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乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，其中，完成第一步有m
1
种不同的方法，完成第二步有m
2
种不同的方法，……
完成第n步有m
n
种不同的方法
，
那么完成这件事情共有m
1
×m
2
×……×m
n
种不同的方法。

例1 上海到天津每天有 2 班飞机，4 趟火车，6 班汽车，从天津到北京有 2 班汽车。假期小茗有一次长途旅游，他
从上海出发先到天津，然后到北京，共有多少种走法?






例2 “IMO”是国际奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用红、黄、蓝三种颜色的笔来写，共有多少种写法？







【巩固】 在日常生活中，人们用来装饭、菜的有餐碗和餐盘，用来吃 饭的有餐勺、餐叉和餐筷。如果一种装饭
菜的和一种吃饭的餐具配作一套，那么以上这些可以组成不重复 的餐具多少套?






例 3 小红、小明准备在 5×5 的方格中放黑、白棋子各一枚，要求两枚不同的棋子不在同一行也不在同一列，共
有多少种方法？






























【巩固】右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问： 共
有多少种不同的放法？

例 4 用数字 0，1，2，3，4，组成三位数，符合下列条件的三位数各多少个？
①各个位上的数字允许重复； ②各个位上的数字不允许重复；








【巩固】 由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：①可组成多少个不同的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三
位数？








【拓展】由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？







例5 把 1～100 这 100 个自然数分别写在 100 张卡片上，从中任意选出两张，使他们的差为奇数的方法有多少种？







小结 ：应用乘法原理解决问题时要注意：
①做一件事要分成几个彼此互不影响的独立的步骤来完成；
②要一步接一步的完成所有步骤；
③每个步骤各有若干种不同的方法。


加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做
法，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mk 种不同的方法．
例6 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书 150 本，不同的
科技书 200 本，不同的小说 100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

例7 一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内
任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？








例8 如图，从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走．那么，从甲
地到丙地共有多少种走法？



例9 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，
向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？






例 10 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个？










例 11 如图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种
不同的走法？

例 12 如图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？


家庭作业：
1.
由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个：
①三位数？












②三位偶数？ ③没有重复数字的三位偶数？ ④百位为 8 的没有重复数字的三位数？
⑤百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？
2.
某市的电话号码是六位数的，首位不能是 0，其余各位数上可以是 0～9 中的任何一个，并且不同位上的数字可
以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？






3.
图中有 7 个点和十条线段，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲
虫最多有几种不同的走法？

4.
现有一角的人民币 4 张，贰角的人民币 2 张，壹元的人民币 3 张，如果从中至少取一张，至多取 9 张，那么，
共可以配成多少种不同的钱数？

5.
将 10 颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法?分给三个人有多少种分法？








6.
有红、白、黄、蓝四种颜色的彩旗各 1 面，不同的旗可以表示不同的信号，不同的颜色排列也可以表示不同的
信号，这 4 面旗可以发出多少种信号?








7.
从最小的五个质数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数?








8.
用 1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是 1 的五位数有多少？










9.
从 1 到 500 的所有自然数中，不含数字 2 的自然数有多少个?

Ⅰ 排列
在实际生活中把一些事 物进行有序的排列，计算共有多少种排法，这就是数学上的排列问题。在排的过程中不仅
与参加排列的事 物的多少有关，而且与排列的先后顺序有关，那么所有排列的个数叫做排列数。
一般的从 n 个不同的元素中任取 m 个（
m  n
）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个排列。记作：
A n(n  1)(n  2)  (n  m  1)
。
n
例1 计算 （1）
A






3
m
（2）
A
-2
A
8
4
5
2

8

【巩固】计算：（1）
A








2

6
（2）
A

 A
14
3

14
2
（3） 3
A
-
A
5
3 4

4
（4）（6×
A
）÷
A
12
6 7

12
例2 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？







【巩 1】有红、黄、蓝三种信号旗 ，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的
信号？





【巩 2】某铁路线共有 14 个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．





例3 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的五位数？

【巩固】由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成多少没有重复数字的①三位数？②个位是 5 的三位数？③百位是 1 的五
位数？④六位数？








例4 幼儿园里的 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子，有多少种坐法？





【对比】 幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？





例5 有 4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时
人站成一排）





例6 4 名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？





【巩固】 9 名同学站成两排照相，前排 4 人，后排 5 人，共有多少种站法？







【拓展】 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？

3

Ⅱ 组合
在生活中还经常有许多“分组”问题，即 从一些事物中选出几个不同的事物分成一组，计算共有多少种分组方法，
这就是数学中的组合问题。
n n
组合是指从 m 个不同元素中选出 n 个元素组合在一起。组合数用符号“
c
m
”表示，
c
m










。


m
n
A
n
A
n

例 7 计算：①
c
； ②
c
15
3 1998
；③
c
×
c
； ④
A
-
c
.
4 8 8 8
3 2 2 6
2000

例8 分别写有 1、2、3、4、5、6、7、8 的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：
①有多少种不同的和？







②有多少个不同的加法算式？
例9 在圆周上有 12 个点.①过每两个点可以画一条直线 ，一共可以画出多少条直线？②过每三个点可以画一个三角
形，一共可以画出多少个三角形？








【拓展】以下图 8 个点中的 3 个为顶点，共可画出多少个不同的三角形?





