小学奥数全部知识点+练习题

巡山小妖精
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2020年08月02日 11:50
最佳经验
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贺年片-经典搞笑台词


一、计算~(一)分数裂项-知识点:
1、裂差公式:
11
n(n1)

n

1
n1


111
n(nk)

k(
n

1
nk
)


1111
n(n1)(n2)

2
(
n(n1)< br>
(n1)(n2)
)

2、裂和公式:
ab11
ab

b

a

二、例题:
例1:
1
1011

11
111 2



99100








例2:
1111
36

69< br>
912


9699









例3:
11
123

234

1
345



1
9899100









例4:
1
1
2
2
1
63
111
12
4
20
10
110









例5: 1
1
12

111
123

12 34

12399100




例6:
3
1
2
2
2

52
2
3
2

7
3
2
4
2



15
7
2
8
2








2222
例7:
123
13

35

57


50
99101









例:8:“!”表示一种运算符号,它的含义是2!=2×1;
3!=3×2×1;

,计算
2
3!
< br>3499
4!

5!

100!








例9:
36579
5

7

6

12

20
11
30

13
42









练习:
1、
1
1
2

1
4

1
8

1
16

11
1024

2048< br>



2、
3
4

536

79111315
144

400

9 00

1764

3136





3、
(
1111
11

21
31

41
)(
1
21

1
31< br>
11
41

51
)


 (
1
11

1
21

111111
31< br>
41

51
)(
21

31

41
)








4、
1
30

1
42

1
56< br>
1
72

111
90

110

132









555
5、
14

84

204< br>
5
374

5
594

5
864









6 、
2
345

22222
456

56 7

678

789

8910








7、比较分数大小: < br>(1)分数
5
7

15
17

4
9

40103
124

309
中,哪一个最大?





(2)从小到大排列下列分数,排在第三个的是哪一个?

755
15

12

6

9
10

11
18

17
30

22
45






(3)若A=
1
2013
2
20141
,B
1
2013< br>2
201420132014
2
,比
较A与B的大小。








(4)比较< br>2013
2
2012
2012
2013
与2014
2009
2012
2011
2013











一、计算~(二)常用计算公式知识点:

1、等差数列:
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+(项数+1)×公差
求和=(首项+末项)×项数÷2
当等差数列为奇数项时,可以用中间项定理:
和=中间项×末项
(1)
135(2n1)n
2

(2)
123n321n
2

2、平方和公式:

1
2
2
2
3
2< br>n
2

1
6
n(n1)(2n1)

3、立方和公式:

1
3
2
3
 n
3
(12n)
2

1
n
2
(n 1)
2
4

4、平方公式
(1)平方差公式
a
2
b
2
(ab)(ab)

(2)完全平方和(差)公式

(ab)
2
a
2
2abb
2

二、习题:
1、
100
2
99
2
982
97
2
2
2
1
2








、 × ×







、
10
2
11
2
12
2200
2







、
1
2
2
2
4
2
5
2
13
2
14
2
16
2






1
3
2
3
3
3



2016
3

123

2016






、
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3






、
(2
2
4
2
< br>
100
2
)(1
2
3
2


99
2
)
123

891098< br>
321






< br>、
199297395501



< br>



、
1
1111111
2
3
4
5
8
7
16
9
32
11< br>64
13
128





< br>


一、计算~(三)小数和分数的互化

1、纯循环化成分数:循环节有几位小数,则分母有几个9,
分子就是循环节。
2、 混循环小数化分数:分母9的个数=循环节小数位数,
分母0的个数=非循环节小数位数,分子=分数部 分-非循环
部分小数。
3、神秘组织:142857是分母是7的分数的循环节数字,分子是1的,第一位是最小的,按此规律排列。
一、计算~(四)
进制问题

1、常见进制:二进制、十进制、十二进制、十六进制、二
十四进制、六十进 制.
2、二进制:只使用数字0、1,在计数与计算时必须是“满
二进一”,
例如,(9)
10
=(1001)
2

3. 十进制转
n
进制: 短除、取余、倒写. 例如:
(1234)
10
= (1200201)
3
4.n进制转十进制:写指、相乘、求和。例如:
3210
(1011)
2
=1×2+0×2+1×2+1×2=(11)
10


例:
0.01

+0.12

+0.23

+0.34

+0.78

+0.89








例2:
(80.80.8)
71113







例:将循环小数

要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一
0.027


0.1

79672

相乘,取近似值,
位小数是多少?




< br>



例:
冬冬将
0.32

1

乘以一个数时,看丢了一个循环点,

使得乘积比结果减少了
0.03
,正确结果应该是多少?








5.关于进位制
⑴ 本质:
n
进制就是逢
n
进一;

n
进制下的数字最大为(n-1),超过9用大写字母代替。
⑵把十进制数
例1:
⑴将(2009)
10
写成二进制数


2008转化为十六进制数;






例2:
⑴ (463)
把下列各数转化成十进制数:
(5FC)

8
;⑵ (2BA)
12
;⑶
16
.





例3:① (101)
2
(1011)
2
 (11011)
2
 ( )
2




(
(
11000111
3021)

2
605

 (10101)
)
2
 (11)
2
 ( )
2


(63121
4
)

 (
7
 ( )
10

8
 (1247)
8
 (16034 )
8
 (26531)
8
 (1744 )
8

( )
8









同的数字,如果
4:
用a

b

c
连续正整数,
(

ade
d

)
e
, (
分别代表五进制中五个互不相
adc
示是多少?
那么
(cde)
) , (aab)
是由小到大排列的
5
所表
示的整数写成十进制的表








二、计数原理~(一)容斥原理:

专题简析:
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,

例2:在网校 50名老师中,喜欢看电影的有 15 人,不喜欢
唱歌的有 25人,既喜欢看电影也喜欢唱歌的有 5人。那么
只喜欢唱歌的有多少人?
也叫容斥原理。 即当两个计数部分有重复包含时,为了不重
复计数,应从它们的和中排除重复部分。
1、(两张饼)原理一: 大饼=A+B-AB
2、(三张饼)原理二: 大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC

口诀 :奇层加,偶层减。
3、原则:①消重;②不消不重;
4、考点:①直接考公式;
②直接考图形;
③锅内饼外=全部-大饼上的数量;
④三叶草=AB+AC+BC-ABC
5、解题方法:①文氏图法;
②方程法;
③反推法;
例1:一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作
业?请举手!”有37人举手。又问:“谁 做完数学作业?请
举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有
做完?”没有人 举手。求这个班语文、数学作业都完成的人
数。




练习1:网校老师共 50 人报名参加了羽毛球或乒乓球的训
练,其中参加羽毛球训练 的有 30 人,参加乒乓球训练的有
35 人,请问:两个项目都参加的有多少人?




练习2:网校老师 60 人组织春游。报名去香山的有 37 人,
报名去鸟巢的有 42 人,两个地点都没有报名的有 8 人,那
么只报名其中一个地点的有多少人?







练习1:学校组织体育比赛,分成轮滑、游泳和羽毛球三个
组进行,参加轮滑比 赛的有20人,参加游泳比赛的有25
人,参加羽毛球比赛的有30人,同时 参加了轮滑和游泳
比赛的有8人,同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人, 同
时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人,三种比赛都参加的有
4 人,问参加 体育比赛的共有多少人?





练习2:五年级一班 有46名学生参加数学、语文、文艺
三项课外小组。其中有24人参加了数学小组,20人参加
了语文小组,既参加数学小组又参加 语文小组的有10人.
参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参 加文艺小组
人数的3.5倍,还是三项小组都参加的人数的7倍,既参
加文艺小组 也参加语文小组的人数等于三项小组都参加
的人数的2倍,求参加文艺小组的人数?








例3:网校老师共有90 人,其中有32人参加了专业培训,
有20人参加了技能培训,40人参加了文化培训,13人既
参加了专业又参加了文化培训,8人既 参加了技能又参加
了专业培训,10人既参加了技能又参加了文化培训,而 三
个培训都未参加的有25人,那么三个培训都参加的有多少
人?(锅内饼外)


练习1:在1至100的自然数中,既不能被2整除,又不能
被3整除,还不能被5
整除的数有多少个?





二、计数原理~(二)加乘原理:
1、加法原理:
做一件事,完成 它可以有n类办法,在第一类办法中有
m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方
法 ,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成
这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种 不同方法。每一种方法都
能够直接达成目标。
2、乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个 步骤,做第
一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方
法,……,做第n步有mn种 不同的方法,那么完成这件事
共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
3、区分 两原理:要做一件事,完成它若是有n类办法,是
分类问题,每一类中的方法都是独立的,因此使用加法 原理;
做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将
分成的若干个互相联系的步骤 ,依次相继完成,这件事才算
完成,因此用乘法原理。
例1:用数字0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的
自然数?





例2:由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数
中,百位不是2的 奇数有多少个?





例3:
一个七位数, 其数码只能为
1

3
,且无两个
3
是邻
的。问这样 的七位
数共有多少个?





例4:在< br>1

10

10
个自然数中,每次取出三个不同的数,
使它们的和是
3

倍数有多少种不同的取法?






三、加乘原理——标数法、递推法
①标数法与递推法都是加法原理
②按最后一步进行分类,做加法
③标数时要注意限制条件
④分平面问题要确定交点个数

例1:如图, 为一幅街道图,从
A
出发经过十字路口
B
,但
不经过
C走到
D
的不同的最短路线有多少条?









例2:在下图中,左下角有1枚棋子,每次可以向上,向
右,或沿对角 线的方向向右上走任意多步,但不能不走。
那么走到右上角一共有多少种方法?







例3:一个楼梯共有12级台阶,规定每步可以迈1级台阶
或2级台阶,最 多可以迈3级台阶,从地面到最上面1级
台阶,一共可以有多少种 不同的走法?









例4:一个长方形把平面分成两部分,那么10个长方形最
多把平面分成几部分?






二、计数原理~(三)概率

1、随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现,但
是具有规律性的事件。
2 、概率:随机事件可能发生的可能性的度量,一般用P来
表示,特例:必然事件:P=1;不可能事件: P=0;
3、独立事件:事件1是否发生对事件2发生的概率无影响;
4、互斥事件:不可能同时发生的两件事件;
5、对立事件:两个互斥事件必有一个发生;
6、概率的计算:
P(A)
m
n

n表示试验中发生所有情况的
总数,m表示事件A发生的次数。

7、概率具有可乘性。计算概率的基础:计数、枚举、加乘
原理、排列组合。
例1:一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色,每
种花色各拿出2 张,现在从这8张牌中任意取出2张。请
问:这2张扑克牌花色相同 的概率是多少?





例2:编号分别为1~10的10个小球,放在一个袋中,从
中随机地取出两 个小球,这两个小球的编号不相邻的可能
性是多少?





例3:
A

B

C

D

E

F
六人抽签推选代表,公证人一共
制作了六枚外 表一模一样的签,其中只有一枚刻着“中”,
六人按照字母顺序先 后抽取签,抽完不放回,谁抽到“中”
字,即被推选为代表,这六人被抽中的概率分别为多少?






例4:一枚硬币连续抛掷3次,至少有一次正面向上的概率
是多少?






二、计数原理~(四)排列组合

1、排 列:从n个不同元素中选出m个,按照一定的顺序排
列,记为:
A
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)
可以理解为从n开始乘,一共乘m个。
特殊要求,优先满足:
(1)捆绑法:必须在一起;
(2)优先满足法:特殊位置或特殊元素;
(3)插空法:不能相邻,必须隔开;先排没有要求的,再
在空里插必须要分开的元素。
(4)排除法:正难则反;
2、组合:从n个不同元素中选出m个,不需要按顺序排列, < br>记为:C
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)n!
可以写成:C
m
n
=A
mm
n
A
m

重要性质:
C
mm-nn
n
=C
n
; C
n
=1;
方法:(1)排除法:有至少、至多等情况下用;
(2)隔板法:相同物品放在不同位置或不同的人,
要求至少一个,可以用隔板法。
例1:计算

A
6
3
=
4A
5
4
=
A
7
4
A
1
9
=

4A8
3
A
1
9
A
6
5
=

C
6
2
=
C
6
4
=
C
1
8
=
C
8
7
=

C
100
2
2C
100
99
= < br>C
100
2
C
6
4
C
100
98
C
5
4
=

例2:6 个人走进有 10 辆不同颜色碰碰车的游乐场,每辆碰
碰车只能坐一个人, 那么共有多少种不同的坐法?







例3:书架上有 3 本不同的故事书,2 本不同的作文选和 1 本
漫画书,全部竖起来 排成一排。
⑴如果同类的书可以分开,一共有多种排法?

