导游欢送词-思念家乡的文章

小学奥数的知识点汇总
1、年龄问题的三大特征
年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系
的应用题，叫做年龄问题。
年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的;②两个人的年龄
是同时增加或者 同时减少的;③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
解题规律：抓住年龄差是个不变的数(常数)，而倍数却是每年都在变化的这
个关键。
例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7
倍?
⑴ 父子年龄的差是多少?
54 – 18 = 36(岁)
⑵ 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍?
7 - 1 = 6
⑶ 几年前儿子多少岁?
36÷6 = 6(岁)
⑷ 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍?
18 – 6 = 12 (年)
答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。
2、归一问题特点
归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目< br>一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一 量;复合应用题中的某些问题，
解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、 单位时
间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的
条件和问 题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一
法”。有些归一问题可以采取同类 数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种
方法叫做倍比法。
由上所述，解答归一问题 的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样

计算”、“用同样的速度”等句子的含 义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，
求得问题的解决。
3、植树问题总结
植树问题
基本类型：
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式：
棵数=段数+1
棵距×段数=总长
棵数=段数-1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
4、鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部
分置换出来;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题：找出总量的差与单位量的差。

5、盈亏问题
基本概念： 一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种
标准分组，又产生一种结果，由于分组的 标准不同，造成结果的差异，由它们的
关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路： 先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变
化，根据这个关系求出参加分配的总份数 ，然后根据题意求出对象的总量.
基本题型：
①一次有余数，另一次不足;
基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
6、牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间- 短时
间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
7、平均数问题
平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确 定一个基准数;一般选与所有数
比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基 准数的
差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数
的和， 就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
8、周期循环数
周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;
9、抽屉原理
抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至
少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就
有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物 体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉
里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽 屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个
抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽
屉原则进行运算。
10、定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混
合)运算。
基 本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除
的运算，然后按照基本运算过程 、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
11、数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就
叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，
如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公 式中涉及四个量，如果己知其中三
个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1) ×公差;
数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式：n= (an+ a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);

公差=(末项- 首项)÷(项数-1);
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;
12、二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字 表示不同的含
义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2× 102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10 n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+…
…+A3×102 +A2×101+A1×100
注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含
义。
(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n -5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用 2连续去除这个数，直到商为0，然后把
每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先 找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2
的n次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。
13、加法原理
加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方
法，在第二类方 法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，
那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第 1步有m1种方
法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪
种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不

同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点;没有长度。
①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
14、质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫
做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个 数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常
用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的 结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的
质因数，且a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
15、约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫
做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最
大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是：6，记作(12，18)=6;
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是
所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫
做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
16、数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整 数商c，而且没
有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;

二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整
除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整
除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
17、余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除
以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以
c的余数。
18、余数问题
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod
m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod
3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶
数数位上数字的和 ，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，
则ap-1≡1(mod p)。
19、分数与百分数的应用
基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的
大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应 用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是
转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中 一般指的是一倍量)下的
分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或
者假设某种情况 成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量 当中，总有一个量是不变的，不论其他
量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、 分量发生变化，
总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变
化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关
系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
20、分数大小的比较
分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系
比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系
比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分
数值越大。
⑤ 倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以
上方法外，可以用同倍率的变化 关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化
规律)
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
21、完全平方数
完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 约数个数为奇数;反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
22、比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数
叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外)，比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时)，则
A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时)，则
A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
23、综合行程问题
综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程
三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题：追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题：顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水 速=(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、
速度(速度和、速度差) 中任意两个量，求第三个量。
24、工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成 工作总量所用时间的最小
公倍数)，利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
25、逻辑推理问题
逻辑推理
基本方法简介：
①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判
断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相
反情况是成立的。例如 ，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a
一定是奇数。
②条件分析—列表 法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需
要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条 件全部表示在一个长方形表格
中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运 用逻
辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用 连线表示
两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否
定的 状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，
没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相
应的计算，根据计算的结果为 推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在 的规律和方
法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解
决。
26、几何面积
基本思路：

在一些面积的计算上，不 能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割
补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规 则的图形变为规则的图形
进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1. 连辅助线方法
2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在
特殊位置上)。
4. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等
于等腰直角三角形的面积)
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
27、时钟问题—快慢表问题
时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题;
2、 不同的表当成速度不同的运动物体;
3、 路程的单位是分格(表一周为60分格);
4、 时间是标准表所经过的时间;
5、 合理利用行程问题中的比例关系;
28、时钟问题—钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：
①确定分针与时针的初始位置;
②确定分针与时针的路程差;
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时