例 10 7 名运动员中选出两名参加决赛，有多少种不同的选法？

【对比】有 7 名同学参加游泳比赛，获得冠军与亚军的名单中有几种不同的情形？







例 11 球队有 10 名男生、8 名女生，现在要选 8 人参加区里比赛，某两名女生最多入选一人，某两名男生至少选一人，
共有多少种选法？








【拓展】学校乒乓球队有 10 名男生、8 名女生，现在要选 8 人参加区里的比赛，
（1）
至少两名女生入选，有多少种不同的选法？
（2）
A、B 两名女生，C、D 两名男生这四人不能同时入选，有多少种不同的选法？
（3）
A、B 两名女生，C、D 两名男生这四人最多入选 2 人，有多少种不同的选法？








例 12 一次射击练习中，有 9 个气球排成 3 列(如图)，要求每一次射击都要击打某一列中的最低一个，那么击碎全
部 9 个气球有多少种不同的次序?






小结 ：排列组合问题其实是乘法原理与加法原理应用的延伸，很多排列问题都能用乘法原理来解决。其实在解决
组合计数问题时，最重要的是理解题意，想清楚解决问题的关键是什么，以及各种情况，然后具体情况具体分析 。
排列与组合的区别主要在于：排列的结果是元素相同顺序不同算作不同的结果，而组合的结果是元素 相同顺序不
同算作同一种结果。

家庭作业：
1、①用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个不同的三位数？（数字允许重复）
②用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的三位数？
③用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的七位数？
④从 1、2、3、4、5、6、7 中选出三个不同数字，有多少种不同的选法？










2、圆周上有 7 个点，以这些点为顶点连四边形，一共能画出多少个不同的四边形？





3、6 本不同的书借给 10 个小朋友，每人至多借一本，且 6 本书全部借出，一共有多少种不同的借书方法？





4、张华、李明等七个同学照像，分别求出下列条件下有多少种站法?
①七个人排成一排，张 华、李明都没有站在边上；②七个人排成两排，前排三人，后排四人；③七个人排成两排， 前
排三人，后排四人，张华、李明不在同一排。









5、 把 7 本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到 2 本，乙至少要分到 1 本，两人的本数不能相差 1，则不同的
分法共有（ ）种。

6、六五班有 8 名同学参加《科技与环保》的宣传活动。他们 在街头站成一排，向行人宣传环保知识，其中正副两名
组长不排在一起，一共有多少种排法?






7、 A、B、C、D、E、F、G、7 人排成一列，要求 A 在B 前，B 在C 前，G 在D 前。共有多少种不同排队方法?








8、从 15 名同学中选 5 名参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种。
(1)
甲、乙二人必须入选；(2)甲、乙二人中至少有一人入选；(3)甲、乙、丙三人中恰有一人入选；












9、张华、李明等七个同学照像，分别求出符合下列条件的排法各有多少种。(1)七个人排成一排，张华必须站在中间；
(2)
七个人排成一排，张华李明至少有一人站在两边；

< br>前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的. 例如有
时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既 要用到乘法原理，又要
用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的 排列问题了.类似的问题有很多，
要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合 的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.
加法原理：完成一件事情，可以有n类方法；在第一类方法中有m
1
种不同的方法，在第一类方法中有m
1
种不同的方
法，在第二类方法中有m
2
种不同的方法，……在第n类方法中有m
n
种不 同的方法；那么完成这件事共有：N=m
1
+m
2
+m
3
+…

+m
n
种不同的方法。

乘法原理：完成一件事情，需要n个步骤；做第一步有m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的方法，……做第n
步有m
n
种不同的方法；那么完成这件事共有：N=m
1
×m
2
×m
3
×…×m
n
种不同的方法。

组合数：从m 个不同的元素里，每次取 n 个不同的元素，只管元素的组成而不管排列顺序，这叫着从 m 个元素里
每次取 n 个元素的组合。从 m 个元素里每次取 n 个元素的组合的种数，可以用下面的公式表示：
n
C
m

m!
m  (m  1)  (m  n  1)

n!(m  n)!
n  (n  1)  2 1
排列数：如果考虑所取 n 个元素的顺序，则是排列数
A
m

n
m!
 m  (m  1)  (m  n  1)
(m  n)!
常用方法：枚举法、插板（插空）、捆绑、排除法、对应法等。

Ⅰ 综合题
例1 两个 1，一个 2，一个 3 可以组成种种不同的四位数。这些四位数一共有多少个？












例 2 由数字 0、1、2、3 可以组成多少个没有重复数字的偶数？

例3 国家举行足球赛，共 15 个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组 8 个队，第二组 7 个队.各组都进行单循
环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共 4 个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①
共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即 A、B 两个队比赛时，既要在 A 队所在的城市比赛一场，也要在 B 队所在的城
市比赛一场），共需比赛多少场？









例4 在一个半圆周上共有 12 个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个①三角形？ ②四边形？




例5 甲、乙、丙、丁 4 人各有一个作业本混放在一起，4 人每人随便拿了一本，问： ①甲拿到自己作业本的拿法有
多少种？②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？③至少有一人没有拿 到自己作业本的拿法有多少种？









Ⅱ 涂色问题
例 6 如图是一个花皮球的一个侧面，请你用 4 种不同的颜色给皮球涂色，使相邻的部分颜色不同，有多少种不
同的涂色方法?

