
例—规法教学的基本步骤：
（1） 回忆原有的与新知识相关的知识；
（2）提供丰富的例子，引导发现；在这一环节，例证应尽量涵盖各 种典型类别，以使学生
发现原理和理解原理。
（3） 比较分析，概括原理；
（4）利用正反例，明确规则的适用条件；
（5）变式练习，巩固规则。

上述教学案例中教师的教学基本遵循了例—规法的一般教学过程，但又对传统的教学结
构中各个教学步骤 进行了更符合新课程理念的改造。体现了新课程教学观下的设计理念，即
从公式的形式推导转变为公式意 义的理解。。
首先，在提示了前提性知识后，老师让学生自己摆长方形。由学生自己生成了多样的例< br>子，开发了丰富的教学资源。其次，学生通过操作实物教具————操作虚拟变式实物——
分析抽 象的几何图形，使学生经历了“感知规则—形成关于规则的表象—抽象概括规则”的
心理过程和“具体— 抽象—符号”的数学化过程知识的形成过程。并且每次操作都给学生交
流和反思的时间和机会。再次，学 生关于规则的陈述性知识，是自己建构的。学生同时由于
有多次的变式操作，深入理解了法则，也缩短了 向程序性知识转化的过程。
（2）规—例法
规—例法的教学是先给学生呈现规则，再用实 例说明规则的教学。与规则的下位学习相对
应。呈现规则有两种不同的形式：直接陈述和推演式。
推演式教学案例：
【例】除数是小数的除法数学学习与教学设计P131
1．出示例题：0.45÷0.9=
看看这题与前面学的除法有什么不同？（学生：齐答）（学生：齐读课题）
（1）提示课题：除数是小数的除法
这是一个新的知识点。一般我们在学新知识时，往往把新知识 转换成已学过的知识。想想
把除数是小数的除法转换成已学过的什么除法，我们就会计算了呢？
（2）如何转换呢？（学生：四人讨论，师生共同完成）
第一步：把除数转换成整数，也 就是把0.9扩大10倍变成9；那么在除法列竖式时该
如何处理呢？撇去除数的小数点。
第 二步：如果除数扩大10倍，要使商不变，被除数也要怎么办？所以它的小数点也
要向右移一位。怎么移 动呢？撇去被除数的小数点，点上被除数新的小数点。
第三步：点什么？（学生：回答）点上商的小数 点。注意：要和被除数现在的小数点

对齐。
（3）视算：现在就可按除数是整数除法的方法进行计算了。（学生视算）
2．小结：我们把 中间的转换过程概括为四个字：撇——撇去除数的小数点，使除法
成整数；撇——自撇去被除数的小数点 ；点——扩大相同倍数后，点上被除数新小数点；
点——商的小数点与被除数新小数点对齐。
规—例法教学的基本步骤为：
（1）复习旧知识，激活相关规则；
（2）利用迁移，引入新规则；
（3）呈现例证，支持新规则；
（4）提供规则的正反例，理解规则；
（5）尝试运用，巩固新规则。
上述案例中新规则的教学是用规—例法进行的。老师先结合例子，和学生一起，利用
商不变的性质将除数 是小数的除法转化为除数是整数的除法，从而概括出新规则。再应用规
则进行变式练习。使学生将规则的 运用逐渐变得自动化。
让学生在规则的学习中进行练习是极为重要的一个环节，但是单调重复的练习并 不有
效。我国一个小学生基本计算技能的测查结果显示，六年级小学生在计算28÷7×4时错误
率为11%，不少学生先算7×4。可见，要使学生掌握规则，习得“如果。。。那么”的产生式，
要 注意让学生进行变式练习，并及时给学生提供反馈信息，及时分析练习中的错误，防止积
习难改。
（三）问题解决策略的设计
关于问题解决，在第三章有较详细的论述。从20世 纪80年代起，问题解决（解决问题）
就成为国际数学教育的主流。但什么是问题解决，由于理解的层面 不同，至今没有统一的认
识。在加涅和奥苏贝尔的学习分类中，问题解决指学习的最高形式，即学生改组 已有的知识、
概念、规则，获得新规则或新思想的过程。美国数学指导委员会在《21世纪的数学基础》
中指出，“问题解决是把前面学到的知识应用于新的和不熟悉的情境中的过程”。我国《课程
标 准》把也把解决问题作为教学的目标之一。我国有学者认为：问题解决中的问题不是常规
问题，即没有现 成的法则原理可以直接运用。它不仅仅是一种情境，人们可以从不同的角度

