鸡西市一中-就业工作总结

组合模块

很多人认为所谓组合就是排列组合，其实排列组合只是 组合模块中很小的
一部分内容。很多人说组合是考智力的，没有特定方法可循，灵感很重要。我不
否认这种看法，做组合题确实需要学生有更加活跃的思维，但是有许多方法和思
路还是可以总结出来的 ，在这里呢，我就以我个人的一点点经验，简单聊聊如何
备考组合模块。

首先，我们还是得先搞清楚，组合到底包括哪些内容。从大方向来说的话，
组合基本可以用三组词语概括 ：排列与组合、归纳与递推、构造与论证。除此之
外还有：枚举法、几何计数、加乘原理、容斥原理、抽 屉原理、概率等等。可以
看出来，内容还是挺多的，而且这里面每一块内容拿出来都可以讲个一整天。那
么备考杯赛的时候，我们需要注意些什么呢？


一、枚举法和几何计数
。
这是各大杯赛都常考的内容，而枚举法也可以算是计数问题 的万能解法（但未必
是最好的方法），不过，学生特别容易做错这类题目，因为计数问题本身就容易考虑不全面，容易数重或数漏。要想避免这种情况，务必注意做到以下两点：

1、分类。 分类的好处就是把大问题变成几个小问题，而且很可能你搞定了其中
一类，就可以发现一些规律，很快搞 定其他几类。那么怎么分类呢？具体情况具
体分析，总之，记住一点：抓住所要计算的东西的特点（属性 ）！比如几何图形
的大小、形状、方向等等。

2、有序。枚举的时候最怕杂乱无章， 想到一个算一个。最好是能像英文字典排
单词一样，有一个固定的顺序，比如说列举数字从小到大。这样 才不会乱，才能
轻松做到不重不漏。


二、加乘原理。

加乘原理本身并不难，最最关键的就是分清何时用加法，何时用乘法。一个原则：
类类相加，步步相乘。 说的通俗一点，如果做一件事既可以这么做又可以那么做，
用加法；如果做一件事必须先这么做，再那么 做，缺一不可，那么用乘法。


三、排列组合。

这一部分小学考 得并不多，但如果能熟练运用的话，可以“秒杀”一些题目，做
一些难题也是可以体现出不小的优势的。 当然，想学好这部分内容可不是一朝一
夕的事，这里有非常多的技巧，在这里我概括出如下6条解题技巧 ，最重要的是
找到题目特点，进而使用相应的解题方法：

1、元素相邻，捆绑为一；

2、元素不相邻，插空处理；

3、特殊优先，一般在后；

4、元素定序，只选不排；

5、相同元素分组，用隔板法；

6、正难则反，间接作答。

四、容斥原理。

基本的公式相信大家都会，但是很多同学做这类题目还是容易出错， 根据我的观
察和了解，这主要是不画图造成的，大多数学生只知道去代公式，其实画个“韦
恩图 ”（圈圈图）对解题会有很大帮助。总之，记住一点，解题的时候能画图就
画图，能在图上标数字就往上 标。


五、归纳与递推。

归纳说白了就是从简单情况入手，去 找规律，这是解题的一个简单省力的办法。
递推的技巧性就比较强了，举个最简单的例子：有10级台阶 ，一个人每次可以
跨1级或2级台阶，请问这个人有多少种不同方法上这10级台阶。枚举肯定可
以解这个题，但是这种题可以把10换成100甚至更大，枚举就不好用了，而且
可以猜测到，把10 换成11、12、„„，答案肯定有某种规律，所以同学们也可
以找规律。这种题往往就可以用递推来做 ，而规律呢就隐藏在不同的台阶数之间，
不妨去想想，上10级台阶和上9级台阶、上8级台阶的方法数 有没有什么关系。
归纳与递推常常出现的数列是斐波那契数列，同学们务必重视。


六、抽屉原理、构造与论证。

这类题目常常会问“能或不能”，不能就得说明原因， 能就得构造出来。论证不
能的方法或思路我这里介绍常用的4种：

1、 奇偶分析。就一句话：奇数不可能等于偶数。

2、 总量估计。打个比方，有人让你造个房子 ，问你能不能，你要说明不能，怎
么办，就告诉他，砖头不够。

3、 染色法。最常 用的染色方法就是黑白间隔染色，有时候需要条形染色，然后
去分析黑格和白格的数量关系。

4、 抽屉原理。很多同学分不清题目里什么对应抽屉，什么对应苹果，一般，论
证不能的题目 ，苹果数往往是大于抽屉数的，所以那个数量更多的往往就是“苹
果”。另外，可以注意题目里的问题， 例如“问能否够给出一种填法，使任意两
个“梯形数”均不相同？”题中问的这个“梯形数”就是相应的 “苹果”。

而如果是论证“能”，那么就需要构造＋论证，论证是要说明，最极端的情况只< br>能达到什么结果，构造就是要证明，那个结果是可以达到的，两者结合，才算完
美论证答案的可行 性和最优性。关于构造，就没有太多可讲的了，灵活性一般都
比较强，有时候也需要拼拼凑凑。

数论模块


数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往 比较少，所以很多同学
在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻< br>找突破口，走对方向。另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。但相
比组合而言，数论 至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战
略上藐视，战术上重视”，战略上要相信 ，考题所用的知识点绝对不会超出小学
知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应 对每一类题目。

我就不详细讲每一个知识点（确 实非常之多，关键在于平常积累），在
这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的 解题思路。


还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从
三个角度去分析它， 例如154：

（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个1 00，
5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；

（2）154＝2×7×11，分解质因数；

（3）154除以5余4，除以9余1 ，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和
余数；

以上三种角度分析一个数也映射 出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数
论问题的三种方式，三个突破口。下面我来详细讲讲每一 个角度。


一、位值原理和整除。

其实所有数字 的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映
出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头， 知道它们是怎么来的，这样就不
用背那么多知识点了。

言归正传，什 么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，
就不用多说了，举个最简单的例子：55□3 9能被11整除，请问□是几？这种题
就直接利用整除特性就
OK
了。考得比较多的， 比如这样的题目：“一个三位数
A
的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A
，这个三位数
A
是
多少？”题中提到了
X
位数或者提 到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用
位值原理。利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把 文字翻译成数学语言
（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。
这就是我常常对学生说的：不要对着题目干想，一定要动笔，尝试“翻译”题目。
借用薛威阳老师的 理念，就是“把思路放在纸上”。

二、分解质因数。

这也是约数、倍数、 质数、合数、平方数的核心。所以涉及到约倍质合及平方数
的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究 ，题目中如果有具体数字，不妨对
其进行质因数分解，从它的因子中寻找解题思路。如果题目中没有给定 具体数字，
而是让你求这个数，那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及
其个 数。这部分内容的知识点最多，同学们务必熟练掌握，否则一切都是空谈。


三、余数。

常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题 、“物
不知其数”，解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破
解方法。 下面我简单谈谈这四类问题：

1、 带余除法。

最关键就是理清被除数 、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定
小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。
2、 余数周期。

这其中又分为递推数列（给一串数，要求 第
X
个数除以某个数的余数）和次幂（求
一个数的
X
次方除以某个数 的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直
接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是 有周期的。

3、 同余问题。

很多人分不清同余问题和“物不知其数” 问题的区别。举个例子：“一个自然数
除429、791、500所得的余数分别是
a
＋5、2
a
、
a
，求这个自然数和
a
的值。”
这是 同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为
相同的数，然后两两做差求最 大公约数。

4、 “物不知其数”。

与同余问题对应的，举个例子：“ 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，
求这个数。”已知除数和余数，求被除数。接这种问题又 两个万能方法：逐级满
足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。
考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们
的和或差相同， 那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），
实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定 理。

最后我把小学数论里需要掌握的知识点列个简单的大纲，务必拿出来复< br>习一下，如果这些基础都没有，那上面的这些都是空谈，甚至都看不懂。

1、 奇偶性质；

2、 特殊数（2、5、3、9、11、13、„„）的整除特定和余数特性；

3、 质数、合数相关性质，判断一个数是质数或合数的方法，分解质因数；

4、 约数、倍数、最大公约数、最小公倍数的求法和相关性质，约数个数定理；

5、 完全平方数的性质；

6、 带余除法，弃九法，同余问题和“物不知其数”问题的几个处理方法。

几何模块


南京的学生几何普遍比较薄弱，归根究底，还是因 为没有系统地
去学习，好在国内杯赛的几何题难度普遍不算太高，出题规律也比较明
显。当然， 也有的杯赛中的几何体技巧性比较强，比如华杯赛，还有传
说中的日本奥赛。所以，在这里，我想系统地 来说说如何应对杯赛中的
几何题。


如果让我用几个词来总 结一下解小学几何题的关键，我给出这
三个词：模型、辅助线、变换。下面我把几何分成三块来具体谈一 谈。


一、直线型。

此类题目常 常是给出某一部分图形的面积或某些线段比例关系，
求另一部分图形面积或线段长度。而线段比例和面积 比例是可以相互转
化的，这也是解题的关键。那么转化要靠什么来实现呢？就是模型！直
线型图 形中的模型很多，我个人对它们分级如下：

初级：等积变换模型、一半模型；

中级：蝴蝶模型、鸟头模型、燕尾模型；

高级：金字塔模型、沙漏模型。

只有对这些模型足够熟悉，并在解题过程中善于观察、发现这
些模型，解题才 能更有思路。那么如何在图形中寻找这些模型呢？最关
键的还是抓住模型的核心，比如鸟头模型就需要去 寻找公角关系，金字
塔模型和沙漏模型就要寻找平行关系。