例 7 下图 A，B，C，D，E 五个区域分别用 红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的的区域染不
同的颜色，共有多少种不同的染色 方法？



A

B


C
D E

【巩 1】下图 A，B，C，D，E 五个区域分别用红、 黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的的区域染不
同的颜色，共有多少种不同的染色方法 ？




B


C
A
D
E

【巩 2】如图，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、黄、 蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的的区域染
不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？（ 必须分叉）




A
C
B
E

D




例8 用五种颜色给下图的五个区 域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问有多少种不同的染
色方法？

Ⅲ 数图形
例9 如下图，问①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？










Ⅳ 插板法 、对应法
例 10 有 7 个相同的球全部放入 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放 1 个，共有多少种不同放法?







例 11 把 9 个苹果全部分给 3 个小朋友，每个小朋友至少分一个，共有多少种分法？







【对比】把 9 个苹果全部分给 4 个小朋友，有的小朋友可以不分，共有多少种分法？







【拓展】把 15 个苹果全部分给 4 个小朋友，每个小朋友至少分 2 个，共有多少种分法？

例 12 小明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?








例 13 在 8×8 的方格表中,取出一个如图所示的由 3 个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法?








Ⅴ 捆绑法

例 14 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。求：（1）当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节

目的顺序？（2）当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？













家庭作业：
1.
由数字 0、1、2、3、4 可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④
小于 1000 的自然数？

2.
从 15 名同学中选 5 人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种①某两人必须入选；②某两人中至少有
一人 入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.











3.
如图，两条相交直线上共有 9 个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？





4.
如图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？




5.
七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；② 七个人排成一排，某两人必须有
一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成 一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成
两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.

6.
用 1 个 1，2 个 2，3 个 3 能组成多少个不同的 6 位数？








7.
如果一个至少有两位的十进制自然数中，它的每一位数字都比其右边位置的数 字小，则称为上升数。求上升
数的总数。









8.
四年级 5 个班每班各选 1 人为大队干部候选人。其中有 2 人代表候选人发言，要求这 2 人不能并肩站在一起。
这 5 位同学如果在主席台上站成一排共有多少种站队方法?

森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属
于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。狮子 大王又派大象去统计
野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我 应该是属于兽类的。”于是大象就把
蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种 兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”
狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果， 高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。”这个
统计正确吗？
同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。”这个故事说明了一个数 学问题，那就
是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交 叉）时，应把重复计数的
部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时 ，为了不重复计数，应从它们的和中
减去重复部分。
在很多计数问题中常用到数学上的一个包 含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集
合的初步知识。
集合
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝. 我们称一些事
物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。B＝｛全体自然数｝= ｛1，2，3，4，…｝是一个具体有
无限多个元素的集合。C=｛在 1，2，3，…，100 中能被 3 整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多
个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母 A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如五（1）班的每一位同
学均是集合 A 的一个元素.又如 B＝｛全体自然数｝中任何一个自然数都是集合 B 的元素.像集合B 这种含有无限多个元
素的集合称为无限集.像集合 C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、
|C|、…表示。
并集
记号 A∪B 表示所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合.就是图中两个圆所覆盖的部分.集合 A∪B 叫做集
合 A 与集合 B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A 并B”。

例 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合 B=｛2，4，6，8｝，则 A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素 2、4 在集合 A、B
中都有，在并集中只写一个。
交集
记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体.就是上图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B
的公共元素所组成的集合.它称为集合 A、B 的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交 B”.如例中的集合A、
B，则A∩B=｛2，4｝。
补集
例 设集合 I=｛1，3，5，7，9｝，集合 A=｛3，5，7｝。

补集（或余集），如图中阴影部分表示的集合（整个长

方形表示集合 I）.


对于两个没有公共元素的集合 A 和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。

例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，则 所以|A∪B|＝101＝100＋
1=|A|＋|B|。如果集合 A 与B 有公共元素，例如 A＝｛1，2，…，100｝，B＝｛90，91，…，101｝，则 A∩B＝（90，
91，…， 100｝，A∪B={1，2，…，101}.此时，|A∪B|与|A|+|B|有什么关系呢？在这个例中， |A∪B|=101，|A|＋|B|
＝100＋12=112。所以|A∪B|=|A|+|B|-11，我们注意到，11 恰为 A∩B 的元素个数.这是合理的，因为在求|A∪B|时，
90，91，…，100 这 11 个数各被计入一次，而在求|A|＋|B|时，这 11 个数各被计入两次（即多算了一次），并且这
11 个数组成的集合恰为 A∩B.因此得到|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，（1）这就是关于两个集合的容斥原理：集合 A 与B
的并的元素个数，等于集合 A 的元素个数与集合 B 的元素个数的和，减去集合 A 与 B 的交的元素个数。
（1）是容斥原理的第一个公式.我们还可以用右图来说明.如图我们用 N1、N2、N3 分别表示 A∪B 中互不重叠的部
分的元素个数。可见：|A|=N1＋N3，| B|=N2＋N3，|A∩B|=N3.因此|A∪B|=N1＋N2＋N3＝（N1＋N3）+（N2＋N3）
-N3=|A|+|B|-|A∩B|。

我们知道，当集合 A 与B 没有公共元素时，有|A∪B|＝|A|+|B|.实际上这是公式（1）的特殊情
形，因为此时 两类事物：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|；三类事物：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C |-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|


例1 桌上有两张圆纸片 A、B.假设圆纸片 A 的面积为 30 平方厘米，圆纸片 B 的面积为 20 平方厘米.这两张圆纸片
重叠部分的面积为 10 平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积是多少？








【巩固】 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数。

例2 求在 1～100 的自然数中不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？










例3 一个班有学生 48 人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有 37 人，参加跳高的有
40 人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？










【想一想】如果全班有 3 人哪一个比赛项目都不参加，将会得出什么结果？








例4 60 名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照 1、2、3、4、……、59、60 的顺序依次报数，
再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？









