牡丹江中考信息网-旅游日记

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第1讲 找规律
一、知识要点
按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3 ，4，……双数列：2，4，6，8，……
我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依 据这个规律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就 可以知道其余所有的数。
寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。 善于发现数列的规律是
填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）
练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（
（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）
【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
学习参考
）

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（1）
5 10 7 12 9 14

9 14 11 16 13



(2)
4
79
8
16
2
8
14
443
9 3 27
（3）
12 4 36
36 12

练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
（1）
3 7 8 12 12 16

5 9 10 14 14



(2)
794


8
28
6
27
8
（3）
8 4 16 5 15 12

16 8 32 7 21 18

32 16 64 9 27


【例题5】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）
23 31 41 23 35 24

2541 4643
练习5：根据规律，在空格内填数。



（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）
32 54 21 45 32 57

3864 2665


（3）
37 25 23 45 34 25

3895 2775

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第2讲 有余除法
一、知识要点
把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这 些书分到最后会出现什么情况
呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的 人数少，否则还可以继续分
下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的 。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商< br>和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是____，根据________ ____，余数可填_____________.根据____________，又已
知商、除数、 余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为______________。列式如下：< br>________________________________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习1：
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数 小就行。余数最小为
______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习2：
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋ 余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，所以本题
中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能 是1和24，____和____，____和____，____和____，又因为余
数为4，因此 除数可以是24,12,8,6,商分别为____，____，____，____。
__ __________________________________________________ _____________
学习参考

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答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习3：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
__________ __________________________________________________ ______________
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
_________________________ _________________________________________________
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可
为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习4：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。

【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等 ，因为余数必须比除数小，所以除数必须比4
大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填______ _，商也是______。由算式____________________，
所以被除数最小是__ ________。
练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7
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第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方 法又快又好地算出了
1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？ 原来，他用了一种简便的方法：先
配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个 数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，
每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫 做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）


练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324


练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆在一起， 一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每
层比上层多一根，这堆木材共有多少根？
练习3：
学习参考

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(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体
育馆东区共有多少个座位？


(2)有一串数，第1个数是10，以后每 个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是
多少？


( 3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟
一昼 夜敲多少下？


【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。


练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009


(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19


【例题5】计算 1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18- 82-19-81


练习5：计算。
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1


(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-8 7-17-88-18-89-19


(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
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第4讲 加减巧算
一、知识要点
在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外， 还需要掌握一些巧算的方法。
加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看 做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要 根据“多加要减去，
少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换 律、结合律以及减
法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


练习1：计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


练习2：计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365


(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)


【例题3】计算下面各题。
学习参考

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(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


练习3：计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000-111-89-1 12-88-113-87-114-86-115-85-116-84


练习4：计算。
(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1



练习5：计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99
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第5讲 图形个数
一、知识要点
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段 、角、三角形、长方形……那
就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 < br>要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有
多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
二、精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段？

ABCD
【思路导航】方法一：我 们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、
AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图
中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、
BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。
所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？

ABCDE
A
B
O
C
D
【例题2】数出 图中有几个角？


【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做 基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、
∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD
1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角？
A
（1） （2）
B
P
O
A
B
C
D
E


O
C
【例题3】数出右图中共有多少个三角形？

A< br>BC
D
【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有： △PAB、△PAC、
学习参考

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△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形还有：△PCD 1个。
所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、△PBC、△ PCD看做基本三角形
来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成
的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有
3+2+1=6（个）三 角形。方法三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条
线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：数出图中共有多少个三角形？
（1） （2）



BCD
EF
A
A
A
G
H
I
G
BCD
E
B
K
F
【例 题4】数出下图中有多少个长方形？

C
D
【思路导航】数图中有多少个长 方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线
段 CD上有3+2+1=6（条）线 段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共
有6×1=6（个）长方形， 而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。它的计算公式
为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
练习4：
（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？



C
D
A
B
【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？
【思路导航】这道题可 以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同
学。
1
2 3
45
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余 3个同学
握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同 学握手
共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
练习5：
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？
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10

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（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？
学习参考

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第6讲 植树问题
一、知识要点
爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的 一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植
了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶 一看，随口答题：“27米。”同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解 答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三
者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式， 一般在不封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔
长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长 。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时< br>解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经 植了9棵，问第一
棵和第九棵树相距多少米？
【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

0
1棵< br>3米
2棵
6米
3棵
9米
4棵
12米15米18米21米24米
5棵6棵7棵
8棵9棵
根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第 一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间
隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8= 24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。
练习1：
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？
（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？
【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树 ”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7
（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔 是7-1=6（个）。42米长的大路平均分成6段，每段
是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。
练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共 放了12把椅子，相邻两把椅子的
距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？

< br>【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯
成了多少段？
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12

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【思路导航】我们先 求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。列式如
下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长
多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到1 6楼
时，乙跑到了多少楼？
【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼 梯段数进行计算，因为第一层楼
是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑 到4楼时，乙恰好跑到3楼”，实
际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照这样计 算，甲跑到16楼，也就是跑了
15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑 的楼梯段数也是他跑2段楼梯
的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼 ）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛 ，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明
跑到第16层时，小红跑到了第几层？

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一 面黄旗，
跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于 分成的段数，所以插了红旗300÷6=50（面），由
于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数 就等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5：
（1）有一个正方形水池，周长是2 00米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两
盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水 池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？

（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植 。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离
地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？
学习参考

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第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更 灵活。数学上
有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时，要求小 朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破
口，然后再利用等量代换、消去等 方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△ ＋
△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×△=36， 可以
得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□ －△
=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2 ）÷3=6，△=16
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
14

.. . . ..
－6×2=4。
练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○， 用48减去34得到□＋○=14，
34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6 ，□=（34－6×3）÷2=8。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4 个△，那么1个☆
等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆＋□＋ ☆=80，而2个☆又
可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3 ÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）
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第8讲 算式谜
一、知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能
确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。
二、精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：
【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上）
练习1：在□里填上适当的数，使算式成立。


【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？




0
6
5
6
解题思路：
5
0
30
30
0
6
1
5
0
6
30
300
6
1
9
6
3
3
5
0
00
0
【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数 相乘的积想
起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为 一位数，这个数只能是1，这样
确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为
369
。
练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。
（

1）
4



8
（2）
5
7< br>【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

7
7
1
00
答案：


0
1< br>78
7
1
1
2
4
4
4
0
1
79
7
2
2
3
1
1
1
0
1
79
7
2
2
4
8
8
8
0
【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易知道，被除数的
多动 脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
16

.. . . ..
十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能是2；如果十位数字是 9，那
么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法（见上页）。
练习3： □里可以填哪些数字？



0
0
（1）
88
1
（2）
4
2
【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适 的数字，使算式成立。
3040
8040
4

8
2432
7
8
6432
7
24
64
4
答案：
32
32
32
32

2
7
77
【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个位上应填7；
由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时
3412 , 84=32，因而除数可能是3或8，
可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商 的百位上为0，商的千位是8
或3，所以一共有两种填法（见上）。
练习4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
（1）




2
5
0
4
（2）
9
6
2
5
402
241
6
24
1
6
1
2
4
4
8
8
【例题5】在下面□中填入适当的数，使算 式成立。

8
6
答案：
2


1
2
8
488

00
【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6。再根据
商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万位是2，千位是4，然后可< br>求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，个位是8。（填法见上）
练习5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。

（1）




9
1
2
1
63
0
（2）15
2
5
35
4
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第9讲 乘法速算
一、知识要点
我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计 算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。其
实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的 方法来计算。
计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再扩 整”。两位
数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但要注意相邻两位 相加作积
的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以11，我们有“两位数与11相乘 ，首尾不
变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。”
二、精讲精练
【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11
【 思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位和末
位拉开分 别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位……，
哪一位上满 十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
练习1：很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗？
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25
【思路导 航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，有几个4
就有几个 100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
练习2：速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
【思路导航】因 为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24加上它的一半再
乘以 10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
18

.. . . ..
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10
=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170
练习3：很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15
【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思路导航】（1）我们可以先用4 5×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还要从450中减去
1个45，即450-45= 405。
（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从32 00中减去1个32，
即3200-32=3168。
（3）我们可以先用78×1000= 78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000中减去1个
78，即78000-78 =77922。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数 与99相乘，
就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以1000， 再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
练习4：计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9
（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99
（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999
【例题5】下面的乘法计算有规律吗？
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35
（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95
【思路导航】通过计算我们发现，个位 是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位都是25，25
前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 的积，例如：
15=225

(1) 15 ×

1×(1+1)
(2) 25 × 25=625
2×(2+1)
(3) 35 × 35=1225
3×(3+1)
45=2025

(4) 45 ×

4×(4+1)
(5) 65 × 65=4225
6×(6+1)
(6) 95 × 95=9025
9×(9+1)< br>我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
练习5：速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85
（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995
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第10讲 添运算符号
一、知识要点
根据题目给定的条件和要求， 添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏
需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦 掌握方法，就有取得成功的把握。
添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1． 如果题目中的数字比较简单，
可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的 式子；2．如果题目中的数
字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然 后再进行调整，使等式成
立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来 使用，更有助于问题的
解决。
二、精讲精练
【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
【思路导 航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个数是5，可
以从下面几种情 况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。
（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□÷5=1 0考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得
数是50的算式。
练习1：
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3
【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试一试吗？ 8 8
8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、
差 、积、商应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法 ，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别
相等，相同的数相除也可得到1，有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
20

.. . . ..
练习2：
1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3
3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。4 4 4 4 = 8
【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是8，而最后一个数是4，我 们
可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。
（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）从□－4=8考虑，□=12，前3个4必须组成得数是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
（3）从□×4=8考虑，□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8
（4）从□÷4=8考虑，□=32，前3个4必须组成得数是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
练习3：
1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？答
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思路导航】这道题的结果比 较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000比较接近，
如：555＋555=1110这 个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出110减掉就可以了。 555
＋555－55－55＋5－5=1000
练习4：
1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600
【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在 等号左边最后两个数字2、
1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的方法可 以得出：9－8＋7－6＋5
－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
练习5：
1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14
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第11讲 文字算式谜
一、知识要点
一般说来，算式 都是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母组成，我们
称它为文字算式。 文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示相同的数字，
不 同的文字或英文字母应表示不同的数字。
通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、 填竖式的步骤与方法基本是一样的，都要
仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后 通过尝试找寻正确答案。
二、精讲精练
【例题1】下式中，每个字各代表一个不同的数字， 其中“心”
代表9，请问其他汉字分别代表哪个数字？


【思路导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，乘积就是
111111111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位数应该是3，所以“中”= 7，
往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，往前一位进6；9ד俱”的积个位 数应是5，
“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个位数字应是6，“球”=4，往前一位进4；9 ד足”的积个
位数是7，所以“足”=3，往前一位进3；9ד年”的积的个位数是8，“年”=2 ，往前一位进2；9
×1＋2=11，即：
12345679×9=111111111
练习1：
1． 下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？





2．如果A、B满足下面算式，它们各代表几？（上中）
3．上右图各个汉字分别代表几？
【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表示几？



【思路导航】由积的个位是2，乘数是3，可推出被乘数个位 上“学”
是4，4×3=12，在积的个位上写2，向十位进1；因为积的十位上“学”为4，所以“数 ”×3应为3，
推出“数”为1；因为“数”为1，百位上“庚”×3末位应为1，因而“庚”为7，千 位上5×3＋2=17，
在千位上写7，向万位进1，因而“罗”为5，万位上8×3＋1=25，在千 位上写5，向前一位进2，因而
“华”为8。
练习2：
下面各个竖式中的汉字分别代表几？ .


