苏武传-班长申请书

奥数公式


和差倍问题：

已知条件
公式适用范
围
公式 ①(和－差)÷2=较小
数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大
数 较大数－差=较小
数
和－较大数=较小数
关键问题




年龄问题的三个基本特征：
求出同一条件下的
和与差 和与倍数 差与倍数
和÷(倍数＋1)=小
数小数×倍数=大
差÷(倍数-1)=小
数 小数×倍数=大
和差问题
几个数的和与差
和倍问题 差倍问题
几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
已知两个数的和，差，倍数关系
数 和－小数=大数 数 小数＋差=大数

①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；


归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单 一量”，题目一般用“照这
样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

植树问题：

基本类型 在直线或者不封在直线或者不封在直线或者不封闭
的曲线上植树，只
封闭 曲
线上植
树
闭的曲线上植树，闭的曲线上植
两端都植树 树，两端都不植有一端植树
树
基本公式 棵数=段数＋1 棵棵数=段数－1
距×段数=总长 棵距×段数=总
长
棵数=段数 棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

鸡兔同笼问题：

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错
的那部分置 换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔
脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔
脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。


盈亏问题：

基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照
另一种标准分 组，又产生一种结果，由于

分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象 分组的组数
或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造 成结
果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出
对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。


牛吃草问题：

基本思路：假设每头牛吃草的速度为 “1”份，根据两次不同的吃法，
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的< br>生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长
时间-短时间）；
较长时间×生长量；-较长时间×长时间牛头数=总草量

周期循环与数表规律：

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400
整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；


平均数：

基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关 系，确定一个基准数；一般选与
所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；
最后求这个差的平均数和基准数 的和，就是所求的平均数，具体关系
见基本公式②


抽屉原理：

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个
抽屉中至少 放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，
那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四 种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一
个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有 一个抽屉中至少放有
2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m ，那么必有

一个抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
；[2.9999]=2；[0.321]=0；[4.351]=4例
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后
依据抽屉原则进行运算。


定义新运算：

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基
本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加
减乘除的运算，然后按照基本运 算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。


数列求和：

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列
数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中
涉及四个 量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及
四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四 个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)×公差；
数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

二进制及其应用：

十 进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示
不同的含义，十位上的2表示20， 百位上的2表示200。所以
234=200+30+4=2×102+3×10+4。


=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n- 4+An-4×
10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×10 0
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示
不同的含义。



2n-7 ××2n-5+An-6×2n-3+An-3×2n-4+An-4×（2）= An2n-1+An-1
×2n-2+An-220 21+A1×22+A2……+A3××+ 1。An不是0就是注意：
十进制化成二进制：然后把每次所0，2连续去除这个数，直到商为
①根据二进制满2进1的特点，用 得的余数按自下而上依次写出即
可。n的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的②先找出不大于该数的2 ，按照二进制展开式特点即可写出。次方，依此方
法一直找到差为0

加法乘法原理和几何计数：

m
种不同方法，在加法原理 ：如果完成一件任务有n类方法，在第一
类方法中有
1
mnm
那么完成第二类 方法中有类方法中有种不同方
法……，在第种不同方法，
n2
....... +mm+ m
种不同的方法。这件
任务共有：
n12
关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种
方法都可完成任务。
mn
种方法 ，不1个步骤进行，做第步有乘法原
理：如果完成一件任务需要分成
1
n-1m
步用哪种方法，种方法……不
管前面2管第1步用哪一种方法，第步总有
2
m×.. .....m×m
种不
同的方n第步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：
n12
法。 关
键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的
一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形
成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两
点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射
线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点；没有长度。．
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数


质数与合数：

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约 数，这个数叫做质数，
也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的
质因数。
分解 质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。任何一个合 数分解质因数的结果是唯一的。


a、a、a……a
都是N= ，其中分解质因数的标准表示形式：
n123
a N的质因数， 且合数
n231
P=(r+1)×(r+1)×(r+1)
×……×(r+1)
求约数个数的公式：
n213
互质数：如果两个数的最大
公约数是1，这两个数叫 做互质数。


约数与倍数：

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a
的约数。
公约 数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一
个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个
数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，
就是所求的 最大公约数。．
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一
个，叫做 这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的
方法


数的整除：

一、基本概念和符号：
1 、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，
而且没有余数，那么叫做a能被b整 除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7
整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能

被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。



余数及其应用：

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b= q……r，且
0余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和 除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数
的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的
积除以c的余数。


余数、同余与周期：

一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记
作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c
≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)
或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各
个偶数数位上数 字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质 数（素数），a是自然数，且a不能
被p整除，则ap-1≡1(mod p)。






分数与百分数的应用：

基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），
分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把 一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常
见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在 分数中一般
指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法
是确定不同的标 准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成
相等或者 假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，
求出最后结果。
⑤量不变思维方 法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不
论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有 以下三种情况：
A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不
变。C、 总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、
量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。


分数大小的比较：

基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母
的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子
的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越
大的分数值越大。 ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了
运用以上方法外，可以用同倍率 的变化关系比较分数的大小。（具体
运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比
较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。


