业务助理工作内容-教学设计模板

公式

1. 平方差公式 a
2
- b
2
= ( a + b )( a – b )


2. 和平方公式 ( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2



3. 差平方公式 ( a - b )
2
= a
2
- 2ab + b
2



4. 等差数列公式 Sn =

n =
an−a1
d
a1+an
2
×n = a
1
×n +
n(n−1)
2
×d
+ 1

5. 立方和公式: a
3
+ b
3
= ( a + b )( a
2
– ab + b
2
)


6. 立方差公式: a
3
– b
3
= ( a - b )( a
2
+ ab + b
2
)


7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n
2


8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)


9. 多数平方和公式: 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …… + n
2
=


10. 多数立方和公式: 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …… + n
3
= (1 + 2 + …… + n)
2


n
(
n+1
)
(2n+1)
6

11. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1)

= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …… + n
2
+ 1 + 2 + 3 + …… + n

=
3
n(n+1)(n+2)





1

与因数相关的知识

1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。
2. 因数和：设A＝2
a
×3
b
×5
c

那么因数和＝（2
0
+2
1
+…+2
a
）×（3
0
+3
1
+…+3
b
）×（5
0
+5
1+…+5
c
）
3. 因数积：设A＝2
a
×3
b
×5
c

那么因数积＝A
因数个数2
(完全平方数除外)
4. 因数倒数和：设A＝2
a
×3
b
×5
c
那么
111
因数和
a
+
b
+
c
=
A


1
循环小数
7

7：
1
7
＝0.142857
5
1
3

2
7

7
4
7

7
＝0.285714

3
7
＝0.428571
4
5
2
2
4
7


7
＝0.571428
8
7

5
6

7
＝0.714285
7


6
7
＝0.857142
12
1
13

2
13：
13
＝0.076923
13
＝0.153846
10
13

4
0
13

8
1

3
13
＝0.230769
5
13
＝0.384615
13

3
7
13

6
5

46
13
＝0.307692
13
＝0.461538

97
13
＝0.692307
13
＝0.538461
3
6
13

2
4
3
9
8

108
13
＝0.769230
13
＝0.615384
12
9
13

13

8
13

11

12
＝0.923076
11
1313
＝0.846153
13


7
13

5
13

排列组合进阶

※ 排列是先选再排，组合是只选不排。

mn−m
C
n
=C
n
(n里选m个的数量和n里(n-m)个不选的数量是一样的)

0n
C
n
=C
n
＝1（一个不选和全部都选只有一种情况）

012n
C
n
+C
n
+C
n
+ ……+C
n
=2
n
(每个元素有选中和不选中两种情况)

常用方法：
1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0， 2，4又分为
0和2，4），再计算其他情况
2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也
要排序，然后两个数乘积即可。
3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个
空位再选多少个元素去插空即可。
4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到
限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。
5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C计算即可。
6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解。

余数

a ÷ b = m ......n (0≤n＜b)

推论1： m为(a ÷ b)的整数部分,而n为(a ÷ b)的小数部分的b倍。

推论2： 当a、b同时扩大k倍，则商值m不变，余数n扩大k倍。

推论3： （a, b）= （b, r） 最大公因数相等，辗转相除求最大公因。


余数性质：
1. 周期性。
2. 余数的和等于和的余数。
3 余数的差等于差的余数。 虞姬每周拿着鱼叉去鱼河抓鱼。
4. 余数的积等于积的余数。
物不知数（中国剩余定理）

1. 减同余：如果一个数除以不同的数余数相同，则只需求出除数的最小公倍数，再加上余
数，即为最小的被除数。
例：A÷3余1， A÷5余1，问A最小多少？
解：3和5的最小公倍数为15，15+1＝16，A最小值为16.

2. 加同补：如果 一个数除以几个不同的数，余数分别与除数互补，则只需求出除数的最小
公倍数，再减去补数，即为最小 的被除数。

例：A÷7余6
A÷6余5，
A÷5余4，
A÷4余3，求A最小多少？
解：余数与除数互补，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小为419.

