赵丽颖个人资料-感动中国10大人物

湖南和君教育发展有限公司株洲萌乐园 六年级奥数复习资料 -1-
小学奥数平面几何五大定律
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
S
1
:S
2
a:b

③夹在一组 平行线之间的等积变形，如右图
S
△ACD
S
1
a
S
2
b
AB
S
△BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD．
CD
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比 等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在
△A BC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或
D< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上)，
则< br>S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)

D
A
A
D
E
E
B

图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①
S< br>1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S1
S
3
S
2
S
4
②
AO:OC 

S
1
S
2

:

S
4
S
3


C
B
C
D
AS
2
S
1
O
S
3
C
蝴蝶定理为我们提 供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与 四边形内的三角形相联系；
另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
B
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
a
AD
22
①
S
1
:S
3
a:b

S
1
S< br>2
S
4
②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
O
2
③
S
的对应份数为

ab

．
S
3

C
B

b





四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
S
4
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A
E
A
F
D
D
B
①
F< br>G
E
C

BG
C

ADAEDEAF
；

ABACB CAG
22
②
S
△ADE
：S
△ABC
AF:A G
．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎 样改变它们都相似)，与
相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、燕尾定理 在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
S
ABO
:S
ACO
BD:DC
．
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状
很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理 ．该定理在许多几何题目中都有着
E
广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角 形之中，为三角形中的
F
三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
O
典型例题
C
D
【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，
AE
1.5，
CF
2．长方形EFGH的
B
面积为 ．
_H

_D
_H

_D
_A
_E



_G
_A


_E



_G


_B

_F

_C
_B

_F

_C
【解析】 连接DE
，
DF
，
则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△DEF
661.5622624.54216.5
,所以长方形EFGH面积为33 ．
【巩固】如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形< br>EBGF
的长
BG
为
10
厘米，那么长方形的宽为几厘米？
_

E
_

A
_

F
_

D
_

G
_

C

_

B
_

F
_

A
_

E
_

B
_

G
D
_

C

_


【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊 的平行四
边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接
AG
．(我们通过
△ABG
把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在 正方形
ABCD
中，
S
△ABG

1
ABAB
边上的高，
2
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1
SS
∴
△ABG
2
同理，
S
△ABG

ABCD
(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
1
S
EFGB
．
2
∴正方形
ABCD
与长方形
EFGB
面积相等． 长方形的宽
88106.4
(厘米)．

【例 2】 长方形ABCD
的面积为36
cm
2
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面 积
是多少？
A
HD
E
G
B
F
C
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
HD
A

E
G
B
1
1
1
SS
SS
DHC
，而
S
ABCD
S
AH B
S
CHB
S
CHD
36

SS
可得：
EHB
CHB
、
DH G
AHB
、
FHB
2
2
2
11
SS S(SSS)3618
； 即
EHBBHFDHGA HBCHBCHD
22
11111
BEBF(AB)(BC) 364.5
．
22228
所以阴影部分的面积是：
S< br>阴影
18S
EBF
184.513.5

解法二：特殊点法．找
H
的特殊点，把
H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
而
S
EHB
SBHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
，
S
EBF

A
D
(H)
F
C

E
G

这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
B
FC
1111111
SSSSS3636363613. 5
．
阴影
ABCDAEDBEFCFD
2222222

【巩固】 在边长为6厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，将正方形的一组对边二等分 ，另一组对边三等分，分
别与
P
点连接,求阴影部分面积．
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A
D
A
(P)D
A
D
PP
CC< br>BB

【解析】 （法1）特殊点法．由于
P
是正方 形内部任意一点，可采用特殊点法，假设
P
点与
A
点重合，则阴影部
11
分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面46
11
积为
6
2
()15
平方厘米．
46
（法2）连接
PA
、
PC
．
由于
 PAD
与
PBC
的面积之和等于正方形
ABCD
面积的一半，所以 上、下两个阴影三角形的面积之和
11
等于正方形
ABCD
面积的，同理可知 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面积的，
46
11所以阴影部分的面积为
6
2
()15
平方厘米．
46

【例 3】 如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积 之和为70，
AB8
，
AD15
，四边形
EFGO
的面 积
为 ．
B
A
D
C
O
E
B
F
G
C

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和，以及三角形AOE
和
DOG
的面积之和，进而求出四边形
EFGO
的面积．
1
由于长方形
ABCD
的面积为
158120
，所以三 角形
BOC
的面积为
12030
，所以三角形
AOE
和
4
3
DOG
的面积之和为
1207020
；
4

11

又三角形
AOE
、
DOG
和 四边形
EFGO
的面积之和为
120



3 0
，所以四边形
EFGO
的面积为

24

30 2010
．
另解：从整体上来看，四边形
EFGO
的面积
三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积
白色部分的面积，
而三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减
去阴影部分的面积，即< br>1207050
，所以四边形的面积为
605010
．
< br>【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是36，
E
是
AD的三等分点，
AE2ED
，则阴影部分的面积为 ．
A
O
B
【解析】 如图，连接
OE
．
E
D
A
M
O
B
E
N
D
C

C

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1
1
SS
OED
；
ON:NDS:SS :S1:1
根据蝴蝶定理，，所以
OEN
COECDECAECDE2
2
1
1
SS
OEA
．
OM:MAS
BOE
:S
BAE
S
BDE
:S
BAE
1:4
，所以
OEM
5
2
11
SS
矩形ABCD
3
，
S
OEA
2S
OED
6
，所以阴影部分面积为：
3
1
6
1
2.7． 又
OED
34
25

【例 4】 已知
ABC< br>为等边三角形，面积为400，
D
、
E
、
F
分别为三 边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，
求阴影五边形的面积．(丙是三角形
HBC
)
A
甲
乙
I
J
M
B
N
H丙
E
D
F

【解析】 因为
D
、
E< br>、
F
分别为三边的中点，所以
DE
、
DF
、
EF
是三角形
ABC
的中位线，也就与对应的边
平行，根据面积比例模型，三 角形
ABN
和三角形
AMC
的面积都等于三角形
ABC
的一 半，即为200．
根据图形的容斥关系，有
S
ABC
C
S丙
S
ABN
S
AMC
S
AMHN
，
S
AMHN
．
1
40043
．
4
即
400S
丙
 200200S
AMHN
，所以
S
丙
又
S
阴影
S
ADF
S
甲
S
乙
S
AMHN
，所以
S
阴影S
甲
S
乙
S
丙
S
ADF
 143

【例 5】 如图，已知
CD5
，
DE7
，
EF15
，
FG6
，线段
AB
将图形分成两部分，左边 部分面积是38，
右边部分面积是65，那么三角形
ADG
的面积是 ．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
B
EF
G
【解析】 连接
AF
，
BD
．
根据题意可知，
CF5715 27
；
DG715628
；
所以，
S
BEF

15
S
CB F
，
S
BEC

12
S
CBF
，S
AEG

21
S
ADG
，
S
 AED

7
S
ADG
，
27
28
27
28
712
2115
SS
CBF
38
； < br>SS65
于是：；
ADG
ADGCBF
2827
2 827
可得
S
ADG
40
．故三角形
ADG
的 面积是40．


【例 6】 如图在
△ABC
中，
D, E
分别是
AB,AC
上的点，且
AD:AB2:5
，
AE :AC4:7
，
S
△ADE
16
平方
厘米，求
△ABC
的面积．
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A
A
D
E
D
E
BC
B
【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE

AD:AB2:5(24):(54)
，
C

，设S
△ADE
8
份，则
S
△ABE
:S
△AB C
AE:AC4:7(45):(75)
，所以
S
△ADE
:S
△ABC
(24):(75)
S
△ABC
35
份，
S
△ADE
16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△ABC
的 面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应 角(相等角或互
补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形
AB C
中，
AB
是
AD
的5倍，
AC
是
AE< br>的3倍，如果三角形
ADE
的面积等于1，那么三
角形
ABC
的面积是多少？
A
A
D
E
C
D
E
CB
【解析】 连接
BE
．
∵
EC3AE

∴
S
ABC
3S
ABE

又∵
AB5AD

∴
S
ADE
S
AB E
5S
ABC
15
，∴
S
ABC
15S< br>ADE
15
．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部 分)、乙两部分，
BDDC4
，
BE3
，
AE6
， 乙部分面积
是甲部分面积的几倍？
A
A
E
B
甲
D
E

