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专题二 数形结合
【方法简介】
数形结合的思想是一种重要的数学 思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数
学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具 体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,
是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质, “数”和“形”是紧密联系
的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时 ，又往往离
不开“数”。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.
【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性

【典型应用1】简易问题
应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画 线段图就能清晰找出
这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系， 最后
设未知数，列方程.
【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？
[略解]
解：设小巧有
x
张邮票，那么小胖有3
x
张邮票.
x3x208
,
4x208
,
x52
.
答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.
【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题， 首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为
208张，再列方程.最后提醒别忘了算 小胖的邮票数.

【题2】
一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟 开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均
每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？
[略解]
解：设轿车开出小
x
时后追上客车.
900.39 0x108x
，
2718x
，
x1.5

答：轿车开出小时后追上客车.
【技巧贴士】
这是道追及问题，在本题中因为客车 与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分
析题目,这样更容易找出等量关系.

【题3】
小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相 向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平
均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？
[略解]
解：设
x
分钟后两人还相距324米.
32472x75x1500
，
x8

答：设8分钟后两人还相距324米.
【技巧贴士】
本道题目是将相遇问题进行了 改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所
以1500米减去324米 ，就是他们一共走的总路程，即方程为
72x75x1500324
.
【巩固练习】 第一期
第一部分 基础达标
1. 商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵元，是平装集邮 册价格的倍，这
两种集邮册的售价分别是多少元？
2. 一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出 发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每
小时行80千米，轿车平均每小时行 100千米.轿车几小时后追上大巴士？
3. 上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士 车同时从两地出发，途中巴士车A休息了小时，结
果巴士车小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小 时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？
第二部分 强化训练
4. 动物园里的 狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎
各有多少只 ？
5. 一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那 么正好分完.
一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？
6. 甲乙两人相距若干米，如果两 人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分
钟可以追上乙.如果乙每分钟走 60米，那么甲每分钟走多少米？
7. 暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗 骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟
280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到 电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00
出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影 院开映前进入电影院？
8. 甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，1 0分钟后相遇，如果两人各自提速
20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？

9. 在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人 每隔12分钟相遇一次，
若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则 两人每隔4分钟相遇一
次，两人跑一圈各要多少分钟？
10. 甲、乙二人分别从A、B两地 同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千
米，则出发后6小时两人就相 遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少
千米？
【典型应用2】几何应用
应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形 的面积公式、周长公
式和体积公式。有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运 用
所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该
从图 形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.
【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白 纸折成右图形壮，EC=厘米，求阴影部分的面积．
[略解] 解：（+13）×13÷2-（） ×19÷2=×13÷×19÷2=（平方厘米）.答：阴影部分的面积是49平方
厘米．
【 技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分
的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为=厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．
【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米？如果1立方厘米铁的重量为克，用铁制成
的这种零件有多少重？
[略解]解：（1）零件的体积：6×3×2+（9-6）×3×6=36+ 54=90（立方厘米）答：这个零件的体积是90
立方厘米．
（2）90×=702（克） 答：用铁制成的这种零件重702克．
【技巧贴士】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活 中的应用，关键是先将零件变成规则的图
形再求其体积．这个零件由2个长方体组成，它们的长、宽、高 分别为：6厘米、3厘米、2厘米；（9-6）
厘米、3厘米、6厘米，利用长方体的体积V=abh即 可求出这个零件的体积；再用这个零件的体积乘单位体
积的铁的重量，就是这个零件的总重量．
【巩固练习】 第二期
第一部分 基础达标
1. 如图，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大 30平方厘米，求DE的长．
2. 一块平行四边形的草地中有一条长米、宽1米的小路.这块草地的面积是多少平方米？
3. 图中表示 的小正方体的表面积为54平方米，则如图中用8个这样的小正方体组成的正方体的表面积是
_____ _平方米．
4. 一个长方形玻璃缸，从里面量长50厘米，宽30厘米，水深12厘米，把一个机器 零件浸没在水中，这
时水面高度15厘米，求零件的体积．
第二部分 强化训练
5. 如图的长方形中有三个三角形，它们面积间的关系是（ ）

