数学证明题
温柔似野鬼°
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2020年08月02日 08:54
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关爱的故事-癫狂的意思
2。已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N。求证：四边形AMNE为菱形。
3。在梯形ABCD中，AD‖BC，∠ABC的平分线BE交CD于E，且E 是DC的中点。求证：CD=AD+BC
4。在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC交AD于E ，EF‖BC交AC于F。求证：AE=CF
5.△PCD， 在PC上任取一点E，连接ED；在PD上任取一点F，连接CF；分别过点E.F作BE‖CF,AF‖DE,连接AB。求证：AB‖CD
6.已知一个等边三角形，其内部一点到各个顶点的距离分别是3 4 5，请问三角形的边长是多少？
7.．（本题满分6分）如图，DB‖AC，且DB＝ AC，E是AC的中点，求证：BC＝DE．
8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论正确的是 （ ）
（A）BE＝AF （B）∠DAF＝∠BEC
（C）∠AFB＋∠BEC＝90° （D）AG⊥BE
9.、（02年湖北黄冈）已知：如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）.
若将图1中的垂线改为斜交，如图2，AB‖CD，AD，BC相交于点E，
过点E作EF‖AB，交BD于点F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2） 请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明.
10.：做HC⊥AC于C，延长AE交HC于H。
在△BAM中,∠BAM=90°,AE⊥BM => ∠ABM=∠MAE
AB=AC,,∠HCA=BAM
=>△ABM≌△CAH
=>HC=AM=MC(M为AC的中点),∠FCM=∠HCF=45°,FC=FC
=>△CHF≌△CMF
=>∠CMF=∠AHC
∠AHC=∠AMB
=>∠AMB=∠CMF
第六章补充计算题
▲例1.1 在Ｆ4［Ｘ］中,求由基１,ｘ,ｘ2,ｘ3,ｘ4到基１,１＋ｘ,
１＋ｘ＋ｘ2,１＋ｘ＋ｘ2＋ｘ3,１＋ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4的过渡矩阵,
及多项式ｆ（ｘ）＝１＋２ｘ＋３ｘ2 ＋４ｘ3＋５ｘ4关于后一基的坐标.
◆解: 由定义即得过渡矩阵为
设ｆ（ｘ）关于后一基的坐标为（ｘ1,ｘ2,…,ｘn）＇,则
（１,２,３,４,５）＇＝Ｔ（ｘ1,ｘ2,ｘ3,ｘ4,ｘ5）＇
由此可得所求坐标为（-１,—１,—１,—１,５）＇.
▲例1.2 求所给齐次线性方程组的一个基础解系:
ｘ1＋ ｘ2 －３ｘ4－ ｘ5＝０
ｘ1－ ｘ2＋２ｘ3－ ｘ4 ＝０
４ｘ1＋２ｘ2＋６ｘ3＋３ｘ4－４ｘ5＝０
２ｘ1＋４ｘ2－２ｘ3＋４ｘ4－７ｘ5
＝０
◆解: 对系数矩阵Ａ作初等变换:
由此可得基础解系η＝（ 2, 0, -5/6,1/3, 1）
▲例1.3 设Ｖ＝｛（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）｜ ｂ＋ｃ＋ｄ＝０｝,
Ｗ＝｛（ａ,ｂ,ｃ,ｄ）｜ａ＋ｂ＝０,ｃ＝２ｄ｝是Ｒ4的两个子空间,
求ｄｉｍＶ,ｄｉｍＷ和ｄｉｍ （Ｖ∩Ｗ）,其中ａ,ｂ,ｃ,ｄ∈Ｒ.
◆解:Ｖ为齐次线性方程组ｂ＋ｃ＋ｄ＝０的解空间,系数矩阵的秩为１,
未知量的个数为４,所以ｄｉｍＶ＝４—１＝３.
同理,ｄｉｍＷ＝４—２＝２.
ｄｉｍ（Ｖ∩Ｗ）＝４—３＝１.
