柠檬的用处-大队辅导员讲话

行程问题
一【知识点导航】
行程问题从运动形式上分可以分为五大类：

二【典例解析】
1. 直线上的相遇与追及
只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；
而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。
【例1】 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千
米，两车在离两地中 点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米（某重点中学2007
年小升初考题）
【解析】本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系，就在条件
两车在离两地中 点32千米处相遇这句话中。
【变式】大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米， 小轿车每小时行84
千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车?
【例2】两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的
速度是每秒游 0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转
向的时间，那么在这段时 间内两人共相遇多少次（某重点中学2006年小升初考题）

【解析】相遇次数与两人的路程和有关．如下图所示
【变式】甲、乙两车同时 从A、B两站相对开出，第一次相遇离A站有90千米，然后各自
按原速继续行驶，分别到达对方出发站 后立即沿原路返回。第二次相遇时离A站的距离占
AB两站全长的65%。求AB两站的距离。
2.火车过人、过桥与错车问题
在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方， 特殊的地方是路程。因为
此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长 度相关。就
拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从车头上桥开始到车尾下桥结束，对应的路程就等于车长 桥长；如果题目考察的是火车停留在桥上的过
程，那就应该 从车尾上桥到车头下桥结束。对应的路程就应该是火车车长 桥长具体
如下所示：
【例3】一 列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车
的前方有一列行驶 方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与货车
从相遇到离开所用的时间。（ 仁华学校2005年五年级上学期期末考试试题）
【解析】本题包含了两个基本类型的火车问题，一是 火车过隧道问题，二是火车错车问题。
而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所 说的四大方法中的第三点
——利用和差倍分关系进行对比分析：250米的隧道比210米的隧道多40 米，从而使得客
车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度，再求客车长 度
以及错车时间就非常容易了。
【变式】列车通过一座长2700米的大桥，从车头上桥到车 尾离桥共用了3分钟。已知列车
的速度是每分钟1000米，列车车身长多少米?

3.多个对象间的行程问题
虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分 析三、四个对象，而
是把这些对象两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个 对象之
间的关系，转化为与其它对象有关的结论。
【例4】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走1 00米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现
在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行， 在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙
相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米（2008港澳数学 奥林匹克公开赛试题）
【解析】本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人的 路程和。这

段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了这一路程的双 重身份，就能
很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。
【变式】有甲、乙、丙三人 同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于
乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分 38米，丙每分36米。出发后，甲和乙相遇后3分
钟又与丙相遇。这花圃的周长是多少
4.环形问题与时钟问题
环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于周期性与对称性这 是由环形跑道
本身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要留意周期性与对称性在题目中的体现。
【例5】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一< br>圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分
钟（ 第十六届全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题）
【解析】本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间， 问的问题也是时间。像这种只给时间、
求时间的问题，通常的做法就是——设数。把路程或速度这两个未 知量中的某一个量随便设
个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为6300米，接着便可 求甲、乙两人
的速度了。
【变式】有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针 与时针第一次重合；再
经过多少分钟，分针与时针第二次重合（北京市第十一届迎春杯决赛试题）
5.流水行船问题
流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因 素，船的速
度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、< br>顺水速度。
【例6】甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流 而上。
相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后，都立
即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。如果从第一次相遇到第
二次相遇时 间相隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米（某重点中学2003年小
升初考题）
【解析】甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船静水速度
差了两倍的 水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行驶速度应
该差几倍的水速考虑清楚 这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。

【变式】客轮和货轮从甲、乙两 港同时相向开出，6小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点
还有6千米。已知客轮在静水中的速度是每小 时30千米，货轮在静水中的速度是每小时24
千米。求水流速度是多少?
三【巩固练习】
1．甲、已两个车站相距168千米，一列慢车从甲站开出，速度为36千米小时，一列快车
从 乙站开出，速度为48千米小时。
（1）两列火车同时开出，相向而行，多少小时相遇
（2）慢车先开1小时，相向而行，快车开几小时与慢车相遇
2．甲、乙两人从同地出 发前往某地。甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自
行车以每小时12公里的速度追赶甲 ，问乙出发后，几小时能追上甲
3.甲、乙两人练习50米短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米。
（1）几秒后，甲在乙前面2米
（2）如果甲让乙先跑4米，几秒可追上乙
4.甲、乙两人在400米的环型形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5米，乙每秒跑4.5米。
1.乙先跑10米，甲再和乙同地、同向出发，还要多长时间首次相遇
2.乙先跑10米，甲再和乙同地，背向出发，还要多长时间首次相遇
3.甲、乙同时同地同向出发，经过多长时间二人首次相遇
4.甲先跑10米，乙再和甲同地、同向出发，还要多长时间首次相遇
5.一艘船在两个码头 之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行
需要3小时，求两码头的之间的距 离
1
6.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔
3分钟相遇一次，如
3
果反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人 的速度
7.甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米两地相向而行，甲的速度为17.5千米每小时 ，
乙的速度为15千米每小时，经过了几小时两人相距32.5千米
8.一列客车车长280 米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇
到车尾相离经过20秒。如果两 车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再
到客车尾离开货车头经过120秒。客车的速 度和货车的速度分别是多少?
9.甲、乙两人同时从相距2000米的两地相向而行，甲每分钟行55 米，乙每分钟行45米，
如果一只狗与甲同时同向而行，每分钟行120米，遇到乙后，立即回头向甲跑 去，遇到甲再

向乙跑去。这样不断来回，直到甲和乙相遇为止，狗共行了多少米? 10.某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到
排 头并立即返回排尾，那么这需要多少时间（某重点中学2008年小升初考题）