当然， 有的图形并不是很容易找到这些模型，这种情况往往就
需要我们去添加辅助线，将陌生的图形变为熟悉的 模型。

还有一些图形需要比较高级的变换技巧，比如：翻转、旋转、
对称。这就需要同学们有较好的动态思维。这里我和大家分享一条我做
题的小经验：题中若出现相等线 段（或中点）、直角，那么不妨尝试下
这三种变换技巧。



二、曲线型。

这类题目一般就是给出一个图形，让求阴影 部分的周长或面积，
这需要同学们对各种常见图形的周长、面积公式了如指掌。在此基础上，
我 总结了以下几个方法：

1、 直接求。如果所求图形就是我们熟悉的图形，并且知道所需数据，
那么就可以直接代公式求；

2、 间接求。如果阴影部分是我们陌生的图形，总的图形和白色部分
确实我们熟悉的图形， 那就可以用总面积去减白色部分面积；

3、 割补法。有时候前两个方法都不太好用，这时 候就可以想想，能
否将所求图形分割成几块我们熟悉的图形，或者补成我们熟悉的图形；

4、 差不变原理。有的题目求的不是某一块图形的面积，而是要求某
两块图形的面积的差， 根据差不变原理我们可以将这两块图形同时加上
或去掉一块同样面积的图形，从而变成我们擅长处理的图 形；

5、 翻转、旋转、对称。


三、立体几何。

较好的空间想象能力对解此类问题会有较大优势。当然，除此之外，还
有一些方法可以辅助自己 更好地解题：

1、 学会画图。一个好的图可以帮助我们更好地理解和处理题目。

2、 熟悉各种立体图形，会算它们的体积和表面积（了解它们的展开
图）；

3、 割补、旋转、翻转。和前面一样，一个目的：将陌生化为熟悉；

4、 化立体为平面。例如：三视图、切片法。相比之下，我们更擅长
处理平面图形；

5、 试着身临其境。不妨把自己想象成一只小蜜蜂，飞到立体图形旁
边甚至里面观察观察，这可以帮助自己锻 炼空间想象能力。

总之，做几何题需要同学们有一双 善于观察和发现的眼睛。不要
畏惧陌生的图形，它一定是由你熟悉的图形和模型组成的。事实上不只是几何题如此，很多数学难题只要经过分解，就会变成很多简单的小问
题，所以，试着把它们打回原 形，然后逐个击破吧！

介绍简单的立体图形展开图

立体几何 在小学奥数几何部分中占了一定的比例，其中书人大比
拼就曾经考过立体几何（03年大比拼的第7题） ，基本题型是求立体图
形的表面积和体积，但是立体图形的展开图也是立体几何的重要部分，
这 需要我们有一定的空间想象能力，在此简单介绍一下几种立体图形的
空间展开图以及一些知识点，希望对 大家有所帮助。附：华杯赛的立体
几何体汇总

一.正方体展开图

大家都知道正方体展开有六个小正方形，但是具体有多少种呢？
答案是11种

几种常见的不能折叠成正方体的图形：

（1）包含由五个正方形组连成的“五子连”、“七字形”和“凹字形”



（2）包含由四个正方形组连成的“田字形”

一.其他立体图形的展开图


（1）圆柱的展开图 上下底面为两个圆，侧面展开为长方形。


（2）圆锥的展开图 底面为圆，侧面展开为扇形


（2）棱柱的展开图 侧面展开为棱柱，底面为两个多边形

小练习：1.下面的图形经过折叠能否围成棱柱？


答案： （1）第一个，侧面数为4个，边数三条，两者不相等，所以不
行。

（2）第二个，两底面在侧面展开图的同一端，不在两端，所以
不行。


（3）第三个，可以。
小练习：2.如图，正方体的展开图，如果将其还原成正方体，那些点与
P点重合？

2011-9-29 12:44 上传

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答案：V、T两点


已知共有鸡和兔15只，共有40只脚，问鸡和兔各有几只.


算法：

1、假设鸡和兔训练有素

2、吹一声哨，它们抬起一只脚，(40-15=25)

3、再吹一声哨，它们又抬起一只脚，(25-15=10)

4、这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着

5、所以，兔子有102=5只，鸡有15-5=10只。

先以一道杯赛试题为例：

洋洋老师家养了鸡和兔子一共10只，洋洋老师数了一下， 一共26条腿，问鸡和
兔子各有多少只？

一、假设法

1、 抬腿法

假如洋洋老师家的鸡和兔子都训练有素，老师吹一声 哨，鸡和兔子就都抬起一条
腿，那么老师吹第一声哨的时候，地上应该还剩下多少条腿呢？

26-10＝16（条）

那老师吹第二声哨之后呢，（这时，鸡两脚就都离地了，所 以一屁股就坐地上了，
而兔子又抬起一条腿之后，每只兔子地上应该还有两条） 这时地上应该还剩下
多少条腿呢？

16-10＝6（条）

而这些腿都是兔子的，每只兔子还剩两条，那么兔子的只数就是6÷2＝3（只）

鸡的只数就是10-3＝7（只）


2、 拄拐法

这 次洋洋老师家的鸡变聪明了么，你不让我抬腿么，这次我买副拐，哼！
╭(╯^╰)╮你吹哨我就抬拐。 老师往上一看，还是10个头（鸡带着个兔子头的
面具），往下一看40条腿，见鬼了~老师想了想，小 样我还收拾不了你们了！我
喊1~2~3，鸡和兔子就都往前跑，一跑不要紧，鸡就把拐掉了

那我们来数一数地上有多少条拐呢，一共40条腿，其中26条是真腿，那地下就
应该有40- 26＝14（条），每只鸡买了两条拐，那么这些拐应该是14÷2＝7（只）
鸡买的，所以兔子就是1 0-7＝3（只）



其实抬腿法就是假设全部都是鸡，拄拐法就是假设全部都是兔子

假设全是鸡，那么应 该有2×10＝20条腿，实际上有26条腿，为什么少了6条
呢，那是因为我们把一部分兔子看成了鸡 ，每把一只兔子看成一只鸡，就少算两
条腿，所以一共把6÷2＝3（只）兔子看成了鸡，也就是有3只 兔子，鸡就是10-3
＝7（只）

假设全是兔子，那么应该有4×10＝40条腿， 实际上只有26条，为什么多了14
条呢，那是因为我们把一部分鸡看成了兔子，每把一只鸡看成一只兔 子，就多算
两条腿，所以一共把14÷2＝7（只）鸡看成了兔子，也就是有7只鸡，兔子就
是 10-7＝3（只）


既然可以假设头都是鸡或者兔子的头，那么是不是也可以假设 腿都是鸡
或者兔子的腿呢，我们来试一试

3、 假设腿都是鸡的腿
那么应该有26÷2＝13（只）鸡，而只有10只，每把兔子的腿看成鸡的腿，那
么就相当于把4 条腿看成了两只动物，其实只有1只，这样一共多算了3只，所
以就有3只兔子


4、 假设腿都是兔子的腿

那么应该有26÷4＝6„„2，余下 的两条腿是一只鸡，就应该是6只兔子1只鸡，
这样少了3只，为什么会少算呢，那是因为每把鸡的腿看 成兔子的腿，那么就相
当于把4条腿看成了一只动物，其实4条腿是两只鸡，我们算成了一只兔子，这< br>样就少算了一只动物，一共少算了3只，那就是把6只鸡看成了3只兔子，所以
兔子的只数就是6 -3＝3（只），或者直接求鸡的只数，6＋1=7（只） （这个＋1
不要忘记了）

这个假设腿的要好好想一想，比较绕


二、 砍足法


这个方法很残忍，O(∩_∩)O~

说把鸡和兔子的腿各砍掉一半（鸡砍掉1条，兔 子砍掉2条），那么还剩下多少
腿呢26÷2＝13（条） 10只动物为什么剩13条腿呢，因为每只 兔子剩2条，鸡
只剩1条，一共10只动物，每只残疾兔都多一条腿，那么兔子的只数显然就是
13-10=3（只），鸡10-3=7（只）


三、 面积法



每只鸡2条腿，每只兔子4条腿，如图，那么兔子腿的总数就是图中蓝色阴影的< br>面积，鸡腿的总数就是图中灰色阴影的面积，而兔子和鸡的腿的总数是26，也
就是两块阴影部分 面积是26，鸡和兔子一共10只，也就是大长方形的长是10，
宽又是4，面积就可以求10×4＝4 0，空白部分面积就可以求40-26＝14，空白
部分长方形的宽是2，那么长就是14÷2=7，也 就是鸡的只数是7，那么兔子的
只数就是10-7=3

四、 方程法


鸡

兔子

10-x

4×（10-x）

总数

10

26

头

x

腿

2×x

设鸡的头有x个，那么就可以表示出兔子的只数，进而 可以表示出鸡和兔子的腿
的条数，根据腿总数的等量关系，列出一元一次方程，简单就可以求解，得出< br>x=7

要解决多变量鸡兔同笼总共分两步——1、消元；2、假设

说得通俗一点就是——1、把多个变量变成两个变量；2、把两个变量变
成一个变量

那么我们以几个题目为例，讲解一下这类题目该如何
求解


例1． 有一堆硬币，面值为1分、2分、5分，共120枚，其中
5分硬币是2分硬币个数的2倍。已知这堆硬 币面值总和是3元，则5
分的硬币有多少个？





【分析】给了总枚数，给了总面值，跟最基本的 “鸡兔同笼”差不多——
给了总头数和总脚数，区别在什么地方呢，呃！这里是有三种东西了，
怎么办，我们只会解两种东西的“鸡兔同笼”，那我们就要想办法，把
三个变两个！注意有个条件还没用 到“5分硬币是2分硬币个数的2倍”，
这个倍数关系很好用，也就是说我们可以把2个5分的，1个2 分的归
为一组，这样肯定是恰好分完，1分的我们动不了，就想办法把5分和