A.
S
1
S
2
S
3
B.
S
1
S
3
C.
S
2
S
3
D.
S
3
S
2
S
1

6. 把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（ ）.
A. 20平方厘米 B. 30平方厘米 C. 40平方厘米 D. 60平方厘米
7. 一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用1分米铁丝 ．这
根铁丝总长至少为多少分米？
8. 将15个棱长为1的正方体堆放在桌面上（如图）， 喷上红色后再将它们分开．涂上红色的部分，面积
是多少平方厘米？
9. 如图，AD=DE =EC，F是BC中点，G是FC中点，如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是
多少平 方厘米？
10. 一张长方形纸板，长24厘米，宽16厘米．现在在它的四个角上剪去大小相等的四 个正方形，然后做
成一个无盖的纸盒．当剪去的正方形边长为多少厘米时（取整厘米数），这个纸盒的容 积最大（纸板
的厚度忽略不计）．这时纸盒的容积是多少立方厘米？
【典型应用3】统计与可能性
应用3：统计初步分为四个步骤：数据收集、数据整理、数据呈 现和数据分析.做统计题
目就是要懂得去看图分析，总结统计图所给的信息，通常情况下，我们用条形统 计图表
示各类数量的多少，用折线统计图表示数量增减变化的情况，平均数是最常用的统计量,
不但可以反映一组数据的总体情况，也可以用来分析不同数量的几组同类数据.
【题1】五年级全体学生参加活动，上周到图书馆借书情况如条形统计图.
（1）第_____天借书大于或等于70本？
（2）这周平均每天借书多少本？（按5天计算，计算结果用四舍五入法凑整到个位）
[略解] 通过观察统计图，可知：
（1）第二天借书等于70本；第三天（77本）和第五天（90本）借书大于70本；
（2）用这一周总共借书的本数除以5即得这一周平均每天借书的本数．
【技巧贴士】此题先读出统计图中已知的条件，再根据求平均数的方法求出这一周平均每天借书的本数.
【题2】小红到离家6千米的一个风景区游玩，请根据如图的折线图回答：

（1）小红在风景区玩了多长时间？
（2）如果一直走不休息，她几时几分可到达风景区？

（3）小红骑车回家时每小时行多少千米？
[略解] 解：（1）因为9 点到10点分平均分2个时间段，每段30分钟．所以小红在风景区玩了30分钟．（2）
因为8点到9 点之间分成了3段，60÷3=20（分钟），中间休息了20分钟，如果不休息，8点40分就可以到达.（3）因为9点到10点平均分2个时间段，60÷2=30（分钟），所以小红回家用了30分钟=
（千米）；答：小红骑车回家时每小时行12千米．
【技巧贴士】本题考查折现统计图，看学生能不能运用统计图提供的信息解决实际问题.
【巩固练习】 第三期
第一部分 基础达标
1.根据统计图信息完成下列问题
11
小时．6÷=12
22

(1) 上面统计图表示小巧本学期4次数学测验成绩增减变化的情况，它是_______统计图．
(2) 小巧第3次数学测验成绩是_______分．
(3) 小巧第5次数学测验成绩得_______分，才能使这5次数学测验的平均成绩是91分．
2.新华书店第一、第二季度各类图书销售情况如下表，请根据此表完成下面的统计图．
童话 漫画 科普 趣味数学

第一季度 45本 95本 70本 75本
第二季度 30本 90本 85本 85本
(1) 新华书店第一、第二季度各类图书销售情况统计图
(2) 如果书店想进一些新书，你有什么好推荐？

3.小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中．
4.
5.从这个班中任选一个同学，他的体重在28～30kg之间的可能性是多少？
6.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩．（单位：m）
7.
8.
9.（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？
10.（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？
11.（3）如果以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？
第二部分 强化训练
5.教练陪小明练习100米蛙泳，他们两人游泳的距离和时间的关系如下图，请看图回答问题．

（1）小明比教练先游______秒．
（2）小明游到______米时，速度明显慢了下来．
（3）两人都到达终点时，教练游的时间是小明的

.

6.小丁和小华进行800米赛跑的时间与路程关系如下图．

（1）______赢得了比赛的胜利．
（2）小华的平均速度是每分钟_______米．（结果保留整数）
（3）跑完500米，小丁用了_______分钟，小华用了______分钟
7.林科院技术员为了比较两棵不同树木的生长情况，每2年测量一次树的高度，情况如下：
年数
高度米
品种
甲树
乙树
2
3
4
5

6
7
7



8
10
8
10
8
10
8
2 4 6 8 10 12 14 16 18
（1）根据上表，在下面绘制这两种树的生长情况统计图．
（2）请根据统计图，描述一下这两种树的生长情况．
（3）当两种树的生长速度几乎为0时，乙树的高度是甲树的几分之几？
（4）生长到第几年两树的高度一样？
8.某电器城2011年下半年空调和冰箱销售台数如下：
月份
台数太
种类
空调
冰箱
450
300
750
500
550
350
350
300
250
250
600
200
7月 8月 9月 10月 11月 12月