B

乙
C
【解析】 连接
AD
．
∵
BE3
，
AE6

∴
AB3BE
，
S
ABD
3S
BDE

又∵
BDDC4
，
∴
S
ABC
2S
ABD
，∴
S
ABC
6S
BDE
，
S
乙
5S
甲
．

【例 7】 如图在
△ABC
中 ，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
AE:EC3:2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△ABC
的面积．
D
D

B
甲
D
乙
C

A
A
E
B
C
E

B
C

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【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ ABE
AD:AB2:5(23):(53)

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3:(32)(35 ):

(32)5

，
所以
S
△ADE:S
△ABC
(32):

5(32)

6 :25
，设
S
△ADE
6
份，则
S
△ABC25
份，
S
△ADE
12
平方厘米，
所以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是
50
平方厘米，< br>△ABC
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角 定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】 如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC
，
HA4AD
，平行四边形
ABCD
的面积是
2
， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H
H
A
G
D
F
B
C
E
A
G
D
F
B
C
E
【解析】 连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△ ABC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
S
ABBC111
∴
△ABC

．
S< br>△FBE
BEBF133
又
S
△ABC
1
，所 以
S
△FBE
3
．
同理可得
S
△GCF
8
，
S
△DHG
15
，
S
△AEH
8
．

所以
S
EFGH
 S
△AEH
S
△CFG
S
△DHG
S
△BE F
S
ABCD
8815+3+236
．
S
21
所以
ABCD

．
S
EFGH
3618

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
1 2
13
D
13
12
12
A
B
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形
OAB
绕顶点
O
逆时针旋转，使长为
13
的两条边重合，此时三角形
OAB
将旋转 到三角形
OCD

的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为
1 2
的正方形，且这个正方形的面积就是原来四
边形的面积.
因此，原来四边形的面积为
1212144
.(也可以用勾股定理)

【例 10】 如图所示，
ABC
中，
ABC90
，
AB3
，
BC5
，以
AC
为一边向
ABC
外作正方形
ACDE
，
中心为
O
，求
OBC
的面 积．

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E
E
O
A
3
B
5
C
D< br>O
A
3
B
5
C
D

【解析】 如图，将
OAB
沿着
O
点顺时针旋转
90< br>，到达
OCF
的位置．
由于
ABC90
，
AOC90
，所以
OABOCB180
．而
OCFO AB
，
所以
OCFOCB180
，那么
B
、< br>C
、
F
三点在一条直线上．
由于
OBOF
，BOFAOC90
，所以
BOF
是等腰直角三角形，且斜边
BF
为
538
，所以它
1
的面积为
8
2
16
．
4
5
根据面积比例模型，
OBC
的面积为
1610
．
8

【例 11】 如图，以正方形的边
AB
为斜边在正方形内作直角三角形
ABE
，
AEB90
，< br>AC
、
BD
交于
O
．已
知
AE
、< br>BE
的长分别为
3cm
、
5cm
，求三角形
OBE< br>的面积．
CB
CB
F
O
E
DA
D
O
E
A
F

【解析】 如图，连接
DE
，以
A
点为中心，将
ADE
顺时针旋转
90
到
ABF
的位置．
那么
EAFEABBAFEABDA E90
，而
AEB
也是
90
，所以四边形
AFBE
是直角梯形，
且
AFAE3
，
所以梯形
AFBE
的面积为：
1

35
312
(
cm
2
)．
2
又因为
AB E
是直角三角形，根据勾股定理，
AB
2
AE
2
BE< br>2
3
2
5
2
34
，所以
S
 ABD

1
AB
2
17
(
cm
2
)．
2
那么
S
BDE
S
ABD


S
ABE
S
ADE

S
ABDS
AFBE
17125
(
cm
2
)，
1
SS
BDE
2.5
(
cm
2
)． 所以
OBE
2

【例 12】 如下图，六边形
ABCDEF中，
ABED
，
AFCD
，
BCEF
，且有AB
平行于
ED
，
AF
平行于
CD
，
BC
平行于
EF
，对角线
FD
垂直于
BD
，已知< br>FD24
厘米，
BD18
厘米，请问六边形
ABCDEF
的
面积是多少平方厘米？
第 8 页 共

25 页

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B
A
C
G
A
B
C
F
E< br>D
F
E
D

【解析】 如图，我们将
BC D
平移使得
CD
与
AF
重合，将
DEF
平移使得
ED
与
AB
重合，这样
EF
、
BC
都重< br>合到图中的
AG
了．这样就组成了一个长方形
BGFD
，它的面积与原 六边形的面积相等，显然长方形
BGFD
的面积为
2418432
平方厘 米，所以六边形
ABCDEF
的面积为
432
平方厘米．

【例 13】 如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC 1:2
，
AD
与
BE
交于
点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
A
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
12
C
D

E
F
B
D
C
< br>S
△ABF
BD1
S
△ABF
AE
1
,


，【解析】 方法一：连接
CF
，根据燕尾定理，
S
△ACF
DC2
S
△CBF
EC
设
S
△B DF
1
份，则
S
△DCF
2
份，
S
△ ABF
3
份，
S
△AEF
S
△EFC
3份，如图所标
55
S
△ABC


1212
所以
S
DCEF

方法二：连接
DE
，由题目条件可得到< br>S
△ABD

11
S
△ABC

，
33
1121
BF
S
△ABD
1

，
S
△ADE
S
△ADC
S
△ABC

，所以
FES
△ADE
1
2233
1111111
S△DEF
S
△DEB
S
△BEC
S
△ABC

，
22323212
211
5
SS< br>而
△CDE
．所以则四边形
DFEC
的面积等于．
△ABC
323
12
【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
2平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分 的面积是多少平方
厘米?
A
F
B
G
D
E
C
B
B
A
A
3
F
3
G
1
D
D
EF
x
2
y
3
x
y
C
E
G

C
【解析】 设
S
△DEF
1
份，则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影

55
S
△B CD

平方厘米.
1212

【例 14】 四边形
AB CD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(如图所示)． 如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的面
1
积的，且
AO2
，
DO3
，那么
CO
的长度是
DO的长度的_________倍．
3
第 9 页 共

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A
O
B
D
A
H
O
C
B< br>D
G

【解析】 在本题中，四边形
ABC D
为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知
条件，向已有模 型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件
S
ABD:S
BCD
1:3
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察 题目中给出的已知条
件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个 中介来改造这个”
不良四边形”，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比． 再应用结论：
三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体 会到蝴蝶定
理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵
A O:OCS
ABD
:S
BDC
1:3
，∴
OC2 36
，∴
OC:OD6:32:1
．
解法二：作
AHB D
于
H
，
CGBD
于
G
．
C
1
1
1
SS
DOC
，
SS∵
ABDBCD
，∴
AHCG
，∴
AOD
3< br>3
3
1
∴
AOCO
，∴
OC236
，∴
OC:OD6:32:1
．
3
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG:GC
？
A
2
B
1
G
3
D
C
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，
S
BGC

123
，那么
S
BGC
6
；
⑵根据蝴蝶 定理，
AG:GC

12

:

36

1:3
．

【例 15】 如图，平行四边形
ABCD的对角线交于
O
点，
△CEF
、
△OEF
、
△ ODF
、
△BOE
的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求
△OCF
的面积；⑵求
△GCE
的面积．
A
O
G
D
F
C

【解析】 ⑴根据题意可 知，
△BCD
的面积为
244616
，那么
△BCO
和
CDO
的面积都是
1628
，所
以
△OCF的面积为
844
；
⑵由于
△BCO
的面积为8，
△BOE
的面积为6，所以
△OCE
的面积为
862
，
根据蝴蝶定理，
EG:FGS
COE
:S
COF
2:4 1:2
，所以
S
GCE
:S
GCF
EG:FG1: 2
，
那么
S
GCE



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B
E

112
S
CEF
2
．
1233

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【例 16】 如图，长方形
ABCD
中，
BE:EC2:3，
DF:FC1:2
，三角形
DFG
的面积为
2
平方 厘米，求长方
形
ABCD
的面积．
A
G
D
F
C

