四年级语文上册教案-重庆邮电大学移通学院教务网

小 学 奥 数 博 弈 问 题 解 题 技巧
我国民间一直流传着一个名叫“抢十 八”的数学游戏：参与游戏的两人从1
开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到1 8，谁就获胜。
本讲就是研究类似于这类游戏的取胜策略。
这类问题要用倒推法进行研究。以 “抢十八”游戏为例，最后要抢到18，此前
必须抢到15，只留给对方3个数，无论对方报一个数或两 个连续的数，己方都
能抢到18；同理要抢到15，此前必须抢到12。如此倒推回去，可得到一系列关
键数：18、15、12、9、6、3。这个游戏的取胜策略就是：每一步都抢到关键数，
直到 最后抢到18。这个游戏是一个不公平的游戏，报数顺序决定了最后的结果：
只有后报数者才能抢到这一 系列关键数，后报数者才有必胜策略。
根据以上分析，确立取胜策略重要的是抢到关键数。
游戏者所能用到的最大数和最小数之和称为关键因子，关键数要根据关键因子确
定。如“抢十八”游戏中 关键因子就是3，我们从最后一个数依次减3，通过倒
推可以找出游戏中所有关键数。
在“抢 十八”游戏中，最后数18是关键因子3的整数倍，也就是关键因子能被
最后报数整除，这样的游戏称为 平衡游戏，后报数者必胜。如果最后报数与关键
因子相除有余数，这样的游戏称为不平衡游戏，余数就是 不平衡因子。不平衡抢
数游戏也是不公平的游戏，先报数者有必胜策略：先消除不平衡因子，使其变成< br>一个平衡游戏，先报数者随后就成为平衡游戏的后报数者。
【题目】：
有1996个 球，甲、乙两人进行取球比赛，规则是两人轮流取，每人每次最少取
1个，最多取4个，取到最后一个球 的人为胜。如果甲先取，如果取法才能保证
取胜？
【解析】：
这题的关键因子是： 1+4=5。1996÷5=399„„1，这是个不均衡的游戏，不均衡
因子是1。
甲取胜 策略为：甲先取1个球，剩下1995个球是5的399倍，使游戏变成了均
衡游戏。然后每次乙取完之 后，甲总是取出适量的球，保持与乙取出球的个数和
为5，那么剩下的球始终是5的倍数。直到最后只剩 下5个球，无论乙取几个球，
甲都能取到最后一个球。
【题目】：

甲乙两人轮流地往一张圆桌面上放一枚五分硬币不能重叠。谁放完一枚之后而使
得对方无法在往桌面上放 硬币时，谁就是胜利者。如果甲先放，甲有没有稳超胜
券的策略？
【解析】：
甲有稳超胜券的策略！
圆是中心对称图形，如下图一，甲先在圆桌正中心放一枚硬币（红色） ，然后无
论乙把硬币（蓝色）放在何处，甲就在乙所放位置关于中心点对称的位置上放另
一枚硬 币（如下图二），这样只要乙能找到位置放硬币，甲总能找到对应的位置，
直到结束，甲一定获胜。



将本题桌面的形状，由圆形改为其他轴对称图形，甲同样有必胜策略，道理同上。
【题目】：
在4×4的方格纸上有一粒棋子，现在甲、乙两人玩游戏。由甲从左下角的方格
开始为第一步， 乙接着移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格，
两人就这样交替移动这粒棋子。谁把棋子 移到右上角谁获胜，问谁将获胜，获胜
的策略是什么？

如下图，要 想最后把棋子下到A点所在的格子里，必须迫使对方把棋子下到A
点周围的3个灰色格子里。


因为移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格，如果某一方能把棋子下到B、D这两个格子里，则对方只能进入灰色格子，这方必胜。
由甲先下第一步，在左下角放 入棋子，乙有必胜策略：乙接着把棋子下到C格，
这样向右上方，甲只能把棋子移入某个绿色格子，乙再 接着肯定可以把棋子移入
A、B、D三个中的某个格子，从而取得最后的胜利。
A、B、C、D四个格子是制胜点，谁抢到谁获胜。
【提高训练】

1、 甲、乙两人抓棋子，规定最多可以抓3个，最少抓1个，谁取
到最后一个棋子就算输。若甲先去抓，棋子 数为2001个，问
乙是否有必胜的策略？



2、 在90张 卡片的两面各写一个数，第一张写上1与2，第二张写
上2和3，第三张写上3和4……，第89张写8 9与90，第90
张写90与91，打乱卡片的排列顺序，小华看的最后一张卡片

上的数是73.试讨论说明在什么情况下，小华可以马上猜出73
的反面是什么数？



3、 有这么一个游戏，报数的规则是：
（1） 两人轮流报数；（2 ）每次报的数只能是1~10中的某一个数；（3）
谁报数后两人所报的全部数的和为2003，就算谁 获胜。如果让
你先报，你有必胜的策略吗？



4、 有两堆纽 扣，一堆50颗，一堆43颗。规则为甲、乙两人轮流
从中拿走一颗或几颗，甚至一堆，但每次只能在某 一堆中拿纽
扣，谁拿走最后一颗纽扣，谁就获胜？请问，你如何取胜？



5、 一个有9个格子的水果盘，贝贝和晶晶轮流在格子里放水果（每
个格子里只能放一个水果 ）。贝贝放的是香梨，晶晶放的是苹果。
规定每人每次至少放1个，最多放3个，空格放满后，计算一< br>下，哪一方的总数是偶数，哪一方就获胜。问如何确保获胜？

