小学奥数解题方法大全3
十八大讲话-高考报名号
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21、数字和与最大最小问题
【数字求和】
例1 100个连续自然数的和是8450,取其中第1个,第3个,第5个,………,
第
99个(所有第奇数个),再把这50个数相加,和是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:第50、51两个数的平均数是8450÷ 100=
84. 5,所以,第50个数
是84。则100个连续自然数是:
35,36,37,………,133,134。
上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得:
35,37,39,……131,133。
则这50个数的和是:
例2 把1至100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码的和是
_____。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析;可把1至100这一百个自然数分组,得
(1、2、3、……、9),(10、11、12、……、19),(20、21、22、……
29),
……,(90、91、92、……99),(100)。
1
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容易发现前面10组中,每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0,
第二组十位上是1,第三组十位上是2,……第十组十位上是9,所以全体十位
上的数字和是(l+2
+3+……+9)×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。
续若干个数字之和是1992,那么a=____。
(北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
又,1992÷27=73余21,而21=8+5+7+1,所以 a=6。
例4 有四个数,
每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外一
个数,用这种方法计算了四次,分别得到四个数
:86,92,100,106。那么,原
来四个数的平均数是
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:每次所选的三个数,计算其平均数,实际上就是计算这三个数中
原来四个数的平均数为(86+92+100+106)÷2=192。
【最大数与最小数】
例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数,分母都是小于20的合数,要
使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是
2
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(全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题)。
讲析:
20以内的质数有: 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
要使三个分数尽量大,必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真
例2 将1、2
、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组,分别计算各组数的和。
已知这三个和互不相等,且最大的
和是最小和的2倍。问:最小的和是多少
(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析;因为1+2+3+……+8=36,又知三组数的和各不相同,而且最大的
例3
把20以内的质数分别填入□中(每个质数只用一次):
使A是整数。A最大是多少
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:要使A最大,必须使分母尽量小,而分子尽量大。
分母分别取2、3、5时,A都不能为整数。当分母取7时,
3
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例4 一组互不相同的自然数,其中最小的数是1,最大的数是25
。除1之
外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中
某两个
数之和。问:这组数之和的最大值是多少当这组数之和有最小值时,这组
数都有哪些数并说明和是最小值
的理由。
(全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题)
析:观察自然数1、2、3
、4、5、……、25这25个数,发现它们除1之外,
每个数都能用其中某一个数的2倍,或者某两个
数之和表示。因此,这组数之和
的最大值是1+2+3+……+25=325。
下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的,25不能表示成一个数的2倍,而表示成
两个数之和的形
式,共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数(20+5)或者(10+15)。当取1、5、20、25时,还需取2、3、10三个;当取1、10、15、
25时,还需取2、3、5。经比较这两组数,可知当取1、2、3、4、5、10、15、
25时,和
最小是61。
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22、数字串问题
【找规律填数】
例1 找规律填数
(杭州市上城区小学数学竞赛试题)
(1992年武汉市小学数学竞赛试题)
讲析:数列填数问题,关键是要找出规律;即找出数与数之间有什么联系。
第(1)小题各数的排列规律是:第1、3、5、……(奇数)个数分别
别是4和2。
第(2)小题粗看起来,各数之间好像没有什么联系。于是,运用分数
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得到了
例2
右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在
空格中填上合适的数。
(1994年天津市小学数学竞赛试题)
讲析:根据题意,可找出每竖行的三个数之
间的关系。不难发现每竖行中的
第三个数,是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。
【数列的有关问题】
数是几分之几
(第一届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:经观察发现,分母是1、2、3、4、5……的分数
个数,分别是1、3、
5、7、9……。所以,分母分别为1、2、3……9的分数共
6
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例2 有一串数:1,1993,1992,1,1991,1990,1
,1989,1988,…这个
数列的第1993个数是______
(首届《现代小学数学》邀请赛试题)
讲析:把这串数按每三个数分为一组,则每组第一个数都是
1,第二、三个
数是从1993开始,依次减1排列。
而1993÷3=664余1,可知第1993个数是1。
例3 已知小数……9899的小数点
后面的数字,是由自然数1—99依次排列
而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。
(1988年上海市小学数学竞赛试题)
讲析:将原小数的小数部分分成A、B两组:
A中有9个数字,B中有180个数字,从10到49共有80个数字。所以,第
88位上是4。
例4 观察右面的数表(横排为行,竖排为列);
7
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几行,自左向右的第几列。(全国第三届“华杯赛”决赛试题)
讲析:第一行
每个分数的分子与分母之和为2,第二行每个分数的分子与分
母之和为3,第三行每个分数的分子与分母
之和为4,……即每行各数的分子与
分母之和等于行数加1。
例5 如图,除了每行两端的数之外,其余每个数都是与它相连的上一行的
两个数的平均数,那么第10
0行各数之和是_______。
(广州市小学数学竞赛试题)
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讲析:可试探着计算每行中各数之和。第一、二
、三、四行每行的各数之和
分别是6、8、10、12,从而得出,每行的数字之和,是行数的2倍加4
。故第
100行各数之和为100×2+4=204.
例6 伸出你的左手,从大拇指开
始,如图所示的那样数数:l、2、3……。
问:数到1991时,会落在哪个手指上
(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:除1之外,从2开始每8个数为一组,每组第一个
数都是从食指开始
到拇指结束。∵(1991—1)÷8=248余6,∴剩下最后6个数又从食指开始
数,
会到中指结束。
例7 如图,自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“
2”处拐第一个弯,
在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数
(全国第一届“华杯赛”决赛口试试题)
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讲析:写出拐弯处的数,然后按每两个数分为一组:(2,3),(5,7),
(10,1
3),(17,21),(26,31),……。将会发现,每组数中依次相差1、
2、3、4、5、…
…。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。
从而可推出,拐第二十个弯处
的数是111。
例8 自然数按图顺次
排列。数字3排在第二行第一列。问:1993排在第几
行第几列
(全国第四届“华杯赛”复赛试题)
讲析:观察每斜行数的排列规律,每斜行数的个数及方向。
每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……,奇数斜行中的数由下向上
排列,偶数
斜行中的数由上向下排列。
斜行,该斜行的数是由下向上排列的,且第63行第1列是1954。
由于从1954开
始,每增加1时,行数就减少1,而列数就增加1。所以1993
的列数、行数分别是:
1993—1954+1=40(列),63-(1993—1954)=24(行)
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23、数阵图
【方阵】
例1
将自然数1至9,分别填在图的方格中,使得每行、每列以及两条对角
