贺年片-经典搞笑台词

一、计算~(一)分数裂项-知识点：
1、裂差公式：
11
n(n1)

n

1
n1


111
n(nk)

k(
n

1
nk
)


1111
n(n1)(n2)

2
(
n(n1)< br>
(n1)(n2)
)

2、裂和公式：
ab11
ab

b

a

二、例题：
例1：
1
1011

11
111 2



99100








例2：
1111
36

69< br>
912


9699









例3：
11
123

234

1
345



1
9899100









例4：
1
1
2
2
1
63
111
12
4
20
10
110









例5： 1
1
12

111
123

12 34

12399100




例6：
3
1
2
2
2

52
2
3
2

7
3
2
4
2



15
7
2
8
2








2222
例7：
123
13

35

57


50
99101









例:8：“！”表示一种运算符号，它的含义是2！=2×1；
3！=3×2×1；

，计算
2
3！
< br>3499
4！

5！

100！








例9：
36579
5

7

6

12

20
11
30

13
42

练习：
1、
1
1
2

1
4

1
8

1
16

11
1024

2048< br>



2、
3
4

536

79111315
144

400

9 00

1764

3136





3、
(
1111
11

21
31

41
)(
1
21

1
31< br>
11
41

51
)


 (
1
11

1
21

111111
31< br>
41

51
)(
21

31

41
)








4、
1
30

1
42

1
56< br>
1
72

111
90

110

132









555
5、
14

84

204< br>
5
374

5
594

5
864









6 、
2
345

22222
456

56 7

678

789

8910








7、比较分数大小： < br>(1)分数
5
7
，
15
17
，
4
9
，
40103
124
，
309
中，哪一个最大？





(2)从小到大排列下列分数，排在第三个的是哪一个？

755
15
，
12
，
6
，
9
10
，
11
18
，
17
30
，
22
45
；





(3)若A=
1
2013
2
20141
，B
1
2013< br>2
201420132014
2
，比
较A与B的大小。








(4)比较< br>2013
2
2012
2012
2013
与2014
2009
2012
2011
2013

一、计算~(二)常用计算公式知识点：

1、等差数列：
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+（项数+1）×公差
求和=（首项+末项）×项数÷2
当等差数列为奇数项时，可以用中间项定理：
和=中间项×末项
（1）
135(2n1)n
2

（2）
123n321n
2

2、平方和公式：

1
2
2
2
3
2< br>n
2

1
6
n(n1)(2n1)

3、立方和公式：

1
3
2
3
 n
3
(12n)
2

1
n
2
(n 1)
2
4

4、平方公式
（1）平方差公式
a
2
b
2
(ab)(ab)

（2）完全平方和（差）公式

(ab)
2
a
2
2abb
2

二、习题：
1、
100
2
99
2
982
97
2
2
2
1
2








、 × ×







、
10
2
11
2
12
2200
2







、
1
2
2
2
4
2
5
2
13
2
14
2
16
2






1
3
2
3
3
3
、


2016
3

123

2016






、
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3






、
(2
2
4
2
< br>
100
2
)(1
2
3
2


99
2
)
123

891098< br>
321






< br>、
199297395501



< br>



、
1
1111111
2
3
4
5
8
7
16
9
32
11< br>64
13
128





< br>

一、计算~(三)小数和分数的互化

1、纯循环化成分数：循环节有几位小数，则分母有几个9，
分子就是循环节。
2、 混循环小数化分数：分母9的个数=循环节小数位数，
分母0的个数=非循环节小数位数，分子=分数部 分-非循环
部分小数。
3、神秘组织：142857是分母是7的分数的循环节数字，分子是1的，第一位是最小的，按此规律排列。
一、计算~(四)
进制问题

1、常见进制：二进制、十进制、十二进制、十六进制、二
十四进制、六十进 制.
2、二进制：只使用数字0、1，在计数与计算时必须是“满
二进一”，
例如，(9)
10
＝(1001)
2

3. 十进制转
n
进制： 短除、取余、倒写. 例如：
(1234)
10
= (1200201)
3
4.n进制转十进制：写指、相乘、求和。例如:
3210
(1011)
2
=1×2+0×2+1×2+1×2=(11)
10


例：
0.01

＋0.12

＋0.23

＋0.34

＋0.78

＋0.89








例2：
(80.80.8)
71113







例：将循环小数

要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一
0.027

与
0.1

79672

相乘，取近似值，
位小数是多少？




< br>



例：
冬冬将
0.32

1

乘以一个数时，看丢了一个循环点，

使得乘积比结果减少了
0.03
，正确结果应该是多少？








5.关于进位制
⑴ 本质：
n
进制就是逢
n
进一；
⑵
n
进制下的数字最大为(n-1),超过9用大写字母代替。
⑵把十进制数
例1：
⑴将(2009)
10
写成二进制数


2008转化为十六进制数；






例2：
⑴ (463)
把下列各数转化成十进制数：
(5FC)

8
；⑵ (2BA)
12
；⑶
16
.





例3：① (101)
2
(1011)
2
 (11011)
2
 ( ）
2
②
③


(
(
11000111
3021)
）
2
605

 (10101）
)
2
 (11）
2
 ( ）
2

④
(63121
4
)

 (
7
 ( )
10

8
 (1247)
8
 (16034 )
8
 (26531)
8
 (1744 )
8

( )
8








例
同的数字，如果
4：
用a
，
b
，
c
连续正整数，
(
，
ade
d
，
)
e
, (
分别代表五进制中五个互不相
adc
示是多少？
那么
(cde)
) , (aab)
是由小到大排列的
5
所表
示的整数写成十进制的表

二、计数原理~(一)容斥原理：

专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，

例2：在网校 50名老师中，喜欢看电影的有 15 人，不喜欢
唱歌的有 25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有 5人。那么
只喜欢唱歌的有多少人？
也叫容斥原理。 即当两个计数部分有重复包含时，为了不重
复计数，应从它们的和中排除重复部分。
1、(两张饼)原理一： 大饼=A+B-AB
2、(三张饼)原理二： 大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC

口诀 ：奇层加，偶层减。
3、原则：①消重；②不消不重；
4、考点：①直接考公式；
②直接考图形；
③锅内饼外=全部-大饼上的数量；
④三叶草=AB+AC+BC-ABC
5、解题方法：①文氏图法；
②方程法；
③反推法；
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作
业？请举手！”有37人举手。又问：“谁 做完数学作业？请
举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有
做完？”没有人 举手。求这个班语文、数学作业都完成的人
数。




练习1：网校老师共 50 人报名参加了羽毛球或乒乓球的训
练，其中参加羽毛球训练 的有 30 人，参加乒乓球训练的有
35 人，请问：两个项目都参加的有多少人？




练习2：网校老师 60 人组织春游。报名去香山的有 37 人，
报名去鸟巢的有 42 人，两个地点都没有报名的有 8 人，那
么只报名其中一个地点的有多少人？







练习1：学校组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个
组进行，参加轮滑比 赛的有20人，参加游泳比赛的有25
人，参加羽毛球比赛的有30人，同时 参加了轮滑和游泳
比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人， 同
时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有
4 人，问参加 体育比赛的共有多少人？





练习2：五年级一班 有46名学生参加数学、语文、文艺
三项课外小组。其中有24人参加了数学小组，20人参加
了语文小组，既参加数学小组又参加 语文小组的有10人.
参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参 加文艺小组
人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参
加文艺小组 也参加语文小组的人数等于三项小组都参加
的人数的2倍，求参加文艺小组的人数？








例3：网校老师共有90 人，其中有32人参加了专业培训，
有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既
参加了专业又参加了文化培训，8人既 参加了技能又参加
了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而 三
个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少
人？（锅内饼外）


练习1：在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能
被3整除，还不能被5
整除的数有多少个？

二、计数原理~(二)加乘原理：
1、加法原理：
做一件事，完成 它可以有n类办法，在第一类办法中有
m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方
法 ，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成
这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种 不同方法。每一种方法都
能够直接达成目标。
2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个 步骤，做第
一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方
法，……，做第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件事
共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
3、区分 两原理：要做一件事，完成它若是有n类办法，是
分类问题，每一类中的方法都是独立的，因此使用加法 原理；
做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将
分成的若干个互相联系的步骤 ，依次相继完成，这件事才算
完成，因此用乘法原理。
例1：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的
自然数？





例2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数
中，百位不是2的 奇数有多少个？





例3：
一个七位数， 其数码只能为
1
或
3
，且无两个
3
是邻
的。问这样 的七位
数共有多少个？





例4：在< br>1
～
10
这
10
个自然数中，每次取出三个不同的数，
使它们的和是
3
的
倍数有多少种不同的取法？






三、加乘原理——标数法、递推法
①标数法与递推法都是加法原理
②按最后一步进行分类，做加法
③标数时要注意限制条件
④分平面问题要确定交点个数

例1：如图， 为一幅街道图，从
A
出发经过十字路口
B
，但
不经过
C走到
D
的不同的最短路线有多少条？









例2：在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向
右，或沿对角 线的方向向右上走任意多步，但不能不走。
那么走到右上角一共有多少种方法？







例3：一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶
或2级台阶，最 多可以迈3级台阶，从地面到最上面1级
台阶，一共可以有多少种 不同的走法？









例4：一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最
多把平面分成几部分？

二、计数原理~(三)概率

1、随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现，但
是具有规律性的事件。
2 、概率：随机事件可能发生的可能性的度量，一般用P来
表示，特例：必然事件：P=1；不可能事件： P=0；
3、独立事件：事件1是否发生对事件2发生的概率无影响；
4、互斥事件：不可能同时发生的两件事件；
5、对立事件：两个互斥事件必有一个发生；
6、概率的计算：
P(A)
m
n

n表示试验中发生所有情况的
总数，m表示事件A发生的次数。

7、概率具有可乘性。计算概率的基础：计数、枚举、加乘
原理、排列组合。
例1：一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色，每
种花色各拿出2 张，现在从这8张牌中任意取出2张。请
问：这2张扑克牌花色相同 的概率是多少？





例2：编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中，从
中随机地取出两 个小球，这两个小球的编号不相邻的可能
性是多少？





例3：
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六人抽签推选代表，公证人一共
制作了六枚外 表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，
六人按照字母顺序先 后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”
字，即被推选为代表，这六人被抽中的概率分别为多少？






例4：一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率
是多少？






二、计数原理~(四)排列组合

1、排 列：从n个不同元素中选出m个，按照一定的顺序排
列，记为：
A
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)
可以理解为从n开始乘，一共乘m个。
特殊要求，优先满足：
（1）捆绑法：必须在一起；
（2）优先满足法：特殊位置或特殊元素；
（3）插空法：不能相邻，必须隔开；先排没有要求的，再
在空里插必须要分开的元素。
（4）排除法：正难则反；
2、组合：从n个不同元素中选出m个，不需要按顺序排列， < br>记为：C
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)n!
可以写成：C
m
n
=A
mm
n
A
m
；
重要性质：
C
mm-nn
n
=C
n
； C
n
=1；
方法：（1）排除法：有至少、至多等情况下用；
（2）隔板法：相同物品放在不同位置或不同的人，
要求至少一个，可以用隔板法。
例1：计算

A
6
3
=
4A
5
4
=
A
7
4
A
1
9
=

4A8
3
A
1
9
A
6
5
=

C
6
2
=
C
6
4
=
C
1
8
=
C
8
7
=

C
100
2
2C
100
99
= < br>C
100
2
C
6
4
C
100
98
C
5
4
=

例2：6 个人走进有 10 辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰
碰车只能坐一个人， 那么共有多少种不同的坐法？







例3：书架上有 3 本不同的故事书，2 本不同的作文选和 1 本
漫画书，全部竖起来 排成一排。
⑴如果同类的书可以分开，一共有多种排法？

⑵如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？

例4：一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各
一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？
⑴把 7 盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在
第七位。
⑵串起其中 4 盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位
。






