编译局-解读弟子规

小学奥数
第1讲 多位数的运算



多位数的 运算，涉及利用
999

9
＝10
k
-1，提出公因数，递 推等方法求解问题．

k个9


一、
999

9
＝10-1的运用

k个9
k
在多位数运算中，我们往往运用
999

9
＝10-1来转化问题；

k
k个9
如：
3333
×59049

2004个3
我们把
3333
转化为
9999
÷3，

2004个32004个9
于是原式为
333 3
×59049=（
9999
÷3）×59049=
9999
×59049=（
10000
-1）×

2004个32004个92004个92004个0
19683=19683×
10 000
-19683

2004个0
而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；
2004个9


1968299

999999
+1
2004个9
 
1968299

9999991
19683
如：，于是为
1968299980317

．
199 9个9

1999个9
1968299

9803 161
1999个9

1968299

980 317



简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数．

原式=
3333
×2×3×3×
3333


2004个32008个3

=
3333
×2×3×
9999

 
2004个32008个9
=
1999

98
×（10000
-1）

2003个92008个0
学而思奥数网 Page 1 of 73

=
1999

98
×
10000
-
1999

98

 
2003个92008个02003个9
2003个92008个9

1999

979999999

99 1
1999


98

=
2003个0< br>
1999

979998000

011
1999

979998000


02

2003个92003个0
2003个9
2003个9
,于是为
1999979998000

02
.

2003个92003个0


2．计算
1111
－
2222
=A×A，求A．

2004个11002个2
【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有
1111
，从而找出突破口.

n个1

1111
－
2222
=< br>11110000
－
1111



2004个11002个21002个1
1002个0
1002个 1
=
1111
×（
10000
-1）


1002个1
1002个0
=
1111
×（
9999
）


1002个1
1002个9
2
=
1111
×（
1111
×3×3）=A

1002个11002个1
所以，A＝
3333
.

1002个3


3．计算
6666
×
6666
×25的乘积数字和是多少?

2004个62003个6
【分析与解】我们还是利用< br>9999
=
100001
来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成

k个9k个0
9999
，于是我们就创造条件使用：

k个9
22
××25=[×（）]×[×（
999666 66666799999
）+1]×25
 
33
2004个62003个62004个92004个9
=[
22
×（
1000
）]×[×（
1000010
）+1]×25

33
2004个02004个0
=
11
×× [2×
10000
-2]×[2×（
10000
）+1]×25

33
2004个02004个0
学而思奥数网 Page 2 of 73

=
25
9
×[4×
1 000



0
-2×
1000
< br>

0
-2]
4008个02004个0
=
100
9
×
999



9
-
5 0
9
×
999



9

4008个92004个9
=100×
111



1< br>-50×
111



1

4008个1 2004个1
=
111



100

555



50
(求差过程详见评注)
40 08个12004个5
=
111



10555< br>


50

2004个12004个5
所以 原式的乘积为
111



10555


50

2004个12004个5
那么原式乘积的数字和为 1×2004+5×2004=12024．
评注：对于
111


100

555



50的计算，我们再详细的说一说．
4008个12004个5
111



100

555



50

4008个12004个5
=
111


< br>1000



0111



100555



50

2005个1
2005个0
2003个1
2004个5
=
111


10999



91111



100555



50

2004个1
2005个9
2003个1
2004个5
=
111



10444



49111



101

2004个1
2 004个4
2003个1
=
111



105 55



5

2004个1
2004个5


4．计算
222
 


2222



2
的 积?
1998个21998个2
【分析与解】 我们先还是同上例来凑成
999



9
；
k个9
222



2222



2

1998个21998个2
＝
2
9




999

9

222




1998个9



2

1998个2
＝
2

9



1000

01



< br>222
1998个0





2

1998个2
＝
1




0 1


9

1000444


 
1998个0



4

1998个4
学而思奥数网 Page 3 of 73


1


4000

0444

4< br>
＝


444



9

1998个4

1998个4
1998个 0
＝
4444355556
(求差过程详见评注)


1997个4
1997个5
1
9
我们知道
4444
能被9整除，商为：049382716．

9个4
又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个 4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，
则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45 ，可以被9整除．

4444355

能被9整除，商为；
8个4
我们知道
5555
能被9整除，商为：061728395；

9个5
这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下 6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可
以被9整除．

555

56
能被9整除，商为0617284．

6个5
于是，最终的商为：
3827957284

493827

 
220个个061728395
评注：对于
444 40000
-
4444
计算，我们再详细的说一说．
 

1998个4
1998个0
1998个4

44440000
-
4444



1998个4
1998个0
1998个4
＝
444< br>
439999
+1-
4444


 
1997个41998个9
1998个4
＝
444

435555
+1

1997个41998个5< br>＝
444

43555

56
.

1997个41997个5

二、提出公因式 < br>有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者
差式等．


5.计算：（1998+19981998+8+„
1998 1998

1998

1998个1998
）÷< br>（1999+19991999+9„
19991999

1999
 
）×1999
1998个1999
【分析与解】
1998 1998

1998

1001

＝19 98×
10011001


1998个19981998个1 001
原式＝1998（1+10001+100010001+„
10011001

1001

）÷［1999×（1+10001+100010001 +„
1998个1001
学而思奥数网 Page 4 of 73

］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.
1001100 1

1001

）
1998个1001


6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?
【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是19 93×123
还是有点繁琐．
设1993×123=M，则(1000×123＝)1230 00是0；
令M＝
abcdef

则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M
＝
abcdef000000
-
abcdef

＝
abcdef
＝
abcdef
＝
abcdef

f

f

f
1

999999
+1－
ab cdef

1

9a

9b

9c

9d

9e

9f
+1
1

9a

9b

9c

9d

9e

9f1


那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－ c)+(9－d)+(9－e)+(9－
f+1)=9×6=54．
所以原式的计算结果的数字和为54．
评注：M×
9999
的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x≤k)．

k个9


256个9512个91024个9
7．试求9×99×9999×99999999ׄ ×
9999
×
9999
×
9999
乘积的数字和为多 少?

【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注：
设9×99×9999×99999999ׄ×
9999
×
9999
×
9999
＝M，
 
256个9512个91024个9
于是M×
9999
类似< br>
1024个9
的情况，于是，确定好M的位数即可；
注意到9×9 9×9999×99999999ׄ×
9999
×
9999
＝M， < br>
256个9512个9
则M<10×100×100013×10 0000000ׄ×
10000
×
10000
＝
10000


256个0512个0k个0
其中k=1+2+4+8+16+„+512=1024－l=1023；
即M<
1 0000
，即M最多为1023位数，所以满足

1023个0
的 使用条件，那么M与
9999
乘积的

1024个9
数字 和为1024×9=10240—1024=9216．
原式的乘积数字和为9216．
学而思奥数网 Page 5 of 73

三、递推法的运用
有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．


8．我们定义完全平方数A=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全 平方数；已知：
21×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法
来求解：
222
121＝11；12321＝111；1234321＝1111„„
于是， 我们归纳为1234„n„4321=（
1111
）

n个1
2
2
2
所以，21：1111111；则，21×49=1111111 ×7=7777777．所以，题中
原式乘积为7777777的平方．
评注：以上归纳的公 式1234„n„4321＝（
1111
），只有在n<10时成立．

2
222
n个1


488889
=A，求A为多少? 9.①
444

 
2
2004个4
2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
【分析与解】 方法一：问题①直 接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推
(找规律)的方法来求解：
488889
可以看成
444488889
，其中n＝2004； ①注意到有
444


2004个4
2003个8
2
n个4
n-1个8
寻找规律：当n=1时，有49=7；
2
当n=2时，有4489=67；
2
当n=3时，有444889=667；
„„ „„
488889
=
66667
于是，类推有
444


2004个4
2003个8
2
2003个6
方法二：下面给出严格计算：
488889
=
444
8
+1；
44440000
+
888


 

2004个4
2003个8
2004个4
2004 个0
2004个8
8
+1＝
111
0
+8）+1 则
44440000
+
888
1
×（4×
1000< br>


2004个4
20 04个0
2004个8
2004个1
2004个0
1
×［4×（< br>9999
+1）+8］+1 ＝
111


2 004个1
2004个9
1
×［4×（
9999
）+12］+1 ＝
111


2004个1
2
2004个9< br>1
）×36+12×
1111
+1 ＝（
111
 
2004个1
22
2004个1
1
）×6+2×（6×
1111
）+1 ＝（
111

2004个12004个1
学而思奥数网 Page 6 of 73



67
）＝（
66 6

2003个6
2
488889
＝
66667
②由①知
444



，于是数字和为(4n+8n一8+9)=12n +1=2005；
n个4
n-1个8
2
n-1个6
2
 488889
=
666
488889
.
67
于是 ，n=167，所以
444


 
，所以存在，并且为
444
167个4
166个8
166个6
167个4
166个8


2008个62008个3

10．计算
6666
×9×
3333
的乘积是多少?

【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；
66×9×33=19602；
666×9×333=1996002；
„„ „„
于是，猜想
6666
×9×
3333
=
1999


9600002


n个6n个3n1个9n-1个0

6666
×9×
3333
=
1999

96 00002


2008个62008个3 2007个92007个0
评注：我们与题l对比，发现题1为
6666
×9×3×
3333
使用递推的方法就有障

2008个6200 4个3
碍,
9999
=10—l这种方法适用面要广泛一点．

k
k个9
练习1．设N=
6666
×9×
7777
，则N的各位数字之和为多少?

2000个62007个7
练习2．乘积
9999
×
9999
的积是多少?各位数字之和又是多少?

1999个91999个9
练习3．试求
1111< br>×
1111
的各位数字之和是多少?

2008个12008个1


















学而思奥数网 Page 7 of 73

第2讲 计算综合（一）


繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可 以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，
其下视为分 母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将 带分数化
为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲 循环小数与分数]．


711
4
26
2
7
1．计算：
18
135
8
133
3416
71
23

723 17
【分析与解】原式=
46
2
12


4
14
88128
1312
33


2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有
1 9
顺序，如果分子与分母在
19
5
．于是，我们想到改变运算
95
后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；
9
如果 不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
学而思奥数网 Page 8 of 73

59
19(35.22)
1993 0.41.6
910
原式=
()

527
1995 0.51995
19(65.22)
950
5
191.32
1 9930.440.40.5
=
9
()

5
19 1.32
19950.419950.5
9
0.4
1199320. 4
)
=
1
=
1(
=
1

0.5
419950.5


3．计算：
1
1< br>1
1
1
1
1987

【分析与解】原式=
1
19861987
1
=
1
=
1987
39733973
1
1986


4． 计算：已知=
1
1+
2+
1
1
x+
1
4< br>
8
，则x等于多少?
11
【分析与解】方法一：
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

1
1
1
2
4
4x1

18x68


4x1
12x711
1
8x6
交叉相乘有88x+66=9 6x+56，x=1．25．
方法二：有
1
1
2
1
x 
1
4

13
113
182

1，所以
22
；所以
x
，那么
x
1.25 ．
1
3
42
88
3
x
4


5．求
4,43,443,...,44...43

这10个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：
学而思奥数网 Page 9 of 73

4+43+443...44...43


9个4
=
4(441)(4441)...(44...4

1)

10个4
=
444444...44...4

9
=
10个4
4
(999999...999...9)
 
9

9
10个9
=
4
[(101 )(1001)(10001)...(1000...01)]9

 
9
10个0
4
111.100

9=493 8271591
.
9

9个1
=

方法二：先计算这10个数的个位数字和为
39+4=31
；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为
36339
；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为
32335
；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为
28331
；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为
24327
；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为
20222
；
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为
16 218
；
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的 1，为
12113
；
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为
819
；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为
4
．
所以，这10个数的和为4938271591．


6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?