线上的三个数之和都相等。
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(长沙地区小学数学竞赛试题)
讲析:中间一格所填的数,在计算时共算了4次,所以可先填中间一格的数。
(l+2+3+……+9)÷3=15,则符合要求的每三数之和为15。显然,中间一
数填“5”。
再将其它数字顺次填入,然后作对角线交换,再通过旋转(如图),便得解
答如下。
例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数,填到图的小方格中,使每一横
行
四个数之和相等,使每一竖列三个数之和又相等。
(“新苗杯”小学数学竞赛试题)
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讲析:据题意,所选的十二个数之和必须既能被 3整除,又能被 4整除,
(三行四列)。所以,能被
12整除。十三个数之和为91,91除以12,商7余7,
因此,应去掉7。每列为(91—7)÷4
=21
而1至13中,除7之外,共有六个奇数,它们的分布如图所示。
三个奇数
和为21的有两种:21=1+9+11=3+5+13。经检验,三个奇数为3、
5、13的不合要求
,故不难得出答案,如图所示。
例3 十个连续自然数中,9是第三大的数,把这十个
数填到图的十个方格中,
每格填一个,要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么,这个和数的
最小值是______。
(1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是
6
5。在三个2×2的正方形中,中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b,则(65+a+b)之和必须是
3的倍数。
所以,(a+b)之和至少是7。
故,和数的最小值是24。
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【其他数阵】
例1
如图,横、竖各12个方格,每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20,竖列
上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数,那么“×”代表的数是____
__。
(1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:可先看竖
格。因为每相邻三格数字和为21,所以每隔两格必出现重
复数字。从而容易推出,竖格各数从上而下是
:3、10、8、3、10、8、3、10、8、
3、10、8。
同理可推导出横格各数,其中“×”=5。
例2 如图,有五个圆,它们相交后相互分成九个区域
,现在两个区域里已
经分别填上数字10、6,请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、
9七
个数字,使每个圆内的数之和都是15。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
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讲析:可把图中要填的数,分别用a、b、c、d、e、f、g代替。(如图)
显然a=5,g=9。
则有:b+c=10,e+f=6,c+d+e=15。经适当试验,可得
b=3,c=7,d=6,
e=2,f=4。
例3 如图,将六个圆圈中分别填上六个质
数,它们的和是20,而且每个小
三角形三个顶点上的数之和相等。那么,这六个质数的积是_____
_。
(全国第一届“华杯赛”决赛试题)
讲析:最上面的小三角形与中间的小三角
形,都有两个共同的顶点,且每个
小三角形顶点上三数之和相等。所以,最上边圆圈内数字与最下面中间
圆圈内数
字相等。
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同样,左下角与右边中间的数相等,右下角与左边中间数相等。
20÷2=10,10=2+3+5。
所以,六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。
例4 在图的七个○中各填上一个数,要求每条直线上的三个数中,中间一
个数是两边两个
数的平均数。现已填好两个数,那么X=_______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:如图,可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。
则d=15。
由15+c+a=17+c+b,得:a比b多2。
所以,b=13+2=15。进而容易算出,x=19。
例5 图中8个顶点处标注的数字:
a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一个数都等于相邻三个顶点
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(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
讲析:将外层的四个数,分别用含其它字母的式子表示,得
即(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0
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24、数的组成
【数字组数】
例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数,如果每个数字
都要用到,并且只能用一次,那么这九个数字最多能组成______个质数。
(1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:自然数1至9这九个数字中,2、3、5、
7本身就是质数。于是只剩
下1、4、6、8、9五个数字,它们可组成一个两位质数和一个三位质数:
41和
689。所以,最多能组成六个质数。
例2 用0、1、2、……9这十个数字组
成五个两位数,每个数字只用一次,
要求它们的和是一个奇数,并且尽可能的大。那么,这五个两位数的
和是______。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
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讲析:组成的五个两位数,要求和尽可能大,则必须使每个数尽可能大。所
以它们的十位上分别 是9、
8、7、6、5,个位上分别是0、1、2、3、4。但要
求五个两位数和为奇数,而1+2+3+4=
10为偶数,所以应将4与5交换,使和为:
(9+8+7+6+4)×10+(1+2+3+5)=351。
351即本题答案。
例3 一个三位数,如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上
的数字,那么就称它被另一个
三位数“吃掉”。例如,241被342吃掉,123被
123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉
),但240和223互不被吃掉。现
请你设计出6个三位数,它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉
,并且它们的
百位上数字只允许取1、2;十位上数字只允许取1、2、3;个位上数字只允许取
1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:六个三位数中,任取两个数a和b,则同数位上的数
字中,a中至少
有一个数字大于b,而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时,十
位上可从1开始依次增加1,而个位上从4开始依次减
少1。即:114,123,132。当百位上为
2时,十位上从1开始依次增加1而个
位上只能从3开始依次减少1。即:213,222,231。经
检验,这六个数符合要
求。
例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一
个八位数,使得两个1
之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字;两个4之间<
br>有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。
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(1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:两个4之间有四个数字,则在两个4之间必有一个数字重复,而又要
求两个1之间有
一个数,于是可推知,这个重复数字必定是1,即412134或
421314。然后可添上另一个2和
3。
经调试,得,此数即为所答。
【条件数字问题】
例1 某商品
的编号是一个三位数,现有五个三位数:874,765,123,364,
925。其中每一个数与商
品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字,那么这个
三位数是_______
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:将五个数按百位、十位、个位上的数字分组
比较,可发现:百位上五
个数字都不同;十位上有两个2和两个6;个位上有两个4和两个5。故所求的
数的个位数字一定是4或5,百位上一定是2或6。经观察比较,可知724符合
要求。
例2 给一本书编页码,共用了1500个数字,其中数字“3”共用了_______
个
(首届《现代小学数学)》邀请赛试题)
讲析:可先求出1500个数字可编多少页。
从第一页到第9页,共用去9个数字;从第10页到
第99页,共用去2×90=180
(个)数字;余下的数字可编(1500-189)÷3=437(
页)
所以,这本书共有536页。
20
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l至99页,共用20个“3”,从100至199页共用20个“3”,从200
至
299页共用20个“3”,从300至399页共用去120个“3”,从400至499页
共用去20个“3”,从500到536页共用去11个“3”。所以,共用去211个数
字3。
例3 在三位数中,数字和是5的倍数的数共有_______个。
(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:可把三位数100至999共900个数,从100起,每10个数分为一组,
得
(100,101、……109),(110、111、……119),……(990、991、……、
999)
共分成了90组,而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数,所以一共