去理解。问题 应具有开放性、新奇性和可探究性。问题解决就是学生在新的情境下，综合运
用知识、技能、策略对面临 的问题寻求结果的活动过程。
【例】两位数乘两位数
特级教师朱乐平老师上过一节课“两位 数乘两位数”，虽然他那节课的重点研究的问题
是关于如何处理算法多样化。然而，在基于问题教学方面 也是独具匠心，因为之前，学生刚
好学习过年月日的知识，接下来就学习两位数乘两位数。教学开始，他 创设这个一个情境:
师：“我们学习过有关年月日的知识，你们知道了些什么？
生：回忆，交流……
师：那你们知道一个大月有多少小时吗？
生：一个大月是31日，1日有24小时，列式：31×24；
……
【虽然同样是 呈现一个两位数乘两位数，但这样的教学就是基于问题解决的数学学习，教学
设计中赋予这个算式以实际 的含义。就有更多的价值驱动学生参与到学习中来。】
在问题解决教学中，应着重注意几个问题：
1．学会表征问题。表征问题是一个关键环节。如果对问题是什么，要做什么，自己可
以做什么 都不知道，就不可能解决问题。表征问题有两种方式。一种的内部表征，一种是外
部表征。内部表征既是 在头脑中考虑问题，它依赖于问题解决者的知识和经验。外部表征的
形式主要有：
(1)简缩 问题：情境中的数学问题是什么？给了什么数据？哪些是重要信息？然后简述重
要部分；
(2)将内部表征用数学语言符号写出来。
(3)用列表格、画示意图的方式来揭示隐含的数量关系。
(4)把特殊的问题一般化或一般 的问题特殊化。比如，面临困难的问题时，从简单的问题
入手，考虑特殊情形、特殊位置、特殊数据等方 式，发现一般规律。
2．学会建立数学模型
培养学生解决实际问题的能力 ，关键是数学建模能力。即把实际问题转化为纯数学问题

的能力。在问题解决中，当能用 自己的语言复述问题后，接下来要做的就是学会把问题简单
化或符号化。即尽量转化为一个比较熟悉或简 单的问题。并把问题中的数量关系用数学知识
表示出来。在平时的训练中，学习用不同的方式表述问题或 改变叙述方式，比如，“甲比乙
多几”可以表示为“乙比甲少几”、“甲与乙的差是几”。训练逆向思考 能力。这些都有助于
建立数学模型。
3．合理选择运算方法
通过建立数学模型，把实际问题转化为数学模型，然后运用所掌握的数学知识来解决
问题，要合理选择简 简捷合理的算法，不能只顾埋头计算，盲目推演。并应该将结果返回到
实际情景中去，看看答案是否合理 ，是否有现实意义。
（四）课堂教学设计的其他策略
新课程把转变学生的学习方式作为改革 的主要内容，提倡学生自主、探究、合作学习，
主张使教学过程成为学生经历数学化的过程、自己构建知 识的过程和师生互动的过程。新的
学习方式创造出一种新的互动式的学习文化，下面我们介绍几种教学活 动的基本结构。
1．“多向互动、动态生成”式教学过程
(1)通过开放式的问题、情境 、活动，要求学生联系自己的经验、体验、问题、想法或预
习时收集的信息进行多种形式的交流，开发学 生的“原始资源”，实现课堂教学过程中的资
源生成；
(2)在教师初步汇集资源基础上，生成与教学内容相关的新问题“生长元”；
(3)通过网络式的生生、师生多向互动，形成对“生长元”多解的“方案性资源”；
(4)教师汇集 不同的方案性资源，组织学生一起进行讨论、比较、评价、互补、修正、形
成较不同方案性资源更为丰富 、综合、完善的新的认识，并引出新的开放性问题。
【例】 “复式统计图”教学
老师利用 学生在探究活动中自已收集数据制作的统计表，组织学生进行交流，说明自己
小组采用统计图表表示调查 结果的意义。学生在交流从中发现“健身小组”在分别使用两个
条形统计图表示男女生喜欢的体育项目时 ，忽略取相同的刻度，因而影响观察效果的问题（知
识的生长元），启发学生把两个图合并成一个图，以 便比较。学生分组进行复式统计图的制
作尝试和大组交流（方案性资源），通过自我实践和群体互动，“ 先求异——再求同——最

