十八大讲话-高考报名号

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21、数字和与最大最小问题
【数字求和】
例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，………，
第 99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数
是84。则100个连续自然数是：
35，36，37，………，133，134。
上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得：
35，37，39，……131，133。
则这50个数的和是：

例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是
_____。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得
（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……
29）， ……，（90、91、92、……99），（100）。
1

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容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0，
第二组十位上是1，第三组十位上是2，……第十组十位上是9，所以全体十位
上的数字和是（l+2 +3+……+9）×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。

续若干个数字之和是1992，那么a=____。
（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）



又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。
例4 有四个数， 每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一
个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数 ：86，92，100，106。那么，原
来四个数的平均数是
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中

原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。
【最大数与最小数】
例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要
使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是
2

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（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。
讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真

例2 将1、2 、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。
已知这三个和互不相等，且最大的 和是最小和的2倍。问：最小的和是多少
（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析；因为1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的

例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：

使A是整数。A最大是多少

（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。
分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。当分母取7时，
3

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例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25 。除1之
外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中
某两个 数之和。问：这组数之和的最大值是多少当这组数之和有最小值时，这组
数都有哪些数并说明和是最小值 的理由。
（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）
析：观察自然数1、2、3 、4、5、……、25这25个数，发现它们除1之外，
每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个 数之和表示。因此，这组数之和
的最大值是1+2+3+……+25=325。
下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成 两个数之和的形
式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、
25时，还需取2、3、5。经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、
25时，和 最小是61。







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22、数字串问题
【找规律填数】
例1 找规律填数

（杭州市上城区小学数学竞赛试题）


（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。
第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别

别是4和2。
第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数
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得到了


例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在
空格中填上合适的数。

（1994年天津市小学数学竞赛试题）
讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之 间的关系。不难发现每竖行中的
第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。
【数列的有关问题】


数是几分之几
（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数 个数，分别是1、3、
5、7、9……。所以，分母分别为1、2、3……9的分数共
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例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1 ，1989，1988，…这个
数列的第1993个数是______
（首届《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是 1，第二、三个
数是从1993开始，依次减1排列。
而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1。
例3 已知小数……9899的小数点 后面的数字，是由自然数1—99依次排列
而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。
（1988年上海市小学数学竞赛试题）
讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：

A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。所以，第
88位上是4。
例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；
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几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题）

讲析：第一行 每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分
母之和为3，第三行每个分数的分子与分母 之和为4，……即每行各数的分子与
分母之和等于行数加1。


例5 如图，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的
两个数的平均数，那么第10 0行各数之和是_______。
（广州市小学数学竞赛试题）
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讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二 、三、四行每行的各数之和
分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4 。故第
100行各数之和为100×2＋4=204.
例6 伸出你的左手，从大拇指开 始，如图所示的那样数数：l、2、3……。
问：数到1991时，会落在哪个手指上
（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个 数都是从食指开始
到拇指结束。∵（1991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6个数又从食指开始 数，
会到中指结束。

例7 如图，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“ 2”处拐第一个弯，
在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数

（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）
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讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），
（10，1 3），（17，21），（26，31），……。将会发现，每组数中依次相差1、
2、3、4、5、… …。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。
从而可推出，拐第二十个弯处 的数是111。
例8 自然数按图顺次 排列。数字3排在第二行第一列。问：1993排在第几
行第几列

（全国第四届“华杯赛”复赛试题）
讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。
每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……，奇数斜行中的数由下向上
排列，偶数 斜行中的数由上向下排列。


斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。
由于从1954开 始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1。所以1993
的列数、行数分别是：
1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）
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23、数阵图
【方阵】
例1 将自然数1至9，分别填在图的方格中，使得每行、每列以及两条对角
线上的三个数之和都相等。
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（长沙地区小学数学竞赛试题）
讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一
数填“5”。
再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图），便得解
答如下。

例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图的小方格中，使每一横
行 四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）
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讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，
（三行四列）。所以，能被 12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，
因此，应去掉7。每列为（91—7）÷4 =21
而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图所示。
三个奇数 和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为3、
5、13的不合要求 ，故不难得出答案，如图所示。

例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个 数填到图的十个方格中，
每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的
最小值是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是
6 5。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。
所以，（a＋b）之和至少是7。
故，和数的最小值是24。
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【其他数阵】
例1 如图，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列 上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是____ __。

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：可先看竖 格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重
复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是 ：3、10、8、3、10、8、3、10、8、
3、10、8。
同理可推导出横格各数，其中“×”=5。
例2 如图，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域 ，现在两个区域里已
经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、 9七
个数字，使每个圆内的数之和都是15。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
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讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。（如图）
显然a=5，g=9。
则有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。经适当试验，可得 b=3，c=7，d=6，
e=2，f=4。
例3 如图，将六个圆圈中分别填上六个质 数，它们的和是20，而且每个小
三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是_____ _。
（全国第一届“华杯赛”决赛试题）
讲析：最上面的小三角形与中间的小三角 形，都有两个共同的顶点，且每个
小三角形顶点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间 圆圈内数
字相等。

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同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。
20÷2=10，10＝2+3+5。
所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。
例4 在图的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一
个数是两边两个 数的平均数。现已填好两个数，那么X=_______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：如图，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。
则d=15。
由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。
所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。
例5 图中8个顶点处标注的数字：
a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点

