新年钟声-浙江大学研究生招生网

工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16 小时.丙水管
单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，
再 打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
＝表示甲乙的工作效率
5＝表示5小时后进水量
＝表示还要的进水量
（）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成 ，乙队需要30天完成。如果
两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效 率
是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这
条水渠，且要 求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为，乙的工效为，甲乙的 合作工效为＝，可知甲
乙合作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽 可能少”，所以应该让做的快的甲多做，
16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“ 两队合作的天数尽
可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
（16-x）＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天
1 16

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完 成。现在
先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作
要多少小 时？
解：
由题意知，表示甲乙合作1小时的工作量，表示乙丙合作1小时的工作量
（）×2＝表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2 小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小
时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－＝表示乙做6-4＝2小时的工作量。
2＝表示乙的工作效率。
1÷＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。
4 ．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样
交替轮流做，那么恰好用整数天 完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天
乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前 一种多半天。已知
乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所
示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
2 16

又因为1乙＝
所以1甲＝，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了时， 徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时，徒弟完成了这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了，第二 次也是，两次一共全部完工，那么
徒弟第二次后共完成了，可以推算出第一次完成了的一半是，刚好是1 20个。
6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，
平均每人 栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（）＝15棵 7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满
池水放完，丙管也是出 水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水
池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放 完，当打开甲管注满水是，再打开
乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（）＝12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
（18-12）＝＝表示乙丙合作 将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就
是甲18分钟进的水。
18＝表示甲每分钟进水
最后就是1÷（）＝45分钟。
3 16

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙
队去做，要超过规定日期三 天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，
恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天 ，再由乙
队单独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两 根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1
小时，一天晚上停电，小芳同时点燃 了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，
小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问 ：停电多少分
钟？答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意xx
＝（）*2
4 16

解得x＝40
二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?解：
4*100 ＝400，400-0＝400假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡
的脚为0只，鸡的脚比 兔子的脚少400只。
400-28＝372实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只， 这是为
什么？4+2＝6这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4
只（从 400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它
们的相差数就会少4+2＝6 只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差
数为396-2＝394，相差数少了40 0-394＝6）
372÷6＝62表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改
为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至2005这200 5个自然数依次写下来得到一个多位数
123456789.....2005,这个多位数除以9余数 是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整
除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的
余数就是这个数除以9得 的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+20+30+… …+90=450它有能被9整除
5 16

同样的道理，100~900百位上的数字之和为4500同样被9整除
也就是说1~999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自 然数中百位、十位、个位上的数字之和可
以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小
值...解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的1不会变了，只需求后面的最小值，此时(A-B)(A+B)最大。
对于B (A+B)取最小时，(A+B)B取最大，
问题转化为求(A+B)B的最大值。
(A+B)B = 1 + AB，最大的可能性是
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B)的最大值是：
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准
确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1 02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个
整数，可能是102，也有可能是 103。
6 16

当是102时，＝6.375
当是103时，＝6.4375
4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位 数字大1.如果把
这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数 ,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,
求原来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两 位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相
加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多 少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
7 16

因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末 位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求
原数.答案为85714
解：设原 六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请
将整个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是
200000+x 根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字 与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和
是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位 数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
8 16

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时
成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不
成立。
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两
位数除以个位数字与十位 数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的1 0点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分
钟之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
9 16

（28799……9（20个9）+1）整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因 为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A
768种B 32种C 24种D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把 5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的
排法，但是因为是围成一个首 尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际
排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对 夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种
排法，总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有( )
A 119种B 36种C 59种D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以
原来有一种正确的所以60-1=59
4．慢车车长125米，车速 每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22
米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快 车从追上慢车的车尾到完
全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
10 16

算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上
的点追及慢车车头的点，因此 追及的路程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲 平均速度
是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几
米？ 答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在
原来起跑线的前方100米处相遇。
6．一 个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经
过她前面，已知火车鸣笛时离他13 60米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求
火车的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声
音的地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只 奔跑着的野兔，马上紧追上去，
猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎 犬跑2
步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步
米。
11 16

