社会学考研-思想报告

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第1讲 找规律
一、知识要点 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：
2，4， 6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规
律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其
余所有的数 。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考
虑。善于发现数列的规律是 填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）
练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ）
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（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）
【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
（1）

5 10 7 12 9 14
9 14 11 16 13



(2)

4
79

8
16
2
8
14
443

（3）
9 3 27
12 4 36

36 12


练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
（1）
3 7 8 12 12 16

5 9 10 14 14



(2)
794


8
28
6
27
8
（3）
8 4 16 5 15 12

16 8 32 7 21 18

32 16 64 9 27


【例题5】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）
23 31 41 23 35 24

2541 4643
练习5：根据规律，在空格内填数。



（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）
32 54 21 45 32 57

3864 2665
（3）

37 25

23 45

34 25

3895 2775

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第2讲 有余除法

一、知识要点
把一些书平均分给 几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会
出现什么情况呢？一种是全部分完，还 有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的
人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须 比除数小，这就是有余数除法计算
中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余 数已知，就可以确定除数，然后再根据被除
数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是____，根据________ ____，余数可填_____________.根据
____________，又已知商、除数、 余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被
除数为______________。列式 如下：________________________________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习1：
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数 小就行。
余数最小为______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习2：
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋ 余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，
所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能 是1和24，____和____，____和____，
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____和____，又因为余数为4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为 ____，____，____，
____。 _____________________ ____________________________________________
答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习3：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
__________ __________________________________________________ ______________
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
_________________________ _________________________________________________
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些
数？
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余 数相等，因为余数必须比除数小，所
以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来 了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习4：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。

【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
【思路导航】题目中告诉我们余数是4, 除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以
除数必须比4大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填 _______，商也是______。由
算式____________________，所以被除 数最小是__________。
练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
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(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7
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第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好 地算
出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用 了一
种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一 项）叫末项，如果一个数列
从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列 ，这个不变
的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）


练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324


练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆在一起， 一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……
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下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？
练习3：
(1)体 育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……
这个体育馆东区 共有多少个座位？


(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大 4,最后一个数是90，这串数
连加的和是多少？


(3)有一个钟，一 点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲
1下，这个钟一昼夜敲多少下？



【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。





练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009





(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19




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【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87 -14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81







练习5：计算。
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1







(2) 1000-81-11-82-12- 83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19








(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
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第4讲 加减巧算

一、知识要点
在进行加减运算时 ，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些
巧算的方法。加减法的巧算主要是运用 “凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看
做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时， 凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多
加要减去，少加要再加，多减要加上 ，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加
法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达 到简算的目的。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


练习1：计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


练习2：计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365


(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)

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【例题3】计算下面各题。
(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


练习3：计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000-111-89-1 12-88-113-87-114-86-115-85-116-84



练习4：计算。
(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1



练习5：计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99
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第5讲 图形个数

一、知识要点
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地 数出线段、角、三角形、
长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结 果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图
形是 什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
二、精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段？

ABCD
【思路导航】方法一：我 们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的
线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的
线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的
线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段
构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？



ABCDE
A
B
C
D
【例题2】数出图中有几个角？
O
【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做 基本角来数，那么，由1个基本角构成的
角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3
个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角？
A
（1） （2）
B
A
B
C
D
E


O
C
P
O
【例题3】数出右图中共有多少个三角形？

A
BC
D
1
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【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：△PA B、
△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形
还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、
△PBC、△ PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、
△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基
本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三 角形。方法
三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，
即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：数出图中共有多少个三角形？
（1） （2）





【例题4】数出下图中有多少个长方形？




【思路 导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对
线段围成，线段 CD上有 3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作
为长方形的长和宽，这里共有6 ×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就
有6×3=18（个）长方形。它的计 算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
练习4：
（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？



C
D
A
B
A
A
G
H
I
G
BCD
EF
K
BCD
EF
A
B
C
D
【例题5】有5个同学，每两 个人握手一次，一共要握手多少次？
【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端
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点代表一个同学。
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同 学还要与
其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同
学还要与最后1个同学握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
练习5：
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？
（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？
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第6讲 植树问题

一、知识要点
爸爸给晶晶出了一 道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一
棵，已经植了9棵，问第一棵和第九 棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27米。”
同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用 题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔
长和棵数三者之间的关系。解 答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植
树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线 路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如 锯木头、爬楼梯问
题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间 隔长”、
“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边植树， 先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9
棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？
【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

0
1棵< br>3米
2棵
6米
3棵
9米
4棵
12米15米18米21米24米
5棵6棵7棵
8棵9棵
根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第 一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），
每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8= 24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。
练习1：
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有
多长？


（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆， 这条
走廊长多少米？



【例题2】在一条长42米的大路两侧 栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻
两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多 少米？
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽
了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。42米长的大
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路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。
练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相
邻两把椅 子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？


【例题3】把一根钢管锯成小段 ，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这
根钢管被锯成了多少段？
【思路导航】 我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。
列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，
这根圆木长多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，
甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？
【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼 梯段数进行计算，
因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑 到4楼
时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照
这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，
在同一时间 里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，
即他跑到了第10+1= 11（楼）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛 ，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样
计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于 分成的段数，所以插了红旗300÷6=50
（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数 就等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5：
（1）有一个正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，
5
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再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄
灯？

（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？
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第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你 变得更聪明，头脑更
灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这 类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻
找解题的突破口，然后再利 用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得 到28=△
＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7 ＋7＋
7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×
△ =36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=
7
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（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。
练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○， 用48减去34得
到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6 ，□=（34－6×3）
÷2=8。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4 个△，
那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆
＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，
☆= 20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
8
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□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）
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第8讲 算式谜
一、知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数
先填上；不能确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字
的关系，抓准解题的突破口。
二、精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：
【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的
百位上是 7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上）
练习1：在□里填上适当的数，使算式成立。


【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？




0
6
5
6
解题思路：
5
0
30
30
0
6
1
5
0
6
30
300
6
1
9
6
3
3
5
0
00
0
【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除< br>数相乘的积想起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为 一位数，
这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为
369
。
练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。
（
87
（2）

1）
45




7
7
00< br>【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
1


0
1
78
答案：
7
1
1
2
4< br>4
4
0
1
79
7
2
2
3
1
1
1
0
1
79
7
2
2
4
8
8
8
0
【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数 是多少。容易知
0
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道，被除数 的十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能
是2；如果十位数字是9， 那么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法（见上页）。
练习3： □里可以填哪些数字？





4
0
0
（1）
8
8
1
（2）
4
2
【例题4】在下面竖式的□里，各填入 一个合适的数字，使算式成立。
8
4
答案：
2
7
【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大， 且被除数个
位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时
3412 , 84=32
，因
而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被 除数百位上是3，
而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法（见上）。
练习4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
（1）
2（2）
6








0
2
4
5
【例题5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。 8
6
3040
2432
7
24
32
32
7
8
8040
6432
7
64
32
32
7
5
9
答案：
2
1
2
48
0
402
241
6< br>24
1
6
1
2
4
4
8
8
8
8
0
【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出 除数
为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万
位 是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，
个位是8。（填 法见上）
练习5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。

（1）




1
2
1
9
（2）
152
5
63
35
1

4
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第9讲 乘法速算
一、知识要点
我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算 起来
比较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。
计算乘法时 ，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再
扩整”。两位数、三位数及更 高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但
要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一 位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以11，
我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相 加放中间，满十进一头就变。”
二、精讲精练
【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11
【 思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数
的首位和末位拉开分 别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，
和写在十位、百位……，哪一位上满 十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
练习1：很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗？
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25
【思路导 航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，
有几个4就有几个 100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
练习2：速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
【思路导航】因 为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24加上
它的一半再乘以 10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
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=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10
=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170
练习3：很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15
【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思路导航】（1）我们可以先用4 5×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还要
从450中减去1个45，即450-45= 405。
（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从32 00中
减去1个32，即3200-32=3168。
（3）我们可以先用78×1000= 78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000
中减去1个78，即78000-78 =77922。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数
与99相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以
1 000，再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
练习4：计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9
（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99
（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999
【例题5】下面的乘法计算有规律吗？
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35
（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95
【思路导航】通过计算我们发现，个位 是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位
都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 的积，例如：
15=225