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第六章补充证明题
▲定义(2) ▲子空间(2) ▲线性相关性(4) ▲基和维数(3) ▲解空间(2)
▲例1.1 全体正实数集Ｒn，加法与数量乘法定义为：
ａ㈩ｂ＝ａｂ， ｋ⊙ａ＝ａk，ｋ∈Ｒ
则Ｒ+对于如上定义的加法和数乘构成实数域Ｒ上的向量空间。
◆证：对于任意ａ，ｂ∈Ｒ+，ｋ∈Ｒ，ａｂ，ａk∈Ｒ+，即两个运算的条件
被满足，且满足
i) ａ㈩ｂ＝ａｂ＝ｂａ＝ｂ㈩ａ，
ii)(ａ㈩ｂ)㈩ｃ＝(ａｂ)㈩ｃ＝ａｂｃ＝ａ㈩(ｂｃ)＝ａ㈩(ｂ㈩ｃ)，
iii) 1 是零向量，ａ㈩ 1＝ａ·1＝ａ，
iv)ａ的负向量是ａ-1，ａ㈩ａ-1＝ａ·ａ-1 ＝1，
v)(k＋l)⊙ａ＝ａk+l＝ａk·ａl＝(ka)㈩(la)，
vi)k⊙(a㈩b)＝k⊙(ab)＝(ab)k＝ak·bk＝(k⊙a)㈩(k⊙b)，
vii)k⊙(l⊙a)＝k⊙(al)＝（al)k＝alk＝(kl)k⊙a，
viii) 1⊙a＝a1＝a，
∴Ｒ+对于如上定义的加法和数乘构成实数域Ｒ上的向量空间。
■这里，会感到困难的是怎样求零向量和一向量的负向量。
我们可以用以下办法来求。设 x 是Ｒ+的零向量，由零向量的定义知对
任意 a∈Ｒ+，x㈩ a＝xa＝a，∴ x＝1，且有 1∈Ｒ+，因此Ｒ+的零向量
为 1 。同样，设 y 是 a 的负向量，即 y㈩ a＝ya＝1，∴ y＝a-1，当
a∈Ｒ+时，显然 a-1∈Ｒ+，这样 a 的负向量为 a-1。
▲例1.2 设Ｖ＝{( a,b)┃a,b ∈Ｒ},则Ｖ关于下列运算
(i)（a1,b1）㈩（a2,b2）＝（a1a2, ）
k ⊙（a,b）＝（0, 0）
(ii)（a1,b1）㈩（a2,b2）＝（a1＋a2, b1b2）
k ⊙（a,b）＝（ka, kb）
是否作成Ｒ上的向量空间？
◆解：(i) (3,2)，(1,0)∈Ｖ，但 (3,2)㈩(1,0)＝(3, ) 无意义，这
说明 ㈩不是Ｖ的加法运算，即Ｖ不作成向量空间。
(ii)由于（a1＋a2, b1b2）和（ka, kb）∈Ｖ，且是唯一确定的，故
㈩，⊙是Ｖ的两个运算，且零向量为（0, 1），但在Ｖ中不是每个向量
都有负向量，如（2, 0）就没有负向量，因为对于任意（a, b）∈Ｖ，
（2, 0）㈩（a, b）＝（2＋a, 0）≠（0, 1），即Ｖ不作成向量空间。
■当验证一个非空集合Ｖ对给定的运算作成Ｆ上一个向量空间时，需按定义
逐条检验，而当验证Ｖ不是Ｆ上一个向量空间时，只需指出不符合定义中的某
一条件，并且只要通过具体例子指出就行了。
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▲例2.1 设Ｖ＝Ｍn（Ｆ），判断Ｖ的下列子集哪些是Ｖ的子空间？
i)Ｗ1＝｛Ａ│Ａ∈Ｍn（Ｆ），对固定的Ｔ，有ＡＴ＝ＴＡ｝
ii)Ｗ2＝｛Ａ│Ａ∈Ｍn（Ｆ），│Ａ│＝０｝
◆解：i) ∵Ｏ∈Ｗ1，∵Ｗ1非空，又对任意Ａ，Ｂ∈Ｗ1，k，l∈Ｆ，
因（kＡ＋lＢ）Ｔ＝kＡＴ＋lＢＴ＝kＴＡ＋lＴＢ＝Ｔ（kＡ＋lＢ）
故 kＡ＋lＢ∈Ｗ1 ，即Ｗ1是Ｖ的子空间。
显然 Ａ，Ｂ∈Ｗ2，但 Ａ＋Ｂ＝Ｉ不属于Ｗ2，即Ｗ2对Ｖ的加法不封闭，因而
Ｗ2 不是Ｖ的子空间。
▲例2.2 设Ｖ1,Ｖ2是向量空间Ｖ的两个子空间，证明：
Ｖ1＋Ｖ2＝Ｖ1∪Ｖ2的充要条件是Ｖ1ⅲ Ｖ2 或 Ｖ2ⅲＶ1.