学而思奥数网 Page 10 of 73

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

3(
< br>1
3
17
0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6. 175=6

440

7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大 数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”
23155
)(< br>
0.4)
33384
表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9= 2.9△3.5=2.9．请计算：
1235
(

0.3)(

2.25)
3104
(0.625

【分析与解】原式
0 .625
155
384

5

155
2
7

25

1
838412256
2.25
3

8．规定（3） =2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，„．如果
那么 方框内应填的数是多少?
【分析与解】

111

(16)( 17)(17)
，
(
1617181
111(17)
1< br>.
)1
=
1516175
(16)(17)(17)( 16)

111111

中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?
24681012
111
1
1
1111

，所以, ,,的和为l，因此应去掉与. 【分析与解】 因为

246
12
8
106124
9．从和式


10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可 以组成许多个整数部分是一位的循环小数，
例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的 一个是多少?

学而思奥数网 Page 11 of 73

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能 大，则有92918„„较大，于是最大的为
9.291892915
．



11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有
114111111

，

，


6110
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
注意到
11ca11ca1

，当
acb
时，有．
abcbabcabcbabcac
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质 数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不
妨设a为2，那么有
2cb
，显 然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：


12．计算：
(1
【分析与解】
原式=
111

，c与c+2均为质数即可.
2(c2）c (c2)2c
111
）（1）...(1)

2233 1010
(21)(21)(31)(31)(101)(101)
 ...

22331010
13243546576 879810911
=
223344...1010
12334455...991011
=
223344 ...991010
121011
11
==.
221010
20


13．已知
a=
11 661267136814691570
100
.问a的整数部分是多少 ？
11651266136714681569
【分析与解】
11661267136814691570
100

11651266136714681569
11(651)12(66 1)13(671)14(681)15（691）
100
=
11651266136714681569
a=
学而思奥数网 Page 12 of 73

1112131415
）100

11651 266136714681569
1112131415
100. =
100
1165+1266136714681569
11121314151112131415100
100
＜
1 00
因为
1165+1266136714681569（1112 1314+15）6565
10035
101
. 所以
a
＜< br>100+
6565
11121314151112131415100
100
＞
100
同时
116512661367 14681569（11121314+15）6969
10031
＝101
. 所以a＞
100
6969
3135
综上有
101＜a＜
101
．所以a的整数部分为101．
6965
（1
=


1357991
...
与相比，哪个更大，为什么?
246810010
00
＝A
，
...＝B
， 【分析与解】方法一：令
...
24681003579101
001...＝
有
AB＝...
.
24681
14．问
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
111
1111
）
＝
，所以有A×A＜

，那么 A＜． ＜
1011010
100101010
13579911
即
...
与相比，更大．
24681001010
13579799

方法二：设
A＝...
，
246898100
11 33559999
2

则
A＝...

22 4466100100
1335577...979799991
= ，
2244668...969898100100
1335 579799991
1
2
显然、、、„、、都是小于1的，所以有A＜，于是A＜ .
2244669898100100
10
（＝
有A×A＜4×B

15．下面是两个1989位整数相乘：
111...11...11
 
111

．问：乘积的各位数字之和是多少?
1989个 11989个1
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为
111...11 ...11

能被9整除，所以将一个
111

1 989个11989个1
乘以9，另一个除以9，使原算式变成：
999......99< br>
123456790......012345679
 

1989个9共1988位数
学而思奥数网 Page 13 of 73

=
（1000......0012345 6790......012345679

1）


1989个0共1988位数
=
123456790.......... ..00

123456790......012345 679


共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790......456789876543209......98765432


共1988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345 678”和一个
“987654321”，所以各位数之和为：
（123456 79）220（98765432）220

（12345 678）（987654321）17901
+
评注：111111111÷9=12345679；
M×
999... 9

的数字和为9×k．(其中M≤
999...9

)． 可以利用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9


































学而思奥数网 Page 14 of 73

第3讲 计算综合（二）


本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．
1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；
2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：
1
2
2
2
3
2
n
2

1
6
n
n1



2n1


3．平方差公式：a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)．

1． 已知a=
1
,b
1
,
试比较a、b的大小. 2
1
2
1
3
1
3
1
< br>
1
99


1
99
1
10 0

【分析与解】
a
11
2
1
,b
2
1
,

3
1
3
1


1


1
98
1
A
98
1
B
其中A=99 ,B=99+
11
100
.
因为AA
>98+
1
B
，
97
1
97
1
, 96
1
96
1
,
98
1
A
98
1
B
97
11

98
1
97
1
A
98
B


2
11
3
1
2
3
1
,
所以有a < b．
4
1
4
1


1< br>

1
98
1
A
98
1
B


学而思奥数网 Page 15 of 73

2.试求
1
2
3< br>4


1
1
1
1
2005

1
1
3
1
1
1
1
4
 

1
1
2005
的和？
【分析与解】 记
x 
1
3
4

1
1
1
2005< br>,
则题目所要求的等式可写为：
111111x
,
而
1.

11
2 x
1
2x
1
2x2x
1x1x
所以原式的和 为1．
评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．


2． 试求1+2+3+4+„4+100的值?

【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．

方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+„ 97+ 98+ 99+ 100
100+ 99+ 98+ 97+ 96+„4+ 3+ 2+ 1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为
10l×100 ÷2=5050．

方法三：整数裂项(重点)，
原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+„+100×2)÷2
=

122 (31)3(42)4(53)100(10199)

2

=
(12231234234534100 10199100)2

=
1001012

=5050.


3． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+„+99×100．

【分析与解】方法一：整数裂项
原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3 +5×6×3+„+99×100×3)÷3
=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×( 5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+„+99×100×(101-98)]÷3

学而思奥数网 Page 16 of 73

(123234123345 234456345567456

99100 101
9899100)3
991001013
331011 00
3333100
333300.
方程二：利用平方差公式1+2+3+4+ „+n=
n
22222
2
n(n1)(2n1)
.

6
原式：1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+„+99+99
222222
=1+2+3+4+5+„+99+1+2+3+4+5+„+99
=
222222
9910019999100


62
=328350+4950
=333300．

5．计算下列式子的值：
0.1×0.3+0.2

0.4+0.3× 0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.8

10.0

【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行
计算 ．即先计算1×3+2

4+3×5+4

6+„+97

99+98×100。再除以100．
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法．
0.1×0.3+0.2

0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+ 9.8

10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+„+97×99+98×100)÷100
=[(l ×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+„+(97×98+97)+(98×99+ 98)]÷100
=[(1×2+2×3+3×4+4×5+„+97×98+98×99)+(1+ 2+3+4+„+97+98)]÷100
=(
11
×98×99×100+×98×99)÷100
32
=3234+48.51
=3282.51

方法二：可以使用平方差公式进行计算．
0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.8×10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+„+97×99+98×l00)÷100
222222
=(1-1+2-1+3-1+4-1+5-1+„+99-1)÷100
122222
=(1+2+3+4+5+„+99-99)÷100
=(
1
×99×100×199-99)÷100
6
=16.5×199-0.99
=16.5×200-16.5-0.99
=3282.51

评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算 与整数的计算是有联系的．下面简单介绍
一下整数裂项．
1×2+2×3+3×4+„+(n-1)×n
学而思奥数网 Page 17 of 73

1
×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+„+(n-1)×n×3] < br>3
1
=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+„+(n-1)× n[n+1-(n-2)]}
3
=
=




1

123231234342345
< br>

3

(n1)n(n2)(n1)n(n1 )

1
3
=
(n1)n(n1)



6.计算下列式子的值：
24(

111111
 

)(
2

2


)
23452021112
2
1
2
2
2

10
2
111111
,
可是再仔细一看，并没有什么效果，
23234545
【分析与解】 虽然很容易看出
因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式1+2+3+„+n=
2222
1
16
.
×n×(n+1) ×(2n+1)，于是我们又有
2
6
12
2
3
2
n
2
n(n1)(2n1)
减号前面括号里的式子有10项，减号 后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?
111111

 
)(
2

2


)

23452021112
2
1
2
2
2


10
2
111111


)6(

)

=
24(
2345202112 3235101112
111111


)24(< br>
)

=
24(
23452021243 465202221
24(
=
24

(
=24(
11111

1

)()
()


454652021202221

23243
111


)

24462022
111


)

=
6(
12231011
1
=
6(1)

11
60
=
11


7．计算下列式子的值：
学而思奥数网 Page 18 of 73

(1
111

 
)
2
(

)
2
(< br>
)
2
234512

1
(
 
)
2
(

)
2

 
()
2
(1

)
45198982

【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.
显然1
2
+1=2;
(1
1
2
)
2< br>(
1
2
)
2
(1
1
2
)4 ;
(1
1
2

1
3
)
2
(< br>1
2

1
3
)
2
(
1
3
)
2
(1
11
2

3
)6;

(1
1
2

1
3

1
4< br>)
2
(
1
2

1
3

1
4
)
2
(
1
3

1
4
)
2
(
1
4
)
2
(1
1
2

1
3

1
4
)8;
所以原式=198 012×2=396024．

习题
计算17×18+18×19+19×20+„+29×30的值．
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.
答案：(29×30×31- 16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.















学而思奥数网 Page 19 of 73

第4讲 比例和百分数



成本、利润、价格等基本经济术语，以及它们之间的关系．各种已知数据或所求结果中包含比 例与
百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算．


1．迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总 产量就超过计划
产量的16％．那么，原计划生产插秧机多少台?

【分析与解】 : 5040÷(1+16％-56％)=8400(台)．


2 ．圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多
少元?

【分析与解】:设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆 珠笔和21支铅笔的价格为
20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143：0 .5元．
所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)．


3．李大娘把 养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的
1
卖
4
给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50％.原来东、西两院一共养鸡多少只?

【分析与解】：方法一：设原来东西两院一 共养鸡
x
只，那么西院养鸡

x40

只．
依 题意：．

x40



1
1
3

11

1


40x
,解出
x280
.
43

2
即原来东、西两院一共养鸡280只．

方法二：50％即
1111
，东、西两院剩下的鸡等于东院的加上西院的，即20+西院原养鸡 数．
2222
学而思奥数网 Page 20 of 73

有东院剩下40只鸡，西院剩下原
1
115

的鸡．
4312
所以有西院原养鸡(40—20)÷



15< br>


=240只，即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只．

212


4．用一批纸装订一种练习本．如果已装订1 20本，剩下的纸是这批纸的40％；如果装订了185本，
则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少 张?
【分析与解】 方法一：装订120本，剩下40％的纸，即用了60％的纸．
那么装订185本，需用185×(60％÷120)=92．5％的纸，即剩下1-92．5 ％=7．5％的纸，为1350
张．
所以这批纸共有1350÷7．5％=18000张．

方法二：120本对应(1-40％=)60％的总量，那么总量为120÷60％=200本．
当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350÷ 15=90
张，那么200本需200×90=18000张．
即这批纸共有18000张．


5．有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人 数增加16人．那么现有男同
学多少人?
【分析与解】男生增加25人，女生减少5 ％，而总人数增加了16人，说明女生减少了25-16=9人，
那么女生原来有9÷5％=180人， 则男生有325-180=145人．
增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人．


6．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有
奶 糖多少块?
【分析与解】方法一：原来奶糖占
251
459

，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，

，后来占
1004
100 20
9

1)=20块. 也比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+(4
20
9
其中奶糖有20×=9块．
20

方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,
设奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份．
现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,
奶糖的份数不变，其 他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l份即
学而思奥数网 Page 21 of 73

1块．奶糖占9份，就是9块奶糖．

7．甲乙两包糖的重量比是4：l，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7： 5．那
么两包糖重量的总和是多少克?