2 分的变成一个，2个5分的，1个2分总面值是12分，这样就可以把
它们看成3个4分的（为什么不可 以看成4个3分的，或者其他的，这
是因为我们要保证硬币的枚数不变，否则，转化成两个变量的“鸡兔 同
笼”也无法求解，因为这样枚数就不知道了）

这样问题就变成了“有一堆硬币，面 值为1分、4分，共120枚，面值
总和是3元，每种硬币各有多少个？”

这样就变 成最简单的鸡兔同笼问题了吧！很容易求出4分的是60枚，
这样5分的就应该是60÷3×2=40（ 枚）（注：三枚4分的硬币需要2
枚5分硬币和1枚2分硬币）


【总结】“倍数”关系很好用，要学会如何转化



例2． 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄
角20只．已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊 有4只脚，2只犄角，孔
雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？


【分析 】这道题有三种不同的动物混合在一起，还是无法应用假设法求
解，我们可以观察一下：虽然有三种不同 的动物，但是犀牛和羚羊都是
4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分
开，也就是说我们需要做两次 “鸡兔同笼”．

假设26只都是孔雀，那么就有脚：26×2=52（只）， 比实际的少：80-52=28
（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚< br>羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4-2=2（只）．所以，孔雀有26-28÷2=12
（只 ），犀牛和羚羊总共有26-12=14（只）．

假设14只都是犀牛，那么就有犄角：14 ×1=14（只），比实际的少：
20-14=6（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加 羚羊．每
增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：2-1=1（只），所以，
羚羊的只 数：6÷1=6（只），犀牛的只数：14-6=8（只）．


【总结】这道题出现 了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三
种动物化为两类，先使用“鸡兔同笼”问题的解法把另 外特殊的一种区
分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物．



例3． 有2角、5角、1元的硬币人民币共20张，共计12元，
问三种面值的人民币各多少张？ {:soso__111474853_3:}
（一小-4B-鹏妈提供）


【分析】条件比例1少了，没有倍数关系了，怎么转化啊，当然可以枚
举，孩子们都习惯这种方法，但 是我们能不能优化一下呢，把范围尽可
能地缩小，否则全部枚举出来，不知道要做多久了。


注意观察题目中数的特点，5和10都是5的倍数，而总面值12元（120
角）也 是5的倍数，那么2角的张数也一定是5的倍数，2角的必须有，

那么2角可以是5张、 10张（再多了就符合题意了，假设2角15张，
剩下5张全是1元的，都不够12元；20张更不可能 了）然后我们再进
行讨论：

① 2角5张时，题目可以变为“5角、1元的硬币人民币共15张，共
计11元”

又是最简单的鸡兔同笼了，很容易得到，5角8张，1元7张

② 2角10张时，题目可以变为“5角、1元的硬币人民币共10张，
共计10元”

这 样也变成简单的“鸡兔同笼”问题了，但是这种情况全部是1元的了，
没有5角的，可以排除（题目的意 思是三种面值的人民币都存在）

综上，2角5张，5角8张，1元7张


例4． 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数，
有25题, 或者16题，或者20题。那么,其中考25题的有多少次 ？ （Z
A妈妈提供）


【分析】16和20都是偶数，而总题数426也是偶数，这样考25题的
次数也一 定是偶数，这样根据25题考的次数的情况就可以分类讨论了

① 如果25题考了0次， 那剩下的就可以应用鸡兔同笼去解了，没有
整数解（如果考25题的情况一定出现，这种情况其实不用考 虑，直接
排除就可以了）

② 如果25题考了2次，那么剩下2 2次就是16题和20题的，又变成
了最基本的“鸡兔同笼”问题了，可以解出来 16题的16次，20题的
6次，这种情况成立。

③ 如果25题考了4次，也 是无整数解；以后的情况，确定考25题的
次数后，从16题的情况来考虑，全部考16题，都已经超过 剩余题量了，
所以其他的情况都不符合了。

综上，考25题的有2次。{:soso__636968343_2:}


【总结】例3、例4这类题目给的条件比较少，孩子会无从下手，注意
抓住其中一个与另外两个的差别 ，尽可能地缩小讨论范围，然后转化成
最基本的“鸡兔同笼”求解。



附带三道练习题：

1、 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条， 翅膀20对
（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种
动物各有多少 只？


2、 （2009年数学解题能力展示读者评选活动4年级初赛试题）一些
奇异的动物在草坪上聚会． 有独脚 兽(1个头、1只脚)、双头龙(2个头、
4只脚)、三脚猫(1个头、3只脚)和四脚蛇(1个头、4 只脚)． 如果草坪
上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量
的2倍． 那么，有多少只独脚兽参加聚会？

3、 有一堆硬币，面值为1 分、3分、5分，共100枚，其中5分硬币
和3分硬币个数一样多。已知这堆硬币面值总和是2元8角 ，则三种硬
币各有多少个？

时钟问题知识点说明

时钟问题可以看 做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，
不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括
时钟的快慢，时钟的周 期，时钟上时针与分针所成的角度等等。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路 程的度量方
式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少
角度”或者“ 每分钟走多少小格”。

对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，
每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度

时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度

但是在许多时钟问题中，往往我 们会遇到各种“怪钟”，或者是
“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，
这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

下面我们将时钟问题分为两类：


时针和分针的角度问题：

解这类问题的关键在于判断题目中的分针和时针是在做什么运动，
追及或者相遇.


1、现在是4点，至少再经过多少分钟，时针与分针重合？

解析：




2、2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？

解析：

3、现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线
上？

解析：




4、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？


解析：

5、小红在9点与10点之间开始解一 道数学题，当时时针和分针正
好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？

解析：




6、一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、
分针的位置正好与 开始时时针、分针的位置交换了一下。这部动画片放
映了多长时间？

解析：

7、钟面上4点几分时，时针与分针到“5”的距离相等，并且在“5”
的两旁？

解析：




8、钟面上3点几分钟时，时针与分针到“3”的距离相等？

解析：



“怪钟”问题

这类问题又可分为两小类：

一类是坏钟，就是说这个钟比正常的走得快或者走得慢，处理这

类问题经常用到的方法是 比例.

另一类是不准的钟，这类钟没有坏，只是指的时间不对.

做题的时候注意抓住不变量——钟虽然不准，但是走过的时
间却是和正常的钟一样的。


1、一个快钟每小时比标准时间快2分钟，一个慢钟每小时比标准时间
慢3分钟。

若将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，
慢钟显示 8点整，求此时的标准时间是多少？

解析：
由条件可知快钟每小时比慢钟快2+3=5分钟，
现在快钟比慢钟显示的时间超前1小时，
所以必定经过的时间是60÷5=12小时，
又因为12小时的时间快钟快了2×12=24分钟，
所以此时此刻的标准时间应该是8点36分。
此题也可根据快钟和标准钟时间差与慢 钟与标准钟时间差的比例为2:3来
做，这样一下便可推出标准时间是8点36分.
2、某钟 表在8月28日零点比标准时间慢4分半，它一直走到9月4日
上午7时，比标准时间快3分，

那么这只钟表所指时间正好是标准时间的的时刻是几月几日几时？

解析：
这只钟表在24×7+7=175小时内一共多走了4.5+3=7.5分钟，
如果它多走的时间是4分半，那么此时此刻这只表指示的是标准时间，
也就是经过4.5÷7.5×175=105小时，即4天9小时，也就是说正 确
的时刻是9月1日上午9时。

3、一旧时钟，时针和分针每隔66分钟重合 一次，如早9点将钟对准，
到第二天早晨时针再次指向9点时，实际是几点几分？

解析：




4、小明上午 8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6点10分就停
了，

他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10
分。

中午12点放学，小明回到家一看钟才11点整。如果小明上学、下学在
路上用的时间相同，那么，他家 的闹钟停了多少分？

解析：
根据题意可知，小明从上学到放学一共经过的时间是29 0分钟（11点减
去6点10分），
在校时间为250分钟（8点到12点，再加上提前到的10分钟），
所以上下学共经过290-250=40（分钟），
即从家到学校需要20分钟，
所以从家出来的时间为7：30（8：00-10分-20分）
即他家的闹钟停了1小时20分钟，即80分钟。

5、星期天早晨，冬冬发现闹钟因电池能量耗尽停了。

他换上新电池，估计了一下时 间，把闹钟的时间调到8:00。然后冬冬离
家前往天文馆。

他到达天文馆时，看到天文馆的标准始终显示的时间是9:15。

一个半小时后，冬 冬从天文馆出发以同样的速度回家，到家时看到闹钟
显示的时间是11:20，

这时冬冬应该把闹钟调到几点几分时间才是准确的？
解析：
冬冬从出门到回到家里所用时间是3小时20分钟，

所以冬冬从家里到天文台所用时间是1小时50分钟的一半，也就是55
分钟，

所以冬冬回家以后应该把时间调整到11点40分钟才是准确的时间.
牛吃草问题简介：


“一堆草可供10头牛吃4天，那么这堆草可供8头牛吃几天？”

这个问题很简单，因为草的总量没有变，所以可以得到10×4÷8=5（天）。

但 是，若问题中的“一堆草”改成“一片正在生长的草地”，问题就没
有这么简单了，因为草的总量是在变 化的。

像这类工作总量不固定但匀速增长的问题称为牛吃草问题。


举个例子：

牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9
周。那么它可供21头牛吃几周？

这类问题最早出现在英 国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中，
所以被后人称为“牛顿问题”，或“牛吃草”问题。< br>