有2×90=180(个)。
例4 有四个数,取其中的每两个数相加,可以得到六个和。这六个和中最
小的四个数是8
3、87、92、94,原因数中最小的是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:设原四个数从小到大为a、b、c、d,则有a+b=83,a+c=87,所以c
比b大4。而对于和为92和94时,或者是b+c=92,或者是b+c=94。
当b+c=92时,因c比b大4,可得b=45,进而可求得a=38。
当b+c=94时,因c比b大4,可得b=44,进而可求得a=39。
所以,原四数中最小的数是38或39。
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abcd=______
(广州市小学数学竞赛试题)
讲析:原四位数增加8倍后得新的四位数,也就是原四位数乘以9,得新四
位数(如图)。
从而可知,a一定为1,否则积不能得四位数。则
例6 有两个两位数,
它们的个位数字相同,十位数字之和是11。这两个数
的积的十位数字肯定不会是哪两个数字
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:由题意可知,两个数的十位上为(2,9)
,(3,8),(4,7),(5,
6),而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个
数的积,那
是很麻烦的。
设这两个数的个位数字是c,十位数字分别为a、b,则a+b
=11,两数分别
为(10a+c),(10b+c)。
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字。
能是6、8。
例7 期的记法是用6个数字,前两个数字表示年份,中间两个数字表示月
份,
后两个数字表示日(如1976年4月5日记为760405)。
第二届小学“祖杯赛”的竞赛日
期记为921129。这个数恰好左右对称。因
此这样的日期是“吉祥日”。问:从87年9月1日到9
3年6月30日,共有_______
个吉祥日。(第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题)
讲析:一个六位数从中间分开,要求左右对称,则在表示月份的两个数中,
只有11月份。而且“年份”
的个位数字只能是0、1、2。
所以是共有3个吉祥日:901109、911119、921129。
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25、数的整除性规律
【能被2或5整除的数的特征】(见小学数学课本,此处略)
【能被3或9整除的数的特征】一个
数,当且仅当它的各个数位上的数字之
和能被3和9整除时,这个数便能被3或9整除。
例如,1248621各位上的数字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24
3|24,则3|1248621。
又如,372681各位上的数字之和是
3+7+2+6+8+1=27
9|27,则9|372681。
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【能被4或25整除的数的特征】一个数,当且
仅当它的末两位数能被4或
25整除时,这个数便能被4或25整除。
例如,173824的末两位数为24,4|24,则4|173824。
的末两位数为75,25|75,则25|
。
【能被8或125整除的数的特征】一个
数,当且仅当它的末三位数字为0,或者
末三位数能被8或125整除时,这个数便能被8或125整除
。
例如,的末三位数字为0,则这个数能被8整除,也能够被125整除。
3569824的末三位数为824,8|824,则8|3569824。
0的末三位数为750,125|750,则125|0。
【能被7、11、13整除的数的特征】一
个数,当且仅当它的末三位数字所表示的
数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7
、11、13整除时,
这个数就能被7、11、13整除。
例如,75523的末三位数
为523,末三位以前的数字所表示的数是75,
523-75=448,448÷7=64,即
7|448,则7|75523。
又如,1095874的末三位数为874,末三
位以前的数字所表示的数是1095,
1095-874=221,221÷13=17,即
13|221,则13|1095874。
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再如,868967的末三位数为967,末三位以前的数字所表示的数是868,
967
-868=99,99÷11=9,即
11|99,则11|868967。
此外,能被11整除的数的特征,还可以这样叙述:
一个数,当且仅当它的奇数位上数字之和,与
偶数位上数字之和的差(大减
小)能被11整除时,则这个数便能被11整除。
例如,4239235的奇数位上的数字之和为
4+3+2+5=14,
偶数位上数字之和为2+9+3=14,
二者之差为14-14=0,0÷11=0,
即11|0,则11|4239235。
26
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26、数的公理、定理或性质
【小数性质】小数的性质有以下两条:
(1)在小数的末尾添上或者去掉几个零,小数的大小不变。
(2)把小数点向右移动n位,小数
就扩大10
n
倍;把小数点向左移动n位,
小数就缩小10
n
倍。
【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数,
分数的大小不变。即
【去九数的性质】用9去除一个数,求出商后余下的数,叫做这个数的“去
九数”,或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”,一般不必去除,只要把
该数的各位数字加起来
,再减去9的倍数,就得到该数的“去九数”。(求法见
本书第一部分“(四)法则、方法”“2.运算
法则或方法”中的“弃九验算法”
词条。)去九数有两条重要的性质:
(1)几个加数的和的去九数,等于各个加数的去九数的和的去九数。
(2)几个因数的积的去九数,等于各个因数的去九数的积的去九数。
27
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这两条重要性质,是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。
【自然数平方的性质】
(1)奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。
为什么有这一性质呢这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式,k为整数。
而
(2k+1)
2
=4k
2
+4k+1
=4k(k+1)+1
k与k+1又是连续整数,其中必有一个是偶数,故4k(k+1)是8的倍数,
能被8整
除,所以“4k(k+1)+1”,即(2k+1)
2
能被8除余1,也就是任何一
个
奇数的平方被8除余1。
例如,27
2
=729
729÷8=91……1
(2)偶数平方的性质。任何一个偶数的平方,都是4的倍数。
这是因为偶数可以用2k(k为整数)表示,而(2k)
2
=4k
2
显然,4k
2
是4的倍数,即偶数的平方为4的倍数。
例如,216
2
=46656
46656÷4=11664
即
4|46656
28
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【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条:
(1)两个偶数的和或差是偶数;两个奇数的和或差也是偶数。
(2)一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。
(3)两个奇数之积为奇数;两个偶数之积为偶数。
(4)一个奇数与一个偶数之积为偶数。
由第(4)条性质,还可以推广到:
若干个整数相乘,只要其中有一个整数是偶数,那么它们的积就是个偶数。
【偶数运算性质】偶数运算性质有:
(1)若干个偶数的和或者差是偶数。
(2)若干个偶数的积是偶数。
例如,四个偶数38、126、672和1174的和,是偶数2
010;用偶数相减的
算式3756-的差,也是偶数1984。
【奇数运算性质】奇数运算性质有:
(1)奇数个奇数的和(差)是奇数;偶数个奇数的和(差)是偶数。
(2)若干个奇数的积是奇数。
29
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27、数的大小概念
【比较分数大小】用常规方法比较分数大小,有时候速度很慢。采用
下述办
法,往往可大大提高解题的速度。
(1)交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘,然后
2×5=10, 3×3=9, 3×8=24, 5×5=25,
之所以能这样比较,是由于它们通分时,公分母是分母的乘积。这时,分数
的大小就只取决
于分子的大小了。
(2)用“1”比较。当两个分数都接近1,又不容易确定它们的大小
30
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(4)化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时
31
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序排列起来:
(5)
两分数相除。用两个分数相除,看它们的商是大于1还是小于1,往
往能快速地找出它们的大小关系。由
于这样做,省略了通分的过程,所以
显然,将它们反过来相除,也是可以的:
【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直
接给出,比较它们的大小,有一定
难度。这时,可按下面的办法去做:
(1)先看分子是1的情况。例如下题:
32
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第一种方法是直观比较。先画线段图(图):
由对线段图的直观比较可知,乙数大于甲数。
数。
可知
(2)再看分子不是1的情况。例如下题:
33
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它同样也可以用四种方法比较大小。比方
用直观比较方法,可画线段图如下(图):
由图可知,甲数大于乙数。
用统一分子的方法,也可比较它们的大小。因为
用图表示就是图:
这就是说,把甲数分为9份,乙数分为8份,它们的6份相等。所以,它们
每一
份也相等。而甲数有9份,乙数只有8份,故甲数大于乙数。
34
v1.0 可编辑可修改
去,即可知道甲数大于乙数。
如果用转化关系式比较。由题意可知
根据一个因数等于积除以另一个因数,可得
28、数的大小比较
【分数、小数大小比较】
(全国第二届“华杯赛”决赛口试试题)