3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。
例：A÷7余5
A÷6余3，求A最小多少？
解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40
分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。

4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的
被除数。
例：A÷7余5
A÷6余3，求A最小多少？
解：设A÷7＝K余5
A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）÷6余3，得7K÷6余4
当K＝4时，满足。即A=7K+5＝33，通式为A=33+42K

同余

定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B
对于模m同余。表示为 A≡B（mod m）读作：“A同余于B，模m ”

推论1：若A＞B，A÷m＝X…….n
B÷m＝Y…….n
那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B).

推论２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m）
那么，A≡C（mod m）；

推论３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m）
那么，（A±C）≡（B±D）（mod m）；AC≡BD（mod m）

推论4： 若A≡B（mod m），那么A
n
≡B
n
（mod m）
分数比较大小

手段一：十字相乘法


a

c

bd
b·ac
a

d·ac
c
bc ad 即bc代表左边，ad代表右边。

手段二：作差

A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B

手段三：作商


B
＞1 A＞B
B
＜1 A＜B

手段四：取倒数


A
＞
B
A＜B
A
＜
B
A＞B

手段五：化小数

手段六：基准法

真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大

假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小

1111
AA

在
13
，
17
之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数， 则
17
＞
13

在
10
，
14
之 间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则
10
＞
14


手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）

在
6
，
19
之间比较大小，先将
6
变为
30
，分子与分 母差都为5，真分数，则
6
＞
19


手段八：糖水法 （
糖水的甜度
＝
bb+m
糖
糖+水
514525514
13171317
10141410
）
模型一：
a
＜
a+m
(在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差)
模型二：
a
＜
a+c
＜
c
(糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间)
模型三：
a
=
bmb
bb+dd
＜
ma+nc
＜
nc
=
c
a
＜
ma+nc
＜
c

ma
mb+ndnddbmb+ndd
有趣的巧数

1. 33……3×33……3＝11……1088……89
n个3 n个3 n－1个1 n－1个8
推论：6666×6666＝44435556，9999×99 99＝99980001，3333×6666＝22217778
3333×9999＝33326667，6666×9999＝66653334

2. 33……3×33……34＝11……122……2
n个3 n－1个3 n个1 n个2
推论：6666×3334＝22224444，9999×3334＝33336666

3. 111＝3×37 10001＝73×37 2007＝3
2
×223
999＝27×37 10101＝3×7×13×37 2008＝2
3
×251
11111＝271×41 1995＝3×5×7×19 2015＝5×13×31
111111＝3×7×11×13×37 1998＝2×3
3
×37

2016＝2
5
×3×7

4. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位 相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位
为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。
如：53×57＝3021，84×86＝7224，39×31＝1209……

5. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算
如：78
2
＝80
2
-（80
2
－78
2
）＝6400-（ 80+78）×2＝6400-316＝6084
76
2
＝752
+（76
2
－75
2
）＝5625+（76+75）＝562 5+151＝5776

6. 123456789×8+9＝987654321

7. M×99……9的数字和为9K.（其中M＜99……9）
K个9

8. （
3
+
7
+
15
）×（
7
+
15
+
23
）－（
3
+
7
+
15
+
23
）×（
7
+
15
）＝
3
×
23

两项乘积－两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为：
（有头无尾小龙）×（无头有尾小龙）－小龙×（无头无尾小龙）
111
则结果为头尾相乘。

9. 1×2 + 2×3 +……+ n×(n+1) ＝
×n×
(
n+1
)
×(n+2)