例5 五年级一班有 45 名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有 25 人，报篮球班的有
20 人，报游泳班的有 30 人，足球、篮球都报者有 10 人，足球、游泳都报者有 10 人，游泳、篮球都报者有 12 人。请
问：三项都报的有多少人？

【巩固】某校有学生 960 人，其中 510 人订阅“中国少年报”，330 人订阅“少年文艺”，120 人订阅“中小学数
学教学报”；其中有 270 人订阅两种报刊，有 58 人订阅三种报刊.问这个学校中没有订阅任何报刊的学生有多少人？









例6 在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成 10 等分、12 等分、15 等分。如果沿每条刻度线把木
棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？









例7 如图，在长方形 ABCD 中，AD=15 厘米，AB=8 厘米，四边形 OEFG 的面积是 9 平方厘米。请问：阴影部分的面
积是多少平方厘米？

A
D





O
E
B
F
G
C




例8 设下面图中正方形的边长为 1 厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。

例9 在边长是 10 厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为 1 厘米的方框，把 5 个这样的方框放
在桌面上（如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面积是多少平方厘米？




例 10 李老师出了两道题，全班 40 人中，第一道题有 30 人对，第 2 题有 12 人未做对，两题都做对的有 20 人。
请问：（1）第 2 题对，但是第 1 题不对的有多少人？（2）两道题都不对的有几个人？










1
，乙答错了
1
，求甲乙都答 例 11 在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的 3 道，甲乙都错的题占题目总数的
4 6
对的题目有几道？







例 12 某班四年级时、五年级时和六年级时分别评出 10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生 4 人，五、六年
级连续三好生 3 人，四年级六年级两年评上三好生的有 5 人，四、五、六三年没评过三好生的有 20 人，请问：这个班最
多有多少名同学？最少有多少名同学？

【巩固】 六年级（1）班有 32 人参加数学竞赛，有 27 人参加英语竞赛，有 22 人参加语文竞赛，其中参加数学和
英语两科的有 12 人，参加了英语和语文两科的有 14 人，参加了数学和语文两科的有 10 人，那么六年级（1）班全班
至少有多少人？













例 13 真分数


1001
是最简真分数，问α有多少种取值？


















例 14 2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 1、2、3、……、2006，将编号为 2 的倍数的
灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下；最后将编号为 5 的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮
着的灯有多少盏？

例 15 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出。如果只 参加跳舞的人数三倍于只参加
合唱的人数；同时参加三种节目的人数比只参加合唱的人数少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱
的多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、
合唱但没有参加跳舞的有多少人？











家庭作业：
1.
五（6）班的同学中有 32 人喜欢音乐，27 人喜欢美术，音乐和美术都喜欢的有 11 人，请问：五（6）班的学生
中喜欢音乐或美术的一共有多少人？








2.
某班有 50 人，会游泳的有 27 人，会体操的有 18 人，都不会的有 15 人.问既会游泳又会体操的有多少人？








3.
在 1 至 1000 这 1000 个自然数中，能被 5 或 11 整除的自然数一共有多少个？








4.
在 1～1000 这 1000 个自然数中，不能被 2、3、5 中任何一个数整除的数有多少个？

5.
育新小学举行各年级学生画展，其中有 18 幅画不是六年级的，20 幅画不是五年级的。现在知道五、六年级共
展出 22 幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？








6.
“六一”儿童节，某校有 25 个小朋友得奖，学校为他们准备了甲、乙、丙三种奖品让他们自由选择，有 14 人要
甲种奖品，12 人要乙种奖品，10 人要丙种奖品，其中 4 人既要甲种又要乙种，但不要丙种奖品，2 人既要甲种又要丙
种，但不要乙种，只有 1 人三种都要。每个小朋友至少选择其中的一种，请问：有多少人要乙种和丙种而不要甲种奖品？









7.
一次数学小测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有 25 人做对，第二题有 18 人做错。请问：两道
题都做错的有几个人？









8.
五年级 2 班有 46 名学生参加三项课外兴趣活动，其中 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，参加文艺
小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，又是三项活动都参加人数的 7 倍，既参加文艺小组又参
加语文小组相当于三项活动都参加人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有 10 人。请问：参加文艺小组的
学生有多少人？

9.
某校五年级二班有 49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有 30 人参加，英语有 20 人参加，语文
小组有 10 人.老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有 3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语
文的人数均为质数，而三种全参加的只有 1 人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗？










10.
五环图中每一个环内半径为 4 厘米，外半径为 5 厘米.其中两两相交的小曲边四边形（右图中阴影部分）的面
积相等.已知五个圆环盖住的总面积是 122.5 平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。






11.
某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有 4 个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优
秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：

问这个班有多少名学生？








12.
有 100 位学生回答 A、B 两题.A、B 两题都没回答对的有 10 人，有 75 人答对 A 题，83 人答对 B 题，问有多少
人 A、B 两题都答对？

1 1
13.
在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的 ，乙答对了 7 道，甲乙都对的题占题目总数的 ，求甲答对了多少
9 6
道题？














14.
如图，在桌面上放置两两重叠，边长都相等的三个正方形纸片。已知盖住桌面的总面积是 144 平方厘米。三
张纸片共同重叠部分的面积是 42 平方厘米，图中阴影面积为 72 平方厘米。请问：正方形的边长是多少厘米？

乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，其中，完成第一步有m
1
种不同的方法，完成第二步有m
2
种不同的方法，……
完成第n步有m
n
种不同的方法
，
那么完成这件事情共有m
1
×m
2
×……×m
n
种不同的方法。

例1 上海到天津每天有 2 班飞机，4 趟火车，6 班汽车，从天津到北京有 2 班汽车。假期小茗有一次长途旅游，他
从上海出发先到天津，然后到北京，共有多少种走法?