小 学 奥 数 博 弈 问 题 解 题 技巧
我国民间一直流传着一个名叫“抢十八”的数学游戏：参与游戏的两人 从1
开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到18，谁就获胜。
本讲就是 研究类似于这类游戏的取胜策略。
这类问题要用倒推法进行研究。以“抢十八”游戏为例，最后要抢到 18，此前
必须抢到15，只留给对方3个数，无论对方报一个数或两个连续的数，己方都
能抢 到18；同理要抢到15，此前必须抢到12。如此倒推回去，可得到一系列关
键数：18、15、12 、9、6、3。这个游戏的取胜策略就是：每一步都抢到关键数，
直到最后抢到18。这个游戏是一个不 公平的游戏，报数顺序决定了最后的结果：
只有后报数者才能抢到这一系列关键数，后报数者才有必胜策 略。
根据以上分析，确立取胜策略重要的是抢到关键数。
游戏者所能用到的最大数和最小数 之和称为关键因子，关键数要根据关键因子确
定。如“抢十八”游戏中关键因子就是3，我们从最后一个 数依次减3，通过倒
推可以找出游戏中所有关键数。
在“抢十八”游戏中，最后数18是关键 因子3的整数倍，也就是关键因子能被
最后报数整除，这样的游戏称为平衡游戏，后报数者必胜。如果最 后报数与关键
因子相除有余数，这样的游戏称为不平衡游戏，余数就是不平衡因子。不平衡抢
数 游戏也是不公平的游戏，先报数者有必胜策略：先消除不平衡因子，使其变成
一个平衡游戏，先报数者随 后就成为平衡游戏的后报数者。
【题目】：
有1996个球，甲、乙两人进行取球比赛，规 则是两人轮流取，每人每次最少取
1个，最多取4个，取到最后一个球的人为胜。如果甲先取，如果取法 才能保证
取胜？
【解析】：
这题的关键因子是：1+4=5。1996÷5=39 9„„1，这是个不均衡的游戏，不均衡
因子是1。
甲取胜策略为：甲先取1个球，剩下19 95个球是5的399倍，使游戏变成了均
衡游戏。然后每次乙取完之后，甲总是取出适量的球，保持与 乙取出球的个数和
为5，那么剩下的球始终是5的倍数。直到最后只剩下5个球，无论乙取几个球，甲都能取到最后一个球。
【题目】：

甲乙两人轮流地往一张圆桌面上放 一枚五分硬币不能重叠。谁放完一枚之后而使
得对方无法在往桌面上放硬币时，谁就是胜利者。如果甲先 放，甲有没有稳超胜
券的策略？
【解析】：
甲有稳超胜券的策略！
圆是 中心对称图形，如下图一，甲先在圆桌正中心放一枚硬币（红色），然后无
论乙把硬币（蓝色）放在何处 ，甲就在乙所放位置关于中心点对称的位置上放另
一枚硬币（如下图二），这样只要乙能找到位置放硬币 ，甲总能找到对应的位置，
直到结束，甲一定获胜。



将本题桌面的形状，由圆形改为其他轴对称图形，甲同样有必胜策略，道理同上。
【题目】：
在4×4的方格纸上有一粒棋子，现在甲、乙两人玩游戏。由甲从左下角的方格
开始为第一步， 乙接着移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格，
两人就这样交替移动这粒棋子。谁把棋子 移到右上角谁获胜，问谁将获胜，获胜
的策略是什么？

如下图，要 想最后把棋子下到A点所在的格子里，必须迫使对方把棋子下到A
点周围的3个灰色格子里。


因为移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格，如果某一方能把棋子下到B、D这两个格子里，则对方只能进入灰色格子，这方必胜。
由甲先下第一步，在左下角放 入棋子，乙有必胜策略：乙接着把棋子下到C格，
这样向右上方，甲只能把棋子移入某个绿色格子，乙再 接着肯定可以把棋子移入
A、B、D三个中的某个格子，从而取得最后的胜利。
A、B、C、D四个格子是制胜点，谁抢到谁获胜。
【提高训练】

1、 甲、乙两人抓棋子，规定最多可以抓3个，最少抓1个，谁取
到最后一个棋子就算输。若甲先去抓，棋子 数为2001个，问
乙是否有必胜的策略？



2、 在90张 卡片的两面各写一个数，第一张写上1与2，第二张写
上2和3，第三张写上3和4……，第89张写8 9与90，第90
张写90与91，打乱卡片的排列顺序，小华看的最后一张卡片

上的数是73.试讨论说明在什么情况下，小华可以马上猜出73
的反面是什么数？



3、 有这么一个游戏，报数的规则是：
（1） 两人轮流报数；（2 ）每次报的数只能是1~10中的某一个数；（3）
谁报数后两人所报的全部数的和为2003，就算谁 获胜。如果让
你先报，你有必胜的策略吗？



4、 有两堆纽 扣，一堆50颗，一堆43颗。规则为甲、乙两人轮流
从中拿走一颗或几颗，甚至一堆，但每次只能在某 一堆中拿纽
扣，谁拿走最后一颗纽扣，谁就获胜？请问，你如何取胜？



5、 一个有9个格子的水果盘，贝贝和晶晶轮流在格子里放水果（每
个格子里只能放一个水果 ）。贝贝放的是香梨，晶晶放的是苹果。
规定每人每次至少放1个，最多放3个，空格放满后，计算一< br>下，哪一方的总数是偶数，哪一方就获胜。问如何确保获胜？