◆证明:← 若Ｖ1ⅲＶ2,则Ｖ1∪ Ｖ2= Ｖ2＝ Ｖ1＋ Ｖ2,
同理,当Ｖ2ⅲＶ1,则有Ｖ1＋ Ｖ2=Ｖ1∪ Ｖ2=Ｖ1.
→ 若Ｖ1不包含于Ｖ2, 则存在α1∈Ｖ1,但α1不属于Ｖ2.
∵ 对于任意α2∈Ｖ2,有α＝α1＋α2∈Ｖ1＋Ｖ2,
又Ｖ1＋ Ｖ2= Ｖ1∪ Ｖ2,∴α必至
少∈Ｖ1, Ｖ2中的一个,
若α∈Ｖ2,∵α2∈Ｖ2,则α1＝α - α2∈Ｖ2,矛盾,
于是α∈Ｖ1,但α1∈Ｖ1,∴α2＝α－α1∈Ｖ1,Ｖ2ⅲＶ1.
▲ 例 2.3 设Ｖ1,Ｖ2是向量空间Ｖ的两个非平凡子空间,证明:
在Ｖ中存在向量α,使得α不属于Ｖ1,α不属于Ｖ2同时成立.
◆ 证明: 因为Ｖ1是Ｖ的非平凡子空间,故存在α∈Ｖ,但α不属于Ｖ1,
若α不属于Ｖ2,则结论已成立. 否则因Ｖ2也是Ｖ的非平凡子空间,
故存在向量β∈Ｖ,但β不属于Ｖ2,若β不属于Ｖ1,则结论已成立.
否则有α不属于Ｖ1,α∈Ｖ2,β不属于Ｖ2,β∈Ｖ1,
∴γ = α ＋ β 不属于Ｖ1, ∈Ｖ2 ,得证.
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▲例 3.1 证明Ｒ3的单位向量组ε1＝(1,0,0)，ε2＝(0,1,0)，ε3＝(0,0,1)
线性无关。
◆错误证法一：设ε1，ε2，ε3有线性关系
x1ε1＋x2ε2＋x3ε3＝0 (I)
显然当 x1＝x2＝x3＝0 时(I)式成立，所以 ε1，ε2，ε3线性无关.
◆错误证法二：设 ε1＝x2ε2＋x3ε3，则有
(1,0,0)＝(0, x2, x3)
这是一个矛盾。这样ε1不能由ε2，ε3线性表示，所以 ε1，ε2，ε3线性
无关。
◆说明：法一的错误在于只说明当x1＝x2＝x3＝0时(I)式成立，没有证(I)式仅
当x1＝x2＝x3＝0 时成立。法二的错误在于用错了证明的依据。只有
ε1，ε2，ε3的每一个无不能由其余的线性表示时，才能断定ε1，
ε2，ε3线性无关。这里只证了ε1不能由ε2，ε3线性表示，就断
言ε1，ε2，ε3线性无关，这当然是不够的。
▲ 例3.2 设α,β,γ线性无关,证明α,α－β,α－β－γ也线性无关.