分数拆分：

一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：






完全平方数：

完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2. 除以3余0或余1；反之不成立。
3. 除以4余0或余1；反之不成立。
4. 约数个数为奇数；反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2


比和比例：

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号 后

面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比
值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），
则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），
则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。．
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。


综合行程：

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、
路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速- 水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追
及时间）、速度（速度和、速度 差）中任意两个量，求第三个量。



工程问题：

基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

② 假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间
的最小公倍数），利用上述三个基本关 系，可以简单地表示出工作效
率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。





逻辑推理：

基本方法简介：
①条件分析—假设法：假设可能情况 中的一种成立，然后按照这个假
设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判
断过程中出现了矛盾，那么a一 定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，
就需要进 行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一
个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同 的对象与情况，观察表
格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法： 当两个对象之间只有两种关系时，就可用连

线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“ 是，有”等肯定的状态，
没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两
种 状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理 之外，还要
进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归 纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规
律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并 递推出相关的关系式，
从而得到问题的解决。


几何面积：

基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图 形
进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图
形变为规则的图形进行计 算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规
律。
常用方法：
1. 连辅助线方法
2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意
点设置在特殊位置上）。

4. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（ 斜边的平方除
以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。





立体图形：






时钟问题—快慢表问题：

基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题；
2、 不同的表当成速度不同的运动物体；
3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、 时间是标准表所经过的时间；

5、 合理利用行程问题中的比例关系；


时钟问题—钟面追及：

基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称 为1分格。分针
每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1
分格，时针 每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转 36060度，
即6°，时针每分钟转36012X60度，即12度。


浓度与配比：

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混 合的
两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量×浓度；
浓度= 溶质溶液×100%=溶质（溶剂+溶质）×100%
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存 在这样的一个反比例关系，进行混合的
两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。


经济问题：

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；

经济问题：

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；



不定方程：

一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程， 由
于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；
常规方法：观察法、试验法、枚举法；
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不

唯一；
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一
个未知数，这样就把三元一 次方程变成二元一次不定方程，按照二元
一次不定方程解即可；
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；
解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元； 3、写出表达式；4、确定
范围；5、确定特征；6、确定答案；
技巧总结：A、写出表达 式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征
明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知 数；B、
消元技巧：消掉范围大的未知数；



循环小数：

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯循环 小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为
分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节 的位数相同，最后能约
分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节 以前的小数部
分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几
位数字是9， 9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个

数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5， 又含有2和5以
外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数 ，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个
分数化成的小数必定是纯循环小数。

奥数公式


和差倍问题：

已知条件
公式适用范
围
公式 ①(和－差)÷2=较小
数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大
数 较大数－差=较小
数
和－较大数=较小数
关键问题




年龄问题的三个基本特征：
求出同一条件下的
和与差 和与倍数 差与倍数
和÷(倍数＋1)=小
数小数×倍数=大
差÷(倍数-1)=小
数 小数×倍数=大
和差问题
几个数的和与差
和倍问题 差倍问题
几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
已知两个数的和，差，倍数关系
数 和－小数=大数 数 小数＋差=大数

①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；


归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单 一量”，题目一般用“照这
样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

植树问题：

基本类型 在直线或者不封在直线或者不封在直线或者不封闭
的曲线上植树，只
封闭 曲
线上植
树
闭的曲线上植树，闭的曲线上植
两端都植树 树，两端都不植有一端植树
树
基本公式 棵数=段数＋1 棵棵数=段数－1
距×段数=总长 棵距×段数=总
长
棵数=段数 棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

鸡兔同笼问题：

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错
的那部分置 换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔
脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔
脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。


盈亏问题：

基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照
另一种标准分 组，又产生一种结果，由于

分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象 分组的组数
或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造 成结
果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出
对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。


牛吃草问题：

基本思路：假设每头牛吃草的速度为 “1”份，根据两次不同的吃法，
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的< br>生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长
时间-短时间）；
较长时间×生长量；-较长时间×长时间牛头数=总草量

周期循环与数表规律：

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400
整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；


平均数：

基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关 系，确定一个基准数；一般选与
所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；
最后求这个差的平均数和基准数 的和，就是所求的平均数，具体关系
见基本公式②


抽屉原理：

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个
抽屉中至少 放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，
那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四 种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一
个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有 一个抽屉中至少放有
2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m ，那么必有

一个抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
；[2.9999]=2；[0.321]=0；[4.351]=4例
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后
依据抽屉原则进行运算。


定义新运算：

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基
本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加
减乘除的运算，然后按照基本运 算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。


数列求和：

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列
数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中
涉及四个 量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及
四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四 个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)×公差；
数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

二进制及其应用：

十 进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示
不同的含义，十位上的2表示20， 百位上的2表示200。所以
234=200+30+4=2×102+3×10+4。


=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n- 4+An-4×
10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×10 0
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示
不同的含义。



