小学奥数必须掌握的30个知识点
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小学奥数必须掌握的30个知识点
1．和差倍问题
和差问题、和倍问题、差倍问题
已知条件：几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍
数
公式适用范围：已知两个数的和，差，倍数关系
公式:
①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大
数
②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小
数
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数小数＋差=大数
关键问题：求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的； <
br>3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一
量”，题目一般用“照这样
的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线
或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲
线上植树，只有一端植树封闭曲
线上植树
基本公式：棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1
棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长
关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假
设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷
（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷
（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：一定量的对
象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分
组的标准不同，
造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总
量．
基
本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异
造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配
的总份数，然后
根据题意求出对象的总量．
基本题型： ①一次有余数，另一次不足；基本公
式：总份数＝
（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余
数；基本公式：总份数＝（较
大余数一较小余数÷
两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份
数＝（较大不足数一较小
不足数）÷两次每份数的
差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛
吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃
法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即
可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定
两个不变的量。
基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间
牛头数）÷（长时间-
短时间）；总草量=较长时间×
长时间牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环
出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：
确定循环周期。
闰年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能
被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400
整除；
9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份
数=
总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和
÷总份数
基本算法：①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计
算.
②基准数法：根
据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般
选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数
为标
准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出
这些差的平均数；最后求这个
差的平均数和基准数的和，就是
所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必
有一个抽屉中
至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数
的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0
④4=2+1+1
观察上面四
种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有
那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有
一个抽
屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，
那么必有一个抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m
整除时。 ②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，
而后依据抽屉原则进行运算。
11．定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有
多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转
化为加减乘除的运算，然后按照基本运算
过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺
序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列：在一
列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样
的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的
第
一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中
涉及四个
量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式
中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四
个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)
公差；
数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；
数列和＝（首项＋末项）项数2；
项数公式：n= (an+ a1)d＋1；
项数=（末项-首项）公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））（n－1）；
公差=（末项－首项）（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用
十
进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数
字表示不同的含义，十位上的2表示20，
百位上的
2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An1
0n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5
+A
n-610n-7+……+A3102+A2101+A1100
注意：N0=１；
N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的
数字表示不同的含义。
（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-
5+An-62n-7
+……+A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用
2连续去除这个数，直
到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即
可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不
大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到
差为0，按
照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中
有m1种不同方法，在第二类方 法中有m2种不同方法……，
在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1 + m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行， 做第1
步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2
种方法……不管前面n-1 步用哪种方法，第n步总有mn种方法，
那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形
成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫
做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫
做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这
个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质
因数。通常用短除
质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中
a1、a2、a3……an都是合
数N的质因数，且a1
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫
做a的约数。
公约数
：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大
的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质
数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于
这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连
乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的
那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最
小的一个，叫做这几个数的最小公
倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的
乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解
质因数的方法
17．数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然
数b，得到一个整数
商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.
能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整
除。
3.
能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125
整除。
4.
能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数
之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整
除。
6.
能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13
整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整
除。
2.
如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整
除。
3.
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整
除。
4.
如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数
整除。
18．余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且
0
余数的性质：
①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c
的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a
除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m
同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同
余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod
m)；②对称性：若a≡b(mod m)，则
b≡a(mod m)； ③传递性：若a≡b(mod
m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod
m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，
a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡
b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)； ⑦同倍
性:若a≡ b(mod
m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则
MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则
M≡n(mod
9)或（mod 3）； ②一个自然数M，X表示M的各个
奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数
位上数字的和，
则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理
：如果p是质数（素数），a是自然数，且a
不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和
分母同时乘以或除以相同的数（0除
外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表
示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法： ①
逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结
果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它
所占
的率的直接对应关系。 ③转化思维方法：把一类应用题转化成
另一类应用题进行解答。最
常见的是转换成比例和转换成倍数
关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率
转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准
为一倍量。 ④假设思维方法：为了解题的
方便，可以把题目中
不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的
结果，然后再
进行调整，求出最后结果。 ⑤量不变思维方法：
在变化的各个量当中，总有一个量是不
变的，不论其他量如何
变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分
量发生变化
，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量
不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量
不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单
一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同
分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和
分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法： ①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子
分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母
相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确
定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小
比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越
大。 ⑤倍率
比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大
小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系
比较分数的
大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有
分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：
用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：
用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：
利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确
定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：① =+；
②=+
（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征： 1.
