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2020年08月02日 08:54
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全国2010年4月高等教育自学考试线性代数试题
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全国2010年4月高等教育自学考试 线性代数试题 课程代码：02198 说明：在本卷中， A T 表示矩阵 A 的转置矩阵， A * 表示矩阵 A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵， |
全国2010年4月高等教育自学考试线性代数试题
课程代码：02198
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A，B，C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）
A．ACB B．CAB
C．CBA D．BCA
2．设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）
A．-8 B．-2
C．2 D．8
3．已知A= ，B= ，P= ，Q= ，则B=（）
A．PA B．AP
C．QA D．AQ
4．设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，A的秩为r1，B=AC的秩为r，则（）
A．r>r1 B．r=r1
C．r
5．已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）
A．若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2
B．若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2
C．若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0
D．若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0
6．下列命题中错误的是（）
A．只含有一个零向量的向量组线性相关
B．由3个2维向量组成的向量组线性相关
C．由一个非零向量组成的向量组线性相关
D．两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7．已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3,β线性相关，则（）
A．α1必能由α2,α3,β线性表出 B．α2必能由α1,α3,β线性表出
C．α3必能由α1,α2,β线性表出 D．β必能由α1,α2,α3线性表出
8．设A为m×n矩阵，m≠n，则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（）
A．小于m B．等于m
C．小于n D
．等于n
9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）
A．AT B．A2
C．A-1 D．A*
10．二次型 的正惯性指数为（）
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．行列式 的值为_________.
12．设A为n阶可逆矩阵，且|A|= ，则|A-1|=_________.
13．设矩阵A= ，B= ，则ATB=_________.
14．矩阵方程 X= 的解X=_________.
15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=_________.
16．齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为_________.
17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵 必有一个特征值为_________.
18．设矩阵A= 的特征值为4，1，-2，则数x=_________.
19．已知A= 是正交矩阵，则a+b=_________.
20．二次型 的矩阵是_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式D= 的值.
22．设A= ，其中ai≠0（i=1,2,3,4），求A-1.
23．设向量组α1=(2,1,3,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(-1,1,-3,0)T，α4-=(1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.
24．问a为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）.
25．求矩阵A= 的特征值和全部特征向量.
26．已知二次型 经正交变换 化为标准形 ，求所用的正交矩阵P.
四、证明题（本题6分）
27．设A，B都是n阶方阵，且|A|≠0，证明AB与BA相似.
全国2009年7月高等教育自学考试线性代数试题
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全国 2009年7月高等教育自学考试 线性代数试题 课程代码： 02198 试卷说明：在本卷中， A T 表示矩阵 A 的转置矩阵； A * 表示 A 的伴随矩阵； R （ A ）表示矩
全国2009年7月高等教育自学考试线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A，
B，C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（）
A．（A+B）T=AT+BT B．|AB|=|A||B|
C．A（B+C）=BA+CA D．（AB）T=BTAT
2．已知 =3，那么 =（）
A．-24 B．-12
C．-6 D．12
3．若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）
A．A= A* B．|A|=0
C．（A2）-1=（A-1）2 D．（3A）-1=3A-1
4．若A=，B=，C=，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（）
A．ABC B．ACTBT
C．CBA D．CTBTAT
5．设有向量组A：，其中 1， 2， 3线性无关，则（）
A． 1， 3线性无关 B． 1， 2， 3， 4线性无关
C． 1， 2， 3， 4线性相关 D． 2， 3， 4线性无关
6．若四阶方阵的秩为3，则（）
A．A为可逆阵 B．齐次方程组Ax=0有非零解
C．齐次方程组Ax=0只有零解 D．非齐次方程组Ax=b必有解
7．已知方阵A与对角阵B=相似，则A2=（）
A．-64E B．-E
C．4E D．64E
8．下列矩阵是正交矩阵的是（）
A． B．
C． D．
9．二次型f=xTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（）
A．A可逆 B．|A|>0
C．A的特征值之和大于0 D．A的特征值全部大于0
10．设矩阵A=正定，则（）
A．k＞0 B．k≥0
C．k＞1 D．k≥1
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=__________.
12．若 =0，则k=__________.
13．若ad≠bc，A=，则A-1=__________.
14．已知A2-2A-8E=0，则（A+E）-1=__________.
15．向量组α1=（1，1，0，2），α2=（1，0，1，0），α3=（0，1，-1，2）的秩为__________.
16．两个向量α=（a,1,-1）和β=（b,-2,2）线性相关的充要条件是__________.
17．方程组的基础解系为__________.
18．向量α=（3，2，t,1）β=(t,-1,2,1)正交，则
t=__________.
19．若矩阵A=与矩阵B=相似，则x=__________.
20．二次型f(x1,x2,x3)=对应的对称矩阵是__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算三阶行列式 .
22．已知A=，B=，C=，D=，矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X.
23．设向量组为α1=（2，0，-1，3）
α2=（3，-2，1，-1）
α3=（-5，6，-5，9）
α4=（4，-4，3，-5）
求向量组的秩，并给出一个最大线性无关组.
24．求λ取何值时，齐次方程组
有非零解？并在有非零解时求出方程组的结构式通解.
25．设矩阵A=，求矩阵A的全部特征值和特征向量.
26．用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=为标准形，并求所用的正交矩阵P.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．若n阶方阵A的各列元素之和均为2，证明n维向量x=(1,1,…,1)T为AT的特征向量，并且相应的特征值为2.
自考线性代数复习总结（精）
2009-1-19
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概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，
这里再具体指出如下：
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式A -1= 1 A*，或A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。
关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。
向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
在Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。
行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n（满秩阵）〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等阵〈===〉r（AB）=r（B）<===>A初等行变换
I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。
关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A.三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.
将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。