A
G
D
F
C

B
【解析】 连接
AE
，
FE
．
E
B
E
因为
BE:EC2:3
，
DF:FC1:2
，所以
S
因为
S
DEF
3111
()S
长方形ABCD
S
长方形A BCD
．
53210
S
AFD
1
11
S
，
AG:GF:5:1
，所以
S
AGD
5S
GD< br>
AED
F
10
平方厘米，所以
长方形ABCD
2< br>210
12
平方厘米．因为
S
AFD

1
S
长方形ABCD
，所以长方形
ABCD
的面积是
72
平方 厘米．
6

【例 17】 如图，正方形
ABCD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
C
G
A
D

【解析】 因为
M
是
AD
边上的中点，所以
AM:BC1:2
，根据梯形蝴蝶定理可以知道
M
S
△AMG
:S
△ABG
:S
△MCG
:S
△BCG
1
2
（:12）（:12）:2
2
1 :2:2:4
，设
S
△AGM
1
份，则
S
△MC D
123

份，所以正方形的面积为
1224312
份，
S
阴影
224
份，所以
S
阴影
:S< br>正方形
1:3
，所以
S
阴影
1
平方厘米．

【巩固】在下图的正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边的中点，
AE
与
BD
相交于
F
点，三角形
BEF
的面积为1平方厘
米，那么正方形
ABCD
面积是 平方厘米．
A
D
F
B
E
C

2
S
梯形
（12）9
(平方厘米)，【解析】 连接
DE
，根据题意可知
BE:AD1:2
，根据蝴蝶定理得
S
△EC D
3
(平方厘米)，那么
S





ABCD
12
(平方厘米)．
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【例 18】 已知
ABCD
是平行四边形，
BC:CE3:2< br>，三角形
ODE
的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是
平方厘米．
A
O
D
A
O
D
B
C
E
B
C
E

【解析】 连接
AC
． 由于
ABCD
是平行四边形，
BC:CE3:2
，所以
CE: AD2:3
，
根据梯形蝴蝶定理，
S
COE
:S
AOC
:S
DOE
:S
AOD
2
2
:23:23: 3
2
4:6:6:9
，所以
S
AOC
6
(平< br>方厘米)，
S
AOD
9
(平方厘米)，又
S
(平方 厘米)．
61521
ABC
S
ACD
6915
(平方厘米)，阴影部分面积为

【巩固】右图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是 平方厘米．
A
9
21
4
B
E
D
A
9
21
C
B
O
4

D
E
C

2
【分析】 连接
AE
．由于< br>AD
与
BC
是平行的，所以
AECD
也是梯形，那么
S
OCD
S
OAE
．
根据蝴蝶定理，
S
 OCD
S
OAE
S
OCE
S
OAD
 4936
，故
S
OCD
36
，
所以
S
OCD
6
(平方厘米)．

【巩固】 右图中
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是 平方厘米．
A
8
1 6
2
B
E
D
A
8
16
C
B
O
2
E
D
C

【解析】 连接
AE
．由 于
AD
与
BC
是平行的，所以
AECD
也是梯形，那么S
OCD
S
OAE
．
根据蝴蝶定理，
S
OCD
S
OAE
S
OCE
S
OAD
2816
1
S
2
，故
S
OCD
2
16
，所以
S
OCD
4
(平方厘米)．
另解：在 平行四边形
ABED
中，
S
ADE

ABED
1


168

12
(平方厘米)，
2所以
S
AOE
S
ADE
S
AOD
 1284
(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为
8244
(平方厘米)．


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湖南和君教育发展有限公司株洲萌乐园 六年级奥数复习资料 -1-
【例 19】 如图，长方形
ABCD
被
CE
、
D F
分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余
下的四边形
OF BC
的面积为___________平方厘米．
AE
2
5
O8
F
?
BAE
2
5
O
8
F
?
B
D

【解析】 连接
DE
、
CF
．四边形
EDCF
为梯形，所以
S
EOD
S
D
CC
FOC
，又根据蝴蝶定理，
S
EOD
S
FOC< br>S
EOF
S
COD
，

所以
SEOD
S
FOC
S
EOF
S
COD2816
，所以
S
EOD
4
(平方厘米)，
S
ECD
4812
(平方厘米)．那
么长方形
ABCD的面积为
12224
平方厘米，四边形
OFBC
的面积为
2 45289
(平方厘米)．
【例 20】 如图，
ABC
是等腰直 角三角形，
DEFG
是正方形，线段
AB
与
CD
相交于K
点．已知正方形
DEFG
的
面积48，
AK:KB1:3< br>，则
BKD
的面积是多少？

D
K
B
E
A
G
D
K
A
G

【解析】 由于
DEFG
是正方形，所以
DA
与
BC
平行，那么四边形
AD BC
是梯形．在梯形
ADBC
中，
BDK
和
11
ACK
的面积是相等的．而
AK:KB1:3
，所以
ACK
的 面积是
ABC
面积的

，那么
BDK
的
13 4
1
面积也是
ABC
面积的．
4
由于
ABC
是等腰直角三角形，如果过
A
作
BC
的垂线，
M
为 垂足，那么
M
是
BC
的中点，而且
AMDE
，可见
ABM
和
ACM
的面积都等于正方形
DEFG
面积的一半，所 以
ABC
的面积与正方形
DEFG
的面积相等，为48．
1
那么
BDK
的面积为
4812
．
4
【例 21】 下图中，四边形
ABCD
都是边长为1的正方形，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
，< br>BC
，
CD
，
DA
的中
m
点，如果左图中阴 影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，
(mn)
的值等
n
于 ．
A
H
D
A
H
D
F
C
B
E
M
F
C
E
G
E
G

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部 分面积都
比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在 左图中连接
EG
．设
AG
与
DE
的交点为
M
．
1
左图中
AEGD
为长方形，可知
AMD
的面积为 长方形
AEGD
面积的，所以三角形
AMD
的面积为
4
11 111

1
2

．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所 以左图中阴影部分的面积为
14
．
24882
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B
F
C
B
F
C

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A
H
D
A
H
D
M
E
G< br>E
N
G
B
F
C
B
F
C
如上 图所示，在右图中连接
AC
、
EF
．设
AF
、
EC
的交点为
N
．
可知
EF
∥
AC
且
AC2EF
．那么三角形
BEF
的面积为三角形
ABC
面积的< br>
1
，所以三角形
BEF
的面
4
111113积为
1
2

，梯形
AEFC
的面积为

．
248288
在梯形
AEFC
中，由于
EF:AC1 :2
，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
311
1
2
:1 2:12:2
2
1:2:2:4
，所以三角形
EFN
的面积为< br>
，那么四边形
BENF
的面积
8122424
11 111
为



．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右 图中阴影部分的面积为
14
．
824663
11m3
那么左图 中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为
:3:2
，即

，
23n2
那么
mn325
．

【例
22
】 如图，
△ABC
中，
DE
，
FG
，BC
互相平行，
ADDFFB
，
则
S
△ADE< br>:S
四边形DEGF
:S
四边形FGCB

．
A
D
F
B
E
G
C
【解析】 设
S
△ADE
1
份，根据面积比等于相似比的平方，
因此
S
△AFG
4
份，
S
△ABC
9
份，

所以
S
△ADE
:S
△AFG
AD
2
:AF
2
1:4
，
S
△ADE
:S
△A BC
AD
2
:AB
2
1:9
，
进而有
S
四边形DEGF
3
份，
S
四边形FGCB
5
份，所以
S
△ADE
:S
四边形DEGF
:S
四边形FG CB
1:3:5


【巩固】如图，
DE
平行
B C
，且
AD2
，
AB5
，
AE4
，求
AC
的长．
A
D
B
E

【解析】 由金字塔模 型得
AD:ABAE:ACDE:BC2:5
，所以
AC42510< br>

【巩固】如图，
△ABC
中，
DE
，
FG
，
MN
，
PQ
，
BC
互相平行，
M
C
A
D
F
E
G
N
Q
C
第 14 页 共 25 页

P
B

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ADDFFMMPPB
，则
S
△ADE
:S四边形DEGF
:S
四边形FGNM
:S
四边形MNQP
:S< br>四边形PQCB

．
【解析】 设
S
△AD E
1
份，
S
△ADE
:S
△AFG
AD
2
:AF
2
1:4
，因此
S
△AFG
4份，进而有
S
四边形DEGF
3
份，
同理有
S
四边形FGNM
5
份，
S
四边形MNQP
7
份，S
四边形PQCB
9
份．
所以有
S
△ADE:S
四边形DEGF
:S
四边形FGNM
:S
四边形MNQP< br>:S
四边形PQCB
1:3:5:7:9