例5：
八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站
法？
⑴ 八个人站成一排；

⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头；

⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头；

⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。








例6：大海老师把 10 张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳，
并且决定给佳佳 8 张， 给阳阳 2 张。一共有多少种不同的
分法
？





例7：一个小组共 10 名学生，其中 5 女生，5 男生。现从中
选出 3 名代表， 其中至少有一名女生的选法？






例8：
一个电视台播放一部 12 集的电视剧，要分 5 天播完，
每天至少播一
集，有多少种不同的方法？

三、数论
(一)奇偶性
奇数

奇数=偶数；偶数

偶数=偶数；奇数

偶数=奇数；
奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数；
奇数个奇数相加减，结果是奇数 ；偶数个奇数相加减，结果
是偶数；偶数无论多少相加减，结果都是偶数。
奇数不可能被偶数整除；
任意个数相乘，只要有一个因数是偶数，则积一定是偶数。
写作[A，B]。则A×B=最大公因数×最小公倍数
(六)余数
（一）带余除法 被除数÷除数=商......余数，表示成：

d0,A被B整除
ABC

d

余数要小于除数，如果大于
d0,d为余数

除数，则再除以除数取余。
计算公式：(1)被除数=商×除数+余数
(2)被除数- 余数=商×除数
(二)质数合数：
1、质数明星：2和5；
2、100以内质数：25个；
3、除了2和5以外，其余的质数个位只能是1,3,7,9；
4、最小的四位质数：1009；
5、判断较大数P是否为质数的方法：
(1)找一个比P大接近于P平方数K
2
；
(2)列出所有不大于K的质数去除P；
(三)因数定理：
1、因数个数定理：
(1)分解质因数，写成标准式；
(2)将每个不同的质因数的指数+1，然后连乘，得出个数；
2、因数和定理：
(1)分解质因数，写成标准式；
(2)将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂，求
和，然后再将这些得到的和相乘；
3、因数积定理：
把因数从小到大配对相乘，奇数个因数时，最中间的因数直
接相乘。

(四)整除
（一）末位系：2、5、8,5、25、125的特征
1、末位是偶数，能被2整除；末位是0、5，能被5整除；
2、末2位能被4或者25整除，这个数就能被整除；
3、末3位能被8或者125整除，这个数就能被整除；
（二）求和系：3、9、99的特征
1、数字和能被3或者9整除，这个数就能被3或者9整除；
2、把多位数，从个位开始，2位一段，各段数的和能被99
整除，这个数就能被99整除。
（三）求差系：7、11、13特征
1、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位 数
与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7或11或
13整除,这个多位数就一定能相 应被7或11或13整除．
2、一个多位数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上
的数字 分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数
(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整 除.
(四)拆分系：将数分解质因数，看除数是否在因数的组合中。

(五)最大公因数，最小公倍数
假设数A和数B的最大公因数，写作(A，B)；最小公倍数
(3)(被除数-余数)÷商=除数
（二）余数三宝（余数定理）：三大性质
余的和等于和的余；余的差等于差的余；余的积等于积的余。
（三）余数两招：加同和，减同差
同一个数分别除以两个数a和p，所得的余数分别为b和q ，
如果a+b=p+q,则加同和，这个数为ap+(a+b)；如果a-b=p-q,
则为减 同差，这个数为ap-(a-b)。
（四）弃九法
abcd1000a100b10 cd999a99b9c(abcd)

所以这个数能否被9整除只取决于数 字和是否能被9整除，
能被9整除的部分不用看，弃掉，所以称为弃9法。

(七)完全平方数
性质1: 完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.
性质2: 完全平方数除以5只能余0、1、4.
完全平方数除以3只能余0、1.
完全平方数除以4只能余0、1.
性质3:
⑴ 偶指性—分解质因数后每个质因数的指数都是偶数；
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然. 特别地，
因数个数为3的自然数是质数的平方；

1、用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个
数是多少?




2、从0~9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、
一个三位数和 一个四位数，使这三个数的和等于2010，
那么其中未被选中的数字是谁？(弃九法)



3、一个四位数是这个数的数字和的83倍，求这个四位数



4、⑴ 2
20
除以7的余数是多少？
⑵ 14
14
除以11的余数是多少？

5、算式1×4×7×10×……×2011的计算结果除以9的
余数是多少？




6、⑴ 有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到
相同的余数，求这
个数.
⑵ 用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都
除不尽，而且前一次所得的余数是 后一次的2倍. 如果这
个数大于1，那么这个数是多少？






7、一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是 .





8、三个数p，p+1，p+3都是质数，它们的倒数和的倒数是
多少？




9、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9组成若干个质数，要求每个数字 恰
好使用一次，请问，这些质数和的最小值是多少？





10、已知两个自然数的的差为4，它们的最大公因数和最小
公倍数的积为252， 求这两个自然数。





11、已知三个合数A、B 、C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，
那么A+B+C的最小值是多少？




12、已知a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合
下面算式：(a+b)(c+d)e=2890，那么，这5个数中最大的
数至多是谁？




13、2001个连续自然数的和为a×b×c×d，期中a、b、c 、d
均为质数，则a+b+c+d的最小值为多少？





14、有一列数，第1个数是1，从第2个起，每个数比它前
面相邻的加3，最后一 个数是100，将这列数相乘，则在计
算结果的末尾中有多少个连续的“0”？





游戏对策问题：
1、
桌子上放着55根火柴, 甲、乙二人轮流每次取走1～3
根, 规定谁取走最
后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最
佳方法, 甲先取, 那么谁将获胜？





2、有100枚硬币, 甲乙两人轮流取, 每次取1~8枚, 规
定取到最后一枚的人获
胜. 请问: 甲先取, 谁有必胜策
略?





3、
有10箱钢珠, 每个钢珠重10克, 每箱600个. 如果
这10箱钢珠中有1箱次品，
次品钢珠每个重9克, 那么,
要找出这箱次品最少要称几次？

四、平面几何
(一)三角形
三角形的边：
①三角形任意两边之和大于第三边.
②三角形任意两边之差小于第三边.
按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
(四)相似模型
边和角的关系在同一个三角形中，等边对等角

例1：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝



例2：如图，八边形的8个内角都
是135°，已知AB＝EF，BC＝20，
DE
＝10，FG＝30，则AH＝ 。


二、等
积变形








(二)共角模型（鸟头模型）

(三)燕尾模型




(五)蝴蝶模型
1、任意四边形蝴蝶模型

















2

、梯形蝴蝶模型








任意四边形：①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4

②
AO:OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3


梯形： ①
S
2
1
:S
3
a:b
2

②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
③梯形
S
的对应份数为

ab

2

(六)勾股定理
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
如右图：a 、b分别代表直角三角形ABC的两条直角边的长
度，C为斜边的长度，则：
a
2b
2
c
2

例1：如图，BD长12厘米，DC长4厘米， B、C和D在同
一条直线上。①求三角形ABC的面积是
三角形ADC面积的多少倍？
②求三角
形ABD的面积是三角形ADC面积的多少
倍?


例2：如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是AC、
BC和AD
的中点。求 ：三角形DEF的面积。

例3：如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积
相等的三角形共有哪几对？




例4:如图，在三角形ABC中,BC=8厘米，高是6厘米,EF分
别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方
厘米？




例5:如图所示，在平行四ABCD中，E为AB的中点,AF=2CF，
三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四
边形ABCD的面积是多少平方厘米？






例6：如图，在平行四边形ABCD 中，EF平行AC，连结BE、
AE、CF、BF那么与△ABC等积的三角形一共有哪几个三角
形？




例7:如图,ABCD为平行四边形,EF平行A C，如果△ADE的面
积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。






例8：在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面
积是7平方 厘米，则三角形DEC的面积是 平方厘米





例9：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为
20厘米，则图中阴影面积为多少平 方厘米？





例10：如图，有三个正方形的顶点 D、G、K恰好在同一条
直线上，其中正
方形GFEB的边长为16厘米，求阴影部分
的面积?




例11：如图，三角形ABC被分成了甲、乙两 部分，BD=CD=4，
BE=3，AE=6
，乙部分面积是甲部分面积的几倍？






例12：如图，三角形ABC的面积为1，其中 AE=3AB，BD=2BC，
三角形BDE
的面积是多少？






例13：如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使
BD=AB；延长BC至E，使CE=BC；延长CA至F，使AF=2AC，
求三角形DEF的面积 。





练习1：已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE，AD=2BD，
CF=3AF，求△ABC的面积。






练习2：如图，在∠MON的两边上分别有A、C、E及B 、D、
F六个点，并且△OAB
、△ABC 、△BCD、△CDE、△DEF 的
面积都等于1，则△DCF
的面积等于多少？

练习3：等腰△ABC中，AB=AC=12cm，B D、DE、EF、FG把它
的面积5等分，求AF、HD、DC、AG、
GE、EB的长?



练习4：E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、
CP、ME彼此平行， 若AD=5，BC=7，AE=5， EB=3。求阴影
部分的面积。




练习5
：如图，在△ABC中，延长AB至
D，使BD=AB，延长BC至 E，使BC=2CE，
F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多
少？




练习6：如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其
中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四
边形OFBC的面积为多少？




练习7：如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，
求△AEG 的面积。




练习8：如图所示，长方形
ABCD< br>内的阴影部分的面积之和
为70，
AB8
，
AD15
，四 边形
EFGO
的面积为多少？





勾股定理
例题1：求下面各三角形中未知边的长度。
例题2：根据图中所给的条件，求
梯形ABCD的面积。



例题3：如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单
位：厘米）



例题4：一个直角三角形的斜边长8厘米，两个直角边的
长度差为2厘 米，求这个三角形的面积？






练习1 ：如图，在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，
CD=40，∠
ADB
＋∠
DBC
＝90°。请问：四边形ABCD的面积是
多少？




练习2：从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形
条后，剩下的那块长方形 的面积为336平方分米，原来正
方形的面积是多少平方分
米？

巧求面积
1、边长分别为6、8、10厘米的正
方形放在一起，求四边形ABCD的面
积。

2、一块长方形的地，长是80米，宽是45米，如果宽增加
5米，要使原来的面积 保持不变，长要变成多少米？
3、一个长方形宽减少2米，或长减少3米，面积均减少24
米，求原长方形面积？

4、如图，一块长方形纸片，长7厘米，宽5厘米，把它的
右上角往下折叠，再把左小角向上折
叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平
方厘米？


5、如图，7 个完全相同的长方形组成了
图中的阴影部分，图中空白部分的面积
是多少？

6、一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么
面积就减少66平方厘米，这是剩下的部< br>分正好是一个正方形，求原来长方形的
面积？


7、有一大一下两 个正方形试验田，它们的周长相差40米，
面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平
方米？


8、图中大正方形的面积为9，中间小正方形
的面积为 1，甲乙丙丁是四个梯形，那么乙
与丁的面积之和是多少？

9、下图中甲的面积比
乙的面积大多少？
10、如图，ABCD是长为7，宽为4
的长方形，DEFG是长 为10，宽为
2的长方形，求△BCO与△EFO的
面积差。


11、如图，E、F、G都是正方形ABCD三条边的中点，△OEG
比△ODF大10平方厘米，那么 梯形OGCF
的面积是多少平方厘米？



12、如图，在直角 梯形ABCD中，三角形ABE
和三角形CDE都是直角等腰三角形，且BC=20
厘米，那么 直角梯形ABCD的面积是多少？


13、如图正方形ABCD被两条平行的直< br>线截成三个面积相等的部分，其中上
下两部分都是等腰直角三角形，已知
两条截线的长度 都是6厘米，那么正
方形的面积是多少？