(1) 15 ×(2) 25 × 25=625
2×(2+1)
(3) 35 × 35=1225
3×(3+1)


1×(1+1)
45=2025

(4) 45 ×
4×(4+1)
(5) 65 × 65=4225
6×(6+1)
(6) 95 × 95=9025
9×(9+1)< br>我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
练习5：速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85
（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995
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第10讲 添运算符号
一、知识要点
根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式 成立，这是一种很有趣的游
戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的 把握。
添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数
字 比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的
式子；2．如果题 目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等
式结果的数，然后再进行调整，使 等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，
有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问 题的解决。
二、精讲精练
【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起 ，最后一个
数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5= 10。
（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□÷5=1 0考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个
数无法组成得数是50的算式。
练习1：
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3
【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试
一试吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这
两组的和、差 、积、商应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法 ，那么四个数分成两组，这两组的和、
积、商分别相等，相同的数相除也可得到1，有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
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练习2：
1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3
3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。4 4 4 4 = 8
【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是8，而最后一个
数 是4，我们可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。
（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）从□－4=8考虑，□=12，前3个4必须组成得数是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
（3）从□×4=8考虑，□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8
（4）从□÷4=8考虑，□=32，前3个4必须组成得数是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
练习3：
1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？答
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思路导航】这道题的结果比 较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000
比较接近，如：555＋555=1110这 个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出
110减掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000
练习4：
1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600
【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在 等号左边最
后两个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的方法< br>可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
练习5：
1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
5
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3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14
第11讲 文字算式谜
一、知识要点
一般说来，算式都是由一些数字和运算 符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母
组成，我们称它为文字算式。
文字算式是一种数 字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示
相同的数字，不同的文字或英文字母应 表示不同的数字。
通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基 本是
一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找
寻 正确答案。
二、精讲精练
【例题1】下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心”< br>代表9，请问其他汉字分别代表哪个数字？


【思路导航 】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，
乘积就是11111 1111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位数应该
是3，所以“中”=7， 往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，往前一
位进6；9ד俱”的积个位数应 是5，“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个位数字应
是6，“球”=4，往前一位进4；9ד 足”的积个位数是7，所以“足”=3，往前一位进
3；9ד年”的积的个位数是8，“年”=2，往 前一位进2；9×1＋2=11，即：
12345679×9=111111111
练习1：
1．下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？




2．如果A、B满足下面算式，它们各代表几？（上中）
3．上右图各个汉字分别代表几？
【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表
示几？



【思路导航】由积的个位是2，乘数是3，可推出 被乘数个位上“学”是4，4×3=12，
在积的个位上写2，向十位进1；因为积的十位上“学”为4 ，所以“数”×3应为3，推
出“数”为1；因为“数”为1，百位上“庚”×3末位应为1，因而“庚 ”为7，千位上
5×3＋2=17，在千位上写7，向万位进1，因而“罗”为5，万位上8×3＋1= 25，在千位
上写5，向前一位进2，因而“华”为8。
练习2：
下面各个竖式中的汉字分别代表几？ .


6
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2


×

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【例题3】

在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字?
【思路导航】仔细审题发现千位a×9的结果是一位数，于是就可以
确定a只能是1。接着思考个位d× 9=1是不可能的，所以应该是d×9等
于几十一，于是确定d=9。或者想千位上1×9=9，所以d 一定是9。最后
确定剩下的c为8。只有8×9=72，72＋8=80，积中才会有0。
练习3：
1．下面（左下）竖式中的字母各代表几？



2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A＋B＋C=（ ）
【 例题4】下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
如果以下3个等式成立 ：
小小×朋朋=友小小友
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
爱爱×科科=爱学学爱
爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ）
朋朋×朋朋=小小学学
【思路导航】通过观察，我们发现第三 个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千
位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，11×1 1，22×22得不到四位数，然后从
33×33试，我们发现88×88=7744，这样可以得出： 朋=8，小=7，学=4。将朋=8、小=7代
入第一个算式中得出77×88=6776，确定友=6 。这样，0——9中，只剩下9，5，3，2，1，
0这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现55× 99=5445，所以爱=5，科=9。
练习4：

×

×

【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？

新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）

【 思路导航】从千位上看，千位上得数是2，假设新=2，那么百位上，“新＋年”不
可能等于0，因而“ 新”不可能是2，只能是“新=1”。从百位上看，新＋年＋进来的数
=10，我们可判断“年”=7或 8。而“新＋年=8”，即使个位进来2，十位上也不可能向百
位进2，因而“年”=8，十位上“新＋ 年”=1＋8=9，而个位上已向十位进了1，因而“快”
=0，最后从“新＋年＋快＋乐”=11中可 推出“乐”=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ）
练习5：
1．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，
请问这些汉字各代表几？




7
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2．上面（上中）各字母分别代表几？
3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？
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第12讲 填数游戏
一、知识要点
小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、 分析
问题、发展能力。但有时也有一定的难度，不过，只要你掌握了填写方法，填起来就很轻
松 了。
填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间
位置 。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提
供数字的和之差，从 而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而
解了。
二、精讲精练
【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数
的和相等，和是多少呢？

【思路导航】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心
的○内，剩下八个数， 一大一小，搭配成和都是10的四组，这样两
条直线上五个数的和都是5＋10×2=25。
如果把1填在中心的○内，这样剩下的八个数可以一大
一小搭配成和都是11的四组，这时两条直线上五 个数的和是1
＋11×2=23。
想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？
练习1：
1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？




2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图） 中7朵花里，使每条直线上
三个数的和相等。
3.把6、8、10、12、14、16、18 七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆上三个
数的和都是32。
【例题2】 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每
个五边形上5个数的和都等于20。
【思路导航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋
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6＋7＋8 =36，题中要使每个五边形上五个数的和等于20，那么两个五边形上数字的总和是
20×2=40。 两个五边形上的数字总和比8个数的和多40－36=4，
多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两 次，多算了一次。
1——8中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆
圈中，一个填 1.一个填3。20－（1＋3）=16，16可以分成2＋
6＋8和4＋5＋7，所以本题应该这样填 ：
练习2：
1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。




2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条 边的○内，使得每条边上的
三个数的和是21。

3.把1——8这八个数，分别填 入下图的各个□内，使得每一横
行、每一竖行的三个数的和是13。

【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。




【思 路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两
次，多算了一次，所以4 边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋
9=44，所以4个顶点数 的和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。
想一想，有没有其他填法？
. 练习3：
1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。




0
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2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一
个顶点 的数字为1。



3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方 形顶点圆圈内四个数之和都相等，
而且最大。这个和是多少？



【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求
最大的和是多少？ 【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5
填在四角，因为四个角上的数 在求和时各用了两次，其他数各用了一次。
由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整数，说明四条边上的 总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。
所以，最大的和为：（62－2）÷4=15
.练习4：
1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？






2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？




1
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3.将数字 1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个
和可以是多少？




【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和
都是21。


【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数 ，恰好
每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21
是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，
要使和为单数，8要填入中间部分，如右上图。
练习5：
1.在图（左下图）中各圆的空余 部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和
是15。







2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是
27。



3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使 每个圆中4个数的和是
33。
2
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第13讲 周期问题

一、知识要点
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如 ：人的十二生肖，一年有
春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期 的问题，
我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周 期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也
就是找出循环的固定数，然后利用除法 算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练
【例题1】小丁把同样大小的 红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑
的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个 珠子是什么颜色？