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（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得




即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0








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24、数的组成
【数字组数】
例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字
都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。
（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、 7本身就是质数。于是只剩
下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数： 41和
689。所以，最多能组成六个质数。
例2 用0、1、2、……9这十个数字组 成五个两位数，每个数字只用一次，
要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的 和是______。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
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讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所
以它们的十位上分别 是9、 8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。但要
求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4= 10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：
（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。
351即本题答案。
例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上
的数字，那么就称它被另一个 三位数“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被
123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉 ），但240和223互不被吃掉。现
请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉 ，并且它们的
百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取
1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数 字中，a中至少
有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时，十 位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减
少1。即：114，123，132。当百位上为 2时，十位上从1开始依次增加1而个
位上只能从3开始依次减少1。即：213，222，231。经 检验，这六个数符合要
求。
例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一 个八位数，使得两个1
之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间< br>有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。
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（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要
求两个1之间有 一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或
421314。然后可添上另一个2和 3。
经调试，得，此数即为所答。
【条件数字问题】
例1 某商品 的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，
925。其中每一个数与商 品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个
三位数是_______
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组 比较，可发现：百位上五
个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5。故所求的
数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。经观察比较，可知724符合
要求。
例2 给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______
个
（首届《现代小学数学）》邀请赛试题）
讲析：可先求出1500个数字可编多少页。
从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到 第99页，共用去2×90=180
（个）数字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（ 页）
所以，这本书共有536页。
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l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200 至
299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页
共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。所以，共用去211个数
字3。
例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个。
（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，
得
（100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、
999）
共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共
有2×90=180（个）。
例4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。这六个和中最
小的四个数是8 3、87、92、94，原因数中最小的是______。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c
比b大4。而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94。
当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38。
当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39。
所以，原四数中最小的数是38或39。
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abcd=______
（广州市小学数学竞赛试题）

讲析：原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四
位数（如图）。 从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数。则


例6 有两个两位数， 它们的个位数字相同，十位数字之和是11。这两个数
的积的十位数字肯定不会是哪两个数字
（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）
讲析：由题意可知，两个数的十位上为（2，9） ，（3，8），（4，7），（5，
6），而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个 数的积，那
是很麻烦的。
设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b =11，两数分别
为（10a+c)，（10b+c）。


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字。

能是6、8。

例7 期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月
份， 后两个数字表示日（如1976年4月5日记为760405）。
第二届小学“祖杯赛”的竞赛日 期记为921129。这个数恰好左右对称。因
此这样的日期是“吉祥日”。问：从87年9月1日到9 3年6月30日，共有_______
个吉祥日。（第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题）
讲析：一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，
只有11月份。而且“年份” 的个位数字只能是0、1、2。
所以是共有3个吉祥日：901109、911119、921129。










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25、数的整除性规律
【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）
【能被3或9整除的数的特征】一个 数，当且仅当它的各个数位上的数字之
和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24
3｜24，则3｜1248621。
又如，372681各位上的数字之和是
3+7+2+6+8+1=27
9｜27，则9｜372681。
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【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且 仅当它的末两位数能被4或
25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。
的末两位数为75，25｜75，则25｜
。
【能被8或125整除的数的特征】一个 数，当且仅当它的末三位数字为0，或者
末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除 。
例如，的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。
0的末三位数为750，125｜750，则125｜0。
【能被7、11、13整除的数的特征】一 个数，当且仅当它的末三位数字所表示的
数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7 、11、13整除时，
这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数 为523，末三位以前的数字所表示的数是75，
523-75=448，448÷7=64，即
7｜448，则7｜75523。
又如，1095874的末三位数为874，末三 位以前的数字所表示的数是1095，
1095-874=221，221÷13=17，即
13｜221，则13｜1095874。
25

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再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，
967 -868=99，99÷11=9，即
11｜99，则11｜868967。
此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：
一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与 偶数位上数字之和的差（大减
小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。
例如，4239235的奇数位上的数字之和为
4+3+2+5=14，
偶数位上数字之和为2+9+3=14，
二者之差为14-14=0，0÷11=0，
即11｜0，则11｜4239235。










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26、数的公理、定理或性质
【小数性质】小数的性质有以下两条：
（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。
（2）把小数点向右移动n位，小数 就扩大10
n
倍；把小数点向左移动n位，
小数就缩小10
n
倍。
【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，
分数的大小不变。即

【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去
九数”，或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把
该数的各位数字加起来 ，再减去9的倍数，就得到该数的“去九数”。（求法见
本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运算 法则或方法”中的“弃九验算法”
词条。）去九数有两条重要的性质：
（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。
（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。
27

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这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。
【自然数平方的性质】
（1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。
为什么有这一性质呢这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式，k为整数。
而
（2k+1）
2
=4k
2
+4k+1
=4k（k+1）+1
k与k+1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k+1）是8的倍数，
能被8整 除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）
2
能被8除余1，也就是任何一
个 奇数的平方被8除余1。
例如，27
2
=729
729÷8=91……1
（2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是4的倍数。
这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）
2
＝4k
2

显然，4k
2
是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数。
例如，216
2
=46656
46656÷4=11664
即 4|46656
28