14、正方形ABCD面积为12平方厘米，
矩形DEFG的长DG=16厘米，求它的宽？


对角模型
：任意一个矩形被分割成四
个长方形，用a、b、c、 d表示这四块面
积，则有a×d=c×b
15、在矩形ABCD中，连接对角线BD，过BD 线上任意一点P，
作EF平行AB，GH平行BC，S△BPF=3，S△PHD=12，求矩形
ABCD的面积

例1：如图，是一个由2个半圆、2个
扇形、2个正方形组成的“心型”。已
知 半圆的直径为10，那么，“心型”
的面积是多少？(圆周率取3.14)

例2：图中四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点，如果
每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分< br>的总面积是多少？(圆周率取3.14)


例3：图中阴影部分的面积。(圆周率取3.14)




例4：如图， ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分
的面积。(圆周率取3.14)



例5：求图中阴影部分的面积。(圆周率取3)




例6：在图中，两个四分之一的圆弧半径是2和4，求两
个阴影部分的面积之差。( 圆周率取3)




例7：如图，两个正方形摆放在一起，其中 大正方形边长为
12，那么阴影部分面积是多少？(圆
周率取3.14)



例8：如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE
半径AE =6
厘米，扇形CBF的半径CB=4
厘米，求阴影部分的面积。
(圆周率取3)



例9：如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20，
阴影甲的面积比阴影乙的面积大
7，求BC的长.(π取3.14)






例10：已知三角形ABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=2厘
米， 求阴影部分的面积。(π取3.14)







例12：在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条
边为直径向内作三个半圆 ，则图中阴影部分的面积为多少平
方厘米？

1. 如图中三个圆的半径都是5
cm
，三个圆两两相交于圆
心．求阴影部分的面积和．(圆周率取
3.14
)





2．计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。


10

5


A

3．请计算图中阴影部分的面积．



10
3



4．如下图，直角三角形
ABC
的两条直角边分别长
6
和
7
，
分别以
B,C
为圆心，
2
为半径画 圆，已知图中阴影部分的面
积是
17
，那么角
A
是多少度(
π3
)

A


6


B
7
C

5．如下图所示，
AB
是半圆的直径，< br>O
是圆心，
ACCDDB
，
M
是
CD
的 中点，
H
是弦
CD
的中点．若
N
是
OB
上 一点，半圆的面积
等于12平方厘米，则图中阴
影部分的面积是多少平方厘
C
M
H
D
米．


A
ONB

6 ．如图，
ABC
是等腰直角三角形，
D
是半圆周的中点，
BC
是半圆的直径．已知
AB
ABBC10
，那么阴影部分的
面积是多少？ (圆周率取
3.14
)
P
D

C

7．如图，图形中的曲线是用半径长度的比为
2:1.5:0.5
的6
条半圆曲线连成 的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴
影的部分的面积的比是多少？




8．如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA
分 别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面
积．(
π
取3)
A

D




B
a

C
9．如图，直角三角形的三条边长度为
6,8,10
，它的内部放
了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？



6
10



O
8

10. 如图，大圆半径为小圆半径两倍，已知图中阴影部
分面积为S1， 空白部分面积为S2，那么这两部分面积
之比是多少？（π取3.14）








11. 如图，边长为3的两个正方形BDKE 。正方形DCFK并
排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为
圆心，BK、C K为半径画弧.求阴影部分面积.(π取3.14)

五、立体几何



例1：一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半。将
这个长方体切 成12个小长方体，这些小长方体的表面之和
为600平方分米，求这个大长方体的体积。








例2：有n个同样大小的 正方体,将它们堆成一个长方体，这
个长方体的底面就是原正方体的底面。如果这个长方体的表
面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正
方体后，新的长方体的表面积比原长方体的 表面积减少144
平方厘米,那么n为多少？









例3：有大、中、小三个正方形水池， 它们的内边长分别
是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的
水里, 两个水池 的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将
这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？






例4：⑴ 一只装 有水的长方体玻璃杯，底面积是80平方厘
米，高是15厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平< br>方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水
深多少厘米?






(2)一只装有水的长方体玻璃杯,底面积是80平方厘米,高
是15厘米, 水深10厘米。现将一个底面积是16平方厘米,
高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水深多少厘
米？





例5：如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在
每 两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行
于正方体的棱)，且穿透。另有一长方体容器， 从内部量，
长、 宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，
水深3厘米。若将正 方体铁块平放入长方体容器中，则铁
块在水 下部分的体积为 立方厘米。







例6：如图若以长方形的一条宽AB为轴旋转一 周后，甲乙
两部分所成的立体图形的体积比是多少？

(二)高阶行程问题
（1）相向而行：相遇一次=合走一圈；
6、环形路问题：
（2）同向而行：追上一次=多走一圈；
7、发车间隔问题：相遇路程=追及问题=两车间隔路程；
间隔路程=车速×间隔时间；
8、接送问题：指人多车少，怎样时间最短的问题。
方法：(1)画图+份数；
(2)根据时间相同分段处理；
9、多次相遇与追及问题：
六、行程问题
1、相遇问题：路程=速度和×时间；
2、追及问题：相差路程=速度差×时间；
3、行船问题：顺水速度=静水船速+水流速度；
逆水速度=静水船速-水流速度；
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2；
静水船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；
设数法：题目中没有给出必要的数据，且此数据对最后结果
没有影响，则可设具体的数来计算；
水中相遇与追及，在求时间的时候，可不考虑水速。
4、过桥问题：路程=火车长度+桥的长度；
(隧道) 路程=火车速度×时间；
5、扶梯问题：（1）顺行速度＝人速＋电梯速度
（2）逆行速度＝人速－电梯速度
（3）电梯级数＝可见级数＝路程

例1：在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶
梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈 一级台阶，那么他
走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那
么走过30级台阶 到达地面。从站台到地面有多少级台阶？




例2：商场的自 动扶梯以匀速由下往上行驶，桐桐由下往
上走，刚刚由上往下走，结果桐桐走了30级到达楼下，
刚
刚走了60级到达楼下。如果 刚刚单位时间内走的扶
梯级数是桐桐的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶
梯梯级有多少级？




例3：一列火车，从车头到达车尾算起，用8秒全部驶上一
座大桥，29秒后全部驶离大桥。已知大桥长522米，火车
全长是多少米？



例4：一列货车车头及车身共41节，每节车身及车头长都
是30米，节 与节间隔1米，这列货车以每小时60千米的速
度穿过山洞，恰好用了2分钟。这个山洞长多少米？


例1：从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两
人在一条街上沿 着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆
迎面开来的电车；乙每隔15分钟遇上迎面开来的一辆电车。
且甲的速度是乙的速度的3倍，那么电车总站每隔多少分
钟开出一辆电车？







例2：甲班与乙班学生同时从学校出 发去公园，两班的步行
速度相等都是4千米小时，学校有一辆汽车，它的速度是
每小时48千米 ，这辆汽车恰好 能坐一个班的学生。为了
使两班学生在最短时间内到达公园，两地相 距150千米，
那么各个班的步行距离是多少？

例3：希望小学有100名学生到离学校33千米的郊区参加采
摘活动，学校只有 一辆限乘25人的中型面包车。为了让全
体学生尽快地到达目的地。决 定采取步行与乘车相结合的办法。已知学生步行的速度是每小时5千米汽车行驶的速
度是每小时55千米。请你设计一个方案， 请问使全体学生
都能到达目的地的最短时间是多少小时?







例4：甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次
在 距A地32千米相遇，相遇后继续行驶，各自达到B、A
两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64 千米处相遇，
则A、B两地间的距离是多少？







例5：A、B两地相距540千米.甲、乙两车往返行驶于A、B
两地之间，都是到 达一地之 后立即返回，乙车较甲车快.
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中
P地.那 么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？








例6：甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速
度是每小时30千米， 乙的速度是每小时20千米，二人
相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地 后立即返回.已知
二人第四次相遇的地点距第三次相遇的地点是20千米，
那么，A、B两地相距多少千米？








例7：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。
甲每分钟跑1 80米，乙每分跑240米.如果他们的第100
次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B两
点间的距离为多少米？





例8：甲、乙、丙三辆车同时从A地出发往B地去，甲、乙
两车的速度分别位60千米时和48千米 时。有一辆迎面开
来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、
丙三辆车相遇。 求丙车的速度？






例9：A、B、C 三地依次分布在由西向东的一条道路上，甲、
乙、丙分别从A、B、C三地同时出发，甲、乙向东，丙向
西。乙、丙在距离B地18千米处相遇，甲、丙在B地相遇，
而当甲在C地追上乙时，丙已经走 过B地32千米。试问：
A、C间的路程是多少千米？






例10：甲、乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的
车速是乙的车 速的1.2倍，乙骑了4千米后，自行车出现
故障，耽误的时间可以骑全程的
1
6，排除故障后，乙提高
车速60%，结果甲、乙同时到达B地，那么A、B两地之间
的路程 是多少千米？

七、高阶应用题
(一) 百分数
1、意义：一个数（量）是另一个数（量）的百分之几。
百分数只表示二者的比例关系，没有实际意义，不能带
单位。
2、百分数和小数的互化：
①小数化百分数，小数点向右移两位，加百分号；
②百分数化小数，小数点向左移两位，去掉百分号；
3、百分数和分数的互化：
①百分数化分数：写成分母是100的分数，百分号前面
的数字就是分子，再化成最简分数；
②分数化成百分数：讲分子分母同时乘以一个数，使分
母变成100；或将分数化成小数，参照小数化百 分数。

4、百分数的简单题型分类：
①百分数和百分率；
②一个数使另一个数的百分之几；
③一个数比另一个数多（少）百分之几； < br>注意：出现“比谁”“是谁”，就把“谁”看做单位“1”或
者百分之百，“谁”就做除数或分母 。

课堂练习：
1、甲乙两数的比是3:4，甲数是乙数的（）%；
2 、男生20人，女生30人，男生约占女生人数的（）%，男
生占全班人数的（）%，女生占男生的（） %。
3、果园今年种了200棵果树，活了180棵， 这批果树的成
活率是（）%。
4、把20克盐放入80克水中，盐水的含盐率是（）。
5、一堆煤，用了40%，还剩这堆煤的（）%。
6、比80米少20%的是（）米，（）米的20%是60米。
7、甲数是乙数的0.8，乙 数比甲数多（）%，甲数比乙数少
（）%，甲乙数的和比乙数多（）%。
8、有两个数，甲数 是10，乙数比甲数少2，那么，甲数是
乙数的（）%，乙数是甲数的（）%。
9、最小的合数比最小的质数多（）%。
10、一段路的60%比它的40%多5千米，这段路有（）。
11、一台冰箱，原价2000元，降价后卖了1600元，降了百
分之几？

12、一台电视，原价1200元，降了300元，价格降了百分
之几？

13、某商品现价80元，比打折前便宜了20元，此商品打（）
折优惠。


14、甲、乙两人每人都有10张纸，甲给乙多少张纸可以使
乙的纸张数比甲多50%？
(二)利润、利息问题
（一）利润问题基本概念：
成本：又叫进价，即商店商品的买价；
定价：商店给商品的标价；
利润：卖出价格与成本的差价；
售价：卖出的价格。
（二）利润问题基本数量关系：
1. 利润=出售价－成本价
2. 利润率=（出售价－成本价）÷成本价×100%
3. 期望利润=定价－成本价
4. 期望利润率=（定价－成本价）÷成本价×100%
5. 出售价=成本价×（1+利润率）
6. 定价=成本价×（1+利润率）
7. 折扣=买价÷卖价
（三）利息问题基本数量关系：
1. 利息=本金×时间×利率
2. 利率=利息÷(本金×时间)
3. 本金=利息÷(利率×时间)
8．税后利息=本金×时间×利率×（1－税率）
例1：电讯商店销售某种手机，去年 按定价的90%出售，可
获得20%的利润，由于今年的买入价降低了，按同样定价的
75%出 售，却可获得25%的利润，请问今年的买入价是去年
买入价的百分之几？