×
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
22

.. . . ..
【例题3】在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字?
【思路导航】仔细审题发现 千位a×9的结果是一位数，于是就可以确定a只能
是1。接着思考个位d×9=1是不可能的，所以应 该是d×9等于几十一，于是确定
d=9。或者想千位上1×9=9，所以d一定是9。最后确定剩下的 c为8。只有8×9=72，
72＋8=80，积中才会有0。
练习3：
1．下面（左下）竖式中的字母各代表几？



2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A＋B＋C=（ ）
【例题4】下 面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。如果以下3
个等式成立：
小小×朋朋=友小小友
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
爱爱×科科=爱学学爱
爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ）
朋朋×朋朋=小小学学
【思路导航】通过观察，我们发现第三个等式最特 殊，它是相同的两位数相乘得到千位和百位、十
位和个位分别相同的积，逐步试验，11×11，22× 22得不到四位数，然后从33×33试，我们发现88
×88=7744，这样可以得出：朋=8，小 =7，学=4。将朋=8、小=7代入第一个算式中得出77×88=6776，
确定友=6。这样，0 ——9中，只剩下9，5，3，2，1，0这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现55
×99=54 45，所以爱=5，科=9。
练习4：

×

×

【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？

新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）

【思路导航】从千位上看， 千位上得数是2，假设新=2，那么百位上，“新＋年”不可能等于0，
因而“新”不可能是2，只能是 “新=1”。从百位上看，新＋年＋进来的数=10，我们可判断“年”=7
或8。而“新＋年=8”， 即使个位进来2，十位上也不可能向百位进2，因而“年”=8，十位上“新＋
年”=1＋8=9，而个 位上已向十位进了1，因而“快”=0，最后从“新＋年＋快＋乐”=11中可推出“乐”
=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ）
练习5：
1 ．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉
字各代表几 ？





2．上面（上中）各字母分别代表几？
3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？
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第12讲 填数游戏
一、知识要点
小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常 有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析问题、发展
能力。但有时也有一定的难度，不过，只要你掌握 了填写方法，填起来就很轻松了。
填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图 形的顶点及中间位置。另外，
要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提 供数字的和之差，从而确定
关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，
和是多少呢？

【思路 导航】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心的○内，
剩下八个数，一大一小，搭配成和都是1 0的四组，这样两条直线上五个数的
和都是5＋10×2=25。
如果把1填在中心的○内， 这样剩下的八个数可以一大一小搭配
成和都是11的四组，这时两条直线上五个数的和是1＋11×2= 23。
想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？
练习1：
1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？




2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图） 中7朵花里，使每条直线上三个数的和
相等。
3.把6、8、10、12、14、16、18 七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。
【例题2】 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形
上5个数的和都等于20。
【思路导 航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋
8=36，题中要使每个五边形上五个数 的和等于20，那么两个五边形上数
字的总和是20×2=40。两个五边形上的数字总和比8个数的和 多40－
36=4，多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。1
多动脑多 动手,是开启数学大门的钥匙!
24

.. . . ..
——8中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1.一个填3。20－ （1＋3）
=16，16可以分成2＋6＋8和4＋5＋7，所以本题应该这样填：
练习2：
1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。




2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条 边的○内，使得每条边上的三个数的和
是21。
3.把1——8这八个数，分别填入下图的各 个□内，使得每一横行、每一
竖行的三个数的和是13。
【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。




【思 路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两次，多算了
一次，所以4 边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=44，所以4个顶点数的
和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。
想一想，有没有其他填法？
. 练习3：
1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。




2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一个顶 点的数
字为1。
3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之 和都相等，而且最大。
这个和是多少？
【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求最大的和
是多少？
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【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为四个角上的
数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整数，说明四条边上的 总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最
大的和为：（62－2）÷4=15
.练习4：
1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？



2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？
3.将数字1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个和可以是多
少？
【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和都是21。


【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数，恰好每个圆内有
两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21是单数，也就是每个
圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，要使和为单数，8要填入中间部分，如右上图。
练习5：
1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和是15。



2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是27。
3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使每个圆中4个数的和是33。
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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第13讲 周期问题
一、知识要点
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十 二生肖，一年有春夏秋冬四
个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题， 我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周期问题时 ，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循
环的固定数，然后利用除法算式求出 余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练
【例题1】小丁把同样大小的红、白、 黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排
列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什 么颜色？


从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个 珠子为一周期。32÷6=5
（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠 子就是重复5个周期后的第2
个珠子，应为红色。
练习1：
1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？
3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？


【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
【思路导航】我们 知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从10月1日
到10月25日经过25－ 1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包括3个星期还多3天。
所以从10月 1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。
练习2：
1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？
2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？
3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？
【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数 字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积
的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7； 4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数
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字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一
周期。100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是 1。
练习3：
1.23个3相乘，积的个位数字是几？
2.100个2相乘，积的个位数字是几？
3.50个7相乘，积的个位数字是几？
【例题4】有一列数按“4327943279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？ < br>【思路导航】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。< br>要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6 ）×6=240，余下6个数字之和是4＋3＋2＋7
＋9＋1=26。所以，这列数中前54个数字之 和是240＋26=266。
练习4：
1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？
2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？ < br>3.有一列数“72365……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个
与第2 5个数字）所有数字的和是多少？
【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就 是说3页插图前后各有1页
文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页 ？
【思路导航】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128÷（1＋3）=32 个周
期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。
练习5：
1.校门口摆了一 排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。如果第一盆花是菊花，那
么共摆了多少盆月季花 ？
2.同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中
男生有多少人？
3.一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中 间插两面黄旗。花辅
周围共插了多少面黄旗？
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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.. . . ..
第14讲 数学趣题.
一、知识要点
在日常生活中，常有一些妙趣横 生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友同时唱一首歌要
3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要 几分钟？类似这样的问题一般不需要较复杂的计算，也不能用常
规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵 感、技巧和机智获得答案。
对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础 知识以及自己的聪明
才智巧妙地解决。
二、精讲精练
【例题1】如果每人步行的速 度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6个人一起从
学校到儿童乐园要多少小时？ 【思路导航】2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐园要3小时；
6 个人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时间相等，所以6个人一起从学校到儿童乐园
还是 用3小时。
练习1：
1.3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？
2.5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？
3 .6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙地要用几小
时？ < br>【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长到5厘米时要
用多少天？
【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条毛毛虫 在第30
天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘米；在第2 8天时，这条虫
的身长为10÷2=5厘米。
练习2：
1.有一个池塘中的睡莲， 每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲要遮住半
个池塘需要多少天？
2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到9厘米时要用几天？
3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘米共要多少天？
【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？ < br>【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条数尽量多，
那 么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，在第二堆中放2条鱼，在第
三堆 中放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
学习参考

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练习3：
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？
2.老师为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最多可排几人？ < br>3.兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。问分得最多
的一只小兔至多分得几个？
【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的 只数都带有6字。想一
想，该怎样分？
【思路导航】因为6×6=36只，这样就可以在每个 篮子里装6只桃，共装6个篮子，还有一个篮
子里装100－36=64只桃。64这个数，正好也含有 数字6，符号题目要求。
练习4：
1.把100个鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的 鸡蛋的数目都带有6字，想想看，应该怎样
分？
2.有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东 西的数量都要含有数字8。现在有200块糖要分给一
些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。 3.7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只苹果，现在要从这7只箱子里取出87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？
【例题5】舒舒 和思思到书店去买书，两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都不够。舒舒缺2元
8角，思思缺1分钱，用 两个人合起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？
【思路导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合 起来的钱买一本书仍然不够，这说明舒舒根本没
有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
练习5：
1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元 4角，娟娟缺
1分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多少钱？
2.李华和张洁到商店 买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角，张洁缺2分钱，但两人合
起来买一本仍不够。这种本子 一本多少钱？
3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺600元， 李阿姨缺900
元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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.. . . ..
第15讲 乘除巧算
一、知识要点
前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑 整”的方法进行巧算，实际
上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要 牢记以下几个计算结果：
2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高计 算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。巧算中，
经常要用到一些 运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于运用运算定律，是提
高巧算能力的关键 。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
【思路导航】（1）我们知道25×4=100，因而我们要尽量把25与 4放在一块计算，这样比较简
便。所以我们先算25×4=100，再与17相乘即100×17=17 00；（2）因为8×125=1000，因而我们先把
8与125放在一块计算，8×125=100 0，再乘18：1000×18=18000；（3）已知25×4=100、125×8=1000，
因此这道题我们要通过移位的方法把25与4相乘，125与8相乘，然后再把1000与100相乘，1000 ×
100=100000；（4）因为125×8=1000，2×5=10，因而这道题也要移一移， 先计算125×8=1000和2×
5=10，再计算1000×10=10000。
练习1： 1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2.计算：（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5
3.想一想，怎样算比较简便？ 125×16
【例题2】你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125 （3）16×25×25 （4）125×32×25
【思路导航】（1）已知25×4=1 00，因为8=2×4，所以我们可以把25×8转化为25×4×2.然后
先算25×4=100，再 算出100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因而我们可以把16×125转化为2
×（8×125），然后算出8×125=1000，再乘2得到2000；（3）因为25×4×10 0，16=4×4，这样可
以将两个4分别与两个25相乘，所以原式就转化为（4×25）×（4×2 5），再分别计算，得到结果100
×100=10000；（4）因为125×8=1000，25× 4=100，我们又发现32=4×8，所以可将4和8分别与25、
125相乘，得到（125×8） ×（25×4），再分别算出结果为1000×100=100000。
练习2： 1.（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
2.（1）125×16×5 （2）25×8×5
3.（1）125×64×25 （2）32×25×25
【例题3】你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
学习参考

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【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十位上的数字
相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首位数字，得数作为积的前两
位 数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果末位数字相乘的积是一位数，要在前
面被 一个0。（1）82×88先用首位数字加1再乘首位数字，即（8＋1）×8=72作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘2×8=16作为积的末位两个数字，所以82×88=7216；（2）51×59 先用首位数
字加1乘首位数字，即（5＋1）×5=30作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘1 ×9=9，它们的
积是一位数，要前9前面被一个0，作为积的末两个数字，所以，51×59=300 9。
练习3：
1.（1）72×78 （2）45×45
2.（1）81×89 （2）91×99
3.（1）42×48 （2）61×69
【例题4】简便运算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125
【思路导航】这里可以运 用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），
商不变，因而：（1）130 ÷5可将130和5同时乘2.使除除变为10，然后再用260÷10=26；（2）4200
÷25 可以将4200和25同时乘4，使除数变为100，然后再用16800÷100=168；（3）34000 ÷125可以
将34000和125同时乘8，使除数变为1000，然后再用272000÷1000 =272。
练习4：
1.你能迅速算出结果吗？（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2.计算：（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）5600÷25
3.你有好办法计算下面各题吗？
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
【例题5】计算：31×25
【思路导航】题中31不能被4整 除，但31可拆成4×7＋3.这样就得到（4×7＋3）×25，或者把
25看作100÷4也可求出 得数。
（1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775
（2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775
练习5：
计算：（1）29×25 （2）17×25 （3）221×25
（4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25
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第16讲 应用题（一）
一、知识要点
应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友 用学到的数学知识来解决生产、
生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量 关系，找到问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题； 也可以从问题出发，
找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这 两种方法。有时，
借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。
二、精讲精练 < br>【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍
少5只，学校有排球、足球共多少只？
【思路导航】根据题意画出线段图
从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比
这样的2倍还少5只，用24×2－5=43（只）可以求出足球的只
数，再用43＋24=6 7只可以求出两种球的总只数。
练习1：1.小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3 倍少16下，小军每分钟比小
红多跳几下？
2.王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、鹅多少只？ 3.少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍多14棵。少先队员种的杨树、柳树
共多少棵？
【例题2】人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有多少盆？
【思路导航】从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，
郁金香的盆数是这样的3倍少15 盆。如果郁金香再增加15盆，就正
好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）÷3=65（盆） 就可求出月
季花的盆数。
练习2：1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资
的2倍少200元。小明母亲每月工资多少元？
2.饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？
3.水果 店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多27千克，还
剩多少千克水 果？
【例题3】小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑
鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？
【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄 鸡多
12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只，
这相当于黑鸡的2 －1=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为25÷
学习参考