由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，兔
子可跑＝米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：＝6：5，也就是说当猎 犬跑
60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8．AB两地,甲乙两人骑自行 车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人
分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇, 相遇后各自继续前行,这样，乙
到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解 9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自
到达对方出发点后立即返 回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距 多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个 AB的路程，从
开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行
的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝
360千米，从线段 图可以看出，甲一共走了全程的（）。因此360÷（）＝300
千米
从A地到B地，甲、乙 两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙
分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中 点2千米。如果二人分别
至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米
12 16

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺 流需要6小时;逆流8小时。如果水
流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（）÷2＝表示水速的分率
2÷＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时 从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是
已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8 小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为＝6小时
6*33＝198千米
12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之
3骑车,5分之2 乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千
米,问:甲乙两地相距多少千米 ?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：30
返回时间系数：30
两者之差：（30）-（30）相当于小时去时时间：（12）÷和（30）
路程：12×〔（12）÷〕+30×〔（30）〕=37.5（千米）
八．比例问题
13 16

1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条 ,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟
他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路 人留下10元,甲、乙怎
么分？快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30
元，那么每条鱼价值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两
条”，相当于乙 吃之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的 钱。2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，
但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分 之2，那么，今年这种商品的成本
占售价的几分之几？答案
最好画线段图思考：
把 去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高，就是22
份，利润下降了，今年的利润只 有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2
份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的。
3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲. 乙的速度比是5:4,相
遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙 离A地还有
10千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：
14 16

原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加，现在的高和原来的高度
比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的，那么半径也是原来的，则
面积是原来的。
根据“体积增加，可知体积是原来的。
体积÷底面积＝高
现在的高是＝，也就是说现在的高是原来的高的
或者现在的高：原来的高＝：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香
蕉、橘子和梨共45 吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？第
二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
15 16

橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份
16 16

工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水 ，分别需要20小时，16小时.丙水管
单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水 管，5小时后，
再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
＝表示甲乙的工作效率
5＝表示5小时后进水量
＝表示还要的进水量
（）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2 ．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果
两队合作，由于彼此施工有影 响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率
是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。 现在计划16天修完这
条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解： 由题意得，甲的工效为，乙的工效为，甲乙的合作工效为＝，可知甲
乙合作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，
16天内实在来不及 的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽
可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
（16-x）＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天
1 16

3． 一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在
先请甲、丙合做2小时后，余下的 乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作
要多少小时？
解：
由题意知，表示甲乙合作1小时的工作量，表示乙丙合作1小时的工作量
（）×2＝表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2 小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小
时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－＝表示乙做6-4＝2小时的工作量。
2＝表示乙的工作效率。
1÷＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。
4 ．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样
交替轮流做，那么恰好用整数天 完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天
乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前 一种多半天。已知
乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所
示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
2 16

又因为1乙＝
所以1甲＝，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了时， 徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时，徒弟完成了这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了，第二 次也是，两次一共全部完工，那么
徒弟第二次后共完成了，可以推算出第一次完成了的一半是，刚好是1 20个。
6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，
平均每人 栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（）＝15棵 7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满
池水放完，丙管也是出 水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水
池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放 完，当打开甲管注满水是，再打开
乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（）＝12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
（18-12）＝＝表示乙丙合作 将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就
是甲18分钟进的水。
18＝表示甲每分钟进水
最后就是1÷（）＝45分钟。
3 16

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙
队去做，要超过规定日期三 天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，
恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天 ，再由乙
队单独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两 根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1
小时，一天晚上停电，小芳同时点燃 了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，
小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问 ：停电多少分
钟？答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意xx
＝（）*2
4 16