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【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：
（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。
（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。
（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。
（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。
由第（4）条性质，还可以推广到:
若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。
【偶数运算性质】偶数运算性质有：
（1）若干个偶数的和或者差是偶数。
（2）若干个偶数的积是偶数。
例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2 010；用偶数相减的
算式3756-的差，也是偶数1984。
【奇数运算性质】奇数运算性质有：
（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。
（2）若干个奇数的积是奇数。




29

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27、数的大小概念
【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。采用 下述办
法，往往可大大提高解题的速度。
（1）交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后



2×5＝10， 3×3=9， 3×8=24， 5×5=25，


之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。这时，分数
的大小就只取决 于分子的大小了。
（2）用“1”比较。当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小
30

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（4）化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时

31

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序排列起来：

（5） 两分数相除。用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往
往能快速地找出它们的大小关系。由 于这样做，省略了通分的过程，所以


显然，将它们反过来相除，也是可以的：

【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直 接给出，比较它们的大小，有一定
难度。这时，可按下面的办法去做：
（1）先看分子是1的情况。例如下题：

32

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第一种方法是直观比较。先画线段图（图）：

由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。





数。

可知



（2）再看分子不是1的情况。例如下题：
33

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它同样也可以用四种方法比较大小。比方
用直观比较方法，可画线段图如下（图）：


由图可知，甲数大于乙数。
用统一分子的方法，也可比较它们的大小。因为

用图表示就是图：


这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等。所以，它们
每一 份也相等。而甲数有9份，乙数只有8份，故甲数大于乙数。


34

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去，即可知道甲数大于乙数。
如果用转化关系式比较。由题意可知

根据一个因数等于积除以另一个因数，可得











28、数的大小比较
【分数、小数大小比较】

（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）
35

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讲析：这两个分数如果按通分的方法比较大小，计算将非常复杂。于是可采
用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。





个数是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：将给出的六个数分别写成小数，并且都写出小数点后面前四位数，则
把这六个数按从 大到小排列是：





【算式值的大小比较】

例1 设A=9876543×3456789； B=9876544×3456788。
试比较A与B的大小。
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（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）
讲析：可将A、B两式中的第一个因数和第二 个因数分别进行比较。这时，
只要把两式中某一部分变成相同的数，再比较不同的数的大小，这两个算式 的大
小便能较容易地看出来了。于是可得
A =9876543×（3456788＋1）
=9876543×3456788＋9876543；
B =（9876543＋1）×3456788
=9876543×3456788＋3456788；
所以，A＞B。
例2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：如果直接把四个算式的值计算出 来，显然是很麻烦的，我们不妨运用
化简繁分数的方法，比较每式中相同位置上的数的大小。


37

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比较上面四个算式的结果，可得出最大的得数是算式（3）。

例3 图中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形，它们的面积

问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大
（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：


方形放入大正方形中去的办法，来比较它们的大小（如图）。
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所以，两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。








29、实践与实际操作
【最短路线】
例1 一只蚂蚁要从A处出发，经粘合在一块木板上的正方体（如图）的表
面爬到B处。
请你在图上画出最短的路线（看得见的画实线，看不见的画虚线），有几条
就画几条。
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（1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：可将正方体的几个面，按正视位置的前面—上 面展开，前面—右面展
开，左面—后面展开，左边—上面展开，其展开图都是由两个正方形面组成的长< br>方形（如图所示）。

根据两点之间直线段最短的原理，故最短路线为每个长方形对角线，它们共
有四条，如图所示。
例2 请你在图（3）、（4）、（5）上画出三种与图（2）不一样的设计图，
使它们折 起来后，都成为图（1）所示的长方形盒子（粗线和各棱交于棱的中点）。
（第四届《从小爱数学 》邀请赛试题）讲析：解题的关键，是要分清实线与
虚线，然后思考它们是按什么方式展开的。

不难想象，其答案如图（3）、（4）、（5）所示。
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【切分图形】
例1 请将图分成面积相等，形状相同，且每一块中都含有“数学竞赛”字
样的四块图形。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：从条件看，所分成的每一块图中，必须有四个小正方形，且只有五种
（如图）。

根据图中汉字的具体位置，可发现图中图（1）、图（2）明显不合，图（3）、
图（4） 也不能分成。于是只剩下图（5）。
进一步搜索，便可得到答案。答案如图所示。
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例2 在一张正方形纸上画两个三角 形，最多可以把这个正方形分成
________块，画三个三角形，最多可以把这个正方形分成___ _____块；画四个三
角形，最多可以把这个正方形分成_________块。
（1990年无锡市小学数学竞赛试题）
讲析：可先找出规律。
在正方形纸上，画 一个三角形，依次画三条边时，增加了（1＋1＋1）块，
最多可把它分成4块；画二个三角形，依次画 三条边时，增加了（3＋3＋3）块，
共13块；画三个三角形，依次画三条边时，增加了（5＋5＋5 ）块，共28块，
如图所示。
由此推得，画四个三角形，可增加（7＋7＋7）块，最多，共49块。

【拼合图形】
例1 图是由图中的六块图形拼合而成的，其中图①放在中间一列的某一格。
请在图中找出 这六个图形，并画出来。

42

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（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛试题）

讲析：可先确定图①的 位置。因为图①在中间的一列的某一格，当图①放在
A、B、C处时，经试验，与其它五图不能拼成图。
当图①放在D处时，这六幅图可以拼成图。拼法如图所示。