3
1
1×a
1
+ 2×a
2
+……+ n×a
n
＝
×n×(n+1)×(2a
n
+a
1
),a1,a2……an为等差数列

6
1







分数的分解
设
A
＝
A+m
+
A+n
，
则得出：
A
＝
A+m
+
A+n
＝
(
1112A+m+n
A+m
)
（A+n)
111

所以：（A+m）(A+n)＝A×(2A+m+n)，即A
2
+(m+n)A+mn ＝2A
2
+(m+n)A
可得：A
2
＝mn

解题思路：只需将分母平方后分解质因数，找到一对质因数后，分别加上原分母作为等式
右边的两个分母 。
例：将
12
拆分成若干个分数单位的和。
解：12的平方＝144，而144＝1×144＝2×72＝4×36＝8×18＝……
所以
12
＝
13
+
156
＝
14
+
84
＝
16
+
48
＝
20
+
30
＝……
要拆分成三个式子相加如何做？
先拆成两个，再将其中一个拆成两个即可。

111111111
1
最值问题

（1）两数和一定，则两数差越小，乘积越大，两数差越大，乘积越小。
（2）两数积一定，则两数差越小，加和越小，两数差越大，加和越大。
（3）多3少2不拆1原则。

例：14拆成几个自然数的积，求积最大值？

+

六大几何模型

1. 等积模型：平行平移模型和等高模型

2. 一半模型：












3. 鸟头模型（共角模型）


＝
A
AB×AC
SABC


E

C
B


4. 蝴蝶模型
（1）风筝模型（任意四边形）

S
1
×S
3
＝S
2
×S
4
（对顶面积乘积相等）
AO:OC＝S
1
：S
4
＝S
2
：S
3
＝（S
1
+S
2
）：（S
4
+S
3
)



（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）

S
1
＝S
3

S
1
×S
3
＝S
2
×S
4
（对顶面积乘积相等）
S
1
：S
2
：S
3
：S
4
＝ ab:b
2
:ab:a
2

梯形S对应的份数为(a+b)
2






D
AD×AE
SADE
D
A
S
4

S
1

S
3

O
S
2

B
a
S
4

S
1

S
2

S
3

C
b

5. 燕尾模型






串性：
大面积
小面积
左面积
右面积
a
b
××＝1
a×c×e＝b×d×f
df
f
左线段
（每一底边对应三对面积与线段的比）

右线段
ce
a
＝
e
b
＝
大面积包含的线段
小面积包含的线段

d
c

6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形状相同，大小不同的两个三角形。
E

A
如果DE平行BC，那么
（1）
AD
AB
D
A
＝＝＝
ACBC
AEDEAF
AG

D
F

B
（2）两个三角形面积比＝对应边长的平方比
B
G
C


7. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为a,b,斜边长为 c,则有c
2
＝a
2
+b
2


内弦图： 外弦图：
b b
a

a
b-a
a
a
a
a
2

a

b-a
b
c

C
2

b
c b
2
b
b
b
b

a
a
a

a
a
b
b

常见勾股整数： 常见模型：
3， 4， 5；
S3
S3
5，12，13；
S2
S2
7，24，25；
S1
S1
8，15，17；
9，40，41； S1+S2＝S3

8. 毕克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积
S＝（n +
l
2
E
C

-1）×小四边形面积
其中：n是多边形内部的点数
l是多边形边界上点数

9. 海伦公式：S
2
＝p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c为三角形三 边长，p＝
a+b+c
2
（半周长）

循环小数

1. 有限小数：分母质因子只有2或5
2. 纯循环小数：分母质因子无2也无5
3. 混循环小数：分母质因子即含其他也含2或5.

小数化分数：

1. 纯循环小数化分数：
0.a＝
a
9
;
＝
;
＝
99
ab−a
90
ababc
999

2. 混循环小数化分数：
＝

;
＝
abc−a
990
;
＝
abcd−ab
9900

正方体展开图（共11种）





A1
A

A

A2
B
B
A
B

A
A2

A2
A2 B

A1 A1
A1







规律：（1）对面规律，两个相对的面展开后是日字或之字两个距离最远的面。
（2）对角点规律：在展开图中出现日字，通常用来寻找正方体复合的重合点。
如上图中，A点的对角点为B点，A1，A2点与A点重合。

质数

1. 0和1即不是质数，也不是合数。
2. 除了2其余的质数都是奇数，除了2和5，其余的质数个位数字只有1，3，7，9.
3. 最小的三位质数是101，最小的四位质数是1009.