问题分析：


解答这类问题，困难在于草的总量在变， 它每天、每周都在均匀地生长，
时间越长，草的总量越多。

草的总量可以分成两个部分：（1）原有的草量；（2）某段时间内新生
长的草量。

因此，必须设法找出这两个量来。

下面就以上面的题目为例进行分析。请看下图：



从上面的线段 图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量
多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了 求出一周新生长的草量，
就要进行转化。

我们假设1头牛1周吃掉的草量为1个单位，则：

27头牛6周吃掉的草量为27×6=162个单位；

23头牛9周吃掉的草量为23×9=207个单位。

这样一来，就 可以知道每周生长的草量为：（207-162）÷（9-6）=15
个单位。

进而 ，我们可以知道，原有草量为：27×6-15×6=72个单位（参考示意
图）。

最后，我们来解决题目中提出的问题，这片草可供21头牛吃几周？

解决这个问题相 当于把21头牛分成两部分：一部分看成专吃原有的草，
另一部分专吃新生长的草。

但是新生长的草只能维持15头牛每周的吃草量，而且可以保持平衡。

故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草。

所以这片草够吃72÷6=12（周），也就是说这片草可供21头牛吃12
周。


“牛吃草”问题解题步骤


通过上面的分析，我们可以把牛吃草问题的解题步骤归纳为一下几步：

（1）设定1头牛1天（或1周，看题目而定）吃草量为1个单位；

（2）草的生长速度=（对应牛的头数×较多的天数- 对应牛的头数×较
少的天数）÷（较多的天数-较少的天数）；

（3）原有草量=对应牛的头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；

（4）吃的天数=原有草量÷（牛的头数-草的生长速度）。


练习

（解析见 奥数专题——“牛吃草”问题四）

1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20
天，或可供15头牛吃1 0天，那么可供25头牛吃多少天？


2、一块长满草的牧场，草每天都在匀速生长 ，这块牧场可供8头牛吃
30天，或可供40只羊吃20天，如果1头牛每天吃草量是羊每天吃的4倍，那么21头牛和12只羊一起吃，可以吃多少天？
现在介绍牛吃草问题的方程解法：


依然用原来的例题作为例子：
牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛 吃6周，或供23头牛
吃9周。那么它可供21头牛吃几周？

核心思路
将它想象成一个非常理想化的数学模型：

假设27头牛中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的
草，并且把它们吃完”

这样一来草场相当于不长草，永远维持原来的草量

而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃
完。

（请慢慢理解，这是关键）



解:设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X
均为此意）

可供27头牛吃6天，列式:（27－X）·6 注：（27－X）头牛6天把
草场吃完
可供23头牛吃9天，列式:（23－X）·9 注：（23－X）头牛9天把
草场吃完
可供21头牛吃几天？列式：（21－X）·Y 注：（21－X）头牛Y天把草
场吃完
因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面3
个式子：
（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y
即（27－X）·6＝（23－X）·9 【1】
（23－X）·9＝（21－X）·Y 【2】
解这个方程组，得 X＝15（头） Y＝12（天）


练习
（请用方程解法做以下习题。解析请见 奥数专题——“牛吃草”问题四）

1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃
20天，或可供15头牛 吃10天，那么可供25头牛吃多少天？


2、一块长满草的牧场，草每天都在匀速 生长，这块牧场可供8头牛吃
30天，或可供40只羊吃20天，如果1头牛每天吃草量是羊每天吃的4
倍，那么21头牛和12只羊一起吃，可以吃多少天？

点评：

我们到现在一共介绍了解决牛吃草问题的两种方法，其实两种方法在本

质上是相同的，只 是形式上有些不同。

相比之下，（一）中的算术解法步骤较多，但计算比较简单；（二）中的
方程解法步骤较少，但需要解方程。

同学们可以根据自己的做题习惯和喜好去选用解题方法。
“牛吃草”问题变型

以下几道题目都是“牛吃草”的变型，其实都是换汤不换药

只要弄清楚题目中的对应“牛”和“草”，解题方法和经典牛吃草问题无异。


（抽水问题）

现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机
10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需
多少台同样的抽水机来 抽水？

解析：原有水量相当于原有草量，新匀速注入的水相当于每天新长出得
草量。

设1台抽水机1天抽1个单位的水；

每天新流入水量：（20×6-10×8）÷（20-10）=4；

原有水量：20×6-20×4=40；

若要5天抽干水，需要40÷5+4=9（台）

有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水 机24小时可将水抽完，
用9台抽水机12小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时
间将水漏完？

提示：原有水量相当于原有草量，流出的水相当于每天新长出得草量，
只是这个“草”是在减少的。

（排队问题）
画展9点开 门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分
钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点 9分就不再有人排队；如
果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？

解析：设每一个入场口每分钟通过份人，摘录条件，将它们转化为
如下形式方便分析

3个入场口 9分钟 3×9＝27 ：原有人＋9分钟来的人

5个入场口 5分钟 5×5＝25 ：原有人＋5分钟来的人

从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝ 2，即1分钟来的人＝0.5；
那么原有的人：27－9×0.5＝22.5；

这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分）。第一个观众到达的时
间为9点－45分=8点 15分.


（电梯问题）
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急 的孩子要从扶梯上
楼．已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩
用了 5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少
级？

解析：总楼梯数即总草量，梯数是在匀速减少的

可以算出，电梯每分钟行驶的梯数是：（20×5-15×6）÷（6-5）=10
（级）

所以5分钟行驶了50级，加上男孩自己走的5×20=100级，就是

扶梯总共的梯级数，即150级.


（人口问题）

假 设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源
可供110亿人生活90年，或供9 0亿人生活210年。为了使人类能够不
断繁衍，地球上最多养活多少人？

提示：资源就相当于“草”，人相当于“牛”


（行程问题）
< br>有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个
骑车人。这三辆车分別用6 小时、10小时、12小时追上骑车人。現在
知道快车每小时走24千米，中速車每小时走20千米，那 么，慢速車每
小時走多少千米？

提示：汽车和骑车人的原有距离相当于原草量，骑车人的速度相当于草
增长的速度
比较复杂的“牛吃草”问题


1、一片牧场南面一块2000平方米的牧场 上长满牧草，牧草每天都在匀
速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在这< br>片牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，6天中可供多少头牛吃草？

分析：本题的 关键是要弄清楚不同面积的草场，原有草量的关系，和每
天长草量的关系，进而实现转换。

解答：设１头牛１天的吃草量为１，摘录条件，将它们转化为如下形
式方便分析

18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然减少的草量

27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然减少的草量
从上易发现：2000平方米的牧场上16－8＝ 8天生长草量＝288－216
＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9；

那 么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9
＝144。

则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；

原有草量：144×（6000÷2000）＝432.

6天里，共草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）
牛吃6天



2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且
长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头
牛吃45天，问第三块地可供 多少头牛吃80天？

分析：解题关键仍是不同面积的草地之间原有草量和每日长草量的关系
转换。

解答：解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，

则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60；每亩45天的总草量为：
28×45÷15=84< br>
那么每亩每天的新生长草量为(84-60)÷(45-30)=1.6每亩 原有草量为
60-1.6×30=12

那么24亩原有草量为12 ×24=288，24亩80天新长草量为

24×1.6×80=3072，24亩80 天共有草量3072+288=3360

所以需要336080=42(头)。

解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，

根据28头牛45天 吃15亩，可以推出15亩每天新长草量
(28×45-30×30)÷(45-30)=24；

15亩原有草量：1260-24×45=180；

15亩80天所需牛180÷80+24(头)

24亩需牛：(180÷80+24)×(24÷15)=42头。


3、某牧场上 长满牧草，每天匀速生长，这片牧草供17头牛吃30天，
19头牛吃24天，现有一群牛吃了6天，主 人卖掉了4头牛，余下的牛
吃了两天后刚好把草吃完，问这群牛原有几头?
解答：设1头牛1天吃的草量为1；

那么每天长草量为：（17×30-19×24）÷（30-24）=9；

原有草量：17×30-9×30=240；

假设现有一群牛X头，吃了6天后卖掉4头，又吃了两天把草吃
玩

那么易算出，这群牛共吃了8天的草，总量为：240+8×9=312.

可以列出方程：6×X+2×（X-4）=312.得X=40.

即这群牛原有40头.