三年级数学奥数培训资料
1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×2=50只。
练习3： 1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比红围巾多20
条，蓝围巾的 条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？
2.有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙 筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数是
乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果 ？
3.男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；如果少去一名男生，女生人< br>数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人？
【例题4】用一批纸装订同样大小的练习本， 如果每本16页，可装订400本。如果每本20页，
可以少装订多少本？
【思路导航】根据 “如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×400=6400页；
再用总页数6 400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－320=80本则表示少装订的本数。 < br>练习4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装30箱。如果每箱15千克，可少装多少箱？
2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3米长，可做140幅。如果每幅窗 帘做成2米长，
则可多做多少幅？
3.同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可 装订400本。如果每本多装订9页，则
少装订多少本？
【例题5】李师傅原计划6小时加工 零件480个，实际2小时加工192个。照这样的效率，可以
提前几小时完成？
【思路导航 】根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为192÷2=96（个
小时）， 再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，求出实际完成的时间。6－5=1
小时，则表示提前完成的时间。
练习5：1.王奶奶计划10小时做纸盒400个，实际3小时已加工 150个。照这样的效率，可以提
前几小时完成？
2.暑假中，小宁30天共要写大字600 个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，小宁可以
提前几天写完同样多的字？
3. 自行车制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆，五月份改进技术后9天已生产自行车1350
辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？
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第17讲 应用题（二）.
一、知识要点
一般应用题的条件和问题变 换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，善于思考，善
于抓住关键，不管什么问题都能迎刃 而解。
解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之间的联系，
找出解题方法，灵活解题。
二、精讲精练
【例题1】一列火车早上5时从甲地开往 乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，
但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时 。问火车实际每小时行驶多少千米？
【思路导航】由“这列火车早上5时出发，计划下午3时到达”可 知，这列火车原计划行驶12＋3
－5=10小时，用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小 时，便可得到甲地到乙地的距离为120
×10=1200千米；火车晚点2小时，说明火车实际行驶了 10＋2=12小时，用1200÷12=100千米就可得
到火车实际每小时行的千米数。
练习1：1.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4时到达乙地。
但 实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？
2.一列火车早上6时从甲城开往乙城，计 划每小时行驶100千米，下午6时到达乙城。但实际到达
时间是下午4时，提前2小时。问火车实际每 小时行驶多少千米？
3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计划每小时行驶60千 米，下午2时到达城
西，实际到达时间是下午3时，晚到1小时。问实际每小时比计划少行多少千米？
【例题2】小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。回家后，三
个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？
【思路导航】小宁和小红一 共买了7＋5=12枝铅笔，三个人平均分，每人应得12÷3=4枝，所以小
佳拿出的8角钱就相当于 4枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2角。小佳应给小宁2×（7
－4）=6角钱，应给 小红2×（5－4）=2角钱。
练习2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳 阳没有买。到家后，三个人平
均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？ 2.甲、乙、丙3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有带钱。那么吃
完 后，丙应拿出4元8角钱，他应分别给甲、乙多少钱？
3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴 同样多，张家出了4担柴，李家出了5担柴，王家
因无柴付18元。张、李家各得多少钱？
【 例题3】用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如果倒进去5杯
牛奶， 连瓶共重750克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
【思路导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2） 比较（1）、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－2=3瓶牛奶
重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空瓶重量是450 －100×2=250
克。
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练习3：1.有12筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果装进2筐苹果，连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重520千克。1筐苹果和大箱子各重多少千克？
2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如果倒进7桶水，连缸
共 重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？
3.有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满 3杯水，连瓶重550克；如果注满6杯水，连
瓶共重250克。一杯水多重？
【例题4】一 共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒子里，把黄
色珠子分放在6个盒 子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色
的珠子各多少粒？ < br>【思路导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可以120÷
（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。红色珠子：6×9=5 4
粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5=30粒。
练习4：1.一共有苹果、 梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中，把梨分放到5个盘中，
把橘子分放到6个盘中，那么 每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个？
2.一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔 分放到5个笼中，把灰兔分放到11个笼中，
把黑兔分放到9个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。 三种兔子各多少只？
3.共有科技书、文艺书和故事书共360本，若把科技书分放到2个书架上，把 文艺书分放到3个
书架上，把故事书分放到4个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书各有多少本？
【例题5】在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡
蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？
【思路导航】根据“ 6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐里鸡蛋个数的总和”，说明
6个筐里取出的鸡蛋个数的总 和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和，用取出的50×6=300个鸡蛋除
以4就可求出原来每 个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。
练习5：1.在6个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个 纸箱里拿出50个苹果，则6个箱里剩下
的苹果个数的总和等于原来2个箱子的苹果个数的总和。原来每 个箱里有多少个苹果？
2.某商店有5箱皮球，如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个 数正好等于原来2
箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？
3.有3个水桶，如果从每桶中 倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于原来1桶的重
量。原来每桶装多少千克水？
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第18讲 数字趣谈
一、知识要点
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我们 最常见、最熟悉的数，由这些数字构成
的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到答 案。本周的习题，大都是关于自然数
列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法 ，相信你们能很好地掌握它。
二、精讲精练
【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24
3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39
练习1：
1.在20和50之间有多少个数是6的倍数？
2.在15和70之间有多少个数是8的倍数？
3.两个整数之积为144，差为10，求这两个数。

【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】求10和1000之 间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样
思考：
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
练习2：
1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数？
2.在10到1000之间有多少个数是7的倍数？
3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数？
【例题3】从1——9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？
【思路导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
1.2.3.4，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求， 但用第二小的2和最大的9相加，和为11
符合要求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8 ，11=4＋7，11=5＋6。
共有4种不同的写法。
练习3：
1.从1——9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？

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2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。

3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？

【例 题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人单独去的，
三批人数 的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？
【思路导航】2000年2月有29天 ，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用最小的几个
数试乘（1除外）：2×3×4=24， 24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。所以，这三批学生的人数
是2.3.4人。
练习4：
1.2001年5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人 数的乘积正好等于
这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？

2.学校 进行运动会比赛，三（2）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而且这三项参赛人
数之积在35到 45之间。那么三（2）班最少各有多少人参加这三项比赛？

3.小明家有四种水果，每种 水果的千克数不相等，这四种水果的千克数的乘积在200到250之间，
那么这些水果最少共有多少千 克？

【例题5】一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下， 排这本书的
页码共要用多少个铅字？
【思路导航】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
练习5：
1.一本书共200页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多少个铅字？
2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书时共用多少个数码？
3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页？
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第19讲 重叠问题
一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的 12位同学每人发一份纪念品，
当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对 了，因为有5位同学既参加了
绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这 样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计 数部分有重复包含
时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用 题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，
找出哪些是重复的，重复 了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节， 学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗
是第10面。这行彩旗共多少面 ？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起 是第10
面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10
－1=17面。
练习1：
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？


2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个 。这一行座位有多少
个？


3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？


【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从 右数起是第3个，
从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
【思路导航】根据题意，画出下图：




学习参考

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由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6 个人；从前数第5
个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10 =60人。
练习2：
1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数 从后数，从左数还是从右数起
都是第4个。跳舞的共有多少人？


2.为 庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4
个；从前数第 3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？


3.三（4）班排成每行人数相同的队 伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是
第5个；从左数、从右数都是第3个。三（ 4）班共有学生多少人？


【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成 了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120
厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘 米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16
厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长
度是136÷2= 68厘米。
练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长 的纸条长30厘米，中间重叠
部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？

2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木
板各长多少厘米？


多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部 分长
12厘米。另一根木棍长多少厘米？


【例题4】一次数学测试，全 班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18
人，每人至少做对一道。问两道 聪明题都做对的有几人？
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都 做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的
人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数 36多出了39－36=3人，这多
出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中 算过，即表
示两道题都做对的人数。
练习4：
1.三（1）班有学生55人，每人 至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参
加跳绳的有38人。两项比赛都参加的 有几人？


2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木< br>板，中间重合部分是多少厘米？


3.三（5）班有42名同学，会下象棋 的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10
名。两种棋都会下的有多少名？


【例题5】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份 报纸都订的有10人，
全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？
【思路导航】根据题意，画出下图：


从上图可以看出，中间重叠部分表 示两份报纸都订的10人，这10人既
被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的3 0人内，重复算了一次，所以要算出全
班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。 所以全班人数应是62－10=52人。
练习5：
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1.三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人
至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？


2.两块木板各长9 0厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木
板总长多少厘米？


3.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人， 每人至少带一种。三年
级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
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42

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第20讲 简单枚举.
一、知识要点
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问 题要求，一一列举问题解答。
运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规 律地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏 ；二是枚
举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
二、精讲精练
【例题1 】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，
有几种不同的 走法？
【思
路
了帮
意，
画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：
根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路< br>有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种
不同走法，共有4×3=12种不同走 法。
练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到
丙地有2条铁路直达。从甲地到 丙地有多少种不同走法？
2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种 英语书和一种数学读
物，共有多少种不同买法？
3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？
【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思路导航 】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。
可以看出，红色信号 灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，
绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信 号
灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2
种不同排列方法，即2×3=6 种。
练习2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○
○○
2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？
【例题3】一个长方形的周 长是22米，如果它的长和宽都是整
米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
导航】为
助理解题
我们可以
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【思路导航】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条
件的各种长方形：
练习3：1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么 这个长方形的面积
有多少种可能值？
2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
3.3个自然数的乘积是 18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的
一个，而且数组中数字相 同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。
【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？
【思路导航】 把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样
B小朋友也应打3 次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3×4=12次。但题目要求
两个小朋友之 间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再
打电话给A，照 这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6
次。
练习4：1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？
3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？
【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5
个车 站），那么这样的车票共有多少种？
我们可以利用列举的方法：
如果起点站是1.那么终点 站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或
10；如果起点站是3.那么 终点站只能是9或10；如果起点站是4，终点站只能是10；如果起点站是5、
6时，就找不到与它至 少相隔5站的终点站了；如果起点站是7，终点站只能是1；如果起点站是8，那
么终点站是2或1；如 果起点站是9，那么终点站是3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、
2或1。所以，起 点到终点至少相隔5个车站的车票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。
练习5： 1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同
的机票？ 2.一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），
那 么共有多少种不同的车票？
3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票 （中间至少要相隔2个码头），
那么这样的船票共有多少种？

第21讲 错中求解
专题简析：
在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉 数字。计算时要仔细小心，
不能丝毫马虎，否则就会造成错误。
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44