（1）根据上表中的数据制成折线统计图（如图1）．
（2）平均每月销售空调多少台？
（3）如果每台冰箱获利100元，那么这个电器城2011年下半年冰箱销售中共获利多少万元？ < br>（4）下面是某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计图如图2．请根据统计图完成下面的统计表 ．
某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况
年份
计划产量
实际产量
2009年


2010年


2011年


2012年


合计


【方法小结】纵观多年来的试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数 学问题，可起到事半功
倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.数形结合的思想方法应用广泛， 常见的如在解方程和在将
来要学的解不等式问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能 避免复杂的计算与推理，
大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思 想意识，要争取胸中有图见
数想图，以开拓自己的思维视野.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语 言与直观的图像结合起来，关
键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数几何问题化，几何问题 代数化.在运用数形结合思想分
析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意 义，对数学题目中的条件和结论
既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数、合理用参，建 立关系，由数思形，以形想数，
做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.解题中，主要有三种类 型：以数化形、以形化数和数形结
合.解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题 中已知条件或结论出发，先观察分析
其是否相似或相同于已学过的基本公式或图形的表达式，再作出或构 造出与之相适合的图形，最后利用已
经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解的目标去 解决问题。
答案

专题2第一期
1.精装：元；平装：16元.提示：设 平装为
x
元，
x9.61.6x
，
x
=16.
2.小时.提示：设轿车
x
小时后追上大巴士.
15080x100x
，
x7.5

3.A车平均每小时行千米.提示：设A车平均每小时行
x< br>千米，
(1.850.6)x1.8592296,x100.64.

4.老虎：12只，狮子：26只.提示：设有
x
只老虎.
2x 2x14
，
x12.

5.一共有7个小朋友，56颗巧克力.提示： 两次分法不同，但巧克力总量没有变.设有
x
个小朋
友.
6x148x< br>，
x7.

6.甲每分钟走120米.提示：设甲的速度为
x
千米时,
(x60)66022x,
路程差.
7.小琪骑了22分钟, 他们两人能在电影院开映前进入电影院.提示：设小琪骑了
x
分
钟.
220x 2206280x
，
x22.

秒.提示：原来两人每分钟共走15 00÷10=150（米），提速后两人的速度和为150×（1+20%）÷60=3（米
秒）。所以 相遇需要1500÷3=500（秒）.
分钟、12分钟.提示：600÷12=50，表示哥哥、弟 弟的速度差；600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和；（50+150）
÷2=100，表示较 快的速度；（150-50）2=50，表示较慢的速度；600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时
间 60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间.
x120.
速度差×时间=
11
；再由出发后6小时两人就相遇，可知后来每小时行全程的：1÷6=；后来比原来每小时多行全 程
88
11
11
的：-=，每小时共多行：2+2=4（千米），就用除法求 出全程是：4÷=96（千米）；相遇时，
68
2424
÷8=
甲比乙多行： 3×2=6（千米），每小时多行：6÷6=1（千米），每小时两人共行：96÷6=16（千米），甲
每小时行：（16-1）÷2+1=（千米），甲原来每小时行：=（千米）.解答此题关键是明白路程是不变 的，
先跟据两次相遇的时间求出各自的速度和，进而求出两次的速度和差，正好是每小时共多行的路程， 进而
用除法求出全程．
专题2第二期
厘米.提示：三角形AFB的面积- 三角形DEF的面积=长方形ABCD的面积- 三角形BCE的面积=15×8-15×（8+DE）
÷2=，依此即可求解．
提示：
S
平行四边形
125.262.4
平方米，
S
小路
5.215.2
平方米，
S
草地
S
平行四边形
-S
小路
62.4-5.257.2
平方米.
平方米.提示：根据正方体的 表面积公式：
S6a
，表面积除以6就是一个面的面积，由此可以求出小正
方体每个 面的面积，用8个这样的小正方体组成的正方体，每个面的面积是小正方体每个面的面积的4倍，
把数据 代入表面积公式解答即可．
立方厘米．提示：把一个机器零件浸没在水中后，水的高度为15厘米，原 来的水深是12厘米，这是因为机
器零件浸没在了水中，机器零件的体积就是玻璃缸内上升的这部分水的 体积，这部分水的长是50厘米，宽
是30厘米，高是（15-12）厘米，根据长方体的体积公式进行 列式解答即可．
2