⑵如果同类的书不可以分开,一共有多少种排法?







例4:一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各
一盏,按照下列条件把灯串成一串,有多少种不同的串法?
⑴把 7 盏灯都串起来,其中紫灯不排在第一位,也不排在
第七位。
⑵串起其中 4 盏灯,紫灯不排在第一位,也不排在第四位







例5:
八个同学照相,分别求出在下列条件下各有多少种站
法?
⑴ 八个人站成一排;

⑵八个人排成一排,某两人必须有一人站在排头;

⑶八个人排成一排,某两人必须站在两头;

⑷八个人排成一排,某两人不能站在两头。








例6:大海老师把 10 张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳,
并且决定给佳佳 8 张, 给阳阳 2 张。一共有多少种不同的
分法






例7:一个小组共 10 名学生,其中 5 女生,5 男生。现从中
选出 3 名代表, 其中至少有一名女生的选法?






例8:
一个电视台播放一部 12 集的电视剧,要分 5 天播完,
每天至少播一
集,有多少种不同的方法?





















































三、数论
(一)奇偶性
奇数

奇数=偶数;偶数

偶数=偶数;奇数

偶数=奇数;
奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数;
奇数个奇数相加减,结果是奇数 ;偶数个奇数相加减,结果
是偶数;偶数无论多少相加减,结果都是偶数。
奇数不可能被偶数整除;
任意个数相乘,只要有一个因数是偶数,则积一定是偶数。
写作[A,B]。则A×B=最大公因数×最小公倍数
(六)余数
(一)带余除法 被除数÷除数=商......余数,表示成:

d0,A被B整除
ABC

d

余数要小于除数,如果大于
d0,d为余数

除数,则再除以除数取余。
计算公式:(1)被除数=商×除数+余数
(2)被除数- 余数=商×除数
(二)质数合数:
1、质数明星:2和5;
2、100以内质数:25个;
3、除了2和5以外,其余的质数个位只能是1,3,7,9;
4、最小的四位质数:1009;
5、判断较大数P是否为质数的方法:
(1)找一个比P大接近于P平方数K
2

(2)列出所有不大于K的质数去除P;
(三)因数定理:
1、因数个数定理:
(1)分解质因数,写成标准式;
(2)将每个不同的质因数的指数+1,然后连乘,得出个数;
2、因数和定理:
(1)分解质因数,写成标准式;
(2)将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂,求
和,然后再将这些得到的和相乘;
3、因数积定理:
把因数从小到大配对相乘,奇数个因数时,最中间的因数直
接相乘。

(四)整除
(一)末位系:2、5、8,5、25、125的特征
1、末位是偶数,能被2整除;末位是0、5,能被5整除;
2、末2位能被4或者25整除,这个数就能被整除;
3、末3位能被8或者125整除,这个数就能被整除;
(二)求和系:3、9、99的特征
1、数字和能被3或者9整除,这个数就能被3或者9整除;
2、把多位数,从个位开始,2位一段,各段数的和能被99
整除,这个数就能被99整除。
(三)求差系:7、11、13特征
1、(适用于数字位数在三位以上)一个多位数的末三位 数
与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7或11或
13整除,这个多位数就一定能相 应被7或11或13整除.
2、一个多位数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上
的数字 分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数
(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整 除.
(四)拆分系:将数分解质因数,看除数是否在因数的组合中。

(五)最大公因数,最小公倍数
假设数A和数B的最大公因数,写作(A,B);最小公倍数
(3)(被除数-余数)÷商=除数
(二)余数三宝(余数定理):三大性质
余的和等于和的余;余的差等于差的余;余的积等于积的余。
(三)余数两招:加同和,减同差
同一个数分别除以两个数a和p,所得的余数分别为b和q ,
如果a+b=p+q,则加同和,这个数为ap+(a+b);如果a-b=p-q,
则为减 同差,这个数为ap-(a-b)。
(四)弃九法
abcd1000a100b10 cd999a99b9c(abcd)

所以这个数能否被9整除只取决于数 字和是否能被9整除,
能被9整除的部分不用看,弃掉,所以称为弃9法。

(七)完全平方数
性质1: 完全平方数的末位数字只能是0,1,4,5,6,9.
性质2: 完全平方数除以5只能余0、1、4.
完全平方数除以3只能余0、1.
完全平方数除以4只能余0、1.
性质3:
⑴ 偶指性—分解质因数后每个质因数的指数都是偶数;
⑵完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然. 特别地,
因数个数为3的自然数是质数的平方;

1、用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个
数是多少?




2、从0~9这十个数字中,选出九个数字,组成一个两位数、
一个三位数和 一个四位数,使这三个数的和等于2010,
那么其中未被选中的数字是谁?(弃九法)



3、一个四位数是这个数的数字和的83倍,求这个四位数



4、⑴ 2
20
除以7的余数是多少?
⑵ 14
14
除以11的余数是多少?




5、算式1×4×7×10×……×2011的计算结果除以9的
余数是多少?




6、⑴ 有一个大于1的整数,用它除300、262、205得到
相同的余数,求这
个数.
⑵ 用61和90分别除以某一个数,除完后发现两次除法都
除不尽,而且前一次所得的余数是 后一次的2倍. 如果这
个数大于1,那么这个数是多少?






7、一个数与270的积是完全平方数,那么这个数最小是 .





8、三个数p,p+1,p+3都是质数,它们的倒数和的倒数是
多少?




9、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9组成若干个质数,要求每个数字 恰
好使用一次,请问,这些质数和的最小值是多少?





10、已知两个自然数的的差为4,它们的最大公因数和最小
公倍数的积为252, 求这两个自然数。





11、已知三个合数A、B 、C两两互质,且A×B×C=1001×28×11,
那么A+B+C的最小值是多少?




12、已知a、b、c、d、e这5个质数互不相同,并且符合
下面算式:(a+b)(c+d)e=2890,那么,这5个数中最大的
数至多是谁?




13、2001个连续自然数的和为a×b×c×d,期中a、b、c 、d
均为质数,则a+b+c+d的最小值为多少?





14、有一列数,第1个数是1,从第2个起,每个数比它前
面相邻的加3,最后一 个数是100,将这列数相乘,则在计
算结果的末尾中有多少个连续的“0”?





游戏对策问题:
1、
桌子上放着55根火柴, 甲、乙二人轮流每次取走1~3
根, 规定谁取走最
后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最
佳方法, 甲先取, 那么谁将获胜?





2、有100枚硬币, 甲乙两人轮流取, 每次取1~8枚, 规
定取到最后一枚的人获
胜. 请问: 甲先取, 谁有必胜策
略?





3、
有10箱钢珠, 每个钢珠重10克, 每箱600个. 如果
这10箱钢珠中有1箱次品,
次品钢珠每个重9克, 那么,
要找出这箱次品最少要称几次?






四、平面几何
(一)三角形
三角形的边:
①三角形任意两边之和大于第三边.
②三角形任意两边之差小于第三边.
按边分类:等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
(四)相似模型
边和角的关系在同一个三角形中,等边对等角

例1:如图:∠A+∠B+∠C+∠D
+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=



例2:如图,八边形的8个内角都
是135°,已知AB=EF,BC=20,
DE
=10,FG=30,则AH= 。


二、等
积变形








(二)共角模型(鸟头模型)

(三)燕尾模型




(五)蝴蝶模型
1、任意四边形蝴蝶模型

















2

、梯形蝴蝶模型








任意四边形:①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4


AO:OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3


梯形: ①
S
2
1
:S
3
a:b
2


S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab

③梯形
S
的对应份数为

ab

2

(六)勾股定理
直角三角形中,两个直角边的平方和等于斜边的平方。
如右图:a 、b分别代表直角三角形ABC的两条直角边的长
度,C为斜边的长度,则:
a
2b
2
c
2

例1:如图,BD长12厘米,DC长4厘米, B、C和D在同
一条直线上。①求三角形ABC的面积是
三角形ADC面积的多少倍?
②求三角
形ABD的面积是三角形ADC面积的多少
倍?


例2:如图,三角形ABC的面积是40,D、E和F分别是AC、
BC和AD
的中点。求 :三角形DEF的面积。





例3:如图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积
相等的三角形共有哪几对?




例4:如图,在三角形ABC中,BC=8厘米,高是6厘米,EF分
别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方
厘米?




例5:如图所示,在平行四ABCD中,E为AB的中点,AF=2CF,
三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四
边形ABCD的面积是多少平方厘米?






例6:如图,在平行四边形ABCD 中,EF平行AC,连结BE、
AE、CF、BF那么与△ABC等积的三角形一共有哪几个三角
形?




例7:如图,ABCD为平行四边形,EF平行A C,如果△ADE的面
积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。






例8:在梯形ABCD中,OE平行于AD。如果三角形AOB的面
积是7平方 厘米,则三角形DEC的面积是 平方厘米





例9:正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为
20厘米,则图中阴影面积为多少平 方厘米?





例10:如图,有三个正方形的顶点 D、G、K恰好在同一条
直线上,其中正
方形GFEB的边长为16厘米,求阴影部分
的面积?




例11:如图,三角形ABC被分成了甲、乙两 部分,BD=CD=4,
BE=3,AE=6
,乙部分面积是甲部分面积的几倍?






例12:如图,三角形ABC的面积为1,其中 AE=3AB,BD=2BC,
三角形BDE
的面积是多少?






例13:如图,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使
BD=AB;延长BC至E,使CE=BC;延长CA至F,使AF=2AC,
求三角形DEF的面积 。





练习1:已知△DEF的面积为7 平方厘米,BE=CE,AD=2BD,
CF=3AF,求△ABC的面积。






练习2:如图,在∠MON的两边上分别有A、C、E及B 、D、
F六个点,并且△OAB
、△ABC 、△BCD、△CDE、△DEF 的
面积都等于1,则△DCF
的面积等于多少?







练习3:等腰△ABC中,AB=AC=12cm,B D、DE、EF、FG把它
的面积5等分,求AF、HD、DC、AG、
GE、EB的长?



练习4:E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点,且DQ、
CP、ME彼此平行, 若AD=5,BC=7,AE=5, EB=3。求阴影
部分的面积。




练习5
:如图,在△ABC中,延长AB至
D,使BD=AB,延长BC至 E,使BC=2CE,
F是AC的中点,若△ABC的面积是2,则△DEF的面积是多
少?




练习6:如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其
中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米,那么余下的四
边形OFBC的面积为多少?




练习7:如图,边长为1的正方形ABCD中,BE=2EC,CF=FD,
求△AEG 的面积。




练习8:如图所示,长方形
ABCD< br>内的阴影部分的面积之和
为70,
AB8

AD15
,四 边形
EFGO
的面积为多少?





勾股定理
例题1:求下面各三角形中未知边的长度。
例题2:根据图中所给的条件,求
梯形ABCD的面积。



例题3:如图,请根据所给的条件,计算出大梯形的面积(单
位:厘米)



例题4:一个直角三角形的斜边长8厘米,两个直角边的
长度差为2厘 米,求这个三角形的面积?






练习1 :如图,在四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,
CD=40,∠
ADB
+∠
DBC
=90°。请问:四边形ABCD的面积是
多少?




练习2:从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形
条后,剩下的那块长方形 的面积为336平方分米,原来正
方形的面积是多少平方分
米?







巧求面积
1、边长分别为6、8、10厘米的正
方形放在一起,求四边形ABCD的面
积。

2、一块长方形的地,长是80米,宽是45米,如果宽增加
5米,要使原来的面积 保持不变,长要变成多少米?
3、一个长方形宽减少2米,或长减少3米,面积均减少24
米,求原长方形面积?

4、如图,一块长方形纸片,长7厘米,宽5厘米,把它的
右上角往下折叠,再把左小角向上折
叠,未盖住的阴影部分的面积是多少平
方厘米?


5、如图,7 个完全相同的长方形组成了
图中的阴影部分,图中空白部分的面积
是多少?

6、一个长方形,如果长减少5厘米,宽减少2厘米,那么
面积就减少66平方厘米,这是剩下的部< br>分正好是一个正方形,求原来长方形的
面积?


7、有一大一下两 个正方形试验田,它们的周长相差40米,
面积相差220平方米,那么小正方形试验田的面积是多少平
方米?


8、图中大正方形的面积为9,中间小正方形
的面积为 1,甲乙丙丁是四个梯形,那么乙
与丁的面积之和是多少?