从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列 ，即6个珠子为一周期。
32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第 32个珠子就是重
复5个周期后的第2个珠子，应为红色。
练习1：
1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？
3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？


【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
【思路导航】我们 知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从
10月1日到10月25日经过25－ 1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包
括3个星期还多3天。所以从10月 1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最
后一天起再过3天就应是星期四。
练习2：
1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？

2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？

3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？
3
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【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数 字的排列规律。1个3.积的个位是3；2
个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7； 4个3相乘积的个位数字是1；
5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9 、7、1不断重复出
现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3 相乘积的个位
数字是第25个周期中的最后一个，即是1。
练习3：
1.23个3相乘，积的个位数字是几？
2.100个2相乘，积的个位数字是几？
3.50个7相乘，积的个位数字是几？
【例题4】有一列数按“432794327918 6……”排列，那么前54个数字
之和是多少？
【思路导航】上面一列数中，从第1个数字开 始重复出现的部分是“43279186”，周
期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共 有多少组“43279186”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是 （4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和是
4＋3＋2＋7＋9＋1=2 6。所以，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。
练习4：
1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？
2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？ < br>3.有一列数“72365……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间
（含第2个与第2 5个数字）所有数字的和是多少？
【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就 是说3页插图前
后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页 ？
【思路导航】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1
页文字 3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含
有128÷（1＋3 ）=32个周期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。
练习5：
1.校门口摆了一 排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。如果第一盆花
是菊花，那么共摆了多少盆月季花 ？

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3

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2.同学们 做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，
这列队伍中男生有多少人？

3.一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面
黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗？
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第14讲 数学趣题
.
一、知识要点
在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友 同时
唱一首歌要3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需要较
复杂的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答
案。
对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及
自己的聪明才智巧妙 地解决。
二、精讲精练
【例题1】如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园 要3小时，那么6
个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？
【思路导航】2个人一起从学校到 儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐
园要3小时；6个人一起从学校到儿童乐园所用的时间 与一个人所用的时间相等，所以6
个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时。
练习1：
1.3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？

2.5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？

3.6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙
地要用几 小时？

【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问 长
到5厘米时要用多少天？
【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身 长的2倍。这条毛
毛虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷ 2=10厘
米；在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米。
练习2：
1. 有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问睡
莲要遮住半个池塘需要 多少天？

2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到 9厘米
时要用几天？
6
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3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘
米共要多少天？
【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条
鱼？ 【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条
数尽量多，那么 其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，在
第二堆中放2条鱼，在第三堆中 放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
练习3：
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？
2.老师 为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最
多可排几人？
3 .兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。
问分得最多的一只小 兔至多分得几个？
【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带 有
6字。想一想，该怎样分？
【思路导航】因为6×6=36只，这样就可以在每个篮子里装 6只桃，共装6个篮子，
还有一个篮子里装100－36=64只桃。64这个数，正好也含有数字6， 符号题目要求。
练习4：
1.把100个鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数 目都带有6字，想想看，
应该怎样分？
2.有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量 都要含有数字8。现在有200块
糖要分给一些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。
3. 7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只苹果，现在要从这
7只箱子里取出 87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？
【例题5】舒舒和思思到 书店去买书，两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都不够。
舒舒缺2元8角，思思缺1分钱，用两个人合 起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？
【思路导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合起来的钱 买一本书仍然不够，这说明
舒舒根本没有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
练习5： 1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元4
角，娟娟缺1 分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多少钱？
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2.李华和 张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角，张洁缺2分钱，
但两人合起来买一本仍不够 。这种本子一本多少钱？
3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺 600元，
李阿姨缺900元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？
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第15讲 乘除巧算

一、知识要点
前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法 进行
巧算，实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要
牢 记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高计算能力，除 了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。
巧算中，经常要用到一些运算定律， 例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善
于运用运算定律，是提高巧算能力的关键。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
【思路导航】（1）我们知道25×4=100，因而我们要尽量把25与 4放在一块计算，
这样比较简便。所以我们先算25×4=100，再与17相乘即100×17=17 00；（2）因为8×
125=1000，因而我们先把8与125放在一块计算，8×125=100 0，再乘18：1000×18=18000；
（3）已知25×4=100、125×8=1000， 因此这道题我们要通过移位的方法把25与4相乘，
125与8相乘，然后再把1000与100相乘， 1000×100=100000；（4）因为125×8=1000，
2×5=10，因而这道题也要 移一移，先计算125×8=1000和2×5=10，再计算1000×
10=10000。
练习1： 1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2.计算：（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5
3.想一想，怎样算比较简便？ 125×16
【例题2】你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125 （3）16×25×25 （4）125×32×25
【思路导航】（1）已知25×4=1 00，因为8=2×4，所以我们可以把25×8转化为25
×4×2.然后先算25×4=100，再 算出100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因而我
们可以把16×125 转化为2×（8×125），然后算出8×125=1000，再乘2得到2000；（3）
因为25× 4×100，16=4×4，这样可以将两个4分别与两个25相乘，所以原式就转化为（4
×25）× （4×25），再分别计算，得到结果100×100=10000；（4）因为125×8=1000，
25×4=100，我们又发现32=4×8，所以可将4和8分别与25、125相乘，得到（125×8）
×（25×4），再分别算出结果为1000×100=100000。
练习2： 1.（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
2.（1）125×16×5 （2）25×8×5
3.（1）125×64×25 （2）32×25×25
9
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3

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【例题3】你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十
位上的数字相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首位数
字， 得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果
末位数字相乘的积是 一位数，要在前面被一个0。（1）82×88先用首位数字加1再乘首
位数字，即（8＋1）×8=7 2作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘2×8=16作为积
的末位两个数字，所以82×88= 7216；（2）51×59先用首位数字加1乘首位数字，即（5
＋1）×5=30作为积的前两位数 字，再用两个末位数字相乘1×9=9，它们的积是一位数，
要前9前面被一个0，作为积的末两个数字 ，所以，51×59=3009。
练习3：
1.（1）72×78 （2）45×45
2.（1）81×89 （2）91×99
3.（1）42×48 （2）61×69
【例题4】简便运算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125
【思路导航】这里可以运 用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍
数（0除外），商不变，因而：（1）130 ÷5可将130和5同时乘2.使除除变为10，然后
再用260÷10=26；（2）4200÷25 可以将4200和25同时乘4，使除数变为100，然后再
用16800÷100=168；（3）3 4000÷125可以将34000和125同时乘8，使除数变为1000，
然后再用272000÷ 1000=272。
练习4：
1.你能迅速算出结果吗？（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2.计算：（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）5600÷25
3.你有好办法计算下面各题吗？
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
【例题5】计算：31×25
【思路导航】题中31不能被4整 除，但31可拆成4×7＋3.这样就得到（4×7＋3）
×25，或者把25看作100÷4也可求出 得数。
（1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775
（2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775
练习5：
计算：（1）29×25 （2）17×25 （3）221×25
0
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（4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25
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第16讲 应用题（一）