练习1：个体户小张，把某种商品按标价的九折出售，仍可
获利20%，若按货物的 进价为每件24元，求每件的标价是
多少元？


练习2：体育用品商店以 每个40元的价格购进一批小足球，
以每个50元的价格卖出。当卖掉这批足球的90%时，不仅
收回了成本，还获利800元。这批小足球一共多少个？



练习3： 某水果店到苹果的产地收购苹果，收购价每千克
1.20元。从产地到该商店的路程是400千米，运费 为每吨
货物每运1千米收1.5元。如果在运输和消费过程中的损耗
是10%，商店要想实现2 5%的利润率，那么这批苹果的零售
价是每千克多少元



练习4：李先生将一笔钱存入银行，定期3个月，年利率
3.25%，到期利息是357.5元，李先 生存入银行的一笔钱是
多少元？本利和是多少元？

(三)浓度问题：
1、基本量： 溶质；溶剂；溶液=溶质+溶剂；浓度；
2、基本公式：
①浓度=溶质÷溶液×100%=溶质÷(溶质+溶剂)×100%；
②溶质=溶液×浓度=(溶质+溶剂)×浓度；
③溶液=溶质÷浓度；
3、溶液混合情况分析：
①一种液体加入水，前后溶液量变化，浓度变化，溶质
不变；
②两种浓度不同液体混合，浓度变化，溶液=两液体溶液
和，溶质=两液体溶质和。
4、重要工具：十字交叉法





推导过程：a x%+b y% = z% (a+b):
5、溶液加入相同水量，浓度变化公式：
每次加入的水量原浓度-新浓度
原水量

新浓度
；
新溶液量
原溶液量

原浓度
新浓度
例1：加入相同水量稀释问题：例1：现有 250克浓度为20%
的糖水，我们加入70克糖，这时，糖水的浓 度变为多少？
然后再加入160克水，浓度变为多少？ 最后又加入浓度为
15%的糖水120克，浓度变为多少



练习1：现有浓度为20%的糖水200克，加入浓度为30%
的糖水50克，浓度变为多少？
（2）现将浓度为10%的盐水10千克与浓度为30%的盐水
3千克混合， 得到的盐水浓度是多少？






练习2：（1）将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的
稀 酒精，需加入水多少克？
（2）浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%
的糖水，需加多少克糖？





练习3：有浓度为20%的盐水300克，要配 制成27%的盐
水，需加入浓度为30%的盐水多少克？




练习4：小明用糖块和开水配制了1000克浓度为20%的糖
水，那么在配制过程中，用了多 少克水？如果用糖含量18
﹪和23﹪的糖水配制，各需多少克糖水？




例2：两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，倒在
一起混合后盐水的浓 度变为30%，若再加入300克20%的盐
水，混合后浓度变为25%，那么原有40%的盐水多少克 ？



练习1：有一杯酒，食用酒精含量为45﹪，若添加16克水，< br>酒精含量就变为25﹪，这杯酒中原来有食用酒精多少克？





练习2：用浓度为45﹪和5﹪的糖水配制成浓度为30﹪的
糖水4000克，需取 45﹪的糖水多少克？





练习3：一杯盐水，第 一次加入一定量的水后，盐水的含盐
百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百
分比变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分
比将变成百分之几？





练习4：酒精含量为30%的酒精溶液若干，加了一定量的 水
后稀释成酒精含量为24%的溶液，如果再加入同样多的水，
那么液体的酒精含量将变为多少 ？

(四)工程问题：
1、三个基本量：工作总量（工总）、工作时间（工时）、工
作效率（工效）；
2、基本公式：工总=工效×工时；
工效=工总÷工时；
工时=工总÷工效；
3、设工作总量的方法：
①通常将工作总量设为单位“1”；
②讲完成时间的最小公倍数设为工作总量；
4、多人合作，区分合作方式：
①合作：总工效=多人工效相加
合作工总=合作工效×合作工时；
合作工效=合作工总÷合作工时；
合作工时=合作工总÷合作工效；
②轮流做：总工总=各人工总之和
总工总=工效1×工时1+工效2×工时2......
5、进水、出水问题：
总工效=进水工效之和-出水工效之和；

例1：一份稿件，甲需要6天才能完成打 印，乙需要10天
才能完成打印，那么两人合作打3天共完成这份稿件的几分
之几？





练习1：一项工程，扬扬单独做要12天完成，贝贝单独做
要24天完成，晶晶单独做36天完成。如果先让扬扬单独
做6天，再让贝贝单独做6天，剩余 的工程由晶晶完成，
那么晶晶工作几天能完成？







练习2：植树节那天，学校计划要把一批树苗全部种上，如
果由甲班单独 种，需要6小时完成；如果由甲、乙两班合种，
需要4小时完成。那么如果由乙班单独种需要多少小时完
成？






练习3：一项 工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙
两人合作9天可以完成，甲、丙两人合作18天可以完成，
那么丙一人来做几天可以完成这项工作？




练习4 ：工程队的8个人用30天完成了某项工程的
2
减少了2个人完成其余的工程，那么完成这项工 程共用了多
3
,接着
少天？




例2：一个水池有甲和乙两个排水管，一个进水管丙，若同
时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空 ，若同时开放
乙、丙两管，30小时可将满池水排空；若单独开丙管，60
小时可将空池住满， 若同时开放甲，乙，丙三水管，要将满
池水排空，需要几小时？






练习1：一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同
的 出水管，如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟
能把水池的水排完；如果同时打开进水管和两个 出水管，则
10分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时打开三个出
水管，需要多少分钟才 能排完水池的水？







练习 2：有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，
其余8根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不 停的向这
个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池内的水全部排
光（这时池内已注入了一些 水）。如果把8根出水管全部打
开，需3小时把池内的水全部排出;如果仅打开5根出水管，
需 6小时把池内的水全部排出。要想在4.5小时内把池内的
水全部排光。需要同时打开多少根出水管？

(五)比例
(1) 比例性质
前项和后项都乘以或除以相同的数（0除外）比值不变 ；

例2：甲乙两人分别在 A、B两地同时相向而行，甲乙速度
之比为3:2，经过若干时间后，在C点相遇，C点距中点300< br>米，求A、B两地相距多少米？
两个外项的积等于两个内项的积；
(2) 求比值和化简比的区别和联系意义方法结果
1.求比值：前项除以后项所得的商；
2.化简比：把两个数的比化成最简单的整数比；
(3) 正比例和反比例的区别和联系
正比例：
y
x
K（常数）

反比例：
xyK(常数)

(4) 应用题
1、日常生活中的数量比例分配：
找到总数量对应的总份数，相应量在总份数中的占比；
2、行程中的速度比例：
按照速度比例，相同时间内，所走路程也按相应比例分
配，也转化为数量比例分配问题。
3、正、反比例应用题的解题策略
判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比
例关系然后设未知数，列比例式；


例1：甲、乙两校原有的图书本数的比是7:5，如果甲校给
乙校650本，甲、乙 两校图书本数的比就是3:4.原来甲校有
图书多少本？




练习1-1：六年级一班的男、女生比例为3:2，又来了4名
女生后，全班共有44人，求现 在的男、女生人数之比。




练习1-2：师徒二人共加工零 件400个，师傅加工一个零件
用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师
傅比 徒弟多加工多少个零件？





练习1-3：甲、乙 两人的钱数之比是3:1，如果甲给乙0.6元，
则两人的钱数之比变为2:1，两人共有多少钱？







练习2-1：一条路全长 60千米，分成上坡、平路、下坡三
段，各段路程的长度之比是1:2:3，某人走各段路程所用的时间之比是3:4:5.已知他走平路的速度是5千米时，他走完
全程用多少时间？




练习2-2：一项任务师徒合作2天完成全部任务的
3
5
，接着
师傅因故停工2天，后继续与徒弟合作，已知师徒工作效率
之比是2:1， 问完成这一任务前后一共用了多少天？





例3：两张纸条,原来的长度比为37:28， 都撕去14厘米后,
长的比短的还长
6
7
，则短纸条还有多长？





练:3-1：
学校组织体检, 收费如下: 老师3元，女生2元，
男生1元， 已知老师和女生的人数比为2∶9, 女生和男生
的人数比为3∶7, 共收的体检费945元，
那么, 老师、女
生和男生分别有多少人？






练习3-2：在一个盛有部分水的长方体容器中, 插有两根
木棒, 木棒露在外面的长度比是 3:7，当水面的高度升高
10厘米后，木棒露在外面长度比变
成2∶5. 当木棒露在外
面长度比变成1∶3时,还需要升高多少厘米的水？

(六)牛吃草问题的等量关系公式
牛吃草总数- 草生长的总数=原来草场有草的数量
牛吃草总数=牛的数量×时间
解题思想：
一般设1头牛1个单位时间吃1个单位的草；
牛数量1×时间1—牛数量2×时间2=时间差×每天长草量
(七)鸡兔同笼的等量关系公式 鸡数+兔数=头总数
鸡脚数只×鸡数+兔脚数只×兔数=脚总数
解题思想：
(1)假设全是鸡，假设的脚数比实际脚数少，则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=兔数；
(2)假设全是兔子，假设的脚数比实际脚数多，则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=鸡数；


例4：某俱乐部男、女会员人数之比为3∶2, 所有会员分
为甲乙丙三组. 已
知甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶
7, 甲组中男、女人数比3∶1, 乙组中男、女比5∶3. 求
丙组中男、女会员人数之比.






例5：某区参加数学竞赛的男女生人数比是4∶3，结果有91
人获奖， 获奖中
男女生人数比是8∶5, 没有获奖的男女生
人数比是3∶4. 这区参加数学竞赛的共有多少人？




例6：配制盐酸含量为 20﹪的盐酸溶液1000克，需要用盐
酸含量为18﹪和23﹪的盐酸溶液各多少克？







例7：
有含糖6﹪的糖水9 00克，要使其含量加大到10﹪，
需加糖多少克？






例8：
小明用糖块和开水配制了200克浓度为35%的糖水，
那么 在配制过程中，用了多少克水？






例1 2：工程队的8个人用30天完成了某项工程的23,接着
减少了2个人完成其余的工程，那么完成这项 工程共用了多
少天？




例14：一个装满了水的水 池有一个进水管和三个口径相同的
出水管，如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟能
把 水池的水排完；如果同时打开进水管和两个出水管，则10
分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时 打开三个出水
管，需要多少分钟才能排完水池的水？






例15：某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人
在自己原岗 位工作时，9小时可完成这项生产任务，如果交
换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可 提
前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗
位，其他工人生产效率不变时，也 可以提前1小时完成这项
生产任务；如果同时交换A和B，C和D的工作岗位，其他
工人生产效 率不变，可提前多少分钟完成这项生产任务？






例16：小明买了一辆二手山地车，支付了山地车原价的90%，
没过几天，他的朋友看中了这 辆山地车，并表示愿意支付高
出原价25%的价格买下，小明答应了，只经过简单一转手，
这辆 山地车就让小明赚了

105元。那么小明这辆山地车的
原价是多少元？





例17：一种游戏手掌机若按原价卖出，利润率是30%， 如果
进价降低10%，并以50%的利润率卖出，那么每天游戏手掌
机就将多得300元的利润 ，这种游戏手掌机原价是多少元？

一、计算~(一)分数裂项-知识点：
1、裂差公式：
11
n(n1)

n

1
n1


111
n(nk)

k(
n

1
nk
)


1111
n(n1)(n2)

2
(
n(n1)< br>
(n1)(n2)
)