质数的判定方法：
找到 一个大于且接近该数的完全平方数K
2
，再列出所有不大于K的质数，判断这些质数能否
被该数整除，如不能，则该数就是质数。
例149是否是质数：13
2
是大于14 9的，最接近149的数，所以用149除以2，3，5，7，9，
11，13，都不能整除，那么14 9是质数。

两数互质的情况：
1. 两个连续自然数必互质。
2. 两个连续奇数必互质。
3. 一个大质数与一个小合数必互质。
4. 1与任何非零自然数互质。


因数 公因数 公倍数

最大公因数性质：
1. 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。
2. 几个数都乘以一个自然数N，所得积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以N

最小公倍数性质：
1. 两个互质的数的最小公倍数就是它们的乘积。
2. 两个数有倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，最大公因数为较小的数。

分数的最大公因数和最小公倍数：

最大公因数：先把带分数化 为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分母的最小公倍数A
及分子的最大公因数B，
B 即为所求。简记为“子同母反”（分子求最大公因，分母求最小公倍）
最小公倍数：先把带分数 化为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分子的最小公倍数A
及分母的最大公因数B，
B< br> 即为所求。简记为“子同母反”（分子求最小公倍，分母求最大公因）

对于任意连接3个自然数，如果它们的奇偶性为：
奇偶奇：那么三个数的乘积为最小公倍数（三数互质）
偶奇偶：三个数乘积的一半为最小公倍数。




A
A

奇数 偶数

推论：对于任意2个整数A，B ，有A+B与A-B同奇或同偶。


完全平方数
性质：
1. 尾数为0，1，4，5，6，9.
2. 被4除，余数为1或0.
3. 被3除，余数为1或0.
4. 偶指奇因：分解质因数后，指数都为偶数；完全平方数的因数个数为奇数。

公式

1. 平方差公式 a
2
- b
2
= ( a + b )( a – b )


2. 和平方公式 ( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2



3. 差平方公式 ( a - b )
2
= a
2
- 2ab + b
2



4. 等差数列公式 Sn =

n =
an−a1
d
a1+an
2
×n = a
1
×n +
n(n−1)
2
×d
+ 1

5. 立方和公式: a
3
+ b
3
= ( a + b )( a
2
– ab + b
2
)


6. 立方差公式: a
3
– b
3
= ( a - b )( a
2
+ ab + b
2
)


7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n
2


8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)


9. 多数平方和公式: 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …… + n
2
=


10. 多数立方和公式: 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …… + n
3
= (1 + 2 + …… + n)
2


n
(
n+1
)
(2n+1)
6

11. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1)

= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …… + n
2
+ 1 + 2 + 3 + …… + n

=
3
n(n+1)(n+2)





1

与因数相关的知识

1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。
2. 因数和：设A＝2
a
×3
b
×5
c

那么因数和＝（2
0
+2
1
+…+2
a
）×（3
0
+3
1
+…+3
b
）×（5
0
+5
1+…+5
c
）
3. 因数积：设A＝2
a
×3
b
×5
c

那么因数积＝A
因数个数2
(完全平方数除外)
4. 因数倒数和：设A＝2
a
×3
b
×5
c
那么
111
因数和
a
+
b
+
c
=
A


1
循环小数
7

7：
1
7
＝0.142857
5
1
3

2
7

7
4
7

7
＝0.285714

3
7
＝0.428571
4
5
2
2
4
7


7
＝0.571428
8
7

5
6

7
＝0.714285
7


6
7
＝0.857142
12
1
13

2
13：
13
＝0.076923
13
＝0.153846
10
13

4
0
13

8
1

3
13
＝0.230769
5
13
＝0.384615
13

3
7
13

6
5

46
13
＝0.307692
13
＝0.461538

97
13
＝0.692307
13
＝0.538461
3
6
13

2
4
3
9
8

108
13
＝0.769230
13
＝0.615384
12
9
13

13

8
13

11

12
＝0.923076
11
1313
＝0.846153
13


7
13

5
13

排列组合进阶

※ 排列是先选再排，组合是只选不排。

mn−m
C
n
=C
n
(n里选m个的数量和n里(n-m)个不选的数量是一样的)