5.D.提示：
S
2
的面积是长 方形形面积的一半，
S
1
和
S
3
的面积和也是长方形面积的 一半.
.提示：长方体切割成2个小长方体，要使表面积增加的最大，则可以平行于最大面4×5面进 行切割，这样
切割后表面积就是增加了两个4×5面的面积.
分米．提示：根据长方体的特征 ，长方体的12条棱中互相平行的一组有4条（长度相等），据图可知，铁丝
总长等于长方体长的2倍， 宽的4倍与高的6倍之和，再加上三个打结处所用铁丝长度．
平方厘米.提示：这个立体图形的底面没 有涂色，所以涂色部分的面积，就是这个图形露在外部的表面积，
从上面看到的图形有10个小正方体的 面，从前面和后面看到的图形各有7个小正方体的面，从左面和右面看
到的图形中各有6个小正方体的面 ，据此即可求出露在外部的表面积，即得出涂色面积．露在外部的面一共
有：10+7×2+6×2=3 6（个），1×1×36=36（平方厘米）.
平方厘米.提示：三角形等高，面积的比即底边的比. 连接AF，因为AD=DE=EC，所以
11
s
△ABD
248平方厘 米
，又因为BF=FC,所以
S
△ABF
S
△AFC
2 412平方厘米
,在三角形
32
1
AFC中，AD=DE=EC,所以< br>S
△ADF
S
△DEF
S
△EFC
124 平方厘米
,由于FG=GC，所以
3
1
S
△EGC
S△EFG
42平方厘米
；
S
阴影
S
△ABD< br>S
△DEF
S
△GCE
代入数值.
2
10.边 长为3厘米时，这个纸盒的容积最大是540立方厘米．提示：根据题意，从这张纸板上在它的四个角上
剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个
边长，是纸盒的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，
它们的容积最大；因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答．
专题2第三期
1 .折线、100、97.提示：因为该统计图不但容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况，所以< br>是折线统计图；要求小巧第5次数学测验成绩，先根据“平均成绩×测验次数=总成绩”求出5次测验的总 成
绩，然后减去前4次测验成绩即可．
2.从统计图中可知第二季度的科普书和趣味数学都比 上一季度的销售数量增加了，可适当添一些科普和趣
味数学的书.提示：统计图中的横轴表示图书的分类 ，纵轴表示本数，可用空白表示第一季度，黑色表示第
二季度．然后完成统计图，再根据统计图，提出建 议．
3.
12
. 提示：根据统计表，可得体重在28～30kg之间的人数是24 ，全班的总人数是50，用前者除以后者，
25
求出他的体重在28～30kg之间的可能性．
4.（1）中位数： 平均数： （2）用中位数来表示 （3）9名同学及格，超过半数.提示：（1 ）把这组数据
按照从小到大重新排列，则最中间的两个数字的平均数就是这组数据的中位数，把这组数据 加起来，再除
以12，即可求出它们的平均数；（2）中位数的优点是：不受偏小或偏大数据的影响，更 能代表一般水平；
（3）一共有12人参加跳远，所以及格的人数超过6人，就超过了半数．

5.（1）10 （2）60 （3）
14
提示：（3）根据折线统 计图可知，小明用了85秒，教练用了70秒，答案即
17
为70÷85的最简分数形式.
6.（1）小华 （2）178 （3）2 ， 提示：（1）根据折线统计图可知，小丁到达终点 用了5分30秒，小华
到达终点用了4分30秒，由此可见，小华赢得了比赛胜利；（2）可根据公式 路程÷时间=速度，用800除以
分钟即可得到答案；（3）根据折线统计图可知，在跑完500米时， 小丁用了2分钟，小华用了分钟，由此解
答即可得到答案．
7.（1）

（2）甲树的生长速度比乙树的生长速度快．（3）8÷10=
高度是甲树的
4
答：当 两种树的生长速度几乎为0时，乙树的
5
4
．（4）生长到第8年两树的高度一样．提 示：（3）用乙种树生长速度几乎为0时的高度
5
除以甲种树生长速度几乎为0时的高度，可求 出乙树的高度是甲树的几分之几．
8.（1）根据上表中的数据制成折线统计图如下：
< br>（2）492台．提示：（450+750+550+350+250+600）÷6=2950÷6≈4 92（台）
（3）19万元．提示：100×（300+500+350+300+250+200） =100×1900=190000（元）
（4）某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计表
年份 2009年 2010年 2011年 2012年 合计

计划产量（万
吨）
实际产量（万
吨）

8 10 13 16 47
8 12 16 18 54

专题二 数形结合
【方法简介】
数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的 对应和转化来解决数
学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观 之长,
是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系
的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离
不开“数”。 由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.
【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性

【典型应用1】简易问题
应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画 线段图就能清晰找出
这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系， 最后
设未知数，列方程.
【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？
[略解]
解：设小巧有
x
张邮票，那么小胖有3
x
张邮票.
x3x208
,
4x208
,
x52
.
答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.
【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题， 首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为
208张，再列方程.最后提醒别忘了算 小胖的邮票数.