解得x＝40
二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?解：
4*100 ＝400，400-0＝400假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡
的脚为0只，鸡的脚比 兔子的脚少400只。
400-28＝372实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只， 这是为
什么？4+2＝6这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4
只（从 400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它
们的相差数就会少4+2＝6 只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差
数为396-2＝394，相差数少了40 0-394＝6）
372÷6＝62表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改
为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至2005这200 5个自然数依次写下来得到一个多位数
123456789.....2005,这个多位数除以9余数 是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整
除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的
余数就是这个数除以9得 的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+20+30+… …+90=450它有能被9整除
5 16

同样的道理，100~900百位上的数字之和为4500同样被9整除
也就是说1~999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自 然数中百位、十位、个位上的数字之和可
以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小
值...解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的1不会变了，只需求后面的最小值，此时(A-B)(A+B)最大。
对于B (A+B)取最小时，(A+B)B取最大，
问题转化为求(A+B)B的最大值。
(A+B)B = 1 + AB，最大的可能性是
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B)的最大值是：
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准
确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1 02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个
整数，可能是102，也有可能是 103。
6 16

当是102时，＝6.375
当是103时，＝6.4375
4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位 数字大1.如果把
这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数 ,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,
求原来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两 位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相
加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多 少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
7 16

因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末 位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求
原数.答案为85714
解：设原 六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请
将整个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是
200000+x 根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字 与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和
是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位 数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
8 16

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时
成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不
成立。
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两
位数除以个位数字与十位 数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的1 0点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分
钟之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
9 16

（28799……9（20个9）+1）整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因 为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A
768种B 32种C 24种D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把 5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的
排法，但是因为是围成一个首 尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际
排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对 夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种
排法，总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有( )
A 119种B 36种C 59种D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以
原来有一种正确的所以60-1=59
4．慢车车长125米，车速 每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22
米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快 车从追上慢车的车尾到完
全超过慢车需要多少时间？
答案为53秒
10 16

算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上
的点追及慢车车头的点，因此 追及的路程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲 平均速度
是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几
米？ 答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在
原来起跑线的前方100米处相遇。
6．一 个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经
过她前面，已知火车鸣笛时离他13 60米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求
火车的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声
音的地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只 奔跑着的野兔，马上紧追上去，
猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎 犬跑2
步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步
米。
11 16

由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，兔
子可跑＝米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：＝6：5，也就是说当猎 犬跑
60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8．AB两地,甲乙两人骑自行 车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人
分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇, 相遇后各自继续前行,这样，乙
到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解 9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自
到达对方出发点后立即返 回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距 多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个 AB的路程，从
开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行
的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝
360千米，从线段 图可以看出，甲一共走了全程的（）。因此360÷（）＝300
千米
从A地到B地，甲、乙 两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙
分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中 点2千米。如果二人分别
至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米
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10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺 流需要6小时;逆流8小时。如果水
流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（）÷2＝表示水速的分率
2÷＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时 从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是
已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8 小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为＝6小时
6*33＝198千米
12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之
3骑车,5分之2 乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千
米,问:甲乙两地相距多少千米 ?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：30
返回时间系数：30
两者之差：（30）-（30）相当于小时去时时间：（12）÷和（30）
路程：12×〔（12）÷〕+30×〔（30）〕=37.5（千米）
八．比例问题
13 16

1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条 ,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟
他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路 人留下10元,甲、乙怎
么分？快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30
元，那么每条鱼价值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两
条”，相当于乙 吃之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的 钱。2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，
但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分 之2，那么，今年这种商品的成本
占售价的几分之几？答案
最好画线段图思考：
把 去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高，就是22
份，利润下降了，今年的利润只 有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2
份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的。
3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲. 乙的速度比是5:4,相
遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙 离A地还有
10千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：
14 16

原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加，现在的高和原来的高度
比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的，那么半径也是原来的，则
面积是原来的。
根据“体积增加，可知体积是原来的。
体积÷底面积＝高
现在的高是＝，也就是说现在的高是原来的高的
或者现在的高：原来的高＝：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香
蕉、橘子和梨共45 吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？第
二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
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橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份
16 16