例2 7块正方体积木堆在桌上。
从东、南、西、北四个方向看去，所看到的一面都只有5个正方 形，而且看
到的图案是一样的。（如图）。那么从上面看下去，看到的图形可能是什么

样的请在图中正确的图形下面打
“√”，错误的图形下面打“×”。（《从小爱数学》邀请赛第五届试题）
43

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讲析：上面的七幅 图都是俯视图。在看每幅图是否正确时，关键是想象出将
另两块积木，放在这五块中哪两块的上面，然后 分别从东西南北四个方向去看，
得出的图形是否与图相吻合。
经试验，得出的答案如图所示，即按从左往右，从上至下的位置，依次为√、
√、×、√、×、√、√。

省工省时问题
例1 某车队有4辆汽车，担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任
（图所标出的数是各分厂所需 装卸工人数）。若各分厂自派装卸工，则共
需33人。若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的 分厂再配备一个
或几个装卸工，那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数，又使装卸工人
数最 少？

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（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）
讲析：可从需要工人数最 少的E分厂着手。假定每辆车上配备3人，则
需在D、C、B、A、F五处分别派1、5、2、3、4人 ，共需27人。
若每车配备4人，则需在C、B、A、F四处分别派4、1、2、3人，共需
26人。
若每车配备5人，则需在C、A、F三处分别派3、1、2人，共需26人。
所以，上面的第二、三种方案均可，人数为26人。
例2 少先队员在植树中，每人植树2棵。如 果一个人挖一个树坑需要25
分钟，运树苗一趟（最多可运4棵）需要20分钟，提一桶水（可浇4棵树 ）
需要10分钟，栽好一棵树需要10分钟，现在以两个人为一个小组进行合作，
那么，完成植 树任务所需的最短时间是______分钟。
（福州市鼓楼区小学数学竞赛试题）
讲析：可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排，用图来表示出来。

由图可知，完成任务所需的最短时间，是85分钟。
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例3 若干箱同样的货物总重吨，只知每箱重量不超过353千克。今有载
重量为吨的汽车，至少需要______辆，才能保证把这些货物一次全部运走。
（箱子不能拆开）
（北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：关键是要理解“至少几辆车， 才能保证一次运走”的含义。也就
是说，在最大浪费车位的情况下，最少要几辆车。
∵这堆货物箱数至少有：
19500÷353≈≈56（箱）；
一辆汽车每次最多能装的箱数：
1500÷353≈≈4（箱）。
∴一次全部运走所有货物，至少需要汽车56÷4=14（辆）。
例4 如图，一条公路（粗线） 两侧有7个工厂（0
1
、0
2
、……、0
7
），通
过小路（细线）分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现在要设置一个车
站，使各工厂（沿小路 和公路走）的距离总和越小越好。这个车站应设在一
______点。
（1992年福州市小学数学竞赛试题）

讲析：从各工厂到车站，总是先走小路，小路的总长不变，所以问题可
46

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转化为：“在一条公路上的A、B、C、D、E、F 处各有一个工厂，D处有两个
工厂。要在公路上设一个站，使各厂到车站的距离总和最小（如图）。

显然，车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。
如果车站设在D处，则各厂到D总长是：
（DA＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC；
如果车站设在C处，则各厂到C总长是
（CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。
比较上面两个式子得：当车站设在D处时，七厂到车站的距离总和最小。
【费用最少问题】
例1 在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图），共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二 号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，
其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放 在一个仓库里，如果每
吨货物运输1千米需要元的运费，那么最少要花多少运费才行？
（全国第一届“华杯赛”复赛试题）


讲析：这类问题思考时，要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处
理的方法是：“小往大处靠”。
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v1.0 可编辑可修改
因为第五个仓库有40吨，比第 一、二仓库货物的总和还多。所以，尽量
把第五个仓库的货不动或者动得最近。
当存放站设在第四仓库时，一、二、五仓库货物运输的吨千米数为：
10×300＋20×200＋40×100=11000；
当存放站设在第五仓库时，一、二仓库货物运输的吨千米数为：
10×400+20×300=10000。
所以，存放点应设在第五号仓库，运费最少。运费是×10000=5000（元）。
例2 有十 个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如图（，单位：千米），
要安装水管，从县城送自来水到各村， 可用粗细两种水管，粗管足够供应所
有各村用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8千元，细管 每千米
要用2千元。把粗管细管适当搭配，互相连接，可降低工程总费用。按最节
省的办法，费 用应是多少？
（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）

讲析： 因为粗管每千米的费用是细管的4倍，所以应该在需要安装四根
或四根以上水管的地段，都应安装粗管。 因此，只有到最后三个村安装细管，
费用才最省。
不难求出，最少费用为414000元。


48

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30、容斥原理问题
例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。
（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）
讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；
能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。
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所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：
200＋142—28=314（个）；
不能被5或7整除的数一共有
1000—314=686（个）。
例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学
生在这三个项目上都没有达到 优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部
分学生达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的学生人数。
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：如图，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人
数。

只有篮球一项达到优秀的有
15—6—5+2=6（人）；

50

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21、数字和与最大最小问题
【数字求和】
例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，…… …，
第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数
是84。则100个连续自然数是：
35，36，37，………，133，134。
上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得：
35，37，39，……131，133。
则这50个数的和是：

例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是
_____。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得
（1、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……
29）， ……，（90、91、92、……99），（100）。
1