9、下图中甲的面积比
乙的面积大多少?
10、如图,ABCD是长为7,宽为4
的长方形,DEFG是长 为10,宽为
2的长方形,求△BCO与△EFO的
面积差。


11、如图,E、F、G都是正方形ABCD三条边的中点,△OEG
比△ODF大10平方厘米,那么 梯形OGCF
的面积是多少平方厘米?



12、如图,在直角 梯形ABCD中,三角形ABE
和三角形CDE都是直角等腰三角形,且BC=20
厘米,那么 直角梯形ABCD的面积是多少?


13、如图正方形ABCD被两条平行的直< br>线截成三个面积相等的部分,其中上
下两部分都是等腰直角三角形,已知
两条截线的长度 都是6厘米,那么正
方形的面积是多少?


14、正方形ABCD面积为12平方厘米,
矩形DEFG的长DG=16厘米,求它的宽?


对角模型
:任意一个矩形被分割成四
个长方形,用a、b、c、 d表示这四块面
积,则有a×d=c×b
15、在矩形ABCD中,连接对角线BD,过BD 线上任意一点P,
作EF平行AB,GH平行BC,S△BPF=3,S△PHD=12,求矩形
ABCD的面积



例1:如图,是一个由2个半圆、2个
扇形、2个正方形组成的“心型”。已
知 半圆的直径为10,那么,“心型”
的面积是多少?(圆周率取3.14)

例2:图中四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点,如果
每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分< br>的总面积是多少?(圆周率取3.14)


例3:图中阴影部分的面积。(圆周率取3.14)




例4:如图, ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求阴影部分
的面积。(圆周率取3.14)



例5:求图中阴影部分的面积。(圆周率取3)




例6:在图中,两个四分之一的圆弧半径是2和4,求两
个阴影部分的面积之差。( 圆周率取3)




例7:如图,两个正方形摆放在一起,其中 大正方形边长为
12,那么阴影部分面积是多少?(圆
周率取3.14)



例8:如图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE
半径AE =6
厘米,扇形CBF的半径CB=4
厘米,求阴影部分的面积。
(圆周率取3)



例9:如图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20,
阴影甲的面积比阴影乙的面积大
7,求BC的长.(π取3.14)






例10:已知三角形ABC是直角三角形,AC=4厘米,BC=2厘
米, 求阴影部分的面积。(π取3.14)







例12:在一个边长为2厘米的正方形内,分别以它的三条
边为直径向内作三个半圆 ,则图中阴影部分的面积为多少平
方厘米?









1. 如图中三个圆的半径都是5
cm
,三个圆两两相交于圆
心.求阴影部分的面积和.(圆周率取
3.14
)





2.计算图中阴影部分的面积(单位:分米)。


10

5


A

3.请计算图中阴影部分的面积.



10
3



4.如下图,直角三角形
ABC
的两条直角边分别长
6

7

分别以
B,C
为圆心,
2
为半径画 圆,已知图中阴影部分的面
积是
17
,那么角
A
是多少度(
π3
)

A


6


B
7
C

5.如下图所示,
AB
是半圆的直径,< br>O
是圆心,
ACCDDB

M

CD
的 中点,
H
是弦
CD
的中点.若
N

OB
上 一点,半圆的面积
等于12平方厘米,则图中阴
影部分的面积是多少平方厘
C
M
H
D
米.


A
ONB

6 .如图,
ABC
是等腰直角三角形,
D
是半圆周的中点,
BC
是半圆的直径.已知
AB
ABBC10
,那么阴影部分的
面积是多少? (圆周率取
3.14
)
P
D

C

7.如图,图形中的曲线是用半径长度的比为
2:1.5:0.5
的6
条半圆曲线连成 的.问:涂有阴影的部分的面积与未涂有阴
影的部分的面积的比是多少?




8.如图,ABCD是边长为a的正方形,以AB、BC、CD、DA
分 别为直径画半圆,求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面
积.(
π
取3)
A

D




B
a

C
9.如图,直角三角形的三条边长度为
6,8,10
,它的内部放
了一个半圆,图中阴影部分的面积为多少?



6
10



O
8

10. 如图,大圆半径为小圆半径两倍,已知图中阴影部
分面积为S1, 空白部分面积为S2,那么这两部分面积
之比是多少?(π取3.14)








11. 如图,边长为3的两个正方形BDKE 。正方形DCFK并
排放置,以BC为边向内侧作等边三角形,分别以B、C为
圆心,BK、C K为半径画弧.求阴影部分面积.(π取3.14)










五、立体几何



例1:一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半。将
这个长方体切 成12个小长方体,这些小长方体的表面之和
为600平方分米,求这个大长方体的体积。








例2:有n个同样大小的 正方体,将它们堆成一个长方体,这
个长方体的底面就是原正方体的底面。如果这个长方体的表
面积是3096平方厘米,当从这个长方体的顶部拿去一个正
方体后,新的长方体的表面积比原长方体的 表面积减少144
平方厘米,那么n为多少?









例3:有大、中、小三个正方形水池, 它们的内边长分别
是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的
水里, 两个水池 的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将
这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?






例4:⑴ 一只装 有水的长方体玻璃杯,底面积是80平方厘
米,高是15厘米,水深8厘米。现将一个底面积是16平< br>方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水
深多少厘米?






(2)一只装有水的长方体玻璃杯,底面积是80平方厘米,高
是15厘米, 水深10厘米。现将一个底面积是16平方厘米,
高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水深多少厘
米?





例5:如图,有一个棱长为10厘米的正方体铁块,现已在
每 两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行
于正方体的棱),且穿透。另有一长方体容器, 从内部量,
长、 宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米,内部有水,
水深3厘米。若将正 方体铁块平放入长方体容器中,则铁
块在水 下部分的体积为 立方厘米。







例6:如图若以长方形的一条宽AB为轴旋转一 周后,甲乙
两部分所成的立体图形的体积比是多少?










(二)高阶行程问题
(1)相向而行:相遇一次=合走一圈;
6、环形路问题:
(2)同向而行:追上一次=多走一圈;
7、发车间隔问题:相遇路程=追及问题=两车间隔路程;
间隔路程=车速×间隔时间;
8、接送问题:指人多车少,怎样时间最短的问题。
方法:(1)画图+份数;
(2)根据时间相同分段处理;
9、多次相遇与追及问题:
六、行程问题
1、相遇问题:路程=速度和×时间;
2、追及问题:相差路程=速度差×时间;
3、行船问题:顺水速度=静水船速+水流速度;
逆水速度=静水船速-水流速度;
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2;
静水船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;
设数法:题目中没有给出必要的数据,且此数据对最后结果
没有影响,则可设具体的数来计算;
水中相遇与追及,在求时间的时候,可不考虑水速。
4、过桥问题:路程=火车长度+桥的长度;
(隧道) 路程=火车速度×时间;
5、扶梯问题:(1)顺行速度=人速+电梯速度
(2)逆行速度=人速-电梯速度
(3)电梯级数=可见级数=路程

例1:在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶
梯。小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈 一级台阶,那么他
走过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那
么走过30级台阶 到达地面。从站台到地面有多少级台阶?




例2:商场的自 动扶梯以匀速由下往上行驶,桐桐由下往
上走,刚刚由上往下走,结果桐桐走了30级到达楼下,

刚走了60级到达楼下。如果 刚刚单位时间内走的扶
梯级数是桐桐的2倍,则当该扶梯静止时,可看到的扶
梯梯级有多少级?




例3:一列火车,从车头到达车尾算起,用8秒全部驶上一
座大桥,29秒后全部驶离大桥。已知大桥长522米,火车
全长是多少米?



例4:一列货车车头及车身共41节,每节车身及车头长都
是30米,节 与节间隔1米,这列货车以每小时60千米的速
度穿过山洞,恰好用了2分钟。这个山洞长多少米?


例1:从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两
人在一条街上沿 着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆
迎面开来的电车;乙每隔15分钟遇上迎面开来的一辆电车。
且甲的速度是乙的速度的3倍,那么电车总站每隔多少分
钟开出一辆电车?







例2:甲班与乙班学生同时从学校出 发去公园,两班的步行
速度相等都是4千米小时,学校有一辆汽车,它的速度是
每小时48千米 ,这辆汽车恰好 能坐一个班的学生。为了
使两班学生在最短时间内到达公园,两地相 距150千米,
那么各个班的步行距离是多少?







例3:希望小学有100名学生到离学校33千米的郊区参加采
摘活动,学校只有 一辆限乘25人的中型面包车。为了让全
体学生尽快地到达目的地。决 定采取步行与乘车相结合的办法。已知学生步行的速度是每小时5千米汽车行驶的速
度是每小时55千米。请你设计一个方案, 请问使全体学生
都能到达目的地的最短时间是多少小时?







例4:甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,两车第一次
在 距A地32千米相遇,相遇后继续行驶,各自达到B、A
两地后,立即沿原路返回,第二次在距A地64 千米处相遇,
则A、B两地间的距离是多少?







例5:A、B两地相距540千米.甲、乙两车往返行驶于A、B
两地之间,都是到 达一地之 后立即返回,乙车较甲车快.
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中
P地.那 么两车第三次相遇为止,乙车共走了多少千米?








例6:甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行,甲的速
度是每小时30千米, 乙的速度是每小时20千米,二人
相遇后继续行进,甲到B地、乙到A地 后立即返回.已知
二人第四次相遇的地点距第三次相遇的地点是20千米,
那么,A、B两地相距多少千米?








例7:甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,往返跑步。
甲每分钟跑1 80米,乙每分跑240米.如果他们的第100
次相遇点与第101次相遇点的距离是160米,求A 、B两
点间的距离为多少米?





例8:甲、乙、丙三辆车同时从A地出发往B地去,甲、乙
两车的速度分别位60千米时和48千米 时。有一辆迎面开
来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、
丙三辆车相遇。 求丙车的速度?






例9:A、B、C 三地依次分布在由西向东的一条道路上,甲、
乙、丙分别从A、B、C三地同时出发,甲、乙向东,丙向
西。乙、丙在距离B地18千米处相遇,甲、丙在B地相遇,
而当甲在C地追上乙时,丙已经走 过B地32千米。试问:
A、C间的路程是多少千米?






例10:甲、乙两人骑自行车同时从A地出发去B地,甲的
车速是乙的车 速的1.2倍,乙骑了4千米后,自行车出现
故障,耽误的时间可以骑全程的
1
6,排除故障后,乙提高
车速60%,结果甲、乙同时到达B地,那么A、B两地之间
的路程 是多少千米?




七、高阶应用题
(一) 百分数
1、意义:一个数(量)是另一个数(量)的百分之几。
百分数只表示二者的比例关系,没有实际意义,不能带
单位。
2、百分数和小数的互化:
①小数化百分数,小数点向右移两位,加百分号;
②百分数化小数,小数点向左移两位,去掉百分号;
3、百分数和分数的互化:
①百分数化分数:写成分母是100的分数,百分号前面
的数字就是分子,再化成最简分数;
②分数化成百分数:讲分子分母同时乘以一个数,使分
母变成100;或将分数化成小数,参照小数化百 分数。

4、百分数的简单题型分类:
①百分数和百分率;
②一个数使另一个数的百分之几;
③一个数比另一个数多(少)百分之几; < br>注意:出现“比谁”“是谁”,就把“谁”看做单位“1”或
者百分之百,“谁”就做除数或分母 。

课堂练习:
1、甲乙两数的比是3:4,甲数是乙数的()%;
2 、男生20人,女生30人,男生约占女生人数的()%,男
生占全班人数的()%,女生占男生的() %。
3、果园今年种了200棵果树,活了180棵, 这批果树的成
活率是()%。
4、把20克盐放入80克水中,盐水的含盐率是()。
5、一堆煤,用了40%,还剩这堆煤的()%。
6、比80米少20%的是()米,()米的20%是60米。
7、甲数是乙数的0.8,乙 数比甲数多()%,甲数比乙数少
()%,甲乙数的和比乙数多()%。
8、有两个数,甲数 是10,乙数比甲数少2,那么,甲数是
乙数的()%,乙数是甲数的()%。
9、最小的合数比最小的质数多()%。
10、一段路的60%比它的40%多5千米,这段路有()。
11、一台冰箱,原价2000元,降价后卖了1600元,降了百
分之几?

12、一台电视,原价1200元,降了300元,价格降了百分
之几?