35
v1.0
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讲析:这两个分数如果按通分的方法比较大小,计算将非常复杂。于是可采
用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。
个数是______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:将给出的六个数分别写成小数,并且都写出小数点后面前四位数,则
把这六个数按从
大到小排列是:
【算式值的大小比较】
例1 设A=9876543×3456789;
B=9876544×3456788。
试比较A与B的大小。
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(1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题)
讲析:可将A、B两式中的第一个因数和第二
个因数分别进行比较。这时,
只要把两式中某一部分变成相同的数,再比较不同的数的大小,这两个算式
的大
小便能较容易地看出来了。于是可得
A
=9876543×(3456788+1)
=9876543×3456788+9876543;
B
=(9876543+1)×3456788
=9876543×3456788+3456788;
所以,A>B。
例2
在下面四个算式中,最大的得数是算式______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:如果直接把四个算式的值计算出
来,显然是很麻烦的,我们不妨运用
化简繁分数的方法,比较每式中相同位置上的数的大小。
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比较上面四个算式的结果,可得出最大的得数是算式(3)。
例3
图中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形,它们的面积
问:红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大
(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:
方形放入大正方形中去的办法,来比较它们的大小(如图)。
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所以,两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。
29、实践与实际操作
【最短路线】
例1
一只蚂蚁要从A处出发,经粘合在一块木板上的正方体(如图)的表
面爬到B处。
请你在图上画出最短的路线(看得见的画实线,看不见的画虚线),有几条
就画几条。
39
v1.0 可编辑可修改
(1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:可将正方体的几个面,按正视位置的前面—上
面展开,前面—右面展
开,左面—后面展开,左边—上面展开,其展开图都是由两个正方形面组成的长<
br>方形(如图所示)。
根据两点之间直线段最短的原理,故最短路线为每个长方形对角线,它们共
有四条,如图所示。
例2 请你在图(3)、(4)、(5)上画出三种与图(2)不一样的设计图,
使它们折
起来后,都成为图(1)所示的长方形盒子(粗线和各棱交于棱的中点)。
(第四届《从小爱数学
》邀请赛试题)讲析:解题的关键,是要分清实线与
虚线,然后思考它们是按什么方式展开的。
不难想象,其答案如图(3)、(4)、(5)所示。
40
v1.0 可编辑可修改
【切分图形】
例1
请将图分成面积相等,形状相同,且每一块中都含有“数学竞赛”字
样的四块图形。
(“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:从条件看,所分成的每一块图中,必须有四个小正方形,且只有五种
(如图)。
根据图中汉字的具体位置,可发现图中图(1)、图(2)明显不合,图(3)、
图(4)
也不能分成。于是只剩下图(5)。
进一步搜索,便可得到答案。答案如图所示。
41
v1.0 可编辑可修改
例2 在一张正方形纸上画两个三角
形,最多可以把这个正方形分成
________块,画三个三角形,最多可以把这个正方形分成___
_____块;画四个三
角形,最多可以把这个正方形分成_________块。
(1990年无锡市小学数学竞赛试题)
讲析:可先找出规律。
在正方形纸上,画
一个三角形,依次画三条边时,增加了(1+1+1)块,
最多可把它分成4块;画二个三角形,依次画
三条边时,增加了(3+3+3)块,
共13块;画三个三角形,依次画三条边时,增加了(5+5+5
)块,共28块,
如图所示。
由此推得,画四个三角形,可增加(7+7+7)块,最多,共49块。
【拼合图形】
例1 图是由图中的六块图形拼合而成的,其中图①放在中间一列的某一格。
请在图中找出
这六个图形,并画出来。
42
v1.0 可编辑可修改
(1993年全国小学数学奥林匹克总决赛试题)
讲析:可先确定图①的
位置。因为图①在中间的一列的某一格,当图①放在
A、B、C处时,经试验,与其它五图不能拼成图。
当图①放在D处时,这六幅图可以拼成图。拼法如图所示。
例2 7块正方体积木堆在桌上。
从东、南、西、北四个方向看去,所看到的一面都只有5个正方
形,而且看
到的图案是一样的。(如图)。那么从上面看下去,看到的图形可能是什么
样的请在图中正确的图形下面打
“√”,错误的图形下面打“×”。(《从小爱数学》邀请赛第五届试题)
43
v1.0 可编辑可修改
讲析:上面的七幅
图都是俯视图。在看每幅图是否正确时,关键是想象出将
另两块积木,放在这五块中哪两块的上面,然后
分别从东西南北四个方向去看,
得出的图形是否与图相吻合。
经试验,得出的答案如图所示,即按从左往右,从上至下的位置,依次为√、
√、×、√、×、√、√。
省工省时问题
例1
某车队有4辆汽车,担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任
(图所标出的数是各分厂所需
装卸工人数)。若各分厂自派装卸工,则共
需33人。若让一部分人跟车装卸,在需要装卸工人数较多的
分厂再配备一个
或几个装卸工,那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数,又使装卸工人
数最
少?
44
v1.0 可编辑可修改
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:可从需要工人数最
少的E分厂着手。假定每辆车上配备3人,则
需在D、C、B、A、F五处分别派1、5、2、3、4人
,共需27人。
若每车配备4人,则需在C、B、A、F四处分别派4、1、2、3人,共需
26人。
若每车配备5人,则需在C、A、F三处分别派3、1、2人,共需26人。
所以,上面的第二、三种方案均可,人数为26人。
例2 少先队员在植树中,每人植树2棵。如
果一个人挖一个树坑需要25
分钟,运树苗一趟(最多可运4棵)需要20分钟,提一桶水(可浇4棵树
)
需要10分钟,栽好一棵树需要10分钟,现在以两个人为一个小组进行合作,
那么,完成植
树任务所需的最短时间是______分钟。
(福州市鼓楼区小学数学竞赛试题)
讲析:可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排,用图来表示出来。
由图可知,完成任务所需的最短时间,是85分钟。
45
v1.0
可编辑可修改
例3 若干箱同样的货物总重吨,只知每箱重量不超过353千克。今有载
重量为吨的汽车,至少需要______辆,才能保证把这些货物一次全部运走。
(箱子不能拆开)
(北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:关键是要理解“至少几辆车,
才能保证一次运走”的含义。也就
是说,在最大浪费车位的情况下,最少要几辆车。
∵这堆货物箱数至少有:
19500÷353≈≈56(箱);
一辆汽车每次最多能装的箱数:
1500÷353≈≈4(箱)。
∴一次全部运走所有货物,至少需要汽车56÷4=14(辆)。
例4 如图,一条公路(粗线)
两侧有7个工厂(0
1
、0
2
、……、0
7
),通
过小路(细线)分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现在要设置一个车
站,使各工厂(沿小路
和公路走)的距离总和越小越好。这个车站应设在一
______点。
(1992年福州市小学数学竞赛试题)
讲析:从各工厂到车站,总是先走小路,小路的总长不变,所以问题可
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v1.0 可编辑可修改
转化为:“在一条公路上的A、B、C、D、E、F
处各有一个工厂,D处有两个
工厂。要在公路上设一个站,使各厂到车站的距离总和最小(如图)。
显然,车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。
如果车站设在D处,则各厂到D总长是:
(DA+DF)+(DB+DE)+DC=AF+BE+DC;
如果车站设在C处,则各厂到C总长是
(CA+CF)+(BC+CE)+2·DC=AF+BE+2·DC。
比较上面两个式子得:当车站设在D处时,七厂到车站的距离总和最小。
【费用最少问题】
例1 在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图),共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物,二
号仓库存有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,
其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放
在一个仓库里,如果每
吨货物运输1千米需要元的运费,那么最少要花多少运费才行?
(全国第一届“华杯赛”复赛试题)
讲析:这类问题思考时,要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处
理的方法是:“小往大处靠”。
47
v1.0 可编辑可修改
因为第五个仓库有40吨,比第
一、二仓库货物的总和还多。所以,尽量
把第五个仓库的货不动或者动得最近。
当存放站设在第四仓库时,一、二、五仓库货物运输的吨千米数为:
10×300+20×200+40×100=11000;
当存放站设在第五仓库时,一、二仓库货物运输的吨千米数为:
10×400+20×300=10000。
所以,存放点应设在第五号仓库,运费最少。运费是×10000=5000(元)。
例2 有十
个村,坐落在从县城出发的一条公路上(如图(,单位:千米),
要安装水管,从县城送自来水到各村,
可用粗细两种水管,粗管足够供应所
有各村用水,细管只能供一个村用水,粗管每千米要用8千元,细管
每千米
要用2千元。把粗管细管适当搭配,互相连接,可降低工程总费用。按最节
省的办法,费
用应是多少?
