八年级历史下册教案-公务员工资套改

第11讲 立体图形



各种涉及长方体 、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向
的投影常能发挥明显 的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.


第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动）
1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?


【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个 小正方形的面积，
朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的 面积也相等，都
等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正 方形的面积，而每个小正
方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米．


2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5 ，3，2的长方体，
那么它的表面积减少了百分之几?

【分析与解】 原来正方体的表面积为5 ×5×6=150．
现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧 面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．
即表面积减少了百分之八．


3．如图11-3，一个正方体形状 的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，
每条又锯成5小块，共得到大大小小 的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

1

【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．
现在一共切了(3-1) +(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增
加了 9×2×1=18(平方米)．
原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方 体的表积之和为6+18=24(平方
米)．


4．图11-4中是一个 边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边
长l厘米的正方体，做成一 种玩具．它的表面积是多少平方厘米?

【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．
每一个面被挖去一个边长 是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的
表面积的组成部分．总的来看， 每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米．


5．图11-5 是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方
体小间；接着在小 洞的底面正中再向下挖一个边长为
边长为
1
厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相 同，
2
1
厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
4


【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．
所以，最后得到的立体图形的表面积是：

2

2×2×6+1×l×4+×

1111
××4+××4=29.25(平方厘米)．
2244

6．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在
中、 小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水
里，大 水池的水面升高了多少厘米·
【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为3×3×0.06：0.54立方米；
放在小水池里的碎石的体积为2×2×0.04=0.16立方米；
则两堆碎石的体积和为0 .54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为6×6=36平方米的大水池中，则
使大水池的水 面升高0.7÷36=
770017
米=厘米=
1
厘米
36036018

7．如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方 形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，
沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘 米?

【分析与解】 容器的底面积是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：

45×2=90(立方厘米)．


8．今有一个长、宽、高分别 为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切
下一个正方体，然后从剩余的部 分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大
的切下一个正方体．问剩下的体积 是多少立方厘米?

【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21： 15：12=7：5：4，为了叙述方便，
我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方 体.
易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第
三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求．
于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘 米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体
的棱长为12厘米、9厘米、6厘米．
所以剩下的体积应为：
21×15×12-(
1296
)=1107(立方厘米)．

333

3

9．如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它 们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥
体积与圆柱体积的比是多少?







【分析与解】 圆锥的体积是
24


所以，圆锥体积与圆柱体积的比是
< br>1
3
2
16

,
，圆柱的体积是
4
2
8

128

．
3
16

:128

1:24
.
3

10．张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形 粮囤．今年改用长3米宽2
米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮 囤容积的多少倍?
3
3
2
3
2
3
2
)
【分析与解】底面周长是3，半径是，

(
所以今年粮囤底面积是，高是2 ．
2

2

4

4

2
2
同理，去年粮囤底面积是，高是1．
4

3
2
2
2
(2)(1)4.5.

4

4

因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍．


11．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深 15厘米．今将一个底面半径
为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多 少厘米?

【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有 水的体积与圆柱体在
水中体积之和，因而水深为：
5
2


152
2


18
17.72
（厘米）；
2
5


4

它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸 入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下
图的立体图形．
底面积为
5< br>
2

21

，水的体积保持不变为
5

15315

．
所以有水深为
于是
17

222
315

6
17
(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出
21

7
6
厘米即为所求的水深．
7

12．如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问< br>这个物体的表面积是多少平方米?(

取3．14)

【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即

2

1.52

1.512

112

0.51

2
4.5

3

2



10.5

32.97(平方米）
即这 个物体的表面积是32.97平方米．


13．某工人用薄木板钉成一个 长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上
加固．所用尼龙编织条的长分别为 365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠
5厘米，则这个长方体包装箱 的体积是多少立方米?

5

【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，„„„„„„„„①
1
(405-5)=200，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„②
2
1
长+宽=(485-5)=240，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„③
2
高+长=
②-①得 长-宽=20，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„④
④+③得 长=130，则宽=110，代入①得高=70，所以长方体得体积为：
70×110×30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)．


14．有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的
的
1，乙的棱长是丙的棱长
2
2
．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的 大正体，每种至少用一块，那么最少需要
3
这3种木块一共多少块?

【分 析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3．显然，大正方体棱长不可能是4，否则
无法 放下乙和丙各一个．
于是，大正方体的棱长至少是5．事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼 成棱长为5的大正方体，
其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种 木块需用：
5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(块)．
因此，用甲、乙、 丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)．


15．有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色 ，使得
有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色 的，
有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色 的，
染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体； 最
多有多少个?

【分析与解】一面染红的长方体，显然应将4×5的长方 体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方
体，个数最多．
二面染红的长方 体，显然应将两个4×5的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，
个数最多．
三面染红的长方体，显然应将4×5，4×5，4×3的面染红，于是产生4×(5+5+3- 4)=36个一面染
成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个．
四面染红的长方体，显然应将4×5，4×5，4×3，4×3的面染红，产生4×(5+5+ 3+3-2×4)=32

6

个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个．
五面染红的长方体，应只留一个3×5的面不染，这时就产生
(3-2)×(5-2)+(4-1)×( 5+5+3+3-2×4)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色
的小正方体 均少于27．
六面染红的长方体，产生2×[(3-2)×(5-2)+(5-2) ×(4-2)+(4-2)×(3-2)]=22个一面染成红色的
小正方体．
于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体．

7

第11讲 立体图形



各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向
的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.