【例 23】 如图，已 知正方形
ABCD
的边长为
4
，
F
是
BC
边的中点，
E
是
DC
边上的点，且
DE:EC1:3
，< br>AF
与
BE
相交于点
G
，求
S
△ABG
A
B
A
B
A
B
G
F
GF
G
F
D

【解析】 方法一：连接
AE
，延 长
AF
，
DC
两条线交于点
M
，构造出两个沙漏，所以有< br>AB:CMBF:FC1:1
，
因此
CM4
，根据题意有
CE3
，再根据另一个沙漏有
GB:GEAB:EM4:7
，所以
E
C
D
E
C
M
D
E
C
4432S
△ABE
(442)
．
471111
方法二： 连接
AE,EF
，分别求
S
△ABF
4224
，< br>S
△AEF
4441232247
，根
S
△ABG

据蝴蝶定理
S
△ABF
:S
△AEF
BG:GE4:7
，所以
S
△ABG

4432
S△ABE
(442)
．
471111

【例 24】 如图所示，已知平行四边形
ABCD
的面积是1，
E
、
F< br>是
AB
、
AD
的中点，
BF
交
EC
于
M
，求
BMG
的面积．
A
F
F
D
I
A
D
E
B
H
M
G
C

E
M
H
G

B
C
【解析】 解法一：由题意可得，
E
、
F
是< br>AB
、
AD
的中点，得
EFBD
，而
FD:BCF H:HC1:2
，
EB:CDBG:GD1:2
所以
CH:CFGH:EF2:3
，
并得
G
、
H
是
BD
的三等分点，所以
BG GH
，所以
2
BG:EFBM:MF2:3
，所以
BMB F
，
S
BFD
5
111
S
ABD
 S
222
ABCD

1
；
4
1212111
SS
又因为
BGBD
，所以
BMG
．
BFD
3535430
3
解法二：延长
CE
交
DA
于
I
，如右图，
可得，
AI:BCAE:EB1:1
，从而可以确定
M
的点的位置，
21

BM:MFBC:IF2:3
，
BMBF< br>，
BGBD
(鸟头定理)，
53
可得
S
BMG




第 15 页 共 25 页

21211
S
BDF
S
53534
ABCD

1

30

湖南和君教育发展有限公司株洲萌乐园 六年级奥数复习资料 -1-
【例 25】 如图，
ABCD
为正方形，
AMNBDEFC 1cm
且
MN2cm
，请问四边形
PQRS
的面积为多少？ < br>D
E
R
S
P
A
MN
B
Q
F
C
D
E
R
S
P
F
C
Q
【 解析】 (法
1
)由
ABCD
，有
MQMB
MPPC
，所以
PC2PM
，又，所以


QCEC
MNDC
11111
MQQCMC
，所以
PQMCMCMC
，所以
S
SPQR
占
S
AMCF
的，
22366
12
所以
S
SPQR
1(112)
(cm
2
)
．
63
1
(法
2
)如图，连结
AE< br>，则
S
ABE
448
(
cm
2
)
，
2
RBERRBAB2216
而，所以
2
，S
ABR
S
ABE
8
(
cm
2< br>)．
ABEFEFEF333
11MNMP
而
S
MBQ< br>S
ANS
343
(
cm
2
)，因为，

22DCPC
1114
所以
MPMC
，则
S< br>MNP
24
(
cm
2
)，阴影部分面积等于 < br>3233
1642
S
ABR
S
ANS
SMBQ
S
MNP
33
(
cm
2
)．
333

A
MN
B


【例 26】 如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC4:9
，< br>CE:EA4:3
，求
AF:FB
．
A
F
B
O
D
E
C

【解析】 根 据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD4:912 :27


S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE3:412:16

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
27:16AF:FB

【点评】本题 关键是把
△AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果 能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如 右图，三角形
ABC
中，
BD:DC3:4
，
AE:CE5:6
，求
AF:FB
.
A
F
B
O
D
E
C

【解析】 根 据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD3:415 :20


S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE5:615:18

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
第 16 页 共 25 页

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所以
S
△AOC
:S
△BOC
20:1810 :9AF:FB


【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC2:3
，
EA:CE5:4
，求
AF:FB
.
A
F
B
O
D
E
C

【解析】 根 据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD2:310 :15


S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE5:410:8

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
15:8AF:FB

【点评】本题关 键是把
△AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 27】 如右图，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
， 且三角形
ABC
的面积是
1
，则三角形
ABE
的面积为__ ____，三角形
AGE
的面积为________，三角形
GHI
的面积为 ______．
A
E
F
H
B
【分析】 连接
AH
、
BI
、
CG
．
由于
CE:A E3:2
，所以
AE
A
E
F
I
D
C< br>
G
G
H
I
D
C

B< br>222
AC
，故
S
ABE
S
ABC

；
555
根据燕尾定理，
S
ACG
:S
AB G
CD:BD2:3
，
S
BCG
:S
ABG
CE:EA3:2
，所以
49
S
ACG
:S
A BG
:S
BCG
4:6:9
，则
S
ACG

，
S
BCG

；
1919
2248
那 么
S
AGE
S
AGC

；
55199 5
9
同样分析可得
S
ACH

，则
EG:EH< br>，
EG:EBS
ACG
:S
ACB
4:19
，所以


S
ACG
:

S
AC

H
4:9
19
EG:GH:HB4:5:
，同样分析可得
10AG:GI:ID10:5:4
，
55215511
所以
S
BIE
S
BAE

，
S
GHI
S
BIE

．
1
【巩固】 如右图，三角形
ABC< br>中，
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
，且三角形
GHI
的面积是
1
，求三角形
ABC
的面积．
AA
F
I
B
H
G
D
E
F
I
C
B
H
G
D
E
C

【解析】 连接BG，
S
△AGC

6
份
第 17 页 共 25 页

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根据燕尾定理，
S
△AGC
:S
△BGC
AF: FB3:26:4
，
S
△ABG
:S
△AGC
BD: DC3:29:6

S
6
得
S
△BGC
4< br>(份)，
S
△ABG
9
(份)，则
S
△ABC19
(份)，因此
△AGC

,
S
△ABC
19
SS
6
S
6196661
同理连接AI、CH得
△ABH

,
△BIC

,所以
△GHI


S
△ABC
19S
△ABC
19S
△AB C
1919
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【 巩固】如图，
ABC
中
BD2DA
，
CE2EB
，< br>AF2FC
，那么
ABC
的面积是阴影三角形面积的 倍．
A
D
G
F
H
B
E
I
C

A
D
G
F
H
B
E
I
C

【分析】 如图，连接
AI
．
根据燕尾定理，
S
BCI
:S
ACI
BD:AD2:1
，
S
BCI
:S
ABI
CF:AF1:2
，
22
所以，
SACI
:S
BCI
:S
ABI
1:2:4
，那 么，
S
BCI
S
ABC
S
ABC
． < br>1247
2
同理可知
ACG
和
ABH
的面积 也都等于
ABC
面积的，所以阴影三角形的面积等于
ABC
面积的
7
21
13
，所以
ABC
的面积是阴影三角形面积的7倍 ．
77

△GHI的面积
DCEAFB1
【巩固】如图在
△ABC
中，的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA2
A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
A
E
【解析】 连接BG,设
S
△ BGC

1份，根据燕尾定理
S
△AGC
:S
△BGCAF:FB2:1
,
S
△ABG
:S
△AGC
B D:DC2:1
,得
S
2
S
△AGC
2
(份) ，
S
△ABG
4
(份),则
S
△ABC
7(份)，因此
△AGC

,同理连接AI、CH得
S
△ABC< br>7
S
△ABH
2
S
△BIC
2
S
7 2221

,

,所以
△GHI

S
△ABC
7S
△ABC
7S
△ABC
77

【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化 ，但面
积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有 对称
法作辅助线.