(全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题)
讲析:
因为粗管每千米的费用是细管的4倍,所以应该在需要安装四根
或四根以上水管的地段,都应安装粗管。
因此,只有到最后三个村安装细管,
费用才最省。
不难求出,最少费用为414000元。
48
v1.0 可编辑可修改
30、容斥原理问题
例1
在1至1000的自然数中,不能被5或7整除的数有______个。
(莫斯科市第四届小学数学竞赛试题)
讲析:能被5整除的数共有1000÷5=200(个);
能被7整除的数共有1000÷7=142(个)……6(个);
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28(个)……20(个)。
49
v1.0 可编辑可修改
所以,能被5或7整除的数一共有(即重复了的共有):
200+142—28=314(个);
不能被5或7整除的数一共有
1000—314=686(个)。
例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学
生在这三个项目上都没有达到
优秀,其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部
分学生达到优秀的项目、人数如下表:
求这个班的学生人数。
(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
讲析:如图,图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人
数。
只有篮球一项达到优秀的有
15—6—5+2=6(人);
50
v1.0 可编辑可修改
21、数字和与最大最小问题
【数字求和】
例1 100个连续自然数的和是8450,取其中第1个,第3个,第5个,……
…,
第99个(所有第奇数个),再把这50个数相加,和是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:第50、51两个数的平均数是8450÷ 100=
84. 5,所以,第50个数
是84。则100个连续自然数是:
35,36,37,………,133,134。
上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得:
35,37,39,……131,133。
则这50个数的和是:
例2 把1至100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码的和是
_____。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析;可把1至100这一百个自然数分组,得
(1、2、3、……、9),(10、11、12、……、19),(20、21、22、……
29),
……,(90、91、92、……99),(100)。
1
v1.0
可编辑可修改
容易发现前面10组中,每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0,
第二组十位上是1,第三组十位上是2,……第十组十位上是9,所以全体十位
上的数字和是(l+2
+3+……+9)×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。
续若干个数字之和是1992,那么a=____。
(北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
又,1992÷27=73余21,而21=8+5+7+1,所以 a=6。
例4 有四个数,
每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外一
个数,用这种方法计算了四次,分别得到四个数
:86,92,100,106。那么,原
来四个数的平均数是
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:每次所选的三个数,计算其平均数,实际上就是计算这三个数中
原来四个数的平均数为(86+92+100+106)÷2=192。
【最大数与最小数】
例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数,分母都是小于20的合数,要
使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是
2
v1.0
可编辑可修改
(全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题)。
讲析:
20以内的质数有: 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
要使三个分数尽量大,必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真
例2 将1、2
、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组,分别计算各组数的和。
已知这三个和互不相等,且最大的
和是最小和的2倍。问:最小的和是多少
(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析;因为1+2+3+……+8=36,又知三组数的和各不相同,而且最大的
例3
把20以内的质数分别填入□中(每个质数只用一次):
使A是整数。A最大是多少
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:要使A最大,必须使分母尽量小,而分子尽量大。
分母分别取2、3、5时,A都不能为整数。当分母取7时,
3
v1.0
可编辑可修改
例4 一组互不相同的自然数,其中最小的数是1,最大的数是25
。除1之
外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中
某两个
数之和。问:这组数之和的最大值是多少当这组数之和有最小值时,这组
数都有哪些数并说明和是最小值
的理由。
(全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题)
析:观察自然数1、2、3
、4、5、……、25这25个数,发现它们除1之外,
每个数都能用其中某一个数的2倍,或者某两个
数之和表示。因此,这组数之和
的最大值是1+2+3+……+25=325。
下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的,25不能表示成一个数的2倍,而表示成
两个数之和的形
式,共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数(20+5)或者(10+15)。当取1、5、20、25时,还需取2、3、10三个;当取1、10、15、
25时,还需取2、3、5。经比较这两组数,可知当取1、2、3、4、5、10、15、
25时,和
最小是61。
4
v1.0 可编辑可修改
22、数字串问题
【找规律填数】
例1 找规律填数
(杭州市上城区小学数学竞赛试题)
(1992年武汉市小学数学竞赛试题)
讲析:数列填数问题,关键是要找出规律;即找出数与数之间有什么联系。
第(1)小题各数的排列规律是:第1、3、5、……(奇数)个数分别
别是4和2。
第(2)小题粗看起来,各数之间好像没有什么联系。于是,运用分数
5
v1.0 可编辑可修改
得到了
例2
右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在
空格中填上合适的数。
(1994年天津市小学数学竞赛试题)
讲析:根据题意,可找出每竖行的三个数之
间的关系。不难发现每竖行中的
第三个数,是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。
【数列的有关问题】
数是几分之几
(第一届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:经观察发现,分母是1、2、3、4、5……的分数
个数,分别是1、3、
5、7、9……。所以,分母分别为1、2、3……9的分数共
6
v1.0 可编辑可修改
例2 有一串数:1,1993,1992,1,1991,1990,1
,1989,1988,…这个
数列的第1993个数是______
(首届《现代小学数学》邀请赛试题)
讲析:把这串数按每三个数分为一组,则每组第一个数都是
1,第二、三个
数是从1993开始,依次减1排列。
而1993÷3=664余1,可知第1993个数是1。
例3 已知小数……9899的小数点
后面的数字,是由自然数1—99依次排列
而成的。则小数点后面第88位上的数字是______。
(1988年上海市小学数学竞赛试题)
讲析:将原小数的小数部分分成A、B两组:
A中有9个数字,B中有180个数字,从10到49共有80个数字。所以,第
88位上是4。
例4 观察右面的数表(横排为行,竖排为列);
7
v1.0
可编辑可修改
几行,自左向右的第几列。(全国第三届“华杯赛”决赛试题)
讲析:第一行
每个分数的分子与分母之和为2,第二行每个分数的分子与分
母之和为3,第三行每个分数的分子与分母
之和为4,……即每行各数的分子与
分母之和等于行数加1。
例5 如图,除了每行两端的数之外,其余每个数都是与它相连的上一行的
两个数的平均数,那么第10
0行各数之和是_______。
(广州市小学数学竞赛试题)
8
v1.0 可编辑可修改
讲析:可试探着计算每行中各数之和。第一、二
、三、四行每行的各数之和
分别是6、8、10、12,从而得出,每行的数字之和,是行数的2倍加4
。故第
100行各数之和为100×2+4=204.
例6 伸出你的左手,从大拇指开
始,如图所示的那样数数:l、2、3……。
问:数到1991时,会落在哪个手指上
(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:除1之外,从2开始每8个数为一组,每组第一个
数都是从食指开始
到拇指结束。∵(1991—1)÷8=248余6,∴剩下最后6个数又从食指开始
数,
会到中指结束。
例7 如图,自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“
2”处拐第一个弯,
在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数
(全国第一届“华杯赛”决赛口试试题)
9
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讲析:写出拐弯处的数,然后按每两个数分为一组:(2,3),(5,7),
(10,1
3),(17,21),(26,31),……。将会发现,每组数中依次相差1、
2、3、4、5、…
…。每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。
从而可推出,拐第二十个弯处
的数是111。
例8 自然数按图顺次
排列。数字3排在第二行第一列。问:1993排在第几
行第几列
(全国第四届“华杯赛”复赛试题)
讲析:观察每斜行数的排列规律,每斜行数的个数及方向。
每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……,奇数斜行中的数由下向上
排列,偶数
斜行中的数由上向下排列。
斜行,该斜行的数是由下向上排列的,且第63行第1列是1954。