◆ 证明: 若 ｋ1α＋ｋ2（α－β）＋ｋ3（α－β－γ）＝０
即 （ｋ1＋ｋ2＋ｋ3）α＋（ｋ2－ｋ3）β＋（－ｋ3）γ＝０
∵α，β，γ线性无关 ,
∴ ｋ1＋ｋ2＋ｋ3＝０,－ｋ2－ｋ3＝０,－ｋ3＝０
∴ｋ1＝ｋ2＝ｋ3＝０,α,α－β,α－β－γ线性无关.
▲ 例3.3 已知向量组α1, α2,…,αs,αs+1线性无关,
βi＝αi＋tiαs+1 （i＝1,2,…,ｓ; ti是任意数）
试证向量组β1,β2,…,βs线性无关.
◆ 证明: 设ｋ1β1＋ ｋ2β2＋ …＋ｋsβs＝0
则ｋ1（α1＋t1αs+1）＋…＋ｋs（αs＋tsαs+1）＝0,
即ｋ1α1＋…＋ｋsαs＋（ｋ1t1＋…＋ｋsts）αs+1＝0,
∵ α1，α2，…，αs+1线性无关,
∴ｋ1,ｋ2,…,ｋs,(ｋ1t1＋…＋ｋsts)全为零,
∴ β1，β2，…，βs线性无关.
▲ 例 3.4 设下列向量组α1,…,αm线性无关.
证明, 向量组β1,…,βm也线性无关:
α1＝（ａ11，... ，ａ1r）,
......
αm＝（ａm1，... ，ａmr）;
β1＝（ａ11，... ，ａ1r，ａ1r+1，... ，ａ1n）,
......
βm＝（ａm1，... ，ａmr，ａmr+1，... ，ａmn）.
◆ 证明: 设ｋ1β1＋ ... ＋ｋmβm＝０
则 ｋ1（ａ11, ... ,ａ1r,ａ1r+1,...,ａ1n）＋ ...
＋ｋm（ａm1, ... ,ａmr,ａ1r+1,...,ａmn）＝０
∴ｋ1（ａ11,…,ａ1r）＋ｋm（ａm1,…,ａmr）＝０
即 ｋ1α1＋......＋ｋnαn＝０ .
∵α1,…,αn线性无关,∴ ｋ1＝ｋ2＝.......＝ｋm＝０
∴β1,.....,βm线性无关.
◆ 证明二. 设Ａ＝（α1，…，αm），Ｂ＝（β1，…，βm） ，
则Ｂ的前ｒ行即为Ａ，由此秩Ａ≤秩Ｂ≤ｍ.
∵α1,…,αn线性无关， ∴ 秩Ａ＝ｍ.
于是秩Ｂ＝ｍ，从而β1,.....,βm线性无关。
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▲ 例 4.1 设α1,…,αn,β为Ｆ上ｎ维向量空间中的ｎ＋１个向量,
α1,…,αn线性无关.证明: β必可由α1,…,αn线性表示。
◆ 证明: ∵ｎ维向量空间的ｎ个线性无关的向量可作成一个基,
而α1,…,αn线性无无关,所以作成一个基.
∴β可由基α1,…,αn线性表示.
▲ 例 4.2 设Ｕ,Ｗ都是向量空间Ｖ的有限维子空间,且Ｕ包含于Ｗ.
证明,若ｄimＵ＝ｄimＷ, 则Ｕ＝Ｗ.
▲ 证明: 设ｄi m Ｕ＝ｒ, α1,…,αr为Ｕ的基,
∵Ｕ包含于Ｗ, ∴α1,…,αr也是Ｗ的一个线性无关组,
∵ｄi m Ｗ＝r, ∴α1,
…,αr 也是Ｗ的基, 从而Ｕ＝Ｗ.
当ｄi m Ｕ＝０ 时,显然有Ｕ＝Ｗ.
▲ 例4.3 设Ｖ为ｎ维向量空间,Ｕ,Ｗ是Ｖ的子空间,Ｕ＋Ｗ与Ｕ∩Ｗ的维数
之差为１, 证明:Ｕ＋Ｗ＝Ｕ或Ｗ.