一、知识要点
应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知 识来
解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，
找到问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以 从
问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活
运用 这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。
二、精讲精练
【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球
的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？
【思路导航】根据题意画出线段图
从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球
的只数比这样的2倍还少5只，用24×2－5=43（只）可
以求出足球的只数，再用43＋24=6 7只可以求出两种球的总只数。
练习1：1.小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3 倍少16下，小军
每分钟比小红多跳几下？
2.王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数 的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、
鹅多少只？
3.少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数 比柳树棵数的3倍多14棵。少先队员种的
杨树、柳树共多少棵？
【例题2】人民广场花圃中 有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花
有多少盆？
【思路导航】 从上图可以看出，把月季花的盆数看作1
倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增< br>加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）
÷3=65（盆）就可求出月季 花的盆数。
练习2：1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少200元。小
明母亲每月工资多少元？
2.饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？
3.水果 店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多
27千克，还剩多少千克水 果？
2
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【例题3】 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只
数正好是黑鸡的2倍。白鸡、 黄鸡、黑鸡各多少只？
【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比
黄鸡多12只”，从 线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多
13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－1=1倍，这样也就求< br>出黑鸡的只数为25÷1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×2=50只。
练习3：1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比
红围巾多 20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？
2.有甲、乙、丙三 筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐
苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙 筐各有多少只苹果？
3.男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；如果少去一 名男
生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人？
【例题4】用一批纸装订同 样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果
每本20页，可以少装订多少本？
【思路导航】根据“如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×
400=6400 页；再用总页数6400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－320=80
本 则表示少装订的本数。
练习4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装30箱。如 果每箱15
千克，可少装多少箱？
2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3米长， 可做140幅。如果每幅窗帘
做成2米长，则可多做多少幅？
3.同一批纸装订同样大小的练 习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本多装
订9页，则少装订多少本？
【例题5 】李师傅原计划6小时加工零件480个，实际2小时加工192个。照这样的
效率，可以提前几小时完 成？
【思路导航】根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为
19 2÷2=96（个小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，
求出实 际完成的时间。6－5=1小时，则表示提前完成的时间。
练习5：1.王奶奶计划10小时做纸盒4 00个，实际3小时已加工150个。照这样的
效率，可以提前几小时完成？
2.暑假中，小 宁30天共要写大字600个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，
小宁可以提前几天写完同 样多的字？
3
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3.自行车 制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆，五月份改进技术后9天已生
产自行车1350辆。照 这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？
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第17讲 应用题（二）
.
一、知识要点
一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析 ，善
于思考，善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。
解答一般应用题的关键是要掌握数 量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之
间的联系，找出解题方法，灵活解题。
二、精讲精练
【例题1】一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米 ，下午
3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。问火车实际每小时行驶多少
千米？
【思路导航】由“这列火车早上5时出发，计划下午3时到达”可知，这列火车原计
划 行驶12＋3－5=10小时，用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小时，便可得
到甲地到 乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时，说明火车实际行驶了10＋
2=12小时 ，用1200÷12=100千米就可得到火车实际每小时行的千米数。
练习1：1.一辆汽车早上8 点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4
时到达乙地。但实际晚点2小时到达，这辆汽 车实际每小时行驶多少千米？
2.一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下 午6时到达乙城。
但实际到达时间是下午4时，提前2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？
3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计划每小时行驶60千米，下
午2时到达城 西，实际到达时间是下午3时，晚到1小时。问实际每小时比计划少行多少
千米？
【例题2】 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。
回家后，三个人平均分铅笔， 小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？
【思路导航】小宁和小红一共买了7＋5=12 枝铅笔，三个人平均分，每人应得12÷3=4
枝，所以小佳拿出的8角钱就相当于4枝铅笔的价钱，那 么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2
角。小佳应给小宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2×（5－4） =2角钱。
练习2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳阳没有买。到家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？
2.甲、乙、丙 3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有带
钱。那么吃完后，丙应拿出4元8 角钱，他应分别给甲、乙多少钱？
3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了4 担柴，李家出了5
担柴，王家因无柴付18元。张、李家各得多少钱？
【例题3】用一个杯子 向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如
果倒进去5杯牛奶，连瓶共重750克。 一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
【思路导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2）
5
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比较（1） 、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－
2=3瓶牛奶重量是750 －450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空
瓶重量是450－10 0×2=250克。
练习3：1.有12筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果 装进2
筐苹果，连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重520千克。1筐苹果和大箱子各重多少千克？
2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如 果倒进7
桶水，连缸共重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？
3.有一瓶水，向几 个相同的杯子里注水，如果注满3杯水，连瓶重550克；如果注满
6杯水，连瓶共重250克。一杯水 多重？
【例题4】一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒
子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的
珠子粒数相等。 三种颜色的珠子各多少粒？
【思路导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相 等，那么就
可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子 各
几粒。红色珠子：6×9=54粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5=30粒。 练习4：1.一共有苹果、梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中，把梨分放
到5个盘中 ，把橘子分放到6个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个？
2.一共有白兔、灰兔 、黑兔共250只，如果把白兔分放到5个笼中，把灰兔分放到
11个笼中，把黑兔分放到9个笼中，这 样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？
3.共有科技书、文艺书和故事书共360本，若 把科技书分放到2个书架上，把文艺书
分放到3个书架上，把故事书分放到4个书架上，则每个书架上的 本数相等。三种书各有
多少本？
【例题5】在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿 出50个鸡蛋，则6个
筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡 蛋多少
个？
【思路导航】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐里鸡蛋个数的 总
和”，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和，用取
出的50×6=300个鸡蛋除以4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。
练习5 ：1.在6个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出50个苹果，则6
个箱里剩下的苹果个数 的总和等于原来2个箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有多少
个苹果？
2.某商店有5箱 皮球，如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个数正好
等于原来2箱皮球的个数。原来每箱 装了多少个皮球？
3.有3个水桶，如果从每桶中倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于 原
来1桶的重量。原来每桶装多少千克水？
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第18讲 数字趣谈

一、知识要点
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、 9是我们最常见、最熟悉的数，由这
些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就 会找到答案。本周的
习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分 类统
计法，相信你们能很好地掌握它。
二、精讲精练
【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24
3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39
练习1：
1.在20和50之间有多少个数是6的倍数？

2.在15和70之间有多少个数是8的倍数？

3.两个整数之积为144，差为10，求这两个数。

【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】求10和1000之 间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻
烦。可以这样思考：
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
练习2：
1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数？

2.在10到1000之间有多少个数是7的倍数？

3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数？
【例题3】从1——9九个数中选取， 将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不
同的写法？
【思路导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
7
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1.2.3.4，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求， 但用第二小的2和最大的9相
加，和为11符合要求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8 ，11=4＋7，11=5＋6。
共有4种不同的写法。

练习3：
1.从1——9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？



2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。



3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？



【例题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人
单独去 的，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？
【思路导航】2000年 2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用
最小的几个数试乘（1除外）：2×3 ×4=24，24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。
所以，这三批学生的人数是2. 3.4人。
练习4：
1.2001年5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不 相等，三批人数的
乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？



2.学校进行运动会比赛，三（2）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而 且这
三项参赛人数之积在35到45之间。那么三（2）班最少各有多少人参加这三项比赛？


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3.小明家有四种水果，每种水果的千克数不相等，这四种水果的千克数的乘积在200
到250之间， 那么这些水果最少共有多少千克？



【例题5】一本连环画共100页 ，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，
排这本书的页码共要用多少个铅字？
【思路导航】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
练习5：
1.一本书共2 00页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多
少个铅字？
2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书时共用多少个数码？
3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页？
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第19讲 重叠问题

一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗 读比赛的12位同学每人发
一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么 回事？对了，
因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，
我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除 原理，即当两个计数部分
有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解 答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助
图形进行思考，找出哪 些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方
法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从
后数起，红旗是第 10面。这行彩旗共多少面？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数 起红旗是第8面，从后数起
是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行
彩旗共有 8＋10－1=17面。
练习1：
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数 起排在第7个。这队小朋友共
有多少人？


2.学校组织看文艺演出，冬 冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一
行座位有多少个？

< br>3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共
有多少个同 学？


【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4 个，从右
数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
0
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第1讲 找规律
一、知识要点
按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，… …双数列：
2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规
律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就 可以知道其
余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）
练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ）
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（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）
【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
（1）

5 10 7 12 9 14
9 14 11 16 13



(2)