由于从1954开
始,每增加1时,行数就减少1,而列数就增加1。所以1993
的列数、行数分别是:
1993—1954+1=40(列),63-(1993—1954)=24(行)
10
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23、数阵图
【方阵】
例1
将自然数1至9,分别填在图的方格中,使得每行、每列以及两条对角
线上的三个数之和都相等。
11
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(长沙地区小学数学竞赛试题)
讲析:中间一格所填的数,在计算时共算了4次,所以可先填中间一格的数。
(l+2+3+……+9)÷3=15,则符合要求的每三数之和为15。显然,中间一
数填“5”。
再将其它数字顺次填入,然后作对角线交换,再通过旋转(如图),便得解
答如下。
例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数,填到图的小方格中,使每一横
行
四个数之和相等,使每一竖列三个数之和又相等。
(“新苗杯”小学数学竞赛试题)
12
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讲析:据题意,所选的十二个数之和必须既能被 3整除,又能被 4整除,
(三行四列)。所以,能被
12整除。十三个数之和为91,91除以12,商7余7,
因此,应去掉7。每列为(91—7)÷4
=21
而1至13中,除7之外,共有六个奇数,它们的分布如图所示。
三个奇数
和为21的有两种:21=1+9+11=3+5+13。经检验,三个奇数为3、
5、13的不合要求
,故不难得出答案,如图所示。
例3 十个连续自然数中,9是第三大的数,把这十个
数填到图的十个方格中,
每格填一个,要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。那么,这个和数的
最小值是______。
(1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它们的和是
6
5。在三个2×2的正方形中,中间两个小正方形分别重复了两次。
设中间两个小正方形分别填上a和b,则(65+a+b)之和必须是
3的倍数。
所以,(a+b)之和至少是7。
故,和数的最小值是24。
13
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【其他数阵】
例1
如图,横、竖各12个方格,每个方格都有一个数。
已知横行上任意三个相邻数之和为20,竖列
上任意三个相邻数之和为21。
图中已填入3、5、8和“×”四个数,那么“×”代表的数是____
__。
(1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:可先看竖
格。因为每相邻三格数字和为21,所以每隔两格必出现重
复数字。从而容易推出,竖格各数从上而下是
:3、10、8、3、10、8、3、10、8、
3、10、8。
同理可推导出横格各数,其中“×”=5。
例2 如图,有五个圆,它们相交后相互分成九个区域
,现在两个区域里已
经分别填上数字10、6,请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、
9七
个数字,使每个圆内的数之和都是15。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
14
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讲析:可把图中要填的数,分别用a、b、c、d、e、f、g代替。(如图)
显然a=5,g=9。
则有:b+c=10,e+f=6,c+d+e=15。经适当试验,可得
b=3,c=7,d=6,
e=2,f=4。
例3 如图,将六个圆圈中分别填上六个质
数,它们的和是20,而且每个小
三角形三个顶点上的数之和相等。那么,这六个质数的积是_____
_。
(全国第一届“华杯赛”决赛试题)
讲析:最上面的小三角形与中间的小三角
形,都有两个共同的顶点,且每个
小三角形顶点上三数之和相等。所以,最上边圆圈内数字与最下面中间
圆圈内数
字相等。
15
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同样,左下角与右边中间的数相等,右下角与左边中间数相等。
20÷2=10,10=2+3+5。
所以,六个质数积为2×2×3×3×5×5=900。
例4 在图的七个○中各填上一个数,要求每条直线上的三个数中,中间一
个数是两边两个
数的平均数。现已填好两个数,那么X=_______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:如图,可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。
则d=15。
由15+c+a=17+c+b,得:a比b多2。
所以,b=13+2=15。进而容易算出,x=19。
例5 图中8个顶点处标注的数字:
a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一个数都等于相邻三个顶点
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(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
讲析:将外层的四个数,分别用含其它字母的式子表示,得
即(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0
17
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24、数的组成
【数字组数】
例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数,如果每个数字
都要用到,并且只能用一次,那么这九个数字最多能组成______个质数。
(1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:自然数1至9这九个数字中,2、3、5、
7本身就是质数。于是只剩
下1、4、6、8、9五个数字,它们可组成一个两位质数和一个三位质数:
41和
689。所以,最多能组成六个质数。
例2 用0、1、2、……9这十个数字组
成五个两位数,每个数字只用一次,
要求它们的和是一个奇数,并且尽可能的大。那么,这五个两位数的
和是______。
(1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
18
v1.0 可编辑可修改
讲析:组成的五个两位数,要求和尽可能大,则必须使每个数尽可能大。所
以它们的十位上分别 是9、
8、7、6、5,个位上分别是0、1、2、3、4。但要
求五个两位数和为奇数,而1+2+3+4=
10为偶数,所以应将4与5交换,使和为:
(9+8+7+6+4)×10+(1+2+3+5)=351。
351即本题答案。
例3 一个三位数,如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上
的数字,那么就称它被另一个
三位数“吃掉”。例如,241被342吃掉,123被
123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉
),但240和223互不被吃掉。现
请你设计出6个三位数,它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉
,并且它们的
百位上数字只允许取1、2;十位上数字只允许取1、2、3;个位上数字只允许取
1、2、3、4。
这6个三位数是_______。
(第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:六个三位数中,任取两个数a和b,则同数位上的数
字中,a中至少
有一个数字大于b,而b中至少有一个数字大于a。
当百位上为1时,十
位上可从1开始依次增加1,而个位上从4开始依次减
少1。即:114,123,132。当百位上为
2时,十位上从1开始依次增加1而个
位上只能从3开始依次减少1。即:213,222,231。经
检验,这六个数符合要
求。
例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一
个八位数,使得两个1
之间有一个数字;两个2之间有两个数字;两个3之间有三个数字;两个4之间<
br>有四个数字。那么这样的八位数中的一个是______。
19
v1.0 可编辑可修改
(1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:两个4之间有四个数字,则在两个4之间必有一个数字重复,而又要
求两个1之间有
一个数,于是可推知,这个重复数字必定是1,即412134或
421314。然后可添上另一个2和
3。
经调试,得,此数即为所答。
【条件数字问题】
例1 某商品
的编号是一个三位数,现有五个三位数:874,765,123,364,
925。其中每一个数与商
品编号,恰好在同一位上有一个相同的数字,那么这个
三位数是_______
(1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:将五个数按百位、十位、个位上的数字分组
比较,可发现:百位上五
个数字都不同;十位上有两个2和两个6;个位上有两个4和两个5。故所求的
数的个位数字一定是4或5,百位上一定是2或6。经观察比较,可知724符合
要求。
例2 给一本书编页码,共用了1500个数字,其中数字“3”共用了_______
个
(首届《现代小学数学)》邀请赛试题)
讲析:可先求出1500个数字可编多少页。
从第一页到第9页,共用去9个数字;从第10页到
第99页,共用去2×90=180
(个)数字;余下的数字可编(1500-189)÷3=437(
页)
所以,这本书共有536页。
20
v1.0
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l至99页,共用20个“3”,从100至199页共用20个“3”,从200
至
299页共用20个“3”,从300至399页共用去120个“3”,从400至499页
共用去20个“3”,从500到536页共用去11个“3”。所以,共用去211个数
字3。
例3 在三位数中,数字和是5的倍数的数共有_______个。
(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:可把三位数100至999共900个数,从100起,每10个数分为一组,
得
(100,101、……109),(110、111、……119),……(990、991、……、
999)
共分成了90组,而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数,所以一共
有2×90=180(个)。
例4 有四个数,取其中的每两个数相加,可以得到六个和。这六个和中最
小的四个数是8
3、87、92、94,原因数中最小的是______。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:设原四个数从小到大为a、b、c、d,则有a+b=83,a+c=87,所以c