【题2】
一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟 开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均
每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？
[略解]
解：设轿车开出小
x
时后追上客车.
900.39 0x108x
，
2718x
，
x1.5

答：轿车开出小时后追上客车.
【技巧贴士】
这是道追及问题，在本题中因为客车 与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分
析题目,这样更容易找出等量关系.

【题3】
小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相 向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平
均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？
[略解]
解：设
x
分钟后两人还相距324米.
32472x75x1500
，
x8

答：设8分钟后两人还相距324米.
【技巧贴士】
本道题目是将相遇问题进行了 改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所
以1500米减去324米 ，就是他们一共走的总路程，即方程为
72x75x1500324
.
【巩固练习】 第一期
第一部分 基础达标
1. 商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵元，是平装集邮 册价格的倍，这
两种集邮册的售价分别是多少元？
2. 一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出 发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每
小时行80千米，轿车平均每小时行 100千米.轿车几小时后追上大巴士？
3. 上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士 车同时从两地出发，途中巴士车A休息了小时，结
果巴士车小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小 时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？
第二部分 强化训练
4. 动物园里的 狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎
各有多少只 ？
5. 一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那 么正好分完.
一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？
6. 甲乙两人相距若干米，如果两 人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分
钟可以追上乙.如果乙每分钟走 60米，那么甲每分钟走多少米？
7. 暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗 骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟
280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到 电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00
出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影 院开映前进入电影院？
8. 甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，1 0分钟后相遇，如果两人各自提速
20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？

9. 在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人 每隔12分钟相遇一次，
若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则 两人每隔4分钟相遇一
次，两人跑一圈各要多少分钟？
10. 甲、乙二人分别从A、B两地 同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千
米，则出发后6小时两人就相 遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少
千米？
【典型应用2】几何应用
应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形 的面积公式、周长公
式和体积公式。有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运 用
所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该
从图 形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.
【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白 纸折成右图形壮，EC=厘米，求阴影部分的面积．
[略解] 解：（+13）×13÷2-（） ×19÷2=×13÷×19÷2=（平方厘米）.答：阴影部分的面积是49平方
厘米．
【 技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分
的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为=厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．
【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米？如果1立方厘米铁的重量为克，用铁制成
的这种零件有多少重？
[略解]解：（1）零件的体积：6×3×2+（9-6）×3×6=36+ 54=90（立方厘米）答：这个零件的体积是90
立方厘米．
（2）90×=702（克） 答：用铁制成的这种零件重702克．
【技巧贴士】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活 中的应用，关键是先将零件变成规则的图
形再求其体积．这个零件由2个长方体组成，它们的长、宽、高 分别为：6厘米、3厘米、2厘米；（9-6）
厘米、3厘米、6厘米，利用长方体的体积V=abh即 可求出这个零件的体积；再用这个零件的体积乘单位体
积的铁的重量，就是这个零件的总重量．
【巩固练习】 第二期
第一部分 基础达标
1. 如图，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大 30平方厘米，求DE的长．
2. 一块平行四边形的草地中有一条长米、宽1米的小路.这块草地的面积是多少平方米？
3. 图中表示 的小正方体的表面积为54平方米，则如图中用8个这样的小正方体组成的正方体的表面积是
_____ _平方米．
4. 一个长方形玻璃缸，从里面量长50厘米，宽30厘米，水深12厘米，把一个机器 零件浸没在水中，这
时水面高度15厘米，求零件的体积．
第二部分 强化训练
5. 如图的长方形中有三个三角形，它们面积间的关系是（ ）