.. . . ..
解答这类题，往往要 采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化
求出加数或被减数、减数，利 用积、商的变化求出因数或被除数、除数。
例题1 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5 错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，
结果计算的和为241。正确的和是多少？
思路 导航：把一个加数十位上的5看成2，少了3个10，这样和就减少了30；把另一个加数个位
上的4看 作1，少了3个1，这样和就少了3。小马虎算出的和比原来的和少了30＋3=33，所以正确的
和是 241＋33=274。
练 习 一
1，小明在做一道加法时，把一个加数个位上的2 看作了4，另一个加数个位上的7看作9，结果
计算的和为215。正确的和为多少？
2，小 马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的3看作了5，十位上的4看作7，得到结果为
376。正确 的和是多少？
3，小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的7看作1，十位上的3看作8，结 果为342。
正确的和是多少？
例题2 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到的差是342，正确的差是多少？
思路 导航：十位上的2表示2个十，十位上的5表示5个十，把十位上的2看作5，就是把20
看作50，减 数从20变为50，增加了30，所得的差减少了30，应在342中增加30，才是正确的差。340
＋30=372
练 习 二
1，小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写成8，结果得到的差是284。正确的差是多少？
2，在减法算式中，错把减数个位上的3写成了5，结果得到的差是254。正确的差是多少？
3，小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的2看作7，减数个位上的5看作8，结果得到的差
是5 92。正确的差是多少？
例题3 小马虎在计算一道题目时，把某数乘3加20，误看成某数除以3 减20，得数是72。某数是多
少？正确的得数是多少？
思路导航：小马虎计算得到72，是 先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把72先加后乘，
求出某数为（72＋20）×3=276 ，然后再按题目要求，按运算顺序求出正确的数276×3＋20=848。
练 习 三
1，小丽在计算一道题时，把某数乘4加20，误看成除以4减20，得数为35。某数是多少？正确
的结果是多少？
2，小粗心在计算时，把一个数除以2减4，误看成乘2加上4，得数是36。正确结果是多少？ 3，小华在计算一道题时，把一个数加上4乘2看作了乘2加上4，得数为40。正确的得数是多
少 ？
例题4 小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550， 实际应
为625。这两个两位数各是多少？
思路导航：我们可以用竖式来帮助分析：
×
5
624
×
2
5
5
0

乘数个位上的5看作2，结果比原来少了5－2=3个被乘数，实际的结果与错误的结果相差625－
550=75；75正好是被乘数的3倍，被乘数是75÷3=25，乘数是625÷25=25。
练 习 四
1，一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成4，乘得的结果是1080，实际 应为1260。
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这两个两位数分别为多少？
2，小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成5，乘 得的结果是875，正确的结果是
805。这两个两位数分别是多少？
3，小芳在计算一道题时，把5×（△＋7）错写成5×△＋7，她得到的结果与正确答案相差多少？
例题5 小林在计算有余数除法时，把被除数137当作173，结果商比正确结果大了4，但余数恰 好相
同。正确的除法算式应是什么？
思路导航：把被除数137当作173，被除数就多了1 73－137=36，因此商比正确结果大4，但余数
相同，说明除数的4倍就是36。所以除数为36 ÷4=9，正确的除法算式为137÷9=15……2。
练 习 五
1，小红在计算有 余数除法时，把被除数113错写成131，这样商比原来多2，但余数恰好相同。
正确的除数和余数是 多少？
2，王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少9，但余数恰好 相同。
正确的除法算式是怎样的？
3，小明在计算除法时，把被除数末尾的0漏写而成18， 结果得到的商比正确的商少54。正确的
除法算式是什么？


第22讲 用对应法解
专题简析：
小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定 的数量和所对应的数量关
系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它们之间的 对应
关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。这种解题的思维方法叫对应法。
在用对 应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺
序编号，然后认真观察，比较对 应关系的变化，以便寻找解题的突破口。
例题1 奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝， 需花58元；如果她买
6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？
思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1）
6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2）
比较（1）和（2）式，发现两式中 荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式多了6－
4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1 千克梨的价钱为4÷2=2元，那么1千克
荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。
练 习 一
1，3筐苹果和5筐橘子共重270千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千 克。一筐
苹果和一筐橘子各重多少千克？
2，张老师为图书室买书，如果他买6本童话书和7 本故事书需要144元；如果买
9本童话书和7本故事书，需要174元。现在张老师买7本童话书和6 本故事书，共需
多少元？
3，粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋 大米和3袋面粉
共重340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？
例题2 学校买足球 和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球
和2个排球需要230元。一个足球和 一个排球各多少元？
思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
3个足球＋4个排球=190元 （1）
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.. . . ..
6个足球＋2个排球=230元 （2）
我们把（1）、（2）两式进行比较， 发现两组条件相加还是相减，都不可能求出足
球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。再 观察我们可以发现：如果
把（1）式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380元，然后再与（2 ）式进行
比较，发现足球个数相同，而排球多了6个，也就多了380－230=150元，也就是6个
排球是150元，一个排球为150÷6=25元，那么一个足球是（190－25×4）÷3=30元 。
练 习 二
1，5筐番茄和2筐黄瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黄瓜共重31 0千克。一筐
番茄和一筐黄瓜各重多少千克？
2，4本练习本和5枝圆株笔共14元，2本练 习本和4枝圆珠笔共10元。一本练
习本和一枝圆珠笔各多少元？
3，2件上衣和3条裤子共 480元，4件上衣和2条裤子共640地。一件上衣和一
条裤子各多少元？
例题3 商店 里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只，
黄气球和红气球共29只。红 气球、蓝气球和黄气球各有多少只？
思路导航：根据题意，我们可以列出下列关系式：
红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1）
蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2）
黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3）
我们可将（1）＋（2）＋（3 ），即21＋28＋29=78只，这里包含有2倍红气球的
个数、2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个 数，由此，可得出三种气球的总只数：78÷
2=39只。然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出 黄气球的只数：39－21=18只；
同理可求出红气球的个数是39×28=11只，蓝气球的个数是 39－29=19只。
练 习 三
1，小明和小红共12岁，小红和小丽共17岁，小丽和小明共13岁。三人各多少
岁？ 2，新华书店有批书，故事书和连环画共70本，连环画和科技书共82本，科技书
和故事书共76 本。三种书各多少本？
3，公园开菊花展，白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共128盆， 红菊花
和白菊花共168盆。三种菊花各几盆？
例题4 三年级三个班种了一片小树林，其 中72棵不是一班种的，75棵不是二班种的，
73棵不是三班种的。三个班各种了多少棵？
思路导航：“72棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树72棵；“75棵不是二班
种的”，说明一 班和三班共种75棵，“73棵不是三班种的”，说明一班和二班共种73棵。
这样，我们就可以求出三 个班共种多少棵树：（72＋75＋73）÷2=110棵。用110－72=38
棵就是一班种的棵数 ，110－75=35棵就是二班种的棵数，110－73=37棵就是三班种的
棵数。
练 习 四
1，百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋，54双不是运动鞋，51双不是布
鞋。三种鞋各运来多少双？
2，一个班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、 数学英语
作业其中的一种。有23人没有做完数学作业，有19人没有做完语文作业，有16人没
有做完英语作业。做完三种作业的各多少人？
3，学校买四种颜色的气球，其中有93个不是红气球 ，有95个不是黄气球，有
98个不是蓝气球，紫气球有10个。学校共买了多少个气球？
例题5 已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹
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果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？
思路导航：根据题意列出等式：
13李=2苹＋1桃 （1）
4李＋1苹=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：13李=2苹＋4李＋1苹
即9李=3苹，即3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃
即：7李=1桃
练 习 五
1，3个菠萝的重量等于1个梨和1个西 瓜的重量，而1个菠萝和3个梨的重量等
于1个西瓜的重量。问多少个梨的重量等于1个西瓜的重量？
2，2个苹果的重量等于3个橘子和3个荔枝的重量，1个苹果和2个荔枝的重量
等于3个橘子 的重量。问3个橘子的重量等于多少个荔枝的重量？
3，三个好朋友去文具店买东西，一人买了4枝圆 珠笔，一个买了2枝钢笔，还有
一个买了1枝钢笔1枝圆珠笔和4枝铅笔，三个人用掉的钱相等。那么1 枝钢笔的价
钱相当于几枝铅笔的价钱？
第23讲 盈亏问题
专题简析：
把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品
不足（ 亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。
盈亏问题的基本解法是：
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。
解答盈亏 问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，
进而求出物品的数 量。

例题1 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，就多出10个；如果 每人分6个，
就少2个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人分5个，多10个；
第二种分法：每人分6个，少2个。
这说明全家人数为：10＋2=12人，也就是说：
不足的个数＋多余的个数=全家的人数
这篮梨的个数是：5×12＋10=70个；

练 习 一
1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则 多了8粒糖；如果每人分11粒
糖，则少了16粒糖。一共有多少个小朋友？这袋糖有多少粒？
2，有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。树周长是多少米？绳子长多少米？ 3，一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人，则有3个人没
有位 置。一共有多少条船？一共有多少个同学？

例题2 幼儿园买来一些玩具，如果每班分8 个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，
则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少 个？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
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.. . . ..
第一种分法：每班分8个，多2个；
第二种分法：每班分10个，少12个。
从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分10－8=2个，所以，所需的玩
具 总个数从多2个变成了少12个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能保证每班分10个；第
二 种分法所需的玩具个数比第一种多12＋2=14个，那是因为每班多分了2个。根据这一对应关系，即
可求出班级的个数为：14÷2=7个，玩具的总个数为8×7＋2=58个。

练 习 二
1，小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？
2，一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵；如果 每人栽8棵，则缺4棵。这个小组
有几人？一共有多少棵树苗？
3，一组学生去搬书，如果每 人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本。这组学生
有几人？这批书有几本？

例题3 老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本；
第二种分法：每人7本，多了2本。
从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7－5= 2本，这样就从原来的多14本变为多2本，
两种分配方法的结果相差了14－2=12本，每人多分了 2本，多少人会多分了12本呢？根据这一对应关
系，可求出优秀少先队员的人数为12÷2=6人，练 习本的本数为：5×6＋14=44本。

练 习 三
1，把一袋糖分给小朋 友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒。有
小朋友几人？有多少粒糖？
2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如果每人分7个，则多了6
个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？
3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床 位24张；如果每间宿舍住10人，则空
出床位2张。学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？

例题4 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？
思路导航：根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：
第一种方案：每人搬6棵，差4棵；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵。
比较两 种方案，每人多搬了8－6=2棵树苗，所需的树苗就从差4棵变为差18棵，结果相差了18
－4=1 4棵，每人多搬了2棵，多少人会多搬了14棵呢？根据这一对应关系，可以求出学生人数为：14
÷2 =7人，树苗的棵数为：6×7－4=38棵。

练 习 四
1，自然课上， 老师发给学生一些树叶。如果每人分5片叶子，则差3片叶子；如果每人分7片
叶子，则差25片树叶。 学生有几人？一共有树叶多少片？
2，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如 果每人做8道，则少16道。
有几个学生？多少道数学题？
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3，学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7人。一
共要排几行？一共有多少人？

例题5 三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人， 则少一条船；如果每条船坐6人，则多
出4条船。公园里有多少条船？三（1）班有多少学生？
为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。
将条件“如果每条船坐4人，则少一条船 ”转化为：“如果每条船坐4人，则多出4人”；再将条
件“如果每条船坐6人，则多出4条船”转化为 ：“如果每条船坐6人，则差6×4=24人”。
这样两种分配方法就相差了24＋4=28人，这是 因为每条船多坐了6－4=2人。根据这一关系，可
求出船的条数：28÷2=14条，学生人数：4× （14＋1）=60人。

练 习 五
1，学校给新生分配宿舍，如果每间住 8人，则少2间房；如果每间住10人，则多出2间房。共
有几间房？新生有多少人？
2，同 学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，则多出2条船。共有几
条船？有多少个 同学？
3，小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则早到4 分
钟。小明家到学校有多远？


第24讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你 变得更聪明，头脑更灵活。数学上
有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这 类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破
口，然后再利 用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得 到28=△＋△＋△＋
△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7 ＋7＋7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
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.. . . ..
第1讲 找规律
一、知识要点
按照一定次序排列起来的一列数，叫做 数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……
我们研究数列，目的就是为了 发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要从连 续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。
寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差 考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是
填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）
练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（
（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）
【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
学习参考
）