【分析与解】两包糖数量的总数是

10


7

132

4
克.
1046

41756013


8．有若 干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中自子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，
而且拿走的 都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆?

【分析与解】 方法一：设有
x
堆棋子，每堆有棋子“1”．根据拿走黑子白子总数不变．
列方程得
x28




x
得7
x
= 8(
x
-


1
1

×32％，化简得2 8 =32(-)，两边同除以4，
xx

2
2

1)，解得
x
=4．
2
即共有棋子4堆．

方法二：注意到所有棋子中的白子个数前后不变，所以设白子数为“1”．
那么有： ．

1
18172525

，对应为堆；所以对应l堆．
2
785628
1825
2525

4
堆． 而开始共有棋子l+，所以共有
77
728
黑子变化了


9．幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班中男生数与女生数的比为5：3，中班
中 男生数与女生数的比为2：1，那么大班有女生多少名?

【分析与解】设大班女生有
x
名，则中班女生有(18-
x
)名．根据男生数可列出
学而思奥数网 Page 22 of 73

方程：
x
×
52
+ (18-
x
)×=32，解得
x
=12．
31
所以大班有女生12名．


10．某校四年级原有2个班 ，现在要重新编为3个班，将原一班的号与原二班的丢组成新一班，将原
一班的{与原二班的吉组成新二 班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10％，
那么原一班有多少人?

【分析与解】


有新三班的为原一、二班总人数的1-
所以原来两班总人数是：30÷
75

，为30人．
1212
5
=72(人)．
12
则新一班与新二班人数总和是72-30=42(人)．
现在再把新二班人数算作1份．
110


新一班人数=42

=22(人)，新二班人数=42-22=20(人)．
110


1
(原一班人数)-(原二班人数)=(22-20)÷


原一班人数=(72+24)÷2=48(人)．


11


=2×12=24(人)．
34


11．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知： ①第一包糖的粒数是第二包糖的
2
；
3
②在第一包糖中，奶糖占25％，在第 二包糖中，水果糖占50％；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分
比是在第二包糖中所占的百分比的两倍 ．当两包糖合在一起时，巧克力糖占28％，那么水果糖所占百
分比等于多少?

【 分析与解】表述1：设第一包有2
a
粒糖，则第二包有3
a
粒糖，设第二包有 3
b
粒巧克力糖，则
第一包有4
b
粒巧克力糖．

学而思奥数网 Page 23 of 73

4b3bb5

28％，所以
×28％=20％．
2a3aa7
4b
于是第一包中，巧克力糖占 =40％，水果糖占1-40％-25％=35％．
2a
2a35

< br>3a50



44％． 在两包糖总粒数中，水果糖占
2a3a

表述2：设第一包糖总数为“2”，那么第 二包糖总数为“3”，并设第一包糖含有巧克力糖2c，第二包
糖含有巧克力糖c．

那么有2×2c+3×c=28％×(2+3)，有7c=140％，所以c=20％，那么有 如下所示的每种糖所占的百
分数．

所以水果糖占总数的(35％×2+50％×3)÷(2+3)=44％．


12．某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等：⑦甲校获一 等奖
的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数 总和
占两校获奖人数总和的20％；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50％；⑤甲校获二等奖的 人数
是乙校获二等奖人数的4.5倍．
那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?

【分析与解】 表述1：不妨设甲校有60人获奖，由①、②，乙校有50人获奖．
由③知两校获二等奖的共有(60+50)×20％=22人；
由⑤知甲校获二等奖的有22÷(4.5+1)×4.5=18人；
由④知甲校获一等奖的有60-60×50％-18=12人，
从而所求百分数等于12÷50×100％=24％．
表述2：
(这有一个“5”)
学而思奥数网 Page 24 of 73

1.2÷5×100％=24％，即乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的24％．


13．①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的 女生总
数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业 生中
男、女生人数比是多少?

【分析与解】表述1：由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1．
③知，四至九班的男生总数比七、八、九班总人数少1．
因此，一至九班的男生总数是二、三、七、八、九共五个班的人数，则女生总数
等于四个班的人数．
所以，男、女生之比是5：4．

表述2： ．


有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即为一至九班全体男生数，恰 为
“二、三班总人数”加上“四、五、六班总人数”，即为五个班总人数，则女生总数等于四个班的人数 ．
所以，男、女生之比是5：4．


14．某商品按原定价出售，每件 利润为成本的25％；后来按原定价的90％出售，结果每天售出的
件数比降价前增加了1．5倍．问后 来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?

【分析与解】设这种商品的成本 为“1”，共卖出商品“1”，则利润为25％，总利润为0．25，定价
为1．25．
那么按原定价的90％出售，即以1.25× 90％=1.125的价格出售，现在销售的件数比原来增加了1 .5
倍，利润为0.125×(1.5+1)=O.3125，而原来的总利润为O.25，现在增加了 0.3125一O.25=0.0625，
0.0625÷0.25：25％．
所以，后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了25％．

15．赢利百分数=
卖出价买入价
100



买入价
某电子产品去年按定价的80％出售，能获得20％的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价 的75％
学而思奥数网 Page 25 of 73

出售，却能获得25％的赢利．那么
今年买入 价
去年买入价
是多少?

【分析与解】 根据题中给出的公式知：
赢利百分数×买入价=卖出价一买入价
则买入价×(赢利百分数+1)=卖出价，
那么买入价=
卖出价
赢利百分数+1

今年买入价
今年卖出 价

1+25



定价75

< br>125


去年买入价
＝
去年卖入价

1+25
＝＝
9



定价80

< br>120


10


































学而思奥数网 Page 26 of 73

第5讲 比和比例


两个数相除又叫做两个数的比．
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、比和比例在行程问题中的体现
在行程问题中，因为有速度=
路程
，所以：
时间
当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；
当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；
当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．


1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．

【分析与解】
方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)= 2：1，x=17，所以A为136，B为85．
方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差 不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B
一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所 以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，
B为17×5=85．


2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的
5
再向前56千米处
11
所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早 了2小时．问北京西站、安庆西站
两地相距多少千米?

【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？
(
55
10
x +56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232．
1111
11
即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，
< br>3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住< br>在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫
学而思奥数网 Page 27 of 73

的比率?

【分析与解】 如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个
单元及整座房屋中的宠 物情况和猫占宠物总数的比率．



4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中 公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，
公鸡、母鸡数量之比是1：3， 公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．

【分析与解】 公鸡占家禽场家禽总数的
=
15:(3
总数的
211246811
544)45:46:(3544)46:47.
，母鸡占
33 33458751310
3
；
10
4
833

，母鸭占总数的；
20
87 53420
21332342
（）（）
公鹅占总数的，母鹅占总数的 ，公鹅、母鹅数量之比
3210202032102020
32
：
：3： 2． 为
2020
公鸭占总数的


5．在古巴比伦的金字塔旁，其 朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶
梯的第3阶(箭头)．另外，此 时树立l根长70cm自杆子，其影子的长度为175cm，设阶梯各阶的高度
与深度都是50cm，求 柱子的高度为多少？

【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;
所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．

于是，影子的长度 为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m．

学而思奥数网 Page 28 of 73

6．已知三种混合物由三种成分A、B、C 组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成
分B和C，重量比为I：2；第三种只含 成分A和C，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能
使所得的混合物中A，B和C，这三种 成分的重量比为3：5：2 ?

【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混 合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，
先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到 3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种
混合物中A、B视为单一物质.
第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A为3，5倍第二种混合物
含 B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．
于是此时含有C为5×2+1.5 ×3=14.5，在最终混合物中C的含量为3A／5B含量的2倍．有
14.5÷2-1=6.25， 所以含有第一种混合物6.25．
即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．



7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作； 若将男工人数
和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、 女工各多少人?

【分析与解】 直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．
设开始男工为“1”，此时女工为“ k”，有1名男工相当k名女工．男工、女工人数对调以后，则
2
男工为“k”，相当于女工“ k”，女工为“I”．
6
．
5
1
于是，开始有男工数为×1100=500人，女工600人．
1k
有k：1=36：25，所以k=
2


8．有甲乙 两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零
分的时候两 钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开
始到这个时候 ，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?

【分析与解】 标准的时钟每隔
65
假设经历了x分钟．
5
分钟重合一次．
11
5246024605

分钟重合一次，甲钟重合了×x次；
11246052460
24605
同理，乙钟重合了×x次； 于是，需要乙钟比甲钟多重合
2460
10
2460524605
×x-×x=×x=10;
2460
24602460
于是，甲钟每隔
65
所以，x=24×60；
学而思奥数网 Page 29 of 73

5

5
11
65
5
天. 所以要经历24×60×65分钟，则为11
246011
510106
于是为65天
(24)10()< br>小时
(60)54
分钟．
11111111
246065


9．一队和二队两个施工队 的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作
量与条件完全相同的工程 ，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人
21
与二队工人组成新一
33
队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队
比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?

【分析与解】 一队与二队的工作效率之比为：(3×5)：(4×4)=15：16．
一队干前一个工程需9÷
1
=144天．
16
新一队与新二队的工作效率之比为：
2112
(3544):(3544)46:47.

3333
1
新一队干后一个工程需6÷=282天．
47
一队与新一队的工作效率之比为
21
15:(3544)45:46

33
46
所以一队干后一个工程需282×天．
45
前后两次工程 的工作量之比是144：(282×
46
)=(144×45)：(282×46)=540： 1081.
45











学而思奥数网 Page 30 of 73

第6讲 工程问题

多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转
化．


1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加 工，便需要12小时完成．现
在甲、乙两人共同生产了2
乙一共加工零件多少个?

2
小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问
51
1
1
－=.
8
12
24
211
8484
甲调出后，剩下工作乙需 做(8—2)×(÷)=(小时)，所以乙每小时加工零件420÷=25
5824
55
22
个，则2小时加工2×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．
55
【分析与解】乙单独加工，每小时加工


2．某工程 先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，需48天完
成．现在甲先 单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?

【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20
天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．

所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天，
即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程．
现在甲先单独做42天，相 当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可
完成这项工程．

3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在 让3个队合修，但
中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙 两队又共同合修
了多少天才完成?

学而思奥数网 Page 31 of 73

【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为
111
1
++=，那么它们6天完成的工程量为
101215
413
×6=，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1．
42
3111
1
所以－1=是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需÷ =5(天)才能完成的工程量，所以
222
10
2
甲队在6天内撤出了5天．
所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．


4．一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队
合做 若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?

【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队
做2天．
即甲的工作效率是乙的
应是：
8÷(1+l+

22
，从而乙单独做12×=8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间
33
2
)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．
3

5．抄一份书稿 ，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、
乙每天工作效率和的< br>
1
．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
5< br>1
，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量
8
1
1
之 和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；
8
16
1
1
由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的；于是
8
4 8
11
11
可知乙每天抄写书稿的－－＝.
8
1648
24
1
所以乙一人单独抄写需要1÷=24天才能完成．
24
【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的


6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8
小时 注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少小时注满水池?

