小学奥数 列举法
抒情美文-给老师的祝福短信
列举法
解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列
举出来加以
分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举<
br>法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。
例1
一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）
解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。
*例2 从
A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种
走法？（适于三年级程度）
解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：A ① B ④
C
第二种走法：A ① B ⑤ C
第三种走法：A ② B ④ C
第四种走法：A ② B ⑤ C
第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3
9○13○7=100
14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分
别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），
并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都
成立。这时长方形中的数是几？（适于
四年级程度）
解：把+、-、×、÷四种运算符号填在
四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨
论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的
填法，就能使问题得到简捷的解
答。
先看第一个式子：9○13○7=100
如果
在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆
圈内仅填“+”、“-
”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”
号，也不能同时填“+”、
“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式
右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×
”
号，就会凑出100了。
9+13×7=100
再看第二个式子：14○2○5=□
上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和
“-”号了。如果在第一个圆
圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：
14÷2-5=2
即长方形中的数是2。
*例4
印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于
四年级程度）
解：（1）数码一共有10个：0、1、2„„8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一
位数的页有
9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码
是两位数的页
有90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页
用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩
下的1701个数码除以3时，商不足
600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑
是4位数了。往下要看1701个数码可以
排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）
答略。
*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一
个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法
围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）
解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加
以比较。因为长方形
的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：
表3-1
表3-
1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积
最大，第四种围法围出的
是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积
分别是：
35×5=175（平方厘米）
30×10=300（平方厘米）
25×15=375（平方厘米）
答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。
例6 如图3-2，有
三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、
三张，按任意次序排列起来，可以
得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都
写出来。（适于五年级程度）
解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；
任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中
13、
23和 31是质数；
三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都
是1+2+3=6，即它们都
是3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
*例7 在一条笔直的公
路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2
号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有
30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。
现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果
每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到
第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级
程度）
解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。
下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。
（1）如果运到3号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）
=100+100+400
=600（元）
（2）如果运到4号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10+10）+0.5×2
0×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10
=150+200+150+200
=700（元）
（3）如果运到5号粮站，所用费用是：
0.5×
10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）
=200+300+300
=800（元）
800＞700＞600
答：集中到第三号粮站所用运费最少。
*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个
5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，
问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）
解：（1）只拿出一种硬币的方法：
①全拿1分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）
②全拿2分的：
2+2+2+2+2=1（角）
③全拿5分的：
5+5=1（角）
只拿出一种硬币，有3种方法。
（2）只拿两种硬币的方法：
①拿8枚1分的，1枚2分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）
②拿6枚1分的，2枚2分的：
1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）
③拿4枚1分的，3枚2分的：
1+1+1+1+2+2+2=1（角）
④拿2枚1分的，4枚2分的：
1+1+2+2+2+2=1（角）
⑤拿5枚1分的，1枚5分的：
1+1+1+1+1+5=1（角）
只拿出两种硬币，有5种方法。
（3）拿三种硬币的方法：
①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：
1+1+1+2+5=1（角）
②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：
1+2+2+5=1（角）
拿出三种硬币，有2种方法。
共有：
3+5+2=10（种）
答：共有10种拿法。
*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比
赛一盘。到现在为
止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？（适于五
年级
程度）
解：作表3-2。
表3-2
甲已经赛了4盘，
就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强
相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数
，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，
在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛
了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上
√；丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条
件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁
赛，共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8
箱1千克重的，一
位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于
五年
级程度）
解：作表3-3列举发货方式。
表3-3
答：不开箱有7种发货方式。
*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停
在院子里。第一次陆续开走的
全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几
次时汽车全部开
走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）
解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。
表3-4
从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次
8号、24
号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
*例12 在甲、乙两个仓库存放
大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12
袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩
下大米的袋数相等？（适于五年级程度）
解：根据题意列表3-5。
表3-5
从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的
大米相
差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次
运走
后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8
（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。
40-32=8
32-24=8
24-16=8
„„
从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数
就减少8袋。由此可以
看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库
剩下大米
的袋数相等。
（90-50）÷（12-4）=5（次）
答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
*例13 有三组小朋友共72人，第一次从
第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；
第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；
第三次从第三组里把与第一组同样
多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原
来各组有多少个小朋友？（适于五年
级程度）
解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组
人数相等，都是72÷3=24（人）。在这
以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，
第一组应是24÷2=12（人），
第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；
在第二次第二组未把与第三组同
样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组
应为（24+18）=42（人），
第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数
并入第二组之前，第二
组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），
第三组应为18人。
这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。
表3-6
答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人