0n
C
n
=C
n
＝1（一个不选和全部都选只有一种情况）

012n
C
n
+C
n
+C
n
+ ……+C
n
=2
n
(每个元素有选中和不选中两种情况)

常用方法：
1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0， 2，4又分为
0和2，4），再计算其他情况
2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也
要排序，然后两个数乘积即可。
3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个
空位再选多少个元素去插空即可。
4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到
限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。
5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C计算即可。
6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解。

余数

a ÷ b = m ......n (0≤n＜b)

推论1： m为(a ÷ b)的整数部分,而n为(a ÷ b)的小数部分的b倍。

推论2： 当a、b同时扩大k倍，则商值m不变，余数n扩大k倍。

推论3： （a, b）= （b, r） 最大公因数相等，辗转相除求最大公因。


余数性质：
1. 周期性。
2. 余数的和等于和的余数。
3 余数的差等于差的余数。 虞姬每周拿着鱼叉去鱼河抓鱼。
4. 余数的积等于积的余数。
物不知数（中国剩余定理）

1. 减同余：如果一个数除以不同的数余数相同，则只需求出除数的最小公倍数，再加上余
数，即为最小的被除数。
例：A÷3余1， A÷5余1，问A最小多少？
解：3和5的最小公倍数为15，15+1＝16，A最小值为16.

2. 加同补：如果 一个数除以几个不同的数，余数分别与除数互补，则只需求出除数的最小
公倍数，再减去补数，即为最小 的被除数。

例：A÷7余6
A÷6余5，
A÷5余4，
A÷4余3，求A最小多少？
解：余数与除数互补，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小为419.

3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。
例：A÷7余5
A÷6余3，求A最小多少？
解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40
分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。

4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的
被除数。
例：A÷7余5
A÷6余3，求A最小多少？
解：设A÷7＝K余5
A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）÷6余3，得7K÷6余4
当K＝4时，满足。即A=7K+5＝33，通式为A=33+42K

同余

定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B
对于模m同余。表示为 A≡B（mod m）读作：“A同余于B，模m ”

推论1：若A＞B，A÷m＝X…….n
B÷m＝Y…….n
那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B).

推论２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m）
那么，A≡C（mod m）；

推论３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m）
那么，（A±C）≡（B±D）（mod m）；AC≡BD（mod m）

推论4： 若A≡B（mod m），那么A
n
≡B
n
（mod m）
分数比较大小

手段一：十字相乘法


a

c

bd
b·ac
a

d·ac
c
bc ad 即bc代表左边，ad代表右边。

手段二：作差

A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B

手段三：作商


B
＞1 A＞B
B
＜1 A＜B

手段四：取倒数


A
＞
B
A＜B
A
＜
B
A＞B

手段五：化小数

手段六：基准法

真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大

假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小

1111
AA

在
13
，
17
之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数， 则
17
＞
13

在
10
，
14
之 间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则
10
＞
14


手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）

在
6
，
19
之间比较大小，先将
6
变为
30
，分子与分 母差都为5，真分数，则
6
＞
19


手段八：糖水法 （
糖水的甜度
＝
bb+m
糖
糖+水
514525514
13171317
10141410
）
模型一：
a
＜
a+m
(在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差)
模型二：
a
＜
a+c
＜
c
(糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间)
模型三：
a
=
bmb
bb+dd
＜
ma+nc
＜
nc
=
c
a
＜
ma+nc
＜
c

ma
mb+ndnddbmb+ndd
有趣的巧数

1. 33……3×33……3＝11……1088……89
n个3 n个3 n－1个1 n－1个8
推论：6666×6666＝44435556，9999×99 99＝99980001，3333×6666＝22217778
3333×9999＝33326667，6666×9999＝66653334