末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反
之不成立。 2. 除以3余0或余1；反之不成立。
3. 除以4余0
或余1；反之不成立。 4. 约数个数为奇数；反之成立。 5.
奇数
的平方的十位数字为偶数；反之不成立。 6.
奇数平方个位数字
是奇数；偶数平方个位数字是偶数。 7.
两个相临整数的平方之
间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比
号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），
比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩
小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商
不变时），则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积
不变时），则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、
时间、路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=
时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水
速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、
追及时间）、速度（速
度和、速度差）中任意两个量，
求第三个量。
26．工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总
量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路： ①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）； ②假
设一
个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量
所用时间的最小公倍数），利用上述三个
基本关系，
可简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应
关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介： ①条件分析—
假设法：假设可能情况中的一种成
立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，
说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。
例如，假设a是偶数成立，在判断过程中
出现了矛盾，那么a
一定是奇数。 ②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要
多次假设才
能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就
是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的
行、列
分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断。 ③条件
分析——图表法：当两个对象之间只
有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系
，有连线
则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有
认识或不认识两种状态，有连线表示认
识，没有表示不认识。 ④逻辑计算：在推理的过程中除了要进<
br>行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结
果为推理提供一个新的判断筛选条件
。 ⑤简单归纳与推理：根
据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从
特殊情
况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到
问题的解决。
28．几何面积
基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，
一般需要对图形进行割补，平移、旋转
、翻折、分解、变形、
重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要
掌握和记忆
一些常规的面积规律。
常用方法： 1. 连辅助线方法 2.
利用等底等高的两个三角形面
积相等。3.
大胆假设（有些点的设置题目中说的是任
意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。 4.
利
用特殊规律 ①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求
出面积。（斜边的平方除以4等于等
腰直角三角形的面
积） ②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的
面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
一、长方体：8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对
的棱相等；
S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh
二、正方体：8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有
棱相等； S=6a2
V=a3
三、圆柱体:上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；
S=S侧+2S底
S侧=Ch V=Sh
四、圆锥体:下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上
任意一点的距离；
S=S侧+S底S侧=rl V=Sh
五、球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2
V=r3
30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题； 2、不同的
表当运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为
60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；合理
利用行程问题中的比例关系。
小学奥数必须掌握的30个知识点
1．和差倍问题
和差问题、和倍问题、差倍问题
已知条件：几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍
数
公式适用范围：已知两个数的和，差，倍数关系
公式:
①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大
数
②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小
数
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数小数＋差=大数
关键问题：求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的； <
br>3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一
量”，题目一般用“照这样
的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线
或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲
线上植树，只有一端植树封闭曲
线上植树
基本公式：棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1
棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长
关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假
设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷
（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷
（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：一定量的对
象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分
组的标准不同，
造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总
量．
基
本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异
造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配
的总份数，然后
根据题意求出对象的总量．
基本题型： ①一次有余数，另一次不足；基本公
式：总份数＝
（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余
数；基本公式：总份数＝（较
大余数一较小余数÷
两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份
数＝（较大不足数一较小
不足数）÷两次每份数的
差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛
吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃
法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即
可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定
两个不变的量。
基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间
牛头数）÷（长时间-
短时间）；总草量=较长时间×
长时间牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环
出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：
确定循环周期。
闰年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能
被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400
整除；
9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份
数=
总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和
÷总份数
基本算法：①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计
算.
②基准数法：根
据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般
选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数
为标
准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出
这些差的平均数；最后求这个
差的平均数和基准数的和，就是
所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必
有一个抽屉中
至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数
的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0
④4=2+1+1
观察上面四
种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有
那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有
一个抽
屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，
那么必有一个抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m
整除时。 ②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，
而后依据抽屉原则进行运算。
11．定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有
多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转
化为加减乘除的运算，然后按照基本运算
过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺
序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列：在一
列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样
的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的
第
一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中
涉及四个
量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式
中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四
个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)
公差；
数列和公式：sn,= (a1+ an)n2；
数列和＝（首项＋末项）项数2；
项数公式：n= (an+ a1)d＋1；
项数=（末项-首项）公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））（n－1）；
公差=（末项－首项）（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用
十
进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数
字表示不同的含义，十位上的2表示20，
百位上的
2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An1
0n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5
+A
n-610n-7+……+A3102+A2101+A1100
注意：N0=１；
N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的
数字表示不同的含义。
（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-
5+An-62n-7
+……+A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用
2连续去除这个数，直
到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即
可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不
大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到
差为0，按
照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中
有m1种不同方法，在第二类方
法中有m2种不同方法……，
在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1
+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，
做第1
步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2
种方法……不管前面n-1
步用哪种方法，第n步总有mn种方法，
那么完成这件任务共有：m1×m2.......