学而思奥数网 Page 32 of 73

113
-=,
82040
1311
丙管每小时注满水池的-=.
640120
11120
10
因此，单开丙管需要1÷==10(小时)．
12011
11
【分析与解】 乙管每小时注满水池的


7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙 、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12
天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是
11
1
、、.
86
12
对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．
即
1
1
111
+－=，所以甲、丁合作的工作效率为．
8
12
62424
所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．


8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙 、甲两人合做18天完成．那
么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【分析与解】 方法一：对于工作效率有：
(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲) =2乙，即
为
11
113
+－=为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率89
1872
21
．
144
113
1
－＝
9144
48
而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为
那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷
1
=48天．
48
11
12121
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙 、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=
89
187272
2121÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．
144144
211
1
那么丙单独工作的工作效率为－＝，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．
1448
48


9．某工程如果由第1、2、3小队合干 需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才
能完成；如果由第2、4、5小队合干需 要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完
成．那么这5个小队一起合干需要多少 天才能完成这项工程?

学而思奥数网 Page 33 of 73

【分析与解】 由已知条件可得，

对于工作效率有：
(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．
所以5个小队一起合作时的工作效率为：
（
1111
1
＋＋2×＋）÷3＝
8426
12
7
所以5个小队合作需要6天完成这项工程.
评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.


10．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱
已满 ；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注
水量的 2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?

【分析与解】 设甲管注入18吨水所需 的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2
倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为 “O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为
27÷18×0.5=0.75.
以下采用两种方法：
方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：

因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”
=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水．
所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．
方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作
效率的
3
．
4
3
(2+丙)；所
4
再设甲单独灌水的工作效率为“1” ，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙=
以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的 工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，
那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．

11.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙 两管单独灌满水池
分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管 放水，需要6小时
将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问水 池中原有水多少
立方米?

【分析与解】 甲每小时注水100÷10=10(立方米)，
学而思奥数网 Page 34 of 73

乙每小时注水100÷15=
设排水管每小时排水量为“排”，
则(“排”－10－
20
(立方米)，
3
20
50
)×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3×=“排”－10,2“排”=40，
3
3
则“排”=20．
所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．


12．一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细 的进水管．当打开4个进水
管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注 满水池．现在需要在2小
时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?

【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，
那么有：
1
1
， 2“进”－“排”=.
5
15
1
1211
所以有，2“进”=(－)=，那么“进”=，则“排”=.
5
15151515
4“进”－“排”=
题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有：
x“进”－“排”=
1
11
1
，即x－=，解得x=8.5
2
1515
2
所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满．


13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水， 单开甲管需要3小时，单开
丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时 ．现在池内有
1
池水．如
6
果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每 管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池?

【分析与解】 方法一：甲、 乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是
全池的
1111
70
－＋－=.
3456
6
最优情况为：在完整周期后的1小时 内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条
管子中最大的．
那么在最优情况下：完整周期只需注入1－
所需周期数为
111
－＝池水．
632
1
7030
2
÷＝＝4
27
67
113
77
＋×5=＋＝
6
60
6
12
4
那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水
学而思奥数网 Page 35 of 73

31113
＝池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有÷＝ (小时).
44434
33
所以，需5个完整周期即20小时，再加上小时，即20小时后水开始溢出．
44
1
方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的－
3
111
7
＋－= .
456
60
1
717
加上池内原有的水，池内有水：＋=.
6
6060
17745
再过四个4小时，也就是20小时后，池内有 水：＋×4=，在20小时后，只需要再灌水
606060
45
1
1－＝,水 就开始溢出．
60
4
113333
÷= (小时)，即再开甲管小 时，水开始溢出，所以20+=20(小时)后，水开始溢出水
434444
剩下l－
池．
方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内 灌进的水是全池的
1
－
3
111
7
＋－＝.
456
60
1
71743
＋=,有待注入；
6
606060
177
24
36
3
二个周期后，池内有水：＋=,即有先待注入；
6060
60
60
5
24
731
29
三个周期后，池内有水：＋＝，有待注入；
60
6060
60
31738
22
11
四个周期后，池内有水：＋＝，即有待注入；
606060
60
30
3874515
1
五个周期后，池内有水：＋＝，即有待注入．
60606060
4
1113
而此时，只需注入的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有÷= (小时)，即再开
4434
333
甲管小时，水开始溢出，所以20+＝20 (小时)后,水开始溢出水池．
444
一个周期后，池内有水：
评注：这道 题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时
又减少，所以不能 简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个
简单的问题，大家在 解完这道题就会知晓．
有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间?

14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的．当这个水池水满时，打 开A
管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空． 如果
打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间?

【分析与解】 设这个水池的容量是“1”
学而思奥数网 Page 36 of 73

1
+每小时渗入水量；
8
1
B管每小时排水量是： +每小时渗入水量；
10
1
C管每小时排水量是： +每小时渗入水量；
12
1
A、B两管每小时排水量是：+每小时渗入水量．
4
11
1
因为+每小时渗入水量++每小时渗入水量=+每小时渗入水量，因 此，每小时渗入水量是：
84
10
111
1
－（＋）＝.
48
10
40
A管每小时排水量是：
那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：

于是打开B、C两管，将水池排空需要
1÷（



























学而思奥数网 Page 37 of 73
11315
＋-）=1÷=4.8（小时）.
81204024

第7讲 牛吃草问题


牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．
牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.
下面给出几例牛吃草及其相关问题．


1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9 周，那么它可供21头牛吃几
周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．)



【分析与解】 27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；
23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出
了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的 草．即相
当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有2 1头牛，减去15
头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；
所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周．
评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了．
一般方法：
先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲- 乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间
乙)；
再进行如下运算：(甲牛头数- 变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙．
或者：(甲牛头数- 变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．


2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一
块草 地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周?
【分析与解】 我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=43 2头牛
吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2 公顷6周长的
草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72= 36头牛一周吃2公顷12—6=6
周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．
对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的 草，即
24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公顷 ．
所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36
×(10÷2)÷20=9周．
于是50头牛需要9周吃10公顷的草．
学而思奥数网 Page 38 of 73

3．如图，一块正方形的草地被 分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均
匀生长．牧民带着一群牛先在①号 草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．(在这2天内其他草地
的草正常生长)之后他让一半牛在② 号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃
光．然后牧民把
1
的 牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现
3
它们同时把草场上的 草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要
多少时间？

【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8 天新长
1
群牛，1天，吃了1块1天新长的.
6
12
又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完.所以，
33< br>19193
③=2

阴影部分面积.于是，整个为
4
块地 .那么需要

群牛吃新长的草，于是
22624
3
191931）
（1）2
=现在
（
（1）2（1）=30天. .所以需要吃：
4
62624
的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即
所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.


4．现 在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，
于是牛、羊 吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少
时间?

【分析与解】 我们注意到：
牛、马45天吃了 原有+45天新长的草①

牛、马90天吃了
2原有+90天新长的草⑤
马、羊60天吃了 原有+60天新长的草②
牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③







马 90天吃了 原有+90天新长的草④
所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊 吃了90天，吃了90天新长的
草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．
所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．
现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.
所需时间为l÷
(
11
)
=36天.
9060
所以，牛、羊、马一起吃，需36天．


学而思奥数网 Page 39 of 73

5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且 长得一样快．它们的面积分别是
3
1
公顷、10公顷和24
3
公顷． 已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18
星期 才能吃完第三片牧场的草?

【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．


所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18 星期吃完1公顷原有的草
需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O．9头牛，共 需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能
吃完1公顷牧场的草．
所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．




















学而思奥数网 Page 40 of 73

第8讲 不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．

补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维< br>导引详解》五年级[第15讲 余数问题].
解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．
本讲讲解顺序：③< br>
包括1、2、3题

④

②

①包括4、 5题

③

包括6、7题，其中③④步
骤中加入百鸡问题．
复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．
整数分拆问题：11、12、13、14、15．


1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为
ab
，则数字和为
ab
，这个数可以表达为
10 ab
，有

10ab



ab

4

即
10ab4a4b
，亦即
b2a
．
注意到
a
和
b
都是0到9的整数，且
a
不能为0，因此
a
只能为1、2、3或4，相应地
b
的取值为2、
4、6、8．
综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48．


2．设A和B都是自然数，并且满足
AB17

,那么A+B等于多少?
11333

【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l，A=2时满足，此时A+B=2+1=3．


3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少
支?

【分析与解】设购买甲级铅笔
x
支，乙级铅笔
y
支．
有7
x
+3
y
=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种 利用余数的性质来求解的
方法：
将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：
学而思奥数网 Page 41 of 73

得
x
=2(mod 3)， 所以
x
可以取2，此时
y
取12；
x
还可以取2+3=5， 此时
y
取5；

x2

x5
即

、

,对应
xy
为14、10
y12
y5


所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支．


4．有纸币 60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100
元?

【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，
列方程如下：
abcd60

1



由


a10b100c1000d100002



(2)(1)得
9b99c999d9940
③
注意到③式左边是9的 倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为
100元．


5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加 工损耗忽略不
计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度
必是12的倍数 ，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．
另一方面，374= 27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36 厘米
的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．
因此剩余部分的管子最少是2厘米．


6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各 带一个孩子参加．男职
工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了2 16棵树．那么其中有多
少名男职工?

【分析与解】设男职工
x人，孩子
y
人，则女职工3
y
-
x
人(注意，为何设孩 子数为
y
人，而不是设女
职工为
y
人)，
那么有13x10

3yx

6y
=216，化简为
3 x36y
=216，即
x12y
=72．
有



x12x24

x36

x48
< br>x60
.


y5

y4

y3

y2

y1

学而思奥数网 Page 42 of 73

但是，女职工人数为
3yx
必 须是自然数，所以只有

那么男职工数只能为12名


x12
时，
3yx3
满足．
y5


7．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木 条各若干根．如果从这些木条中取出一些接
起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7= 1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、
3.4米、3.9米、3.7米这 5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0 .7米，0.8米两种木条分别
x
，
y
根，则0.7
x
+0 .8
y
=3.4
3.6，„
即7
x
+8
y
=34，36，37，38，39
将系数，常数对7取模，有
y
≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是
y
最小分别取6,1,
2，3，4．
但是当
y
取6时，8×6=48超过34，
x
无法取值．
所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．


8.小萌 在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那
么小萌 寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然，为了使3种信的 总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最
后才是平信．但是挂号信、航空信的邮 费都是整数角不会产生几分．
所以，2分，10
n
+2分应该为平信的邮 费，
n
最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封，
此时剩下的邮费为122- 32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可．
于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．


9 .有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现
在要 取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克
的砝 码各有几个?

【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18
„„4，所以3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7
k
克重．
设3克的砝码
x
个，5克的砝码
y
个，则
3x5y47k．
当
k
=0时，有
3x5y4
，无自然数解；
当
k
=1时，有
3x5y11
，有
x
=2，
y
=1，此时7克的砝码取17个，所以共
学而思奥数网 Page 43 of 73

需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．
当
k
>1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取
砝码情形．
所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个．


10．5种商品的价格如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品 ，那么有多少种不
同的选购方式?