第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动）
1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?


【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个 小正方形的面积，
朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的 面积也相等，都
等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正 方形的面积，而每个小正
方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米．


2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5 ，3，2的长方体，
那么它的表面积减少了百分之几?

【分析与解】 原来正方体的表面积为5 ×5×6=150．
现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧 面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．
即表面积减少了百分之八．


3．如图11-3，一个正方体形状 的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，
每条又锯成5小块，共得到大大小小 的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

1

【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．
现在一共切了(3-1) +(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增
加了 9×2×1=18(平方米)．
原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方 体的表积之和为6+18=24(平方
米)．


4．图11-4中是一个 边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边
长l厘米的正方体，做成一 种玩具．它的表面积是多少平方厘米?

【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．
每一个面被挖去一个边长 是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的
表面积的组成部分．总的来看， 每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米．


5．图11-5 是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方
体小间；接着在小 洞的底面正中再向下挖一个边长为
边长为
1
厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相 同，
2
1
厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
4


【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．
所以，最后得到的立体图形的表面积是：

2

2×2×6+1×l×4+×

1111
××4+××4=29.25(平方厘米)．
2244

6．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在
中、 小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水
里，大 水池的水面升高了多少厘米·
【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为3×3×0.06：0.54立方米；
放在小水池里的碎石的体积为2×2×0.04=0.16立方米；
则两堆碎石的体积和为0 .54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为6×6=36平方米的大水池中，则
使大水池的水 面升高0.7÷36=
770017
米=厘米=
1
厘米
36036018

7．如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方 形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，
沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘 米?

【分析与解】 容器的底面积是(13-4)×(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：

45×2=90(立方厘米)．


8．今有一个长、宽、高分别 为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切
下一个正方体，然后从剩余的部 分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大
的切下一个正方体．问剩下的体积 是多少立方厘米?

【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21： 15：12=7：5：4，为了叙述方便，
我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方 体.
易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第
三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求．
于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘 米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体
的棱长为12厘米、9厘米、6厘米．
所以剩下的体积应为：
21×15×12-(
1296
)=1107(立方厘米)．

333

3

9．如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它 们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥
体积与圆柱体积的比是多少?







【分析与解】 圆锥的体积是
24


所以，圆锥体积与圆柱体积的比是
< br>1
3
2
16

,
，圆柱的体积是
4
2
8

128

．
3
16

:128

1:24
.
3

10．张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形 粮囤．今年改用长3米宽2
米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮 囤容积的多少倍?
3
3
2
3
2
3
2
)
【分析与解】底面周长是3，半径是，

(
所以今年粮囤底面积是，高是2 ．
2

2

4

4

2
2
同理，去年粮囤底面积是，高是1．
4

3
2
2
2
(2)(1)4.5.

4

4

因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍．


11．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深 15厘米．今将一个底面半径
为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多 少厘米?

【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有 水的体积与圆柱体在
水中体积之和，因而水深为：
5
2


152
2


18
17.72
（厘米）；
2
5


4

它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸 入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下
图的立体图形．
底面积为
5< br>
2

21

，水的体积保持不变为
5

15315

．
所以有水深为
于是
17

222
315

6
17
(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出
21

7
6
厘米即为所求的水深．
7

12．如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问< br>这个物体的表面积是多少平方米?(

取3．14)

【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即

2

1.52

1.512

112

0.51

2
4.5

3

2



10.5

32.97(平方米）
即这 个物体的表面积是32.97平方米．


13．某工人用薄木板钉成一个 长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上
加固．所用尼龙编织条的长分别为 365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠
5厘米，则这个长方体包装箱 的体积是多少立方米?

5

【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，„„„„„„„„①
1
(405-5)=200，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„②
2
1
长+宽=(485-5)=240，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„③
2
高+长=
②-①得 长-宽=20，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„④
④+③得 长=130，则宽=110，代入①得高=70，所以长方体得体积为：
70×110×30=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)．


14．有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的
的
1，乙的棱长是丙的棱长
2
2
．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的 大正体，每种至少用一块，那么最少需要
3
这3种木块一共多少块?

【分 析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3．显然，大正方体棱长不可能是4，否则
无法 放下乙和丙各一个．
于是，大正方体的棱长至少是5．事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼 成棱长为5的大正方体，
其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种 木块需用：
5×5×5-1×3×3×3-7×2×2×2=42(块)．
因此，用甲、乙、 丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)．


15．有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色 ，使得
有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色 的，
有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色 的，
染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体； 最
多有多少个?

【分析与解】一面染红的长方体，显然应将4×5的长方 体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方
体，个数最多．
二面染红的长方 体，显然应将两个4×5的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，
个数最多．
三面染红的长方体，显然应将4×5，4×5，4×3的面染红，于是产生4×(5+5+3- 4)=36个一面染
成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个．
四面染红的长方体，显然应将4×5，4×5，4×3，4×3的面染红，产生4×(5+5+ 3+3-2×4)=32

6

个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个．
五面染红的长方体，应只留一个3×5的面不染，这时就产生
(3-2)×(5-2)+(4-1)×( 5+5+3+3-2×4)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色
的小正方体 均少于27．
六面染红的长方体，产生2×[(3-2)×(5-2)+(5-2) ×(4-2)+(4-2)×(3-2)]=22个一面染成红色的
小正方体．
于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体．

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