×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形
成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫
做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫
做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这
个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质
因数。通常用短除
质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中
a1、a2、a3……an都是合
数N的质因数，且a1
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫
做a的约数。
公约数
：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大
的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质
数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于
这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连
乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的
那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最
小的一个，叫做这几个数的最小公
倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的
乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解
质因数的方法
17．数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然
数b，得到一个整数
商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.
能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整
除。
3.
能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125
整除。
4.
能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数
之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整
除。
6.
能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13
整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整
除。
2.
如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整
除。
3.
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整
除。
4.
如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数
整除。
18．余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且
0
余数的性质：
①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c
的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a
除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m
同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同
余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod
m)；②对称性：若a≡b(mod m)，则
b≡a(mod m)； ③传递性：若a≡b(mod
m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod
m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，
a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡
b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)； ⑦同倍
性:若a≡ b(mod
m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则
MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则
M≡n(mod
9)或（mod 3）； ②一个自然数M，X表示M的各个
奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数
位上数字的和，
则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理
：如果p是质数（素数），a是自然数，且a
不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和
分母同时乘以或除以相同的数（0除
外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表
示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法： ①
逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结
果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它
所占
的率的直接对应关系。 ③转化思维方法：把一类应用题转化成
另一类应用题进行解答。最
常见的是转换成比例和转换成倍数
关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率
转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准
为一倍量。 ④假设思维方法：为了解题的
方便，可以把题目中
不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的
结果，然后再
进行调整，求出最后结果。 ⑤量不变思维方法：
在变化的各个量当中，总有一个量是不
变的，不论其他量如何
变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分
量发生变化
，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量
不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量
不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单
一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同
分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和
分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法： ①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子
分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母
相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确
定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小
比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越
大。 ⑤倍率
比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大
小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系
比较分数的
大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有
分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：
用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：
用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：
利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确
定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：① =+；
②=+
（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征： 1.
末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反
之不成立。 2. 除以3余0或余1；反之不成立。
3. 除以4余0
或余1；反之不成立。 4. 约数个数为奇数；反之成立。 5.
奇数
的平方的十位数字为偶数；反之不成立。 6.
奇数平方个位数字
是奇数；偶数平方个位数字是偶数。 7.
两个相临整数的平方之
间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比
号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），
比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩
小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商
不变时），则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积
不变时），则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、
时间、路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=
时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水
速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、
追及时间）、速度（速
度和、速度差）中任意两个量，
求第三个量。
26．工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总
量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路： ①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）； ②假
设一
个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量
所用时间的最小公倍数），利用上述三个
基本关系，
可简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应
关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介： ①条件分析—
假设法：假设可能情况中的一种成
立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，
说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。
例如，假设a是偶数成立，在判断过程中
出现了矛盾，那么a
一定是奇数。 ②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要
多次假设才
能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就
是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的
行、列
分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断。 ③条件
分析——图表法：当两个对象之间只
有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系
，有连线
则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有
认识或不认识两种状态，有连线表示认
识，没有表示不认识。 ④逻辑计算：在推理的过程中除了要进<
br>行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结
果为推理提供一个新的判断筛选条件
。 ⑤简单归纳与推理：根
据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从
特殊情
况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到
问题的解决。
28．几何面积
基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，
一般需要对图形进行割补，平移、旋转
、翻折、分解、变形、
重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要
掌握和记忆
一些常规的面积规律。
常用方法： 1. 连辅助线方法 2.
利用等底等高的两个三角形面
积相等。3.
大胆假设（有些点的设置题目中说的是任
意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。 4.
利
用特殊规律 ①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求
出面积。（斜边的平方除以4等于等
腰直角三角形的面
积） ②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的
面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
一、长方体：8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对
的棱相等；
S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh
二、正方体：8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有
棱相等； S=6a2
V=a3
三、圆柱体:上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；
S=S侧+2S底
S侧=Ch V=Sh
四、圆锥体:下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上
任意一点的距离；
S=S侧+S底S侧=rl V=Sh
五、球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2
V=r3
30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题； 2、不同的
表当运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为
60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；合理
利用行程问题中的比例关系。
天体运行论-徐师大