【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)
件，则有

2.9

10bcde

4.7b7.2c10.6 d14.9e
=60．

18b43c77d120e
=310，显然
e
只能取0，1，2．
Ⅰ有
18b43c77d
=310，其中d可取0，1，2，3，4．
(1)当d=0时，有
18b43c
=310，将系数，常数对6取模得：

c
≡4(mod 6)，于是
c
最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然
数．所以d=0时。不满足；
(2)有
18b43c
=233，将系数，常数对6取模得：
c
≡5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-43×5=18,
；
(3)有
18b43c
=156，将系数，常数对6取模得：
c
≡O(mod 6)，于是
c
最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2
时，不满足；
(4)有
18b43c
=79，将系数、常数对6取模得：
c
≡1(mod 6)，于是最小那么有18b=79—43=36．
(5)当d=4时，有
18b43c
=2，显然不满足．
Ⅱ有
18b43c77d
=190，其中d可以取0、1、2．
(1)有
18b43c
=190，将系数、常数对6取模有：
c
≡4(mod 6)，于是最小那么有18b=190-43×4=18,
(2)当d=1时，有
18b43c
=113，将系数、常数对6取模有：
学而思奥数网 Page 44 of 73

c
≡5(mod 6)，于是
c
最小取5，即18
b
+215=113，显然d=1时，不满足；
(3)
时 有
18b43c
=36,显然有
Ⅲ
有
18b43c77d
=70，
d
只能取0，
有
18b43c
=70，将系数、常数对6取模有：
c
≡4(rood 6)，于是
c
最小取4，那么有18
b
+172=70，显然不满足
最后可得到如下表的满足情况：

共有4种不同的选购方法．


11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱 各
自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买
的3分画片的总数是多少张?

【分析与解】 钱数除以5余0 ，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片．因此，可将
钱数8分至5角2分这4 5种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共
买10×9= 90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3
分画片的 总数是90-2-4=84张．


12．哥德巴赫猜想是说：“每个大 于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两
位质数的和，并且其中的一个数的个 位数字是1．

【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71．
其中168-11=157，1 68-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有
168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解．

学而思奥数网 Page 45 of 73

13．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?

(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?

【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然1 0个互不相等的质数和最
小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50．
所以，其中一定可以有某几个质数相等．
欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数 尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么
最大质数不超过50—2×9=32，而不超过3 2的最大质数为31．
又有
5022

2233 1
，所以满足条件的最大质数为31．

8个2
(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50．
所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7．
60÷7=8„„4，60=7+7+7+
．即8个7与2
+7+4+7+2+2
< br>，而4=2+2，恰好有
60=7+7+7+

8个78个7个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．


14．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100 分外，其
他98种币值就可以两两配对了，即
(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；„；(49，51)；
每一对币值 中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的
币值是可以组 成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，„，48分和49分这49种情况．
1分和3分的币值显然不能构成．
2分，4分，6分，„，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成．
5 分，7分，9分，„，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，„46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分．
综合以上分析， 不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3
分，97分，99 分．


15．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是 整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用
35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么 买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的
单价是多少元?
【分析与解】如下表
学而思奥数网 Page 46 of 73

先枚举出所有可能的单价如表1．
再依次考虑：
首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有 7，5，1的组合不可能．
然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那 么再买这种笔就可以花去18元，一
共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．
所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为1 3
元．


1．庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每 天共吃41个馒头，每29个小和尚每天
共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里 至少有多少个和尚．

2．小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表 示问候．早晨见面，小花狗叫两
声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小 娟对它们叫声统计了15天，
它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声．问：波斯猫 至少叫了多少声?

3．《张邱建算经》百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡 雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、
母、雏各几何?















学而思奥数网 Page 47 of 73

第9讲 整数分拆



1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是 把
整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数．
2．一般的有，把自然数m 分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，
表示成m=np+r，则分成r个 (p+1)，(n－r)个P．
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没 有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，
其他的都是3，这样它们的乘积最大．
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+„+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数．
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方
法．
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2－1个奇约数．
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：
m
如：10=4+2+2 +1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得
到)：，可以对应的写成 5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．


1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆．
【分析与解】 画出示意图
的共轭分拆．

，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多 可
以播出几天?

【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多，若要满 足每天播出的集数互不相等的条件下，每天
播出的集数应尽可能地少．
选择从1开始若干 连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出
7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里
播 出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：
30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8
学而思奥数网 Page 48 of 73

即最多可以播出7天．


3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每 支盒
子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来 ，
仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?

【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动
过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球．
同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球．
类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装 有的小球数是
一些连续整数．
现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?
因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+ 4+5+6+7+8+9，
一共有7个加数；
又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数；
又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数．
所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子


4．机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：
凡能表示为两个不同合数之 和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23
可表示成两个不同合数15和8之 和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)．问：
要染成红色的数由小到大数下去 ，第2000个数是多少?请说明理由．

【分析与解】 显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色，
3=1+2，4=1+3=2+2，5 =1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5 =4+4，
9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5， 11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6．
可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色．
下面统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成红色．
1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k－2)．
由于n≥10，所以k≥ 15，k－2≥3，2(k－2)与4均为合数，且不相等．于是，大于等于10的偶数
都可以表示两个 不同的合数之和，应染成红色．
2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k－4)．
由于n≥13，所 以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4与9均是合数，且不相等．也就是说，大于等于13
的奇数均 能表示为两个不同的合数之和，应染红色．
所以，除了1，2，3，4，5，6，7 ，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个
染为红色的数是第(k+10)个自 然数(k≥2)．
所以第2000个染红色的数是2000+10=2010．


5.在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法．例如9：9=4+5，9= 2+3+4，9
有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.
(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数．
学而思奥数网 Page 49 of 73

(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数．

【分析与解】 关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达
种数.
根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的
15(1、3、5、15)；
有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；
根据(2) 知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、
729)，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：
364+365；242+24 3+244；119+120+„+124；77+78+79+„+85；36+37+„+45；14+15 +„+40．


6.从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每 组的和相等.如从1到3的话，1+2=3；从
1到20的话：1+2+3+„+14=15+16+1 7+„+20.
请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几?

【分析与解】 我们用这种阶梯图来表示连续的数相加，假设情况见下图，

我们通过图得知，c是公共部分，而b+c为原等式的右边，a +c为原等式的左边，所以有a=b，a
部分面积为
加到1)；
有
A(A1)
(可以看成从1一直加到A)，b部分面积为B×B(可以看作从1一直加 到B再又
2
A(A1)
=B×B．
2
可以表示为奇数×相邻的偶数÷2=B×B；
其中A是连续两个数中较小的一个，B的平方等于连续两个数的乘积除以2．
因为相邻的两个数互质，所以，偶数÷2后与原相邻奇数也互质；
所以，奇数必定为完全平方数；偶数÷2也为完全平方数，这样：
①奇数为1，则偶数为2， 除以2，为1，均为完全平方数．A=l，
B
=1×2÷2=1，于是为A+B=2，
A+2B=3；所以为l+2=3；
②奇数为9，则偶数为8，除以2，为4，均为完全平方 数．A=8，
B
=8×9÷2=36，于是为A+B=8+6=14，
A+2B=8+ 2×6=20；所以为1+2+3+„+14=15+16+17+„+20；
还可以偶数为10，除以2，为5，不是完全平方数，不满足．
③奇数为25，则偶数为24，除以2，为12，不是完全平方数，不满足；
还可以偶数为26，除以2，为13，不是完全平方数，不满足．
④奇数为49，则偶数为48，除以2，为24，不是完全平方数，不满足；
2
2
学而思奥数网 Page 50 of 73

小学奥数
第1讲 多位数的运算



多位数的运算，涉及利用
999

9
＝10< br>k
-1，提出公因数，递推等方法求解问题．

k个9


一、
999

9
＝10-1的运用

k个9
k
在多位数运算中，我们往往运用
999

9
＝10-1来转化问题；

k
k个9
如：
3333
×59049

2004个3
我们把
3333
转化为
9999
÷3，

2004个32004个9
于是原式为
333 3
×59049=（
9999
÷3）×59049=
9999
×59049=（
10000
-1）×

2004个32004个92004个92004个0
19683=19683×
10 000
-19683

2004个0
而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；
2004个9


1968299

999999
+1
2004个9
 
1968299

9999991
19683
如：，于是为
1968299980317

．
199 9个9

1999个9
1968299

9803 161
1999个9

1968299

980 317



简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数．

原式=
3333
×2×3×3×
3333


2004个32008个3

=
3333
×2×3×
9999

 
2004个32008个9
=
1999

98
×（10000
-1）

2003个92008个0
学而思奥数网 Page 1 of 73

=
1999

98
×
10000
-
1999

98

 
2003个92008个02003个9
2003个92008个9

1999

979999999

99 1
1999


98

=
2003个0< br>
1999

979998000

011
1999

979998000


02

2003个92003个0
2003个9
2003个9
,于是为
1999979998000

02
.

2003个92003个0


2．计算
1111
－
2222
=A×A，求A．

2004个11002个2
【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有
1111
，从而找出突破口.

n个1

1111
－
2222
=< br>11110000
－
1111



2004个11002个21002个1
1002个0
1002个 1
=
1111
×（
10000
-1）


1002个1
1002个0
=
1111
×（
9999
）


1002个1
1002个9
2
=
1111
×（
1111
×3×3）=A

1002个11002个1
所以，A＝
3333
.

1002个3


3．计算
6666
×
6666
×25的乘积数字和是多少?

2004个62003个6
【分析与解】我们还是利用< br>9999
=
100001
来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成

k个9k个0
9999
，于是我们就创造条件使用：

k个9
22
××25=[×（）]×[×（
999666 66666799999
）+1]×25
 
33
2004个62003个62004个92004个9
=[
22
×（
1000
）]×[×（
1000010
）+1]×25

33
2004个02004个0
=
11
×× [2×
10000
-2]×[2×（
10000
）+1]×25

33
2004个02004个0
学而思奥数网 Page 2 of 73

=
25
9
×[4×
1 000



0
-2×
1000
< br>

0
-2]
4008个02004个0
=
100
9
×
999



9
-
5 0
9
×
999



9

4008个92004个9
=100×
111



1< br>-50×
111



1

4008个1 2004个1
=
111



100

555



50
(求差过程详见评注)
40 08个12004个5
=
111



10555< br>


50

2004个12004个5
所以 原式的乘积为
111



10555


50

2004个12004个5
那么原式乘积的数字和为 1×2004+5×2004=12024．
评注：对于
111


100

555



50的计算，我们再详细的说一说．
4008个12004个5
111



100

555



50

4008个12004个5
=
111


< br>1000



0111



100555



50

2005个1
2005个0
2003个1
2004个5
=
111


10999



91111



100555



50

2004个1
2005个9
2003个1
2004个5
=
111



10444



49111



101

2004个1
2 004个4
2003个1
=
111



105 55



5

2004个1
2004个5


4．计算
222
 


2222



2
的 积?
1998个21998个2
【分析与解】 我们先还是同上例来凑成
999



9
；
k个9
222



2222



2

1998个21998个2
＝
2
9




999

9

222




1998个9



2

1998个2
＝
2

9



1000

01



< br>222
1998个0





2

1998个2
＝
1




0 1


9

1000444


 
1998个0



4

1998个4
学而思奥数网 Page 3 of 73


1


4000

0444

4< br>
＝


444



9

1998个4

1998个4
1998个 0
＝
4444355556
(求差过程详见评注)


1997个4
1997个5
1
9
我们知道
4444
能被9整除，商为：049382716．

9个4
又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个 4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，
则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45 ，可以被9整除．

4444355

能被9整除，商为；
8个4
我们知道
5555
能被9整除，商为：061728395；

9个5
这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下 6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可
以被9整除．

555

56
能被9整除，商为0617284．

6个5
于是，最终的商为：
3827957284

493827

 
220个个061728395
评注：对于
444 40000
-
4444
计算，我们再详细的说一说．
 

1998个4
1998个0
1998个4

44440000
-
4444



1998个4
1998个0
1998个4
＝
444< br>
439999
+1-
4444


 
1997个41998个9
1998个4
＝
444

435555
+1

1997个41998个5< br>＝
444

43555

56
.