比b大4。而对于和为92和94时,或者是b+c=92,或者是b+c=94。
当b+c=92时,因c比b大4,可得b=45,进而可求得a=38。
当b+c=94时,因c比b大4,可得b=44,进而可求得a=39。
所以,原四数中最小的数是38或39。
21
v1.0 可编辑可修改
abcd=______
(广州市小学数学竞赛试题)
讲析:原四位数增加8倍后得新的四位数,也就是原四位数乘以9,得新四
位数(如图)。
从而可知,a一定为1,否则积不能得四位数。则
例6 有两个两位数,
它们的个位数字相同,十位数字之和是11。这两个数
的积的十位数字肯定不会是哪两个数字
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:由题意可知,两个数的十位上为(2,9)
,(3,8),(4,7),(5,
6),而个上则可以是0至9的任意一个数字。如果分别去求这两个
数的积,那
是很麻烦的。
设这两个数的个位数字是c,十位数字分别为a、b,则a+b
=11,两数分别
为(10a+c),(10b+c)。
22
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字。
能是6、8。
例7 期的记法是用6个数字,前两个数字表示年份,中间两个数字表示月
份,
后两个数字表示日(如1976年4月5日记为760405)。
第二届小学“祖杯赛”的竞赛日
期记为921129。这个数恰好左右对称。因
此这样的日期是“吉祥日”。问:从87年9月1日到9
3年6月30日,共有_______
个吉祥日。(第二届“祖冲之杯”小学数学竞赛试题)
讲析:一个六位数从中间分开,要求左右对称,则在表示月份的两个数中,
只有11月份。而且“年份”
的个位数字只能是0、1、2。
所以是共有3个吉祥日:901109、911119、921129。
23
v1.0 可编辑可修改
25、数的整除性规律
【能被2或5整除的数的特征】(见小学数学课本,此处略)
【能被3或9整除的数的特征】一个
数,当且仅当它的各个数位上的数字之
和能被3和9整除时,这个数便能被3或9整除。
例如,1248621各位上的数字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24
3|24,则3|1248621。
又如,372681各位上的数字之和是
3+7+2+6+8+1=27
9|27,则9|372681。
24
v1.0 可编辑可修改
【能被4或25整除的数的特征】一个数,当且
仅当它的末两位数能被4或
25整除时,这个数便能被4或25整除。
例如,173824的末两位数为24,4|24,则4|173824。
的末两位数为75,25|75,则25|
。
【能被8或125整除的数的特征】一个
数,当且仅当它的末三位数字为0,或者
末三位数能被8或125整除时,这个数便能被8或125整除
。
例如,的末三位数字为0,则这个数能被8整除,也能够被125整除。
3569824的末三位数为824,8|824,则8|3569824。
0的末三位数为750,125|750,则125|0。
【能被7、11、13整除的数的特征】一
个数,当且仅当它的末三位数字所表示的
数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7
、11、13整除时,
这个数就能被7、11、13整除。
例如,75523的末三位数
为523,末三位以前的数字所表示的数是75,
523-75=448,448÷7=64,即
7|448,则7|75523。
又如,1095874的末三位数为874,末三
位以前的数字所表示的数是1095,
1095-874=221,221÷13=17,即
13|221,则13|1095874。
25
v1.0 可编辑可修改
再如,868967的末三位数为967,末三位以前的数字所表示的数是868,
967
-868=99,99÷11=9,即
11|99,则11|868967。
此外,能被11整除的数的特征,还可以这样叙述:
一个数,当且仅当它的奇数位上数字之和,与
偶数位上数字之和的差(大减
小)能被11整除时,则这个数便能被11整除。
例如,4239235的奇数位上的数字之和为
4+3+2+5=14,
偶数位上数字之和为2+9+3=14,
二者之差为14-14=0,0÷11=0,
即11|0,则11|4239235。
26
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26、数的公理、定理或性质
【小数性质】小数的性质有以下两条:
(1)在小数的末尾添上或者去掉几个零,小数的大小不变。
(2)把小数点向右移动n位,小数
就扩大10
n
倍;把小数点向左移动n位,
小数就缩小10
n
倍。
【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数,
分数的大小不变。即
【去九数的性质】用9去除一个数,求出商后余下的数,叫做这个数的“去
九数”,或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”,一般不必去除,只要把
该数的各位数字加起来
,再减去9的倍数,就得到该数的“去九数”。(求法见
本书第一部分“(四)法则、方法”“2.运算
法则或方法”中的“弃九验算法”
词条。)去九数有两条重要的性质:
(1)几个加数的和的去九数,等于各个加数的去九数的和的去九数。
(2)几个因数的积的去九数,等于各个因数的去九数的积的去九数。
27
v1.0 可编辑可修改
这两条重要性质,是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。
【自然数平方的性质】
(1)奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。
为什么有这一性质呢这是因为奇数都可以表示为2k+1的形式,k为整数。
而
(2k+1)
2
=4k
2
+4k+1
=4k(k+1)+1
k与k+1又是连续整数,其中必有一个是偶数,故4k(k+1)是8的倍数,
能被8整
除,所以“4k(k+1)+1”,即(2k+1)
2
能被8除余1,也就是任何一
个
奇数的平方被8除余1。
例如,27
2
=729
729÷8=91……1
(2)偶数平方的性质。任何一个偶数的平方,都是4的倍数。
这是因为偶数可以用2k(k为整数)表示,而(2k)
2
=4k
2
显然,4k
2
是4的倍数,即偶数的平方为4的倍数。
例如,216
2
=46656
46656÷4=11664
即
4|46656
28
v1.0 可编辑可修改
【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条:
(1)两个偶数的和或差是偶数;两个奇数的和或差也是偶数。
(2)一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。
(3)两个奇数之积为奇数;两个偶数之积为偶数。
(4)一个奇数与一个偶数之积为偶数。
由第(4)条性质,还可以推广到:
若干个整数相乘,只要其中有一个整数是偶数,那么它们的积就是个偶数。
【偶数运算性质】偶数运算性质有:
(1)若干个偶数的和或者差是偶数。
(2)若干个偶数的积是偶数。
例如,四个偶数38、126、672和1174的和,是偶数2
010;用偶数相减的
算式3756-的差,也是偶数1984。
【奇数运算性质】奇数运算性质有:
(1)奇数个奇数的和(差)是奇数;偶数个奇数的和(差)是偶数。
(2)若干个奇数的积是奇数。
29
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27、数的大小概念
【比较分数大小】用常规方法比较分数大小,有时候速度很慢。采用
下述办
法,往往可大大提高解题的速度。
(1)交叉相乘。把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘,然后
2×5=10, 3×3=9, 3×8=24, 5×5=25,
之所以能这样比较,是由于它们通分时,公分母是分母的乘积。这时,分数
的大小就只取决
于分子的大小了。
(2)用“1”比较。当两个分数都接近1,又不容易确定它们的大小
30
v1.0 可编辑可修改
(4)化相同分子。把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。有时
31
v1.0 可编辑可修改
序排列起来:
(5)
两分数相除。用两个分数相除,看它们的商是大于1还是小于1,往
往能快速地找出它们的大小关系。由
于这样做,省略了通分的过程,所以
显然,将它们反过来相除,也是可以的:
【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直
接给出,比较它们的大小,有一定
难度。这时,可按下面的办法去做:
(1)先看分子是1的情况。例如下题:
32
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第一种方法是直观比较。先画线段图(图):
由对线段图的直观比较可知,乙数大于甲数。
数。
可知
(2)再看分子不是1的情况。例如下题:
33
v1.0 可编辑可修改
它同样也可以用四种方法比较大小。比方
用直观比较方法,可画线段图如下(图):
由图可知,甲数大于乙数。
用统一分子的方法,也可比较它们的大小。因为
用图表示就是图:
这就是说,把甲数分为9份,乙数分为8份,它们的6份相等。所以,它们
每一
份也相等。而甲数有9份,乙数只有8份,故甲数大于乙数。
34
v1.0 可编辑可修改
去,即可知道甲数大于乙数。
如果用转化关系式比较。由题意可知
根据一个因数等于积除以另一个因数,可得
28、数的大小比较
【分数、小数大小比较】
(全国第二届“华杯赛”决赛口试试题)
35
v1.0
可编辑可修改
讲析:这两个分数如果按通分的方法比较大小,计算将非常复杂。于是可采
用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。
个数是______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:将给出的六个数分别写成小数,并且都写出小数点后面前四位数,则
把这六个数按从
大到小排列是:
【算式值的大小比较】
例1 设A=9876543×3456789;
B=9876544×3456788。
试比较A与B的大小。
36
v1.0 可编辑可修改
(1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题)
讲析:可将A、B两式中的第一个因数和第二
个因数分别进行比较。这时,
只要把两式中某一部分变成相同的数,再比较不同的数的大小,这两个算式
的大
小便能较容易地看出来了。于是可得
A
=9876543×(3456788+1)
=9876543×3456788+9876543;
B
=(9876543+1)×3456788
=9876543×3456788+3456788;
所以,A>B。
例2
在下面四个算式中,最大的得数是算式______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)
讲析:如果直接把四个算式的值计算出
来,显然是很麻烦的,我们不妨运用
化简繁分数的方法,比较每式中相同位置上的数的大小。
37
v1.0 可编辑可修改
比较上面四个算式的结果,可得出最大的得数是算式(3)。
例3