例2 “IMO”是国际奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用红、黄、蓝三种颜色的笔来写，共有多少种写法？







【巩固】 在日常生活中，人们用来装饭、菜的有餐碗和餐盘，用来吃 饭的有餐勺、餐叉和餐筷。如果一种装饭
菜的和一种吃饭的餐具配作一套，那么以上这些可以组成不重复 的餐具多少套?






例 3 小红、小明准备在 5×5 的方格中放黑、白棋子各一枚，要求两枚不同的棋子不在同一行也不在同一列，共
有多少种方法？






























【巩固】右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问： 共
有多少种不同的放法？

例 4 用数字 0，1，2，3，4，组成三位数，符合下列条件的三位数各多少个？
①各个位上的数字允许重复； ②各个位上的数字不允许重复；








【巩固】 由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：①可组成多少个不同的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三
位数？








【拓展】由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？







例5 把 1～100 这 100 个自然数分别写在 100 张卡片上，从中任意选出两张，使他们的差为奇数的方法有多少种？







小结 ：应用乘法原理解决问题时要注意：
①做一件事要分成几个彼此互不影响的独立的步骤来完成；
②要一步接一步的完成所有步骤；
③每个步骤各有若干种不同的方法。


加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做
法，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mk 种不同的方法．
例6 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书 150 本，不同的
科技书 200 本，不同的小说 100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？

例7 一个口袋内装有 3 个小球，另一个口袋内装有 8 个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内
任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？








例8 如图，从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走．那么，从甲
地到丙地共有多少种走法？



例9 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，
向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？






例 10 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个？










例 11 如图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种
不同的走法？

例 12 如图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？


家庭作业：
1.
由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个：
①三位数？












②三位偶数？ ③没有重复数字的三位偶数？ ④百位为 8 的没有重复数字的三位数？
⑤百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？
2.
某市的电话号码是六位数的，首位不能是 0，其余各位数上可以是 0～9 中的任何一个，并且不同位上的数字可
以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？






3.
图中有 7 个点和十条线段，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲
虫最多有几种不同的走法？

4.
现有一角的人民币 4 张，贰角的人民币 2 张，壹元的人民币 3 张，如果从中至少取一张，至多取 9 张，那么，
共可以配成多少种不同的钱数？

5.
将 10 颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法?分给三个人有多少种分法？








6.
有红、白、黄、蓝四种颜色的彩旗各 1 面，不同的旗可以表示不同的信号，不同的颜色排列也可以表示不同的
信号，这 4 面旗可以发出多少种信号?








7.
从最小的五个质数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数?








8.
用 1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是 1 的五位数有多少？










9.
从 1 到 500 的所有自然数中，不含数字 2 的自然数有多少个?

Ⅰ 排列
在实际生活中把一些事 物进行有序的排列，计算共有多少种排法，这就是数学上的排列问题。在排的过程中不仅
与参加排列的事 物的多少有关，而且与排列的先后顺序有关，那么所有排列的个数叫做排列数。
一般的从 n 个不同的元素中任取 m 个（
m  n
）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个排列。记作：
A n(n  1)(n  2)  (n  m  1)
。
n
例1 计算 （1）
A






3
m
（2）
A
-2
A
8
4
5
2

8

【巩固】计算：（1）
A








2

6
（2）
A

 A
14
3

14
2
（3） 3
A
-
A
5
3 4

4
（4）（6×
A
）÷
A
12
6 7

12
例2 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？







【巩 1】有红、黄、蓝三种信号旗 ，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的
信号？





【巩 2】某铁路线共有 14 个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．





例3 用 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的五位数？

【巩固】由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成多少没有重复数字的①三位数？②个位是 5 的三位数？③百位是 1 的五
位数？④六位数？








例4 幼儿园里的 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子，有多少种坐法？





【对比】 幼儿园里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？





例5 有 4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时
人站成一排）





例6 4 名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？





【巩固】 9 名同学站成两排照相，前排 4 人，后排 5 人，共有多少种站法？







【拓展】 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？

3

Ⅱ 组合
在生活中还经常有许多“分组”问题，即 从一些事物中选出几个不同的事物分成一组，计算共有多少种分组方法，
这就是数学中的组合问题。
n n
组合是指从 m 个不同元素中选出 n 个元素组合在一起。组合数用符号“
c
m
”表示，
c
m










。


m
n
A
n
A
n

例 7 计算：①
c
； ②
c
15
3 1998
；③
c
×
c
； ④
A
-
c
.
4 8 8 8
3 2 2 6
2000

例8 分别写有 1、2、3、4、5、6、7、8 的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：
①有多少种不同的和？







②有多少个不同的加法算式？
例9 在圆周上有 12 个点.①过每两个点可以画一条直线 ，一共可以画出多少条直线？②过每三个点可以画一个三角
形，一共可以画出多少个三角形？








【拓展】以下图 8 个点中的 3 个为顶点，共可画出多少个不同的三角形?