1997个41997个5

二、提出公因式 < br>有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者
差式等．


5.计算：（1998+19981998+8+„
1998 1998

1998

1998个1998
）÷< br>（1999+19991999+9„
19991999

1999
 
）×1999
1998个1999
【分析与解】
1998 1998

1998

1001

＝19 98×
10011001


1998个19981998个1 001
原式＝1998（1+10001+100010001+„
10011001

1001

）÷［1999×（1+10001+100010001 +„
1998个1001
学而思奥数网 Page 4 of 73

］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.
1001100 1

1001

）
1998个1001


6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?
【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是19 93×123
还是有点繁琐．
设1993×123=M，则(1000×123＝)1230 00是0；
令M＝
abcdef

则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M
＝
abcdef000000
-
abcdef

＝
abcdef
＝
abcdef
＝
abcdef

f

f

f
1

999999
+1－
ab cdef

1

9a

9b

9c

9d

9e

9f
+1
1

9a

9b

9c

9d

9e

9f1


那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－ c)+(9－d)+(9－e)+(9－
f+1)=9×6=54．
所以原式的计算结果的数字和为54．
评注：M×
9999
的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x≤k)．

k个9


256个9512个91024个9
7．试求9×99×9999×99999999ׄ ×
9999
×
9999
×
9999
乘积的数字和为多 少?

【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注：
设9×99×9999×99999999ׄ×
9999
×
9999
×
9999
＝M，
 
256个9512个91024个9
于是M×
9999
类似< br>
1024个9
的情况，于是，确定好M的位数即可；
注意到9×9 9×9999×99999999ׄ×
9999
×
9999
＝M， < br>
256个9512个9
则M<10×100×100013×10 0000000ׄ×
10000
×
10000
＝
10000


256个0512个0k个0
其中k=1+2+4+8+16+„+512=1024－l=1023；
即M<
1 0000
，即M最多为1023位数，所以满足

1023个0
的 使用条件，那么M与
9999
乘积的

1024个9
数字 和为1024×9=10240—1024=9216．
原式的乘积数字和为9216．
学而思奥数网 Page 5 of 73

三、递推法的运用
有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．


8．我们定义完全平方数A=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全 平方数；已知：
21×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?
【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法
来求解：
222
121＝11；12321＝111；1234321＝1111„„
于是， 我们归纳为1234„n„4321=（
1111
）

n个1
2
2
2
所以，21：1111111；则，21×49=1111111 ×7=7777777．所以，题中
原式乘积为7777777的平方．
评注：以上归纳的公 式1234„n„4321＝（
1111
），只有在n<10时成立．

2
222
n个1


488889
=A，求A为多少? 9.①
444

 
2
2004个4
2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？
【分析与解】 方法一：问题①直 接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推
(找规律)的方法来求解：
488889
可以看成
444488889
，其中n＝2004； ①注意到有
444


2004个4
2003个8
2
n个4
n-1个8
寻找规律：当n=1时，有49=7；
2
当n=2时，有4489=67；
2
当n=3时，有444889=667；
„„ „„
488889
=
66667
于是，类推有
444


2004个4
2003个8
2
2003个6
方法二：下面给出严格计算：
488889
=
444
8
+1；
44440000
+
888


 

2004个4
2003个8
2004个4
2004 个0
2004个8
8
+1＝
111
0
+8）+1 则
44440000
+
888
1
×（4×
1000< br>


2004个4
20 04个0
2004个8
2004个1
2004个0
1
×［4×（< br>9999
+1）+8］+1 ＝
111


2 004个1
2004个9
1
×［4×（
9999
）+12］+1 ＝
111


2004个1
2
2004个9< br>1
）×36+12×
1111
+1 ＝（
111
 
2004个1
22
2004个1
1
）×6+2×（6×
1111
）+1 ＝（
111

2004个12004个1
学而思奥数网 Page 6 of 73



67
）＝（
66 6

2003个6
2
488889
＝
66667
②由①知
444



，于是数字和为(4n+8n一8+9)=12n +1=2005；
n个4
n-1个8
2
n-1个6
2
 488889
=
666
488889
.
67
于是 ，n=167，所以
444


 
，所以存在，并且为
444
167个4
166个8
166个6
167个4
166个8


2008个62008个3

10．计算
6666
×9×
3333
的乘积是多少?

【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；
66×9×33=19602；
666×9×333=1996002；
„„ „„
于是，猜想
6666
×9×
3333
=
1999


9600002


n个6n个3n1个9n-1个0

6666
×9×
3333
=
1999

96 00002


2008个62008个3 2007个92007个0
评注：我们与题l对比，发现题1为
6666
×9×3×
3333
使用递推的方法就有障

2008个6200 4个3
碍,
9999
=10—l这种方法适用面要广泛一点．

k
k个9
练习1．设N=
6666
×9×
7777
，则N的各位数字之和为多少?

2000个62007个7
练习2．乘积
9999
×
9999
的积是多少?各位数字之和又是多少?

1999个91999个9
练习3．试求
1111< br>×
1111
的各位数字之和是多少?

2008个12008个1


















学而思奥数网 Page 7 of 73

第2讲 计算综合（一）


繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可 以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，
其下视为分 母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将 带分数化
为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲 循环小数与分数]．


711
4
26
2
7
1．计算：
18
135
8
133
3416
71
23

723 17
【分析与解】原式=
46
2
12


4
14
88128
1312
33


2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有
1 9
顺序，如果分子与分母在
19
5
．于是，我们想到改变运算
95
后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；
9
如果 不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
学而思奥数网 Page 8 of 73

59
19(35.22)
1993 0.41.6
910
原式=
()

527
1995 0.51995
19(65.22)
950
5
191.32
1 9930.440.40.5
=
9
()

5
19 1.32
19950.419950.5
9
0.4
1199320. 4
)
=
1
=
1(
=
1

0.5
419950.5


3．计算：
1
1< br>1
1
1
1
1987

【分析与解】原式=
1
19861987
1
=
1
=
1987
39733973
1
1986


4． 计算：已知=
1
1+
2+
1
1
x+
1
4< br>
8
，则x等于多少?
11
【分析与解】方法一：
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

1
1
1
2
4
4x1

18x68


4x1
12x711
1
8x6
交叉相乘有88x+66=9 6x+56，x=1．25．
方法二：有
1
1
2
1
x 
1
4

13
113
182

1，所以
22
；所以
x
，那么
x
1.25 ．
1
3
42
88
3
x
4


5．求
4,43,443,...,44...43

这10个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：
学而思奥数网 Page 9 of 73

4+43+443...44...43


9个4
=
4(441)(4441)...(44...4

1)

10个4
=
444444...44...4

9
=
10个4
4
(999999...999...9)
 
9

9
10个9
=
4
[(101 )(1001)(10001)...(1000...01)]9

 
9
10个0
4
111.100

9=493 8271591
.
9

9个1
=

方法二：先计算这10个数的个位数字和为
39+4=31
；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为
36339
；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为
32335
；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为
28331
；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为
24327
；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为
20222
；
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为
16 218
；
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的 1，为
12113
；
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为
819
；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为
4
．
所以，这10个数的和为4938271591．


6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?

学而思奥数网 Page 10 of 73

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

3(
< br>1
3
17
0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6. 175=6

440

7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大 数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”
23155
)(< br>
0.4)
33384
表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9= 2.9△3.5=2.9．请计算：
1235
(

0.3)(

2.25)
3104
(0.625

【分析与解】原式
0 .625
155
384

5

155
2
7

25

1
838412256
2.25
3

8．规定（3） =2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，„．如果
那么 方框内应填的数是多少?
【分析与解】

111

(16)( 17)(17)
，
(
1617181
111(17)
1< br>.
)1
=
1516175
(16)(17)(17)( 16)

111111

中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?
24681012
111
1
1
1111

，所以, ,,的和为l，因此应去掉与. 【分析与解】 因为

246
12
8
106124
9．从和式


10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可 以组成许多个整数部分是一位的循环小数，
例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的 一个是多少?

学而思奥数网 Page 11 of 73

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能 大，则有92918„„较大，于是最大的为
9.291892915
．



11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有
114111111

，

，


6110
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
注意到
11ca11ca1

，当
acb
时，有．
abcbabcabcbabcac
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质 数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不
妨设a为2，那么有
2cb
，显 然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：


12．计算：
(1
【分析与解】
原式=
111

，c与c+2均为质数即可.
2(c2）c (c2)2c
111
）（1）...(1)

2233 1010
(21)(21)(31)(31)(101)(101)
 ...

22331010
13243546576 879810911
=
223344...1010
12334455...991011
=
223344 ...991010
121011
11
==.
221010
20


13．已知
a=
11 661267136814691570
100
.问a的整数部分是多少 ？
11651266136714681569
【分析与解】
11661267136814691570
100

11651266136714681569
11(651)12(66 1)13(671)14(681)15（691）
100
=
11651266136714681569
a=
学而思奥数网 Page 12 of 73

1112131415
）100

11651 266136714681569
1112131415
100. =
100
1165+1266136714681569
11121314151112131415100
100
＜
1 00
因为
1165+1266136714681569（1112 1314+15）6565
10035
101
. 所以
a
＜< br>100+
6565
11121314151112131415100
100
＞
100
同时
116512661367 14681569（11121314+15）6969
10031
＝101
. 所以a＞
100
6969
3135
综上有
101＜a＜
101
．所以a的整数部分为101．
6965
（1
=


1357991
...
与相比，哪个更大，为什么?
246810010
00
＝A
，
...＝B
， 【分析与解】方法一：令
...
24681003579101
001...＝
有
AB＝...
.
24681
14．问
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
111
1111
）
＝
，所以有A×A＜

，那么 A＜． ＜
1011010
100101010
13579911
即
...
与相比，更大．
24681001010
13579799

方法二：设
A＝...
，
246898100
11 33559999
2

则
A＝...

22 4466100100
1335577...979799991
= ，
2244668...969898100100
1335 579799991
1
2
显然、、、„、、都是小于1的，所以有A＜，于是A＜ .
2244669898100100
10
（＝
有A×A＜4×B

15．下面是两个1989位整数相乘：
111...11...11
 
111

．问：乘积的各位数字之和是多少?
1989个 11989个1
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为
111...11 ...11

能被9整除，所以将一个
111

1 989个11989个1
乘以9，另一个除以9，使原算式变成：
999......99< br>
123456790......012345679
 

1989个9共1988位数
学而思奥数网 Page 13 of 73

=
（1000......0012345 6790......012345679

1）


1989个0共1988位数
=
123456790.......... ..00

123456790......012345 679


共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790......456789876543209......98765432


共1988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345 678”和一个
“987654321”，所以各位数之和为：
（123456 79）220（98765432）220

（12345 678）（987654321）17901
+
评注：111111111÷9=12345679；
M×
999... 9

的数字和为9×k．(其中M≤
999...9

)． 可以利用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9


































学而思奥数网 Page 14 of 73

第3讲 计算综合（二）


本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．
1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；
2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：
1
2
2
2
3
2
n
2

1
6
n
n1



2n1


3．平方差公式：a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)．

1． 已知a=
1
,b
1
,
试比较a、b的大小. 2
1
2
1
3
1
3
1
< br>
1
99


1
99
1
10 0

【分析与解】
a
11
2
1
,b
2
1
,

3
1
3
1


1


1
98
1
A
98
1
B
其中A=99 ,B=99+
11
100
.
因为AA
>98+
1
B
，
97
1
97
1
, 96
1
96
1
,
98
1
A
98
1
B
97
11

98
1
97
1
A
98
B


2
11
3
1
2
3
1
,
所以有a < b．
4
1
4
1


1< br>

1
98
1
A
98
1
B


学而思奥数网 Page 15 of 73

2.试求
1
2
3< br>4


1
1
1
1
2005

1
1
3
1
1
1
1
4
 

1
1
2005
的和？
【分析与解】 记
x 
1
3
4

1
1
1
2005< br>,
则题目所要求的等式可写为：
111111x
,
而
1.