13、某商品现价80元,比打折前便宜了20元,此商品打()
折优惠。


14、甲、乙两人每人都有10张纸,甲给乙多少张纸可以使
乙的纸张数比甲多50%?
(二)利润、利息问题
(一)利润问题基本概念:
成本:又叫进价,即商店商品的买价;
定价:商店给商品的标价;
利润:卖出价格与成本的差价;
售价:卖出的价格。
(二)利润问题基本数量关系:
1. 利润=出售价-成本价
2. 利润率=(出售价-成本价)÷成本价×100%
3. 期望利润=定价-成本价
4. 期望利润率=(定价-成本价)÷成本价×100%
5. 出售价=成本价×(1+利润率)
6. 定价=成本价×(1+利润率)
7. 折扣=买价÷卖价
(三)利息问题基本数量关系:
1. 利息=本金×时间×利率
2. 利率=利息÷(本金×时间)
3. 本金=利息÷(利率×时间)
8.税后利息=本金×时间×利率×(1-税率)
例1:电讯商店销售某种手机,去年 按定价的90%出售,可
获得20%的利润,由于今年的买入价降低了,按同样定价的
75%出 售,却可获得25%的利润,请问今年的买入价是去年
买入价的百分之几?



练习1:个体户小张,把某种商品按标价的九折出售,仍可
获利20%,若按货物的 进价为每件24元,求每件的标价是
多少元?


练习2:体育用品商店以 每个40元的价格购进一批小足球,
以每个50元的价格卖出。当卖掉这批足球的90%时,不仅
收回了成本,还获利800元。这批小足球一共多少个?



练习3: 某水果店到苹果的产地收购苹果,收购价每千克
1.20元。从产地到该商店的路程是400千米,运费 为每吨
货物每运1千米收1.5元。如果在运输和消费过程中的损耗
是10%,商店要想实现2 5%的利润率,那么这批苹果的零售
价是每千克多少元



练习4:李先生将一笔钱存入银行,定期3个月,年利率
3.25%,到期利息是357.5元,李先 生存入银行的一笔钱是
多少元?本利和是多少元?



(三)浓度问题:
1、基本量: 溶质;溶剂;溶液=溶质+溶剂;浓度;
2、基本公式:
①浓度=溶质÷溶液×100%=溶质÷(溶质+溶剂)×100%;
②溶质=溶液×浓度=(溶质+溶剂)×浓度;
③溶液=溶质÷浓度;
3、溶液混合情况分析:
①一种液体加入水,前后溶液量变化,浓度变化,溶质
不变;
②两种浓度不同液体混合,浓度变化,溶液=两液体溶液
和,溶质=两液体溶质和。
4、重要工具:十字交叉法





推导过程:a x%+b y% = z% (a+b):
5、溶液加入相同水量,浓度变化公式:
每次加入的水量原浓度-新浓度
原水量

新浓度

新溶液量
原溶液量

原浓度
新浓度
例1:加入相同水量稀释问题:例1:现有 250克浓度为20%
的糖水,我们加入70克糖,这时,糖水的浓 度变为多少?
然后再加入160克水,浓度变为多少? 最后又加入浓度为
15%的糖水120克,浓度变为多少



练习1:现有浓度为20%的糖水200克,加入浓度为30%
的糖水50克,浓度变为多少?
(2)现将浓度为10%的盐水10千克与浓度为30%的盐水
3千克混合, 得到的盐水浓度是多少?






练习2:(1)将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的
稀 酒精,需加入水多少克?
(2)浓度为20%的糖水40克,要把它变成浓度为40%
的糖水,需加多少克糖?





练习3:有浓度为20%的盐水300克,要配 制成27%的盐
水,需加入浓度为30%的盐水多少克?




练习4:小明用糖块和开水配制了1000克浓度为20%的糖
水,那么在配制过程中,用了多 少克水?如果用糖含量18
﹪和23﹪的糖水配制,各需多少克糖水?




例2:两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水,倒在
一起混合后盐水的浓 度变为30%,若再加入300克20%的盐
水,混合后浓度变为25%,那么原有40%的盐水多少克 ?



练习1:有一杯酒,食用酒精含量为45﹪,若添加16克水,< br>酒精含量就变为25﹪,这杯酒中原来有食用酒精多少克?





练习2:用浓度为45﹪和5﹪的糖水配制成浓度为30﹪的
糖水4000克,需取 45﹪的糖水多少克?





练习3:一杯盐水,第 一次加入一定量的水后,盐水的含盐
百分比变为15%;第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百
分比变为12%;第三次再加入同样多的水,盐水的含盐百分
比将变成百分之几?





练习4:酒精含量为30%的酒精溶液若干,加了一定量的 水
后稀释成酒精含量为24%的溶液,如果再加入同样多的水,
那么液体的酒精含量将变为多少 ?



(四)工程问题:
1、三个基本量:工作总量(工总)、工作时间(工时)、工
作效率(工效);
2、基本公式:工总=工效×工时;
工效=工总÷工时;
工时=工总÷工效;
3、设工作总量的方法:
①通常将工作总量设为单位“1”;
②讲完成时间的最小公倍数设为工作总量;
4、多人合作,区分合作方式:
①合作:总工效=多人工效相加
合作工总=合作工效×合作工时;
合作工效=合作工总÷合作工时;
合作工时=合作工总÷合作工效;
②轮流做:总工总=各人工总之和
总工总=工效1×工时1+工效2×工时2......
5、进水、出水问题:
总工效=进水工效之和-出水工效之和;

例1:一份稿件,甲需要6天才能完成打 印,乙需要10天
才能完成打印,那么两人合作打3天共完成这份稿件的几分
之几?





练习1:一项工程,扬扬单独做要12天完成,贝贝单独做
要24天完成,晶晶单独做36天完成。如果先让扬扬单独
做6天,再让贝贝单独做6天,剩余 的工程由晶晶完成,
那么晶晶工作几天能完成?







练习2:植树节那天,学校计划要把一批树苗全部种上,如
果由甲班单独 种,需要6小时完成;如果由甲、乙两班合种,
需要4小时完成。那么如果由乙班单独种需要多少小时完
成?






练习3:一项 工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙
两人合作9天可以完成,甲、丙两人合作18天可以完成,
那么丙一人来做几天可以完成这项工作?




练习4 :工程队的8个人用30天完成了某项工程的
2
减少了2个人完成其余的工程,那么完成这项工 程共用了多
3
,接着
少天?




例2:一个水池有甲和乙两个排水管,一个进水管丙,若同
时开放甲、丙两管,20小时可将满池水排空 ,若同时开放
乙、丙两管,30小时可将满池水排空;若单独开丙管,60
小时可将空池住满, 若同时开放甲,乙,丙三水管,要将满
池水排空,需要几小时?






练习1:一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同
的 出水管,如果同时打开进水管和一个出水管,则30分钟
能把水池的水排完;如果同时打开进水管和两个 出水管,则
10分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时打开三个出
水管,需要多少分钟才 能排完水池的水?







练习 2:有一个蓄水池装有9根水管,其中一根为进水管,
其余8根为相同的出水管,进水管以均匀的速度不 停的向这
个蓄水池注水,后来有人想打开出水管,使池内的水全部排
光(这时池内已注入了一些 水)。如果把8根出水管全部打
开,需3小时把池内的水全部排出;如果仅打开5根出水管,
需 6小时把池内的水全部排出。要想在4.5小时内把池内的
水全部排光。需要同时打开多少根出水管?




(五)比例
(1) 比例性质
前项和后项都乘以或除以相同的数(0除外)比值不变 ;

例2:甲乙两人分别在 A、B两地同时相向而行,甲乙速度
之比为3:2,经过若干时间后,在C点相遇,C点距中点300< br>米,求A、B两地相距多少米?
两个外项的积等于两个内项的积;
(2) 求比值和化简比的区别和联系意义方法结果
1.求比值:前项除以后项所得的商;
2.化简比:把两个数的比化成最简单的整数比;
(3) 正比例和反比例的区别和联系
正比例:
y
x
K(常数)

反比例:
xyK(常数)

(4) 应用题
1、日常生活中的数量比例分配:
找到总数量对应的总份数,相应量在总份数中的占比;
2、行程中的速度比例:
按照速度比例,相同时间内,所走路程也按相应比例分
配,也转化为数量比例分配问题。
3、正、反比例应用题的解题策略
判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比
例关系然后设未知数,列比例式;


例1:甲、乙两校原有的图书本数的比是7:5,如果甲校给
乙校650本,甲、乙 两校图书本数的比就是3:4.原来甲校有
图书多少本?




练习1-1:六年级一班的男、女生比例为3:2,又来了4名
女生后,全班共有44人,求现 在的男、女生人数之比。




练习1-2:师徒二人共加工零 件400个,师傅加工一个零件
用9分钟,徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时,师
傅比 徒弟多加工多少个零件?





练习1-3:甲、乙 两人的钱数之比是3:1,如果甲给乙0.6元,
则两人的钱数之比变为2:1,两人共有多少钱?







练习2-1:一条路全长 60千米,分成上坡、平路、下坡三
段,各段路程的长度之比是1:2:3,某人走各段路程所用的时间之比是3:4:5.已知他走平路的速度是5千米时,他走完
全程用多少时间?




练习2-2:一项任务师徒合作2天完成全部任务的
3
5
,接着
师傅因故停工2天,后继续与徒弟合作,已知师徒工作效率
之比是2:1, 问完成这一任务前后一共用了多少天?





例3:两张纸条,原来的长度比为37:28, 都撕去14厘米后,
长的比短的还长
6
7
,则短纸条还有多长?





练:3-1:
学校组织体检, 收费如下: 老师3元,女生2元,
男生1元, 已知老师和女生的人数比为2∶9, 女生和男生
的人数比为3∶7, 共收的体检费945元,
那么, 老师、女
生和男生分别有多少人?






练习3-2:在一个盛有部分水的长方体容器中, 插有两根
木棒, 木棒露在外面的长度比是 3:7,当水面的高度升高
10厘米后,木棒露在外面长度比变
成2∶5. 当木棒露在外
面长度比变成1∶3时,还需要升高多少厘米的水?




(六)牛吃草问题的等量关系公式
牛吃草总数- 草生长的总数=原来草场有草的数量
牛吃草总数=牛的数量×时间
解题思想:
一般设1头牛1个单位时间吃1个单位的草;
牛数量1×时间1—牛数量2×时间2=时间差×每天长草量
(七)鸡兔同笼的等量关系公式 鸡数+兔数=头总数
鸡脚数只×鸡数+兔脚数只×兔数=脚总数
解题思想:
(1)假设全是鸡,假设的脚数比实际脚数少,则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=兔数;
(2)假设全是兔子,假设的脚数比实际脚数多,则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=鸡数;


例4:某俱乐部男、女会员人数之比为3∶2, 所有会员分
为甲乙丙三组. 已
知甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶
7, 甲组中男、女人数比3∶1, 乙组中男、女比5∶3. 求
丙组中男、女会员人数之比.






例5:某区参加数学竞赛的男女生人数比是4∶3,结果有91
人获奖, 获奖中
男女生人数比是8∶5, 没有获奖的男女生
人数比是3∶4. 这区参加数学竞赛的共有多少人?




例6:配制盐酸含量为 20﹪的盐酸溶液1000克,需要用盐
酸含量为18﹪和23﹪的盐酸溶液各多少克?







例7:
有含糖6﹪的糖水9 00克,要使其含量加大到10﹪,
需加糖多少克?






例8:
小明用糖块和开水配制了200克浓度为35%的糖水,
那么 在配制过程中,用了多少克水?






例1 2:工程队的8个人用30天完成了某项工程的23,接着
减少了2个人完成其余的工程,那么完成这项 工程共用了多
少天?




例14:一个装满了水的水 池有一个进水管和三个口径相同的
出水管,如果同时打开进水管和一个出水管,则30分钟能
把 水池的水排完;如果同时打开进水管和两个出水管,则10
分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时 打开三个出水
管,需要多少分钟才能排完水池的水?






例15:某工厂的一个生产小组,生产一批零件,当每个工人
在自己原岗 位工作时,9小时可完成这项生产任务,如果交
换工人A和B的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可 提
前1小时完成这项生产任务;如果交换工人C和D的工作岗
位,其他工人生产效率不变时,也 可以提前1小时完成这项
生产任务;如果同时交换A和B,C和D的工作岗位,其他
工人生产效 率不变,可提前多少分钟完成这项生产任务?






例16:小明买了一辆二手山地车,支付了山地车原价的90%,
没过几天,他的朋友看中了这 辆山地车,并表示愿意支付高
出原价25%的价格买下,小明答应了,只经过简单一转手,
这辆 山地车就让小明赚了

105元。那么小明这辆山地车的
原价是多少元?





例17:一种游戏手掌机若按原价卖出,利润率是30%, 如果
进价降低10%,并以50%的利润率卖出,那么每天游戏手掌
机就将多得300元的利润 ,这种游戏手掌机原价是多少元?