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容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0，
第二组十位上是1，第三组十位上是2，……第十组十位上是9，所以全体十位
上的数字和是（l+2 +3+……+9）×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。

续若干个数字之和是1992，那么a=____。
（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）



又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。
例4 有四个数， 每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一
个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数 ：86，92，100，106。那么，原
来四个数的平均数是
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中

原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。
【最大数与最小数】
例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要
使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是
2

v1.0 可编辑可修改
（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。
讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真

例2 将1、2 、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。
已知这三个和互不相等，且最大的 和是最小和的2倍。问：最小的和是多少
（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析；因为1+2+3+……+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的

例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：

使A是整数。A最大是多少

（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。
分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。当分母取7时，
3

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例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25 。除1之
外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中
某两个 数之和。问：这组数之和的最大值是多少当这组数之和有最小值时，这组
数都有哪些数并说明和是最小值 的理由。
（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）
析：观察自然数1、2、3 、4、5、……、25这25个数，发现它们除1之外，
每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个 数之和表示。因此，这组数之和
的最大值是1+2+3+……+25=325。
下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成 两个数之和的形
式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、
25时，还需取2、3、5。经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、
25时，和 最小是61。







4

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22、数字串问题
【找规律填数】
例1 找规律填数

（杭州市上城区小学数学竞赛试题）


（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。
第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别

别是4和2。
第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数
5

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得到了


例2 右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在
空格中填上合适的数。

（1994年天津市小学数学竞赛试题）
讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之 间的关系。不难发现每竖行中的
第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。
【数列的有关问题】


数是几分之几
（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数 个数，分别是1、3、
5、7、9……。所以，分母分别为1、2、3……9的分数共
6

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例2 有一串数：1，1993，1992，1，1991，1990，1 ，1989，1988，…这个
数列的第1993个数是______
（首届《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是 1，第二、三个
数是从1993开始，依次减1排列。
而1993÷3=664余1，可知第1993个数是1。
例3 已知小数……9899的小数点 后面的数字，是由自然数1—99依次排列
而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。
（1988年上海市小学数学竞赛试题）
讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：

A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。所以，第
88位上是4。
例4 观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；
7

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几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题）

讲析：第一行 每个分数的分子与分母之和为2，第二行每个分数的分子与分
母之和为3，第三行每个分数的分子与分母 之和为4，……即每行各数的分子与
分母之和等于行数加1。


例5 如图，除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的
两个数的平均数，那么第10 0行各数之和是_______。
（广州市小学数学竞赛试题）
8

v1.0 可编辑可修改
讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二 、三、四行每行的各数之和
分别是6、8、10、12，从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4 。故第
100行各数之和为100×2＋4=204.
例6 伸出你的左手，从大拇指开 始，如图所示的那样数数：l、2、3……。
问：数到1991时，会落在哪个手指上
（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个 数都是从食指开始
到拇指结束。∵（1991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6个数又从食指开始 数，
会到中指结束。

例7 如图，自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“ 2”处拐第一个弯，
在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数

（全国第一届“华杯赛”决赛口试试题）
9

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讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：（2，3），（5，7），
（10，1 3），（17，21），（26，31），……。将会发现，每组数中依次相差1、
2、3、4、5、… …。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。
从而可推出，拐第二十个弯处 的数是111。
例8 自然数按图顺次 排列。数字3排在第二行第一列。问：1993排在第几
行第几列

（全国第四届“华杯赛”复赛试题）
讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。
每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……，奇数斜行中的数由下向上
排列，偶数 斜行中的数由上向下排列。


斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。
由于从1954开 始，每增加1时，行数就减少1，而列数就增加1。所以1993
的列数、行数分别是：
1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）
10

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23、数阵图
【方阵】
例1 将自然数1至9，分别填在图的方格中，使得每行、每列以及两条对角
线上的三个数之和都相等。
11

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（长沙地区小学数学竞赛试题）
讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一
数填“5”。
再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图），便得解
答如下。

例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图的小方格中，使每一横
行 四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）
12

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讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，
（三行四列）。所以，能被 12整除。十三个数之和为91，91除以12，商7余7，
因此，应去掉7。每列为（91—7）÷4 =21
而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图所示。
三个奇数 和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。经检验，三个奇数为3、
5、13的不合要求 ，故不难得出答案，如图所示。

例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个 数填到图的十个方格中，
每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么，这个和数的
最小值是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是
6 5。在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。
所以，（a＋b）之和至少是7。
故，和数的最小值是24。
13

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【其他数阵】
例1 如图，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列 上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是____ __。

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：可先看竖 格。因为每相邻三格数字和为21，所以每隔两格必出现重
复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是 ：3、10、8、3、10、8、3、10、8、
3、10、8。
同理可推导出横格各数，其中“×”=5。
例2 如图，有五个圆，它们相交后相互分成九个区域 ，现在两个区域里已
经分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、 9七
个数字，使每个圆内的数之和都是15。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
14

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讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。（如图）
显然a=5，g=9。
则有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。经适当试验，可得 b=3，c=7，d=6，
e=2，f=4。
例3 如图，将六个圆圈中分别填上六个质 数，它们的和是20，而且每个小
三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是_____ _。
（全国第一届“华杯赛”决赛试题）
讲析：最上面的小三角形与中间的小三角 形，都有两个共同的顶点，且每个
小三角形顶点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间 圆圈内数
字相等。