列举法
解应用题时，为了解题的方便，把问
题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以
分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种
分析、解决问题的方法叫做列举法。列举
法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。
例1
一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）
解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。
*例2 从
A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种
走法？（适于三年级程度）
解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：A ① B ④
C
第二种走法：A ① B ⑤ C
第三种走法：A ② B ④ C
第四种走法：A ② B ⑤ C
第五种走法：A ③ B ④ C
第六种走法：A ③ B ⑤ C
答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3
9○13○7=100
14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分
别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），
并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都
成立。这时长方形中的数是几？（适于
四年级程度）
解：把+、-、×、÷四种运算符号填在
四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨
论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的
填法，就能使问题得到简捷的解
答。
先看第一个式子：9○13○7=100
如果
在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆
圈内仅填“+”、“-
”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”
号，也不能同时填“+”、
“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式
右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×
”
号，就会凑出100了。
9+13×7=100
再看第二个式子：14○2○5=□
上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和
“-”号了。如果在第一个圆
圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：
14÷2-5=2
即长方形中的数是2。
*例4
印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于
四年级程度）
解：（1）数码一共有10个：0、1、2„„8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一
位数的页有
9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码
是两位数的页
有90页，用数码：
2×90=180（个）
（3）还剩下的数码：
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页
用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩
下的1701个数码除以3时，商不足
600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑
是4位数了。往下要看1701个数码可以
排多少页。
1701÷3=567（页）
（5）这本书的页数：
9+90+567=666（页）
答略。
*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一
个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法
围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）
解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加
以比较。因为长方形
的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：
表3-1
表3-
1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积
最大，第四种围法围出的
是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积
分别是：
35×5=175（平方厘米）
30×10=300（平方厘米）
25×15=375（平方厘米）
答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。
例6 如图3-2，有
三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、
三张，按任意次序排列起来，可以
得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都
写出来。（适于五年级程度）
解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；
任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中
13、
23和 31是质数；
三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都
是1+2+3=6，即它们都
是3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
*例7 在一条笔直的公
路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2
号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有
30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。
现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果
每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到
第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级
程度）
解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。
下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。
（1）如果运到3号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）
=100+100+400
=600（元）
（2）如果运到4号粮站，所用运费是：
0.5×10×（10+10+10）+0.5×2
0×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10
=150+200+150+200
=700（元）
（3）如果运到5号粮站，所用费用是：
0.5×
10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）
=200+300+300
=800（元）
800＞700＞600
答：集中到第三号粮站所用运费最少。
*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个
5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，
问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）
解：（1）只拿出一种硬币的方法：
①全拿1分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）
②全拿2分的：
2+2+2+2+2=1（角）
③全拿5分的：
5+5=1（角）
只拿出一种硬币，有3种方法。
（2）只拿两种硬币的方法：
①拿8枚1分的，1枚2分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）
②拿6枚1分的，2枚2分的：
1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）
③拿4枚1分的，3枚2分的：
1+1+1+1+2+2+2=1（角）
④拿2枚1分的，4枚2分的：
1+1+2+2+2+2=1（角）
⑤拿5枚1分的，1枚5分的：
1+1+1+1+1+5=1（角）
只拿出两种硬币，有5种方法。
（3）拿三种硬币的方法：
①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：
1+1+1+2+5=1（角）
②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：
1+2+2+5=1（角）
拿出三种硬币，有2种方法。
共有：
3+5+2=10（种）
答：共有10种拿法。
*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比
赛一盘。到现在为
止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？（适于五
年级
程度）
解：作表3-2。
表3-2
甲已经赛了4盘，
就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强
相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数
，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，
在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛
了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上
√；丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条
件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁
赛，共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8
箱1千克重的，一
位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于
五年
级程度）
解：作表3-3列举发货方式。
表3-3
答：不开箱有7种发货方式。
*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停
在院子里。第一次陆续开走的
全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几
次时汽车全部开
走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）
解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。
表3-4
从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次
8号、24
号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
*例12 在甲、乙两个仓库存放
大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12
袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩
下大米的袋数相等？（适于五年级程度）
解：根据题意列表3-5。
表3-5
从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的
大米相
差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次
运走
后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8
（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。
40-32=8
32-24=8
24-16=8
„„
从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数
就减少8袋。由此可以
看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库
剩下大米
的袋数相等。
（90-50）÷（12-4）=5（次）
答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
*例13 有三组小朋友共72人，第一次从
第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；
第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；
第三次从第三组里把与第一组同样
多的人数并入第一组。这时，三组的人数一样多。问原
来各组有多少个小朋友？（适于五年
级程度）
解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组
人数相等，都是72÷3=24（人）。在这
以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，
第一组应是24÷2=12（人），
第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；
在第二次第二组未把与第三组同
样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组
应为（24+18）=42（人），
第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数
并入第二组之前，第二
组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），
第三组应为18人。
这33人、21人、18人分别为第一、二、三组原有的人数，列表3-6。
表3-6
答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、 18人