11
2 x
1
2x
1
2x2x
1x1x
所以原式的和 为1．
评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．


2． 试求1+2+3+4+„4+100的值?

【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．

方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+„ 97+ 98+ 99+ 100
100+ 99+ 98+ 97+ 96+„4+ 3+ 2+ 1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为
10l×100 ÷2=5050．

方法三：整数裂项(重点)，
原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+„+100×2)÷2
=

122 (31)3(42)4(53)100(10199)

2

=
(12231234234534100 10199100)2

=
1001012

=5050.


3． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+„+99×100．

【分析与解】方法一：整数裂项
原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3 +5×6×3+„+99×100×3)÷3
=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×( 5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+„+99×100×(101-98)]÷3

学而思奥数网 Page 16 of 73

(123234123345 234456345567456

99100 101
9899100)3
991001013
331011 00
3333100
333300.
方程二：利用平方差公式1+2+3+4+ „+n=
n
22222
2
n(n1)(2n1)
.

6
原式：1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+„+99+99
222222
=1+2+3+4+5+„+99+1+2+3+4+5+„+99
=
222222
9910019999100


62
=328350+4950
=333300．

5．计算下列式子的值：
0.1×0.3+0.2

0.4+0.3× 0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.8

10.0

【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行
计算 ．即先计算1×3+2

4+3×5+4

6+„+97

99+98×100。再除以100．
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法．
0.1×0.3+0.2

0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+ 9.8

10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+„+97×99+98×100)÷100
=[(l ×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+„+(97×98+97)+(98×99+ 98)]÷100
=[(1×2+2×3+3×4+4×5+„+97×98+98×99)+(1+ 2+3+4+„+97+98)]÷100
=(
11
×98×99×100+×98×99)÷100
32
=3234+48.51
=3282.51

方法二：可以使用平方差公式进行计算．
0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.8×10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+„+97×99+98×l00)÷100
222222
=(1-1+2-1+3-1+4-1+5-1+„+99-1)÷100
122222
=(1+2+3+4+5+„+99-99)÷100
=(
1
×99×100×199-99)÷100
6
=16.5×199-0.99
=16.5×200-16.5-0.99
=3282.51

评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算 与整数的计算是有联系的．下面简单介绍
一下整数裂项．
1×2+2×3+3×4+„+(n-1)×n
学而思奥数网 Page 17 of 73

1
×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+„+(n-1)×n×3] < br>3
1
=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+„+(n-1)× n[n+1-(n-2)]}
3
=
=




1

123231234342345
< br>

3

(n1)n(n2)(n1)n(n1 )

1
3
=
(n1)n(n1)



6.计算下列式子的值：
24(

111111
 

)(
2

2


)
23452021112
2
1
2
2
2

10
2
111111
,
可是再仔细一看，并没有什么效果，
23234545
【分析与解】 虽然很容易看出
因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式1+2+3+„+n=
2222
1
16
.
×n×(n+1) ×(2n+1)，于是我们又有
2
6
12
2
3
2
n
2
n(n1)(2n1)
减号前面括号里的式子有10项，减号 后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?
111111

 
)(
2

2


)

23452021112
2
1
2
2
2


10
2
111111


)6(

)

=
24(
2345202112 3235101112
111111


)24(< br>
)

=
24(
23452021243 465202221
24(
=
24

(
=24(
11111

1

)()
()


454652021202221

23243
111


)

24462022
111


)

=
6(
12231011
1
=
6(1)

11
60
=
11


7．计算下列式子的值：
学而思奥数网 Page 18 of 73

(1
111

 
)
2
(

)
2
(< br>
)
2
234512

1
(
 
)
2
(

)
2

 
()
2
(1

)
45198982

【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.
显然1
2
+1=2;
(1
1
2
)
2< br>(
1
2
)
2
(1
1
2
)4 ;
(1
1
2

1
3
)
2
(< br>1
2

1
3
)
2
(
1
3
)
2
(1
11
2

3
)6;

(1
1
2

1
3

1
4< br>)
2
(
1
2

1
3

1
4
)
2
(
1
3

1
4
)
2
(
1
4
)
2
(1
1
2

1
3

1
4
)8;
所以原式=198 012×2=396024．

习题
计算17×18+18×19+19×20+„+29×30的值．
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.
答案：(29×30×31- 16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.















学而思奥数网 Page 19 of 73

第4讲 比例和百分数



成本、利润、价格等基本经济术语，以及它们之间的关系．各种已知数据或所求结果中包含比 例与
百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算．


1．迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总 产量就超过计划
产量的16％．那么，原计划生产插秧机多少台?

【分析与解】 : 5040÷(1+16％-56％)=8400(台)．


2 ．圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多
少元?

【分析与解】:设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆 珠笔和21支铅笔的价格为
20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143：0 .5元．
所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)．


3．李大娘把 养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的
1
卖
4
给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50％.原来东、西两院一共养鸡多少只?

【分析与解】：方法一：设原来东西两院一 共养鸡
x
只，那么西院养鸡

x40

只．
依 题意：．

x40



1
1
3

11

1


40x
,解出
x280
.
43

2
即原来东、西两院一共养鸡280只．

方法二：50％即
1111
，东、西两院剩下的鸡等于东院的加上西院的，即20+西院原养鸡 数．
2222
学而思奥数网 Page 20 of 73

有东院剩下40只鸡，西院剩下原
1
115

的鸡．
4312
所以有西院原养鸡(40—20)÷



15< br>


=240只，即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只．

212


4．用一批纸装订一种练习本．如果已装订1 20本，剩下的纸是这批纸的40％；如果装订了185本，
则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少 张?
【分析与解】 方法一：装订120本，剩下40％的纸，即用了60％的纸．
那么装订185本，需用185×(60％÷120)=92．5％的纸，即剩下1-92．5 ％=7．5％的纸，为1350
张．
所以这批纸共有1350÷7．5％=18000张．

方法二：120本对应(1-40％=)60％的总量，那么总量为120÷60％=200本．
当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350÷ 15=90
张，那么200本需200×90=18000张．
即这批纸共有18000张．


5．有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人 数增加16人．那么现有男同
学多少人?
【分析与解】男生增加25人，女生减少5 ％，而总人数增加了16人，说明女生减少了25-16=9人，
那么女生原来有9÷5％=180人， 则男生有325-180=145人．
增加25人后为145+25=170人，所以现有男同学170人．


6．有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有
奶 糖多少块?
【分析与解】方法一：原来奶糖占
251
459

，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，

，后来占
1004
100 20
9

1)=20块. 也比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+(4
20
9
其中奶糖有20×=9块．
20

方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,
设奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份．
现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,
奶糖的份数不变，其 他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l份即
学而思奥数网 Page 21 of 73

1块．奶糖占9份，就是9块奶糖．

7．甲乙两包糖的重量比是4：l，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7： 5．那
么两包糖重量的总和是多少克?

【分析与解】两包糖数量的总数是

10


7

132

4
克.
1046

41756013


8．有若 干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中自子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，
而且拿走的 都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆?

【分析与解】 方法一：设有
x
堆棋子，每堆有棋子“1”．根据拿走黑子白子总数不变．
列方程得
x28




x
得7
x
= 8(
x
-


1
1

×32％，化简得2 8 =32(-)，两边同除以4，
xx

2
2

1)，解得
x
=4．
2
即共有棋子4堆．

方法二：注意到所有棋子中的白子个数前后不变，所以设白子数为“1”．
那么有： ．

1
18172525

，对应为堆；所以对应l堆．
2
785628
1825
2525

4
堆． 而开始共有棋子l+，所以共有
77
728
黑子变化了


9．幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班中男生数与女生数的比为5：3，中班
中 男生数与女生数的比为2：1，那么大班有女生多少名?

【分析与解】设大班女生有
x
名，则中班女生有(18-
x
)名．根据男生数可列出
学而思奥数网 Page 22 of 73

方程：
x
×
52
+ (18-
x
)×=32，解得
x
=12．
31
所以大班有女生12名．


10．某校四年级原有2个班 ，现在要重新编为3个班，将原一班的号与原二班的丢组成新一班，将原
一班的{与原二班的吉组成新二 班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10％，
那么原一班有多少人?

【分析与解】


有新三班的为原一、二班总人数的1-
所以原来两班总人数是：30÷
75

，为30人．
1212
5
=72(人)．
12
则新一班与新二班人数总和是72-30=42(人)．
现在再把新二班人数算作1份．
110


新一班人数=42

=22(人)，新二班人数=42-22=20(人)．
110


1
(原一班人数)-(原二班人数)=(22-20)÷


原一班人数=(72+24)÷2=48(人)．


11


=2×12=24(人)．
34


11．有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖．已知： ①第一包糖的粒数是第二包糖的
2
；
3
②在第一包糖中，奶糖占25％，在第 二包糖中，水果糖占50％；③巧克力糖在第一包糖中所占的百分
比是在第二包糖中所占的百分比的两倍 ．当两包糖合在一起时，巧克力糖占28％，那么水果糖所占百
分比等于多少?

【 分析与解】表述1：设第一包有2
a
粒糖，则第二包有3
a
粒糖，设第二包有 3
b
粒巧克力糖，则
第一包有4
b
粒巧克力糖．

学而思奥数网 Page 23 of 73

4b3bb5

28％，所以
×28％=20％．
2a3aa7
4b
于是第一包中，巧克力糖占 =40％，水果糖占1-40％-25％=35％．
2a
2a35

< br>3a50



44％． 在两包糖总粒数中，水果糖占
2a3a

表述2：设第一包糖总数为“2”，那么第 二包糖总数为“3”，并设第一包糖含有巧克力糖2c，第二包
糖含有巧克力糖c．

那么有2×2c+3×c=28％×(2+3)，有7c=140％，所以c=20％，那么有 如下所示的每种糖所占的百
分数．

所以水果糖占总数的(35％×2+50％×3)÷(2+3)=44％．


12．某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等：⑦甲校获一 等奖
的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数 总和
占两校获奖人数总和的20％；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50％；⑤甲校获二等奖的 人数
是乙校获二等奖人数的4.5倍．
那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?

【分析与解】 表述1：不妨设甲校有60人获奖，由①、②，乙校有50人获奖．
由③知两校获二等奖的共有(60+50)×20％=22人；
由⑤知甲校获二等奖的有22÷(4.5+1)×4.5=18人；
由④知甲校获一等奖的有60-60×50％-18=12人，
从而所求百分数等于12÷50×100％=24％．
表述2：
(这有一个“5”)
学而思奥数网 Page 24 of 73

1.2÷5×100％=24％，即乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的24％．


13．①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的 女生总
数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业 生中
男、女生人数比是多少?

【分析与解】表述1：由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1．
③知，四至九班的男生总数比七、八、九班总人数少1．
因此，一至九班的男生总数是二、三、七、八、九共五个班的人数，则女生总数
等于四个班的人数．
所以，男、女生之比是5：4．

表述2： ．


有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即为一至九班全体男生数，恰 为
“二、三班总人数”加上“四、五、六班总人数”，即为五个班总人数，则女生总数等于四个班的人数 ．
所以，男、女生之比是5：4．


14．某商品按原定价出售，每件 利润为成本的25％；后来按原定价的90％出售，结果每天售出的
件数比降价前增加了1．5倍．问后 来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?