走60分格， 即一周;而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走
112分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转36060 度，即6°，时
针每分钟转36012*60 度，即12 度。
29、浓度与配比
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶
液的重量和他们 浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质(例如水、汽油等)叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体(例如盐水、糖水等)叫溶液。
基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量;
溶质重量=溶液重量×浓度;
浓度= ×100%= ×100%
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶
液的重量和他们 浓度的变化成反比。
30、经济问题
利润的百分数=(卖价- 成本)÷成本×100%;
卖价=成本×(1+利润的百分数);
成本=卖价÷(1+利润的百分数);
商品的定价按照期望的利润来确定;
定价=成本×(1+期望利润的百分数);
本金：储蓄的金额;
利率：利息和本金的比;
利息=本金×利率×期数;
含税价格=不含税价格×(1+增值税税率);
31、简单方程
代数式：用运算符号(加减乘除)连接起来的字母或者数字。

方程：含有未知数的等式叫方程。
列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。
列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。
等式性质：等式两边同时加上或减去一 个数，等式不变;等式两边同时乘以
或除以一个数(除0)，等式不变。
移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边;
移项规则：先移加减，后变乘除;先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
加去括号规则：在只 有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、
去括号，括号里面的运算符号都不变;如果括号 前面是“-”号，添、去括号，括号
里面的运算符号都要改变;括号里面的数前没有“+”或“-”的， 都按有“+”处理。
移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步骤：①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤求解;
方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。
解方程组的步骤：①消元;②按一元一次方程步骤。
消元的方法：①加减消元;②代入消元。
32、不定方程
一次不定方 程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的
解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程 ;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根 据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知
数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程， 按照二元一次不定方程解即
可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确
定特征;6、确定 答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的
未知数 ，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范

围大的未知数 ;
33、循环小数
一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯 循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，
分母的各位都是9，9的个数与循 环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以 前的小数部分的数
字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的
个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有 2和5以外的质
因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化
成的小数必定是纯循环小数。

小学奥数的知识点汇总
1、年龄问题的三大特征
年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系
的应用题，叫做年龄问题。
年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的;②两个人的年龄
是同时增加或者 同时减少的;③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
解题规律：抓住年龄差是个不变的数(常数)，而倍数却是每年都在变化的这
个关键。
例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7
倍?
⑴ 父子年龄的差是多少?
54 – 18 = 36(岁)
⑵ 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍?
7 - 1 = 6
⑶ 几年前儿子多少岁?
36÷6 = 6(岁)
⑷ 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍?
18 – 6 = 12 (年)
答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。
2、归一问题特点
归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目< br>一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一 量;复合应用题中的某些问题，
解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、 单位时
间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的
条件和问 题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一
法”。有些归一问题可以采取同类 数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种
方法叫做倍比法。
由上所述，解答归一问题 的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样

计算”、“用同样的速度”等句子的含 义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，
求得问题的解决。
3、植树问题总结
植树问题
基本类型：
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式：
棵数=段数+1
棵距×段数=总长
棵数=段数-1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
4、鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部
分置换出来;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题：找出总量的差与单位量的差。

5、盈亏问题
基本概念： 一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种
标准分组，又产生一种结果，由于分组的 标准不同，造成结果的差异，由它们的
关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路： 先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变
化，根据这个关系求出参加分配的总份数 ，然后根据题意求出对象的总量.
基本题型：
①一次有余数，另一次不足;
基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
6、牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间- 短时
间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
7、平均数问题
平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确 定一个基准数;一般选与所有数
比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基 准数的
差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数
的和， 就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
8、周期循环数
周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;
9、抽屉原理
抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至
少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就
有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物 体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉
里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽 屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个
抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽
屉原则进行运算。
10、定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混
合)运算。
基 本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除
的运算，然后按照基本运算过程 、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
11、数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就
叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，
如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公 式中涉及四个量，如果己知其中三
个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1) ×公差;
数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式：n= (an+ a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);