一、计算~(一)分数裂项-知识点:
1、裂差公式:
11
n(n1)

n

1
n1


111
n(nk)

k(
n

1
nk
)


1111
n(n1)(n2)

2
(
n(n1)< br>
(n1)(n2)
)

2、裂和公式:
ab11
ab

b

a

二、例题:
例1:
1
1011

11
111 2



99100








例2:
1111
36

69< br>
912


9699









例3:
11
123

234

1
345



1
9899100









例4:
1
1
2
2
1
63
111
12
4
20
10
110









例5: 1
1
12

111
123

12 34

12399100




例6:
3
1
2
2
2

52
2
3
2

7
3
2
4
2



15
7
2
8
2








2222
例7:
123
13

35

57


50
99101









例:8:“!”表示一种运算符号,它的含义是2!=2×1;
3!=3×2×1;

,计算
2
3!
< br>3499
4!

5!

100!








例9:
36579
5

7

6

12

20
11
30

13
42









练习:
1、
1
1
2

1
4

1
8

1
16

11
1024

2048< br>



2、
3
4

536

79111315
144

400

9 00

1764

3136





3、
(
1111
11

21
31

41
)(
1
21

1
31< br>
11
41

51
)


 (
1
11

1
21

111111
31< br>
41

51
)(
21

31

41
)








4、
1
30

1
42

1
56< br>
1
72

111
90

110

132









555
5、
14

84

204< br>
5
374

5
594

5
864









6 、
2
345

22222
456

56 7

678

789

8910








7、比较分数大小: < br>(1)分数
5
7

15
17

4
9

40103
124

309
中,哪一个最大?





(2)从小到大排列下列分数,排在第三个的是哪一个?

755
15

12

6

9
10

11
18

17
30

22
45






(3)若A=
1
2013
2
20141
,B
1
2013< br>2
201420132014
2
,比
较A与B的大小。








(4)比较< br>2013
2
2012
2012
2013
与2014
2009
2012
2011
2013











一、计算~(二)常用计算公式知识点:

1、等差数列:
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+(项数+1)×公差
求和=(首项+末项)×项数÷2
当等差数列为奇数项时,可以用中间项定理:
和=中间项×末项
(1)
135(2n1)n
2

(2)
123n321n
2

2、平方和公式:

1
2
2
2
3
2< br>n
2

1
6
n(n1)(2n1)

3、立方和公式:

1
3
2
3
 n
3
(12n)
2

1
n
2
(n 1)
2
4

4、平方公式
(1)平方差公式
a
2
b
2
(ab)(ab)

(2)完全平方和(差)公式

(ab)
2
a
2
2abb
2

二、习题:
1、
100
2
99
2
982
97
2
2
2
1
2








、 × ×







、
10
2
11
2
12
2200
2







、
1
2
2
2
4
2
5
2
13
2
14
2
16
2






1
3
2
3
3
3



2016
3

123

2016






、
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3






、
(2
2
4
2
< br>
100
2
)(1
2
3
2


99
2
)
123

891098< br>
321






< br>、
199297395501



< br>



、
1
1111111
2
3
4
5
8
7
16
9
32
11< br>64
13
128





< br>


一、计算~(三)小数和分数的互化

1、纯循环化成分数:循环节有几位小数,则分母有几个9,
分子就是循环节。
2、 混循环小数化分数:分母9的个数=循环节小数位数,
分母0的个数=非循环节小数位数,分子=分数部 分-非循环
部分小数。
3、神秘组织:142857是分母是7的分数的循环节数字,分子是1的,第一位是最小的,按此规律排列。
一、计算~(四)
进制问题

1、常见进制:二进制、十进制、十二进制、十六进制、二
十四进制、六十进 制.
2、二进制:只使用数字0、1,在计数与计算时必须是“满
二进一”,
例如,(9)
10
=(1001)
2

3. 十进制转
n
进制: 短除、取余、倒写. 例如:
(1234)
10
= (1200201)
3
4.n进制转十进制:写指、相乘、求和。例如:
3210
(1011)
2
=1×2+0×2+1×2+1×2=(11)
10


例:
0.01

+0.12

+0.23

+0.34

+0.78

+0.89








例2:
(80.80.8)
71113







例:将循环小数

要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一
0.027


0.1

79672

相乘,取近似值,
位小数是多少?




< br>



例:
冬冬将
0.32

1

乘以一个数时,看丢了一个循环点,

使得乘积比结果减少了
0.03
,正确结果应该是多少?








5.关于进位制
⑴ 本质:
n
进制就是逢
n
进一;

n
进制下的数字最大为(n-1),超过9用大写字母代替。
⑵把十进制数
例1:
⑴将(2009)
10
写成二进制数


2008转化为十六进制数;






例2:
⑴ (463)
把下列各数转化成十进制数:
(5FC)

8
;⑵ (2BA)
12
;⑶
16
.





例3:① (101)
2
(1011)
2
 (11011)
2
 ( )
2




(
(
11000111
3021)

2
605

 (10101)
)
2
 (11)
2
 ( )
2


(63121
4
)

 (
7
 ( )
10

8
 (1247)
8
 (16034 )
8
 (26531)
8
 (1744 )
8

( )
8









同的数字,如果
4:
用a

b

c
连续正整数,
(

ade
d

)
e
, (
分别代表五进制中五个互不相
adc
示是多少?
那么
(cde)
) , (aab)
是由小到大排列的
5
所表
示的整数写成十进制的表








二、计数原理~(一)容斥原理:

专题简析:
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,

例2:在网校 50名老师中,喜欢看电影的有 15 人,不喜欢
唱歌的有 25人,既喜欢看电影也喜欢唱歌的有 5人。那么
只喜欢唱歌的有多少人?
也叫容斥原理。 即当两个计数部分有重复包含时,为了不重
复计数,应从它们的和中排除重复部分。
1、(两张饼)原理一: 大饼=A+B-AB
2、(三张饼)原理二: 大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC

口诀 :奇层加,偶层减。
3、原则:①消重;②不消不重;
4、考点:①直接考公式;
②直接考图形;
③锅内饼外=全部-大饼上的数量;
④三叶草=AB+AC+BC-ABC
5、解题方法:①文氏图法;
②方程法;
③反推法;
例1:一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作
业?请举手!”有37人举手。又问:“谁 做完数学作业?请
举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有
做完?”没有人 举手。求这个班语文、数学作业都完成的人
数。




练习1:网校老师共 50 人报名参加了羽毛球或乒乓球的训
练,其中参加羽毛球训练 的有 30 人,参加乒乓球训练的有
35 人,请问:两个项目都参加的有多少人?




练习2:网校老师 60 人组织春游。报名去香山的有 37 人,
报名去鸟巢的有 42 人,两个地点都没有报名的有 8 人,那
么只报名其中一个地点的有多少人?







练习1:学校组织体育比赛,分成轮滑、游泳和羽毛球三个
组进行,参加轮滑比 赛的有20人,参加游泳比赛的有25
人,参加羽毛球比赛的有30人,同时 参加了轮滑和游泳
比赛的有8人,同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人, 同
时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人,三种比赛都参加的有
4 人,问参加 体育比赛的共有多少人?





练习2:五年级一班 有46名学生参加数学、语文、文艺
三项课外小组。其中有24人参加了数学小组,20人参加
了语文小组,既参加数学小组又参加 语文小组的有10人.
参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参 加文艺小组
人数的3.5倍,还是三项小组都参加的人数的7倍,既参
加文艺小组 也参加语文小组的人数等于三项小组都参加
的人数的2倍,求参加文艺小组的人数?








例3:网校老师共有90 人,其中有32人参加了专业培训,
有20人参加了技能培训,40人参加了文化培训,13人既
参加了专业又参加了文化培训,8人既 参加了技能又参加
了专业培训,10人既参加了技能又参加了文化培训,而 三
个培训都未参加的有25人,那么三个培训都参加的有多少
人?(锅内饼外)


练习1:在1至100的自然数中,既不能被2整除,又不能
被3整除,还不能被5
整除的数有多少个?





二、计数原理~(二)加乘原理:
1、加法原理:
做一件事,完成 它可以有n类办法,在第一类办法中有
m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方
法 ,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成
这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种 不同方法。每一种方法都
能够直接达成目标。
2、乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个 步骤,做第
一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方
法,……,做第n步有mn种 不同的方法,那么完成这件事
共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
3、区分 两原理:要做一件事,完成它若是有n类办法,是
分类问题,每一类中的方法都是独立的,因此使用加法 原理;
做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将
分成的若干个互相联系的步骤 ,依次相继完成,这件事才算
完成,因此用乘法原理。
例1:用数字0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的
自然数?





例2:由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数
中,百位不是2的 奇数有多少个?





例3:
一个七位数, 其数码只能为
1

3
,且无两个
3
是邻
的。问这样 的七位
数共有多少个?





例4:在< br>1

10

10
个自然数中,每次取出三个不同的数,
使它们的和是
3

倍数有多少种不同的取法?






三、加乘原理——标数法、递推法
①标数法与递推法都是加法原理
②按最后一步进行分类,做加法
③标数时要注意限制条件
④分平面问题要确定交点个数

例1:如图, 为一幅街道图,从
A
出发经过十字路口
B
,但
不经过
C走到
D
的不同的最短路线有多少条?









例2:在下图中,左下角有1枚棋子,每次可以向上,向
右,或沿对角 线的方向向右上走任意多步,但不能不走。
那么走到右上角一共有多少种方法?







例3:一个楼梯共有12级台阶,规定每步可以迈1级台阶
或2级台阶,最 多可以迈3级台阶,从地面到最上面1级
台阶,一共可以有多少种 不同的走法?









例4:一个长方形把平面分成两部分,那么10个长方形最
多把平面分成几部分?






二、计数原理~(三)概率

1、随机事件:在一次试验中,可能出现也可能不出现,但
是具有规律性的事件。
2 、概率:随机事件可能发生的可能性的度量,一般用P来
表示,特例:必然事件:P=1;不可能事件: P=0;
3、独立事件:事件1是否发生对事件2发生的概率无影响;
4、互斥事件:不可能同时发生的两件事件;
5、对立事件:两个互斥事件必有一个发生;
6、概率的计算:
P(A)
m
n

n表示试验中发生所有情况的
总数,m表示事件A发生的次数。

7、概率具有可乘性。计算概率的基础:计数、枚举、加乘
原理、排列组合。
例1:一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色,每
种花色各拿出2 张,现在从这8张牌中任意取出2张。请
问:这2张扑克牌花色相同 的概率是多少?





例2:编号分别为1~10的10个小球,放在一个袋中,从
中随机地取出两 个小球,这两个小球的编号不相邻的可能
性是多少?





例3:
A

B

C

D

E

F
六人抽签推选代表,公证人一共
制作了六枚外 表一模一样的签,其中只有一枚刻着“中”,
六人按照字母顺序先 后抽取签,抽完不放回,谁抽到“中”
字,即被推选为代表,这六人被抽中的概率分别为多少?






例4:一枚硬币连续抛掷3次,至少有一次正面向上的概率
是多少?






二、计数原理~(四)排列组合

1、排 列:从n个不同元素中选出m个,按照一定的顺序排
列,记为:
A
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)
可以理解为从n开始乘,一共乘m个。
特殊要求,优先满足:
(1)捆绑法:必须在一起;
(2)优先满足法:特殊位置或特殊元素;
(3)插空法:不能相邻,必须隔开;先排没有要求的,再
在空里插必须要分开的元素。
(4)排除法:正难则反;
2、组合:从n个不同元素中选出m个,不需要按顺序排列, < br>记为:C
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)n!
可以写成:C
m
n
=A
mm
n
A
m

重要性质:
C
mm-nn
n
=C
n
; C
n
=1;
方法:(1)排除法:有至少、至多等情况下用;
(2)隔板法:相同物品放在不同位置或不同的人,
要求至少一个,可以用隔板法。
例1:计算

A
6
3
=
4A
5
4
=
A
7
4
A
1
9
=

4A8
3
A
1
9
A
6
5
=

C
6
2
=
C
6
4
=
C
1
8
=
C
8
7
=

C
100
2
2C
100
99
= < br>C
100
2
C
6
4
C
100
98
C
5
4
=

例2:6 个人走进有 10 辆不同颜色碰碰车的游乐场,每辆碰
碰车只能坐一个人, 那么共有多少种不同的坐法?







例3:书架上有 3 本不同的故事书,2 本不同的作文选和 1 本
漫画书,全部竖起来 排成一排。
⑴如果同类的书可以分开,一共有多种排法?