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（1）
5 10 7 12 9 14

9 14 11 16 13



(2)
4
79
8
16
2
8
14
443
9 3 27
（3）
12 4 36
36 12

练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
（1）
3 7 8 12 12 16

5 9 10 14 14



(2)
794


8
28
6
27
8
（3）
8 4 16 5 15 12

16 8 32 7 21 18

32 16 64 9 27


【例题5】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）
23 31 41 23 35 24

2541 4643
练习5：根据规律，在空格内填数。



（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）
32 54 21 45 32 57

3864 2665


（3）
37 25 23 45 34 25

3895 2775

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2

.. . . ..
第2讲 有余除法
一、知识要点
把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这 些书分到最后会出现什么情况
呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的 人数少，否则还可以继续分
下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的 。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商< br>和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是____，根据________ ____，余数可填_____________.根据____________，又已
知商、除数、 余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为______________。列式如下：< br>________________________________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习1：
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数 小就行。余数最小为
______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习2：
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋ 余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，所以本题
中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能 是1和24，____和____，____和____，____和____，又因为余
数为4，因此 除数可以是24,12,8,6,商分别为____，____，____，____。
__ __________________________________________________ _____________
学习参考

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答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习3：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
__________ __________________________________________________ ______________
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
_________________________ _________________________________________________
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可
为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习4：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。

【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等 ，因为余数必须比除数小，所以除数必须比4
大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填______ _，商也是______。由算式____________________，
所以被除数最小是__ ________。
练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7
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4

.. . . ..
第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方 法又快又好地算出了
1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？ 原来，他用了一种简便的方法：先
配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个 数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，
每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫 做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）


练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324


练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆在一起， 一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每
层比上层多一根，这堆木材共有多少根？
练习3：
学习参考

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(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体
育馆东区共有多少个座位？


(2)有一串数，第1个数是10，以后每 个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是
多少？


( 3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟
一昼 夜敲多少下？


【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。


练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009


(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19


【例题5】计算 1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18- 82-19-81


练习5：计算。
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1


(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-8 7-17-88-18-89-19


(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
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6

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第4讲 加减巧算
一、知识要点
在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外， 还需要掌握一些巧算的方法。
加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看 做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要 根据“多加要减去，
少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换 律、结合律以及减
法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


练习1：计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


练习2：计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365


(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)


【例题3】计算下面各题。
学习参考

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(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


练习3：计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000-111-89-1 12-88-113-87-114-86-115-85-116-84


练习4：计算。
(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1



练习5：计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99
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8

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第5讲 图形个数
一、知识要点
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段 、角、三角形、长方形……那
就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 < br>要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有
多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
二、精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段？

ABCD
【思路导航】方法一：我 们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、
AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图
中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、
BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。
所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？

ABCDE
A
B
O
C
D
【例题2】数出 图中有几个角？


【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做 基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、
∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD
1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角？
A
（1） （2）
B
P
O
A
B
C
D
E


O
C
【例题3】数出右图中共有多少个三角形？

A< br>BC
D
【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有： △PAB、△PAC、
学习参考

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△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形还有：△PCD 1个。
所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、△PBC、△ PCD看做基本三角形
来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成
的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有
3+2+1=6（个）三 角形。方法三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条
线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：数出图中共有多少个三角形？
（1） （2）



BCD
EF
A
A
A
G
H
I
G
BCD
E
B
K
F
【例 题4】数出下图中有多少个长方形？

C
D
【思路导航】数图中有多少个长 方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线
段 CD上有3+2+1=6（条）线 段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共
有6×1=6（个）长方形， 而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。它的计算公式
为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
练习4：
（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？



C
D
A
B
【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？
【思路导航】这道题可 以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同
学。
1
2 3
45
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余 3个同学
握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同 学握手
共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
练习5：
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？
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10

.. . . ..
（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？
学习参考

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第6讲 植树问题
一、知识要点
爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的 一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植
了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶 一看，随口答题：“27米。”同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解 答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三
者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式， 一般在不封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔
长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长 。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时< br>解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经 植了9棵，问第一
棵和第九棵树相距多少米？
【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

0
1棵< br>3米
2棵
6米
3棵
9米
4棵
12米15米18米21米24米
5棵6棵7棵
8棵9棵
根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第 一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间
隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8= 24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。
练习1：
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？
（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？
【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树 ”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7
（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔 是7-1=6（个）。42米长的大路平均分成6段，每段
是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。
练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共 放了12把椅子，相邻两把椅子的
距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？

< br>【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯
成了多少段？
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12

.. . . ..
【思路导航】我们先 求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。列式如
下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长
多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到1 6楼
时，乙跑到了多少楼？
【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼 梯段数进行计算，因为第一层楼
是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑 到4楼时，乙恰好跑到3楼”，实
际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照这样计 算，甲跑到16楼，也就是跑了
15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑 的楼梯段数也是他跑2段楼梯
的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼 ）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛 ，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明
跑到第16层时，小红跑到了第几层？

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一 面黄旗，
跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于 分成的段数，所以插了红旗300÷6=50（面），由
于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数 就等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5：
（1）有一个正方形水池，周长是2 00米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两
盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水 池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？

（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植 。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离
地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？
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第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更 灵活。数学上
有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时，要求小 朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破
口，然后再利用等量代换、消去等 方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△ ＋
△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×△=36， 可以
得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□ －△
=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2 ）÷3=6，△=16
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14

.. . . ..
－6×2=4。
练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○， 用48减去34得到□＋○=14，
34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6 ，□=（34－6×3）÷2=8。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4 个△，那么1个☆
等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆＋□＋ ☆=80，而2个☆又
可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3 ÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）
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第8讲 算式谜
一、知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能
确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。
二、精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：
【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上）
练习1：在□里填上适当的数，使算式成立。


【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？




0
6
5
6
解题思路：
5
0
30
30
0
6
1
5
0
6
30
300
6
1
9
6
3
3
5
0
00
0
【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数 相乘的积想
起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为 一位数，这个数只能是1，这样
确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为
369
。
练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。
（

1）
4



8
（2）
5
7< br>【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

7
7
1
00
答案：


0
1< br>78
7
1
1
2
4
4
4
0
1
79
7
2
2
3
1
1
1
0
1
79
7
2
2
4
8
8
8
0
【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易知道，被除数的
多动 脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
16

.. . . ..
十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能是2；如果十位数字是 9，那
么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法（见上页）。
练习3： □里可以填哪些数字？



0
0
（1）
88
1
（2）
4
2
【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适 的数字，使算式成立。
3040
8040
4

8
2432
7
8
6432
7
24
64
4
答案：
32
32
32
32

2
7
77
【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个位上应填7；
由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时
3412 , 84=32，因而除数可能是3或8，
可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商 的百位上为0，商的千位是8
或3，所以一共有两种填法（见上）。
练习4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
（1）




2
5
0
4
（2）
9
6
2
5
402
241
6
24
1
6
1
2
4
4
8
8
【例题5】在下面□中填入适当的数，使算 式成立。

8
6
答案：
2


1
2
8
488

00
【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6。再根据
商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万位是2，千位是4，然后可< br>求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，个位是8。（填法见上）
练习5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。

（1）




9
1
2
1
63
0
（2）15
2
5
35
4
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第9讲 乘法速算
一、知识要点
我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计 算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。其
实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的 方法来计算。
计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再扩 整”。两位
数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但要注意相邻两位 相加作积
的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以11，我们有“两位数与11相乘 ，首尾不
变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。”
二、精讲精练
【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11
【 思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位和末
位拉开分 别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位……，
哪一位上满 十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
练习1：很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗？
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25
【思路导 航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，有几个4
就有几个 100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
练习2：速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
【思路导航】因 为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24加上它的一半再
乘以 10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
18

.. . . ..
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10
=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170
练习3：很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15
【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思路导航】（1）我们可以先用4 5×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还要从450中减去
1个45，即450-45= 405。
（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从32 00中减去1个32，
即3200-32=3168。
（3）我们可以先用78×1000= 78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000中减去1个
78，即78000-78 =77922。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数 与99相乘，
就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以1000， 再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
练习4：计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9
（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99
（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999
【例题5】下面的乘法计算有规律吗？
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35
（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95
【思路导航】通过计算我们发现，个位 是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位都是25，25
前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 的积，例如：
15=225

(1) 15 ×

1×(1+1)
(2) 25 × 25=625
2×(2+1)
(3) 35 × 35=1225
3×(3+1)
45=2025

(4) 45 ×

4×(4+1)
(5) 65 × 65=4225
6×(6+1)
(6) 95 × 95=9025
9×(9+1)< br>我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
练习5：速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85
（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995
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第10讲 添运算符号
一、知识要点
根据题目给定的条件和要求， 添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏
需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦 掌握方法，就有取得成功的把握。
添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1． 如果题目中的数字比较简单，
可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的 式子；2．如果题目中的数
字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然 后再进行调整，使等式成
立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来 使用，更有助于问题的
解决。
二、精讲精练
【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
【思路导 航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个数是5，可
以从下面几种情 况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。
（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□÷5=1 0考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得
数是50的算式。
练习1：
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3
【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试一试吗？ 8 8
8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、
差 、积、商应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法 ，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别
相等，相同的数相除也可得到1，有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
20

.. . . ..
练习2：
1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3
3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。4 4 4 4 = 8
【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是8，而最后一个数是4，我 们
可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。
（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）从□－4=8考虑，□=12，前3个4必须组成得数是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
（3）从□×4=8考虑，□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8
（4）从□÷4=8考虑，□=32，前3个4必须组成得数是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
练习3：
1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？答
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思路导航】这道题的结果比 较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000比较接近，
如：555＋555=1110这 个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出110减掉就可以了。 555
＋555－55－55＋5－5=1000
练习4：
1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600
【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在 等号左边最后两个数字2、
1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的方法可 以得出：9－8＋7－6＋5
－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
练习5：
1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14
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第11讲 文字算式谜
一、知识要点
一般说来，算式 都是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母组成，我们
称它为文字算式。 文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示相同的数字，
不 同的文字或英文字母应表示不同的数字。
通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、 填竖式的步骤与方法基本是一样的，都要
仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后 通过尝试找寻正确答案。
二、精讲精练
【例题1】下式中，每个字各代表一个不同的数字， 其中“心”
代表9，请问其他汉字分别代表哪个数字？


【思路导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，乘积就是
111111111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位数应该是3，所以“中”= 7，
往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，往前一位进6；9ד俱”的积个位 数应是5，
“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个位数字应是6，“球”=4，往前一位进4；9 ד足”的积个
位数是7，所以“足”=3，往前一位进3；9ד年”的积的个位数是8，“年”=2 ，往前一位进2；9
×1＋2=11，即：
12345679×9=111111111
练习1：
1． 下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？





2．如果A、B满足下面算式，它们各代表几？（上中）
3．上右图各个汉字分别代表几？
【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表示几？



【思路导航】由积的个位是2，乘数是3，可推出被乘数个位 上“学”
是4，4×3=12，在积的个位上写2，向十位进1；因为积的十位上“学”为4，所以“数 ”×3应为3，
推出“数”为1；因为“数”为1，百位上“庚”×3末位应为1，因而“庚”为7，千 位上5×3＋2=17，
在千位上写7，向万位进1，因而“罗”为5，万位上8×3＋1=25，在千 位上写5，向前一位进2，因而
“华”为8。
练习2：
下面各个竖式中的汉字分别代表几？ .