奥数专题——“牛吃草”问题（一）和（二） 练习题答案

1、牧场上长满牧草，每 天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃
20天，或可供15头牛吃10天，那么可供25头牛吃多 少天？
解析：

算术方法：设1头牛1天吃草量为1，则：

每天长草量：（10×20-15×10）÷（20-10）=5
原有草量：10×20-5×20=100
可供25头牛吃：100÷（25-5）=5（天）
方程方法：设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,25头牛可吃Y天
那么可知：（10-X）·20=（15-X）·10=（25-X）·Y
解得：X=5，Y=5
即可供25头牛吃5天。

2、一块 长满草的牧场，草每天都在匀速生长，这块牧场可供8头牛吃
30天，或可供40只羊吃20天，如果1 头牛每天吃草量是羊每天吃的4
倍，那么21头牛和12只羊一起吃，可以吃多少天？

解析：将羊转化为牛，统一为牛来解。

设1头牛1天吃草1份。40÷4=10（头）21+12÷4=24（头）
算术方法：每天长草量：（8×30-10×20）÷（30-20）=4

原有草量：8×30-4×30=120

所以24头牛可以吃120÷（24-4）=6（天）

即21头牛和12只羊一起吃，可以吃6天。

方程方法：设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,24头牛可吃Y天

那么可知：（8-X）·30=（10-X）·20=（24-X）·Y

解得：X=4，Y=6

即21头牛和12只羊一起吃，可以吃6天。

组合模块

很多人认为所谓组合就是排列组合，其实排列组合只是组合模块中很小的
一部分内容。很多人说组合是考 智力的，没有特定方法可循，灵感很重要。我不
否认这种看法，做组合题确实需要学生有更加活跃的思维 ，但是有许多方法和思
路还是可以总结出来的，在这里呢，我就以我个人的一点点经验，简单聊聊如何< br>备考组合模块。

首先，我们还是得先搞清楚，组合到底包括哪些内容。从 大方向来说的话，
组合基本可以用三组词语概括：排列与组合、归纳与递推、构造与论证。除此之
外还有：枚举法、几何计数、加乘原理、容斥原理、抽屉原理、概率等等。可以
看出来，内容还是挺多 的，而且这里面每一块内容拿出来都可以讲个一整天。那
么备考杯赛的时候，我们需要注意些什么呢？< br>

一、枚举法和几何计数
。
这是各大杯赛都常考的内容，而枚举法 也可以算是计数问题的万能解法（但未必
是最好的方法），不过，学生特别容易做错这类题目，因为计数 问题本身就容易
考虑不全面，容易数重或数漏。要想避免这种情况，务必注意做到以下两点：

1、分类。分类的好处就是把大问题变成几个小问题，而且很可能你搞定了其中
一类，就可以发 现一些规律，很快搞定其他几类。那么怎么分类呢？具体情况具
体分析，总之，记住一点：抓住所要计算 的东西的特点（属性）！比如几何图形
的大小、形状、方向等等。

2、有序。枚举的 时候最怕杂乱无章，想到一个算一个。最好是能像英文字典排
单词一样，有一个固定的顺序，比如说列举 数字从小到大。这样才不会乱，才能
轻松做到不重不漏。


二、加乘原理。

加乘原理本身并不难，最最关键的就是分清何时用加法，何时用乘法 。一个原则：
类类相加，步步相乘。说的通俗一点，如果做一件事既可以这么做又可以那么做，
用加法；如果做一件事必须先这么做，再那么做，缺一不可，那么用乘法。


三、排列组合。

这一部分小学考得并不多，但如果能熟练运用的话，可以“秒杀”一 些题目，做
一些难题也是可以体现出不小的优势的。当然，想学好这部分内容可不是一朝一
夕的 事，这里有非常多的技巧，在这里我概括出如下6条解题技巧，最重要的是
找到题目特点，进而使用相应 的解题方法：

1、元素相邻，捆绑为一；

2、元素不相邻，插空处理；

3、特殊优先，一般在后；

4、元素定序，只选不排；

5、相同元素分组，用隔板法；

6、正难则反，间接作答。

四、容斥原理。

基本的公式相信大家都会，但是很多同学 做这类题目还是容易出错，根据我的观
察和了解，这主要是不画图造成的，大多数学生只知道去代公式， 其实画个“韦
恩图”（圈圈图）对解题会有很大帮助。总之，记住一点，解题的时候能画图就
画 图，能在图上标数字就往上标。


五、归纳与递推。

归纳说白 了就是从简单情况入手，去找规律，这是解题的一个简单省力的办法。
递推的技巧性就比较强了，举个最 简单的例子：有10级台阶，一个人每次可以
跨1级或2级台阶，请问这个人有多少种不同方法上这10 级台阶。枚举肯定可
以解这个题，但是这种题可以把10换成100甚至更大，枚举就不好用了，而且< br>可以猜测到，把10换成11、12、„„，答案肯定有某种规律，所以同学们也可
以找规律。这 种题往往就可以用递推来做，而规律呢就隐藏在不同的台阶数之间，
不妨去想想，上10级台阶和上9级 台阶、上8级台阶的方法数有没有什么关系。
归纳与递推常常出现的数列是斐波那契数列，同学们务必重 视。


六、抽屉原理、构造与论证。

这类题目常常会问“能或不 能”，不能就得说明原因，能就得构造出来。论证不
能的方法或思路我这里介绍常用的4种：

1、 奇偶分析。就一句话：奇数不可能等于偶数。

2、 总量估计。打个比方，有 人让你造个房子，问你能不能，你要说明不能，怎
么办，就告诉他，砖头不够。

3、 染色法。最常用的染色方法就是黑白间隔染色，有时候需要条形染色，然后
去分析黑格和白格的数量关系 。

4、 抽屉原理。很多同学分不清题目里什么对应抽屉，什么对应苹果，一般，论
证不能的题目，苹果数往往是大于抽屉数的，所以那个数量更多的往往就是“苹
果”。另外，可以注意题 目里的问题，例如“问能否够给出一种填法，使任意两
个“梯形数”均不相同？”题中问的这个“梯形数 ”就是相应的“苹果”。

而如果是论证“能”，那么就需要构造＋论证，论证是要说明，最极 端的情况只
能达到什么结果，构造就是要证明，那个结果是可以达到的，两者结合，才算完
美论 证答案的可行性和最优性。关于构造，就没有太多可讲的了，灵活性一般都
比较强，有时候也需要拼拼凑 凑。

数论模块


数论题的特点就是简洁明了，信 息量看起来往往比较少，所以很多同学
在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要 的一点就是寻
找突破口，走对方向。另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。但相
比 组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战
略上藐视，战术上重视” ，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学
知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下 战术——如何应对每一类题目。

我就不详细讲每 一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在
这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如 何找到数论题的解题思路。


还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从
三个角度去分析它， 例如154：

（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个1 00，
5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；

（2）154＝2×7×11，分解质因数；

（3）154除以5余4，除以9余1 ，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和
余数；

以上三种角度分析一个数也映射 出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数
论问题的三种方式，三个突破口。下面我来详细讲讲每一 个角度。


一、位值原理和整除。

其实所有数字 的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映
出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头， 知道它们是怎么来的，这样就不
用背那么多知识点了。

言归正传，什 么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，
就不用多说了，举个最简单的例子：55□3 9能被11整除，请问□是几？这种题
就直接利用整除特性就
OK
了。考得比较多的， 比如这样的题目：“一个三位数
A
的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A
，这个三位数
A
是
多少？”题中提到了
X
位数或者提 到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用
位值原理。利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把 文字翻译成数学语言
（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。
这就是我常常对学生说的：不要对着题目干想，一定要动笔，尝试“翻译”题目。
借用薛威阳老师的 理念，就是“把思路放在纸上”。

二、分解质因数。

这也是约数、倍数、 质数、合数、平方数的核心。所以涉及到约倍质合及平方数
的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究 ，题目中如果有具体数字，不妨对
其进行质因数分解，从它的因子中寻找解题思路。如果题目中没有给定 具体数字，
而是让你求这个数，那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及
其个 数。这部分内容的知识点最多，同学们务必熟练掌握，否则一切都是空谈。


三、余数。

常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题 、“物
不知其数”，解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破
解方法。 下面我简单谈谈这四类问题：

1、 带余除法。

最关键就是理清被除数 、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定
小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。
2、 余数周期。

这其中又分为递推数列（给一串数，要求 第
X
个数除以某个数的余数）和次幂（求
一个数的
X
次方除以某个数 的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直
接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是 有周期的。

3、 同余问题。

很多人分不清同余问题和“物不知其数” 问题的区别。举个例子：“一个自然数
除429、791、500所得的余数分别是
a
＋5、2
a
、
a
，求这个自然数和
a
的值。”
这是 同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为
相同的数，然后两两做差求最 大公约数。

4、 “物不知其数”。

与同余问题对应的，举个例子：“ 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，
求这个数。”已知除数和余数，求被除数。接这种问题又 两个万能方法：逐级满
足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。
考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们
的和或差相同， 那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），
实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定 理。

最后我把小学数论里需要掌握的知识点列个简单的大纲，务必拿出来复< br>习一下，如果这些基础都没有，那上面的这些都是空谈，甚至都看不懂。

1、 奇偶性质；

2、 特殊数（2、5、3、9、11、13、„„）的整除特定和余数特性；

3、 质数、合数相关性质，判断一个数是质数或合数的方法，分解质因数；

4、 约数、倍数、最大公约数、最小公倍数的求法和相关性质，约数个数定理；

5、 完全平方数的性质；

6、 带余除法，弃九法，同余问题和“物不知其数”问题的几个处理方法。

几何模块


南京的学生几何普遍比较薄弱，归根究底，还是因 为没有系统地
去学习，好在国内杯赛的几何题难度普遍不算太高，出题规律也比较明
显。当然， 也有的杯赛中的几何体技巧性比较强，比如华杯赛，还有传
说中的日本奥赛。所以，在这里，我想系统地 来说说如何应对杯赛中的
几何题。


如果让我用几个词来总 结一下解小学几何题的关键，我给出这
三个词：模型、辅助线、变换。下面我把几何分成三块来具体谈一 谈。


一、直线型。

此类题目常 常是给出某一部分图形的面积或某些线段比例关系，
求另一部分图形面积或线段长度。而线段比例和面积 比例是可以相互转
化的，这也是解题的关键。那么转化要靠什么来实现呢？就是模型！直
线型图 形中的模型很多，我个人对它们分级如下：

初级：等积变换模型、一半模型；

中级：蝴蝶模型、鸟头模型、燕尾模型；

高级：金字塔模型、沙漏模型。

只有对这些模型足够熟悉，并在解题过程中善于观察、发现这
些模型，解题才 能更有思路。那么如何在图形中寻找这些模型呢？最关
键的还是抓住模型的核心，比如鸟头模型就需要去 寻找公角关系，金字
塔模型和沙漏模型就要寻找平行关系。