⑵如果同类的书不可以分开,一共有多少种排法?







例4:一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各
一盏,按照下列条件把灯串成一串,有多少种不同的串法?
⑴把 7 盏灯都串起来,其中紫灯不排在第一位,也不排在
第七位。
⑵串起其中 4 盏灯,紫灯不排在第一位,也不排在第四位







例5:
八个同学照相,分别求出在下列条件下各有多少种站
法?
⑴ 八个人站成一排;

⑵八个人排成一排,某两人必须有一人站在排头;

⑶八个人排成一排,某两人必须站在两头;

⑷八个人排成一排,某两人不能站在两头。








例6:大海老师把 10 张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳,
并且决定给佳佳 8 张, 给阳阳 2 张。一共有多少种不同的
分法






例7:一个小组共 10 名学生,其中 5 女生,5 男生。现从中
选出 3 名代表, 其中至少有一名女生的选法?






例8:
一个电视台播放一部 12 集的电视剧,要分 5 天播完,
每天至少播一
集,有多少种不同的方法?





















































三、数论
(一)奇偶性
奇数

奇数=偶数;偶数

偶数=偶数;奇数

偶数=奇数;
奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数;
奇数个奇数相加减,结果是奇数 ;偶数个奇数相加减,结果
是偶数;偶数无论多少相加减,结果都是偶数。
奇数不可能被偶数整除;
任意个数相乘,只要有一个因数是偶数,则积一定是偶数。
写作[A,B]。则A×B=最大公因数×最小公倍数
(六)余数
(一)带余除法 被除数÷除数=商......余数,表示成:

d0,A被B整除
ABC

d

余数要小于除数,如果大于
d0,d为余数

除数,则再除以除数取余。
计算公式:(1)被除数=商×除数+余数
(2)被除数- 余数=商×除数
(二)质数合数:
1、质数明星:2和5;
2、100以内质数:25个;
3、除了2和5以外,其余的质数个位只能是1,3,7,9;
4、最小的四位质数:1009;
5、判断较大数P是否为质数的方法:
(1)找一个比P大接近于P平方数K
2

(2)列出所有不大于K的质数去除P;
(三)因数定理:
1、因数个数定理:
(1)分解质因数,写成标准式;
(2)将每个不同的质因数的指数+1,然后连乘,得出个数;
2、因数和定理:
(1)分解质因数,写成标准式;
(2)将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂,求
和,然后再将这些得到的和相乘;
3、因数积定理:
把因数从小到大配对相乘,奇数个因数时,最中间的因数直
接相乘。

(四)整除
(一)末位系:2、5、8,5、25、125的特征
1、末位是偶数,能被2整除;末位是0、5,能被5整除;
2、末2位能被4或者25整除,这个数就能被整除;
3、末3位能被8或者125整除,这个数就能被整除;
(二)求和系:3、9、99的特征
1、数字和能被3或者9整除,这个数就能被3或者9整除;
2、把多位数,从个位开始,2位一段,各段数的和能被99
整除,这个数就能被99整除。
(三)求差系:7、11、13特征
1、(适用于数字位数在三位以上)一个多位数的末三位 数
与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7或11或
13整除,这个多位数就一定能相 应被7或11或13整除.
2、一个多位数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上
的数字 分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数
(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整 除.
(四)拆分系:将数分解质因数,看除数是否在因数的组合中。

(五)最大公因数,最小公倍数
假设数A和数B的最大公因数,写作(A,B);最小公倍数
(3)(被除数-余数)÷商=除数
(二)余数三宝(余数定理):三大性质
余的和等于和的余;余的差等于差的余;余的积等于积的余。
(三)余数两招:加同和,减同差
同一个数分别除以两个数a和p,所得的余数分别为b和q ,
如果a+b=p+q,则加同和,这个数为ap+(a+b);如果a-b=p-q,
则为减 同差,这个数为ap-(a-b)。
(四)弃九法
abcd1000a100b10 cd999a99b9c(abcd)

所以这个数能否被9整除只取决于数 字和是否能被9整除,
能被9整除的部分不用看,弃掉,所以称为弃9法。

(七)完全平方数
性质1: 完全平方数的末位数字只能是0,1,4,5,6,9.
性质2: 完全平方数除以5只能余0、1、4.
完全平方数除以3只能余0、1.
完全平方数除以4只能余0、1.
性质3:
⑴ 偶指性—分解质因数后每个质因数的指数都是偶数;
⑵完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然. 特别地,
因数个数为3的自然数是质数的平方;

1、用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个
数是多少?




2、从0~9这十个数字中,选出九个数字,组成一个两位数、
一个三位数和 一个四位数,使这三个数的和等于2010,
那么其中未被选中的数字是谁?(弃九法)



3、一个四位数是这个数的数字和的83倍,求这个四位数



4、⑴ 2
20
除以7的余数是多少?
⑵ 14
14
除以11的余数是多少?




5、算式1×4×7×10×……×2011的计算结果除以9的
余数是多少?




6、⑴ 有一个大于1的整数,用它除300、262、205得到
相同的余数,求这
个数.
⑵ 用61和90分别除以某一个数,除完后发现两次除法都
除不尽,而且前一次所得的余数是 后一次的2倍. 如果这
个数大于1,那么这个数是多少?






7、一个数与270的积是完全平方数,那么这个数最小是 .





8、三个数p,p+1,p+3都是质数,它们的倒数和的倒数是
多少?




9、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9组成若干个质数,要求每个数字 恰
好使用一次,请问,这些质数和的最小值是多少?





10、已知两个自然数的的差为4,它们的最大公因数和最小
公倍数的积为252, 求这两个自然数。





11、已知三个合数A、B 、C两两互质,且A×B×C=1001×28×11,
那么A+B+C的最小值是多少?




12、已知a、b、c、d、e这5个质数互不相同,并且符合
下面算式:(a+b)(c+d)e=2890,那么,这5个数中最大的
数至多是谁?




13、2001个连续自然数的和为a×b×c×d,期中a、b、c 、d
均为质数,则a+b+c+d的最小值为多少?





14、有一列数,第1个数是1,从第2个起,每个数比它前
面相邻的加3,最后一 个数是100,将这列数相乘,则在计
算结果的末尾中有多少个连续的“0”?





游戏对策问题:
1、
桌子上放着55根火柴, 甲、乙二人轮流每次取走1~3
根, 规定谁取走最
后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最
佳方法, 甲先取, 那么谁将获胜?





2、有100枚硬币, 甲乙两人轮流取, 每次取1~8枚, 规
定取到最后一枚的人获
胜. 请问: 甲先取, 谁有必胜策
略?





3、
有10箱钢珠, 每个钢珠重10克, 每箱600个. 如果
这10箱钢珠中有1箱次品,
次品钢珠每个重9克, 那么,
要找出这箱次品最少要称几次?






四、平面几何
(一)三角形
三角形的边:
①三角形任意两边之和大于第三边.
②三角形任意两边之差小于第三边.
按边分类:等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
(四)相似模型
边和角的关系在同一个三角形中,等边对等角

例1:如图:∠A+∠B+∠C+∠D
+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=



例2:如图,八边形的8个内角都
是135°,已知AB=EF,BC=20,
DE
=10,FG=30,则AH= 。


二、等
积变形








(二)共角模型(鸟头模型)

(三)燕尾模型




(五)蝴蝶模型
1、任意四边形蝴蝶模型

















2

、梯形蝴蝶模型








任意四边形:①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4


AO:OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3


梯形: ①
S
2
1
:S
3
a:b
2


S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab

③梯形
S
的对应份数为

ab

2

(六)勾股定理
直角三角形中,两个直角边的平方和等于斜边的平方。
如右图:a 、b分别代表直角三角形ABC的两条直角边的长
度,C为斜边的长度,则:
a
2b
2
c
2

例1:如图,BD长12厘米,DC长4厘米, B、C和D在同
一条直线上。①求三角形ABC的面积是
三角形ADC面积的多少倍?
②求三角
形ABD的面积是三角形ADC面积的多少
倍?


例2:如图,三角形ABC的面积是40,D、E和F分别是AC、
BC和AD
的中点。求 :三角形DEF的面积。





例3:如图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积
相等的三角形共有哪几对?




例4:如图,在三角形ABC中,BC=8厘米,高是6厘米,EF分
别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方
厘米?




例5:如图所示,在平行四ABCD中,E为AB的中点,AF=2CF,
三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四
边形ABCD的面积是多少平方厘米?






例6:如图,在平行四边形ABCD 中,EF平行AC,连结BE、
AE、CF、BF那么与△ABC等积的三角形一共有哪几个三角
形?




例7:如图,ABCD为平行四边形,EF平行A C,如果△ADE的面
积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。






例8:在梯形ABCD中,OE平行于AD。如果三角形AOB的面
积是7平方 厘米,则三角形DEC的面积是 平方厘米





例9:正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为
20厘米,则图中阴影面积为多少平 方厘米?





例10:如图,有三个正方形的顶点 D、G、K恰好在同一条
直线上,其中正
方形GFEB的边长为16厘米,求阴影部分
的面积?




例11:如图,三角形ABC被分成了甲、乙两 部分,BD=CD=4,
BE=3,AE=6
,乙部分面积是甲部分面积的几倍?






例12:如图,三角形ABC的面积为1,其中 AE=3AB,BD=2BC,
三角形BDE
的面积是多少?






例13:如图,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使
BD=AB;延长BC至E,使CE=BC;延长CA至F,使AF=2AC,
求三角形DEF的面积 。





练习1:已知△DEF的面积为7 平方厘米,BE=CE,AD=2BD,
CF=3AF,求△ABC的面积。






练习2:如图,在∠MON的两边上分别有A、C、E及B 、D、
F六个点,并且△OAB
、△ABC 、△BCD、△CDE、△DEF 的
面积都等于1,则△DCF
的面积等于多少?







练习3:等腰△ABC中,AB=AC=12cm,B D、DE、EF、FG把它
的面积5等分,求AF、HD、DC、AG、
GE、EB的长?



练习4:E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点,且DQ、
CP、ME彼此平行, 若AD=5,BC=7,AE=5, EB=3。求阴影
部分的面积。




练习5
:如图,在△ABC中,延长AB至
D,使BD=AB,延长BC至 E,使BC=2CE,
F是AC的中点,若△ABC的面积是2,则△DEF的面积是多
少?




练习6:如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其
中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米,那么余下的四
边形OFBC的面积为多少?




练习7:如图,边长为1的正方形ABCD中,BE=2EC,CF=FD,
求△AEG 的面积。




练习8:如图所示,长方形
ABCD< br>内的阴影部分的面积之和
为70,
AB8

AD15
,四 边形
EFGO
的面积为多少?





勾股定理
例题1:求下面各三角形中未知边的长度。
例题2:根据图中所给的条件,求
梯形ABCD的面积。



例题3:如图,请根据所给的条件,计算出大梯形的面积(单
位:厘米)



例题4:一个直角三角形的斜边长8厘米,两个直角边的
长度差为2厘 米,求这个三角形的面积?






练习1 :如图,在四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,
CD=40,∠
ADB
+∠
DBC
=90°。请问:四边形ABCD的面积是
多少?




练习2:从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形
条后,剩下的那块长方形 的面积为336平方分米,原来正
方形的面积是多少平方分
米?







巧求面积
1、边长分别为6、8、10厘米的正
方形放在一起,求四边形ABCD的面
积。

2、一块长方形的地,长是80米,宽是45米,如果宽增加
5米,要使原来的面积 保持不变,长要变成多少米?
3、一个长方形宽减少2米,或长减少3米,面积均减少24
米,求原长方形面积?

4、如图,一块长方形纸片,长7厘米,宽5厘米,把它的
右上角往下折叠,再把左小角向上折
叠,未盖住的阴影部分的面积是多少平
方厘米?


5、如图,7 个完全相同的长方形组成了
图中的阴影部分,图中空白部分的面积
是多少?

6、一个长方形,如果长减少5厘米,宽减少2厘米,那么
面积就减少66平方厘米,这是剩下的部< br>分正好是一个正方形,求原来长方形的
面积?


7、有一大一下两 个正方形试验田,它们的周长相差40米,
面积相差220平方米,那么小正方形试验田的面积是多少平
方米?


8、图中大正方形的面积为9,中间小正方形
的面积为 1,甲乙丙丁是四个梯形,那么乙
与丁的面积之和是多少?

9、下图中甲的面积比
乙的面积大多少?
10、如图,ABCD是长为7,宽为4
的长方形,DEFG是长 为10,宽为
2的长方形,求△BCO与△EFO的
面积差。


11、如图,E、F、G都是正方形ABCD三条边的中点,△OEG
比△ODF大10平方厘米,那么 梯形OGCF
的面积是多少平方厘米?