×
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
22

.. . . ..
【例题3】在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字?
【思路导航】仔细审题发现 千位a×9的结果是一位数，于是就可以确定a只能
是1。接着思考个位d×9=1是不可能的，所以应 该是d×9等于几十一，于是确定
d=9。或者想千位上1×9=9，所以d一定是9。最后确定剩下的 c为8。只有8×9=72，
72＋8=80，积中才会有0。
练习3：
1．下面（左下）竖式中的字母各代表几？



2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A＋B＋C=（ ）
【例题4】下 面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。如果以下3
个等式成立：
小小×朋朋=友小小友
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
爱爱×科科=爱学学爱
爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ）
朋朋×朋朋=小小学学
【思路导航】通过观察，我们发现第三个等式最特 殊，它是相同的两位数相乘得到千位和百位、十
位和个位分别相同的积，逐步试验，11×11，22× 22得不到四位数，然后从33×33试，我们发现88
×88=7744，这样可以得出：朋=8，小 =7，学=4。将朋=8、小=7代入第一个算式中得出77×88=6776，
确定友=6。这样，0 ——9中，只剩下9，5，3，2，1，0这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现55
×99=54 45，所以爱=5，科=9。
练习4：

×

×

【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？

新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）

【思路导航】从千位上看， 千位上得数是2，假设新=2，那么百位上，“新＋年”不可能等于0，
因而“新”不可能是2，只能是 “新=1”。从百位上看，新＋年＋进来的数=10，我们可判断“年”=7
或8。而“新＋年=8”， 即使个位进来2，十位上也不可能向百位进2，因而“年”=8，十位上“新＋
年”=1＋8=9，而个 位上已向十位进了1，因而“快”=0，最后从“新＋年＋快＋乐”=11中可推出“乐”
=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ）
练习5：
1 ．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉
字各代表几 ？





2．上面（上中）各字母分别代表几？
3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？
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第12讲 填数游戏
一、知识要点
小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常 有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析问题、发展
能力。但有时也有一定的难度，不过，只要你掌握 了填写方法，填起来就很轻松了。
填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图 形的顶点及中间位置。另外，
要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提 供数字的和之差，从而确定
关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，
和是多少呢？

【思路 导航】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心的○内，
剩下八个数，一大一小，搭配成和都是1 0的四组，这样两条直线上五个数的
和都是5＋10×2=25。
如果把1填在中心的○内， 这样剩下的八个数可以一大一小搭配
成和都是11的四组，这时两条直线上五个数的和是1＋11×2= 23。
想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？
练习1：
1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？




2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图） 中7朵花里，使每条直线上三个数的和
相等。
3.把6、8、10、12、14、16、18 七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。
【例题2】 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形
上5个数的和都等于20。
【思路导 航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋
8=36，题中要使每个五边形上五个数 的和等于20，那么两个五边形上数
字的总和是20×2=40。两个五边形上的数字总和比8个数的和 多40－
36=4，多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。1
多动脑多 动手,是开启数学大门的钥匙!
24

.. . . ..
——8中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1.一个填3。20－ （1＋3）
=16，16可以分成2＋6＋8和4＋5＋7，所以本题应该这样填：
练习2：
1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。




2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条 边的○内，使得每条边上的三个数的和
是21。
3.把1——8这八个数，分别填入下图的各 个□内，使得每一横行、每一
竖行的三个数的和是13。
【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。




【思 路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两次，多算了
一次，所以4 边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=44，所以4个顶点数的
和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。
想一想，有没有其他填法？
. 练习3：
1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。




2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一个顶 点的数
字为1。
3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之 和都相等，而且最大。
这个和是多少？
【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求最大的和
是多少？
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【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为四个角上的
数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整数，说明四条边上的 总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最
大的和为：（62－2）÷4=15
.练习4：
1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？



2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？
3.将数字1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个和可以是多
少？
【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和都是21。


【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数，恰好每个圆内有
两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21是单数，也就是每个
圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，要使和为单数，8要填入中间部分，如右上图。
练习5：
1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和是15。



2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是27。
3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使每个圆中4个数的和是33。
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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.. . . ..
第13讲 周期问题
一、知识要点
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十 二生肖，一年有春夏秋冬四
个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题， 我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周期问题时 ，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循
环的固定数，然后利用除法算式求出 余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练
【例题1】小丁把同样大小的红、白、 黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排
列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什 么颜色？


从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个 珠子为一周期。32÷6=5
（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠 子就是重复5个周期后的第2
个珠子，应为红色。
练习1：
1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？
3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？


【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
【思路导航】我们 知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从10月1日
到10月25日经过25－ 1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包括3个星期还多3天。
所以从10月 1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。
练习2：
1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？
2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？
3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？
【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数 字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积
的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7； 4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数
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字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一
周期。100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是 1。
练习3：
1.23个3相乘，积的个位数字是几？
2.100个2相乘，积的个位数字是几？
3.50个7相乘，积的个位数字是几？
【例题4】有一列数按“4327943279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？ < br>【思路导航】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。< br>要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6 ）×6=240，余下6个数字之和是4＋3＋2＋7
＋9＋1=26。所以，这列数中前54个数字之 和是240＋26=266。
练习4：
1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？
2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？ < br>3.有一列数“72365……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个
与第2 5个数字）所有数字的和是多少？
【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就 是说3页插图前后各有1页
文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页 ？
【思路导航】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128÷（1＋3）=32 个周
期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。
练习5：
1.校门口摆了一 排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。如果第一盆花是菊花，那
么共摆了多少盆月季花 ？
2.同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中
男生有多少人？
3.一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中 间插两面黄旗。花辅
周围共插了多少面黄旗？
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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.. . . ..
第14讲 数学趣题.
一、知识要点
在日常生活中，常有一些妙趣横 生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友同时唱一首歌要
3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要 几分钟？类似这样的问题一般不需要较复杂的计算，也不能用常
规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵 感、技巧和机智获得答案。
对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础 知识以及自己的聪明
才智巧妙地解决。
二、精讲精练
【例题1】如果每人步行的速 度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6个人一起从
学校到儿童乐园要多少小时？ 【思路导航】2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐园要3小时；
6 个人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时间相等，所以6个人一起从学校到儿童乐园
还是 用3小时。
练习1：
1.3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？
2.5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？
3 .6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙地要用几小
时？ < br>【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长到5厘米时要
用多少天？
【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条毛毛虫 在第30
天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘米；在第2 8天时，这条虫
的身长为10÷2=5厘米。
练习2：
1.有一个池塘中的睡莲， 每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲要遮住半
个池塘需要多少天？
2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到9厘米时要用几天？
3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘米共要多少天？
【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？ < br>【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条数尽量多，
那 么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，在第二堆中放2条鱼，在第
三堆 中放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
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练习3：
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？
2.老师为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最多可排几人？ < br>3.兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。问分得最多
的一只小兔至多分得几个？
【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的 只数都带有6字。想一
想，该怎样分？
【思路导航】因为6×6=36只，这样就可以在每个 篮子里装6只桃，共装6个篮子，还有一个篮
子里装100－36=64只桃。64这个数，正好也含有 数字6，符号题目要求。
练习4：
1.把100个鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的 鸡蛋的数目都带有6字，想想看，应该怎样
分？
2.有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东 西的数量都要含有数字8。现在有200块糖要分给一
些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。 3.7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只苹果，现在要从这7只箱子里取出87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？
【例题5】舒舒 和思思到书店去买书，两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都不够。舒舒缺2元
8角，思思缺1分钱，用 两个人合起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？
【思路导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合 起来的钱买一本书仍然不够，这说明舒舒根本没
有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
练习5：
1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元 4角，娟娟缺
1分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多少钱？
2.李华和张洁到商店 买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角，张洁缺2分钱，但两人合
起来买一本仍不够。这种本子 一本多少钱？
3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺600元， 李阿姨缺900
元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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.. . . ..
第15讲 乘除巧算
一、知识要点
前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑 整”的方法进行巧算，实际
上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要 牢记以下几个计算结果：
2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高计 算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。巧算中，
经常要用到一些 运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于运用运算定律，是提
高巧算能力的关键 。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
【思路导航】（1）我们知道25×4=100，因而我们要尽量把25与 4放在一块计算，这样比较简
便。所以我们先算25×4=100，再与17相乘即100×17=17 00；（2）因为8×125=1000，因而我们先把
8与125放在一块计算，8×125=100 0，再乘18：1000×18=18000；（3）已知25×4=100、125×8=1000，
因此这道题我们要通过移位的方法把25与4相乘，125与8相乘，然后再把1000与100相乘，1000 ×
100=100000；（4）因为125×8=1000，2×5=10，因而这道题也要移一移， 先计算125×8=1000和2×
5=10，再计算1000×10=10000。
练习1： 1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2.计算：（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5
3.想一想，怎样算比较简便？ 125×16
【例题2】你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125 （3）16×25×25 （4）125×32×25
【思路导航】（1）已知25×4=1 00，因为8=2×4，所以我们可以把25×8转化为25×4×2.然后
先算25×4=100，再 算出100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因而我们可以把16×125转化为2
×（8×125），然后算出8×125=1000，再乘2得到2000；（3）因为25×4×10 0，16=4×4，这样可
以将两个4分别与两个25相乘，所以原式就转化为（4×25）×（4×2 5），再分别计算，得到结果100
×100=10000；（4）因为125×8=1000，25× 4=100，我们又发现32=4×8，所以可将4和8分别与25、
125相乘，得到（125×8） ×（25×4），再分别算出结果为1000×100=100000。
练习2： 1.（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
2.（1）125×16×5 （2）25×8×5
3.（1）125×64×25 （2）32×25×25
【例题3】你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
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【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十位上的数字
相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首位数字，得数作为积的前两
位 数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果末位数字相乘的积是一位数，要在前
面被 一个0。（1）82×88先用首位数字加1再乘首位数字，即（8＋1）×8=72作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘2×8=16作为积的末位两个数字，所以82×88=7216；（2）51×59 先用首位数
字加1乘首位数字，即（5＋1）×5=30作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘1 ×9=9，它们的
积是一位数，要前9前面被一个0，作为积的末两个数字，所以，51×59=300 9。
练习3：
1.（1）72×78 （2）45×45
2.（1）81×89 （2）91×99
3.（1）42×48 （2）61×69
【例题4】简便运算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125
【思路导航】这里可以运 用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），
商不变，因而：（1）130 ÷5可将130和5同时乘2.使除除变为10，然后再用260÷10=26；（2）4200
÷25 可以将4200和25同时乘4，使除数变为100，然后再用16800÷100=168；（3）34000 ÷125可以
将34000和125同时乘8，使除数变为1000，然后再用272000÷1000 =272。
练习4：
1.你能迅速算出结果吗？（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2.计算：（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）5600÷25
3.你有好办法计算下面各题吗？
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
【例题5】计算：31×25
【思路导航】题中31不能被4整 除，但31可拆成4×7＋3.这样就得到（4×7＋3）×25，或者把
25看作100÷4也可求出 得数。
（1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775
（2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775
练习5：
计算：（1）29×25 （2）17×25 （3）221×25
（4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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第16讲 应用题（一）
一、知识要点
应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友 用学到的数学知识来解决生产、
生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量 关系，找到问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题； 也可以从问题出发，
找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这 两种方法。有时，
借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。
二、精讲精练 < br>【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍
少5只，学校有排球、足球共多少只？
【思路导航】根据题意画出线段图
从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比
这样的2倍还少5只，用24×2－5=43（只）可以求出足球的只
数，再用43＋24=6 7只可以求出两种球的总只数。
练习1：1.小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3 倍少16下，小军每分钟比小
红多跳几下？
2.王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、鹅多少只？ 3.少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍多14棵。少先队员种的杨树、柳树
共多少棵？
【例题2】人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有多少盆？
【思路导航】从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数，
郁金香的盆数是这样的3倍少15 盆。如果郁金香再增加15盆，就正
好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）÷3=65（盆） 就可求出月
季花的盆数。
练习2：1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资
的2倍少200元。小明母亲每月工资多少元？
2.饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？
3.水果 店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多27千克，还
剩多少千克水 果？
【例题3】小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑
鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？
【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄 鸡多
12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只，
这相当于黑鸡的2 －1=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为25÷
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1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×2=50只。
练习3： 1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比红围巾多20
条，蓝围巾的 条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？
2.有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙 筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数是
乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果 ？
3.男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；如果少去一名男生，女生人< br>数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人？
【例题4】用一批纸装订同样大小的练习本， 如果每本16页，可装订400本。如果每本20页，
可以少装订多少本？
【思路导航】根据 “如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×400=6400页；
再用总页数6 400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－320=80本则表示少装订的本数。 < br>练习4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装30箱。如果每箱15千克，可少装多少箱？
2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3米长，可做140幅。如果每幅窗 帘做成2米长，
则可多做多少幅？
3.同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可 装订400本。如果每本多装订9页，则
少装订多少本？
【例题5】李师傅原计划6小时加工 零件480个，实际2小时加工192个。照这样的效率，可以
提前几小时完成？
【思路导航 】根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为192÷2=96（个
小时）， 再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，求出实际完成的时间。6－5=1
小时，则表示提前完成的时间。
练习5：1.王奶奶计划10小时做纸盒400个，实际3小时已加工 150个。照这样的效率，可以提
前几小时完成？
2.暑假中，小宁30天共要写大字600 个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，小宁可以
提前几天写完同样多的字？
3. 自行车制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆，五月份改进技术后9天已生产自行车1350
辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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第17讲 应用题（二）.
一、知识要点
一般应用题的条件和问题变 换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，善于思考，善
于抓住关键，不管什么问题都能迎刃 而解。
解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之间的联系，
找出解题方法，灵活解题。
二、精讲精练
【例题1】一列火车早上5时从甲地开往 乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，
但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时 。问火车实际每小时行驶多少千米？
【思路导航】由“这列火车早上5时出发，计划下午3时到达”可 知，这列火车原计划行驶12＋3
－5=10小时，用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小 时，便可得到甲地到乙地的距离为120
×10=1200千米；火车晚点2小时，说明火车实际行驶了 10＋2=12小时，用1200÷12=100千米就可得
到火车实际每小时行的千米数。
练习1：1.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4时到达乙地。
但 实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？
2.一列火车早上6时从甲城开往乙城，计 划每小时行驶100千米，下午6时到达乙城。但实际到达
时间是下午4时，提前2小时。问火车实际每 小时行驶多少千米？
3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计划每小时行驶60千 米，下午2时到达城
西，实际到达时间是下午3时，晚到1小时。问实际每小时比计划少行多少千米？
【例题2】小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。回家后，三
个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？
【思路导航】小宁和小红一 共买了7＋5=12枝铅笔，三个人平均分，每人应得12÷3=4枝，所以小
佳拿出的8角钱就相当于 4枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2角。小佳应给小宁2×（7
－4）=6角钱，应给 小红2×（5－4）=2角钱。
练习2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳 阳没有买。到家后，三个人平
均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？ 2.甲、乙、丙3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有带钱。那么吃
完 后，丙应拿出4元8角钱，他应分别给甲、乙多少钱？
3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴 同样多，张家出了4担柴，李家出了5担柴，王家
因无柴付18元。张、李家各得多少钱？
【 例题3】用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如果倒进去5杯
牛奶， 连瓶共重750克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
【思路导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2） 比较（1）、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－2=3瓶牛奶
重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空瓶重量是450 －100×2=250
克。
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练习3：1.有12筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果装进2筐苹果，连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重520千克。1筐苹果和大箱子各重多少千克？
2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如果倒进7桶水，连缸
共 重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？
3.有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满 3杯水，连瓶重550克；如果注满6杯水，连
瓶共重250克。一杯水多重？
【例题4】一 共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒子里，把黄
色珠子分放在6个盒 子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色
的珠子各多少粒？ < br>【思路导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可以120÷
（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。红色珠子：6×9=5 4
粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5=30粒。
练习4：1.一共有苹果、 梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中，把梨分放到5个盘中，
把橘子分放到6个盘中，那么 每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个？
2.一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔 分放到5个笼中，把灰兔分放到11个笼中，
把黑兔分放到9个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。 三种兔子各多少只？
3.共有科技书、文艺书和故事书共360本，若把科技书分放到2个书架上，把 文艺书分放到3个
书架上，把故事书分放到4个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书各有多少本？
【例题5】在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡
蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？
【思路导航】根据“ 6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐里鸡蛋个数的总和”，说明
6个筐里取出的鸡蛋个数的总 和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和，用取出的50×6=300个鸡蛋除
以4就可求出原来每 个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。
练习5：1.在6个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个 纸箱里拿出50个苹果，则6个箱里剩下
的苹果个数的总和等于原来2个箱子的苹果个数的总和。原来每 个箱里有多少个苹果？
2.某商店有5箱皮球，如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个 数正好等于原来2
箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？
3.有3个水桶，如果从每桶中 倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于原来1桶的重
量。原来每桶装多少千克水？
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第18讲 数字趣谈
一、知识要点
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我们 最常见、最熟悉的数，由这些数字构成
的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到答 案。本周的习题，大都是关于自然数
列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法 ，相信你们能很好地掌握它。
二、精讲精练
【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24
3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39
练习1：
1.在20和50之间有多少个数是6的倍数？
2.在15和70之间有多少个数是8的倍数？
3.两个整数之积为144，差为10，求这两个数。