2. 33……3×33……34＝11……122……2
n个3 n－1个3 n个1 n个2
推论：6666×3334＝22224444，9999×3334＝33336666

3. 111＝3×37 10001＝73×37 2007＝3
2
×223
999＝27×37 10101＝3×7×13×37 2008＝2
3
×251
11111＝271×41 1995＝3×5×7×19 2015＝5×13×31
111111＝3×7×11×13×37 1998＝2×3
3
×37

2016＝2
5
×3×7

4. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位 相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位
为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。
如：53×57＝3021，84×86＝7224，39×31＝1209……

5. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算
如：78
2
＝80
2
-（80
2
－78
2
）＝6400-（ 80+78）×2＝6400-316＝6084
76
2
＝752
+（76
2
－75
2
）＝5625+（76+75）＝562 5+151＝5776

6. 123456789×8+9＝987654321

7. M×99……9的数字和为9K.（其中M＜99……9）
K个9

8. （
3
+
7
+
15
）×（
7
+
15
+
23
）－（
3
+
7
+
15
+
23
）×（
7
+
15
）＝
3
×
23

两项乘积－两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为：
（有头无尾小龙）×（无头有尾小龙）－小龙×（无头无尾小龙）
111
则结果为头尾相乘。

9. 1×2 + 2×3 +……+ n×(n+1) ＝
×n×
(
n+1
)
×(n+2)

3
1
1×a
1
+ 2×a
2
+……+ n×a
n
＝
×n×(n+1)×(2a
n
+a
1
),a1,a2……an为等差数列

6
1







分数的分解
设
A
＝
A+m
+
A+n
，
则得出：
A
＝
A+m
+
A+n
＝
(
1112A+m+n
A+m
)
（A+n)
111

所以：（A+m）(A+n)＝A×(2A+m+n)，即A
2
+(m+n)A+mn ＝2A
2
+(m+n)A
可得：A
2
＝mn

解题思路：只需将分母平方后分解质因数，找到一对质因数后，分别加上原分母作为等式
右边的两个分母 。
例：将
12
拆分成若干个分数单位的和。
解：12的平方＝144，而144＝1×144＝2×72＝4×36＝8×18＝……
所以
12
＝
13
+
156
＝
14
+
84
＝
16
+
48
＝
20
+
30
＝……
要拆分成三个式子相加如何做？
先拆成两个，再将其中一个拆成两个即可。

111111111
1
最值问题

（1）两数和一定，则两数差越小，乘积越大，两数差越大，乘积越小。
（2）两数积一定，则两数差越小，加和越小，两数差越大，加和越大。
（3）多3少2不拆1原则。

例：14拆成几个自然数的积，求积最大值？

+

六大几何模型

1. 等积模型：平行平移模型和等高模型

2. 一半模型：












3. 鸟头模型（共角模型）


＝
A
AB×AC
SABC


E

C
B


4. 蝴蝶模型
（1）风筝模型（任意四边形）

S
1
×S
3
＝S
2
×S
4
（对顶面积乘积相等）
AO:OC＝S
1
：S
4
＝S
2
：S
3
＝（S
1
+S
2
）：（S
4
+S
3
)



（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）

S
1
＝S
3

S
1
×S
3
＝S
2
×S
4
（对顶面积乘积相等）
S
1
：S
2
：S
3
：S
4
＝ ab:b
2
:ab:a
2

梯形S对应的份数为(a+b)
2






D
AD×AE
SADE
D
A
S
4

S
1

S
3

O
S
2

B
a
S
4

S
1

S
2

S
3

C
b

5. 燕尾模型






串性：
大面积
小面积
左面积
右面积
a
b
××＝1
a×c×e＝b×d×f
df
f
左线段
（每一底边对应三对面积与线段的比）

右线段
ce
a
＝
e
b
＝
大面积包含的线段
小面积包含的线段

d
c

6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形状相同，大小不同的两个三角形。
E

A
如果DE平行BC，那么
（1）
AD
AB
D
A
＝＝＝
ACBC
AEDEAF
AG

D
F

B
（2）两个三角形面积比＝对应边长的平方比
B
G
C


7. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边长为a,b,斜边长为 c,则有c
2
＝a
2
+b
2


