白沙壁画-工业园区调研报告

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小学奥数学习的主要内容
1．和差倍问题


已知条件
公式适用
范围
和差问题 和倍问题 差倍问题
几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
已知两个数的和，差，倍数关系
①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数
公式
和－较小数=较大数
和÷(倍数＋1)=小数 差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
关键问题

和与差
求出同一条件下的
和与倍数 差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一 般是那个“单
一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

4．植树问题
在直线或者不封在直线或者不封闭在直线或者不封闭
基本类型 闭的曲线上植树，的曲线上植树，两的曲线上植树，只
两端都植树
棵数=段数＋1
端都不植树
棵数=段数－1
有一端植树
棵数=段数
棵距×段数=总长
封闭曲线上植
树
基本公式
棵距×段数=总长 棵距×段数=总长
关键问题


确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

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5．鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设 错
的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷
（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷
（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

6．盈亏问题

基本概念 ：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组 的标准不同，造成
结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

基本 思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结
果的变化，根据这个关系求出参加分配的 总份数，然后根据题意求出
对象的总量．

基本题型：

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①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数
的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

基本思路 ：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差 异的原因，即可确定草的
生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长
时间- 短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8．周期循环与数表规律

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

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关键问题：确定循环周期。

闰 年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400
整除；

平 年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9．平均数

基本公式：①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数


总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之 间的关系，确定一个基准数；一般选与
所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所 有
给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；
最后求这个差的平均数和 基准数的和，就是所求的平均数，具体关系
见基本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个
抽屉中至少放有2个物体 。

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例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4 分解成三个整数的和，
那么就有以下四种情况：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方 式，我们会发现一个共同特点：总有那么一
个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至 少放有
2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么 必有
一个抽屉至少有:

①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题： 构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后
依据抽屉原则进行运算。

11．定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基
本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加
减乘除的运算，然后按照基 本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

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12．数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列
数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a
1
表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用a
n
表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用
Sn
表示．

基本思路：等差数列中涉及五个量：a
1
,a
n
, d, n,s
n
,,通项公式中涉
及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及 四
个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：a
n
= a
1
+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1) ×公差；

数列和公式：s
n
,= (a
1
+ a
n
)×n÷2；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：n= (a
n
+ a
1
)÷d＋1；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：d =（a
n
－a
1
）
）
÷（n－1）；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13．二进制及其应用

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十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上 的数字
表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以
234=200+ 30+4=2×10
2
+3×10+4。

=A
n
×10< br>n-1
+A
n-1
×10
n-2
+A
n-2
×10
n-3
+A
n-3
×10
n-4
+A
n-4
×10
n-5
+A
n-6
×10
n-7
+……+< br>A
3
×10
2
+A
2
×10
1
+A
1
×10
0

注意：N
0
=１；N
１
=N（其中N是任意自然数）

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表
示不同的含义。

（2）
= A
n
×2
n-1
+A
n-1
× 2
n-2
+A
n-2
×2
n-3
+A
n-3
×2
n-4
+A
n-4
×2
n-5
+A
n-6< br>×2
n-7

+……+A
3
×2
2
+A2
×2
1
+A
1
×2
0

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满 2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，
然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。< br>
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个
差的2的n次方， 依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点
即可写出。

14．加法乘法原理和几何计数

加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类 方法中有m
1
种不
同方法，在第二类方法中有m
2
种不同方法……， 在第n类方法中有
m
n
种不同方法，那么完成这件任务共有：m
1
+ m
2
....... +m
n
种不同的
方法。

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关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步 骤进行，做第1步有
m
1
种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m
2
种方法……不管
前面n-1步用哪种方法，第n步总有m
n
种方法，那么完成 这件任务共
有：m
1
×m
2
....... ×m
n
种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15．质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，
也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

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质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的
质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。任何 一个合数分解质因数的结果是唯一
的。

分解质因数的标准表示形式：N=，其中a< br>1、
a
2、
a
3
……a
n
都是合数N的质因数，且a
1
2
3
<……n< br>。

求约数个数的公式：P=(r
1
+1)×(r
2
+1)×(r
3
+1)×……×(r
n
+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16．约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a
的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一
个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几
个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

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那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数 相除，能够整除的那个余数，
就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数， 叫做这几个数的公倍数；其中最小的一
个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的
方法

17．数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，
而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作 b|a。

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2、常用符号：整除符号“|”，不能 整除符号“”；因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；

二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7
整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

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2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18．余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q ……r，且
0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数
的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的
积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记
作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

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④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，
a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡
b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则a
n
≡b
n
(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则M
A
=M
a×b
=（M
a
）< br>b

②若B=c+d则M
B
=M
c+d
=M
c
×M
d

四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)
或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各
个偶数数位上数字 的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（ 素数），a是自然数，且a不能
被p整除，则a
p-1
≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），
分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