12、如图,在直角 梯形ABCD中,三角形ABE
和三角形CDE都是直角等腰三角形,且BC=20
厘米,那么 直角梯形ABCD的面积是多少?


13、如图正方形ABCD被两条平行的直< br>线截成三个面积相等的部分,其中上
下两部分都是等腰直角三角形,已知
两条截线的长度 都是6厘米,那么正
方形的面积是多少?


14、正方形ABCD面积为12平方厘米,
矩形DEFG的长DG=16厘米,求它的宽?


对角模型
:任意一个矩形被分割成四
个长方形,用a、b、c、 d表示这四块面
积,则有a×d=c×b
15、在矩形ABCD中,连接对角线BD,过BD 线上任意一点P,
作EF平行AB,GH平行BC,S△BPF=3,S△PHD=12,求矩形
ABCD的面积



例1:如图,是一个由2个半圆、2个
扇形、2个正方形组成的“心型”。已
知 半圆的直径为10,那么,“心型”
的面积是多少?(圆周率取3.14)

例2:图中四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点,如果
每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分< br>的总面积是多少?(圆周率取3.14)


例3:图中阴影部分的面积。(圆周率取3.14)




例4:如图, ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1,求阴影部分
的面积。(圆周率取3.14)



例5:求图中阴影部分的面积。(圆周率取3)




例6:在图中,两个四分之一的圆弧半径是2和4,求两
个阴影部分的面积之差。( 圆周率取3)




例7:如图,两个正方形摆放在一起,其中 大正方形边长为
12,那么阴影部分面积是多少?(圆
周率取3.14)



例8:如图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE
半径AE =6
厘米,扇形CBF的半径CB=4
厘米,求阴影部分的面积。
(圆周率取3)



例9:如图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20,
阴影甲的面积比阴影乙的面积大
7,求BC的长.(π取3.14)






例10:已知三角形ABC是直角三角形,AC=4厘米,BC=2厘
米, 求阴影部分的面积。(π取3.14)







例12:在一个边长为2厘米的正方形内,分别以它的三条
边为直径向内作三个半圆 ,则图中阴影部分的面积为多少平
方厘米?









1. 如图中三个圆的半径都是5
cm
,三个圆两两相交于圆
心.求阴影部分的面积和.(圆周率取
3.14
)





2.计算图中阴影部分的面积(单位:分米)。


10

5


A

3.请计算图中阴影部分的面积.



10
3



4.如下图,直角三角形
ABC
的两条直角边分别长
6

7

分别以
B,C
为圆心,
2
为半径画 圆,已知图中阴影部分的面
积是
17
,那么角
A
是多少度(
π3
)

A


6


B
7
C

5.如下图所示,
AB
是半圆的直径,< br>O
是圆心,
ACCDDB

M

CD
的 中点,
H
是弦
CD
的中点.若
N

OB
上 一点,半圆的面积
等于12平方厘米,则图中阴
影部分的面积是多少平方厘
C
M
H
D
米.


A
ONB

6 .如图,
ABC
是等腰直角三角形,
D
是半圆周的中点,
BC
是半圆的直径.已知
AB
ABBC10
,那么阴影部分的
面积是多少? (圆周率取
3.14
)
P
D

C

7.如图,图形中的曲线是用半径长度的比为
2:1.5:0.5
的6
条半圆曲线连成 的.问:涂有阴影的部分的面积与未涂有阴
影的部分的面积的比是多少?




8.如图,ABCD是边长为a的正方形,以AB、BC、CD、DA
分 别为直径画半圆,求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面
积.(
π
取3)
A

D




B
a

C
9.如图,直角三角形的三条边长度为
6,8,10
,它的内部放
了一个半圆,图中阴影部分的面积为多少?



6
10



O
8

10. 如图,大圆半径为小圆半径两倍,已知图中阴影部
分面积为S1, 空白部分面积为S2,那么这两部分面积
之比是多少?(π取3.14)








11. 如图,边长为3的两个正方形BDKE 。正方形DCFK并
排放置,以BC为边向内侧作等边三角形,分别以B、C为
圆心,BK、C K为半径画弧.求阴影部分面积.(π取3.14)










五、立体几何



例1:一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半。将
这个长方体切 成12个小长方体,这些小长方体的表面之和
为600平方分米,求这个大长方体的体积。








例2:有n个同样大小的 正方体,将它们堆成一个长方体,这
个长方体的底面就是原正方体的底面。如果这个长方体的表
面积是3096平方厘米,当从这个长方体的顶部拿去一个正
方体后,新的长方体的表面积比原长方体的 表面积减少144
平方厘米,那么n为多少?









例3:有大、中、小三个正方形水池, 它们的内边长分别
是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的
水里, 两个水池 的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将
这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?






例4:⑴ 一只装 有水的长方体玻璃杯,底面积是80平方厘
米,高是15厘米,水深8厘米。现将一个底面积是16平< br>方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水
深多少厘米?






(2)一只装有水的长方体玻璃杯,底面积是80平方厘米,高
是15厘米, 水深10厘米。现将一个底面积是16平方厘米,
高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水深多少厘
米?





例5:如图,有一个棱长为10厘米的正方体铁块,现已在
每 两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行
于正方体的棱),且穿透。另有一长方体容器, 从内部量,
长、 宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米,内部有水,
水深3厘米。若将正 方体铁块平放入长方体容器中,则铁
块在水 下部分的体积为 立方厘米。







例6:如图若以长方形的一条宽AB为轴旋转一 周后,甲乙
两部分所成的立体图形的体积比是多少?










(二)高阶行程问题
(1)相向而行:相遇一次=合走一圈;
6、环形路问题:
(2)同向而行:追上一次=多走一圈;
7、发车间隔问题:相遇路程=追及问题=两车间隔路程;
间隔路程=车速×间隔时间;
8、接送问题:指人多车少,怎样时间最短的问题。
方法:(1)画图+份数;
(2)根据时间相同分段处理;
9、多次相遇与追及问题:
六、行程问题
1、相遇问题:路程=速度和×时间;
2、追及问题:相差路程=速度差×时间;
3、行船问题:顺水速度=静水船速+水流速度;
逆水速度=静水船速-水流速度;
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2;
静水船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;
设数法:题目中没有给出必要的数据,且此数据对最后结果
没有影响,则可设具体的数来计算;
水中相遇与追及,在求时间的时候,可不考虑水速。
4、过桥问题:路程=火车长度+桥的长度;
(隧道) 路程=火车速度×时间;
5、扶梯问题:(1)顺行速度=人速+电梯速度
(2)逆行速度=人速-电梯速度
(3)电梯级数=可见级数=路程

例1:在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶
梯。小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈 一级台阶,那么他
走过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那
么走过30级台阶 到达地面。从站台到地面有多少级台阶?




例2:商场的自 动扶梯以匀速由下往上行驶,桐桐由下往
上走,刚刚由上往下走,结果桐桐走了30级到达楼下,

刚走了60级到达楼下。如果 刚刚单位时间内走的扶
梯级数是桐桐的2倍,则当该扶梯静止时,可看到的扶
梯梯级有多少级?




例3:一列火车,从车头到达车尾算起,用8秒全部驶上一
座大桥,29秒后全部驶离大桥。已知大桥长522米,火车
全长是多少米?



例4:一列货车车头及车身共41节,每节车身及车头长都
是30米,节 与节间隔1米,这列货车以每小时60千米的速
度穿过山洞,恰好用了2分钟。这个山洞长多少米?


例1:从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两
人在一条街上沿 着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆
迎面开来的电车;乙每隔15分钟遇上迎面开来的一辆电车。
且甲的速度是乙的速度的3倍,那么电车总站每隔多少分
钟开出一辆电车?







例2:甲班与乙班学生同时从学校出 发去公园,两班的步行
速度相等都是4千米小时,学校有一辆汽车,它的速度是
每小时48千米 ,这辆汽车恰好 能坐一个班的学生。为了
使两班学生在最短时间内到达公园,两地相 距150千米,
那么各个班的步行距离是多少?







例3:希望小学有100名学生到离学校33千米的郊区参加采
摘活动,学校只有 一辆限乘25人的中型面包车。为了让全
体学生尽快地到达目的地。决 定采取步行与乘车相结合的办法。已知学生步行的速度是每小时5千米汽车行驶的速
度是每小时55千米。请你设计一个方案, 请问使全体学生
都能到达目的地的最短时间是多少小时?







例4:甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,两车第一次
在 距A地32千米相遇,相遇后继续行驶,各自达到B、A
两地后,立即沿原路返回,第二次在距A地64 千米处相遇,
则A、B两地间的距离是多少?







例5:A、B两地相距540千米.甲、乙两车往返行驶于A、B
两地之间,都是到 达一地之 后立即返回,乙车较甲车快.
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中
P地.那 么两车第三次相遇为止,乙车共走了多少千米?








例6:甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行,甲的速
度是每小时30千米, 乙的速度是每小时20千米,二人
相遇后继续行进,甲到B地、乙到A地 后立即返回.已知
二人第四次相遇的地点距第三次相遇的地点是20千米,
那么,A、B两地相距多少千米?








例7:甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,往返跑步。
甲每分钟跑1 80米,乙每分跑240米.如果他们的第100
次相遇点与第101次相遇点的距离是160米,求A 、B两
点间的距离为多少米?





例8:甲、乙、丙三辆车同时从A地出发往B地去,甲、乙
两车的速度分别位60千米时和48千米 时。有一辆迎面开
来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、
丙三辆车相遇。 求丙车的速度?






例9:A、B、C 三地依次分布在由西向东的一条道路上,甲、
乙、丙分别从A、B、C三地同时出发,甲、乙向东,丙向
西。乙、丙在距离B地18千米处相遇,甲、丙在B地相遇,
而当甲在C地追上乙时,丙已经走 过B地32千米。试问:
A、C间的路程是多少千米?






例10:甲、乙两人骑自行车同时从A地出发去B地,甲的
车速是乙的车 速的1.2倍,乙骑了4千米后,自行车出现
故障,耽误的时间可以骑全程的
1
6,排除故障后,乙提高
车速60%,结果甲、乙同时到达B地,那么A、B两地之间
的路程 是多少千米?




七、高阶应用题
(一) 百分数
1、意义:一个数(量)是另一个数(量)的百分之几。
百分数只表示二者的比例关系,没有实际意义,不能带
单位。
2、百分数和小数的互化:
①小数化百分数,小数点向右移两位,加百分号;
②百分数化小数,小数点向左移两位,去掉百分号;
3、百分数和分数的互化:
①百分数化分数:写成分母是100的分数,百分号前面
的数字就是分子,再化成最简分数;
②分数化成百分数:讲分子分母同时乘以一个数,使分
母变成100;或将分数化成小数,参照小数化百 分数。

4、百分数的简单题型分类:
①百分数和百分率;
②一个数使另一个数的百分之几;
③一个数比另一个数多(少)百分之几; < br>注意:出现“比谁”“是谁”,就把“谁”看做单位“1”或
者百分之百,“谁”就做除数或分母 。

课堂练习:
1、甲乙两数的比是3:4,甲数是乙数的()%;
2 、男生20人,女生30人,男生约占女生人数的()%,男
生占全班人数的()%,女生占男生的() %。
3、果园今年种了200棵果树,活了180棵, 这批果树的成
活率是()%。
4、把20克盐放入80克水中,盐水的含盐率是()。
5、一堆煤,用了40%,还剩这堆煤的()%。
6、比80米少20%的是()米,()米的20%是60米。
7、甲数是乙数的0.8,乙 数比甲数多()%,甲数比乙数少
()%,甲乙数的和比乙数多()%。
8、有两个数,甲数 是10,乙数比甲数少2,那么,甲数是
乙数的()%,乙数是甲数的()%。
9、最小的合数比最小的质数多()%。
10、一段路的60%比它的40%多5千米,这段路有()。
11、一台冰箱,原价2000元,降价后卖了1600元,降了百
分之几?

12、一台电视,原价1200元,降了300元,价格降了百分
之几?

