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第十七周数阵图
把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形 ，叫做数阵图。?数阵是
由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数
字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花
瓣形、十字形， 甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合
形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封 闭型数阵、复合型数阵。
【解题技巧】
数阵的分类：
封闭型：封闭型数阵图的解 题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定
这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到 最大值的讨论，来确定
每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再< br>利用和与顶点的数就容易被填出。（1—6）
辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数 。具体方法是：通过所给
条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上
数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。
复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点：每一条直 线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表
达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定 的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

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3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，
因数字存 在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
【铜牌例题】
将2、3、4、5、6、7、8、 9、10填入下图中的
9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，
小明已经填了5个数，请 将其余4个数填入。
【答案】
【解析】
先根据最左
和给出的数字逐步推算。
3+8+7=18；
第二行中间的数是：18-8-4=6；
第三行中间的数是：18-7-9=2；
第一行第一个数是：18-4-9=5；
第一行中间的数是：18-3-5=10；

【举一反三1】
（第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得 每行、每列、每
条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已
2，3，6三个数，那当小华的 乘积魔方构造完毕
______。
经填入了
后，x等于
边一列求出幻和，然后根据这个和
【银牌例题】

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（第十四届中环杯初赛真题）将0～9填入下图圆圈中，每个数字只 能使用一次，
使得，每条线段上的数字和都是13。

【答案】

【解析】
如右图，a-h被算了3次，x被算了4次，y被算了2
次
则10×13=3×（0+1+2+……+9）+x-y→y-x=5
由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6
所以c+d=a+h=b+x=7→f=6
所以，a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7
所以e,g,y分别为1、8、9
又y-x=5，所以y=8或9

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若y=8，则x=3→b=4→e=1→g=9→a=0→d=10矛盾
所以y=9→x=4→b=3→e=1→g=8→a=2→d=7→c=0→h=5
【举一反三2】
在下图的七个圆圈中各填一个数，要求每一条边上的三个数中，当中的数是两 边
数的平均数。现在已经填好了两个数，
x是。
那么
【金牌例题】
（第十一届“走美杯”初赛）将0～5这
数字中的4个数字填入如图的圆圈中，每条线段两端
字作差（大减小），可以得到5个差，这5个差恰好
1-5，在所有满足条件的填法中，四位数的最大值 是。
6个
的数
为
【答案】5034

【解析】
因为四位数ABCD的值最大，因此A=5，并且B和C中有一个为0，B作为百位
数字应尽量大。
若B=4，则C=0，但此时D无法填出，
因此B最大为3，B=3时，C=0，此时D=4。
因此，最大值为5034．
故答案为：5034。
【举一反三3】
（第十一届希望杯真题）将1，2，3，4 ，5，6随意填入图中的小圆圈内，将相邻
两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是。

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．

【王牌例题】
（第十届走美杯真题 ）请将1、2、3、4、5、6、8、9、10、
12这10个数填入右图圆圈中，每个数用一次，使得 每条线上
4个数的和都相等。
【答案】

【解析】
每条线上的和是：（1+2+3+4+5+6+8+9+10+12）×2÷5=24；
假设，5个顶点数是较小的，即1，2，3，4，5；
又因为1+3+8+12=24，1+ 4+9+10=24；那么5个顶点，1与3在一条线上，1
与4在一条线上；那么2与5在一条线上；
因为每条线上的和是24，是一个偶数，根据奇数+奇数=偶数，也就是每条线上要
么有2个奇 数，要么没有奇数；那么3与5一条线上，2与4在一条线上；
可以确定5个顶点的数是：
；
还有一个奇数9，只能在1、4与2、5相交的点上，即：
；
又因为 1+9+4+10=24，5+9+2+8=24；那么1、9、4线上最后一个圆圈填10；

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5、9、2线上最后一个圆圈填8，即：
；
又因为1+8+3+ 12=24；确定1、8、3线上最后一个圆圈填12；5+10+3+6=24，
确定5、10、3线 上最后一个圆圈填6；即：

