小学奥数16数阵图
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1.10.5数阵图
1.10.5.1基础知识
数阵是由幻方演化出来的另
一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数
字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还
有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字
形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数
字的组合形式，将其分为三类，
即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对
照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因
数字存在不同的组合方法，答案往往不是
唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵
例1
将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样
才
能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增
加5，关键找到
了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、
竖线的两端，使每条线上
数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条
线的数字总和必为3的倍数。设中心
数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3
整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3
其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3
、4、
5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。
例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。
解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心
数为a，
a被重复使用了两次，即：1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。
（
55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3
其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可
推知a只能在1、4、7中挑选。在a
＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，
各条线上的数字和应为19。但是除掉中
心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9
＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，
7＋5＋3＝15所以，a不能填1。经试验，a＝7时，余下的
数组合为12（19－7＝12），也不
能满足条件。因此，确定a只能填4。
例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。
解：1～9九个数字和是：1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45
，把45平分成两份：45÷2＝22
余1。
这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重
复加一次，即中心数填1；若使数字和为
24，中心数应填3……。总之，因45÷2余数是1，只能使
1、3、5、7、9各个奇数重复使用，
才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题可有多种解法。
但中心数必须是9以内的奇
数。
例5
将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。
解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。
1～
11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共
五条线，
中心数重复使用4次，填1恰符合条件。
此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上
原余数1，所得的和必须
是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。
1.10.5.3封闭型数阵
例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。
解：要使三角形每边上的数字和都是12，则
三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3
＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。
确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！
这题还可有许多解法，上图只是其中一种。
例2把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。
解：要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：21×3＝63。
而1～
9九个数字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，
重复使用两次，才能使总和增加18。
所以应确定顶点的三个数。下面是填法中的一种。确定了顶角的数后，其他各数便容易
了。
例3下图是四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数
字的和都是15。
解：每个三角形数字和都是15，
四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而1～9九个数
字和只有45。45比60少15。怎样才
能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。
中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个
数字都被重复使用两次。因此，
只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。因此，它的三
个顶角数字，可以
分别为：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5及2、9、4
3、8、4 3、7、5 8、6、1。
把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的
一种。
例4 把2～10九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为15。
解：2～10九个数字的和为：2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝54
若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，
共六条边，数字
总和应是15×6＝90。54比90少36。
在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两
个三角形。所以，每个三角形三
个顶角的数和应为：36÷2＝18。这样，便可以先填外三角形三个顶
角的数。
三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个
数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。上面是填法中的一种。
例5 把1～10十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相
等。
解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，
中心的一个数独立于各个三角形之外。因
此，要使各三角形顶角的数字和相等。
去掉中心数后，数字总和应是3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。
如：以10为中心数，可填为如上图样。
例6
将1～12分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。
解：图中共有四个三角形，共有六个边。1～12的数字和是78。每条边上的数字和应为：
7
8÷6＝13。
这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加1，十二
个数的总和便增加6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。
7、把
、、、、、、、、
九个数分别填入下图○中，使每条直线上的三个
数的和都相等。
111112357
234612341212
解
：九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符合幻方的要求了，
因此，可以按幻方
的制作方法求解。
这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：
111151723
、
、、、、、、、
4
把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把
中间四数向外拉出，
这样重新组成的数阵，便是求得的解了。
例8
将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。
解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12×4
＝4
8，可是1～8八个数字总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使用，
才能解决
。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。把1～8八个数四个一组，和为12
的有：
6＋3＋2＋1
5＋4＋2＋1
上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。
例9 在下图
五个○内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相
同。求能满足这个条件的自然数
中最小的五个数。
解：能满足使八个三角形顶点
数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满
足这个条件的最小自然数却只有一组。最小的一
组自然数中的五个数，若有两个相同的，其
中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同
。如果这五个数是1，2，3，
4，5，则其中三个数的和有如下组合方式：
1＋2＋3＝6
2＋3＋4＝9 3＋4＋5＝12
1＋2＋4＝7 1＋3＋4＝8 2＋3＋5＝10
2＋4＋5＝11
这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1，2，3，4
，5五个自然数
不能满足条件。
例10 在下列图中三个正方形中，每个正方形的
四个顶点上，只填入1，2，3，4四数，
使图中八个三角形顶点数字和互不相同。
解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正<
br>方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：（1＋2＋3
＋4
）×3＝30
30不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同理，里面的四<
br>个三角形顶点数字和也不可能相等。
题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1～4四个数之
和最小值是1＋1＋2＝4，最
大值是4＋4＋3＝11，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个
三角形顶点，便可符合
条件。
例11
将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个面的四个数和相等。
解：数字图是个正立方体，共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。
1～8八个数的数字总和是：1＋2＋3＋……＋8＝36