4
79

8
16
2
8
14
443

（3）
9 3 27
12 4 36

36 12


练习4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
（1）
3 7 8 12 12 16

5 9 10 14 14



(2)
794


8
28
6
27
8
（3）
8 4 16 5 15 12

16 8 32 7 21 18

32 16 64 9 27


【例题5】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）
23 31 41 23 35 24

2541 4643
练习5：根据规律，在空格内填数。



（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）
32 54 21 45 32 57

3864 2665
（3）

37 25

23 45

34 25

3895 2775

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第2讲 有余除法

一、知识要点
把一些书平均分给 几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会
出现什么情况呢？一种是全部分完，还 有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的
人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须 比除数小，这就是有余数除法计算
中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余 数已知，就可以确定除数，然后再根据被除
数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是____，根据________ ____，余数可填_____________.根据
____________，又已知商、除数、 余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被
除数为______________。列式 如下：________________________________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习1：
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数 小就行。
余数最小为______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习2：
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋ 余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，
所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能 是1和24，____和____，____和____，
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____和____，又因为余数为4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为 ____，____，____，
____。 _____________________ ____________________________________________
答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习3：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
__________ __________________________________________________ ______________
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
_________________________ _________________________________________________
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些
数？
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余 数相等，因为余数必须比除数小，所
以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来 了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习4：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。

【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
【思路导航】题目中告诉我们余数是4, 除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以
除数必须比4大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填 _______，商也是______。由
算式____________________，所以被除 数最小是__________。
练习5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
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(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7
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第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好 地算
出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用 了一
种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一 项）叫末项，如果一个数列
从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列 ，这个不变
的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）


练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324


练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆在一起， 一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……
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下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？
练习3：
(1)体 育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……
这个体育馆东区 共有多少个座位？


(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大 4,最后一个数是90，这串数
连加的和是多少？


(3)有一个钟，一 点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲
1下，这个钟一昼夜敲多少下？



【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。





练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009





(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19




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【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87 -14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81







练习5：计算。
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1







(2) 1000-81-11-82-12- 83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19








(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
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第4讲 加减巧算

一、知识要点
在进行加减运算时 ，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些
巧算的方法。加减法的巧算主要是运用 “凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看
做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时， 凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多
加要减去，少加要再加，多减要加上 ，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加
法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达 到简算的目的。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


练习1：计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


练习2：计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365


(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)

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【例题3】计算下面各题。
(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


练习3：计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000-111-89-1 12-88-113-87-114-86-115-85-116-84



练习4：计算。
(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1



练习5：计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99
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第5讲 图形个数

一、知识要点
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地 数出线段、角、三角形、
长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结 果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图
形是 什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
二、精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段？

ABCD
【思路导航】方法一：我 们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的
线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的
线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的
线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段
构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？



ABCDE
A
B
C
D
【例题2】数出图中有几个角？
O
【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做 基本角来数，那么，由1个基本角构成的
角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3
个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角？
A
（1） （2）
B
A
B
C
D
E


O
C
P
O
【例题3】数出右图中共有多少个三角形？

A
BC
D
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【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：△PA B、
△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形
还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、
△PBC、△ PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、
△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基
本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三 角形。方法
三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，
即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：数出图中共有多少个三角形？
（1） （2）





【例题4】数出下图中有多少个长方形？




【思路 导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对
线段围成，线段 CD上有 3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作
为长方形的长和宽，这里共有6 ×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就
有6×3=18（个）长方形。它的计 算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
练习4：
（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？



C
D
A
B
A
A
G
H
I
G
BCD
EF
K
BCD
EF
A
B
C
D
【例题5】有5个同学，每两 个人握手一次，一共要握手多少次？
【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端
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点代表一个同学。
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同 学还要与
其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同
学还要与最后1个同学握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
练习5：
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？
（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？
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第6讲 植树问题

一、知识要点
爸爸给晶晶出了一 道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一
棵，已经植了9棵，问第一棵和第九 棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27米。”
同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用 题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔
长和棵数三者之间的关系。解 答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植
树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线 路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如 锯木头、爬楼梯问
题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间 隔长”、
“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边植树， 先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9
棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？
【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：

0
1棵< br>3米
2棵
6米
3棵
9米
4棵
12米15米18米21米24米
5棵6棵7棵
8棵9棵
根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第 一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），
每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8= 24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距24米。
练习1：
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有
多长？


（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆， 这条
走廊长多少米？



【例题2】在一条长42米的大路两侧 栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻
两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多 少米？
【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽
了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。42米长的大
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路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是7米。
练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相
邻两把椅 子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？


【例题3】把一根钢管锯成小段 ，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这
根钢管被锯成了多少段？
【思路导航】 我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。
列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，
这根圆木长多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，
甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？
【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼 梯段数进行计算，
因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑 到4楼
时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照
这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，
在同一时间 里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，
即他跑到了第10+1= 11（楼）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛 ，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样
计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？

【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于 分成的段数，所以插了红旗300÷6=50
（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数 就等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
练习5：
（1）有一个正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，
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再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄
灯？

（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？
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第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你 变得更聪明，头脑更
灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这 类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻
找解题的突破口，然后再利 用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得 到28=△
＋△＋△＋△，4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7 ＋7＋
7=21。
练习1：
1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ）
2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ）
3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ）
【例题2】下式中，□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□×
△ =36，可以得到4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。
练习2：
1．○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ）
2．想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ）
3．□和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ）
【例题3】下式中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ）
【思路导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则16需要加上2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=
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（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。
练习3：
1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ）
2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下式中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思路导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○， 用48减去34得
到□＋○=14，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6 ，□=（34－6×3）
÷2=8。
练习4：
1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△，所以2个☆等于4 个△，
那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代，就变为☆
＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，
☆= 20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
练习5：
1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
8
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□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）
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第8讲 算式谜
一、知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数
先填上；不能确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字
的关系，抓准解题的突破口。
二、精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。

答案：
【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的
百位上是 7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。（算式见右上）
练习1：在□里填上适当的数，使算式成立。


【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？




0
6
5
6
解题思路：
5
0
30
30
0
6
1
5
0
6
30
300
6
1
9
6
3
3
5
0
00
0
【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除< br>数相乘的积想起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为 一位数，
这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为
369
。
练习2：在□里填上适当的数，使算式成立。
（
87
（2）

1）
45




7
7
00< br>【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
1


0
1
78
答案：
7
1
1
2
4< br>4
4
0
1
79
7
2
2
3
1
1
1
0
1
79
7
2
2
4
8
8
8
0
【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数 是多少。容易知
0
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道，被除数 的十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商的个位只能
是2；如果十位数字是9， 那么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法（见上页）。
练习3： □里可以填哪些数字？





4
0
0
（1）
8
8
1
（2）
4
2
【例题4】在下面竖式的□里，各填入 一个合适的数字，使算式成立。
8
4
答案：
2
7
【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大， 且被除数个
位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时
3412 , 84=32
，因
而除数可能是3或8，可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被 除数百位上是3，
而商的百位上为0，商的千位是8或3，所以一共有两种填法（见上）。
练习4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。
（1）
2（2）
6








0
2
4
5
【例题5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。 8
6
3040
2432
7
24
32
32
7
8
8040
6432
7
64
32
32
7
5
9
答案：
2
1
2
48
0
402
241
6< br>24
1
6
1
2
4
4
8
8
8
8
0
【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出 除数
为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万
位 是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，
个位是8。（填 法见上）
练习5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。

（1）




1
2
1
9
（2）
152
5
63
35
1

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第9讲 乘法速算
一、知识要点
我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算 起来
比较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。
计算乘法时 ，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再
扩整”。两位数、三位数及更 高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但
要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一 位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以11，
我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相 加放中间，满十进一头就变。”
二、精讲精练
【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11
【 思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数
的首位和末位拉开分 别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，
和写在十位、百位……，哪一位上满 十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
练习1：很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗？
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25
【思路导 航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，
有几个4就有几个 100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
练习2：速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
【思路导航】因 为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+5），也就是用24加上
它的一半再乘以 10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
2
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=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10
=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170
练习3：很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15
【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思路导航】（1）我们可以先用4 5×10=450，这样就多加了一个45，因此我们还要
从450中减去1个45，即450-45= 405。
（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从32 00中
减去1个32，即3200-32=3168。
（3）我们可以先用78×1000= 78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000
中减去1个78，即78000-78 =77922。
从上面几题可以看出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数
与99相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以
1 000，再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
练习4：计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9
（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99
（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999
【例题5】下面的乘法计算有规律吗？
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35
（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95
【思路导航】通过计算我们发现，个位 是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位
都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 的积，例如：
15=225