行程问题
一【知识点导航】
行程问题从运动形式上分可以分为五大类：

二【典例解析】
1. 直线上的相遇与追及
只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；
而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。
【例1】 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千
米，两车在离两地中 点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米（某重点中学2007
年小升初考题）
【解析】本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系，就在条件
两车在离两地中 点32千米处相遇这句话中。
【变式】大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米， 小轿车每小时行84
千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车?
【例2】两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的
速度是每秒游 0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转
向的时间，那么在这段时 间内两人共相遇多少次（某重点中学2006年小升初考题）

【解析】相遇次数与两人的路程和有关．如下图所示
【变式】甲、乙两车同时 从A、B两站相对开出，第一次相遇离A站有90千米，然后各自
按原速继续行驶，分别到达对方出发站 后立即沿原路返回。第二次相遇时离A站的距离占
AB两站全长的65%。求AB两站的距离。
2.火车过人、过桥与错车问题
在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方， 特殊的地方是路程。因为
此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长 度相关。就
拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从车头上桥开始到车尾下桥结束，对应的路程就等于车长 桥长；如果题目考察的是火车停留在桥上的过
程，那就应该 从车尾上桥到车头下桥结束。对应的路程就应该是火车车长 桥长具体
如下所示：
【例3】一 列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车
的前方有一列行驶 方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与货车
从相遇到离开所用的时间。（ 仁华学校2005年五年级上学期期末考试试题）
【解析】本题包含了两个基本类型的火车问题，一是 火车过隧道问题，二是火车错车问题。
而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所 说的四大方法中的第三点
——利用和差倍分关系进行对比分析：250米的隧道比210米的隧道多40 米，从而使得客
车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度，再求客车长 度
以及错车时间就非常容易了。
【变式】列车通过一座长2700米的大桥，从车头上桥到车 尾离桥共用了3分钟。已知列车
的速度是每分钟1000米，列车车身长多少米?

3.多个对象间的行程问题
虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分 析三、四个对象，而
是把这些对象两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个 对象之
间的关系，转化为与其它对象有关的结论。
【例4】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走1 00米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现
在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行， 在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙
相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米（2008港澳数学 奥林匹克公开赛试题）
【解析】本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人的 路程和。这

段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了这一路程的双 重身份，就能
很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。
【变式】有甲、乙、丙三人 同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于
乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分 38米，丙每分36米。出发后，甲和乙相遇后3分
钟又与丙相遇。这花圃的周长是多少
4.环形问题与时钟问题
环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于周期性与对称性这 是由环形跑道
本身的特点决定的。大家再分析环形问题时，一定要留意周期性与对称性在题目中的体现。
【例5】甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一< br>圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分
钟（ 第十六届全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试题）
【解析】本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间， 问的问题也是时间。像这种只给时间、
求时间的问题，通常的做法就是——设数。把路程或速度这两个未 知量中的某一个量随便设
个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为6300米，接着便可 求甲、乙两人
的速度了。
【变式】有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针 与时针第一次重合；再
经过多少分钟，分针与时针第二次重合（北京市第十一届迎春杯决赛试题）
5.流水行船问题
流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因 素，船的速
度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、< br>顺水速度。
【例6】甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流 而上。
相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后，都立
即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。如果从第一次相遇到第
二次相遇时 间相隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米（某重点中学2003年小
升初考题）
【解析】甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船静水速度
差了两倍的 水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行驶速度应
该差几倍的水速考虑清楚 这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。

【变式】客轮和货轮从甲、乙两 港同时相向开出，6小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点
还有6千米。已知客轮在静水中的速度是每小 时30千米，货轮在静水中的速度是每小时24
千米。求水流速度是多少?
三【巩固练习】
1．甲、已两个车站相距168千米，一列慢车从甲站开出，速度为36千米小时，一列快车
从 乙站开出，速度为48千米小时。
（1）两列火车同时开出，相向而行，多少小时相遇
（2）慢车先开1小时，相向而行，快车开几小时与慢车相遇
2．甲、乙两人从同地出 发前往某地。甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自
行车以每小时12公里的速度追赶甲 ，问乙出发后，几小时能追上甲
3.甲、乙两人练习50米短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米。
（1）几秒后，甲在乙前面2米
（2）如果甲让乙先跑4米，几秒可追上乙
4.甲、乙两人在400米的环型形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5米，乙每秒跑4.5米。
1.乙先跑10米，甲再和乙同地、同向出发，还要多长时间首次相遇
2.乙先跑10米，甲再和乙同地，背向出发，还要多长时间首次相遇
3.甲、乙同时同地同向出发，经过多长时间二人首次相遇
4.甲先跑10米，乙再和甲同地、同向出发，还要多长时间首次相遇
5.一艘船在两个码头 之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行
需要3小时，求两码头的之间的距 离
1
6.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔
3分钟相遇一次，如
3
果反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人 的速度
7.甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米两地相向而行，甲的速度为17.5千米每小时 ，
乙的速度为15千米每小时，经过了几小时两人相距32.5千米
8.一列客车车长280 米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇
到车尾相离经过20秒。如果两 车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再
到客车尾离开货车头经过120秒。客车的速 度和货车的速度分别是多少?
9.甲、乙两人同时从相距2000米的两地相向而行，甲每分钟行55 米，乙每分钟行45米，
如果一只狗与甲同时同向而行，每分钟行120米，遇到乙后，立即回头向甲跑 去，遇到甲再

向乙跑去。这样不断来回，直到甲和乙相遇为止，狗共行了多少米? 10.某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到
排 头并立即返回排尾，那么这需要多少时间（某重点中学2008年小升初考题）