【例 28】 如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BDDEEC
，
CFFGGA
，三角形
ABC
被分成
9
部分，请写出
这
9
部分的面积各是多少?
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A
A
G
G
P
Q
F
B
B< br>F
N
D
EC
M

【解析】 设BG与AD交于点 P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，
CM，CN．
根据燕尾定理，
S
△ABP
:S
△CBP
AG:GC1 :2
，
S
△ABP
:S
△ACP
BD:CD1:2，设
S
△ABP
1
(份)，则
1
S
△ABC
1225
(份)，所以
S
△ABP


5
211213121
同理可得，
S
△ABQ

,
S
△ABN

,而
S
△ABG

，所以
S< br>△APQ

，
S
△AQG

．
7 2375353721
311239
同理，
S
△BPM

，
S
△BDM

,所以
S
四边形
PQMN
 
3521273570
5
,
S
四边形NFCE
 S
四边形MNED

,
S
四边形GFNQ


3357642

【巩固】如图，
ABC
的面积为1， 点
D
、
E
是
BC
边的三等分点，点
F
、< br>G
是
AC
边的三等分点，那么四边形
JKIH
的面积是多少？
DEC
C
F
G
K
A
I
H
B

C
D
E
A
G
K
I
H
B

J
F
J
D
E
【解析】 连接
CK
、
CI
、
CJ
．
根据燕尾定理，
S
ACK
:S
ABK
CD:BD1:2
，
SABK
:S
CBK
AG:CG1:2
，
1111所以
S
ACK
:S
ABK
:S
CBK
 1:2:4
，那么
S
ACK

，
S
AGK< br>S
ACK

．
1247321
2
类似分析 可得
S
AGI

．
15
1
又
S
ABJ
:S
CBJ
AF:CF2:1
，
S
AB J
:S
ACJ
BD:CD2:1
，可得
S
ACJ< br>
．
4
1117
那么，
S
CGKJ

．
42184
17
根据对称性，可知四边形
CEHJ
的面积也为，那么四边形< br>JKIH
周围的图形的面积之和为
84
172161619
S
CGKJ
2S
AGI
S
ABE
2
，所 以四边形
JKIH
的面积为
1
．
84153707070

【例 29】 右图，
△ABC
中，G
是
AC
的中点，
D
、
E
、
F
是
BC
边上的四等分点，
AD
与
BG
交于
M，
AF
与
BG
交于
N
，已知
△ABM
的面积比四边形
FCGN
的面积大
7.2
平方厘米，则
△ABC的面积是多少平
方厘米？
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A
G
M
F
C
B
D
E
A< br>G
N
M
B
【解析】 连接
CM
、
CN
．
N
D
EF
C

1
根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△CBM
AG :GC1:1
，
S
△ABM
:S
△ACM
BD:CD 1:3
，所以
S
△ABM
S
△ABC
；
5再根据燕尾定理，
S
△ABN
:S
△CBN
AG:GC1: 1
，所以
S
△ABN
:S
△FBN
S
△CBN< br>:S
△FBN
4:3
，所以
AN:NF4:3
，那么1
根据题意，有
S
△ABC
5
S
△ANG
1< br>515
42

2


，所以
S
FCGN


1

S
△AFC
S
△ ABC
S
△ABC
．
7428
S
△AFC
24 37

7

5
S
△ABC
7.2
， 可得
S
△ABC
336
(平方厘米)
28

【例 30】 如图，面积为l的三角形
ABC
中，
D
、
E
、
F
、
G
、
H
、
I
分别是
AB
、
BC
、
CA
的三等分点,求阴影部分面
积.
A
D
E
I
H
E
Q
D
P
A
I
M
H
N
B
F
G
C
B
F
G
C

【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF 与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、
BN、CP
⑴求
S
四边形ADMI
：在
△ABC
中，根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△CBM
AI:CI1:2S
△ACM
: S
△CBM
AD:BD1:2

设
S
△ABM
1
(份)，则
S
△CBM
2
(份),
S
△AC M
1
(份),
S
△ABC
4
(份),
111 1
所以
S
△ABM
S
△ACM
S
△ABC，所以
S
△ADM
S
△ABM
S
△ABC
,
S
△AIM
S
△ABC
,
431212
11 1
所以
S
四边形ADMI
()S
△ABC
S
△ABC
,
12126
1
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC
面积的
6
⑵求
S
五边形DNPQE
：在△ABC
中，根据燕尾定理
S
△ABN
:S
△ACN
 BF:CF1:2S
△ACN
:S
△BCN
AD:BD1:2
,
11111
所以
S
△ADN
S
△ABN
 S
△ABC
S
△ABC
,同理
S
△BEQ
S< br>△ABC

3372121
在
△ABC
中，根据燕尾定理S
△ABP
:S
△ACP
BF:CF1:2
,
S< br>△ABP
:S
△CBP
AI:CI1:2

1

11
1

11
S
△ABC
所以
S
△ABP
S
△ABC
，所以
S
五边形DN PQE
S
△ABP
S
△ADN
S
△BEP




S
△ABC

52121105
5

1111113
同理另外两个五边形面积是
△ABC
面积的， 所以
S
阴影
13

3
105610570

【例 31】 如图，面积为l的三角形
ABC
中，
D
、
E
、
F
、
G
、
H
、
I
分别是
AB
、
BC
、
CA
的三等分点,求中心六边形
面积.
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A
D
E
I
H
A
D
E
Q< br>C
N
R
I
P
H
B
F
G
B< br>M
F
S
G
C

【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在
△ABC
中 根据燕尾定理，
S
△ABR
:S
△ACR
BG:CG.2:1< br>,
S
△ABR
:S
△CBR
AI:CI1:2

222
所以
S
△ABR
S
△ABC
,同理
S
△ACS
S
△ABC
,
S
△CQB
S△ABC

777
22211
所以
S
△RQS
1
，同理
S
△MNP


77777
1 1131
根据容斥原理，和上题结果
S
六边形


777010


课后练习：
练习1. 已知
△DEF< br>的面积为
7
平方厘米，
BECE,AD2BD,CF3AF
，求
△ABC
的面积．
A
F
D
B
E
C

【解析】
S< br>△BDE
:S
△ABC
(BDBE):(BABC)(11):(2 3)1:6
，
S
△CEF
:S
△ABC
(CECF ):(CBCA)(13):(24)3:8
S
△ADF
:S
△A BC
(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6

设S
△ABC
24
份，则
S
△BDE
4
份，
S
△ADF
4
份，
S
△CEF
9
份，
S
△DEF
244497
份，恰好是
7
平
方厘米，所以
S
△ABC
24
平方厘米

练习2. 如图，四边形
EFGH
的面积是
66
平方米，
EAAB
，
CBBF
，
DCCG
，
HDDA
，求四边形
ABCD
的面积．
H
D
A
E
【解析】 连接
BD
．由共角定理得
S
△BCD
:S
△CGF
H
CB
G
D
C
B
G
F
A
E
F
(CDCB):(CGCF)1:2
，即
S
△CG F
2S
△CDB

同理
S
△ABD
:S
△AHE
1:2
，即
S
△AHE
2S
△ABD

所以
S
△AHE
S
△CGF
2(S
△CBD< br>S
△ADB
)2S
四边形ABCD

连接
AC< br>，同理可以得到
S
△DHG
S
△BEF
2S
四边 形ABCD

S
四边形EFGH
S
△AHE
S
△CGF
S
△HDG
S
△BEF
S
四边形ABCD< br>5S
四边形ABCD

所以
S
四边形ABCD
66513.2
平方米

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湖南和君教育发展有限公司株洲萌乐园 六年级奥数复习资料 -1-
练习3. 正方形
ABCD
的面积是120平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形
BGHF< br>的面积是
平方厘米．
A
D
E
G
H< br>F
A
D
BC
E
G
H
F

M
【解析】 欲求四边形
BGHF
的面积须求出
EBG
和
CHF
的面积．
BC

1
由题意可得到：
E G:GCEB:CD1:2
，所以可得：
S
EBG
S
BC E

3
将
AB
、
DF
延长交于
M
点，可得：
BM:DCMF:FDBF:FC1:1
，
12
而
EH:H CEM:CD(ABAB):CD3:2
，得
CHCE
，
25< br>1121
而
CFBC
，所以
S
CHF
SBCE
S
BCE