当然， 有的图形并不是很容易找到这些模型，这种情况往往就
需要我们去添加辅助线，将陌生的图形变为熟悉的 模型。

还有一些图形需要比较高级的变换技巧，比如：翻转、旋转、
对称。这就需要同学们有较好的动态思维。这里我和大家分享一条我做
题的小经验：题中若出现相等线 段（或中点）、直角，那么不妨尝试下
这三种变换技巧。



二、曲线型。

这类题目一般就是给出一个图形，让求阴影 部分的周长或面积，
这需要同学们对各种常见图形的周长、面积公式了如指掌。在此基础上，
我 总结了以下几个方法：

1、 直接求。如果所求图形就是我们熟悉的图形，并且知道所需数据，
那么就可以直接代公式求；

2、 间接求。如果阴影部分是我们陌生的图形，总的图形和白色部分
确实我们熟悉的图形， 那就可以用总面积去减白色部分面积；

3、 割补法。有时候前两个方法都不太好用，这时 候就可以想想，能
否将所求图形分割成几块我们熟悉的图形，或者补成我们熟悉的图形；

4、 差不变原理。有的题目求的不是某一块图形的面积，而是要求某
两块图形的面积的差， 根据差不变原理我们可以将这两块图形同时加上
或去掉一块同样面积的图形，从而变成我们擅长处理的图 形；

5、 翻转、旋转、对称。


三、立体几何。

较好的空间想象能力对解此类问题会有较大优势。当然，除此之外，还
有一些方法可以辅助自己 更好地解题：

1、 学会画图。一个好的图可以帮助我们更好地理解和处理题目。

2、 熟悉各种立体图形，会算它们的体积和表面积（了解它们的展开
图）；

3、 割补、旋转、翻转。和前面一样，一个目的：将陌生化为熟悉；

4、 化立体为平面。例如：三视图、切片法。相比之下，我们更擅长
处理平面图形；

5、 试着身临其境。不妨把自己想象成一只小蜜蜂，飞到立体图形旁
边甚至里面观察观察，这可以帮助自己锻 炼空间想象能力。

总之，做几何题需要同学们有一双 善于观察和发现的眼睛。不要
畏惧陌生的图形，它一定是由你熟悉的图形和模型组成的。事实上不只是几何题如此，很多数学难题只要经过分解，就会变成很多简单的小问
题，所以，试着把它们打回原 形，然后逐个击破吧！

介绍简单的立体图形展开图

立体几何 在小学奥数几何部分中占了一定的比例，其中书人大比
拼就曾经考过立体几何（03年大比拼的第7题） ，基本题型是求立体图
形的表面积和体积，但是立体图形的展开图也是立体几何的重要部分，
这 需要我们有一定的空间想象能力，在此简单介绍一下几种立体图形的
空间展开图以及一些知识点，希望对 大家有所帮助。附：华杯赛的立体
几何体汇总

一.正方体展开图

大家都知道正方体展开有六个小正方形，但是具体有多少种呢？
答案是11种

几种常见的不能折叠成正方体的图形：

（1）包含由五个正方形组连成的“五子连”、“七字形”和“凹字形”



（2）包含由四个正方形组连成的“田字形”

一.其他立体图形的展开图


（1）圆柱的展开图 上下底面为两个圆，侧面展开为长方形。


（2）圆锥的展开图 底面为圆，侧面展开为扇形


（2）棱柱的展开图 侧面展开为棱柱，底面为两个多边形

小练习：1.下面的图形经过折叠能否围成棱柱？


答案： （1）第一个，侧面数为4个，边数三条，两者不相等，所以不
行。

（2）第二个，两底面在侧面展开图的同一端，不在两端，所以
不行。


（3）第三个，可以。
小练习：2.如图，正方体的展开图，如果将其还原成正方体，那些点与
P点重合？

2011-9-29 12:44 上传

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答案：V、T两点


已知共有鸡和兔15只，共有40只脚，问鸡和兔各有几只.


算法：

1、假设鸡和兔训练有素

2、吹一声哨，它们抬起一只脚，(40-15=25)

3、再吹一声哨，它们又抬起一只脚，(25-15=10)

4、这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着

5、所以，兔子有102=5只，鸡有15-5=10只。

先以一道杯赛试题为例：

洋洋老师家养了鸡和兔子一共10只，洋洋老师数了一下， 一共26条腿，问鸡和
兔子各有多少只？

一、假设法

1、 抬腿法

假如洋洋老师家的鸡和兔子都训练有素，老师吹一声 哨，鸡和兔子就都抬起一条
腿，那么老师吹第一声哨的时候，地上应该还剩下多少条腿呢？

26-10＝16（条）

那老师吹第二声哨之后呢，（这时，鸡两脚就都离地了，所 以一屁股就坐地上了，
而兔子又抬起一条腿之后，每只兔子地上应该还有两条） 这时地上应该还剩下
多少条腿呢？

16-10＝6（条）

而这些腿都是兔子的，每只兔子还剩两条，那么兔子的只数就是6÷2＝3（只）

鸡的只数就是10-3＝7（只）


2、 拄拐法

这 次洋洋老师家的鸡变聪明了么，你不让我抬腿么，这次我买副拐，哼！
╭(╯^╰)╮你吹哨我就抬拐。 老师往上一看，还是10个头（鸡带着个兔子头的
面具），往下一看40条腿，见鬼了~老师想了想，小 样我还收拾不了你们了！我
喊1~2~3，鸡和兔子就都往前跑，一跑不要紧，鸡就把拐掉了

那我们来数一数地上有多少条拐呢，一共40条腿，其中26条是真腿，那地下就
应该有40- 26＝14（条），每只鸡买了两条拐，那么这些拐应该是14÷2＝7（只）
鸡买的，所以兔子就是1 0-7＝3（只）



其实抬腿法就是假设全部都是鸡，拄拐法就是假设全部都是兔子

假设全是鸡，那么应 该有2×10＝20条腿，实际上有26条腿，为什么少了6条
呢，那是因为我们把一部分兔子看成了鸡 ，每把一只兔子看成一只鸡，就少算两
条腿，所以一共把6÷2＝3（只）兔子看成了鸡，也就是有3只 兔子，鸡就是10-3
＝7（只）

假设全是兔子，那么应该有4×10＝40条腿， 实际上只有26条，为什么多了14
条呢，那是因为我们把一部分鸡看成了兔子，每把一只鸡看成一只兔 子，就多算
两条腿，所以一共把14÷2＝7（只）鸡看成了兔子，也就是有7只鸡，兔子就
是 10-7＝3（只）


既然可以假设头都是鸡或者兔子的头，那么是不是也可以假设 腿都是鸡
或者兔子的腿呢，我们来试一试

3、 假设腿都是鸡的腿
那么应该有26÷2＝13（只）鸡，而只有10只，每把兔子的腿看成鸡的腿，那
么就相当于把4 条腿看成了两只动物，其实只有1只，这样一共多算了3只，所
以就有3只兔子


4、 假设腿都是兔子的腿

那么应该有26÷4＝6„„2，余下 的两条腿是一只鸡，就应该是6只兔子1只鸡，
这样少了3只，为什么会少算呢，那是因为每把鸡的腿看 成兔子的腿，那么就相
当于把4条腿看成了一只动物，其实4条腿是两只鸡，我们算成了一只兔子，这< br>样就少算了一只动物，一共少算了3只，那就是把6只鸡看成了3只兔子，所以
兔子的只数就是6 -3＝3（只），或者直接求鸡的只数，6＋1=7（只） （这个＋1
不要忘记了）

这个假设腿的要好好想一想，比较绕


二、 砍足法


这个方法很残忍，O(∩_∩)O~

说把鸡和兔子的腿各砍掉一半（鸡砍掉1条，兔 子砍掉2条），那么还剩下多少
腿呢26÷2＝13（条） 10只动物为什么剩13条腿呢，因为每只 兔子剩2条，鸡
只剩1条，一共10只动物，每只残疾兔都多一条腿，那么兔子的只数显然就是
13-10=3（只），鸡10-3=7（只）


三、 面积法



每只鸡2条腿，每只兔子4条腿，如图，那么兔子腿的总数就是图中蓝色阴影的< br>面积，鸡腿的总数就是图中灰色阴影的面积，而兔子和鸡的腿的总数是26，也
就是两块阴影部分 面积是26，鸡和兔子一共10只，也就是大长方形的长是10，
宽又是4，面积就可以求10×4＝4 0，空白部分面积就可以求40-26＝14，空白
部分长方形的宽是2，那么长就是14÷2=7，也 就是鸡的只数是7，那么兔子的
只数就是10-7=3

四、 方程法


鸡

兔子

10-x

4×（10-x）

总数

10

26

头

x

腿

2×x

设鸡的头有x个，那么就可以表示出兔子的只数，进而 可以表示出鸡和兔子的腿
的条数，根据腿总数的等量关系，列出一元一次方程，简单就可以求解，得出< br>x=7

要解决多变量鸡兔同笼总共分两步——1、消元；2、假设

说得通俗一点就是——1、把多个变量变成两个变量；2、把两个变量变
成一个变量

那么我们以几个题目为例，讲解一下这类题目该如何
求解


例1． 有一堆硬币，面值为1分、2分、5分，共120枚，其中
5分硬币是2分硬币个数的2倍。已知这堆硬 币面值总和是3元，则5
分的硬币有多少个？





【分析】给了总枚数，给了总面值，跟最基本的 “鸡兔同笼”差不多——
给了总头数和总脚数，区别在什么地方呢，呃！这里是有三种东西了，
怎么办，我们只会解两种东西的“鸡兔同笼”，那我们就要想办法，把
三个变两个！注意有个条件还没用 到“5分硬币是2分硬币个数的2倍”，
这个倍数关系很好用，也就是说我们可以把2个5分的，1个2 分的归
为一组，这样肯定是恰好分完，1分的我们动不了，就想办法把5分和