【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】求10和1000之 间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样
思考：
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
练习2：
1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数？
2.在10到1000之间有多少个数是7的倍数？
3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数？
【例题3】从1——9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？
【思路导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
1.2.3.4，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求， 但用第二小的2和最大的9相加，和为11
符合要求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8 ，11=4＋7，11=5＋6。
共有4种不同的写法。
练习3：
1.从1——9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？

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2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。

3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？

【例 题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人单独去的，
三批人数 的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？
【思路导航】2000年2月有29天 ，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用最小的几个
数试乘（1除外）：2×3×4=24， 24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。所以，这三批学生的人数
是2.3.4人。
练习4：
1.2001年5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人 数的乘积正好等于
这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？

2.学校 进行运动会比赛，三（2）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而且这三项参赛人
数之积在35到 45之间。那么三（2）班最少各有多少人参加这三项比赛？

3.小明家有四种水果，每种 水果的千克数不相等，这四种水果的千克数的乘积在200到250之间，
那么这些水果最少共有多少千 克？

【例题5】一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下， 排这本书的
页码共要用多少个铅字？
【思路导航】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
练习5：
1.一本书共200页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多少个铅字？
2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书时共用多少个数码？
3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页？
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第19讲 重叠问题
一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的 12位同学每人发一份纪念品，
当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对 了，因为有5位同学既参加了
绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这 样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计 数部分有重复包含
时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用 题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，
找出哪些是重复的，重复 了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节， 学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗
是第10面。这行彩旗共多少面 ？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起 是第10
面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10
－1=17面。
练习1：
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？


2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个 。这一行座位有多少
个？


3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？


【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从 右数起是第3个，
从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
【思路导航】根据题意，画出下图：




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由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6 个人；从前数第5
个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10 =60人。
练习2：
1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数 从后数，从左数还是从右数起
都是第4个。跳舞的共有多少人？


2.为 庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4
个；从前数第 3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？


3.三（4）班排成每行人数相同的队 伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是
第5个；从左数、从右数都是第3个。三（ 4）班共有学生多少人？


【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成 了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120
厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘 米？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16
厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长
度是136÷2= 68厘米。
练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长 的纸条长30厘米，中间重叠
部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？

2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木
板各长多少厘米？


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3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部 分长
12厘米。另一根木棍长多少厘米？


【例题4】一次数学测试，全 班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18
人，每人至少做对一道。问两道 聪明题都做对的有几人？
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都 做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的
人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数 36多出了39－36=3人，这多
出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中 算过，即表
示两道题都做对的人数。
练习4：
1.三（1）班有学生55人，每人 至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参
加跳绳的有38人。两项比赛都参加的 有几人？


2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木< br>板，中间重合部分是多少厘米？


3.三（5）班有42名同学，会下象棋 的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10
名。两种棋都会下的有多少名？


【例题5】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份 报纸都订的有10人，
全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？
【思路导航】根据题意，画出下图：


从上图可以看出，中间重叠部分表 示两份报纸都订的10人，这10人既
被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的3 0人内，重复算了一次，所以要算出全
班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。 所以全班人数应是62－10=52人。
练习5：
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1.三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人
至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？


2.两块木板各长9 0厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木
板总长多少厘米？


3.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人， 每人至少带一种。三年
级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
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第20讲 简单枚举.
一、知识要点
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问 题要求，一一列举问题解答。
运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规 律地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏 ；二是枚
举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
二、精讲精练
【例题1 】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，
有几种不同的 走法？
【思
路
了帮
意，
画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：
根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路< br>有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种
不同走法，共有4×3=12种不同走 法。
练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到
丙地有2条铁路直达。从甲地到 丙地有多少种不同走法？
2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种 英语书和一种数学读
物，共有多少种不同买法？
3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？
【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思路导航 】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。
可以看出，红色信号 灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，
绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信 号
灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2
种不同排列方法，即2×3=6 种。
练习2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○
○○
2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？
【例题3】一个长方形的周 长是22米，如果它的长和宽都是整
米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
导航】为
助理解题
我们可以
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【思路导航】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条
件的各种长方形：
练习3：1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么 这个长方形的面积
有多少种可能值？
2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
3.3个自然数的乘积是 18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的
一个，而且数组中数字相 同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。
【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？
【思路导航】 把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样
B小朋友也应打3 次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3×4=12次。但题目要求
两个小朋友之 间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再
打电话给A，照 这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6
次。
练习4：1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？
3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？
【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5
个车 站），那么这样的车票共有多少种？
我们可以利用列举的方法：
如果起点站是1.那么终点 站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或
10；如果起点站是3.那么 终点站只能是9或10；如果起点站是4，终点站只能是10；如果起点站是5、
6时，就找不到与它至 少相隔5站的终点站了；如果起点站是7，终点站只能是1；如果起点站是8，那
么终点站是2或1；如 果起点站是9，那么终点站是3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、
2或1。所以，起 点到终点至少相隔5个车站的车票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。
练习5： 1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同
的机票？ 2.一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），
那 么共有多少种不同的车票？
3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票 （中间至少要相隔2个码头），
那么这样的船票共有多少种？