后求佳”，进而得出新知识。
学生在交流中，经历了 复式条形统计图的形成过程，体验到了条形统计图表现形式的合
理性和必要性，感受到条形统计图的优越 性。使学生知其然并知其所以然，实现了知识的意
义建构。同时，学生在探索新知识时的经历与思考和获 得新知时的感悟与体验，为人格的整
合发展提供了时空。
2．建立数学模型的教学过程
建立数学模型的教学是一种普遍适用的教学模式。其教学过程用图形表示为：
来源于生活 ——→ 创设问题情境 ——→ 激发求知欲望，培养问题意识
↓ ↓ ↓
提升为数学 ——→ 建立数学模型 ——→ 进行思维活动，探索模型建构
↓ ↓ ↓
应用于实际 —— 解释与应用 ——→ 巩固所学知识，运用所学知识
【例】“归一问题”的教学
1．课前活动，创造教学所需的素材。
根据学生自己的意愿分成四个活动小组：跳绳、踢毽子、写字和 口算组，进行2分钟
的比赛活动，并把个别同学的活动结果绘制成下表，如：
项目
时间
数量

跳绳
2分
210次

踢毽子
2分
83个

写字
2分
36个

口算
2分
52题

①
2．沟通学生已有的旧知，复习基本的数量关系，进一步明确“工作效率”的含义。
师：根据表中的信息，你能知道什么？
生1：我能知道一分钟跳绳的次数（210÷2=105次），还能求出其他项目一分钟所做

①

的工作量。
生2：应该说是平均每分钟的工作量。
师：（肯定学生的观点，再出示第二组信息如下表）从这些信息中，又能知道什么呢？
项目
时间
数量

跳绳
2分
210次
105次
踢毽子
2分
83个

写字
2分
36个
18个
口算
2分
52题
26题
机器抽水
3小时
420吨

打字
30秒
90个

生产机应
3个月
60台

生3：我能知道抽水机每小时抽水多少吨，列式为：420÷3=140（吨）。
生4：我能求出平均每秒打字多少个，列式为90÷30=3（个）。
生5：我能求出平均每月生产机应的台数，列式为60÷3=20（台）。
随着学生的回答，板书出现：
抽水
打字
生产机床
抽象、概括
420（吨）
90（个）
60（台）
工作量
3小时
30（秒）
3（个月）
工作时间
每小时抽水量420÷3
每秒打字90÷30
每月产量60÷3
工作效率
从而得出：工作量÷工作时间=工作效率。
接着，请学生说出“工作效率”是什么意思，求“工作效率”有什么实际意义。
在上述课例中 ，教师将一些具体的事件列表，以便学生观察，让学生从不同的事件中看
到它们数量上的共同特点，比如 ，420吨、90个、60台是不同的数量，但它们都是“工作
量”。在这个过程中，舍去了与数学无关 的具体情节，而把反映数学问题的“本质特征”抽
象出来，再概括成“单位时间内所作的工作量叫做工作 效率”，数学表达式为“工作量÷工
作时间＝工作效率”。这一过程，实际上就是“数学化”的过程。抽 象和概括是把实际问题
转化为数学问题基本和常用的方法。
3．探究性学习的教学过程

探究，是指学生构建知识，形成科学观念，领悟科学研究方法的各种活动。探究 学习的
基本特征是：学习内容不以定论的形式直接呈现给学生，而是引导学生通过探索，发现应有
的结论。为了使探究和发现在教学实践中可行，教师要精心设计、简化发现的过程。使探究
学习符合小 学生的知识基础和思维水平，并提供足够的探究时间。探究式学习的基本步骤为：
比如：有人走进生意兴浓的商店，会思考：
“人们对这个商场感兴趣的原因是什么？”（提出问题）
“该商场是否在价格、品种、质量、 购物环境、服务态度等方面与别的商场不同？”（建
立假设）——基于具有解决该问题的相关知识。
然后设计出表格，分头到各商场了解、统计 （执行实验）
通过分析比较，对问题作出解释。（得出结论）
这种发现问题、建立假说、收集数据、进行统计、得出结论的方法，实际上也是科学探
究的一般步骤。
类似的，
(1)问题——提出疑惑事件或提出研究事例。
(2)猜想——根据已有的知识和经验作出假说和猜想。
（3）检验猜想并修改猜想。 (4)论证猜想——为了确保猜想的真实可靠，需要找到猜想和已有的、确实可靠的知识之
间的必然 的逻辑联系，并由后者通过严密的推理推出前者。
(4)解释——学生从证据出发形成解释。（将收 集的证据进行筛选、归类、统计和列表分
析等，并运用已有的知识得出符合证据的结论，对问题作出科学 的解释。）
(5)评价——对结论的可靠性作出评价。（比较各自的结果，或与教材提供的结论相比较 ，
以检查自己提出的结论是否正确。）
(4)交流——学生阐述和论证自已的解释。（解释论 证过程，使别人有机会质疑、挑问题。
最终将实验证据、科学知识与自己的解释结合）。
【例】《分数能否化成有限小数的规律》