2255
111

S
BCE
ABBC12030

224
1177

S
四边形BGHF
SSSS01
．
4

EBCEBCEBCEBC
3
351515
本题 也可以用蝴蝶定理来做，连接
EF
，确定
H
的位置(也就是
FH:H D
)，同样也能解出．

练习4. 如图，已知
ABAE4cm
，
BCDC
，
BAEBCD90
，
AC10cm< br>，则
S
ABC
S
ACE
S
CDE


cm
2
．
C
B
C
B
A
E
D
A'
A
E
D
C'

【解析】 将三角形
ABC
绕
A
点和
C
点分别顺时 针和逆时针旋转
90
，构成三角形
AEC'
和
A'DC
，再 连接
A'C'
，
显然
ACAC'
，
ACA'C
，
ACA'CAC'
，所以
ACA'C'
是正方形．三角形
AE C'
和三角形
A'DC
关于正方形的中心
O
中心对称，在中心对称图 形
ACA'C'
中有如下等量关系：
S
AEC
S
A 'DC'
；
S
AEC'
S
A'DC
；
SCED
S
C'DE
．
11
所以
S
A BC
S
ACE
S
CDE
S
AEC'
 S
ACE
S
CDE
S
ACA'C'
1010 50cm
2
．
22

练习5. 如图，正方形
ABCD
的面积是
120
平方厘米，
E
是
AB
的中点，F
是
BC
的中点，四边形
BGHF
的面
积是_____平方厘米．
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A
D
A
D
E
G
H
E
G< br>H
B
F
C
【解析】 连接
BH
,根据沙漏模型得BG:GD1:2
,设
S
△BHC
1
份，根据燕尾定理S
△CHD
1277
（122)210
份，
S
BFHG

，所以
S
BFHG
1201014
(平方厘米). 此
S
正方形

2366

练习6. 如图 ，
ABC
中，点
D
是边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC
的三等分点，若
ABC
的面积为1，那么 四
边形
CDMF
的面积是_________．

B
F
C

2
份，
S
△BHD
 2
份，因
A
D
N
C
B
E
A
DN
B
E
MM

【解析】 由于点
D
是边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC
的 三等分点，如果能求出
BN
、
NM
、
MD
三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形
CDMF
的面积．
连接
CM
、
CN
．
根据燕尾定理，
S
 ABM
:S
ACM
BF:CF2:1
，而
S
ACM
2S
ADM
，所以
S
ABM
2S
ACM
4S
ADM
，那么
4
BM4DM
，即
BM BD
．
5
BMBF4214147
那么
S
BMF

．
S
BCD

，
S
四边形CDMF
 
BDBC5321521530
1111
另解：得出
S
ABM< br>2S
ACM
4S
ADM
后，可得
S
ADM
S
ABD

，
55210
117
则S
四边形CDMF
S
ACF
S
ADM
< br>．
31030

练习7. 如右图，三角形
ABC
中，AF:FBBD:DCCE:AE4:3
，且三角形
ABC
的面积是
74
，求角形
GHI

的面积．
AA
FF
C< br>F
I
B
H
G
D
E
F
I
C< br>B
H
G
D
E
C

【解析】 连接BG，
S
△AGC

12份
根据燕尾定理，
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB4:312:9
，
S△ABG
:S
△AGC
BD:DC4:316:12

S
12
得
S
△BGC
9
(份)，
S
△AB G
16
(份)，则
S
△ABC
9121637
( 份)，因此
△AGC

,
S
△ABC
37
第 23 页 共 25 页

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同理连接AI、CH得
S
△ABH
12
S
△BIC
12
S
371212121
,,所以
△GHI


S
△ABC
37S
△ABC
37S
△ ABC
3737
三角形ABC的面积是
74
,所以三角形GHI的面积是74
1
2

37

月测备选

【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条 直角
边分别为
2cm
和
4cm
，乙三角形两条直角边分别为
3cm
和
6cm
，求图中阴影部分的面积．
甲
2
3
4
乙
6

甲
2
3
4
乙
6

【解析】 如右图，我们 将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所
以阴影部分面积 为：
3462

（362422）11（cm
2
）

【备选2】 如图 所示，矩形
ABCD
的面积为36平方厘米，四边形
PMON
的面积是3平方 厘米，则阴影部分的
面积是 平方厘米．
D
M
O
A
P
N
C

【解析】 因 为三角形
ABP
面积为矩形
ABCD
的面积的一半，即18平方厘米，三角形
ABO
面积为矩形
ABCD
的
1
面积的，即9平方厘米，又 四边形
PMON
的面积为3平方厘米，所以三角形
AMO
与三角形
B NO
的
4
面积之和是
18936
平方厘米．
又三角 形
ADO
与三角形
BCO
的面积之和是矩形
ABCD
的面积 的一半，即18平方厘米，所以阴影部分
面积为
18612
(平方厘米)．

【备选3】 如图，已知
BD3DC
，
EC2AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,则
△ABC
被分 成的
4
部分面积各占
△ABC
面积的几分之几？
AA
1
1
E
2
4.5
D
1
C
B
E
O
9
O
2
13.5
B
D
C
B
3
【解析】 连接
CO
,设
S
△AEO
1
份，则其 他部分的面积如图所示，所以
S
△ABC
124.5139313.59
按 从小到大各占
△ABC
面积的
,

,,
30


1291830
份，所以四部分
【备选4】 如图，在
△ABC
中，延长
AB
至
D
，使
BDAB
，延长
BC
至
E
，使
CE
第 24 页 共 25 页

1
BC
，
F
是
AC
的中点，
2

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若
△ABC
的面积是
2
，则
△DEF
的面 积是多少？
A
F
B
D
【解析】 ∵在
△ABC
和
△CFE
中，
ACB
与
FCE
互补，
S
ACBC224
∴
△ABC

．
S< br>△FCE
FCCE111
又
S
ABC
C
E

2
，所以
S
FCE
0.5
．
同理可得< br>S
△ADF
2
，
S
△BDE
3
． 所以
S
△DEF
S
△ABC
S
△CEF
 S
△DEB
S
△ADF
20.5323.5


【备选5】 如图，
BD:DC2:3
,
AE:CE5:3
,则
AF:BF

A
E
C
F
B
D
G
【解析】 根据燕尾定理 有
S
△ABG
:S
△ACG
2:310:15
,
S
△ABG
:S
△BCG
S
△ACG
:S
△BC G
15:65:2AF:BF


5:310:6
,所以

【备选6】 如图在
△ABC
中，
△GHI的面积
DCEAFB1
的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA3
A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
A
E
【解析】 连接BG,设
S
△BGC

1份，根据燕尾定理
S
△AGC
:S
△BGC
 AF:FB3:1
,
S
△ABG
:S
△AGC
BD:D C3:1
,得
S
3
S
△AGC
3
(份)，S
△ABG
9
(份),则
S
△ABC
13
(份)，因此
△AGC

,同理连接AI、CH得
S
△ABC
13
S
△ABH
S
3
13
,
△BIC

,
S
△ABC
S
△ABC
13

所以

S
△GHI
133334


S
△ABC
1313
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小学奥数平面几何五大定律
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
S
1
:S
2
a:b

③夹在一组 平行线之间的等积变形，如右图
S
△ACD
S
1
a
S
2
b
AB
S
△BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD．
CD
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比 等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在
△A BC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或
D< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上)，
则< br>S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)

D
A
A
D
E
E
B

图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①
S< br>1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S1
S
3
S
2
S
4
②
AO:OC 

S
1
S
2

:

S
4
S
3


C
B
C
D
AS
2
S
1
O
S
3
C
蝴蝶定理为我们提 供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与 四边形内的三角形相联系；
另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
B
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
a
AD
22
①
S
1
:S
3
a:b

S
1
S< br>2
S
4
②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
O
2
③
S
的对应份数为

ab

．
S
3

C
B

b





四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
S
4
第 1 页 共

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A
E
A
F
D
D
B
①
F< br>G
E
C

BG
C

ADAEDEAF
；

ABACB CAG
22
②
S
△ADE
：S
△ABC
AF:A G
．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎 样改变它们都相似)，与
相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、燕尾定理 在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
S
ABO
:S
ACO
BD:DC
．
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状
很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理 ．该定理在许多几何题目中都有着
E
广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角 形之中，为三角形中的
F
三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
O
典型例题
C
D
【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，
AE
1.5，
CF
2．长方形EFGH的
B
面积为 ．
_H