2 分的变成一个，2个5分的，1个2分总面值是12分，这样就可以把
它们看成3个4分的（为什么不可 以看成4个3分的，或者其他的，这
是因为我们要保证硬币的枚数不变，否则，转化成两个变量的“鸡兔 同
笼”也无法求解，因为这样枚数就不知道了）

这样问题就变成了“有一堆硬币，面 值为1分、4分，共120枚，面值
总和是3元，每种硬币各有多少个？”

这样就变 成最简单的鸡兔同笼问题了吧！很容易求出4分的是60枚，
这样5分的就应该是60÷3×2=40（ 枚）（注：三枚4分的硬币需要2
枚5分硬币和1枚2分硬币）


【总结】“倍数”关系很好用，要学会如何转化



例2． 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄
角20只．已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊 有4只脚，2只犄角，孔
雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？


【分析 】这道题有三种不同的动物混合在一起，还是无法应用假设法求
解，我们可以观察一下：虽然有三种不同 的动物，但是犀牛和羚羊都是
4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分
开，也就是说我们需要做两次 “鸡兔同笼”．

假设26只都是孔雀，那么就有脚：26×2=52（只）， 比实际的少：80-52=28
（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚< br>羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4-2=2（只）．所以，孔雀有26-28÷2=12
（只 ），犀牛和羚羊总共有26-12=14（只）．

假设14只都是犀牛，那么就有犄角：14 ×1=14（只），比实际的少：
20-14=6（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加 羚羊．每
增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：2-1=1（只），所以，
羚羊的只 数：6÷1=6（只），犀牛的只数：14-6=8（只）．


【总结】这道题出现 了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三
种动物化为两类，先使用“鸡兔同笼”问题的解法把另 外特殊的一种区
分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物．



例3． 有2角、5角、1元的硬币人民币共20张，共计12元，
问三种面值的人民币各多少张？ {:soso__111474853_3:}
（一小-4B-鹏妈提供）


【分析】条件比例1少了，没有倍数关系了，怎么转化啊，当然可以枚
举，孩子们都习惯这种方法，但 是我们能不能优化一下呢，把范围尽可
能地缩小，否则全部枚举出来，不知道要做多久了。


注意观察题目中数的特点，5和10都是5的倍数，而总面值12元（120
角）也 是5的倍数，那么2角的张数也一定是5的倍数，2角的必须有，

那么2角可以是5张、 10张（再多了就符合题意了，假设2角15张，
剩下5张全是1元的，都不够12元；20张更不可能 了）然后我们再进
行讨论：

① 2角5张时，题目可以变为“5角、1元的硬币人民币共15张，共
计11元”

又是最简单的鸡兔同笼了，很容易得到，5角8张，1元7张

② 2角10张时，题目可以变为“5角、1元的硬币人民币共10张，
共计10元”

这 样也变成简单的“鸡兔同笼”问题了，但是这种情况全部是1元的了，
没有5角的，可以排除（题目的意 思是三种面值的人民币都存在）

综上，2角5张，5角8张，1元7张


例4． 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数，
有25题, 或者16题，或者20题。那么,其中考25题的有多少次 ？ （Z
A妈妈提供）


【分析】16和20都是偶数，而总题数426也是偶数，这样考25题的
次数也一 定是偶数，这样根据25题考的次数的情况就可以分类讨论了

① 如果25题考了0次， 那剩下的就可以应用鸡兔同笼去解了，没有
整数解（如果考25题的情况一定出现，这种情况其实不用考 虑，直接
排除就可以了）

② 如果25题考了2次，那么剩下2 2次就是16题和20题的，又变成
了最基本的“鸡兔同笼”问题了，可以解出来 16题的16次，20题的
6次，这种情况成立。

③ 如果25题考了4次，也 是无整数解；以后的情况，确定考25题的
次数后，从16题的情况来考虑，全部考16题，都已经超过 剩余题量了，
所以其他的情况都不符合了。

综上，考25题的有2次。{:soso__636968343_2:}


【总结】例3、例4这类题目给的条件比较少，孩子会无从下手，注意
抓住其中一个与另外两个的差别 ，尽可能地缩小讨论范围，然后转化成
最基本的“鸡兔同笼”求解。



附带三道练习题：

1、 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条， 翅膀20对
（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种
动物各有多少 只？


2、 （2009年数学解题能力展示读者评选活动4年级初赛试题）一些
奇异的动物在草坪上聚会． 有独脚 兽(1个头、1只脚)、双头龙(2个头、
4只脚)、三脚猫(1个头、3只脚)和四脚蛇(1个头、4 只脚)． 如果草坪
上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量
的2倍． 那么，有多少只独脚兽参加聚会？

3、 有一堆硬币，面值为1 分、3分、5分，共100枚，其中5分硬币
和3分硬币个数一样多。已知这堆硬币面值总和是2元8角 ，则三种硬
币各有多少个？

时钟问题知识点说明

时钟问题可以看 做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，
不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括
时钟的快慢，时钟的周 期，时钟上时针与分针所成的角度等等。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路 程的度量方
式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少
角度”或者“ 每分钟走多少小格”。

对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，
每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度

时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度

但是在许多时钟问题中，往往我 们会遇到各种“怪钟”，或者是
“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，
这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。

下面我们将时钟问题分为两类：


时针和分针的角度问题：

解这类问题的关键在于判断题目中的分针和时针是在做什么运动，
追及或者相遇.


1、现在是4点，至少再经过多少分钟，时针与分针重合？

解析：




2、2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？

解析：

3、现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线
上？

解析：




4、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？


解析：

5、小红在9点与10点之间开始解一 道数学题，当时时针和分针正
好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？

解析：




6、一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、
分针的位置正好与 开始时时针、分针的位置交换了一下。这部动画片放
映了多长时间？

解析：

7、钟面上4点几分时，时针与分针到“5”的距离相等，并且在“5”
的两旁？

解析：




8、钟面上3点几分钟时，时针与分针到“3”的距离相等？

解析：



“怪钟”问题

这类问题又可分为两小类：

一类是坏钟，就是说这个钟比正常的走得快或者走得慢，处理这

类问题经常用到的方法是 比例.

另一类是不准的钟，这类钟没有坏，只是指的时间不对.

做题的时候注意抓住不变量——钟虽然不准，但是走过的时
间却是和正常的钟一样的。


1、一个快钟每小时比标准时间快2分钟，一个慢钟每小时比标准时间
慢3分钟。

若将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，
慢钟显示 8点整，求此时的标准时间是多少？

解析：
由条件可知快钟每小时比慢钟快2+3=5分钟，
现在快钟比慢钟显示的时间超前1小时，
所以必定经过的时间是60÷5=12小时，
又因为12小时的时间快钟快了2×12=24分钟，
所以此时此刻的标准时间应该是8点36分。
此题也可根据快钟和标准钟时间差与慢 钟与标准钟时间差的比例为2:3来
做，这样一下便可推出标准时间是8点36分.
2、某钟 表在8月28日零点比标准时间慢4分半，它一直走到9月4日
上午7时，比标准时间快3分，

那么这只钟表所指时间正好是标准时间的的时刻是几月几日几时？

解析：
这只钟表在24×7+7=175小时内一共多走了4.5+3=7.5分钟，
如果它多走的时间是4分半，那么此时此刻这只表指示的是标准时间，
也就是经过4.5÷7.5×175=105小时，即4天9小时，也就是说正 确
的时刻是9月1日上午9时。

3、一旧时钟，时针和分针每隔66分钟重合 一次，如早9点将钟对准，
到第二天早晨时针再次指向9点时，实际是几点几分？

解析：




4、小明上午 8点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 6点10分就停
了，

他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10
分。

中午12点放学，小明回到家一看钟才11点整。如果小明上学、下学在
路上用的时间相同，那么，他家 的闹钟停了多少分？

解析：
根据题意可知，小明从上学到放学一共经过的时间是29 0分钟（11点减
去6点10分），
在校时间为250分钟（8点到12点，再加上提前到的10分钟），
所以上下学共经过290-250=40（分钟），
即从家到学校需要20分钟，
所以从家出来的时间为7：30（8：00-10分-20分）
即他家的闹钟停了1小时20分钟，即80分钟。

5、星期天早晨，冬冬发现闹钟因电池能量耗尽停了。

他换上新电池，估计了一下时 间，把闹钟的时间调到8:00。然后冬冬离
家前往天文馆。

他到达天文馆时，看到天文馆的标准始终显示的时间是9:15。

一个半小时后，冬 冬从天文馆出发以同样的速度回家，到家时看到闹钟
显示的时间是11:20，

这时冬冬应该把闹钟调到几点几分时间才是准确的？
解析：
冬冬从出门到回到家里所用时间是3小时20分钟，

所以冬冬从家里到天文台所用时间是1小时50分钟的一半，也就是55
分钟，

所以冬冬回家以后应该把时间调整到11点40分钟才是准确的时间.
牛吃草问题简介：


“一堆草可供10头牛吃4天，那么这堆草可供8头牛吃几天？”

这个问题很简单，因为草的总量没有变，所以可以得到10×4÷8=5（天）。

但 是，若问题中的“一堆草”改成“一片正在生长的草地”，问题就没
有这么简单了，因为草的总量是在变 化的。

像这类工作总量不固定但匀速增长的问题称为牛吃草问题。


举个例子：

牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9
周。那么它可供21头牛吃几周？

这类问题最早出现在英 国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中，
所以被后人称为“牛顿问题”，或“牛吃草”问题。< br>