【举一反三4】
将2011至2019这九个自然数 填入图中的圆圈中，使得每个以圆圈为顶点的正方
形四个顶点上的数字之和相等，那么中心圆圈内填的数 字是。
【大显身手】
1.（第十三届华杯初赛）如图的4×4网格里，横、竖、对角
上的四个数之和均等于“2008”，则a+b+c+d=。
2.如图，“好、伙、伴、助、手、参 、谋”这7个汉字代表1～
7个数字．已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上
个数相加所得 的5个和都相等．图中间的“好”代表。
3.根据图中的数字关系，算一算，“？”=。
4 .自然数1～12中有一些已经填入图中的○内，请将剩下的
分别填入空○内，使图中每个三角形（共四 个）周边上的数
7这
3
线

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字之和都相等。
5.在图中的空格中填入四个数，使每个横行，每个竖
三个数的积都相等．

6.把1-10这十个自然数分别填入图中的○中，使每个
中的六个数之和都是36。
7.在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图1）．现在请你调整一部分数的位
置，但保留1、 10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相
邻两数之和，画在另一个圆上（图2 ）。
8.把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横 排的
三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和．则中间方格中能填的数是。
9.请 你从1～40中选出10个各不相同的整数填入图
圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公约< br>小公倍数。
中的圆
数或最
圆圈
行的
10.如图，在每个小圆 圈里填上一个数，使得每一条直线上
的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和。
11.据说美 国有一位铁路职工花了50余年的业余时间，研
究得到了一个六角形幻方，如图所示的每一个圆中分别< br>填写了1、2、…、19中的一个数字（不同的圆中填写
的数字各不相同），使得图中每一个横或 斜方向的线段
上几个圆内的数之和都相等，现在已知该图中七个圆内

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的数字，则图中的x=。

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第十七周数阵图
把一些 数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。?数阵是
由幻方演化出来的另一种数字图。 幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数
字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆 、多边形、星形、花
瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
【解题技巧】
数阵的分类：
封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定
每条边上的几个数之 和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再
利用和与顶点的数就容易被填出。（1—6）
辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给
条件建立有关等式， 通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上
数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干 个自然数之和，确定边上其他的数。
复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点：每一条直 线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表
达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定 的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

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3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，
因数字存 在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
【铜牌例题】
将2、3、4、5、6、7、8、 9、10填入下图中的
9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，
小明已经填了5个数，请 将其余4个数填入。
【答案】
【解析】
先根据最左
和给出的数字逐步推算。
3+8+7=18；
第二行中间的数是：18-8-4=6；
第三行中间的数是：18-7-9=2；
第一行第一个数是：18-4-9=5；
第一行中间的数是：18-3-5=10；

【举一反三1】
（第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得 每行、每列、每
条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已
2，3，6三个数，那当小华的 乘积魔方构造完毕
______。
经填入了
后，x等于
边一列求出幻和，然后根据这个和
【银牌例题】

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（第十四届中环杯初赛真题）将0～9填入下图圆圈中，每个数字只 能使用一次，
使得，每条线段上的数字和都是13。

【答案】

【解析】
如右图，a-h被算了3次，x被算了4次，y被算了2
次
则10×13=3×（0+1+2+……+9）+x-y→y-x=5
由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6
所以c+d=a+h=b+x=7→f=6
所以，a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7
所以e,g,y分别为1、8、9
又y-x=5，所以y=8或9

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若y=8，则x=3→b=4→e=1→g=9→a=0→d=10矛盾
所以y=9→x=4→b=3→e=1→g=8→a=2→d=7→c=0→h=5
【举一反三2】
在下图的七个圆圈中各填一个数，要求每一条边上的三个数中，当中的数是两 边
数的平均数。现在已经填好了两个数，
x是。
那么
【金牌例题】
（第十一届“走美杯”初赛）将0～5这
数字中的4个数字填入如图的圆圈中，每条线段两端
字作差（大减小），可以得到5个差，这5个差恰好
1-5，在所有满足条件的填法中，四位数的最大值 是。
6个
的数
为
【答案】5034