①
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《小学数学教师》
2003年10期浙江宁波市怡江中心小学邵陈标

一、写数、计算：
教师让学生任意写一个最简分数，然后借助计算 器把这个分数化为小数，看看结果能否
化成有限小数，并上黑板书写自己写的数据，并按能化成有限小数 分为两列。
二、提出问题：
师：观察上面的数据，你想提出什么问题？
生：为什 么有的分数化成的小数是有限小数，有的分数化成的是无限小数？什么样的分
数可以化成有限小数，什么 样的不能？
三、猜测：
师：教师请同学猜一猜，分数能否化成有限小数到底和分数的哪个部分有关？学生认为
1．可能与分子有关；2．可能与分母有关；3．可能与分子和分母都有关。
四、证据：
1．如何证明与分子有关？在小组讨论后认为，可以把分母固定，分子变换后观察结果。< br>教师引导学生各选择一个分数，如1÷4、2÷3把分子换成其它数，分母不变（强调要是最
简分 数），进行验证。学生发现分数能否化成有限小数与分子无关。
2．类示地：讨论分数的分子不变，分母变的情形（教师提议在25以内试验），
学生整理出 分母换为2、4、6、8、。。。25时分数能化为有限小数，分母换为3、6、7、
9、11等的分数 不能化为有限小数。在充分举例的基础上，得出“与分子无关，与分母有关”
的结论
五、解释：
师：对能化成有限小数的分数的分母，你还有什么发现？。。。通过讨论，学生得 出结论。
并练习。

六、评价：
师：根据刚才得出的方法，3÷15不能化成有限小数 ，但通过计算又能化成有限小数，
为什么？
学生讨论 （进一步完善分数化有限小数的规律）
探究式教学不一定要包含上述全部基本特征，但是不能缺少起核心要素作用的探究性活
动的内容 ，这一核心内容就是建立假说。因为它是证据收集的方向。要实施真正意义上的探
究式学习，不能省掉假 说这一环节。
探究性学习的实质在于让学生经历理智和情感的体验，让学生的思维和情感受到刺激和< br>训练，因此，小学数学教学课堂上所采用的归纳探究方式，如：操作——发现；观察——归
纳等丰 富多彩的、多种多样的探究性学习，都是必要的和正确的。
探究性学习中，建立猜想是一个重要的环节 。但是提出猜想以后必须检验，检验中发现
矛盾，原猜想即被推翻。这时需要重新提出猜想或修改原来的 猜想，逐渐使学生对客观规律
的认识趋于全面。论证是当前小学数学教学中比较薄弱的环节。但通过由合 情推理到论证推
理的训练，可以使学生受到比较完整的科学方法论教育，这是学生在学习上能否做到“可 持
续发展”、适应未来学习的关键。当然，论证的方式要适合学生已有的知识基础和思维水平。
4．以实验操作为主线的教学过程
动手操作是学生学习的重要途径。它可以使学生用外显的动 作来驱动内在的思维，并将
外显的操作抽象成数学的表达，以感悟并理解新知。通过操作，加深学生对知 识的概念性理
解，培养数学的数学观念。以实验性操作为主线的教学，即指学生对材料的实验性操作为起
点，通过教师的引导分析比较、获得新的结论。其结构可表示为：
材料呈现——尝试操作——发现特征——重新操作——修正认识——问题解决——获得
认识。
以操作为主线的教学中，要注意留给学生足够的时间，同时应注意适度、适量。适度即
指并非所 有的内容都要操作；适量，即是说在操作时要在丰富的表象的基础上及时抽象。