◆ 证明: ∵Ｕ包含于Ｕ＋Ｗ, ∴若Ｕ≠Ｕ＋Ｗ, 则ｄｉｍＵ＜ｄｉｍ（Ｕ＋Ｗ）,
∵ Ｕ∩Ｗ包含于Ｕ, ∴ｄｉｍ（Ｕ∩Ｗ）≤ｄｉｍＵ
＜ｄｉｍ（Ｕ＋Ｗ）＝１＋ｄｉｍ（Ｕ∩Ｗ ）,
∵ 维数是整数, ∴ｄｉｍＵ＝ｄｉｍ（Ｕ∩Ｗ）
∵Ｕ∩Ｗ包含于Ｕ, ∴Ｕ＝Ｕ∩Ｗ,Ｕ包含于Ｗ, ∴Ｕ＋Ｗ＝Ｗ.
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▲例5.1 设Ａ为ｎ阶矩阵,Ａ＝（ａij）,│Ａ│＝０,但其中某一元素
ａij的代数余子式Ａij≠０.证明: 齐次线性方程组ＡＸ＝０的一个
基础解系为: η＝（Ａi1,…,Ａij,…,Ａin）＇.
◆证明:∵Ａ的ｎ－1 阶子式Ｍij＝(－1)i-jＡij≠0,Ａ的唯一的
ｎ 阶子式┃Ａ┃＝0, ∴秩Ａ＝ｎ－1,ＡＸ＝０的基础解系只含一个解向量.
由行列式依行展开的性质,Ａη 的第ｉ行为┃Ａ┃＝0,其余各行为 0,
∵Ａij≠0,∴η为一非零解向量,从而为基础解系,得证.
▲例5.2 设Ａ,Ｂ为ｎ阶矩阵.证明: 秩（ＡＢ）＝秩Ｂ的充要条件是:
齐次线性方程组 ＡＢＸ＝０与ＢＸ＝０同解.
◆证明:设Ｕ,Ｗ分别为ＡＢＸ＝０与ＢＸ＝０的解空间, 则Ｗ包含于Ｕ.
→ ∵ｄi m Ｕ＝ｎ－秩ＡＢ＝ｎ－秩Ｂ＝ｄi m Ｗ, Ｗ包含于Ｕ,
∴Ｕ＝Ｗ,即两个齐次线性方程组组同解.
← ∵Ｕ＝Ｗ, ∴ｎ－秩ＡＢ＝ｎ－秩Ｂ, 从而秩ＡＢ＝秩Ｂ.
已知：如图： △ ABC中，∠ 1 = ∠ 2，
∠ 3=∠ 4，BF=CE。
求证：AB = AC
[B] 分析：比较两个线段的长短，只有三种情况。
如果AB 不等于 AC，那么只有两种情况 ，
要么AB ＞ AC，要么 AB < AC。
只要证明以上两钟假设不成立，就可以反证出只能是第三种答案即：
只能是AB = AC。（矛盾法中的排中律，否定之否定） [/B]
证明：做EH // BF，EH = BF，连结FH和HC，
形成 ∠ 5，∠ 6，∠7。有∠ 1 + ∠ 2 =∠ ABC，
∠ 3 + ∠ 4 = ∠ ACB，∠ 4 + ∠ 7 = ∠ ECH，
∠ 5 +∠ 6 =∠ EHC，
▽： 因在△ ECH 中 EH = EC = BF
△： 所以 ∠ 5 +∠ 6 = ∠ 4 + ∠ 7 （等腰三
角形底角相等）
▽： BFHE 为平行四边形 ；∠ 1 = ∠ 6，HF =EB，
（一） 在△ABC中 假设 AB ＞ AC
则有∠ ABC < ∠ACB ， 则 ∠ 1 < ∠ 3，∠ 1 < ∠ 4
同时 ∠ 6 = ∠ 1，平行四边形对角相等
就有 ∠ 6 < ∠ 4 ▽ 上式 已证 ∠ 1 < ∠ 3，∠ 1 < ∠ 4
那么 ∠ 7 < ∠ 5 ▽ ：因为 等腰 △ ECH 中 EH = EC = BF
△：两等量底角 减去 大角 等于 小角
两等量底角 减去 小角 等于 大角
在△HEC中， FH < FC (在一个 △中,大角 对 大边,小角对小边)
那么， BE < FC （等量代替）（FH = BE）
在两个△BCE和 △BCF 中比较，
▽ ：因为两个量相等情况下（BC = CB，BF = CE）
△ ：由 BE < FC，可知 ∠ 2 ＞ ∠ 3 (第三边大 对 大角,第三边小 对小角)
△： 所以 ∠ABC ＞ ∠ACB （倍角等量关系）
△： 因此：AB < AC （大角对大边）
因此： 这个结果与假设条件即 ：在△ABC中 假设 AB ＞ AC命题自相矛盾，