图中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形,它们的面积
问:红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大
(全国第四届“华杯赛”决赛口试试题)
讲析:
方形放入大正方形中去的办法,来比较它们的大小(如图)。
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所以,两个蓝色正方形的面积比两个红色正方形的面积大。
29、实践与实际操作
【最短路线】
例1
一只蚂蚁要从A处出发,经粘合在一块木板上的正方体(如图)的表
面爬到B处。
请你在图上画出最短的路线(看得见的画实线,看不见的画虚线),有几条
就画几条。
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(1990年“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:可将正方体的几个面,按正视位置的前面—上
面展开,前面—右面展
开,左面—后面展开,左边—上面展开,其展开图都是由两个正方形面组成的长<
br>方形(如图所示)。
根据两点之间直线段最短的原理,故最短路线为每个长方形对角线,它们共
有四条,如图所示。
例2 请你在图(3)、(4)、(5)上画出三种与图(2)不一样的设计图,
使它们折
起来后,都成为图(1)所示的长方形盒子(粗线和各棱交于棱的中点)。
(第四届《从小爱数学
》邀请赛试题)讲析:解题的关键,是要分清实线与
虚线,然后思考它们是按什么方式展开的。
不难想象,其答案如图(3)、(4)、(5)所示。
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【切分图形】
例1
请将图分成面积相等,形状相同,且每一块中都含有“数学竞赛”字
样的四块图形。
(“新苗杯”小学数学竞赛试题)
讲析:从条件看,所分成的每一块图中,必须有四个小正方形,且只有五种
(如图)。
根据图中汉字的具体位置,可发现图中图(1)、图(2)明显不合,图(3)、
图(4)
也不能分成。于是只剩下图(5)。
进一步搜索,便可得到答案。答案如图所示。
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例2 在一张正方形纸上画两个三角
形,最多可以把这个正方形分成
________块,画三个三角形,最多可以把这个正方形分成___
_____块;画四个三
角形,最多可以把这个正方形分成_________块。
(1990年无锡市小学数学竞赛试题)
讲析:可先找出规律。
在正方形纸上,画
一个三角形,依次画三条边时,增加了(1+1+1)块,
最多可把它分成4块;画二个三角形,依次画
三条边时,增加了(3+3+3)块,
共13块;画三个三角形,依次画三条边时,增加了(5+5+5
)块,共28块,
如图所示。
由此推得,画四个三角形,可增加(7+7+7)块,最多,共49块。
【拼合图形】
例1 图是由图中的六块图形拼合而成的,其中图①放在中间一列的某一格。
请在图中找出
这六个图形,并画出来。
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(1993年全国小学数学奥林匹克总决赛试题)
讲析:可先确定图①的
位置。因为图①在中间的一列的某一格,当图①放在
A、B、C处时,经试验,与其它五图不能拼成图。
当图①放在D处时,这六幅图可以拼成图。拼法如图所示。
例2 7块正方体积木堆在桌上。
从东、南、西、北四个方向看去,所看到的一面都只有5个正方
形,而且看
到的图案是一样的。(如图)。那么从上面看下去,看到的图形可能是什么
样的请在图中正确的图形下面打
“√”,错误的图形下面打“×”。(《从小爱数学》邀请赛第五届试题)
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讲析:上面的七幅
图都是俯视图。在看每幅图是否正确时,关键是想象出将
另两块积木,放在这五块中哪两块的上面,然后
分别从东西南北四个方向去看,
得出的图形是否与图相吻合。
经试验,得出的答案如图所示,即按从左往右,从上至下的位置,依次为√、
√、×、√、×、√、√。
省工省时问题
例1
某车队有4辆汽车,担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任
(图所标出的数是各分厂所需
装卸工人数)。若各分厂自派装卸工,则共
需33人。若让一部分人跟车装卸,在需要装卸工人数较多的
分厂再配备一个
或几个装卸工,那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数,又使装卸工人
数最
少?
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(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:可从需要工人数最
少的E分厂着手。假定每辆车上配备3人,则
需在D、C、B、A、F五处分别派1、5、2、3、4人
,共需27人。
若每车配备4人,则需在C、B、A、F四处分别派4、1、2、3人,共需
26人。
若每车配备5人,则需在C、A、F三处分别派3、1、2人,共需26人。
所以,上面的第二、三种方案均可,人数为26人。
例2 少先队员在植树中,每人植树2棵。如
果一个人挖一个树坑需要25
分钟,运树苗一趟(最多可运4棵)需要20分钟,提一桶水(可浇4棵树
)
需要10分钟,栽好一棵树需要10分钟,现在以两个人为一个小组进行合作,
那么,完成植
树任务所需的最短时间是______分钟。
(福州市鼓楼区小学数学竞赛试题)
讲析:可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排,用图来表示出来。
由图可知,完成任务所需的最短时间,是85分钟。
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例3 若干箱同样的货物总重吨,只知每箱重量不超过353千克。今有载
重量为吨的汽车,至少需要______辆,才能保证把这些货物一次全部运走。
(箱子不能拆开)
(北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:关键是要理解“至少几辆车,
才能保证一次运走”的含义。也就
是说,在最大浪费车位的情况下,最少要几辆车。
∵这堆货物箱数至少有:
19500÷353≈≈56(箱);
一辆汽车每次最多能装的箱数:
1500÷353≈≈4(箱)。
∴一次全部运走所有货物,至少需要汽车56÷4=14(辆)。
例4 如图,一条公路(粗线)
两侧有7个工厂(0
1
、0
2
、……、0
7
),通
过小路(细线)分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现在要设置一个车
站,使各工厂(沿小路
和公路走)的距离总和越小越好。这个车站应设在一
______点。
(1992年福州市小学数学竞赛试题)
讲析:从各工厂到车站,总是先走小路,小路的总长不变,所以问题可
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转化为:“在一条公路上的A、B、C、D、E、F
处各有一个工厂,D处有两个
工厂。要在公路上设一个站,使各厂到车站的距离总和最小(如图)。
显然,车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。
如果车站设在D处,则各厂到D总长是:
(DA+DF)+(DB+DE)+DC=AF+BE+DC;
如果车站设在C处,则各厂到C总长是
(CA+CF)+(BC+CE)+2·DC=AF+BE+2·DC。
比较上面两个式子得:当车站设在D处时,七厂到车站的距离总和最小。
【费用最少问题】
例1 在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图),共有五个仓库。
一号仓库存有10吨货物,二
号仓库存有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,
其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放
在一个仓库里,如果每
吨货物运输1千米需要元的运费,那么最少要花多少运费才行?
(全国第一届“华杯赛”复赛试题)
讲析:这类问题思考时,要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处
理的方法是:“小往大处靠”。
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因为第五个仓库有40吨,比第
一、二仓库货物的总和还多。所以,尽量
把第五个仓库的货不动或者动得最近。
当存放站设在第四仓库时,一、二、五仓库货物运输的吨千米数为:
10×300+20×200+40×100=11000;
当存放站设在第五仓库时,一、二仓库货物运输的吨千米数为:
10×400+20×300=10000。
所以,存放点应设在第五号仓库,运费最少。运费是×10000=5000(元)。
例2 有十
个村,坐落在从县城出发的一条公路上(如图(,单位:千米),
要安装水管,从县城送自来水到各村,
可用粗细两种水管,粗管足够供应所
有各村用水,细管只能供一个村用水,粗管每千米要用8千元,细管
每千米
要用2千元。把粗管细管适当搭配,互相连接,可降低工程总费用。按最节
省的办法,费
用应是多少?
(全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题)
讲析:
因为粗管每千米的费用是细管的4倍,所以应该在需要安装四根
或四根以上水管的地段,都应安装粗管。
因此,只有到最后三个村安装细管,
费用才最省。
不难求出,最少费用为414000元。
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30、容斥原理问题
例1
在1至1000的自然数中,不能被5或7整除的数有______个。
(莫斯科市第四届小学数学竞赛试题)
讲析:能被5整除的数共有1000÷5=200(个);
能被7整除的数共有1000÷7=142(个)……6(个);
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28(个)……20(个)。
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所以,能被5或7整除的数一共有(即重复了的共有):
200+142—28=314(个);
不能被5或7整除的数一共有
1000—314=686(个)。
例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学
生在这三个项目上都没有达到
优秀,其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部
分学生达到优秀的项目、人数如下表:
求这个班的学生人数。
(全国第三届“华杯赛”复赛试题)
讲析:如图,图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人
数。
只有篮球一项达到优秀的有
15—6—5+2=6(人);
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