(1) 15 ×(2) 25 × 25=625
2×(2+1)
(3) 35 × 35=1225
3×(3+1)


1×(1+1)
45=2025

(4) 45 ×
4×(4+1)
(5) 65 × 65=4225
6×(6+1)
(6) 95 × 95=9025
9×(9+1)< br>我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
练习5：速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85
（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995
3
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第10讲 添运算符号
一、知识要点
根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式 成立，这是一种很有趣的游
戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的 把握。
添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数
字 比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的
式子；2．如果题 目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等
式结果的数，然后再进行调整，使 等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，
有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问 题的解决。
二、精讲精练
【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起 ，最后一个
数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5= 10。
（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□÷5=1 0考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个
数无法组成得数是50的算式。
练习1：
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3
【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试
一试吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这
两组的和、差 、积、商应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法 ，那么四个数分成两组，这两组的和、
积、商分别相等，相同的数相除也可得到1，有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
4
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练习2：
1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3
3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。4 4 4 4 = 8
【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是8，而最后一个
数 是4，我们可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。
（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）从□－4=8考虑，□=12，前3个4必须组成得数是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
（3）从□×4=8考虑，□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8
（4）从□÷4=8考虑，□=32，前3个4必须组成得数是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
练习3：
1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？答
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思路导航】这道题的结果比 较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000
比较接近，如：555＋555=1110这 个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出
110减掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000
练习4：
1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600
【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21，可以考虑在 等号左边最
后两个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的方法< br>可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
练习5：
1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23
2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
5
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3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14
第11讲 文字算式谜
一、知识要点
一般说来，算式都是由一些数字和运算 符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母
组成，我们称它为文字算式。
文字算式是一种数 字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示
相同的数字，不同的文字或英文字母应 表示不同的数字。
通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基 本是
一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找
寻 正确答案。
二、精讲精练
【例题1】下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心”< br>代表9，请问其他汉字分别代表哪个数字？


【思路导航 】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，
乘积就是11111 1111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位数应该
是3，所以“中”=7， 往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，往前一
位进6；9ד俱”的积个位数应 是5，“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个位数字应
是6，“球”=4，往前一位进4；9ד 足”的积个位数是7，所以“足”=3，往前一位进
3；9ד年”的积的个位数是8，“年”=2，往 前一位进2；9×1＋2=11，即：
12345679×9=111111111
练习1：
1．下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？




2．如果A、B满足下面算式，它们各代表几？（上中）
3．上右图各个汉字分别代表几？
【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表
示几？



【思路导航】由积的个位是2，乘数是3，可推出 被乘数个位上“学”是4，4×3=12，
在积的个位上写2，向十位进1；因为积的十位上“学”为4 ，所以“数”×3应为3，推
出“数”为1；因为“数”为1，百位上“庚”×3末位应为1，因而“庚 ”为7，千位上
5×3＋2=17，在千位上写7，向万位进1，因而“罗”为5，万位上8×3＋1= 25，在千位
上写5，向前一位进2，因而“华”为8。
练习2：
下面各个竖式中的汉字分别代表几？ .


6
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×

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【例题3】

在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字?
【思路导航】仔细审题发现千位a×9的结果是一位数，于是就可以
确定a只能是1。接着思考个位d× 9=1是不可能的，所以应该是d×9等
于几十一，于是确定d=9。或者想千位上1×9=9，所以d 一定是9。最后
确定剩下的c为8。只有8×9=72，72＋8=80，积中才会有0。
练习3：
1．下面（左下）竖式中的字母各代表几？



2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A＋B＋C=（ ）
【 例题4】下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
如果以下3个等式成立 ：
小小×朋朋=友小小友
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
爱爱×科科=爱学学爱
爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ）
朋朋×朋朋=小小学学
【思路导航】通过观察，我们发现第三 个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千
位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，11×1 1，22×22得不到四位数，然后从
33×33试，我们发现88×88=7744，这样可以得出： 朋=8，小=7，学=4。将朋=8、小=7代
入第一个算式中得出77×88=6776，确定友=6 。这样，0——9中，只剩下9，5，3，2，1，
0这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现55× 99=5445，所以爱=5，科=9。
练习4：

×

×

【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？

新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）

【 思路导航】从千位上看，千位上得数是2，假设新=2，那么百位上，“新＋年”不
可能等于0，因而“ 新”不可能是2，只能是“新=1”。从百位上看，新＋年＋进来的数
=10，我们可判断“年”=7或 8。而“新＋年=8”，即使个位进来2，十位上也不可能向百
位进2，因而“年”=8，十位上“新＋ 年”=1＋8=9，而个位上已向十位进了1，因而“快”
=0，最后从“新＋年＋快＋乐”=11中可 推出“乐”=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ）
练习5：
1．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，
请问这些汉字各代表几？




7
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2．上面（上中）各字母分别代表几？
3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？
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第12讲 填数游戏
一、知识要点
小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、 分析
问题、发展能力。但有时也有一定的难度，不过，只要你掌握了填写方法，填起来就很轻
松 了。
填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间
位置 。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提
供数字的和之差，从 而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而
解了。
二、精讲精练
【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数
的和相等，和是多少呢？

【思路导航】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心
的○内，剩下八个数， 一大一小，搭配成和都是10的四组，这样两
条直线上五个数的和都是5＋10×2=25。
如果把1填在中心的○内，这样剩下的八个数可以一大
一小搭配成和都是11的四组，这时两条直线上五 个数的和是1
＋11×2=23。
想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？
练习1：
1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？




2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图） 中7朵花里，使每条直线上
三个数的和相等。
3.把6、8、10、12、14、16、18 七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆上三个
数的和都是32。
【例题2】 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每
个五边形上5个数的和都等于20。
【思路导航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋
9
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6＋7＋8 =36，题中要使每个五边形上五个数的和等于20，那么两个五边形上数字的总和是
20×2=40。 两个五边形上的数字总和比8个数的和多40－36=4，
多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两 次，多算了一次。
1——8中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆
圈中，一个填 1.一个填3。20－（1＋3）=16，16可以分成2＋
6＋8和4＋5＋7，所以本题应该这样填 ：
练习2：
1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。




2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条 边的○内，使得每条边上的
三个数的和是21。

3.把1——8这八个数，分别填 入下图的各个□内，使得每一横
行、每一竖行的三个数的和是13。

【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。




【思 路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两
次，多算了一次，所以4 边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋
9=44，所以4个顶点数 的和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。
想一想，有没有其他填法？
. 练习3：
1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。




0
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2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一
个顶点 的数字为1。



3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方 形顶点圆圈内四个数之和都相等，
而且最大。这个和是多少？



【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求
最大的和是多少？ 【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5
填在四角，因为四个角上的数 在求和时各用了两次，其他数各用了一次。
由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整数，说明四条边上的 总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。
所以，最大的和为：（62－2）÷4=15
.练习4：
1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？






2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？




1
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3.将数字 1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个
和可以是多少？




【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和
都是21。


【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数 ，恰好
每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21
是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，
要使和为单数，8要填入中间部分，如右上图。
练习5：
1.在图（左下图）中各圆的空余 部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和
是15。







2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是
27。



3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使 每个圆中4个数的和是
33。
2
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第13讲 周期问题