A.
S
1
S
2
S
3
B.
S
1
S
3
C.
S
2
S
3
D.
S
3
S
2
S
1

6. 把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（ ）.
A. 20平方厘米 B. 30平方厘米 C. 40平方厘米 D. 60平方厘米
7. 一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用1分米铁丝 ．这
根铁丝总长至少为多少分米？
8. 将15个棱长为1的正方体堆放在桌面上（如图）， 喷上红色后再将它们分开．涂上红色的部分，面积
是多少平方厘米？
9. 如图，AD=DE =EC，F是BC中点，G是FC中点，如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是
多少平 方厘米？
10. 一张长方形纸板，长24厘米，宽16厘米．现在在它的四个角上剪去大小相等的四 个正方形，然后做
成一个无盖的纸盒．当剪去的正方形边长为多少厘米时（取整厘米数），这个纸盒的容 积最大（纸板
的厚度忽略不计）．这时纸盒的容积是多少立方厘米？
【典型应用3】统计与可能性
应用3：统计初步分为四个步骤：数据收集、数据整理、数据呈 现和数据分析.做统计题
目就是要懂得去看图分析，总结统计图所给的信息，通常情况下，我们用条形统 计图表
示各类数量的多少，用折线统计图表示数量增减变化的情况，平均数是最常用的统计量,
不但可以反映一组数据的总体情况，也可以用来分析不同数量的几组同类数据.
【题1】五年级全体学生参加活动，上周到图书馆借书情况如条形统计图.
（1）第_____天借书大于或等于70本？
（2）这周平均每天借书多少本？（按5天计算，计算结果用四舍五入法凑整到个位）
[略解] 通过观察统计图，可知：
（1）第二天借书等于70本；第三天（77本）和第五天（90本）借书大于70本；
（2）用这一周总共借书的本数除以5即得这一周平均每天借书的本数．
【技巧贴士】此题先读出统计图中已知的条件，再根据求平均数的方法求出这一周平均每天借书的本数.
【题2】小红到离家6千米的一个风景区游玩，请根据如图的折线图回答：

（1）小红在风景区玩了多长时间？
（2）如果一直走不休息，她几时几分可到达风景区？

（3）小红骑车回家时每小时行多少千米？
[略解] 解：（1）因为9 点到10点分平均分2个时间段，每段30分钟．所以小红在风景区玩了30分钟．（2）
因为8点到9 点之间分成了3段，60÷3=20（分钟），中间休息了20分钟，如果不休息，8点40分就可以到达.（3）因为9点到10点平均分2个时间段，60÷2=30（分钟），所以小红回家用了30分钟=
（千米）；答：小红骑车回家时每小时行12千米．
【技巧贴士】本题考查折现统计图，看学生能不能运用统计图提供的信息解决实际问题.
【巩固练习】 第三期
第一部分 基础达标
1.根据统计图信息完成下列问题
11
小时．6÷=12
22

(1) 上面统计图表示小巧本学期4次数学测验成绩增减变化的情况，它是_______统计图．
(2) 小巧第3次数学测验成绩是_______分．
(3) 小巧第5次数学测验成绩得_______分，才能使这5次数学测验的平均成绩是91分．
2.新华书店第一、第二季度各类图书销售情况如下表，请根据此表完成下面的统计图．
童话 漫画 科普 趣味数学

第一季度 45本 95本 70本 75本
第二季度 30本 90本 85本 85本
(1) 新华书店第一、第二季度各类图书销售情况统计图
(2) 如果书店想进一些新书，你有什么好推荐？

3.小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中．
4.
5.从这个班中任选一个同学，他的体重在28～30kg之间的可能性是多少？
6.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩．（单位：m）
7.
8.
9.（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？
10.（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？
11.（3）如果以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？
第二部分 强化训练
5.教练陪小明练习100米蛙泳，他们两人游泳的距离和时间的关系如下图，请看图回答问题．

（1）小明比教练先游______秒．
（2）小明游到______米时，速度明显慢了下来．
（3）两人都到达终点时，教练游的时间是小明的

.

6.小丁和小华进行800米赛跑的时间与路程关系如下图．

（1）______赢得了比赛的胜利．
（2）小华的平均速度是每分钟_______米．（结果保留整数）
（3）跑完500米，小丁用了_______分钟，小华用了______分钟
7.林科院技术员为了比较两棵不同树木的生长情况，每2年测量一次树的高度，情况如下：
年数
高度米
品种
甲树
乙树
2
3
4
5

6
7
7



8
10
8
10
8
10
8
2 4 6 8 10 12 14 16 18
（1）根据上表，在下面绘制这两种树的生长情况统计图．
（2）请根据统计图，描述一下这两种树的生长情况．
（3）当两种树的生长速度几乎为0时，乙树的高度是甲树的几分之几？
（4）生长到第几年两树的高度一样？
8.某电器城2011年下半年空调和冰箱销售台数如下：
月份
台数太
种类
空调
冰箱
450
300
750
500
550
350
350
300
250
250
600
200
7月 8月 9月 10月 11月 12月