因此 ：上述第(一)项假设条件,不能成立！
（二）在△ABC中第二种情况下 假设AB < AC，则有 ∠ B ＞ ∠ C
同理可证；得到：AB ＞ AC
此 这个结果与假设条件即 ：在△ABC中 假设 AC ＞ AB命题自相矛盾，
因此 上述第(二)项假设条件,亦不能成立！
因为AB不等于AC情况下，只有以上两种情况，但都不能成立，
所以只有唯一种情况才能够成立，
那就是AB = AC
浅谈初中几何证明题教学2010年01月19日 星期二 20:57
学习几何对培养学生逻辑思维及逻辑推理能力有着特殊的作用。对于众多的几何证明题，帮助学生寻找证题方法和探求规律，对培养学生的证题推理能力，往往能够收到较好的效果，这对学生证明中克服无从下手，胡思乱想，提高解题的正确性和速度，达到熟练技巧是有积极作用的。在几何证明题教学中，我是从以下几方面进行的：
一、培养学生学会划分几何命题中的“题设”和“结论”。
1、每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，要求学生从命题的结构特征进行划分，掌握重要的相关联词句。例：“如果……，那么……。”“若……，则……”等等。用“如果”或“若”开始的部分就是题设。用“那么”或“则”开始的部分就是结论。有的命题的题设和结论是比较明显的。例：如果一个三角形有两个角相等(题设)，那么这两个角所对的边相等(结论)。但有的命题，它的题设和结论不十分明显，对于这样的命题，可要求学生将它改写成“如果……，那么……”的形式。例如：“对顶角相等”可改写成：“如果两个角是对顶角(题设)，那么这两个角相等(结论)”。
以上对命题的“题设”和“结论”划分只是一种形式上的记忆，不能从本质上解决学生划分命题的“题
设”、“结论”的实质问题，例如：“等腰三角形两腰上的高相等”学生会认为这个命题较难划分题设和结论，认为只有题设部分，没有结论部分，或者因为找不到“如果……，那么……”的词句，或者不会写成“如果……，那么……”等的形式而无法划分命题的题设和结论。
2、正确划分命题的“题设”和“结论”，必须使学生理解每个数学命题都是一个完整无缺的句子，是对数学的一定内容和一定本质属性的判断。而每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，是判断一件事情的语句。在一个命题中被判断的“对象”是命题的“题设”，也就是“已知”。判断出来的“结果”就是命题的“结论”，也就是“求证”。总之，正确划分命题的“题设”和“结论”，就是要分清什么是命题中被判断的“对象”，什么是命题中被判断出来的“结果”。
在教学中，要在不断的训练中加深学生对数学命题的理解。
二、培养学生将文字叙述的命题改写成数学式子，并画出图形。
1、按命题题意画出相应的几何图形，并标注字母。
2、根据命题的题意结合相应的几何图形，把命题中每一个确切的数学概念用它的定义，数学符合或数学式子表示出来。命题中的题设部分即被判断的“对象”写在“已知”一项中，结论部分即判断出来的“结果”写在“求证”一项中。
例：求证：邻补角的平分线互相垂直。
已知：如图∠AOC+∠BOC=180°
OE、OF分别是∠AOC、∠BOC的平分线。
求证：OE⊥OF
三、培养学生学会推理证明：
1、几何证明的意义和要求