【分析与解】设这种商品的成本 为“1”，共卖出商品“1”，则利润为25％，总利润为0．25，定价
为1．25．
那么按原定价的90％出售，即以1.25× 90％=1.125的价格出售，现在销售的件数比原来增加了1 .5
倍，利润为0.125×(1.5+1)=O.3125，而原来的总利润为O.25，现在增加了 0.3125一O.25=0.0625，
0.0625÷0.25：25％．
所以，后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了25％．

15．赢利百分数=
卖出价买入价
100



买入价
某电子产品去年按定价的80％出售，能获得20％的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价 的75％
学而思奥数网 Page 25 of 73

出售，却能获得25％的赢利．那么
今年买入 价
去年买入价
是多少?

【分析与解】 根据题中给出的公式知：
赢利百分数×买入价=卖出价一买入价
则买入价×(赢利百分数+1)=卖出价，
那么买入价=
卖出价
赢利百分数+1

今年买入价
今年卖出 价

1+25



定价75

< br>125


去年买入价
＝
去年卖入价

1+25
＝＝
9



定价80

< br>120


10


































学而思奥数网 Page 26 of 73

第5讲 比和比例


两个数相除又叫做两个数的比．
一、比和比例的性质
性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；
性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；
性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)
性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．
二、比和比例在行程问题中的体现
在行程问题中，因为有速度=
路程
，所以：
时间
当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；
当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；
当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．


1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．

【分析与解】
方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)= 2：1，x=17，所以A为136，B为85．
方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差 不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B
一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所 以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，
B为17×5=85．


2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的
5
再向前56千米处
11
所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早 了2小时．问北京西站、安庆西站
两地相距多少千米?

【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？
(
55
10
x +56)：x=60：120，即(x+56)：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232．
1111
11
即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，
< br>3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住< br>在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫
学而思奥数网 Page 27 of 73

的比率?

【分析与解】 如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个
单元及整座房屋中的宠 物情况和猫占宠物总数的比率．



4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中 公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，
公鸡、母鸡数量之比是1：3， 公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．

【分析与解】 公鸡占家禽场家禽总数的
=
15:(3
总数的
211246811
544)45:46:(3544)46:47.
，母鸡占
33 33458751310
3
；
10
4
833

，母鸭占总数的；
20
87 53420
21332342
（）（）
公鹅占总数的，母鹅占总数的 ，公鹅、母鹅数量之比
3210202032102020
32
：
：3： 2． 为
2020
公鸭占总数的


5．在古巴比伦的金字塔旁，其 朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶
梯的第3阶(箭头)．另外，此 时树立l根长70cm自杆子，其影子的长度为175cm，设阶梯各阶的高度
与深度都是50cm，求 柱子的高度为多少？

【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;
所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．

于是，影子的长度 为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m．

学而思奥数网 Page 28 of 73

6．已知三种混合物由三种成分A、B、C 组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成
分B和C，重量比为I：2；第三种只含 成分A和C，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能
使所得的混合物中A，B和C，这三种 成分的重量比为3：5：2 ?

【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混 合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，
先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到 3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种
混合物中A、B视为单一物质.
第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A为3，5倍第二种混合物
含 B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．
于是此时含有C为5×2+1.5 ×3=14.5，在最终混合物中C的含量为3A／5B含量的2倍．有
14.5÷2-1=6.25， 所以含有第一种混合物6.25．
即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．



7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作； 若将男工人数
和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、 女工各多少人?

【分析与解】 直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．
设开始男工为“1”，此时女工为“ k”，有1名男工相当k名女工．男工、女工人数对调以后，则
2
男工为“k”，相当于女工“ k”，女工为“I”．
6
．
5
1
于是，开始有男工数为×1100=500人，女工600人．
1k
有k：1=36：25，所以k=
2


8．有甲乙 两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零
分的时候两 钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开
始到这个时候 ，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?

【分析与解】 标准的时钟每隔
65
假设经历了x分钟．
5
分钟重合一次．
11
5246024605

分钟重合一次，甲钟重合了×x次；
11246052460
24605
同理，乙钟重合了×x次； 于是，需要乙钟比甲钟多重合
2460
10
2460524605
×x-×x=×x=10;
2460
24602460
于是，甲钟每隔
65
所以，x=24×60；
学而思奥数网 Page 29 of 73

5

5
11
65
5
天. 所以要经历24×60×65分钟，则为11
246011
510106
于是为65天
(24)10()< br>小时
(60)54
分钟．
11111111
246065


9．一队和二队两个施工队 的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作
量与条件完全相同的工程 ，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人
21
与二队工人组成新一
33
队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队
比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?

【分析与解】 一队与二队的工作效率之比为：(3×5)：(4×4)=15：16．
一队干前一个工程需9÷
1
=144天．
16
新一队与新二队的工作效率之比为：
2112
(3544):(3544)46:47.

3333
1
新一队干后一个工程需6÷=282天．
47
一队与新一队的工作效率之比为
21
15:(3544)45:46

33
46
所以一队干后一个工程需282×天．
45
前后两次工程 的工作量之比是144：(282×
46
)=(144×45)：(282×46)=540： 1081.
45











学而思奥数网 Page 30 of 73

第6讲 工程问题

多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转
化．


1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加 工，便需要12小时完成．现
在甲、乙两人共同生产了2
乙一共加工零件多少个?

2
小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问
51
1
1
－=.
8
12
24
211
8484
甲调出后，剩下工作乙需 做(8—2)×(÷)=(小时)，所以乙每小时加工零件420÷=25
5824
55
22
个，则2小时加工2×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．
55
【分析与解】乙单独加工，每小时加工


2．某工程 先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，需48天完
成．现在甲先 单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?

【分析与解】 由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20
天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．

所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天，
即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程．
现在甲先单独做42天，相 当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可
完成这项工程．

3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在 让3个队合修，但
中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙 两队又共同合修
了多少天才完成?

学而思奥数网 Page 31 of 73

【分析与解】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为
111
1
++=，那么它们6天完成的工程量为
101215
413
×6=，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1．
42
3111
1
所以－1=是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需÷ =5(天)才能完成的工程量，所以
222
10
2
甲队在6天内撤出了5天．
所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．


4．一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队
合做 若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?

【分析与解】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队
做2天．
即甲的工作效率是乙的
应是：
8÷(1+l+

22
，从而乙单独做12×=8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间
33
2
)＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．
3

5．抄一份书稿 ，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、
乙每天工作效率和的< br>
1
．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
5< br>1
，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量
8
1
1
之 和，因此甲两天抄写书稿的，即甲每天抄写书稿的；
8
16
1
1
由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的，即丙每天抄写书稿的；于是
8
4 8
11
11
可知乙每天抄写书稿的－－＝.
8
1648
24
1
所以乙一人单独抄写需要1÷=24天才能完成．
24
【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的


6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8
小时 注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少小时注满水池?

学而思奥数网 Page 32 of 73

113
-=,
82040
1311
丙管每小时注满水池的-=.
640120
11120
10
因此，单开丙管需要1÷==10(小时)．
12011
11
【分析与解】 乙管每小时注满水池的


7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙 、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12
天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【分析与解】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是
11
1
、、.
86
12
对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．
即
1
1
111
+－=，所以甲、丁合作的工作效率为．
8
12
62424
所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．


8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙 、甲两人合做18天完成．那
么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?

【分析与解】 方法一：对于工作效率有：
(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲) =2乙，即
为
11
113
+－=为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率89
1872
21
．
144
113
1
－＝
9144
48
而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为
那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷
1
=48天．
48
11
12121
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙 、丙)+(甲、丙)＝＋＋＝，所以(甲，乙，丙)=
89
187272
2121÷2＝，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为．
144144
211
1
那么丙单独工作的工作效率为－＝，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．
1448
48


9．某工程如果由第1、2、3小队合干 需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才
能完成；如果由第2、4、5小队合干需 要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完
成．那么这5个小队一起合干需要多少 天才能完成这项工程?

学而思奥数网 Page 33 of 73

【分析与解】 由已知条件可得，

对于工作效率有：
(1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．
所以5个小队一起合作时的工作效率为：
（
1111
1
＋＋2×＋）÷3＝
8426
12
7
所以5个小队合作需要6天完成这项工程.
评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.


10．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱
已满 ；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注
水量的 2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?

【分析与解】 设甲管注入18吨水所需 的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2
倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为 “O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为
27÷18×0.5=0.75.
以下采用两种方法：
方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：

因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”
=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水．
所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．
方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作
效率的
3
．
4
3
(2+丙)；所
4
再设甲单独灌水的工作效率为“1” ，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙=
以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的 工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，
那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．

11.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙 两管单独灌满水池
分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管 放水，需要6小时
将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问水 池中原有水多少
立方米?

【分析与解】 甲每小时注水100÷10=10(立方米)，
学而思奥数网 Page 34 of 73

乙每小时注水100÷15=
设排水管每小时排水量为“排”，
则(“排”－10－
20
(立方米)，
3
20
50
)×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3×=“排”－10,2“排”=40，
3
3
则“排”=20．
所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．


12．一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细 的进水管．当打开4个进水
管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注 满水池．现在需要在2小
时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?

【分析与解】 记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，
那么有：
1
1
， 2“进”－“排”=.
5
15
1
1211
所以有，2“进”=(－)=，那么“进”=，则“排”=.
5
15151515
4“进”－“排”=
题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有：
x“进”－“排”=
1
11
1
，即x－=，解得x=8.5
2
1515
2
所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满．


13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水， 单开甲管需要3小时，单开
丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时 ．现在池内有
1
池水．如
6
果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每 管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池?

【分析与解】 方法一：甲、 乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是
全池的
1111
70
－＋－=.
3456
6
最优情况为：在完整周期后的1小时 内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条
管子中最大的．
那么在最优情况下：完整周期只需注入1－
所需周期数为
111
－＝池水．
632
1
7030
2
÷＝＝4
27
67
113
77
＋×5=＋＝
6
60
6
12
4
那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水
学而思奥数网 Page 35 of 73

31113
＝池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有÷＝ (小时).
44434
33
所以，需5个完整周期即20小时，再加上小时，即20小时后水开始溢出．
44
1
方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的－
3
111
7
＋－= .
456
60
1
717
加上池内原有的水，池内有水：＋=.
6
6060
17745
再过四个4小时，也就是20小时后，池内有 水：＋×4=，在20小时后，只需要再灌水
606060
45
1
1－＝,水 就开始溢出．
60
4
113333
÷= (小时)，即再开甲管小 时，水开始溢出，所以20+=20(小时)后，水开始溢出水
434444
剩下l－
池．
方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内 灌进的水是全池的
1
－
3
111
7
＋－＝.
456
60
1
71743
＋=,有待注入；
6
606060
177
24
36
3
二个周期后，池内有水：＋=,即有先待注入；
6060
60
60
5
24
731
29
三个周期后，池内有水：＋＝，有待注入；
60
6060
60
31738
22
11
四个周期后，池内有水：＋＝，即有待注入；
606060
60
30
3874515
1
五个周期后，池内有水：＋＝，即有待注入．
60606060
4
1113
而此时，只需注入的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有÷= (小时)，即再开
4434
333
甲管小时，水开始溢出，所以20+＝20 (小时)后,水开始溢出水池．
444
一个周期后，池内有水：
评注：这道 题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时
又减少，所以不能 简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个
简单的问题，大家在 解完这道题就会知晓．
有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间?

14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的．当这个水池水满时，打 开A
管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空． 如果
打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间?

【分析与解】 设这个水池的容量是“1”
学而思奥数网 Page 36 of 73