15

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同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。
20÷2=10，10＝2+3+5。
所以，六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。
例4 在图的七个○中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中间一
个数是两边两个 数的平均数。现已填好两个数，那么X=_______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：如图，可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。
则d=15。
由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。
所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=19。
例5 图中8个顶点处标注的数字：
a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点

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（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得




即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0








17

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24、数的组成
【数字组数】
例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字
都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。
（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、 7本身就是质数。于是只剩
下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数： 41和
689。所以，最多能组成六个质数。
例2 用0、1、2、……9这十个数字组 成五个两位数，每个数字只用一次，
要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的 和是______。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
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讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所
以它们的十位上分别 是9、 8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。但要
求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4= 10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：
（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。
351即本题答案。
例3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上
的数字，那么就称它被另一个 三位数“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被
123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉 ），但240和223互不被吃掉。现
请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉 ，并且它们的
百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取
1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数 字中，a中至少
有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时，十 位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减
少1。即：114，123，132。当百位上为 2时，十位上从1开始依次增加1而个
位上只能从3开始依次减少1。即：213，222，231。经 检验，这六个数符合要
求。
例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一 个八位数，使得两个1
之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间< br>有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。
19

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（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要
求两个1之间有 一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或
421314。然后可添上另一个2和 3。
经调试，得，此数即为所答。
【条件数字问题】
例1 某商品 的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，
925。其中每一个数与商 品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个
三位数是_______
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组 比较，可发现：百位上五
个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5。故所求的
数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。经观察比较，可知724符合
要求。
例2 给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______
个
（首届《现代小学数学）》邀请赛试题）
讲析：可先求出1500个数字可编多少页。
从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到 第99页，共用去2×90=180
（个）数字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（ 页）
所以，这本书共有536页。
20

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l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200 至
299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页
共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。所以，共用去211个数
字3。
例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个。
（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，
得
（100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、
999）
共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共
有2×90=180（个）。
例4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。这六个和中最
小的四个数是8 3、87、92、94，原因数中最小的是______。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c
比b大4。而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94。
当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38。
当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39。
所以，原四数中最小的数是38或39。
21

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abcd=______
（广州市小学数学竞赛试题）

讲析：原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四
位数（如图）。 从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数。则


例6 有两个两位数， 它们的个位数字相同，十位数字之和是11。这两个数
的积的十位数字肯定不会是哪两个数字
（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）
讲析：由题意可知，两个数的十位上为（2，9） ，（3，8），（4，7），（5，
6），而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个 数的积，那
是很麻烦的。
设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b =11，两数分别
为（10a+c)，（10b+c）。


22

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字。

能是6、8。

例7 期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月
份， 后两个数字表示日（如1976年4月5日记为760405）。
第二届小学“祖杯赛”的竞赛日 期记为921129。这个数恰好左右对称。因
此这样的日期是“吉祥日”。问：从87年9月1日到9 3年6月30日，共有_______
个吉祥日。（第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题）
讲析：一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，
只有11月份。而且“年份” 的个位数字只能是0、1、2。
所以是共有3个吉祥日：901109、911119、921129。










23

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25、数的整除性规律
【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）
【能被3或9整除的数的特征】一个 数，当且仅当它的各个数位上的数字之
和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24
3｜24，则3｜1248621。
又如，372681各位上的数字之和是
3+7+2+6+8+1=27
9｜27，则9｜372681。
24

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【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且 仅当它的末两位数能被4或
25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。
的末两位数为75，25｜75，则25｜
。
【能被8或125整除的数的特征】一个 数，当且仅当它的末三位数字为0，或者
末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除 。
例如，的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。
0的末三位数为750，125｜750，则125｜0。
【能被7、11、13整除的数的特征】一 个数，当且仅当它的末三位数字所表示的
数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7 、11、13整除时，
这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数 为523，末三位以前的数字所表示的数是75，
523-75=448，448÷7=64，即
7｜448，则7｜75523。
又如，1095874的末三位数为874，末三 位以前的数字所表示的数是1095，
1095-874=221，221÷13=17，即
13｜221，则13｜1095874。
25

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再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，
967 -868=99，99÷11=9，即
11｜99，则11｜868967。
此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：
一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与 偶数位上数字之和的差（大减
小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。
例如，4239235的奇数位上的数字之和为
4+3+2+5=14，
偶数位上数字之和为2+9+3=14，
二者之差为14-14=0，0÷11=0，
即11｜0，则11｜4239235。










26

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26、数的公理、定理或性质
【小数性质】小数的性质有以下两条：
（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。
（2）把小数点向右移动n位，小数 就扩大10
n
倍；把小数点向左移动n位，
小数就缩小10
n
倍。
【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，
分数的大小不变。即

【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去
九数”，或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把
该数的各位数字加起来 ，再减去9的倍数，就得到该数的“去九数”。（求法见
本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运算 法则或方法”中的“弃九验算法”
词条。）去九数有两条重要的性质：
（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。
（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。
27

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这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。
【自然数平方的性质】
（1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。
为什么有这一性质呢这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式，k为整数。
而
（2k+1）
2
=4k
2
+4k+1
=4k（k+1）+1
k与k+1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k+1）是8的倍数，
能被8整 除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）
2
能被8除余1，也就是任何一
个 奇数的平方被8除余1。
例如，27
2
=729
729÷8=91……1
（2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是4的倍数。
这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）
2
＝4k
2