公差=(末项- 首项)÷(项数-1);
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;
12、二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字 表示不同的含
义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2× 102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10 n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+…
…+A3×102 +A2×101+A1×100
注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含
义。
(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n -5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用 2连续去除这个数，直到商为0，然后把
每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先 找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2
的n次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。
13、加法原理
加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方
法，在第二类方 法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，
那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第 1步有m1种方
法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪
种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不

同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点;没有长度。
①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
14、质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫
做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个 数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常
用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的 结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的
质因数，且a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
15、约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫
做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最
大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是：6，记作(12，18)=6;
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是
所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫
做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
16、数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整 数商c，而且没
有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;

二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整
除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整
除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
17、余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除
以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以
c的余数。
18、余数问题
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod
m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod
3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶
数数位上数字的和 ，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，
则ap-1≡1(mod p)。
19、分数与百分数的应用
基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的
大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应 用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是
转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中 一般指的是一倍量)下的
分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或
者假设某种情况 成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量 当中，总有一个量是不变的，不论其他
量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、 分量发生变化，
总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变
化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关
系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
20、分数大小的比较
分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系
比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系
比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分
数值越大。
⑤ 倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以
上方法外，可以用同倍率的变化 关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化
规律)
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
21、完全平方数
完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 约数个数为奇数;反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
22、比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数
叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外)，比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时)，则
A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时)，则
A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
23、综合行程问题
综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程
三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题：追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题：顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水 速=(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、
速度(速度和、速度差) 中任意两个量，求第三个量。
24、工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成 工作总量所用时间的最小
公倍数)，利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
25、逻辑推理问题
逻辑推理
基本方法简介：
①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判
断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相
反情况是成立的。例如 ，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a
一定是奇数。
②条件分析—列表 法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需
要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条 件全部表示在一个长方形表格
中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运 用逻
辑规律进行判断。
③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用 连线表示
两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否
定的 状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，
没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相
应的计算，根据计算的结果为 推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在 的规律和方
法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解
决。
26、几何面积
基本思路：

在一些面积的计算上，不 能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割
补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规 则的图形变为规则的图形
进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1. 连辅助线方法
2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在
特殊位置上)。
4. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等
于等腰直角三角形的面积)
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
27、时钟问题—快慢表问题
时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题;
2、 不同的表当成速度不同的运动物体;
3、 路程的单位是分格(表一周为60分格);
4、 时间是标准表所经过的时间;
5、 合理利用行程问题中的比例关系;
28、时钟问题—钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：
①确定分针与时针的初始位置;
②确定分针与时针的路程差;
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时

走60分格， 即一周;而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走
112分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转36060 度，即6°，时
针每分钟转36012*60 度，即12 度。
29、浓度与配比
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶
液的重量和他们 浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质(例如水、汽油等)叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体(例如盐水、糖水等)叫溶液。
基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量;
溶质重量=溶液重量×浓度;
浓度= ×100%= ×100%
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶
液的重量和他们 浓度的变化成反比。
30、经济问题
利润的百分数=(卖价- 成本)÷成本×100%;
卖价=成本×(1+利润的百分数);
成本=卖价÷(1+利润的百分数);
商品的定价按照期望的利润来确定;
定价=成本×(1+期望利润的百分数);
本金：储蓄的金额;
利率：利息和本金的比;
利息=本金×利率×期数;
含税价格=不含税价格×(1+增值税税率);
31、简单方程
代数式：用运算符号(加减乘除)连接起来的字母或者数字。

方程：含有未知数的等式叫方程。
列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。
列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。
等式性质：等式两边同时加上或减去一 个数，等式不变;等式两边同时乘以
或除以一个数(除0)，等式不变。
移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边;
移项规则：先移加减，后变乘除;先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
加去括号规则：在只 有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、
去括号，括号里面的运算符号都不变;如果括号 前面是“-”号，添、去括号，括号
里面的运算符号都要改变;括号里面的数前没有“+”或“-”的， 都按有“+”处理。
移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步骤：①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤求解;
方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。
解方程组的步骤：①消元;②按一元一次方程步骤。
消元的方法：①加减消元;②代入消元。
32、不定方程
一次不定方 程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的
解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程 ;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根 据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知
数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程， 按照二元一次不定方程解即
可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确
定特征;6、确定 答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的
未知数 ，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范

围大的未知数 ;
33、循环小数
一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯 循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，
分母的各位都是9，9的个数与循 环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以 前的小数部分的数
字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的
个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有 2和5以外的质
因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化
成的小数必定是纯循环小数。