（1）根据上表中的数据制成折线统计图（如图1）．
（2）平均每月销售空调多少台？
（3）如果每台冰箱获利100元，那么这个电器城2011年下半年冰箱销售中共获利多少万元？ < br>（4）下面是某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计图如图2．请根据统计图完成下面的统计表 ．
某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况
年份
计划产量
实际产量
2009年


2010年


2011年


2012年


合计


【方法小结】纵观多年来的试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数 学问题，可起到事半功
倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.数形结合的思想方法应用广泛， 常见的如在解方程和在将
来要学的解不等式问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能 避免复杂的计算与推理，
大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思 想意识，要争取胸中有图见
数想图，以开拓自己的思维视野.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语 言与直观的图像结合起来，关
键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数几何问题化，几何问题 代数化.在运用数形结合思想分
析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意 义，对数学题目中的条件和结论
既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数、合理用参，建 立关系，由数思形，以形想数，
做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.解题中，主要有三种类 型：以数化形、以形化数和数形结
合.解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题 中已知条件或结论出发，先观察分析
其是否相似或相同于已学过的基本公式或图形的表达式，再作出或构 造出与之相适合的图形，最后利用已
经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解的目标去 解决问题。
答案

专题2第一期
1.精装：元；平装：16元.提示：设 平装为
x
元，
x9.61.6x
，
x
=16.
2.小时.提示：设轿车
x
小时后追上大巴士.
15080x100x
，
x7.5

3.A车平均每小时行千米.提示：设A车平均每小时行
x< br>千米，
(1.850.6)x1.8592296,x100.64.

4.老虎：12只，狮子：26只.提示：设有
x
只老虎.
2x 2x14
，
x12.

5.一共有7个小朋友，56颗巧克力.提示： 两次分法不同，但巧克力总量没有变.设有
x
个小朋
友.
6x148x< br>，
x7.

6.甲每分钟走120米.提示：设甲的速度为
x
千米时,
(x60)66022x,
路程差.
7.小琪骑了22分钟, 他们两人能在电影院开映前进入电影院.提示：设小琪骑了
x
分
钟.
220x 2206280x
，
x22.

秒.提示：原来两人每分钟共走15 00÷10=150（米），提速后两人的速度和为150×（1+20%）÷60=3（米
秒）。所以 相遇需要1500÷3=500（秒）.
分钟、12分钟.提示：600÷12=50，表示哥哥、弟 弟的速度差；600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和；（50+150）
÷2=100，表示较 快的速度；（150-50）2=50，表示较慢的速度；600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时
间 60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间.
x120.
速度差×时间=
11
；再由出发后6小时两人就相遇，可知后来每小时行全程的：1÷6=；后来比原来每小时多行全 程
88
11
11
的：-=，每小时共多行：2+2=4（千米），就用除法求 出全程是：4÷=96（千米）；相遇时，
68
2424
÷8=
甲比乙多行： 3×2=6（千米），每小时多行：6÷6=1（千米），每小时两人共行：96÷6=16（千米），甲
每小时行：（16-1）÷2+1=（千米），甲原来每小时行：=（千米）.解答此题关键是明白路程是不变 的，
先跟据两次相遇的时间求出各自的速度和，进而求出两次的速度和差，正好是每小时共多行的路程， 进而
用除法求出全程．
专题2第二期
厘米.提示：三角形AFB的面积- 三角形DEF的面积=长方形ABCD的面积- 三角形BCE的面积=15×8-15×（8+DE）
÷2=，依此即可求解．
提示：
S
平行四边形
125.262.4
平方米，
S
小路
5.215.2
平方米，
S
草地
S
平行四边形
-S
小路
62.4-5.257.2
平方米.
平方米.提示：根据正方体的 表面积公式：
S6a
，表面积除以6就是一个面的面积，由此可以求出小正
方体每个 面的面积，用8个这样的小正方体组成的正方体，每个面的面积是小正方体每个面的面积的4倍，
把数据 代入表面积公式解答即可．
立方厘米．提示：把一个机器零件浸没在水中后，水的高度为15厘米，原 来的水深是12厘米，这是因为机
器零件浸没在了水中，机器零件的体积就是玻璃缸内上升的这部分水的 体积，这部分水的长是50厘米，宽
是30厘米，高是（15-12）厘米，根据长方体的体积公式进行 列式解答即可．
2