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百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关
系。
③转化思维方 法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常
见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标 准（在分数中一般
指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法
是确定不 同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成
相等 或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，
求出最后结果。
⑤量不变思维 方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不
论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。 有以下三种情况：
A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不
变。C 、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、
量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法：

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①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母
的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子
的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越
大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了
运用以上方法外，可以用同倍率的 变化关系比较分数的大小。（具体
运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比
较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
①=+；
②=+（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征：

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1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X
2
-Y
2
=（X-Y）（X+Y）
完全平 方和公式：（X+Y）
2
=X
2
+2XY+Y
2

完全平方差公式：（X-Y）
2
=X
2
-2XY+Y
2

24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后
面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比
值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），
则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），
则A与B成反比。

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比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、
路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追
及时间）、速度（速度和、速度差） 中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
基本公式：

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①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们 完成工作总量所用时间
的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效
率及 工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介：
①条 件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假
设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况 ，说明该假设情况是不成立
的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判
断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才 能完成时，
就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一
个长方形表格中 ，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表
格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连
线表示两个对象之间的关系，有连 线则表示“是，有”等肯定的状态，

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没有连线则表示否定的 状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两
种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④ 逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要
进行相应的计算，根据计算的结果为推 理提供一个新的判断筛选条
件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存 在的规
律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，
从而得到问题的解决 。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下 ，一般需要对图形
进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图
形变为规 则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规
律。
常用方法：
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点
设置在特殊位置上）。
4.利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除
以4等于等腰直角三角形的面积）

精品
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
名称 图形特征 表面积
长
8个顶点；6个面；相对的面相
方 S=2(ab+ah+bh)
等；12条棱；相对的棱相等；
体
正
8个顶点；6个面；所有面相等；
方 S=6a
2

12条棱；所有棱相等；
体
圆
上下两底是平行且相等的圆；侧S=S
侧
+2S
底

柱
面展开后是长方形； S
侧
=Ch
体
圆 下底是圆；只有一个顶点；l:
S=S
侧
+S
底

锥 母线，顶点到底圆周上任意一点
S
侧
=rl
体 的距离；
球 圆心到圆周上任意一点的距离
S=4r
2

体 是球的半径。
体积
V=abh
=Sh
V=a
3




V=Sh
V=Sh
V=r
3



30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题；
2、 不同的表当成速度不同的运动物体；
3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、 时间是标准表所经过的时间；合理利用行程问题中的比例关系；

精品
小学奥数学习的主要内容
1．和差倍问题


已知条件
公式适用
范围
和差问题 和倍问题 差倍问题
几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
已知两个数的和，差，倍数关系
①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数
公式
和－较小数=较大数
和÷(倍数＋1)=小数 差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
关键问题

和与差
求出同一条件下的
和与倍数 差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一 般是那个“单
一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

4．植树问题
在直线或者不封在直线或者不封闭在直线或者不封闭
基本类型 闭的曲线上植树，的曲线上植树，两的曲线上植树，只
两端都植树
棵数=段数＋1
端都不植树
棵数=段数－1
有一端植树
棵数=段数
棵距×段数=总长
封闭曲线上植
树
基本公式
棵距×段数=总长 棵距×段数=总长
关键问题


确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

精品
5．鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设 错
的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷
（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷
（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

6．盈亏问题

基本概念 ：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组 的标准不同，造成
结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

基本 思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结
果的变化，根据这个关系求出参加分配的 总份数，然后根据题意求出
对象的总量．

基本题型：

精品
①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数
的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

基本思路 ：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差 异的原因，即可确定草的
生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长
时间- 短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8．周期循环与数表规律

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

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关键问题：确定循环周期。

闰 年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400
整除；

平 年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9．平均数

基本公式：①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数


总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之 间的关系，确定一个基准数；一般选与
所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所 有
给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；
最后求这个差的平均数和 基准数的和，就是所求的平均数，具体关系
见基本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个
抽屉中至少放有2个物体 。

精品
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4 分解成三个整数的和，
那么就有以下四种情况：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方 式，我们会发现一个共同特点：总有那么一
个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至 少放有
2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么 必有
一个抽屉至少有:

①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题： 构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后
依据抽屉原则进行运算。

11．定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基
本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加
减乘除的运算，然后按照基 本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

精品
12．数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列
数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a
1
表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用a
n
表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用
Sn
表示．

基本思路：等差数列中涉及五个量：a
1
,a
n
, d, n,s
n
,,通项公式中涉
及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及 四
个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：a
n
= a
1
+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1) ×公差；

数列和公式：s
n
,= (a
1
+ a
n
)×n÷2；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：n= (a
n
+ a
1
)÷d＋1；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：d =（a
n
－a
1
）
）
÷（n－1）；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13．二进制及其应用

精品
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上 的数字
表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以
234=200+ 30+4=2×10
2
+3×10+4。