例 10 7 名运动员中选出两名参加决赛，有多少种不同的选法？

【对比】有 7 名同学参加游泳比赛，获得冠军与亚军的名单中有几种不同的情形？







例 11 球队有 10 名男生、8 名女生，现在要选 8 人参加区里比赛，某两名女生最多入选一人，某两名男生至少选一人，
共有多少种选法？








【拓展】学校乒乓球队有 10 名男生、8 名女生，现在要选 8 人参加区里的比赛，
（1）
至少两名女生入选，有多少种不同的选法？
（2）
A、B 两名女生，C、D 两名男生这四人不能同时入选，有多少种不同的选法？
（3）
A、B 两名女生，C、D 两名男生这四人最多入选 2 人，有多少种不同的选法？








例 12 一次射击练习中，有 9 个气球排成 3 列(如图)，要求每一次射击都要击打某一列中的最低一个，那么击碎全
部 9 个气球有多少种不同的次序?






小结 ：排列组合问题其实是乘法原理与加法原理应用的延伸，很多排列问题都能用乘法原理来解决。其实在解决
组合计数问题时，最重要的是理解题意，想清楚解决问题的关键是什么，以及各种情况，然后具体情况具体分析 。
排列与组合的区别主要在于：排列的结果是元素相同顺序不同算作不同的结果，而组合的结果是元素 相同顺序不
同算作同一种结果。

家庭作业：
1、①用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个不同的三位数？（数字允许重复）
②用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的三位数？
③用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的七位数？
④从 1、2、3、4、5、6、7 中选出三个不同数字，有多少种不同的选法？










2、圆周上有 7 个点，以这些点为顶点连四边形，一共能画出多少个不同的四边形？





3、6 本不同的书借给 10 个小朋友，每人至多借一本，且 6 本书全部借出，一共有多少种不同的借书方法？





4、张华、李明等七个同学照像，分别求出下列条件下有多少种站法?
①七个人排成一排，张 华、李明都没有站在边上；②七个人排成两排，前排三人，后排四人；③七个人排成两排， 前
排三人，后排四人，张华、李明不在同一排。









5、 把 7 本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到 2 本，乙至少要分到 1 本，两人的本数不能相差 1，则不同的
分法共有（ ）种。

6、六五班有 8 名同学参加《科技与环保》的宣传活动。他们 在街头站成一排，向行人宣传环保知识，其中正副两名
组长不排在一起，一共有多少种排法?






7、 A、B、C、D、E、F、G、7 人排成一列，要求 A 在B 前，B 在C 前，G 在D 前。共有多少种不同排队方法?








8、从 15 名同学中选 5 名参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种。
(1)
甲、乙二人必须入选；(2)甲、乙二人中至少有一人入选；(3)甲、乙、丙三人中恰有一人入选；












9、张华、李明等七个同学照像，分别求出符合下列条件的排法各有多少种。(1)七个人排成一排，张华必须站在中间；
(2)
七个人排成一排，张华李明至少有一人站在两边；

< br>前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的. 例如有
时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既 要用到乘法原理，又要
用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的 排列问题了.类似的问题有很多，
要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合 的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.
加法原理：完成一件事情，可以有n类方法；在第一类方法中有m
1
种不同的方法，在第一类方法中有m
1
种不同的方
法，在第二类方法中有m
2
种不同的方法，……在第n类方法中有m
n
种不 同的方法；那么完成这件事共有：N=m
1
+m
2
+m
3
+…

+m
n
种不同的方法。

乘法原理：完成一件事情，需要n个步骤；做第一步有m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的方法，……做第n
步有m
n
种不同的方法；那么完成这件事共有：N=m
1
×m
2
×m
3
×…×m
n
种不同的方法。

组合数：从m 个不同的元素里，每次取 n 个不同的元素，只管元素的组成而不管排列顺序，这叫着从 m 个元素里
每次取 n 个元素的组合。从 m 个元素里每次取 n 个元素的组合的种数，可以用下面的公式表示：
n
C
m

m!
m  (m  1)  (m  n  1)

n!(m  n)!
n  (n  1)  2 1
排列数：如果考虑所取 n 个元素的顺序，则是排列数
A
m

n
m!
 m  (m  1)  (m  n  1)
(m  n)!
常用方法：枚举法、插板（插空）、捆绑、排除法、对应法等。

Ⅰ 综合题
例1 两个 1，一个 2，一个 3 可以组成种种不同的四位数。这些四位数一共有多少个？












例 2 由数字 0、1、2、3 可以组成多少个没有重复数字的偶数？

例3 国家举行足球赛，共 15 个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组 8 个队，第二组 7 个队.各组都进行单循
环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共 4 个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①
共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即 A、B 两个队比赛时，既要在 A 队所在的城市比赛一场，也要在 B 队所在的城
市比赛一场），共需比赛多少场？









例4 在一个半圆周上共有 12 个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个①三角形？ ②四边形？




例5 甲、乙、丙、丁 4 人各有一个作业本混放在一起，4 人每人随便拿了一本，问： ①甲拿到自己作业本的拿法有
多少种？②恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？③至少有一人没有拿 到自己作业本的拿法有多少种？









Ⅱ 涂色问题
例 6 如图是一个花皮球的一个侧面，请你用 4 种不同的颜色给皮球涂色，使相邻的部分颜色不同，有多少种不
同的涂色方法?