因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：36×3＝108
每个面的数字和便是：108÷6＝18
这样，便可填为下图或其他形式。
1.10.5数阵图
1.10.5.1基础知识
数阵是由幻方演化
出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数
字和相等。数阵则不仅有正方形、长
方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字
形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，
即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对
照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因
数字存在不同的组合方法，答案往往不是
唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵
例1
将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样
才
能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增
加5，关键找到
了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、
竖线的两端，使每条线上
数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条
线的数字总和必为3的倍数。设中心
数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3
整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3
其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3
、4、
5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。
例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。
解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心
数为a，
a被重复使用了两次，即：1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a，55＋2a应能被3整除。
（
55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3
其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可
推知a只能在1、4、7中挑选。在a
＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，
各条线上的数字和应为19。但是除掉中
心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9
＋7＋2＝18，8＋6＋4＝18，
7＋5＋3＝15所以，a不能填1。经试验，a＝7时，余下的
数组合为12（19－7＝12），也不
能满足条件。因此，确定a只能填4。
例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。
解：1～9九个数字和是：1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45
，把45平分成两份：45÷2＝22
余1。
这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重
复加一次，即中心数填1；若使数字和为
24，中心数应填3……。总之，因45÷2余数是1，只能使
1、3、5、7、9各个奇数重复使用，
才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题可有多种解法。
但中心数必须是9以内的奇
数。
例5
将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。
解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。
1～
11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共
五条线，
中心数重复使用4次，填1恰符合条件。
此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上
原余数1，所得的和必须
是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。
1.10.5.3封闭型数阵
例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。
解：要使三角形每边上的数字和都是12，则
三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3
＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。
确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！
这题还可有许多解法，上图只是其中一种。
例2把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。
解：要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：21×3＝63。
而1～
9九个数字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，
重复使用两次，才能使总和增加18。
所以应确定顶点的三个数。下面是填法中的一种。确定了顶角的数后，其他各数便容易
了。
例3下图是四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数
字的和都是15。
解：每个三角形数字和都是15，
四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而1～9九个数
字和只有45。45比60少15。怎样才
能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。
中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个
数字都被重复使用两次。因此，
只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。因此，它的三
个顶角数字，可以
分别为：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5及2、9、4
3、8、4 3、7、5 8、6、1。
把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。前页下图是其中的
一种。
例4 把2～10九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为15。
解：2～10九个数字的和为：2＋3＋4＋……＋10＝6×9＝54
若排成每个三角形每边的数字和都是15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，
共六条边，数字
总和应是15×6＝90。54比90少36。
在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两
个三角形。所以，每个三角形三
个顶角的数和应为：36÷2＝18。这样，便可以先填外三角形三个顶
角的数。
三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。填好了外围三角形各个
数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。上面是填法中的一种。
例5 把1～10十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相
等。
解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，
中心的一个数独立于各个三角形之外。因
此，要使各三角形顶角的数字和相等。
去掉中心数后，数字总和应是3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。
如：以10为中心数，可填为如上图样。
例6
将1～12分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。
解：图中共有四个三角形，共有六个边。1～12的数字和是78。每条边上的数字和应为：
7
8÷6＝13。
这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加1，十二
个数的总和便增加6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。
7、把
、、、、、、、、
九个数分别填入下图○中，使每条直线上的三个
数的和都相等。
111112357
234612341212
解
：九个分数排成方阵，使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符合幻方的要求了，
因此，可以按幻方
的制作方法求解。
这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：
111151723
、
、、、、、、、
4
把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把
中间四数向外拉出，
这样重新组成的数阵，便是求得的解了。
例8
将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。
解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12，数字总和便是12×4
＝4
8，可是1～8八个数字总和只有36。36比48少12。只有靠共用顶角上数的重复使用，
才能解决
。因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。把1～8八个数四个一组，和为12
的有：
6＋3＋2＋1
5＋4＋2＋1
上述两组中，经验证，只有6＋3＋2＋1可以作公用顶点的数字。
例9 在下图
五个○内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相
同。求能满足这个条件的自然数
中最小的五个数。
解：能满足使八个三角形顶点
数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满
足这个条件的最小自然数却只有一组。最小的一
组自然数中的五个数，若有两个相同的，其
中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同
。如果这五个数是1，2，3，
4，5，则其中三个数的和有如下组合方式：
1＋2＋3＝6
2＋3＋4＝9 3＋4＋5＝12
1＋2＋4＝7 1＋3＋4＝8 2＋3＋5＝10
2＋4＋5＝11
这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1，2，3，4
，5五个自然数
不能满足条件。
例10 在下列图中三个正方形中，每个正方形的
四个顶点上，只填入1，2，3，4四数，
使图中八个三角形顶点数字和互不相同。
解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正<
br>方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：（1＋2＋3
＋4
）×3＝30
30不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。同理，里面的四<
br>个三角形顶点数字和也不可能相等。
题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1～4四个数之
和最小值是1＋1＋2＝4，最
大值是4＋4＋3＝11，这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个
三角形顶点，便可符合
条件。
例11
将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个面的四个数和相等。
解：数字图是个正立方体，共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。
1～8八个数的数字总和是：1＋2＋3＋……＋8＝36
因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：36×3＝108
每个面的数字和便是：108÷6＝18
这样，便可填为下图或其他形式。