内弦图： 外弦图：
b b
a

a
b-a
a
a
a
a
2

a

b-a
b
c

C
2

b
c b
2
b
b
b
b

a
a
a

a
a
b
b

常见勾股整数： 常见模型：
3， 4， 5；
S3
S3
5，12，13；
S2
S2
7，24，25；
S1
S1
8，15，17；
9，40，41； S1+S2＝S3

8. 毕克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积
S＝（n +
l
2
E
C

-1）×小四边形面积
其中：n是多边形内部的点数
l是多边形边界上点数

9. 海伦公式：S
2
＝p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c为三角形三 边长，p＝
a+b+c
2
（半周长）

循环小数

1. 有限小数：分母质因子只有2或5
2. 纯循环小数：分母质因子无2也无5
3. 混循环小数：分母质因子即含其他也含2或5.

小数化分数：

1. 纯循环小数化分数：
0.a＝
a
9
;
＝
;
＝
99
ab−a
90
ababc
999

2. 混循环小数化分数：
＝

;
＝
abc−a
990
;
＝
abcd−ab
9900

正方体展开图（共11种）





A1
A

A

A2
B
B
A
B

A
A2

A2
A2 B

A1 A1
A1







规律：（1）对面规律，两个相对的面展开后是日字或之字两个距离最远的面。
（2）对角点规律：在展开图中出现日字，通常用来寻找正方体复合的重合点。
如上图中，A点的对角点为B点，A1，A2点与A点重合。

质数

1. 0和1即不是质数，也不是合数。
2. 除了2其余的质数都是奇数，除了2和5，其余的质数个位数字只有1，3，7，9.
3. 最小的三位质数是101，最小的四位质数是1009.

质数的判定方法：
找到 一个大于且接近该数的完全平方数K
2
，再列出所有不大于K的质数，判断这些质数能否
被该数整除，如不能，则该数就是质数。
例149是否是质数：13
2
是大于14 9的，最接近149的数，所以用149除以2，3，5，7，9，
11，13，都不能整除，那么14 9是质数。

两数互质的情况：
1. 两个连续自然数必互质。
2. 两个连续奇数必互质。
3. 一个大质数与一个小合数必互质。
4. 1与任何非零自然数互质。


因数 公因数 公倍数

最大公因数性质：
1. 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。
2. 几个数都乘以一个自然数N，所得积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以N

最小公倍数性质：
1. 两个互质的数的最小公倍数就是它们的乘积。
2. 两个数有倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，最大公因数为较小的数。

分数的最大公因数和最小公倍数：

最大公因数：先把带分数化 为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分母的最小公倍数A
及分子的最大公因数B，
B 即为所求。简记为“子同母反”（分子求最大公因，分母求最小公倍）
最小公倍数：先把带分数 化为假分数，其他分数不变，求出各个分数的分子的最小公倍数A
及分母的最大公因数B，
B< br> 即为所求。简记为“子同母反”（分子求最小公倍，分母求最大公因）

对于任意连接3个自然数，如果它们的奇偶性为：
奇偶奇：那么三个数的乘积为最小公倍数（三数互质）
偶奇偶：三个数乘积的一半为最小公倍数。




A
A

奇数 偶数

推论：对于任意2个整数A，B ，有A+B与A-B同奇或同偶。


完全平方数
性质：
1. 尾数为0，1，4，5，6，9.
2. 被4除，余数为1或0.
3. 被3除，余数为1或0.
4. 偶指奇因：分解质因数后，指数都为偶数；完全平方数的因数个数为奇数。