对于几何命题的证明，就是需要作出一判断，这个判断不是仅靠观察和猜想，或反通过实验和测量感性的判断，而必须是经过一系列的严密的逻辑推理和论证作出的理性判断。推理论证的过程要符合客观实际，论证要有充分的根据，不能凭主观想象。证明中的每一点推理论证的根据就是命题中给出的题设和已证事项，定义、公理和定理。换言之，几何命题的证明，就是要把给出的结论，用充分的根据，严密的逻辑推理加以证明。
2、加强分析训练、培养逻辑推理能力
由于命题的类型各异，要培养学生分析与综合的逻辑推理能力，特别要重视问题的分析，执果索因、进而证明，这里培养逻辑思维能力的好途径，也是教学的重点和关键。在证明的过程中要培养学生：在证明开始时，首先对命题竹：分析、推理，并在草稿纸上把分析的过程写出来。初中几何证题常用的分析方法有：
①顺推法：即由条件至目标的定向思考方法
。在探究解题途径时，我们从已知条件出发进行推理。顺次逐步推向目标，直到达到目标的思考过程。
如：试证：平行四边形的对角线互相平分。
已知：◇ABCD，O是对角线AC和BD的交点。
求证：CA=OC、OB=OD
分析：
证明：∵四边形ABCD是◇
∴ AB∥CD AB=DC
∴ ∠1=∠4 ∠2=∠3
在△ABO和△CDO中
∴ △ABO≌△CDO（ASA）
∴ OA=OC OB=OD
②倒推法：即由目标至条件的定向思考方法。在探究证题途径时，我们不是从已知条件着手，而是从求证的目标着手进行分析推理，并推究由什么条件可获得这样的结果，然后再把这些条件作结果，继续推究由什么条件，可以获得这样的结果，直至推究的条件与已知条件相合为止。
如：在△ABC中，EF⊥AB CD⊥AB G在AC上且∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB
分析：
要证∠AGD=∠ACB就要证DG∥BC，就要证：∠1=∠3。要证∠1=∠3，就要证：∠2=∠3
证明：△在ABC中
③倒推———顺推法：就是先从倒推入手，把目探究到一定程度，再回到条件着手顺推，如果两个方向汇合了，问题的条件与目标的联系就清楚了，与此同时解题途径就明确了。
3、学会分析
在几何证明的教学过程中，要注意培养学生添辅助线的能力，要注意培养学生的创新思维能力和处理问题的机智能力；要使学生认识到在几何证明题中，辅助线引导适当，可使较难的证明题转为较易证明题。但辅助线不能乱引，而且有一定目的，在一定的分析基础上进行的。因此怎样引辅助线是依据命题的分析而确定的。
例：如图两个正方形ABCD 和OEFG的边长都是a，其中点O交ABCD的中心，OG、OE分别交CD、BC于H、K。
分析：四边形OKCH不是特殊的四边形，直接计算其面积比较困难，连 OC把它分别割成两部分，考虑到ABCD为正方形，把△OCK绕点O按顺时针方向旋转90°到△ODH，易证△OCK≌△ODH ∴S△ODH
∴SOKCH=S△OCH =S△ODH+S△DCH=S△OCD
四、培养学生证题时养成规范的书写习惯
用填充形式训练学生证题的书写格式和逻辑推理过程。让学生也实践也学习证题的书写格式，使书写规范，推理有根据。经过一段时间的训练后，一转入学生独立书写，这样，证题的推理过程及书写都比较规范。
如：已知AB∥EF∠1+∠2=180° 求证：CD∥EF
证：∵∠1+∠2=180°( )
综上可得：对于初中几何证题，教师要反复强调这样一个模式：要什么———有什么———缺什么———补什么。按照上述模式，反复训练，学生是能够逐步熟悉几何证题的格
式，掌握初中几何证题的正确方法。