显然，4k
2
是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数。
例如，216
2
=46656
46656÷4=11664
即 4|46656
28

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【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：
（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。
（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。
（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。
（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。
由第（4）条性质，还可以推广到:
若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。
【偶数运算性质】偶数运算性质有：
（1）若干个偶数的和或者差是偶数。
（2）若干个偶数的积是偶数。
例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2 010；用偶数相减的
算式3756-的差，也是偶数1984。
【奇数运算性质】奇数运算性质有：
（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。
（2）若干个奇数的积是奇数。




29

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27、数的大小概念
【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。采用 下述办
法，往往可大大提高解题的速度。
（1）交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后



2×5＝10， 3×3=9， 3×8=24， 5×5=25，


之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。这时，分数
的大小就只取决 于分子的大小了。
（2）用“1”比较。当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小
30

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（4）化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时

31

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序排列起来：

（5） 两分数相除。用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往
往能快速地找出它们的大小关系。由 于这样做，省略了通分的过程，所以


显然，将它们反过来相除，也是可以的：

【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直 接给出，比较它们的大小，有一定
难度。这时，可按下面的办法去做：
（1）先看分子是1的情况。例如下题：

32

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第一种方法是直观比较。先画线段图（图）：

由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。





数。

可知



（2）再看分子不是1的情况。例如下题：
33

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它同样也可以用四种方法比较大小。比方
用直观比较方法，可画线段图如下（图）：


由图可知，甲数大于乙数。
用统一分子的方法，也可比较它们的大小。因为

用图表示就是图：


这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等。所以，它们
每一 份也相等。而甲数有9份，乙数只有8份，故甲数大于乙数。


34

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去，即可知道甲数大于乙数。
如果用转化关系式比较。由题意可知

根据一个因数等于积除以另一个因数，可得











28、数的大小比较
【分数、小数大小比较】

（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）
35

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讲析：这两个分数如果按通分的方法比较大小，计算将非常复杂。于是可采
用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。





个数是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：将给出的六个数分别写成小数，并且都写出小数点后面前四位数，则
把这六个数按从 大到小排列是：





【算式值的大小比较】

例1 设A=9876543×3456789； B=9876544×3456788。
试比较A与B的大小。
36

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（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）
讲析：可将A、B两式中的第一个因数和第二 个因数分别进行比较。这时，
只要把两式中某一部分变成相同的数，再比较不同的数的大小，这两个算式 的大
小便能较容易地看出来了。于是可得
A =9876543×（3456788＋1）
=9876543×3456788＋9876543；
B =（9876543＋1）×3456788
=9876543×3456788＋3456788；
所以，A＞B。
例2 在下面四个算式中，最大的得数是算式______。

（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：如果直接把四个算式的值计算出 来，显然是很麻烦的，我们不妨运用
化简繁分数的方法，比较每式中相同位置上的数的大小。


37

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比较上面四个算式的结果，可得出最大的得数是算式（3）。

例3 图中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形，它们的面积

问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大
（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：


方形放入大正方形中去的办法，来比较它们的大小（如图）。
38

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所以，两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。








29、实践与实际操作
【最短路线】
例1 一只蚂蚁要从A处出发，经粘合在一块木板上的正方体（如图）的表
面爬到B处。
请你在图上画出最短的路线（看得见的画实线，看不见的画虚线），有几条
就画几条。
39

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（1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：可将正方体的几个面，按正视位置的前面—上 面展开，前面—右面展
开，左面—后面展开，左边—上面展开，其展开图都是由两个正方形面组成的长< br>方形（如图所示）。

根据两点之间直线段最短的原理，故最短路线为每个长方形对角线，它们共
有四条，如图所示。
例2 请你在图（3）、（4）、（5）上画出三种与图（2）不一样的设计图，
使它们折 起来后，都成为图（1）所示的长方形盒子（粗线和各棱交于棱的中点）。
（第四届《从小爱数学 》邀请赛试题）讲析：解题的关键，是要分清实线与
虚线，然后思考它们是按什么方式展开的。

不难想象，其答案如图（3）、（4）、（5）所示。
40

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【切分图形】
例1 请将图分成面积相等，形状相同，且每一块中都含有“数学竞赛”字
样的四块图形。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：从条件看，所分成的每一块图中，必须有四个小正方形，且只有五种
（如图）。

根据图中汉字的具体位置，可发现图中图（1）、图（2）明显不合，图（3）、
图（4） 也不能分成。于是只剩下图（5）。
进一步搜索，便可得到答案。答案如图所示。
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例2 在一张正方形纸上画两个三角 形，最多可以把这个正方形分成
________块，画三个三角形，最多可以把这个正方形分成___ _____块；画四个三
角形，最多可以把这个正方形分成_________块。
（1990年无锡市小学数学竞赛试题）
讲析：可先找出规律。
在正方形纸上，画 一个三角形，依次画三条边时，增加了（1＋1＋1）块，
最多可把它分成4块；画二个三角形，依次画 三条边时，增加了（3＋3＋3）块，
共13块；画三个三角形，依次画三条边时，增加了（5＋5＋5 ）块，共28块，
如图所示。
由此推得，画四个三角形，可增加（7＋7＋7）块，最多，共49块。

【拼合图形】
例1 图是由图中的六块图形拼合而成的，其中图①放在中间一列的某一格。
请在图中找出 这六个图形，并画出来。

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（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛试题）