2、裂和公式：
ab11
ab

b

a

二、例题：
例1：
1
1011

11
111 2



99100








例2：
1111
36

69< br>
912


9699









例3：
11
123

234

1
345



1
9899100









例4：
1
1
2
2
1
63
111
12
4
20
10
110









例5： 1
1
12

111
123

12 34

12399100




例6：
3
1
2
2
2

52
2
3
2

7
3
2
4
2



15
7
2
8
2








2222
例7：
123
13

35

57


50
99101









例:8：“！”表示一种运算符号，它的含义是2！=2×1；
3！=3×2×1；

，计算
2
3！
< br>3499
4！

5！

100！








例9：
36579
5

7

6

12

20
11
30

13
42

练习：
1、
1
1
2

1
4

1
8

1
16

11
1024

2048< br>



2、
3
4

536

79111315
144

400

9 00

1764

3136





3、
(
1111
11

21
31

41
)(
1
21

1
31< br>
11
41

51
)


 (
1
11

1
21

111111
31< br>
41

51
)(
21

31

41
)








4、
1
30

1
42

1
56< br>
1
72

111
90

110

132









555
5、
14

84

204< br>
5
374

5
594

5
864









6 、
2
345

22222
456

56 7

678

789

8910








7、比较分数大小： < br>(1)分数
5
7
，
15
17
，
4
9
，
40103
124
，
309
中，哪一个最大？





(2)从小到大排列下列分数，排在第三个的是哪一个？

755
15
，
12
，
6
，
9
10
，
11
18
，
17
30
，
22
45
；





(3)若A=
1
2013
2
20141
，B
1
2013< br>2
201420132014
2
，比
较A与B的大小。








(4)比较< br>2013
2
2012
2012
2013
与2014
2009
2012
2011
2013

一、计算~(二)常用计算公式知识点：

1、等差数列：
项数=(末项-首项)÷公差+1
末项=首项+（项数+1）×公差
求和=（首项+末项）×项数÷2
当等差数列为奇数项时，可以用中间项定理：
和=中间项×末项
（1）
135(2n1)n
2

（2）
123n321n
2

2、平方和公式：

1
2
2
2
3
2< br>n
2

1
6
n(n1)(2n1)

3、立方和公式：

1
3
2
3
 n
3
(12n)
2

1
n
2
(n 1)
2
4

4、平方公式
（1）平方差公式
a
2
b
2
(ab)(ab)

（2）完全平方和（差）公式

(ab)
2
a
2
2abb
2

二、习题：
1、
100
2
99
2
982
97
2
2
2
1
2








、 × ×







、
10
2
11
2
12
2200
2







、
1
2
2
2
4
2
5
2
13
2
14
2
16
2






1
3
2
3
3
3
、


2016
3

123

2016






、
1
3
3
3
5
3
7
3
9
3
11
3
13
3
15
3






、
(2
2
4
2
< br>
100
2
)(1
2
3
2


99
2
)
123

891098< br>
321






< br>、
199297395501



< br>



、
1
1111111
2
3
4
5
8
7
16
9
32
11< br>64
13
128





< br>

一、计算~(三)小数和分数的互化

1、纯循环化成分数：循环节有几位小数，则分母有几个9，
分子就是循环节。
2、 混循环小数化分数：分母9的个数=循环节小数位数，
分母0的个数=非循环节小数位数，分子=分数部 分-非循环
部分小数。
3、神秘组织：142857是分母是7的分数的循环节数字，分子是1的，第一位是最小的，按此规律排列。
一、计算~(四)
进制问题

1、常见进制：二进制、十进制、十二进制、十六进制、二
十四进制、六十进 制.
2、二进制：只使用数字0、1，在计数与计算时必须是“满
二进一”，
例如，(9)
10
＝(1001)
2

3. 十进制转
n
进制： 短除、取余、倒写. 例如：
(1234)
10
= (1200201)
3
4.n进制转十进制：写指、相乘、求和。例如:
3210
(1011)
2
=1×2+0×2+1×2+1×2=(11)
10


例：
0.01

＋0.12

＋0.23

＋0.34

＋0.78

＋0.89








例2：
(80.80.8)
71113







例：将循环小数

要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一
0.027

与
0.1

79672

相乘，取近似值，
位小数是多少？




< br>



例：
冬冬将
0.32

1

乘以一个数时，看丢了一个循环点，

使得乘积比结果减少了
0.03
，正确结果应该是多少？








5.关于进位制
⑴ 本质：
n
进制就是逢
n
进一；
⑵
n
进制下的数字最大为(n-1),超过9用大写字母代替。
⑵把十进制数
例1：
⑴将(2009)
10
写成二进制数


2008转化为十六进制数；






例2：
⑴ (463)
把下列各数转化成十进制数：
(5FC)

8
；⑵ (2BA)
12
；⑶
16
.





例3：① (101)
2
(1011)
2
 (11011)
2
 ( ）
2
②
③


(
(
11000111
3021)
）
2
605

 (10101）
)
2
 (11）
2
 ( ）
2

④
(63121
4
)

 (
7
 ( )
10

8
 (1247)
8
 (16034 )
8
 (26531)
8
 (1744 )
8

( )
8








例
同的数字，如果
4：
用a
，
b
，
c
连续正整数，
(
，
ade
d
，
)
e
, (
分别代表五进制中五个互不相
adc
示是多少？
那么
(cde)
) , (aab)
是由小到大排列的
5
所表
示的整数写成十进制的表

二、计数原理~(一)容斥原理：

专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，

例2：在网校 50名老师中，喜欢看电影的有 15 人，不喜欢
唱歌的有 25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有 5人。那么
只喜欢唱歌的有多少人？
也叫容斥原理。 即当两个计数部分有重复包含时，为了不重
复计数，应从它们的和中排除重复部分。
1、(两张饼)原理一： 大饼=A+B-AB
2、(三张饼)原理二： 大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC

口诀 ：奇层加，偶层减。
3、原则：①消重；②不消不重；
4、考点：①直接考公式；
②直接考图形；
③锅内饼外=全部-大饼上的数量；
④三叶草=AB+AC+BC-ABC
5、解题方法：①文氏图法；
②方程法；
③反推法；
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作
业？请举手！”有37人举手。又问：“谁 做完数学作业？请
举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有
做完？”没有人 举手。求这个班语文、数学作业都完成的人
数。




练习1：网校老师共 50 人报名参加了羽毛球或乒乓球的训
练，其中参加羽毛球训练 的有 30 人，参加乒乓球训练的有
35 人，请问：两个项目都参加的有多少人？




练习2：网校老师 60 人组织春游。报名去香山的有 37 人，
报名去鸟巢的有 42 人，两个地点都没有报名的有 8 人，那
么只报名其中一个地点的有多少人？







练习1：学校组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个
组进行，参加轮滑比 赛的有20人，参加游泳比赛的有25
人，参加羽毛球比赛的有30人，同时 参加了轮滑和游泳
比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人， 同
时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有
4 人，问参加 体育比赛的共有多少人？





练习2：五年级一班 有46名学生参加数学、语文、文艺
三项课外小组。其中有24人参加了数学小组，20人参加
了语文小组，既参加数学小组又参加 语文小组的有10人.
参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参 加文艺小组
人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参
加文艺小组 也参加语文小组的人数等于三项小组都参加
的人数的2倍，求参加文艺小组的人数？








例3：网校老师共有90 人，其中有32人参加了专业培训，
有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既
参加了专业又参加了文化培训，8人既 参加了技能又参加
了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而 三
个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少
人？（锅内饼外）


练习1：在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能
被3整除，还不能被5
整除的数有多少个？

二、计数原理~(二)加乘原理：
1、加法原理：
做一件事，完成 它可以有n类办法，在第一类办法中有
m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方
法 ，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成
这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种 不同方法。每一种方法都
能够直接达成目标。
2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个 步骤，做第
一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方
法，……，做第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件事
共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
3、区分 两原理：要做一件事，完成它若是有n类办法，是
分类问题，每一类中的方法都是独立的，因此使用加法 原理；
做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将
分成的若干个互相联系的步骤 ，依次相继完成，这件事才算
完成，因此用乘法原理。
例1：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的
自然数？





例2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数
中，百位不是2的 奇数有多少个？





例3：
一个七位数， 其数码只能为
1
或
3
，且无两个
3
是邻
的。问这样 的七位
数共有多少个？





例4：在< br>1
～
10
这
10
个自然数中，每次取出三个不同的数，
使它们的和是
3
的
倍数有多少种不同的取法？






三、加乘原理——标数法、递推法
①标数法与递推法都是加法原理
②按最后一步进行分类，做加法
③标数时要注意限制条件
④分平面问题要确定交点个数

例1：如图， 为一幅街道图，从
A
出发经过十字路口
B
，但
不经过
C走到
D
的不同的最短路线有多少条？









例2：在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向
右，或沿对角 线的方向向右上走任意多步，但不能不走。
那么走到右上角一共有多少种方法？







例3：一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶
或2级台阶，最 多可以迈3级台阶，从地面到最上面1级
台阶，一共可以有多少种 不同的走法？









例4：一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最
多把平面分成几部分？

二、计数原理~(三)概率

1、随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现，但
是具有规律性的事件。
2 、概率：随机事件可能发生的可能性的度量，一般用P来
表示，特例：必然事件：P=1；不可能事件： P=0；
3、独立事件：事件1是否发生对事件2发生的概率无影响；
4、互斥事件：不可能同时发生的两件事件；
5、对立事件：两个互斥事件必有一个发生；
6、概率的计算：
P(A)
m
n

n表示试验中发生所有情况的
总数，m表示事件A发生的次数。

7、概率具有可乘性。计算概率的基础：计数、枚举、加乘
原理、排列组合。
例1：一副扑克牌有黑桃、红桃、方块、草花4种花色，每
种花色各拿出2 张，现在从这8张牌中任意取出2张。请
问：这2张扑克牌花色相同 的概率是多少？





例2：编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中，从
中随机地取出两 个小球，这两个小球的编号不相邻的可能
性是多少？





例3：
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六人抽签推选代表，公证人一共
制作了六枚外 表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，
六人按照字母顺序先 后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”
字，即被推选为代表，这六人被抽中的概率分别为多少？






例4：一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率
是多少？






二、计数原理~(四)排列组合

1、排 列：从n个不同元素中选出m个，按照一定的顺序排
列，记为：
A
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)
可以理解为从n开始乘，一共乘m个。
特殊要求，优先满足：
（1）捆绑法：必须在一起；
（2）优先满足法：特殊位置或特殊元素；
（3）插空法：不能相邻，必须隔开；先排没有要求的，再
在空里插必须要分开的元素。
（4）排除法：正难则反；
2、组合：从n个不同元素中选出m个，不需要按顺序排列， < br>记为：C
m
n
=(n-1)(n-2)(n-3)....(n-m+1)n!
可以写成：C
m
n
=A
mm
n
A
m
；
重要性质：
C
mm-nn
n
=C
n
； C
n
=1；
方法：（1）排除法：有至少、至多等情况下用；
（2）隔板法：相同物品放在不同位置或不同的人，
要求至少一个，可以用隔板法。
例1：计算

A
6
3
=
4A
5
4
=
A
7
4
A
1
9
=

4A8
3
A
1
9
A
6
5
=

C
6
2
=
C
6
4
=
C
1
8
=
C
8
7
=

C
100
2
2C
100
99
= < br>C
100
2
C
6
4
C
100
98
C
5
4
=

例2：6 个人走进有 10 辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰
碰车只能坐一个人， 那么共有多少种不同的坐法？







例3：书架上有 3 本不同的故事书，2 本不同的作文选和 1 本
漫画书，全部竖起来 排成一排。
⑴如果同类的书可以分开，一共有多种排法？

⑵如果同类的书不可以分开，一共有多少种排法？

例4：一共有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各
一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？
⑴把 7 盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在
第七位。
⑵串起其中 4 盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位
。