例 7 下图 A，B，C，D，E 五个区域分别用 红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的的区域染不
同的颜色，共有多少种不同的染色 方法？



A

B


C
D E

【巩 1】下图 A，B，C，D，E 五个区域分别用红、 黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的的区域染不
同的颜色，共有多少种不同的染色方法 ？




B


C
A
D
E

【巩 2】如图，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、黄、 蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的的区域染
不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？（ 必须分叉）




A
C
B
E

D




例8 用五种颜色给下图的五个区 域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问有多少种不同的染
色方法？

Ⅲ 数图形
例9 如下图，问①下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？②下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？










Ⅳ 插板法 、对应法
例 10 有 7 个相同的球全部放入 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放 1 个，共有多少种不同放法?







例 11 把 9 个苹果全部分给 3 个小朋友，每个小朋友至少分一个，共有多少种分法？







【对比】把 9 个苹果全部分给 4 个小朋友，有的小朋友可以不分，共有多少种分法？







【拓展】把 15 个苹果全部分给 4 个小朋友，每个小朋友至少分 2 个，共有多少种分法？

例 12 小明有 10 块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?








例 13 在 8×8 的方格表中,取出一个如图所示的由 3 个小方格组成的“L”形,一共有多少种不同的方法?








Ⅴ 捆绑法

例 14 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。求：（1）当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节

目的顺序？（2）当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？













家庭作业：
1.
由数字 0、1、2、3、4 可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④
小于 1000 的自然数？

2.
从 15 名同学中选 5 人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种①某两人必须入选；②某两人中至少有
一人 入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.











3.
如图，两条相交直线上共有 9 个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？





4.
如图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？




5.
七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；② 七个人排成一排，某两人必须有
一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成 一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成
两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.

6.
用 1 个 1，2 个 2，3 个 3 能组成多少个不同的 6 位数？








7.
如果一个至少有两位的十进制自然数中，它的每一位数字都比其右边位置的数 字小，则称为上升数。求上升
数的总数。









8.
四年级 5 个班每班各选 1 人为大队干部候选人。其中有 2 人代表候选人发言，要求这 2 人不能并肩站在一起。
这 5 位同学如果在主席台上站成一排共有多少种站队方法?

森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属
于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。狮子 大王又派大象去统计
野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我 应该是属于兽类的。”于是大象就把
蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种 兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”
狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果， 高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。”这个
统计正确吗？
同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。”这个故事说明了一个数 学问题，那就
是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交 叉）时，应把重复计数的
部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时 ，为了不重复计数，应从它们的和中
减去重复部分。
在很多计数问题中常用到数学上的一个包 含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集
合的初步知识。
集合
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝. 我们称一些事
物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。B＝｛全体自然数｝= ｛1，2，3，4，…｝是一个具体有
无限多个元素的集合。C=｛在 1，2，3，…，100 中能被 3 整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多
个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母 A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如五（1）班的每一位同
学均是集合 A 的一个元素.又如 B＝｛全体自然数｝中任何一个自然数都是集合 B 的元素.像集合B 这种含有无限多个元
素的集合称为无限集.像集合 C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、
|C|、…表示。
并集
记号 A∪B 表示所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合.就是图中两个圆所覆盖的部分.集合 A∪B 叫做集
合 A 与集合 B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A 并B”。

例 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合 B=｛2，4，6，8｝，则 A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素 2、4 在集合 A、B
中都有，在并集中只写一个。
交集
记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体.就是上图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B
的公共元素所组成的集合.它称为集合 A、B 的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交 B”.如例中的集合A、
B，则A∩B=｛2，4｝。
补集
例 设集合 I=｛1，3，5，7，9｝，集合 A=｛3，5，7｝。

补集（或余集），如图中阴影部分表示的集合（整个长

方形表示集合 I）.


对于两个没有公共元素的集合 A 和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。

例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，则 所以|A∪B|＝101＝100＋
1=|A|＋|B|。如果集合 A 与B 有公共元素，例如 A＝｛1，2，…，100｝，B＝｛90，91，…，101｝，则 A∩B＝（90，
91，…， 100｝，A∪B={1，2，…，101}.此时，|A∪B|与|A|+|B|有什么关系呢？在这个例中， |A∪B|=101，|A|＋|B|
＝100＋12=112。所以|A∪B|=|A|+|B|-11，我们注意到，11 恰为 A∩B 的元素个数.这是合理的，因为在求|A∪B|时，
90，91，…，100 这 11 个数各被计入一次，而在求|A|＋|B|时，这 11 个数各被计入两次（即多算了一次），并且这
11 个数组成的集合恰为 A∩B.因此得到|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，（1）这就是关于两个集合的容斥原理：集合 A 与B
的并的元素个数，等于集合 A 的元素个数与集合 B 的元素个数的和，减去集合 A 与 B 的交的元素个数。
（1）是容斥原理的第一个公式.我们还可以用右图来说明.如图我们用 N1、N2、N3 分别表示 A∪B 中互不重叠的部
分的元素个数。可见：|A|=N1＋N3，| B|=N2＋N3，|A∩B|=N3.因此|A∪B|=N1＋N2＋N3＝（N1＋N3）+（N2＋N3）
-N3=|A|+|B|-|A∩B|。

我们知道，当集合 A 与B 没有公共元素时，有|A∪B|＝|A|+|B|.实际上这是公式（1）的特殊情
形，因为此时 两类事物：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|；三类事物：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C |-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|


例1 桌上有两张圆纸片 A、B.假设圆纸片 A 的面积为 30 平方厘米，圆纸片 B 的面积为 20 平方厘米.这两张圆纸片
重叠部分的面积为 10 平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积是多少？








【巩固】 求在 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数。

例2 求在 1～100 的自然数中不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？










例3 一个班有学生 48 人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有 37 人，参加跳高的有
40 人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？