一、知识要点
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如 ：人的十二生肖，一年有
春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期 的问题，
我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周 期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也
就是找出循环的固定数，然后利用除法 算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练
【例题1】小丁把同样大小的 红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑
的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个 珠子是什么颜色？


从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列 ，即6个珠子为一周期。
32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第 32个珠子就是重
复5个周期后的第2个珠子，应为红色。
练习1：
1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？
3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？


【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
【思路导航】我们 知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从
10月1日到10月25日经过25－ 1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包
括3个星期还多3天。所以从10月 1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最
后一天起再过3天就应是星期四。
练习2：
1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？

2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？

3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？
3
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【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数 字的排列规律。1个3.积的个位是3；2
个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7； 4个3相乘积的个位数字是1；
5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9 、7、1不断重复出
现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3 相乘积的个位
数字是第25个周期中的最后一个，即是1。
练习3：
1.23个3相乘，积的个位数字是几？
2.100个2相乘，积的个位数字是几？
3.50个7相乘，积的个位数字是几？
【例题4】有一列数按“432794327918 6……”排列，那么前54个数字
之和是多少？
【思路导航】上面一列数中，从第1个数字开 始重复出现的部分是“43279186”，周
期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共 有多少组“43279186”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是 （4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和是
4＋3＋2＋7＋9＋1=2 6。所以，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。
练习4：
1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？
2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？ < br>3.有一列数“72365……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间
（含第2个与第2 5个数字）所有数字的和是多少？
【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就 是说3页插图前
后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页 ？
【思路导航】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1
页文字 3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含
有128÷（1＋3 ）=32个周期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。
练习5：
1.校门口摆了一 排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。如果第一盆花
是菊花，那么共摆了多少盆月季花 ？

4
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2.同学们 做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，
这列队伍中男生有多少人？

3.一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面
黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗？
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第14讲 数学趣题
.
一、知识要点
在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友 同时
唱一首歌要3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需要较
复杂的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答
案。
对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及
自己的聪明才智巧妙 地解决。
二、精讲精练
【例题1】如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园 要3小时，那么6
个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？
【思路导航】2个人一起从学校到 儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐
园要3小时；6个人一起从学校到儿童乐园所用的时间 与一个人所用的时间相等，所以6
个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时。
练习1：
1.3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？

2.5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？

3.6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙
地要用几 小时？

【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问 长
到5厘米时要用多少天？
【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身 长的2倍。这条毛
毛虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷ 2=10厘
米；在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米。
练习2：
1. 有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问睡
莲要遮住半个池塘需要 多少天？

2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到 9厘米
时要用几天？
6
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3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘
米共要多少天？
【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条
鱼？ 【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条
数尽量多，那么 其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，在
第二堆中放2条鱼，在第三堆中 放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
练习3：
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？
2.老师 为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最
多可排几人？
3 .兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。
问分得最多的一只小 兔至多分得几个？
【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带 有
6字。想一想，该怎样分？
【思路导航】因为6×6=36只，这样就可以在每个篮子里装 6只桃，共装6个篮子，
还有一个篮子里装100－36=64只桃。64这个数，正好也含有数字6， 符号题目要求。
练习4：
1.把100个鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数 目都带有6字，想想看，
应该怎样分？
2.有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量 都要含有数字8。现在有200块
糖要分给一些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。
3. 7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只苹果，现在要从这
7只箱子里取出 87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？
【例题5】舒舒和思思到 书店去买书，两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都不够。
舒舒缺2元8角，思思缺1分钱，用两个人合 起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？
【思路导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合起来的钱 买一本书仍然不够，这说明
舒舒根本没有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
练习5： 1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元4
角，娟娟缺1 分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多少钱？
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2.李华和 张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角，张洁缺2分钱，
但两人合起来买一本仍不够 。这种本子一本多少钱？
3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺 600元，
李阿姨缺900元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？
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第15讲 乘除巧算

一、知识要点
前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法 进行
巧算，实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要
牢 记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。
提高计算能力，除 了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。
巧算中，经常要用到一些运算定律， 例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善
于运用运算定律，是提高巧算能力的关键。
二、精讲精练
【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
【思路导航】（1）我们知道25×4=100，因而我们要尽量把25与 4放在一块计算，
这样比较简便。所以我们先算25×4=100，再与17相乘即100×17=17 00；（2）因为8×
125=1000，因而我们先把8与125放在一块计算，8×125=100 0，再乘18：1000×18=18000；
（3）已知25×4=100、125×8=1000， 因此这道题我们要通过移位的方法把25与4相乘，
125与8相乘，然后再把1000与100相乘， 1000×100=100000；（4）因为125×8=1000，
2×5=10，因而这道题也要 移一移，先计算125×8=1000和2×5=10，再计算1000×
10=10000。
练习1： 1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8
2.计算：（1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5
3.想一想，怎样算比较简便？ 125×16
【例题2】你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125 （3）16×25×25 （4）125×32×25
【思路导航】（1）已知25×4=1 00，因为8=2×4，所以我们可以把25×8转化为25
×4×2.然后先算25×4=100，再 算出100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因而我
们可以把16×125 转化为2×（8×125），然后算出8×125=1000，再乘2得到2000；（3）
因为25× 4×100，16=4×4，这样可以将两个4分别与两个25相乘，所以原式就转化为（4
×25）× （4×25），再分别计算，得到结果100×100=10000；（4）因为125×8=1000，
25×4=100，我们又发现32=4×8，所以可将4和8分别与25、125相乘，得到（125×8）
×（25×4），再分别算出结果为1000×100=100000。
练习2： 1.（1）25×12 （2）125×32 （3）48×125
2.（1）125×16×5 （2）25×8×5
3.（1）125×64×25 （2）32×25×25
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【例题3】你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十
位上的数字相同，个位数字和是10，像这样的题目，我们可以将首位数字加1再乘首位数
字， 得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果
末位数字相乘的积是 一位数，要在前面被一个0。（1）82×88先用首位数字加1再乘首
位数字，即（8＋1）×8=7 2作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘2×8=16作为积
的末位两个数字，所以82×88= 7216；（2）51×59先用首位数字加1乘首位数字，即（5
＋1）×5=30作为积的前两位数 字，再用两个末位数字相乘1×9=9，它们的积是一位数，
要前9前面被一个0，作为积的末两个数字 ，所以，51×59=3009。
练习3：
1.（1）72×78 （2）45×45
2.（1）81×89 （2）91×99
3.（1）42×48 （2）61×69
【例题4】简便运算：
（1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125
【思路导航】这里可以运 用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍
数（0除外），商不变，因而：（1）130 ÷5可将130和5同时乘2.使除除变为10，然后
再用260÷10=26；（2）4200÷25 可以将4200和25同时乘4，使除数变为100，然后再
用16800÷100=168；（3）3 4000÷125可以将34000和125同时乘8，使除数变为1000，
然后再用272000÷ 1000=272。
练习4：
1.你能迅速算出结果吗？（1）170÷5 （2）3270÷5 （3）2340÷5
2.计算：（1）7200÷25 （2）3600÷25 （3）5600÷25
3.你有好办法计算下面各题吗？
（1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125
【例题5】计算：31×25
【思路导航】题中31不能被4整 除，但31可拆成4×7＋3.这样就得到（4×7＋3）
×25，或者把25看作100÷4也可求出 得数。
（1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775
（2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775
练习5：
计算：（1）29×25 （2）17×25 （3）221×25
0
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（4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25
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第16讲 应用题（一）