例5：
八个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站
法？
⑴ 八个人站成一排；

⑵八个人排成一排，某两人必须有一人站在排头；

⑶八个人排成一排，某两人必须站在两头；

⑷八个人排成一排，某两人不能站在两头。








例6：大海老师把 10 张不同的游戏卡片分给佳佳和阳阳，
并且决定给佳佳 8 张， 给阳阳 2 张。一共有多少种不同的
分法
？





例7：一个小组共 10 名学生，其中 5 女生，5 男生。现从中
选出 3 名代表， 其中至少有一名女生的选法？






例8：
一个电视台播放一部 12 集的电视剧，要分 5 天播完，
每天至少播一
集，有多少种不同的方法？

三、数论
(一)奇偶性
奇数

奇数=偶数；偶数

偶数=偶数；奇数

偶数=奇数；
奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数；
奇数个奇数相加减，结果是奇数 ；偶数个奇数相加减，结果
是偶数；偶数无论多少相加减，结果都是偶数。
奇数不可能被偶数整除；
任意个数相乘，只要有一个因数是偶数，则积一定是偶数。
写作[A，B]。则A×B=最大公因数×最小公倍数
(六)余数
（一）带余除法 被除数÷除数=商......余数，表示成：

d0,A被B整除
ABC

d

余数要小于除数，如果大于
d0,d为余数

除数，则再除以除数取余。
计算公式：(1)被除数=商×除数+余数
(2)被除数- 余数=商×除数
(二)质数合数：
1、质数明星：2和5；
2、100以内质数：25个；
3、除了2和5以外，其余的质数个位只能是1,3,7,9；
4、最小的四位质数：1009；
5、判断较大数P是否为质数的方法：
(1)找一个比P大接近于P平方数K
2
；
(2)列出所有不大于K的质数去除P；
(三)因数定理：
1、因数个数定理：
(1)分解质因数，写成标准式；
(2)将每个不同的质因数的指数+1，然后连乘，得出个数；
2、因数和定理：
(1)分解质因数，写成标准式；
(2)将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂，求
和，然后再将这些得到的和相乘；
3、因数积定理：
把因数从小到大配对相乘，奇数个因数时，最中间的因数直
接相乘。

(四)整除
（一）末位系：2、5、8,5、25、125的特征
1、末位是偶数，能被2整除；末位是0、5，能被5整除；
2、末2位能被4或者25整除，这个数就能被整除；
3、末3位能被8或者125整除，这个数就能被整除；
（二）求和系：3、9、99的特征
1、数字和能被3或者9整除，这个数就能被3或者9整除；
2、把多位数，从个位开始，2位一段，各段数的和能被99
整除，这个数就能被99整除。
（三）求差系：7、11、13特征
1、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位 数
与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7或11或
13整除,这个多位数就一定能相 应被7或11或13整除．
2、一个多位数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上
的数字 分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数
(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整 除.
(四)拆分系：将数分解质因数，看除数是否在因数的组合中。

(五)最大公因数，最小公倍数
假设数A和数B的最大公因数，写作(A，B)；最小公倍数
(3)(被除数-余数)÷商=除数
（二）余数三宝（余数定理）：三大性质
余的和等于和的余；余的差等于差的余；余的积等于积的余。
（三）余数两招：加同和，减同差
同一个数分别除以两个数a和p，所得的余数分别为b和q ，
如果a+b=p+q,则加同和，这个数为ap+(a+b)；如果a-b=p-q,
则为减 同差，这个数为ap-(a-b)。
（四）弃九法
abcd1000a100b10 cd999a99b9c(abcd)

所以这个数能否被9整除只取决于数 字和是否能被9整除，
能被9整除的部分不用看，弃掉，所以称为弃9法。

(七)完全平方数
性质1: 完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.
性质2: 完全平方数除以5只能余0、1、4.
完全平方数除以3只能余0、1.
完全平方数除以4只能余0、1.
性质3:
⑴ 偶指性—分解质因数后每个质因数的指数都是偶数；
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然. 特别地，
因数个数为3的自然数是质数的平方；

1、用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个
数是多少?




2、从0~9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、
一个三位数和 一个四位数，使这三个数的和等于2010，
那么其中未被选中的数字是谁？(弃九法)



3、一个四位数是这个数的数字和的83倍，求这个四位数



4、⑴ 2
20
除以7的余数是多少？
⑵ 14
14
除以11的余数是多少？

5、算式1×4×7×10×……×2011的计算结果除以9的
余数是多少？




6、⑴ 有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到
相同的余数，求这
个数.
⑵ 用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都
除不尽，而且前一次所得的余数是 后一次的2倍. 如果这
个数大于1，那么这个数是多少？






7、一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是 .





8、三个数p，p+1，p+3都是质数，它们的倒数和的倒数是
多少？




9、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9组成若干个质数，要求每个数字 恰
好使用一次，请问，这些质数和的最小值是多少？





10、已知两个自然数的的差为4，它们的最大公因数和最小
公倍数的积为252， 求这两个自然数。





11、已知三个合数A、B 、C两两互质，且A×B×C=1001×28×11，
那么A+B+C的最小值是多少？




12、已知a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合
下面算式：(a+b)(c+d)e=2890，那么，这5个数中最大的
数至多是谁？




13、2001个连续自然数的和为a×b×c×d，期中a、b、c 、d
均为质数，则a+b+c+d的最小值为多少？





14、有一列数，第1个数是1，从第2个起，每个数比它前
面相邻的加3，最后一 个数是100，将这列数相乘，则在计
算结果的末尾中有多少个连续的“0”？





游戏对策问题：
1、
桌子上放着55根火柴, 甲、乙二人轮流每次取走1～3
根, 规定谁取走最
后一根火柴谁获胜．如果双方都采用最
佳方法, 甲先取, 那么谁将获胜？





2、有100枚硬币, 甲乙两人轮流取, 每次取1~8枚, 规
定取到最后一枚的人获
胜. 请问: 甲先取, 谁有必胜策
略?





3、
有10箱钢珠, 每个钢珠重10克, 每箱600个. 如果
这10箱钢珠中有1箱次品，
次品钢珠每个重9克, 那么,
要找出这箱次品最少要称几次？

四、平面几何
(一)三角形
三角形的边：
①三角形任意两边之和大于第三边.
②三角形任意两边之差小于第三边.
按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形
(四)相似模型
边和角的关系在同一个三角形中，等边对等角

例1：如图：∠A＋∠B＋∠C＋∠D
＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝



例2：如图，八边形的8个内角都
是135°，已知AB＝EF，BC＝20，
DE
＝10，FG＝30，则AH＝ 。


二、等
积变形








(二)共角模型（鸟头模型）

(三)燕尾模型




(五)蝴蝶模型
1、任意四边形蝴蝶模型

















2

、梯形蝴蝶模型








任意四边形：①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4

②
AO:OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3


梯形： ①
S
2
1
:S
3
a:b
2

②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
③梯形
S
的对应份数为

ab

2

(六)勾股定理
直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
如右图：a 、b分别代表直角三角形ABC的两条直角边的长
度，C为斜边的长度，则：
a
2b
2
c
2

例1：如图，BD长12厘米，DC长4厘米， B、C和D在同
一条直线上。①求三角形ABC的面积是
三角形ADC面积的多少倍？
②求三角
形ABD的面积是三角形ADC面积的多少
倍?


例2：如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是AC、
BC和AD
的中点。求 ：三角形DEF的面积。

例3：如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积
相等的三角形共有哪几对？




例4:如图，在三角形ABC中,BC=8厘米，高是6厘米,EF分
别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方
厘米？




例5:如图所示，在平行四ABCD中，E为AB的中点,AF=2CF，
三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四
边形ABCD的面积是多少平方厘米？






例6：如图，在平行四边形ABCD 中，EF平行AC，连结BE、
AE、CF、BF那么与△ABC等积的三角形一共有哪几个三角
形？




例7:如图,ABCD为平行四边形,EF平行A C，如果△ADE的面
积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。






例8：在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面
积是7平方 厘米，则三角形DEC的面积是 平方厘米





例9：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为
20厘米，则图中阴影面积为多少平 方厘米？





例10：如图，有三个正方形的顶点 D、G、K恰好在同一条
直线上，其中正
方形GFEB的边长为16厘米，求阴影部分
的面积?




例11：如图，三角形ABC被分成了甲、乙两 部分，BD=CD=4，
BE=3，AE=6
，乙部分面积是甲部分面积的几倍？






例12：如图，三角形ABC的面积为1，其中 AE=3AB，BD=2BC，
三角形BDE
的面积是多少？






例13：如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使
BD=AB；延长BC至E，使CE=BC；延长CA至F，使AF=2AC，
求三角形DEF的面积 。





练习1：已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE，AD=2BD，
CF=3AF，求△ABC的面积。






练习2：如图，在∠MON的两边上分别有A、C、E及B 、D、
F六个点，并且△OAB
、△ABC 、△BCD、△CDE、△DEF 的
面积都等于1，则△DCF
的面积等于多少？

练习3：等腰△ABC中，AB=AC=12cm，B D、DE、EF、FG把它
的面积5等分，求AF、HD、DC、AG、
GE、EB的长?



练习4：E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、
CP、ME彼此平行， 若AD=5，BC=7，AE=5， EB=3。求阴影
部分的面积。




练习5
：如图，在△ABC中，延长AB至
D，使BD=AB，延长BC至 E，使BC=2CE，
F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多
少？




练习6：如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其
中3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四
边形OFBC的面积为多少？




练习7：如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，
求△AEG 的面积。




练习8：如图所示，长方形
ABCD< br>内的阴影部分的面积之和
为70，
AB8
，
AD15
，四 边形
EFGO
的面积为多少？





勾股定理
例题1：求下面各三角形中未知边的长度。
例题2：根据图中所给的条件，求
梯形ABCD的面积。



例题3：如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单
位：厘米）



例题4：一个直角三角形的斜边长8厘米，两个直角边的
长度差为2厘 米，求这个三角形的面积？






练习1 ：如图，在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，
CD=40，∠
ADB
＋∠
DBC
＝90°。请问：四边形ABCD的面积是
多少？




练习2：从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形
条后，剩下的那块长方形 的面积为336平方分米，原来正
方形的面积是多少平方分
米？

巧求面积
1、边长分别为6、8、10厘米的正
方形放在一起，求四边形ABCD的面
积。

2、一块长方形的地，长是80米，宽是45米，如果宽增加
5米，要使原来的面积 保持不变，长要变成多少米？
3、一个长方形宽减少2米，或长减少3米，面积均减少24
米，求原长方形面积？

4、如图，一块长方形纸片，长7厘米，宽5厘米，把它的
右上角往下折叠，再把左小角向上折
叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平
方厘米？


5、如图，7 个完全相同的长方形组成了
图中的阴影部分，图中空白部分的面积
是多少？

6、一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么
面积就减少66平方厘米，这是剩下的部< br>分正好是一个正方形，求原来长方形的
面积？


7、有一大一下两 个正方形试验田，它们的周长相差40米，
面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平
方米？


8、图中大正方形的面积为9，中间小正方形
的面积为 1，甲乙丙丁是四个梯形，那么乙
与丁的面积之和是多少？

9、下图中甲的面积比
乙的面积大多少？
10、如图，ABCD是长为7，宽为4
的长方形，DEFG是长 为10，宽为
2的长方形，求△BCO与△EFO的
面积差。


11、如图，E、F、G都是正方形ABCD三条边的中点，△OEG
比△ODF大10平方厘米，那么 梯形OGCF
的面积是多少平方厘米？



12、如图，在直角 梯形ABCD中，三角形ABE
和三角形CDE都是直角等腰三角形，且BC=20
厘米，那么 直角梯形ABCD的面积是多少？


13、如图正方形ABCD被两条平行的直< br>线截成三个面积相等的部分，其中上
下两部分都是等腰直角三角形，已知
两条截线的长度 都是6厘米，那么正
方形的面积是多少？