13、某商品现价80元,比打折前便宜了20元,此商品打()
折优惠。


14、甲、乙两人每人都有10张纸,甲给乙多少张纸可以使
乙的纸张数比甲多50%?
(二)利润、利息问题
(一)利润问题基本概念:
成本:又叫进价,即商店商品的买价;
定价:商店给商品的标价;
利润:卖出价格与成本的差价;
售价:卖出的价格。
(二)利润问题基本数量关系:
1. 利润=出售价-成本价
2. 利润率=(出售价-成本价)÷成本价×100%
3. 期望利润=定价-成本价
4. 期望利润率=(定价-成本价)÷成本价×100%
5. 出售价=成本价×(1+利润率)
6. 定价=成本价×(1+利润率)
7. 折扣=买价÷卖价
(三)利息问题基本数量关系:
1. 利息=本金×时间×利率
2. 利率=利息÷(本金×时间)
3. 本金=利息÷(利率×时间)
8.税后利息=本金×时间×利率×(1-税率)
例1:电讯商店销售某种手机,去年 按定价的90%出售,可
获得20%的利润,由于今年的买入价降低了,按同样定价的
75%出 售,却可获得25%的利润,请问今年的买入价是去年
买入价的百分之几?



练习1:个体户小张,把某种商品按标价的九折出售,仍可
获利20%,若按货物的 进价为每件24元,求每件的标价是
多少元?


练习2:体育用品商店以 每个40元的价格购进一批小足球,
以每个50元的价格卖出。当卖掉这批足球的90%时,不仅
收回了成本,还获利800元。这批小足球一共多少个?



练习3: 某水果店到苹果的产地收购苹果,收购价每千克
1.20元。从产地到该商店的路程是400千米,运费 为每吨
货物每运1千米收1.5元。如果在运输和消费过程中的损耗
是10%,商店要想实现2 5%的利润率,那么这批苹果的零售
价是每千克多少元



练习4:李先生将一笔钱存入银行,定期3个月,年利率
3.25%,到期利息是357.5元,李先 生存入银行的一笔钱是
多少元?本利和是多少元?



(三)浓度问题:
1、基本量: 溶质;溶剂;溶液=溶质+溶剂;浓度;
2、基本公式:
①浓度=溶质÷溶液×100%=溶质÷(溶质+溶剂)×100%;
②溶质=溶液×浓度=(溶质+溶剂)×浓度;
③溶液=溶质÷浓度;
3、溶液混合情况分析:
①一种液体加入水,前后溶液量变化,浓度变化,溶质
不变;
②两种浓度不同液体混合,浓度变化,溶液=两液体溶液
和,溶质=两液体溶质和。
4、重要工具:十字交叉法





推导过程:a x%+b y% = z% (a+b):
5、溶液加入相同水量,浓度变化公式:
每次加入的水量原浓度-新浓度
原水量

新浓度

新溶液量
原溶液量

原浓度
新浓度
例1:加入相同水量稀释问题:例1:现有 250克浓度为20%
的糖水,我们加入70克糖,这时,糖水的浓 度变为多少?
然后再加入160克水,浓度变为多少? 最后又加入浓度为
15%的糖水120克,浓度变为多少



练习1:现有浓度为20%的糖水200克,加入浓度为30%
的糖水50克,浓度变为多少?
(2)现将浓度为10%的盐水10千克与浓度为30%的盐水
3千克混合, 得到的盐水浓度是多少?






练习2:(1)将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的
稀 酒精,需加入水多少克?
(2)浓度为20%的糖水40克,要把它变成浓度为40%
的糖水,需加多少克糖?





练习3:有浓度为20%的盐水300克,要配 制成27%的盐
水,需加入浓度为30%的盐水多少克?




练习4:小明用糖块和开水配制了1000克浓度为20%的糖
水,那么在配制过程中,用了多 少克水?如果用糖含量18
﹪和23﹪的糖水配制,各需多少克糖水?




例2:两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水,倒在
一起混合后盐水的浓 度变为30%,若再加入300克20%的盐
水,混合后浓度变为25%,那么原有40%的盐水多少克 ?



练习1:有一杯酒,食用酒精含量为45﹪,若添加16克水,< br>酒精含量就变为25﹪,这杯酒中原来有食用酒精多少克?





练习2:用浓度为45﹪和5﹪的糖水配制成浓度为30﹪的
糖水4000克,需取 45﹪的糖水多少克?





练习3:一杯盐水,第 一次加入一定量的水后,盐水的含盐
百分比变为15%;第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百
分比变为12%;第三次再加入同样多的水,盐水的含盐百分
比将变成百分之几?





练习4:酒精含量为30%的酒精溶液若干,加了一定量的 水
后稀释成酒精含量为24%的溶液,如果再加入同样多的水,
那么液体的酒精含量将变为多少 ?



(四)工程问题:
1、三个基本量:工作总量(工总)、工作时间(工时)、工
作效率(工效);
2、基本公式:工总=工效×工时;
工效=工总÷工时;
工时=工总÷工效;
3、设工作总量的方法:
①通常将工作总量设为单位“1”;
②讲完成时间的最小公倍数设为工作总量;
4、多人合作,区分合作方式:
①合作:总工效=多人工效相加
合作工总=合作工效×合作工时;
合作工效=合作工总÷合作工时;
合作工时=合作工总÷合作工效;
②轮流做:总工总=各人工总之和
总工总=工效1×工时1+工效2×工时2......
5、进水、出水问题:
总工效=进水工效之和-出水工效之和;

例1:一份稿件,甲需要6天才能完成打 印,乙需要10天
才能完成打印,那么两人合作打3天共完成这份稿件的几分
之几?





练习1:一项工程,扬扬单独做要12天完成,贝贝单独做
要24天完成,晶晶单独做36天完成。如果先让扬扬单独
做6天,再让贝贝单独做6天,剩余 的工程由晶晶完成,
那么晶晶工作几天能完成?







练习2:植树节那天,学校计划要把一批树苗全部种上,如
果由甲班单独 种,需要6小时完成;如果由甲、乙两班合种,
需要4小时完成。那么如果由乙班单独种需要多少小时完
成?






练习3:一项 工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙
两人合作9天可以完成,甲、丙两人合作18天可以完成,
那么丙一人来做几天可以完成这项工作?




练习4 :工程队的8个人用30天完成了某项工程的
2
减少了2个人完成其余的工程,那么完成这项工 程共用了多
3
,接着
少天?




例2:一个水池有甲和乙两个排水管,一个进水管丙,若同
时开放甲、丙两管,20小时可将满池水排空 ,若同时开放
乙、丙两管,30小时可将满池水排空;若单独开丙管,60
小时可将空池住满, 若同时开放甲,乙,丙三水管,要将满
池水排空,需要几小时?






练习1:一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同
的 出水管,如果同时打开进水管和一个出水管,则30分钟
能把水池的水排完;如果同时打开进水管和两个 出水管,则
10分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时打开三个出
水管,需要多少分钟才 能排完水池的水?







练习 2:有一个蓄水池装有9根水管,其中一根为进水管,
其余8根为相同的出水管,进水管以均匀的速度不 停的向这
个蓄水池注水,后来有人想打开出水管,使池内的水全部排
光(这时池内已注入了一些 水)。如果把8根出水管全部打
开,需3小时把池内的水全部排出;如果仅打开5根出水管,
需 6小时把池内的水全部排出。要想在4.5小时内把池内的
水全部排光。需要同时打开多少根出水管?




(五)比例
(1) 比例性质
前项和后项都乘以或除以相同的数(0除外)比值不变 ;

例2:甲乙两人分别在 A、B两地同时相向而行,甲乙速度
之比为3:2,经过若干时间后,在C点相遇,C点距中点300< br>米,求A、B两地相距多少米?
两个外项的积等于两个内项的积;
(2) 求比值和化简比的区别和联系意义方法结果
1.求比值:前项除以后项所得的商;
2.化简比:把两个数的比化成最简单的整数比;
(3) 正比例和反比例的区别和联系
正比例:
y
x
K(常数)

反比例:
xyK(常数)

(4) 应用题
1、日常生活中的数量比例分配:
找到总数量对应的总份数,相应量在总份数中的占比;
2、行程中的速度比例:
按照速度比例,相同时间内,所走路程也按相应比例分
配,也转化为数量比例分配问题。
3、正、反比例应用题的解题策略
判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比
例关系然后设未知数,列比例式;


例1:甲、乙两校原有的图书本数的比是7:5,如果甲校给
乙校650本,甲、乙 两校图书本数的比就是3:4.原来甲校有
图书多少本?




练习1-1:六年级一班的男、女生比例为3:2,又来了4名
女生后,全班共有44人,求现 在的男、女生人数之比。




练习1-2:师徒二人共加工零 件400个,师傅加工一个零件
用9分钟,徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时,师
傅比 徒弟多加工多少个零件?





练习1-3:甲、乙 两人的钱数之比是3:1,如果甲给乙0.6元,
则两人的钱数之比变为2:1,两人共有多少钱?







练习2-1:一条路全长 60千米,分成上坡、平路、下坡三
段,各段路程的长度之比是1:2:3,某人走各段路程所用的时间之比是3:4:5.已知他走平路的速度是5千米时,他走完
全程用多少时间?




练习2-2:一项任务师徒合作2天完成全部任务的
3
5
,接着
师傅因故停工2天,后继续与徒弟合作,已知师徒工作效率
之比是2:1, 问完成这一任务前后一共用了多少天?





例3:两张纸条,原来的长度比为37:28, 都撕去14厘米后,
长的比短的还长
6
7
,则短纸条还有多长?





练:3-1:
学校组织体检, 收费如下: 老师3元,女生2元,
男生1元, 已知老师和女生的人数比为2∶9, 女生和男生
的人数比为3∶7, 共收的体检费945元,
那么, 老师、女
生和男生分别有多少人?






练习3-2:在一个盛有部分水的长方体容器中, 插有两根
木棒, 木棒露在外面的长度比是 3:7,当水面的高度升高
10厘米后,木棒露在外面长度比变
成2∶5. 当木棒露在外
面长度比变成1∶3时,还需要升高多少厘米的水?




(六)牛吃草问题的等量关系公式
牛吃草总数- 草生长的总数=原来草场有草的数量
牛吃草总数=牛的数量×时间
解题思想:
一般设1头牛1个单位时间吃1个单位的草;
牛数量1×时间1—牛数量2×时间2=时间差×每天长草量
(七)鸡兔同笼的等量关系公式 鸡数+兔数=头总数
鸡脚数只×鸡数+兔脚数只×兔数=脚总数
解题思想:
(1)假设全是鸡,假设的脚数比实际脚数少,则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=兔数;
(2)假设全是兔子,假设的脚数比实际脚数多,则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=鸡数;


例4:某俱乐部男、女会员人数之比为3∶2, 所有会员分
为甲乙丙三组. 已
知甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶
7, 甲组中男、女人数比3∶1, 乙组中男、女比5∶3. 求
丙组中男、女会员人数之比.






例5:某区参加数学竞赛的男女生人数比是4∶3,结果有91
人获奖, 获奖中
男女生人数比是8∶5, 没有获奖的男女生
人数比是3∶4. 这区参加数学竞赛的共有多少人?




例6:配制盐酸含量为 20﹪的盐酸溶液1000克,需要用盐
酸含量为18﹪和23﹪的盐酸溶液各多少克?







例7:
有含糖6﹪的糖水9 00克,要使其含量加大到10﹪,
需加糖多少克?






例8:
小明用糖块和开水配制了200克浓度为35%的糖水,
那么 在配制过程中,用了多少克水?






例1 2:工程队的8个人用30天完成了某项工程的23,接着
减少了2个人完成其余的工程,那么完成这项 工程共用了多
少天?




例14:一个装满了水的水 池有一个进水管和三个口径相同的
出水管,如果同时打开进水管和一个出水管,则30分钟能
把 水池的水排完;如果同时打开进水管和两个出水管,则10
分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时 打开三个出水
管,需要多少分钟才能排完水池的水?






例15:某工厂的一个生产小组,生产一批零件,当每个工人
在自己原岗 位工作时,9小时可完成这项生产任务,如果交
换工人A和B的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可 提
前1小时完成这项生产任务;如果交换工人C和D的工作岗
位,其他工人生产效率不变时,也 可以提前1小时完成这项
生产任务;如果同时交换A和B,C和D的工作岗位,其他
工人生产效 率不变,可提前多少分钟完成这项生产任务?






例16:小明买了一辆二手山地车,支付了山地车原价的90%,
没过几天,他的朋友看中了这 辆山地车,并表示愿意支付高
出原价25%的价格买下,小明答应了,只经过简单一转手,
这辆 山地车就让小明赚了

105元。那么小明这辆山地车的
原价是多少元?





例17:一种游戏手掌机若按原价卖出,利润率是30%, 如果
进价降低10%,并以50%的利润率卖出,那么每天游戏手掌
机就将多得300元的利润 ,这种游戏手掌机原价是多少元?


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