讲析：可先确定图①的 位置。因为图①在中间的一列的某一格，当图①放在
A、B、C处时，经试验，与其它五图不能拼成图。
当图①放在D处时，这六幅图可以拼成图。拼法如图所示。


例2 7块正方体积木堆在桌上。
从东、南、西、北四个方向看去，所看到的一面都只有5个正方 形，而且看
到的图案是一样的。（如图）。那么从上面看下去，看到的图形可能是什么

样的请在图中正确的图形下面打
“√”，错误的图形下面打“×”。（《从小爱数学》邀请赛第五届试题）
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讲析：上面的七幅 图都是俯视图。在看每幅图是否正确时，关键是想象出将
另两块积木，放在这五块中哪两块的上面，然后 分别从东西南北四个方向去看，
得出的图形是否与图相吻合。
经试验，得出的答案如图所示，即按从左往右，从上至下的位置，依次为√、
√、×、√、×、√、√。

省工省时问题
例1 某车队有4辆汽车，担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任
（图所标出的数是各分厂所需 装卸工人数）。若各分厂自派装卸工，则共
需33人。若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的 分厂再配备一个
或几个装卸工，那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数，又使装卸工人
数最 少？

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（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）
讲析：可从需要工人数最 少的E分厂着手。假定每辆车上配备3人，则
需在D、C、B、A、F五处分别派1、5、2、3、4人 ，共需27人。
若每车配备4人，则需在C、B、A、F四处分别派4、1、2、3人，共需
26人。
若每车配备5人，则需在C、A、F三处分别派3、1、2人，共需26人。
所以，上面的第二、三种方案均可，人数为26人。
例2 少先队员在植树中，每人植树2棵。如 果一个人挖一个树坑需要25
分钟，运树苗一趟（最多可运4棵）需要20分钟，提一桶水（可浇4棵树 ）
需要10分钟，栽好一棵树需要10分钟，现在以两个人为一个小组进行合作，
那么，完成植 树任务所需的最短时间是______分钟。
（福州市鼓楼区小学数学竞赛试题）
讲析：可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排，用图来表示出来。

由图可知，完成任务所需的最短时间，是85分钟。
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例3 若干箱同样的货物总重吨，只知每箱重量不超过353千克。今有载
重量为吨的汽车，至少需要______辆，才能保证把这些货物一次全部运走。
（箱子不能拆开）
（北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：关键是要理解“至少几辆车， 才能保证一次运走”的含义。也就
是说，在最大浪费车位的情况下，最少要几辆车。
∵这堆货物箱数至少有：
19500÷353≈≈56（箱）；
一辆汽车每次最多能装的箱数：
1500÷353≈≈4（箱）。
∴一次全部运走所有货物，至少需要汽车56÷4=14（辆）。
例4 如图，一条公路（粗线） 两侧有7个工厂（0
1
、0
2
、……、0
7
），通
过小路（细线）分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现在要设置一个车
站，使各工厂（沿小路 和公路走）的距离总和越小越好。这个车站应设在一
______点。
（1992年福州市小学数学竞赛试题）

讲析：从各工厂到车站，总是先走小路，小路的总长不变，所以问题可
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转化为：“在一条公路上的A、B、C、D、E、F 处各有一个工厂，D处有两个
工厂。要在公路上设一个站，使各厂到车站的距离总和最小（如图）。

显然，车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。
如果车站设在D处，则各厂到D总长是：
（DA＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC；
如果车站设在C处，则各厂到C总长是
（CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。
比较上面两个式子得：当车站设在D处时，七厂到车站的距离总和最小。
【费用最少问题】
例1 在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图），共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物，二 号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，
其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放 在一个仓库里，如果每
吨货物运输1千米需要元的运费，那么最少要花多少运费才行？
（全国第一届“华杯赛”复赛试题）


讲析：这类问题思考时，要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处
理的方法是：“小往大处靠”。
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因为第五个仓库有40吨，比第 一、二仓库货物的总和还多。所以，尽量
把第五个仓库的货不动或者动得最近。
当存放站设在第四仓库时，一、二、五仓库货物运输的吨千米数为：
10×300＋20×200＋40×100=11000；
当存放站设在第五仓库时，一、二仓库货物运输的吨千米数为：
10×400+20×300=10000。
所以，存放点应设在第五号仓库，运费最少。运费是×10000=5000（元）。
例2 有十 个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如图（，单位：千米），
要安装水管，从县城送自来水到各村， 可用粗细两种水管，粗管足够供应所
有各村用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8千元，细管 每千米
要用2千元。把粗管细管适当搭配，互相连接，可降低工程总费用。按最节
省的办法，费 用应是多少？
（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）

讲析： 因为粗管每千米的费用是细管的4倍，所以应该在需要安装四根
或四根以上水管的地段，都应安装粗管。 因此，只有到最后三个村安装细管，
费用才最省。
不难求出，最少费用为414000元。


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30、容斥原理问题
例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。
（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）
讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；
能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。
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所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：
200＋142—28=314（个）；
不能被5或7整除的数一共有
1000—314=686（个）。
例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学
生在这三个项目上都没有达到 优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部
分学生达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的学生人数。
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：如图，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人
数。

只有篮球一项达到优秀的有
15—6—5+2=6（人）；

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