第21讲 错中求解
专题简析：
在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉 数字。计算时要仔细小心，
不能丝毫马虎，否则就会造成错误。
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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.. . . ..
解答这类题，往往要 采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化
求出加数或被减数、减数，利 用积、商的变化求出因数或被除数、除数。
例题1 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5 错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，
结果计算的和为241。正确的和是多少？
思路 导航：把一个加数十位上的5看成2，少了3个10，这样和就减少了30；把另一个加数个位
上的4看 作1，少了3个1，这样和就少了3。小马虎算出的和比原来的和少了30＋3=33，所以正确的
和是 241＋33=274。
练 习 一
1，小明在做一道加法时，把一个加数个位上的2 看作了4，另一个加数个位上的7看作9，结果
计算的和为215。正确的和为多少？
2，小 马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的3看作了5，十位上的4看作7，得到结果为
376。正确 的和是多少？
3，小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的7看作1，十位上的3看作8，结 果为342。
正确的和是多少？
例题2 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到的差是342，正确的差是多少？
思路 导航：十位上的2表示2个十，十位上的5表示5个十，把十位上的2看作5，就是把20
看作50，减 数从20变为50，增加了30，所得的差减少了30，应在342中增加30，才是正确的差。340
＋30=372
练 习 二
1，小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写成8，结果得到的差是284。正确的差是多少？
2，在减法算式中，错把减数个位上的3写成了5，结果得到的差是254。正确的差是多少？
3，小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的2看作7，减数个位上的5看作8，结果得到的差
是5 92。正确的差是多少？
例题3 小马虎在计算一道题目时，把某数乘3加20，误看成某数除以3 减20，得数是72。某数是多
少？正确的得数是多少？
思路导航：小马虎计算得到72，是 先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把72先加后乘，
求出某数为（72＋20）×3=276 ，然后再按题目要求，按运算顺序求出正确的数276×3＋20=848。
练 习 三
1，小丽在计算一道题时，把某数乘4加20，误看成除以4减20，得数为35。某数是多少？正确
的结果是多少？
2，小粗心在计算时，把一个数除以2减4，误看成乘2加上4，得数是36。正确结果是多少？ 3，小华在计算一道题时，把一个数加上4乘2看作了乘2加上4，得数为40。正确的得数是多
少 ？
例题4 小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550， 实际应
为625。这两个两位数各是多少？
思路导航：我们可以用竖式来帮助分析：
×
5
624
×
2
5
5
0

乘数个位上的5看作2，结果比原来少了5－2=3个被乘数，实际的结果与错误的结果相差625－
550=75；75正好是被乘数的3倍，被乘数是75÷3=25，乘数是625÷25=25。
练 习 四
1，一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成4，乘得的结果是1080，实际 应为1260。
学习参考

三年级数学奥数培训资料
这两个两位数分别为多少？
2，小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成5，乘 得的结果是875，正确的结果是
805。这两个两位数分别是多少？
3，小芳在计算一道题时，把5×（△＋7）错写成5×△＋7，她得到的结果与正确答案相差多少？
例题5 小林在计算有余数除法时，把被除数137当作173，结果商比正确结果大了4，但余数恰 好相
同。正确的除法算式应是什么？
思路导航：把被除数137当作173，被除数就多了1 73－137=36，因此商比正确结果大4，但余数
相同，说明除数的4倍就是36。所以除数为36 ÷4=9，正确的除法算式为137÷9=15……2。
练 习 五
1，小红在计算有 余数除法时，把被除数113错写成131，这样商比原来多2，但余数恰好相同。
正确的除数和余数是 多少？
2，王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少9，但余数恰好 相同。
正确的除法算式是怎样的？
3，小明在计算除法时，把被除数末尾的0漏写而成18， 结果得到的商比正确的商少54。正确的
除法算式是什么？


第22讲 用对应法解
专题简析：
小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定 的数量和所对应的数量关
系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它们之间的 对应
关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。这种解题的思维方法叫对应法。
在用对 应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺
序编号，然后认真观察，比较对 应关系的变化，以便寻找解题的突破口。
例题1 奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝， 需花58元；如果她买
6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？
思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1）
6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2）
比较（1）和（2）式，发现两式中 荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式多了6－
4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1 千克梨的价钱为4÷2=2元，那么1千克
荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。
练 习 一
1，3筐苹果和5筐橘子共重270千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千 克。一筐
苹果和一筐橘子各重多少千克？
2，张老师为图书室买书，如果他买6本童话书和7 本故事书需要144元；如果买
9本童话书和7本故事书，需要174元。现在张老师买7本童话书和6 本故事书，共需
多少元？
3，粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋 大米和3袋面粉
共重340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？
例题2 学校买足球 和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球
和2个排球需要230元。一个足球和 一个排球各多少元？
思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
3个足球＋4个排球=190元 （1）
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.. . . ..
6个足球＋2个排球=230元 （2）
我们把（1）、（2）两式进行比较， 发现两组条件相加还是相减，都不可能求出足
球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。再 观察我们可以发现：如果
把（1）式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380元，然后再与（2 ）式进行
比较，发现足球个数相同，而排球多了6个，也就多了380－230=150元，也就是6个
排球是150元，一个排球为150÷6=25元，那么一个足球是（190－25×4）÷3=30元 。
练 习 二
1，5筐番茄和2筐黄瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黄瓜共重31 0千克。一筐
番茄和一筐黄瓜各重多少千克？
2，4本练习本和5枝圆株笔共14元，2本练 习本和4枝圆珠笔共10元。一本练
习本和一枝圆珠笔各多少元？
3，2件上衣和3条裤子共 480元，4件上衣和2条裤子共640地。一件上衣和一
条裤子各多少元？
例题3 商店 里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只，
黄气球和红气球共29只。红 气球、蓝气球和黄气球各有多少只？
思路导航：根据题意，我们可以列出下列关系式：
红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1）
蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2）
黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3）
我们可将（1）＋（2）＋（3 ），即21＋28＋29=78只，这里包含有2倍红气球的
个数、2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个 数，由此，可得出三种气球的总只数：78÷
2=39只。然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出 黄气球的只数：39－21=18只；
同理可求出红气球的个数是39×28=11只，蓝气球的个数是 39－29=19只。
练 习 三
1，小明和小红共12岁，小红和小丽共17岁，小丽和小明共13岁。三人各多少
岁？ 2，新华书店有批书，故事书和连环画共70本，连环画和科技书共82本，科技书
和故事书共76 本。三种书各多少本？
3，公园开菊花展，白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共128盆， 红菊花
和白菊花共168盆。三种菊花各几盆？
例题4 三年级三个班种了一片小树林，其 中72棵不是一班种的，75棵不是二班种的，
73棵不是三班种的。三个班各种了多少棵？
思路导航：“72棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树72棵；“75棵不是二班
种的”，说明一 班和三班共种75棵，“73棵不是三班种的”，说明一班和二班共种73棵。
这样，我们就可以求出三 个班共种多少棵树：（72＋75＋73）÷2=110棵。用110－72=38
棵就是一班种的棵数 ，110－75=35棵就是二班种的棵数，110－73=37棵就是三班种的
棵数。
练 习 四
1，百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋，54双不是运动鞋，51双不是布
鞋。三种鞋各运来多少双？
2，一个班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、 数学英语
作业其中的一种。有23人没有做完数学作业，有19人没有做完语文作业，有16人没
有做完英语作业。做完三种作业的各多少人？
3，学校买四种颜色的气球，其中有93个不是红气球 ，有95个不是黄气球，有
98个不是蓝气球，紫气球有10个。学校共买了多少个气球？
例题5 已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹
学习参考

三年级数学奥数培训资料
果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？
思路导航：根据题意列出等式：
13李=2苹＋1桃 （1）
4李＋1苹=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：13李=2苹＋4李＋1苹
即9李=3苹，即3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃
即：7李=1桃
练 习 五
1，3个菠萝的重量等于1个梨和1个西 瓜的重量，而1个菠萝和3个梨的重量等
于1个西瓜的重量。问多少个梨的重量等于1个西瓜的重量？
2，2个苹果的重量等于3个橘子和3个荔枝的重量，1个苹果和2个荔枝的重量
等于3个橘子 的重量。问3个橘子的重量等于多少个荔枝的重量？
3，三个好朋友去文具店买东西，一人买了4枝圆 珠笔，一个买了2枝钢笔，还有
一个买了1枝钢笔1枝圆珠笔和4枝铅笔，三个人用掉的钱相等。那么1 枝钢笔的价
钱相当于几枝铅笔的价钱？
第23讲 盈亏问题
专题简析：
把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品
不足（ 亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。
盈亏问题的基本解法是：
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。
解答盈亏 问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，
进而求出物品的数 量。

例题1 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，就多出10个；如果 每人分6个，
就少2个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人分5个，多10个；
第二种分法：每人分6个，少2个。
这说明全家人数为：10＋2=12人，也就是说：
不足的个数＋多余的个数=全家的人数
这篮梨的个数是：5×12＋10=70个；

练 习 一
1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则 多了8粒糖；如果每人分11粒
糖，则少了16粒糖。一共有多少个小朋友？这袋糖有多少粒？
2，有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。树周长是多少米？绳子长多少米？ 3，一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人，则有3个人没
有位 置。一共有多少条船？一共有多少个同学？

例题2 幼儿园买来一些玩具，如果每班分8 个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，
则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少 个？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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第一种分法：每班分8个，多2个；
第二种分法：每班分10个，少12个。
从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分10－8=2个，所以，所需的玩
具 总个数从多2个变成了少12个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能保证每班分10个；第
二 种分法所需的玩具个数比第一种多12＋2=14个，那是因为每班多分了2个。根据这一对应关系，即
可求出班级的个数为：14÷2=7个，玩具的总个数为8×7＋2=58个。

练 习 二
1，小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？
2，一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵；如果 每人栽8棵，则缺4棵。这个小组
有几人？一共有多少棵树苗？
3，一组学生去搬书，如果每 人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本。这组学生
有几人？这批书有几本？

例题3 老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？
思路导航：根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本；
第二种分法：每人7本，多了2本。
从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7－5= 2本，这样就从原来的多14本变为多2本，
两种分配方法的结果相差了14－2=12本，每人多分了 2本，多少人会多分了12本呢？根据这一对应关
系，可求出优秀少先队员的人数为12÷2=6人，练 习本的本数为：5×6＋14=44本。

练 习 三
1，把一袋糖分给小朋 友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒。有
小朋友几人？有多少粒糖？
2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如果每人分7个，则多了6
个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？
3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床 位24张；如果每间宿舍住10人，则空
出床位2张。学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？

例题4 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？
思路导航：根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：
第一种方案：每人搬6棵，差4棵；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵。
比较两 种方案，每人多搬了8－6=2棵树苗，所需的树苗就从差4棵变为差18棵，结果相差了18
－4=1 4棵，每人多搬了2棵，多少人会多搬了14棵呢？根据这一对应关系，可以求出学生人数为：14
÷2 =7人，树苗的棵数为：6×7－4=38棵。

练 习 四
1，自然课上， 老师发给学生一些树叶。如果每人分5片叶子，则差3片叶子；如果每人分7片
叶子，则差25片树叶。 学生有几人？一共有树叶多少片？
2，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如 果每人做8道，则少16道。
有几个学生？多少道数学题？
学习参考

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3，学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7人。一
共要排几行？一共有多少人？

例题5 三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人， 则少一条船；如果每条船坐6人，则多
出4条船。公园里有多少条船？三（1）班有多少学生？
为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。
将条件“如果每条船坐4人，则少一条船 ”转化为：“如果每条船坐4人，则多出4人”；再将条
件“如果每条船坐6人，则多出4条船”转化为 ：“如果每条船坐6人，则差6×4=24人”。
这样两种分配方法就相差了24＋4=28人，这是 因为每条船多坐了6－4=2人。根据这一关系，可
求出船的条数：28÷2=14条，学生人数：4× （14＋1）=60人。

练 习 五
1，学校给新生分配宿舍，如果每间住 8人，则少2间房；如果每间住10人，则多出2间房。共
有几间房？新生有多少人？
2，同 学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，则多出2条船。共有几
条船？有多少个 同学？
3，小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则早到4 分
钟。小明家到学校有多远？


第24讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你 变得更聪明，头脑更灵活。数学上
有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这 类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破
口，然后再利 用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得 到28=△＋△＋△＋
△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7 ＋7＋7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
多动脑多动手,是开启数学大门的钥匙!
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