5.D.提示：
S
2
的面积是长 方形形面积的一半，
S
1
和
S
3
的面积和也是长方形面积的 一半.
.提示：长方体切割成2个小长方体，要使表面积增加的最大，则可以平行于最大面4×5面进 行切割，这样
切割后表面积就是增加了两个4×5面的面积.
分米．提示：根据长方体的特征 ，长方体的12条棱中互相平行的一组有4条（长度相等），据图可知，铁丝
总长等于长方体长的2倍， 宽的4倍与高的6倍之和，再加上三个打结处所用铁丝长度．
平方厘米.提示：这个立体图形的底面没 有涂色，所以涂色部分的面积，就是这个图形露在外部的表面积，
从上面看到的图形有10个小正方体的 面，从前面和后面看到的图形各有7个小正方体的面，从左面和右面看
到的图形中各有6个小正方体的面 ，据此即可求出露在外部的表面积，即得出涂色面积．露在外部的面一共
有：10+7×2+6×2=3 6（个），1×1×36=36（平方厘米）.
平方厘米.提示：三角形等高，面积的比即底边的比. 连接AF，因为AD=DE=EC，所以
11
s
△ABD
248平方厘 米
，又因为BF=FC,所以
S
△ABF
S
△AFC
2 412平方厘米
,在三角形
32
1
AFC中，AD=DE=EC,所以< br>S
△ADF
S
△DEF
S
△EFC
124 平方厘米
,由于FG=GC，所以
3
1
S
△EGC
S△EFG
42平方厘米
；
S
阴影
S
△ABD< br>S
△DEF
S
△GCE
代入数值.
2
10.边 长为3厘米时，这个纸盒的容积最大是540立方厘米．提示：根据题意，从这张纸板上在它的四个角上
剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个
边长，是纸盒的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，
它们的容积最大；因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答．
专题2第三期
1 .折线、100、97.提示：因为该统计图不但容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况，所以< br>是折线统计图；要求小巧第5次数学测验成绩，先根据“平均成绩×测验次数=总成绩”求出5次测验的总 成
绩，然后减去前4次测验成绩即可．
2.从统计图中可知第二季度的科普书和趣味数学都比 上一季度的销售数量增加了，可适当添一些科普和趣
味数学的书.提示：统计图中的横轴表示图书的分类 ，纵轴表示本数，可用空白表示第一季度，黑色表示第
二季度．然后完成统计图，再根据统计图，提出建 议．
3.
12
. 提示：根据统计表，可得体重在28～30kg之间的人数是24 ，全班的总人数是50，用前者除以后者，
25
求出他的体重在28～30kg之间的可能性．
4.（1）中位数： 平均数： （2）用中位数来表示 （3）9名同学及格，超过半数.提示：（1 ）把这组数据
按照从小到大重新排列，则最中间的两个数字的平均数就是这组数据的中位数，把这组数据 加起来，再除
以12，即可求出它们的平均数；（2）中位数的优点是：不受偏小或偏大数据的影响，更 能代表一般水平；
（3）一共有12人参加跳远，所以及格的人数超过6人，就超过了半数．

5.（1）10 （2）60 （3）
14
提示：（3）根据折线统 计图可知，小明用了85秒，教练用了70秒，答案即
17
为70÷85的最简分数形式.
6.（1）小华 （2）178 （3）2 ， 提示：（1）根据折线统计图可知，小丁到达终点 用了5分30秒，小华
到达终点用了4分30秒，由此可见，小华赢得了比赛胜利；（2）可根据公式 路程÷时间=速度，用800除以
分钟即可得到答案；（3）根据折线统计图可知，在跑完500米时， 小丁用了2分钟，小华用了分钟，由此解
答即可得到答案．
7.（1）

（2）甲树的生长速度比乙树的生长速度快．（3）8÷10=
高度是甲树的
4
答：当 两种树的生长速度几乎为0时，乙树的
5
4
．（4）生长到第8年两树的高度一样．提 示：（3）用乙种树生长速度几乎为0时的高度
5
除以甲种树生长速度几乎为0时的高度，可求 出乙树的高度是甲树的几分之几．
8.（1）根据上表中的数据制成折线统计图如下：
< br>（2）492台．提示：（450+750+550+350+250+600）÷6=2950÷6≈4 92（台）
（3）19万元．提示：100×（300+500+350+300+250+200） =100×1900=190000（元）
（4）某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计表
年份 2009年 2010年 2011年 2012年 合计

计划产量（万
吨）
实际产量（万
吨）

8 10 13 16 47
8 12 16 18 54