14、正方形ABCD面积为12平方厘米，
矩形DEFG的长DG=16厘米，求它的宽？


对角模型
：任意一个矩形被分割成四
个长方形，用a、b、c、 d表示这四块面
积，则有a×d=c×b
15、在矩形ABCD中，连接对角线BD，过BD 线上任意一点P，
作EF平行AB，GH平行BC，S△BPF=3，S△PHD=12，求矩形
ABCD的面积

例1：如图，是一个由2个半圆、2个
扇形、2个正方形组成的“心型”。已
知 半圆的直径为10，那么，“心型”
的面积是多少？(圆周率取3.14)

例2：图中四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点，如果
每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分< br>的总面积是多少？(圆周率取3.14)


例3：图中阴影部分的面积。(圆周率取3.14)




例4：如图， ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分
的面积。(圆周率取3.14)



例5：求图中阴影部分的面积。(圆周率取3)




例6：在图中，两个四分之一的圆弧半径是2和4，求两
个阴影部分的面积之差。( 圆周率取3)




例7：如图，两个正方形摆放在一起，其中 大正方形边长为
12，那么阴影部分面积是多少？(圆
周率取3.14)



例8：如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE
半径AE =6
厘米，扇形CBF的半径CB=4
厘米，求阴影部分的面积。
(圆周率取3)



例9：如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20，
阴影甲的面积比阴影乙的面积大
7，求BC的长.(π取3.14)






例10：已知三角形ABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=2厘
米， 求阴影部分的面积。(π取3.14)







例12：在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条
边为直径向内作三个半圆 ，则图中阴影部分的面积为多少平
方厘米？

1. 如图中三个圆的半径都是5
cm
，三个圆两两相交于圆
心．求阴影部分的面积和．(圆周率取
3.14
)





2．计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。


10

5


A

3．请计算图中阴影部分的面积．



10
3



4．如下图，直角三角形
ABC
的两条直角边分别长
6
和
7
，
分别以
B,C
为圆心，
2
为半径画 圆，已知图中阴影部分的面
积是
17
，那么角
A
是多少度(
π3
)

A


6


B
7
C

5．如下图所示，
AB
是半圆的直径，< br>O
是圆心，
ACCDDB
，
M
是
CD
的 中点，
H
是弦
CD
的中点．若
N
是
OB
上 一点，半圆的面积
等于12平方厘米，则图中阴
影部分的面积是多少平方厘
C
M
H
D
米．


A
ONB

6 ．如图，
ABC
是等腰直角三角形，
D
是半圆周的中点，
BC
是半圆的直径．已知
AB
ABBC10
，那么阴影部分的
面积是多少？ (圆周率取
3.14
)
P
D

C

7．如图，图形中的曲线是用半径长度的比为
2:1.5:0.5
的6
条半圆曲线连成 的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴
影的部分的面积的比是多少？




8．如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA
分 别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面
积．(
π
取3)
A

D




B
a

C
9．如图，直角三角形的三条边长度为
6,8,10
，它的内部放
了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？



6
10



O
8

10. 如图，大圆半径为小圆半径两倍，已知图中阴影部
分面积为S1， 空白部分面积为S2，那么这两部分面积
之比是多少？（π取3.14）








11. 如图，边长为3的两个正方形BDKE 。正方形DCFK并
排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为
圆心，BK、C K为半径画弧.求阴影部分面积.(π取3.14)

五、立体几何



例1：一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半。将
这个长方体切 成12个小长方体，这些小长方体的表面之和
为600平方分米，求这个大长方体的体积。








例2：有n个同样大小的 正方体,将它们堆成一个长方体，这
个长方体的底面就是原正方体的底面。如果这个长方体的表
面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正
方体后，新的长方体的表面积比原长方体的 表面积减少144
平方厘米,那么n为多少？









例3：有大、中、小三个正方形水池， 它们的内边长分别
是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的
水里, 两个水池 的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将
这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？






例4：⑴ 一只装 有水的长方体玻璃杯，底面积是80平方厘
米，高是15厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平< br>方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水
深多少厘米?






(2)一只装有水的长方体玻璃杯,底面积是80平方厘米,高
是15厘米, 水深10厘米。现将一个底面积是16平方厘米,
高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。现在水深多少厘
米？





例5：如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在
每 两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔(边平行
于正方体的棱)，且穿透。另有一长方体容器， 从内部量，
长、 宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，
水深3厘米。若将正 方体铁块平放入长方体容器中，则铁
块在水 下部分的体积为 立方厘米。







例6：如图若以长方形的一条宽AB为轴旋转一 周后，甲乙
两部分所成的立体图形的体积比是多少？

(二)高阶行程问题
（1）相向而行：相遇一次=合走一圈；
6、环形路问题：
（2）同向而行：追上一次=多走一圈；
7、发车间隔问题：相遇路程=追及问题=两车间隔路程；
间隔路程=车速×间隔时间；
8、接送问题：指人多车少，怎样时间最短的问题。
方法：(1)画图+份数；
(2)根据时间相同分段处理；
9、多次相遇与追及问题：
六、行程问题
1、相遇问题：路程=速度和×时间；
2、追及问题：相差路程=速度差×时间；
3、行船问题：顺水速度=静水船速+水流速度；
逆水速度=静水船速-水流速度；
水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2；
静水船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；
设数法：题目中没有给出必要的数据，且此数据对最后结果
没有影响，则可设具体的数来计算；
水中相遇与追及，在求时间的时候，可不考虑水速。
4、过桥问题：路程=火车长度+桥的长度；
(隧道) 路程=火车速度×时间；
5、扶梯问题：（1）顺行速度＝人速＋电梯速度
（2）逆行速度＝人速－电梯速度
（3）电梯级数＝可见级数＝路程

例1：在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶
梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈 一级台阶，那么他
走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那
么走过30级台阶 到达地面。从站台到地面有多少级台阶？




例2：商场的自 动扶梯以匀速由下往上行驶，桐桐由下往
上走，刚刚由上往下走，结果桐桐走了30级到达楼下，
刚
刚走了60级到达楼下。如果 刚刚单位时间内走的扶
梯级数是桐桐的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶
梯梯级有多少级？




例3：一列火车，从车头到达车尾算起，用8秒全部驶上一
座大桥，29秒后全部驶离大桥。已知大桥长522米，火车
全长是多少米？



例4：一列货车车头及车身共41节，每节车身及车头长都
是30米，节 与节间隔1米，这列货车以每小时60千米的速
度穿过山洞，恰好用了2分钟。这个山洞长多少米？


例1：从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两
人在一条街上沿 着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆
迎面开来的电车；乙每隔15分钟遇上迎面开来的一辆电车。
且甲的速度是乙的速度的3倍，那么电车总站每隔多少分
钟开出一辆电车？







例2：甲班与乙班学生同时从学校出 发去公园，两班的步行
速度相等都是4千米小时，学校有一辆汽车，它的速度是
每小时48千米 ，这辆汽车恰好 能坐一个班的学生。为了
使两班学生在最短时间内到达公园，两地相 距150千米，
那么各个班的步行距离是多少？

例3：希望小学有100名学生到离学校33千米的郊区参加采
摘活动，学校只有 一辆限乘25人的中型面包车。为了让全
体学生尽快地到达目的地。决 定采取步行与乘车相结合的办法。已知学生步行的速度是每小时5千米汽车行驶的速
度是每小时55千米。请你设计一个方案， 请问使全体学生
都能到达目的地的最短时间是多少小时?







例4：甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车第一次
在 距A地32千米相遇，相遇后继续行驶，各自达到B、A
两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64 千米处相遇，
则A、B两地间的距离是多少？







例5：A、B两地相距540千米.甲、乙两车往返行驶于A、B
两地之间，都是到 达一地之 后立即返回，乙车较甲车快.
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中
P地.那 么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？








例6：甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速
度是每小时30千米， 乙的速度是每小时20千米，二人
相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地 后立即返回.已知
二人第四次相遇的地点距第三次相遇的地点是20千米，
那么，A、B两地相距多少千米？








例7：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。
甲每分钟跑1 80米，乙每分跑240米.如果他们的第100
次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B两
点间的距离为多少米？





例8：甲、乙、丙三辆车同时从A地出发往B地去，甲、乙
两车的速度分别位60千米时和48千米 时。有一辆迎面开
来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、
丙三辆车相遇。 求丙车的速度？






例9：A、B、C 三地依次分布在由西向东的一条道路上，甲、
乙、丙分别从A、B、C三地同时出发，甲、乙向东，丙向
西。乙、丙在距离B地18千米处相遇，甲、丙在B地相遇，
而当甲在C地追上乙时，丙已经走 过B地32千米。试问：
A、C间的路程是多少千米？






例10：甲、乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的
车速是乙的车 速的1.2倍，乙骑了4千米后，自行车出现
故障，耽误的时间可以骑全程的
1
6，排除故障后，乙提高
车速60%，结果甲、乙同时到达B地，那么A、B两地之间
的路程 是多少千米？

七、高阶应用题
(一) 百分数
1、意义：一个数（量）是另一个数（量）的百分之几。
百分数只表示二者的比例关系，没有实际意义，不能带
单位。
2、百分数和小数的互化：
①小数化百分数，小数点向右移两位，加百分号；
②百分数化小数，小数点向左移两位，去掉百分号；
3、百分数和分数的互化：
①百分数化分数：写成分母是100的分数，百分号前面
的数字就是分子，再化成最简分数；
②分数化成百分数：讲分子分母同时乘以一个数，使分
母变成100；或将分数化成小数，参照小数化百 分数。

4、百分数的简单题型分类：
①百分数和百分率；
②一个数使另一个数的百分之几；
③一个数比另一个数多（少）百分之几； < br>注意：出现“比谁”“是谁”，就把“谁”看做单位“1”或
者百分之百，“谁”就做除数或分母 。

课堂练习：
1、甲乙两数的比是3:4，甲数是乙数的（）%；
2 、男生20人，女生30人，男生约占女生人数的（）%，男
生占全班人数的（）%，女生占男生的（） %。
3、果园今年种了200棵果树，活了180棵， 这批果树的成
活率是（）%。
4、把20克盐放入80克水中，盐水的含盐率是（）。
5、一堆煤，用了40%，还剩这堆煤的（）%。
6、比80米少20%的是（）米，（）米的20%是60米。
7、甲数是乙数的0.8，乙 数比甲数多（）%，甲数比乙数少
（）%，甲乙数的和比乙数多（）%。
8、有两个数，甲数 是10，乙数比甲数少2，那么，甲数是
乙数的（）%，乙数是甲数的（）%。
9、最小的合数比最小的质数多（）%。
10、一段路的60%比它的40%多5千米，这段路有（）。
11、一台冰箱，原价2000元，降价后卖了1600元，降了百
分之几？

12、一台电视，原价1200元，降了300元，价格降了百分
之几？

13、某商品现价80元，比打折前便宜了20元，此商品打（）
折优惠。


14、甲、乙两人每人都有10张纸，甲给乙多少张纸可以使
乙的纸张数比甲多50%？
(二)利润、利息问题
（一）利润问题基本概念：
成本：又叫进价，即商店商品的买价；
定价：商店给商品的标价；
利润：卖出价格与成本的差价；
售价：卖出的价格。
（二）利润问题基本数量关系：
1. 利润=出售价－成本价
2. 利润率=（出售价－成本价）÷成本价×100%
3. 期望利润=定价－成本价
4. 期望利润率=（定价－成本价）÷成本价×100%
5. 出售价=成本价×（1+利润率）
6. 定价=成本价×（1+利润率）
7. 折扣=买价÷卖价
（三）利息问题基本数量关系：
1. 利息=本金×时间×利率
2. 利率=利息÷(本金×时间)
3. 本金=利息÷(利率×时间)
8．税后利息=本金×时间×利率×（1－税率）
例1：电讯商店销售某种手机，去年 按定价的90%出售，可
获得20%的利润，由于今年的买入价降低了，按同样定价的
75%出 售，却可获得25%的利润，请问今年的买入价是去年
买入价的百分之几？