【解析】
因为四位数ABCD的值最大，因此A=5，并且B和C中有一个为0，B作为百位
数字应尽量大。
若B=4，则C=0，但此时D无法填出，
因此B最大为3，B=3时，C=0，此时D=4。
因此，最大值为5034．
故答案为：5034。
【举一反三3】
（第十一届希望杯真题）将1，2，3，4 ，5，6随意填入图中的小圆圈内，将相邻
两数相乘，再将所得的6个乘积相加，则得到的和最小是。

精心整理
．

【王牌例题】
（第十届走美杯真题 ）请将1、2、3、4、5、6、8、9、10、
12这10个数填入右图圆圈中，每个数用一次，使得 每条线上
4个数的和都相等。
【答案】

【解析】
每条线上的和是：（1+2+3+4+5+6+8+9+10+12）×2÷5=24；
假设，5个顶点数是较小的，即1，2，3，4，5；
又因为1+3+8+12=24，1+ 4+9+10=24；那么5个顶点，1与3在一条线上，1
与4在一条线上；那么2与5在一条线上；
因为每条线上的和是24，是一个偶数，根据奇数+奇数=偶数，也就是每条线上要
么有2个奇 数，要么没有奇数；那么3与5一条线上，2与4在一条线上；
可以确定5个顶点的数是：
；
还有一个奇数9，只能在1、4与2、5相交的点上，即：
；
又因为 1+9+4+10=24，5+9+2+8=24；那么1、9、4线上最后一个圆圈填10；

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5、9、2线上最后一个圆圈填8，即：
；
又因为1+8+3+ 12=24；确定1、8、3线上最后一个圆圈填12；5+10+3+6=24，
确定5、10、3线 上最后一个圆圈填6；即：

【举一反三4】
将2011至2019这九个自然数 填入图中的圆圈中，使得每个以圆圈为顶点的正方
形四个顶点上的数字之和相等，那么中心圆圈内填的数 字是。
【大显身手】
1.（第十三届华杯初赛）如图的4×4网格里，横、竖、对角
上的四个数之和均等于“2008”，则a+b+c+d=。
2.如图，“好、伙、伴、助、手、参 、谋”这7个汉字代表1～
7个数字．已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上
个数相加所得 的5个和都相等．图中间的“好”代表。
3.根据图中的数字关系，算一算，“？”=。
4 .自然数1～12中有一些已经填入图中的○内，请将剩下的
分别填入空○内，使图中每个三角形（共四 个）周边上的数
7这
3
线

精心整理
字之和都相等。
5.在图中的空格中填入四个数，使每个横行，每个竖
三个数的积都相等．

6.把1-10这十个自然数分别填入图中的○中，使每个
中的六个数之和都是36。
7.在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图1）．现在请你调整一部分数的位
置，但保留1、 10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相
邻两数之和，画在另一个圆上（图2 ）。
8.把1991，1992，1993，1994，1995分别填入图中的5个方格中，使得横 排的
三个方格中的数的和等于竖列的三个方格中的数的和．则中间方格中能填的数是。
9.请 你从1～40中选出10个各不相同的整数填入图
圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公约< br>小公倍数。
中的圆
数或最
圆圈
行的
10.如图，在每个小圆 圈里填上一个数，使得每一条直线上
的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和。
11.据说美 国有一位铁路职工花了50余年的业余时间，研
究得到了一个六角形幻方，如图所示的每一个圆中分别< br>填写了1、2、…、19中的一个数字（不同的圆中填写
的数字各不相同），使得图中每一个横或 斜方向的线段
上几个圆内的数之和都相等，现在已知该图中七个圆内

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的数字，则图中的x=。