_D
_H

_D
_A
_E



_G
_A


_E



_G


_B

_F

_C
_B

_F

_C
【解析】 连接DE
，
DF
，
则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△DEF
661.5622624.54216.5
,所以长方形EFGH面积为33 ．
【巩固】如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形< br>EBGF
的长
BG
为
10
厘米，那么长方形的宽为几厘米？
_

E
_

A
_

F
_

D
_

G
_

C

_

B
_

F
_

A
_

E
_

B
_

G
D
_

C

_


【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊 的平行四
边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接
AG
．(我们通过
△ABG
把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在 正方形
ABCD
中，
S
△ABG

1
ABAB
边上的高，
2
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1
SS
∴
△ABG
2
同理，
S
△ABG

ABCD
(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
1
S
EFGB
．
2
∴正方形
ABCD
与长方形
EFGB
面积相等． 长方形的宽
88106.4
(厘米)．

【例 2】 长方形ABCD
的面积为36
cm
2
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面 积
是多少？
A
HD
E
G
B
F
C
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
HD
A

E
G
B
1
1
1
SS
SS
DHC
，而
S
ABCD
S
AH B
S
CHB
S
CHD
36

SS
可得：
EHB
CHB
、
DH G
AHB
、
FHB
2
2
2
11
SS S(SSS)3618
； 即
EHBBHFDHGA HBCHBCHD
22
11111
BEBF(AB)(BC) 364.5
．
22228
所以阴影部分的面积是：
S< br>阴影
18S
EBF
184.513.5

解法二：特殊点法．找
H
的特殊点，把
H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
而
S
EHB
SBHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
，
S
EBF

A
D
(H)
F
C

E
G

这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
B
FC
1111111
SSSSS3636363613. 5
．
阴影
ABCDAEDBEFCFD
2222222

【巩固】 在边长为6厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，将正方形的一组对边二等分 ，另一组对边三等分，分
别与
P
点连接,求阴影部分面积．
第 3 页 共

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A
D
A
(P)D
A
D
PP
CC< br>BB

【解析】 （法1）特殊点法．由于
P
是正方 形内部任意一点，可采用特殊点法，假设
P
点与
A
点重合，则阴影部
11
分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面46
11
积为
6
2
()15
平方厘米．
46
（法2）连接
PA
、
PC
．
由于
 PAD
与
PBC
的面积之和等于正方形
ABCD
面积的一半，所以 上、下两个阴影三角形的面积之和
11
等于正方形
ABCD
面积的，同理可知 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面积的，
46
11所以阴影部分的面积为
6
2
()15
平方厘米．
46

【例 3】 如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积 之和为70，
AB8
，
AD15
，四边形
EFGO
的面 积
为 ．
B
A
D
C
O
E
B
F
G
C

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和，以及三角形AOE
和
DOG
的面积之和，进而求出四边形
EFGO
的面积．
1
由于长方形
ABCD
的面积为
158120
，所以三 角形
BOC
的面积为
12030
，所以三角形
AOE
和
4
3
DOG
的面积之和为
1207020
；
4

11

又三角形
AOE
、
DOG
和 四边形
EFGO
的面积之和为
120



3 0
，所以四边形
EFGO
的面积为

24

30 2010
．
另解：从整体上来看，四边形
EFGO
的面积
三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积
白色部分的面积，
而三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减
去阴影部分的面积，即< br>1207050
，所以四边形的面积为
605010
．
< br>【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是36，
E
是
AD的三等分点，
AE2ED
，则阴影部分的面积为 ．
A
O
B
【解析】 如图，连接
OE
．
E
D
A
M
O
B
E
N
D
C

C

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1
1
SS
OED
；
ON:NDS:SS :S1:1
根据蝴蝶定理，，所以
OEN
COECDECAECDE2
2
1
1
SS
OEA
．
OM:MAS
BOE
:S
BAE
S
BDE
:S
BAE
1:4
，所以
OEM
5
2
11
SS
矩形ABCD
3
，
S
OEA
2S
OED
6
，所以阴影部分面积为：
3
1
6
1
2.7． 又
OED
34
25

【例 4】 已知
ABC< br>为等边三角形，面积为400，
D
、
E
、
F
分别为三 边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，
求阴影五边形的面积．(丙是三角形
HBC
)
A
甲
乙
I
J
M
B
N
H丙
E
D
F

【解析】 因为
D
、
E< br>、
F
分别为三边的中点，所以
DE
、
DF
、
EF
是三角形
ABC
的中位线，也就与对应的边
平行，根据面积比例模型，三 角形
ABN
和三角形
AMC
的面积都等于三角形
ABC
的一 半，即为200．
根据图形的容斥关系，有
S
ABC
C
S丙
S
ABN
S
AMC
S
AMHN
，
S
AMHN
．
1
40043
．
4
即
400S
丙
 200200S
AMHN
，所以
S
丙
又
S
阴影
S
ADF
S
甲
S
乙
S
AMHN
，所以
S
阴影S
甲
S
乙
S
丙
S
ADF
 143

【例 5】 如图，已知
CD5
，
DE7
，
EF15
，
FG6
，线段
AB
将图形分成两部分，左边 部分面积是38，
右边部分面积是65，那么三角形
ADG
的面积是 ．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
B
EF
G
【解析】 连接
AF
，
BD
．
根据题意可知，
CF5715 27
；
DG715628
；
所以，
S
BEF

15
S
CB F
，
S
BEC

12
S
CBF
，S
AEG

21
S
ADG
，
S
 AED

7
S
ADG
，
27
28
27
28
712
2115
SS
CBF
38
； < br>SS65
于是：；
ADG
ADGCBF
2827
2 827
可得
S
ADG
40
．故三角形
ADG
的 面积是40．


【例 6】 如图在
△ABC
中，
D, E
分别是
AB,AC
上的点，且
AD:AB2:5
，
AE :AC4:7
，
S
△ADE
16
平方
厘米，求
△ABC
的面积．
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A
A
D
E
D
E
BC
B
【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE

AD:AB2:5(24):(54)
，
C

，设S
△ADE
8
份，则
S
△ABE
:S
△AB C
AE:AC4:7(45):(75)
，所以
S
△ADE
:S
△ABC
(24):(75)
S
△ABC
35
份，
S
△ADE
16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△ABC
的 面积是
70
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应 角(相等角或互
补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形
AB C
中，
AB
是
AD
的5倍，
AC
是
AE< br>的3倍，如果三角形
ADE
的面积等于1，那么三
角形
ABC
的面积是多少？
A
A
D
E
C
D
E
CB
【解析】 连接
BE
．
∵
EC3AE

∴
S
ABC
3S
ABE

又∵
AB5AD

∴
S
ADE
S
AB E
5S
ABC
15
，∴
S
ABC
15S< br>ADE
15
．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部 分)、乙两部分，
BDDC4
，
BE3
，
AE6
， 乙部分面积
是甲部分面积的几倍？
A
A
E
B
甲
D
E

B

乙
C
【解析】 连接
AD
．
∵
BE3
，
AE6

∴
AB3BE
，
S
ABD
3S
BDE

又∵
BDDC4
，
∴
S
ABC
2S
ABD
，∴
S
ABC
6S
BDE
，
S
乙
5S
甲
．

【例 7】 如图在
△ABC
中 ，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
AE:EC3:2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△ABC
的面积．
D
D

B
甲
D
乙
C

A
A
E
B
C
E

B
C

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【解析】 连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ ABE
AD:AB2:5(23):(53)

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3:(32)(35 ):

(32)5

，
所以
S
△ADE:S
△ABC
(32):

5(32)

6 :25
，设
S
△ADE
6
份，则
S
△ABC25
份，
S
△ADE
12
平方厘米，
所以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是
50
平方厘米，< br>△ABC
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到一个重要
的定理，共角 定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】 如图，平行四边形
ABCD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC
，
HA4AD
，平行四边形
ABCD
的面积是
2
， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面积比．
H
H
A
G
D
F
B
C
E
A
G
D
F
B
C
E
【解析】 连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△ ABC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
S
ABBC111
∴
△ABC

．
S< br>△FBE
BEBF133
又
S
△ABC
1
，所 以
S
△FBE
3
．
同理可得
S
△GCF
8
，
S
△DHG
15
，
S
△AEH
8
．