2n-7 ××2n-5+An-6×2n-3+An-3×2n-4+An-4×（2）= An2n-1+An-1
×2n-2+An-220 21+A1×22+A2……+A3××+ 1。An不是0就是注意：
十进制化成二进制：然后把每次所0，2连续去除这个数，直到商为
①根据二进制满2进1的特点，用 得的余数按自下而上依次写出即
可。n的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的②先找出不大于该数的2 ，按照二进制展开式特点即可写出。次方，依此方
法一直找到差为0

加法乘法原理和几何计数：

m
种不同方法，在加法原理 ：如果完成一件任务有n类方法，在第一
类方法中有
1
mnm
那么完成第二类 方法中有类方法中有种不同方
法……，在第种不同方法，
n2
....... +mm+ m
种不同的方法。这件
任务共有：
n12
关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种
方法都可完成任务。
mn
种方法 ，不1个步骤进行，做第步有乘法原
理：如果完成一件任务需要分成
1
n-1m
步用哪种方法，种方法……不
管前面2管第1步用哪一种方法，第步总有
2
m×.. .....m×m
种不
同的方n第步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：
n12
法。 关
键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的
一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形
成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两
点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射
线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点；没有长度。．
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数


质数与合数：

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约 数，这个数叫做质数，
也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的
质因数。
分解 质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。任何一个合 数分解质因数的结果是唯一的。


a、a、a……a
都是N= ，其中分解质因数的标准表示形式：
n123
a N的质因数， 且合数
n231
P=(r+1)×(r+1)×(r+1)
×……×(r+1)
求约数个数的公式：
n213
互质数：如果两个数的最大
公约数是1，这两个数叫 做互质数。


约数与倍数：

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a
的约数。
公约 数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一
个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个
数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，
就是所求的 最大公约数。．
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一
个，叫做 这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的
方法


数的整除：

一、基本概念和符号：
1 、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，
而且没有余数，那么叫做a能被b整 除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7
整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能

被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。



余数及其应用：

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b= q……r，且
0余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和 除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数
的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的
积除以c的余数。


余数、同余与周期：

一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记
作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c
≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)
或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各
个偶数数位上数 字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质 数（素数），a是自然数，且a不能
被p整除，则ap-1≡1(mod p)。






分数与百分数的应用：

基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），
分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把 一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常
见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在 分数中一般
指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法
是确定不同的标 准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成
相等或者 假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，
求出最后结果。
⑤量不变思维方 法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不
论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有 以下三种情况：
A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不
变。C、 总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、
量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。


分数大小的比较：

基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母
的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子
的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越
大的分数值越大。 ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了
运用以上方法外，可以用同倍率 的变化关系比较分数的大小。（具体
运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比
较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。


分数拆分：

一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：






完全平方数：

完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2. 除以3余0或余1；反之不成立。
3. 除以4余0或余1；反之不成立。
4. 约数个数为奇数；反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2


比和比例：

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号 后

面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比
值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），
则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），
则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。．
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。


综合行程：

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、
路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速- 水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追
及时间）、速度（速度和、速度 差）中任意两个量，求第三个量。



工程问题：

基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

② 假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间
的最小公倍数），利用上述三个基本关 系，可以简单地表示出工作效
率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。





逻辑推理：

基本方法简介：
①条件分析—假设法：假设可能情况 中的一种成立，然后按照这个假
设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判
断过程中出现了矛盾，那么a一 定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，
就需要进 行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一
个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同 的对象与情况，观察表
格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法： 当两个对象之间只有两种关系时，就可用连

线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“ 是，有”等肯定的状态，
没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两
种 状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理 之外，还要
进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归 纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规
律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并 递推出相关的关系式，
从而得到问题的解决。


几何面积：

基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图 形
进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图
形变为规则的图形进行计 算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规
律。
常用方法：
1. 连辅助线方法
2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意
点设置在特殊位置上）。

4. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（ 斜边的平方除
以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。





立体图形：






时钟问题—快慢表问题：

基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题；
2、 不同的表当成速度不同的运动物体；
3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、 时间是标准表所经过的时间；

5、 合理利用行程问题中的比例关系；


时钟问题—钟面追及：

基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称 为1分格。分针
每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1
分格，时针 每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转 36060度，
即6°，时针每分钟转36012X60度，即12度。


浓度与配比：

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混 合的
两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量×浓度；
浓度= 溶质溶液×100%=溶质（溶剂+溶质）×100%
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存 在这样的一个反比例关系，进行混合的
两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。


经济问题：

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；

经济问题：

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；



不定方程：

一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程， 由
于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；
常规方法：观察法、试验法、枚举法；
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不

唯一；
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一
个未知数，这样就把三元一 次方程变成二元一次不定方程，按照二元
一次不定方程解即可；
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；
解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元； 3、写出表达式；4、确定
范围；5、确定特征；6、确定答案；
技巧总结：A、写出表达 式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征
明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知 数；B、
消元技巧：消掉范围大的未知数；



循环小数：

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯循环 小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为
分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节 的位数相同，最后能约
分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节 以前的小数部
分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几
位数字是9， 9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个

数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5， 又含有2和5以
外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数 ，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个
分数化成的小数必定是纯循环小数。