【想一想】如果全班有 3 人哪一个比赛项目都不参加，将会得出什么结果？








例4 60 名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照 1、2、3、4、……、59、60 的顺序依次报数，
再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？









例5 五年级一班有 45 名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有 25 人，报篮球班的有
20 人，报游泳班的有 30 人，足球、篮球都报者有 10 人，足球、游泳都报者有 10 人，游泳、篮球都报者有 12 人。请
问：三项都报的有多少人？

【巩固】某校有学生 960 人，其中 510 人订阅“中国少年报”，330 人订阅“少年文艺”，120 人订阅“中小学数
学教学报”；其中有 270 人订阅两种报刊，有 58 人订阅三种报刊.问这个学校中没有订阅任何报刊的学生有多少人？









例6 在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成 10 等分、12 等分、15 等分。如果沿每条刻度线把木
棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？









例7 如图，在长方形 ABCD 中，AD=15 厘米，AB=8 厘米，四边形 OEFG 的面积是 9 平方厘米。请问：阴影部分的面
积是多少平方厘米？

A
D





O
E
B
F
G
C




例8 设下面图中正方形的边长为 1 厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。

例9 在边长是 10 厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为 1 厘米的方框，把 5 个这样的方框放
在桌面上（如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面积是多少平方厘米？




例 10 李老师出了两道题，全班 40 人中，第一道题有 30 人对，第 2 题有 12 人未做对，两题都做对的有 20 人。
请问：（1）第 2 题对，但是第 1 题不对的有多少人？（2）两道题都不对的有几个人？










1
，乙答错了
1
，求甲乙都答 例 11 在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的 3 道，甲乙都错的题占题目总数的
4 6
对的题目有几道？







例 12 某班四年级时、五年级时和六年级时分别评出 10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生 4 人，五、六年
级连续三好生 3 人，四年级六年级两年评上三好生的有 5 人，四、五、六三年没评过三好生的有 20 人，请问：这个班最
多有多少名同学？最少有多少名同学？

【巩固】 六年级（1）班有 32 人参加数学竞赛，有 27 人参加英语竞赛，有 22 人参加语文竞赛，其中参加数学和
英语两科的有 12 人，参加了英语和语文两科的有 14 人，参加了数学和语文两科的有 10 人，那么六年级（1）班全班
至少有多少人？













例 13 真分数


1001
是最简真分数，问α有多少种取值？


















例 14 2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 1、2、3、……、2006，将编号为 2 的倍数的
灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下；最后将编号为 5 的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮
着的灯有多少盏？

例 15 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出。如果只 参加跳舞的人数三倍于只参加
合唱的人数；同时参加三种节目的人数比只参加合唱的人数少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱
的多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、
合唱但没有参加跳舞的有多少人？











家庭作业：
1.
五（6）班的同学中有 32 人喜欢音乐，27 人喜欢美术，音乐和美术都喜欢的有 11 人，请问：五（6）班的学生
中喜欢音乐或美术的一共有多少人？








2.
某班有 50 人，会游泳的有 27 人，会体操的有 18 人，都不会的有 15 人.问既会游泳又会体操的有多少人？








3.
在 1 至 1000 这 1000 个自然数中，能被 5 或 11 整除的自然数一共有多少个？








4.
在 1～1000 这 1000 个自然数中，不能被 2、3、5 中任何一个数整除的数有多少个？

5.
育新小学举行各年级学生画展，其中有 18 幅画不是六年级的，20 幅画不是五年级的。现在知道五、六年级共
展出 22 幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？








6.
“六一”儿童节，某校有 25 个小朋友得奖，学校为他们准备了甲、乙、丙三种奖品让他们自由选择，有 14 人要
甲种奖品，12 人要乙种奖品，10 人要丙种奖品，其中 4 人既要甲种又要乙种，但不要丙种奖品，2 人既要甲种又要丙
种，但不要乙种，只有 1 人三种都要。每个小朋友至少选择其中的一种，请问：有多少人要乙种和丙种而不要甲种奖品？









7.
一次数学小测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有 25 人做对，第二题有 18 人做错。请问：两道
题都做错的有几个人？









8.
五年级 2 班有 46 名学生参加三项课外兴趣活动，其中 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，参加文艺
小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，又是三项活动都参加人数的 7 倍，既参加文艺小组又参
加语文小组相当于三项活动都参加人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有 10 人。请问：参加文艺小组的
学生有多少人？

9.
某校五年级二班有 49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有 30 人参加，英语有 20 人参加，语文
小组有 10 人.老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有 3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语
文的人数均为质数，而三种全参加的只有 1 人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗？










10.
五环图中每一个环内半径为 4 厘米，外半径为 5 厘米.其中两两相交的小曲边四边形（右图中阴影部分）的面
积相等.已知五个圆环盖住的总面积是 122.5 平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。






11.
某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有 4 个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优
秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：

问这个班有多少名学生？








12.
有 100 位学生回答 A、B 两题.A、B 两题都没回答对的有 10 人，有 75 人答对 A 题，83 人答对 B 题，问有多少
人 A、B 两题都答对？

1 1
13.
在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的 ，乙答对了 7 道，甲乙都对的题占题目总数的 ，求甲答对了多少
9 6
道题？














14.
如图，在桌面上放置两两重叠，边长都相等的三个正方形纸片。已知盖住桌面的总面积是 144 平方厘米。三
张纸片共同重叠部分的面积是 42 平方厘米，图中阴影面积为 72 平方厘米。请问：正方形的边长是多少厘米？