所以
S
EFGH
 S
△AEH
S
△CFG
S
△DHG
S
△BE F
S
ABCD
8815+3+236
．
S
21
所以
ABCD

．
S
EFGH
3618

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
C
13
12
O
13
1 2
13
D
13
12
12
A
B
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形
OAB
绕顶点
O
逆时针旋转，使长为
13
的两条边重合，此时三角形
OAB
将旋转 到三角形
OCD

的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为
1 2
的正方形，且这个正方形的面积就是原来四
边形的面积.
因此，原来四边形的面积为
1212144
.(也可以用勾股定理)

【例 10】 如图所示，
ABC
中，
ABC90
，
AB3
，
BC5
，以
AC
为一边向
ABC
外作正方形
ACDE
，
中心为
O
，求
OBC
的面 积．

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E
E
O
A
3
B
5
C
D< br>O
A
3
B
5
C
D

【解析】 如图，将
OAB
沿着
O
点顺时针旋转
90< br>，到达
OCF
的位置．
由于
ABC90
，
AOC90
，所以
OABOCB180
．而
OCFO AB
，
所以
OCFOCB180
，那么
B
、< br>C
、
F
三点在一条直线上．
由于
OBOF
，BOFAOC90
，所以
BOF
是等腰直角三角形，且斜边
BF
为
538
，所以它
1
的面积为
8
2
16
．
4
5
根据面积比例模型，
OBC
的面积为
1610
．
8

【例 11】 如图，以正方形的边
AB
为斜边在正方形内作直角三角形
ABE
，
AEB90
，< br>AC
、
BD
交于
O
．已
知
AE
、< br>BE
的长分别为
3cm
、
5cm
，求三角形
OBE< br>的面积．
CB
CB
F
O
E
DA
D
O
E
A
F

【解析】 如图，连接
DE
，以
A
点为中心，将
ADE
顺时针旋转
90
到
ABF
的位置．
那么
EAFEABBAFEABDA E90
，而
AEB
也是
90
，所以四边形
AFBE
是直角梯形，
且
AFAE3
，
所以梯形
AFBE
的面积为：
1

35
312
(
cm
2
)．
2
又因为
AB E
是直角三角形，根据勾股定理，
AB
2
AE
2
BE< br>2
3
2
5
2
34
，所以
S
 ABD

1
AB
2
17
(
cm
2
)．
2
那么
S
BDE
S
ABD


S
ABE
S
ADE

S
ABDS
AFBE
17125
(
cm
2
)，
1
SS
BDE
2.5
(
cm
2
)． 所以
OBE
2

【例 12】 如下图，六边形
ABCDEF中，
ABED
，
AFCD
，
BCEF
，且有AB
平行于
ED
，
AF
平行于
CD
，
BC
平行于
EF
，对角线
FD
垂直于
BD
，已知< br>FD24
厘米，
BD18
厘米，请问六边形
ABCDEF
的
面积是多少平方厘米？
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B
A
C
G
A
B
C
F
E< br>D
F
E
D

【解析】 如图，我们将
BC D
平移使得
CD
与
AF
重合，将
DEF
平移使得
ED
与
AB
重合，这样
EF
、
BC
都重< br>合到图中的
AG
了．这样就组成了一个长方形
BGFD
，它的面积与原 六边形的面积相等，显然长方形
BGFD
的面积为
2418432
平方厘 米，所以六边形
ABCDEF
的面积为
432
平方厘米．

【例 13】 如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC 1:2
，
AD
与
BE
交于
点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
A
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
12
C
D

E
F
B
D
C
< br>S
△ABF
BD1
S
△ABF
AE
1
,


，【解析】 方法一：连接
CF
，根据燕尾定理，
S
△ACF
DC2
S
△CBF
EC
设
S
△B DF
1
份，则
S
△DCF
2
份，
S
△ ABF
3
份，
S
△AEF
S
△EFC
3份，如图所标
55
S
△ABC


1212
所以
S
DCEF

方法二：连接
DE
，由题目条件可得到< br>S
△ABD

11
S
△ABC

，
33
1121
BF
S
△ABD
1

，
S
△ADE
S
△ADC
S
△ABC

，所以
FES
△ADE
1
2233
1111111
S△DEF
S
△DEB
S
△BEC
S
△ABC

，
22323212
211
5
SS< br>而
△CDE
．所以则四边形
DFEC
的面积等于．
△ABC
323
12
【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
2平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分 的面积是多少平方
厘米?
A
F
B
G
D
E
C
B
B
A
A
3
F
3
G
1
D
D
EF
x
2
y
3
x
y
C
E
G

C
【解析】 设
S
△DEF
1
份，则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影

55
S
△B CD

平方厘米.
1212

【例 14】 四边形
AB CD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(如图所示)． 如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的面
1
积的，且
AO2
，
DO3
，那么
CO
的长度是
DO的长度的_________倍．
3
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A
O
B
D
A
H
O
C
B< br>D
G

【解析】 在本题中，四边形
ABC D
为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知
条件，向已有模 型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件
S
ABD:S
BCD
1:3
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察 题目中给出的已知条
件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个 中介来改造这个”
不良四边形”，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比． 再应用结论：
三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体 会到蝴蝶定
理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵
A O:OCS
ABD
:S
BDC
1:3
，∴
OC2 36
，∴
OC:OD6:32:1
．
解法二：作
AHB D
于
H
，
CGBD
于
G
．
C
1
1
1
SS
DOC
，
SS∵
ABDBCD
，∴
AHCG
，∴
AOD
3< br>3
3
1
∴
AOCO
，∴
OC236
，∴
OC:OD6:32:1
．
3
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG:GC
？
A
2
B
1
G
3
D
C
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，
S
BGC

123
，那么
S
BGC
6
；
⑵根据蝴蝶 定理，
AG:GC

12

:

36

1:3
．

【例 15】 如图，平行四边形
ABCD的对角线交于
O
点，
△CEF
、
△OEF
、
△ ODF
、
△BOE
的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求
△OCF
的面积；⑵求
△GCE
的面积．
A
O
G
D
F
C

【解析】 ⑴根据题意可 知，
△BCD
的面积为
244616
，那么
△BCO
和
CDO
的面积都是
1628
，所
以
△OCF的面积为
844
；
⑵由于
△BCO
的面积为8，
△BOE
的面积为6，所以
△OCE
的面积为
862
，
根据蝴蝶定理，
EG:FGS
COE
:S
COF
2:4 1:2
，所以
S
GCE
:S
GCF
EG:FG1: 2
，
那么
S
GCE



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B
E

112
S
CEF
2
．
1233

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【例 16】 如图，长方形
ABCD
中，
BE:EC2:3，
DF:FC1:2
，三角形
DFG
的面积为
2
平方 厘米，求长方
形
ABCD
的面积．
A
G
D
F
C

A
G
D
F
C

B
【解析】 连接
AE
，
FE
．
E
B
E
因为
BE:EC2:3
，
DF:FC1:2
，所以
S
因为
S
DEF
3111
()S
长方形ABCD
S
长方形A BCD
．
53210
S
AFD
1
11
S
，
AG:GF:5:1
，所以
S
AGD
5S
GD< br>
AED
F
10
平方厘米，所以
长方形ABCD
2< br>210
12
平方厘米．因为
S
AFD

1
S
长方形ABCD
，所以长方形
ABCD
的面积是
72
平方 厘米．
6

【例 17】 如图，正方形
ABCD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
C
G
A
D

【解析】 因为
M
是
AD
边上的中点，所以
AM:BC1:2
，根据梯形蝴蝶定理可以知道
M
S
△AMG
:S
△ABG
:S
△MCG
:S
△BCG
1
2
（:12）（:12）:2
2
1 :2:2:4
，设
S
△AGM
1
份，则
S
△MC D
123

份，所以正方形的面积为
1224312
份，
S
阴影
224
份，所以
S
阴影
:S< br>正方形
1:3
，所以
S
阴影
1
平方厘米．

【巩固】在下图的正方形
ABCD
中，
E
是
BC
边的中点，
AE
与
BD
相交于
F
点，三角形
BEF
的面积为1平方厘
米，那么正方形
ABCD
面积是 平方厘米．
A
D
F
B
E
C

2
S
梯形
（12）9
(平方厘米)，【解析】 连接
DE
，根据题意可知
BE:AD1:2
，根据蝴蝶定理得
S
△EC D
3
(平方厘米)，那么
S





ABCD
12
(平方厘米)．
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