问题分析：


解答这类问题，困难在于草的总量在变， 它每天、每周都在均匀地生长，
时间越长，草的总量越多。

草的总量可以分成两个部分：（1）原有的草量；（2）某段时间内新生
长的草量。

因此，必须设法找出这两个量来。

下面就以上面的题目为例进行分析。请看下图：



从上面的线段 图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量
多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了 求出一周新生长的草量，
就要进行转化。

我们假设1头牛1周吃掉的草量为1个单位，则：

27头牛6周吃掉的草量为27×6=162个单位；

23头牛9周吃掉的草量为23×9=207个单位。

这样一来，就 可以知道每周生长的草量为：（207-162）÷（9-6）=15
个单位。

进而 ，我们可以知道，原有草量为：27×6-15×6=72个单位（参考示意
图）。

最后，我们来解决题目中提出的问题，这片草可供21头牛吃几周？

解决这个问题相 当于把21头牛分成两部分：一部分看成专吃原有的草，
另一部分专吃新生长的草。

但是新生长的草只能维持15头牛每周的吃草量，而且可以保持平衡。

故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草。

所以这片草够吃72÷6=12（周），也就是说这片草可供21头牛吃12
周。


“牛吃草”问题解题步骤


通过上面的分析，我们可以把牛吃草问题的解题步骤归纳为一下几步：

（1）设定1头牛1天（或1周，看题目而定）吃草量为1个单位；

（2）草的生长速度=（对应牛的头数×较多的天数- 对应牛的头数×较
少的天数）÷（较多的天数-较少的天数）；

（3）原有草量=对应牛的头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；

（4）吃的天数=原有草量÷（牛的头数-草的生长速度）。


练习

（解析见 奥数专题——“牛吃草”问题四）

1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20
天，或可供15头牛吃1 0天，那么可供25头牛吃多少天？


2、一块长满草的牧场，草每天都在匀速生长 ，这块牧场可供8头牛吃
30天，或可供40只羊吃20天，如果1头牛每天吃草量是羊每天吃的4倍，那么21头牛和12只羊一起吃，可以吃多少天？
现在介绍牛吃草问题的方程解法：


依然用原来的例题作为例子：
牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛 吃6周，或供23头牛
吃9周。那么它可供21头牛吃几周？

核心思路
将它想象成一个非常理想化的数学模型：

假设27头牛中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的
草，并且把它们吃完”

这样一来草场相当于不长草，永远维持原来的草量

而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃
完。

（请慢慢理解，这是关键）



解:设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X
均为此意）

可供27头牛吃6天，列式:（27－X）·6 注：（27－X）头牛6天把
草场吃完
可供23头牛吃9天，列式:（23－X）·9 注：（23－X）头牛9天把
草场吃完
可供21头牛吃几天？列式：（21－X）·Y 注：（21－X）头牛Y天把草
场吃完
因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面3
个式子：
（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y
即（27－X）·6＝（23－X）·9 【1】
（23－X）·9＝（21－X）·Y 【2】
解这个方程组，得 X＝15（头） Y＝12（天）


练习
（请用方程解法做以下习题。解析请见 奥数专题——“牛吃草”问题四）

1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃
20天，或可供15头牛 吃10天，那么可供25头牛吃多少天？


2、一块长满草的牧场，草每天都在匀速 生长，这块牧场可供8头牛吃
30天，或可供40只羊吃20天，如果1头牛每天吃草量是羊每天吃的4
倍，那么21头牛和12只羊一起吃，可以吃多少天？

点评：

我们到现在一共介绍了解决牛吃草问题的两种方法，其实两种方法在本

质上是相同的，只 是形式上有些不同。

相比之下，（一）中的算术解法步骤较多，但计算比较简单；（二）中的
方程解法步骤较少，但需要解方程。

同学们可以根据自己的做题习惯和喜好去选用解题方法。
“牛吃草”问题变型

以下几道题目都是“牛吃草”的变型，其实都是换汤不换药

只要弄清楚题目中的对应“牛”和“草”，解题方法和经典牛吃草问题无异。


（抽水问题）

现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机
10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需
多少台同样的抽水机来 抽水？

解析：原有水量相当于原有草量，新匀速注入的水相当于每天新长出得
草量。

设1台抽水机1天抽1个单位的水；

每天新流入水量：（20×6-10×8）÷（20-10）=4；

原有水量：20×6-20×4=40；

若要5天抽干水，需要40÷5+4=9（台）

有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水 机24小时可将水抽完，
用9台抽水机12小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时
间将水漏完？

提示：原有水量相当于原有草量，流出的水相当于每天新长出得草量，
只是这个“草”是在减少的。

（排队问题）
画展9点开 门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分
钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点 9分就不再有人排队；如
果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？

解析：设每一个入场口每分钟通过份人，摘录条件，将它们转化为
如下形式方便分析

3个入场口 9分钟 3×9＝27 ：原有人＋9分钟来的人

5个入场口 5分钟 5×5＝25 ：原有人＋5分钟来的人

从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝ 2，即1分钟来的人＝0.5；
那么原有的人：27－9×0.5＝22.5；

这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分）。第一个观众到达的时
间为9点－45分=8点 15分.


（电梯问题）
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急 的孩子要从扶梯上
楼．已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩
用了 5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少
级？

解析：总楼梯数即总草量，梯数是在匀速减少的

可以算出，电梯每分钟行驶的梯数是：（20×5-15×6）÷（6-5）=10
（级）

所以5分钟行驶了50级，加上男孩自己走的5×20=100级，就是

扶梯总共的梯级数，即150级.


（人口问题）

假 设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源
可供110亿人生活90年，或供9 0亿人生活210年。为了使人类能够不
断繁衍，地球上最多养活多少人？

提示：资源就相当于“草”，人相当于“牛”


（行程问题）
< br>有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个
骑车人。这三辆车分別用6 小时、10小时、12小时追上骑车人。現在
知道快车每小时走24千米，中速車每小时走20千米，那 么，慢速車每
小時走多少千米？

提示：汽车和骑车人的原有距离相当于原草量，骑车人的速度相当于草
增长的速度
比较复杂的“牛吃草”问题


1、一片牧场南面一块2000平方米的牧场 上长满牧草，牧草每天都在匀
速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在这< br>片牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，6天中可供多少头牛吃草？

分析：本题的 关键是要弄清楚不同面积的草场，原有草量的关系，和每
天长草量的关系，进而实现转换。

解答：设１头牛１天的吃草量为１，摘录条件，将它们转化为如下形
式方便分析

18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然减少的草量

27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然减少的草量
从上易发现：2000平方米的牧场上16－8＝ 8天生长草量＝288－216
＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9；

那 么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9
＝144。

则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；

原有草量：144×（6000÷2000）＝432.

6天里，共草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）
牛吃6天



2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且
长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头
牛吃45天，问第三块地可供 多少头牛吃80天？

分析：解题关键仍是不同面积的草地之间原有草量和每日长草量的关系
转换。

解答：解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，

则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60；每亩45天的总草量为：
28×45÷15=84< br>
那么每亩每天的新生长草量为(84-60)÷(45-30)=1.6每亩 原有草量为
60-1.6×30=12

那么24亩原有草量为12 ×24=288，24亩80天新长草量为

24×1.6×80=3072，24亩80 天共有草量3072+288=3360

所以需要336080=42(头)。

解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，

根据28头牛45天 吃15亩，可以推出15亩每天新长草量
(28×45-30×30)÷(45-30)=24；

15亩原有草量：1260-24×45=180；

15亩80天所需牛180÷80+24(头)

24亩需牛：(180÷80+24)×(24÷15)=42头。


3、某牧场上 长满牧草，每天匀速生长，这片牧草供17头牛吃30天，
19头牛吃24天，现有一群牛吃了6天，主 人卖掉了4头牛，余下的牛
吃了两天后刚好把草吃完，问这群牛原有几头?
解答：设1头牛1天吃的草量为1；

那么每天长草量为：（17×30-19×24）÷（30-24）=9；

原有草量：17×30-9×30=240；

假设现有一群牛X头，吃了6天后卖掉4头，又吃了两天把草吃
玩

那么易算出，这群牛共吃了8天的草，总量为：240+8×9=312.

可以列出方程：6×X+2×（X-4）=312.得X=40.

即这群牛原有40头.

奥数专题——“牛吃草”问题（一）和（二） 练习题答案

1、牧场上长满牧草，每 天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃
20天，或可供15头牛吃10天，那么可供25头牛吃多 少天？
解析：

算术方法：设1头牛1天吃草量为1，则：

每天长草量：（10×20-15×10）÷（20-10）=5
原有草量：10×20-5×20=100
可供25头牛吃：100÷（25-5）=5（天）
方程方法：设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,25头牛可吃Y天
那么可知：（10-X）·20=（15-X）·10=（25-X）·Y
解得：X=5，Y=5
即可供25头牛吃5天。

2、一块 长满草的牧场，草每天都在匀速生长，这块牧场可供8头牛吃
30天，或可供40只羊吃20天，如果1 头牛每天吃草量是羊每天吃的4
倍，那么21头牛和12只羊一起吃，可以吃多少天？

解析：将羊转化为牛，统一为牛来解。

设1头牛1天吃草1份。40÷4=10（头）21+12÷4=24（头）
算术方法：每天长草量：（8×30-10×20）÷（30-20）=4

原有草量：8×30-4×30=120

所以24头牛可以吃120÷（24-4）=6（天）

即21头牛和12只羊一起吃，可以吃6天。

方程方法：设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,24头牛可吃Y天

那么可知：（8-X）·30=（10-X）·20=（24-X）·Y

解得：X=4，Y=6

即21头牛和12只羊一起吃，可以吃6天。