=A
n
×10< br>n-1
+A
n-1
×10
n-2
+A
n-2
×10
n-3
+A
n-3
×10
n-4
+A
n-4
×10
n-5
+A
n-6
×10
n-7
+……+< br>A
3
×10
2
+A
2
×10
1
+A
1
×10
0

注意：N
0
=１；N
１
=N（其中N是任意自然数）

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表
示不同的含义。

（2）
= A
n
×2
n-1
+A
n-1
× 2
n-2
+A
n-2
×2
n-3
+A
n-3
×2
n-4
+A
n-4
×2
n-5
+A
n-6< br>×2
n-7

+……+A
3
×2
2
+A2
×2
1
+A
1
×2
0

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满 2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，
然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。< br>
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个
差的2的n次方， 依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点
即可写出。

14．加法乘法原理和几何计数

加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类 方法中有m
1
种不
同方法，在第二类方法中有m
2
种不同方法……， 在第n类方法中有
m
n
种不同方法，那么完成这件任务共有：m
1
+ m
2
....... +m
n
种不同的
方法。

精品
关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步 骤进行，做第1步有
m
1
种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m
2
种方法……不管
前面n-1步用哪种方法，第n步总有m
n
种方法，那么完成 这件任务共
有：m
1
×m
2
....... ×m
n
种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15．质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，
也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

精品
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的
质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。任何 一个合数分解质因数的结果是唯一
的。

分解质因数的标准表示形式：N=，其中a< br>1、
a
2、
a
3
……a
n
都是合数N的质因数，且a
1
2
3
<……n< br>。

求约数个数的公式：P=(r
1
+1)×(r
2
+1)×(r
3
+1)×……×(r
n
+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16．约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a
的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一
个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几
个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

精品
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数 相除，能够整除的那个余数，
就是所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数， 叫做这几个数的公倍数；其中最小的一
个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的
方法

17．数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，
而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作 b|a。

精品
2、常用符号：整除符号“|”，不能 整除符号“”；因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；

二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7
整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

精品
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18．余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q ……r，且
0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数
的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的
积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记
作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

精品
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，
a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡
b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则a
n
≡b
n
(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则M
A
=M
a×b
=（M
a
）< br>b

②若B=c+d则M
B
=M
c+d
=M
c
×M
d

四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)
或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各
个偶数数位上数字 的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（ 素数），a是自然数，且a不能
被p整除，则a
p-1
≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），
分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

精品
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关
系。
③转化思维方 法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常
见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标 准（在分数中一般
指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法
是确定不 同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成
相等 或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，
求出最后结果。
⑤量不变思维 方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不
论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。 有以下三种情况：
A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不
变。C 、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、
量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法：

精品
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母
的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子
的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越
大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了
运用以上方法外，可以用同倍率的 变化关系比较分数的大小。（具体
运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比
较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
①=+；
②=+（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征：

精品
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X
2
-Y
2
=（X-Y）（X+Y）
完全平 方和公式：（X+Y）
2
=X
2
+2XY+Y
2

完全平方差公式：（X-Y）
2
=X
2
-2XY+Y
2

24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后
面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比
值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），
则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），
则A与B成反比。

精品
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、
路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追
及时间）、速度（速度和、速度差） 中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
基本公式：

精品
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们 完成工作总量所用时间
的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效
率及 工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介：
①条 件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假
设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况 ，说明该假设情况是不成立
的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判
断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才 能完成时，
就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一
个长方形表格中 ，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表
格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连
线表示两个对象之间的关系，有连 线则表示“是，有”等肯定的状态，

精品
没有连线则表示否定的 状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两
种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④ 逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要
进行相应的计算，根据计算的结果为推 理提供一个新的判断筛选条
件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存 在的规
律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，
从而得到问题的解决 。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下 ，一般需要对图形
进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图
形变为规 则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规
律。
常用方法：
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点
设置在特殊位置上）。
4.利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除
以4等于等腰直角三角形的面积）

精品
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
名称 图形特征 表面积
长
8个顶点；6个面；相对的面相
方 S=2(ab+ah+bh)
等；12条棱；相对的棱相等；
体
正
8个顶点；6个面；所有面相等；
方 S=6a
2

12条棱；所有棱相等；
体
圆
上下两底是平行且相等的圆；侧S=S
侧
+2S
底

柱
面展开后是长方形； S
侧
=Ch
体
圆 下底是圆；只有一个顶点；l:
S=S
侧
+S
底

锥 母线，顶点到底圆周上任意一点
S
侧
=rl
体 的距离；
球 圆心到圆周上任意一点的距离
S=4r
2

体 是球的半径。
体积
V=abh
=Sh
V=a
3




V=Sh
V=Sh
V=r
3



30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题；
2、 不同的表当成速度不同的运动物体；
3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、 时间是标准表所经过的时间；合理利用行程问题中的比例关系；