一、知识要点
应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知 识来
解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，
找到问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以 从
问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活
运用 这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。
二、精讲精练
【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球
的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？
【思路导航】根据题意画出线段图
从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球
的只数比这样的2倍还少5只，用24×2－5=43（只）可
以求出足球的只数，再用43＋24=6 7只可以求出两种球的总只数。
练习1：1.小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3 倍少16下，小军
每分钟比小红多跳几下？
2.王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数 的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、
鹅多少只？
3.少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数 比柳树棵数的3倍多14棵。少先队员种的
杨树、柳树共多少棵？
【例题2】人民广场花圃中 有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花
有多少盆？
【思路导航】 从上图可以看出，把月季花的盆数看作1
倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增< br>加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）
÷3=65（盆）就可求出月季 花的盆数。
练习2：1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少200元。小
明母亲每月工资多少元？
2.饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？
3.水果 店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多
27千克，还剩多少千克水 果？
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【例题3】 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只
数正好是黑鸡的2倍。白鸡、 黄鸡、黑鸡各多少只？
【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比
黄鸡多12只”，从 线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多
13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－1=1倍，这样也就求< br>出黑鸡的只数为25÷1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×2=50只。
练习3：1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比
红围巾多 20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？
2.有甲、乙、丙三 筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐
苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙 筐各有多少只苹果？
3.男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女生人数相等；如果少去一 名男
生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人？
【例题4】用一批纸装订同 样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果
每本20页，可以少装订多少本？
【思路导航】根据“如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×
400=6400 页；再用总页数6400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－320=80
本 则表示少装订的本数。
练习4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装30箱。如 果每箱15
千克，可少装多少箱？
2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3米长， 可做140幅。如果每幅窗帘
做成2米长，则可多做多少幅？
3.同一批纸装订同样大小的练 习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本多装
订9页，则少装订多少本？
【例题5 】李师傅原计划6小时加工零件480个，实际2小时加工192个。照这样的
效率，可以提前几小时完 成？
【思路导航】根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为
19 2÷2=96（个小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，
求出实 际完成的时间。6－5=1小时，则表示提前完成的时间。
练习5：1.王奶奶计划10小时做纸盒4 00个，实际3小时已加工150个。照这样的
效率，可以提前几小时完成？
2.暑假中，小 宁30天共要写大字600个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，
小宁可以提前几天写完同 样多的字？
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3.自行车 制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆，五月份改进技术后9天已生
产自行车1350辆。照 这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？
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第17讲 应用题（二）
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一、知识要点
一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析 ，善
于思考，善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。
解答一般应用题的关键是要掌握数 量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之
间的联系，找出解题方法，灵活解题。
二、精讲精练
【例题1】一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米 ，下午
3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。问火车实际每小时行驶多少
千米？
【思路导航】由“这列火车早上5时出发，计划下午3时到达”可知，这列火车原计
划 行驶12＋3－5=10小时，用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小时，便可得
到甲地到 乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时，说明火车实际行驶了10＋
2=12小时 ，用1200÷12=100千米就可得到火车实际每小时行的千米数。
练习1：1.一辆汽车早上8 点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4
时到达乙地。但实际晚点2小时到达，这辆汽 车实际每小时行驶多少千米？
2.一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下 午6时到达乙城。
但实际到达时间是下午4时，提前2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？
3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计划每小时行驶60千米，下
午2时到达城 西，实际到达时间是下午3时，晚到1小时。问实际每小时比计划少行多少
千米？
【例题2】 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。
回家后，三个人平均分铅笔， 小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？
【思路导航】小宁和小红一共买了7＋5=12 枝铅笔，三个人平均分，每人应得12÷3=4
枝，所以小佳拿出的8角钱就相当于4枝铅笔的价钱，那 么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2
角。小佳应给小宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2×（5－4） =2角钱。
练习2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳阳没有买。到家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？
2.甲、乙、丙 3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有带
钱。那么吃完后，丙应拿出4元8 角钱，他应分别给甲、乙多少钱？
3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了4 担柴，李家出了5
担柴，王家因无柴付18元。张、李家各得多少钱？
【例题3】用一个杯子 向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如
果倒进去5杯牛奶，连瓶共重750克。 一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
【思路导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2）
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比较（1） 、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－
2=3瓶牛奶重量是750 －450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空
瓶重量是450－10 0×2=250克。
练习3：1.有12筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果 装进2
筐苹果，连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重520千克。1筐苹果和大箱子各重多少千克？
2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如 果倒进7
桶水，连缸共重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？
3.有一瓶水，向几 个相同的杯子里注水，如果注满3杯水，连瓶重550克；如果注满
6杯水，连瓶共重250克。一杯水 多重？
【例题4】一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒
子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的
珠子粒数相等。 三种颜色的珠子各多少粒？
【思路导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相 等，那么就
可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子 各
几粒。红色珠子：6×9=54粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5=30粒。 练习4：1.一共有苹果、梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中，把梨分放
到5个盘中 ，把橘子分放到6个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个？
2.一共有白兔、灰兔 、黑兔共250只，如果把白兔分放到5个笼中，把灰兔分放到
11个笼中，把黑兔分放到9个笼中，这 样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？
3.共有科技书、文艺书和故事书共360本，若 把科技书分放到2个书架上，把文艺书
分放到3个书架上，把故事书分放到4个书架上，则每个书架上的 本数相等。三种书各有
多少本？
【例题5】在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿 出50个鸡蛋，则6个
筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡 蛋多少
个？
【思路导航】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐里鸡蛋个数的 总
和”，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和，用取
出的50×6=300个鸡蛋除以4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。
练习5 ：1.在6个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出50个苹果，则6
个箱里剩下的苹果个数 的总和等于原来2个箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有多少
个苹果？
2.某商店有5箱 皮球，如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个数正好
等于原来2箱皮球的个数。原来每箱 装了多少个皮球？
3.有3个水桶，如果从每桶中倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于 原
来1桶的重量。原来每桶装多少千克水？
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第18讲 数字趣谈

一、知识要点
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、 9是我们最常见、最熟悉的数，由这
些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就 会找到答案。本周的
习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分 类统
计法，相信你们能很好地掌握它。
二、精讲精练
【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24
3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39
练习1：
1.在20和50之间有多少个数是6的倍数？

2.在15和70之间有多少个数是8的倍数？

3.两个整数之积为144，差为10，求这两个数。

【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？
【思路导航】求10和1000之 间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻
烦。可以这样思考：
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
练习2：
1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数？

2.在10到1000之间有多少个数是7的倍数？

3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数？
【例题3】从1——9九个数中选取， 将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不
同的写法？
【思路导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
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1.2.3.4，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求， 但用第二小的2和最大的9相
加，和为11符合要求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8 ，11=4＋7，11=5＋6。
共有4种不同的写法。

练习3：
1.从1——9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？



2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。



3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？



【例题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人
单独去 的，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？
【思路导航】2000年 2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用
最小的几个数试乘（1除外）：2×3 ×4=24，24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。
所以，这三批学生的人数是2. 3.4人。
练习4：
1.2001年5月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不 相等，三批人数的
乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？



2.学校进行运动会比赛，三（2）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而 且这
三项参赛人数之积在35到45之间。那么三（2）班最少各有多少人参加这三项比赛？


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3.小明家有四种水果，每种水果的千克数不相等，这四种水果的千克数的乘积在200
到250之间， 那么这些水果最少共有多少千克？



【例题5】一本连环画共100页 ，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，
排这本书的页码共要用多少个铅字？
【思路导航】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
练习5：
1.一本书共2 00页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多
少个铅字？
2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书时共用多少个数码？
3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页？
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第19讲 重叠问题

一、知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗 读比赛的12位同学每人发
一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么 回事？对了，
因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，
我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除 原理，即当两个计数部分
有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解 答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助
图形进行思考，找出哪 些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方
法。
二、精讲精练
【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从
后数起，红旗是第 10面。这行彩旗共多少面？
【思路导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数 起红旗是第8面，从后数起
是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行
彩旗共有 8＋10－1=17面。
练习1：
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数 起排在第7个。这队小朋友共
有多少人？


2.学校组织看文艺演出，冬 冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一
行座位有多少个？

< br>3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共
有多少个同 学？


【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4 个，从右
数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
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