练习1：个体户小张，把某种商品按标价的九折出售，仍可
获利20%，若按货物的 进价为每件24元，求每件的标价是
多少元？


练习2：体育用品商店以 每个40元的价格购进一批小足球，
以每个50元的价格卖出。当卖掉这批足球的90%时，不仅
收回了成本，还获利800元。这批小足球一共多少个？



练习3： 某水果店到苹果的产地收购苹果，收购价每千克
1.20元。从产地到该商店的路程是400千米，运费 为每吨
货物每运1千米收1.5元。如果在运输和消费过程中的损耗
是10%，商店要想实现2 5%的利润率，那么这批苹果的零售
价是每千克多少元



练习4：李先生将一笔钱存入银行，定期3个月，年利率
3.25%，到期利息是357.5元，李先 生存入银行的一笔钱是
多少元？本利和是多少元？

(三)浓度问题：
1、基本量： 溶质；溶剂；溶液=溶质+溶剂；浓度；
2、基本公式：
①浓度=溶质÷溶液×100%=溶质÷(溶质+溶剂)×100%；
②溶质=溶液×浓度=(溶质+溶剂)×浓度；
③溶液=溶质÷浓度；
3、溶液混合情况分析：
①一种液体加入水，前后溶液量变化，浓度变化，溶质
不变；
②两种浓度不同液体混合，浓度变化，溶液=两液体溶液
和，溶质=两液体溶质和。
4、重要工具：十字交叉法





推导过程：a x%+b y% = z% (a+b):
5、溶液加入相同水量，浓度变化公式：
每次加入的水量原浓度-新浓度
原水量

新浓度
；
新溶液量
原溶液量

原浓度
新浓度
例1：加入相同水量稀释问题：例1：现有 250克浓度为20%
的糖水，我们加入70克糖，这时，糖水的浓 度变为多少？
然后再加入160克水，浓度变为多少？ 最后又加入浓度为
15%的糖水120克，浓度变为多少



练习1：现有浓度为20%的糖水200克，加入浓度为30%
的糖水50克，浓度变为多少？
（2）现将浓度为10%的盐水10千克与浓度为30%的盐水
3千克混合， 得到的盐水浓度是多少？






练习2：（1）将75%的酒精溶液32克稀释成浓度为40%的
稀 酒精，需加入水多少克？
（2）浓度为20%的糖水40克，要把它变成浓度为40%
的糖水，需加多少克糖？





练习3：有浓度为20%的盐水300克，要配 制成27%的盐
水，需加入浓度为30%的盐水多少克？




练习4：小明用糖块和开水配制了1000克浓度为20%的糖
水，那么在配制过程中，用了多 少克水？如果用糖含量18
﹪和23﹪的糖水配制，各需多少克糖水？




例2：两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，倒在
一起混合后盐水的浓 度变为30%，若再加入300克20%的盐
水，混合后浓度变为25%，那么原有40%的盐水多少克 ？



练习1：有一杯酒，食用酒精含量为45﹪，若添加16克水，< br>酒精含量就变为25﹪，这杯酒中原来有食用酒精多少克？





练习2：用浓度为45﹪和5﹪的糖水配制成浓度为30﹪的
糖水4000克，需取 45﹪的糖水多少克？





练习3：一杯盐水，第 一次加入一定量的水后，盐水的含盐
百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百
分比变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分
比将变成百分之几？





练习4：酒精含量为30%的酒精溶液若干，加了一定量的 水
后稀释成酒精含量为24%的溶液，如果再加入同样多的水，
那么液体的酒精含量将变为多少 ？

(四)工程问题：
1、三个基本量：工作总量（工总）、工作时间（工时）、工
作效率（工效）；
2、基本公式：工总=工效×工时；
工效=工总÷工时；
工时=工总÷工效；
3、设工作总量的方法：
①通常将工作总量设为单位“1”；
②讲完成时间的最小公倍数设为工作总量；
4、多人合作，区分合作方式：
①合作：总工效=多人工效相加
合作工总=合作工效×合作工时；
合作工效=合作工总÷合作工时；
合作工时=合作工总÷合作工效；
②轮流做：总工总=各人工总之和
总工总=工效1×工时1+工效2×工时2......
5、进水、出水问题：
总工效=进水工效之和-出水工效之和；

例1：一份稿件，甲需要6天才能完成打 印，乙需要10天
才能完成打印，那么两人合作打3天共完成这份稿件的几分
之几？





练习1：一项工程，扬扬单独做要12天完成，贝贝单独做
要24天完成，晶晶单独做36天完成。如果先让扬扬单独
做6天，再让贝贝单独做6天，剩余 的工程由晶晶完成，
那么晶晶工作几天能完成？







练习2：植树节那天，学校计划要把一批树苗全部种上，如
果由甲班单独 种，需要6小时完成；如果由甲、乙两班合种，
需要4小时完成。那么如果由乙班单独种需要多少小时完
成？






练习3：一项 工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙
两人合作9天可以完成，甲、丙两人合作18天可以完成，
那么丙一人来做几天可以完成这项工作？




练习4 ：工程队的8个人用30天完成了某项工程的
2
减少了2个人完成其余的工程，那么完成这项工 程共用了多
3
,接着
少天？




例2：一个水池有甲和乙两个排水管，一个进水管丙，若同
时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空 ，若同时开放
乙、丙两管，30小时可将满池水排空；若单独开丙管，60
小时可将空池住满， 若同时开放甲，乙，丙三水管，要将满
池水排空，需要几小时？






练习1：一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同
的 出水管，如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟
能把水池的水排完；如果同时打开进水管和两个 出水管，则
10分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时打开三个出
水管，需要多少分钟才 能排完水池的水？







练习 2：有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，
其余8根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不 停的向这
个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池内的水全部排
光（这时池内已注入了一些 水）。如果把8根出水管全部打
开，需3小时把池内的水全部排出;如果仅打开5根出水管，
需 6小时把池内的水全部排出。要想在4.5小时内把池内的
水全部排光。需要同时打开多少根出水管？

(五)比例
(1) 比例性质
前项和后项都乘以或除以相同的数（0除外）比值不变 ；

例2：甲乙两人分别在 A、B两地同时相向而行，甲乙速度
之比为3:2，经过若干时间后，在C点相遇，C点距中点300< br>米，求A、B两地相距多少米？
两个外项的积等于两个内项的积；
(2) 求比值和化简比的区别和联系意义方法结果
1.求比值：前项除以后项所得的商；
2.化简比：把两个数的比化成最简单的整数比；
(3) 正比例和反比例的区别和联系
正比例：
y
x
K（常数）

反比例：
xyK(常数)

(4) 应用题
1、日常生活中的数量比例分配：
找到总数量对应的总份数，相应量在总份数中的占比；
2、行程中的速度比例：
按照速度比例，相同时间内，所走路程也按相应比例分
配，也转化为数量比例分配问题。
3、正、反比例应用题的解题策略
判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比
例关系然后设未知数，列比例式；


例1：甲、乙两校原有的图书本数的比是7:5，如果甲校给
乙校650本，甲、乙 两校图书本数的比就是3:4.原来甲校有
图书多少本？




练习1-1：六年级一班的男、女生比例为3:2，又来了4名
女生后，全班共有44人，求现 在的男、女生人数之比。




练习1-2：师徒二人共加工零 件400个，师傅加工一个零件
用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师
傅比 徒弟多加工多少个零件？





练习1-3：甲、乙 两人的钱数之比是3:1，如果甲给乙0.6元，
则两人的钱数之比变为2:1，两人共有多少钱？







练习2-1：一条路全长 60千米，分成上坡、平路、下坡三
段，各段路程的长度之比是1:2:3，某人走各段路程所用的时间之比是3:4:5.已知他走平路的速度是5千米时，他走完
全程用多少时间？




练习2-2：一项任务师徒合作2天完成全部任务的
3
5
，接着
师傅因故停工2天，后继续与徒弟合作，已知师徒工作效率
之比是2:1， 问完成这一任务前后一共用了多少天？





例3：两张纸条,原来的长度比为37:28， 都撕去14厘米后,
长的比短的还长
6
7
，则短纸条还有多长？





练:3-1：
学校组织体检, 收费如下: 老师3元，女生2元，
男生1元， 已知老师和女生的人数比为2∶9, 女生和男生
的人数比为3∶7, 共收的体检费945元，
那么, 老师、女
生和男生分别有多少人？






练习3-2：在一个盛有部分水的长方体容器中, 插有两根
木棒, 木棒露在外面的长度比是 3:7，当水面的高度升高
10厘米后，木棒露在外面长度比变
成2∶5. 当木棒露在外
面长度比变成1∶3时,还需要升高多少厘米的水？

(六)牛吃草问题的等量关系公式
牛吃草总数- 草生长的总数=原来草场有草的数量
牛吃草总数=牛的数量×时间
解题思想：
一般设1头牛1个单位时间吃1个单位的草；
牛数量1×时间1—牛数量2×时间2=时间差×每天长草量
(七)鸡兔同笼的等量关系公式 鸡数+兔数=头总数
鸡脚数只×鸡数+兔脚数只×兔数=脚总数
解题思想：
(1)假设全是鸡，假设的脚数比实际脚数少，则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=兔数；
(2)假设全是兔子，假设的脚数比实际脚数多，则
脚数差÷(兔脚数只—鸡脚数只)=鸡数；


例4：某俱乐部男、女会员人数之比为3∶2, 所有会员分
为甲乙丙三组. 已
知甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶
7, 甲组中男、女人数比3∶1, 乙组中男、女比5∶3. 求
丙组中男、女会员人数之比.






例5：某区参加数学竞赛的男女生人数比是4∶3，结果有91
人获奖， 获奖中
男女生人数比是8∶5, 没有获奖的男女生
人数比是3∶4. 这区参加数学竞赛的共有多少人？




例6：配制盐酸含量为 20﹪的盐酸溶液1000克，需要用盐
酸含量为18﹪和23﹪的盐酸溶液各多少克？







例7：
有含糖6﹪的糖水9 00克，要使其含量加大到10﹪，
需加糖多少克？






例8：
小明用糖块和开水配制了200克浓度为35%的糖水，
那么 在配制过程中，用了多少克水？






例1 2：工程队的8个人用30天完成了某项工程的23,接着
减少了2个人完成其余的工程，那么完成这项 工程共用了多
少天？




例14：一个装满了水的水 池有一个进水管和三个口径相同的
出水管，如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟能
把 水池的水排完；如果同时打开进水管和两个出水管，则10
分钟能把水池的水排完。关闭进水管并且同时 打开三个出水
管，需要多少分钟才能排完水池的水？






例15：某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人
在自己原岗 位工作时，9小时可完成这项生产任务，如果交
换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可 提
前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗
位，其他工人生产效率不变时，也 可以提前1小时完成这项
生产任务；如果同时交换A和B，C和D的工作岗位，其他
工人生产效 率不变，可提前多少分钟完成这项生产任务？






例16：小明买了一辆二手山地车，支付了山地车原价的90%，
没过几天，他的朋友看中了这 辆山地车，并表示愿意支付高
出原价25%的价格买下，小明答应了，只经过简单一转手，
这辆 山地车就让小明赚了

105元。那么小明这辆山地车的
原价是多少元？





例17：一种游戏手掌机若按原价卖出，利润率是30%， 如果
进价降低10%，并以50%的利润率卖出，那么每天游戏手掌
机就将多得300元的利润 ，这种游戏手掌机原价是多少元？