放牛娃的春天观后感-山西考生招生网

小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大板块，其中必须掌握的三十六个知识点，内容从和差倍问题、年龄问题到循环小数，包
含了小学奥数七个模 块的知识。

以下是小学奥数知识清单：

2、年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3、归一问题
基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照
这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

5、鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部
分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－
鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一
鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题
基本概念：一定量的对象， 按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种
标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成 结果的差异，由它们的
关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方 案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变
化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意 求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。


第二部分（知识点7-11）
7、牛吃草问题
基本思路： 假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出
其中的总草量的差；再找出造成这种差异 的原因，即可确定草的生长速度和总草
量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间
-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8、周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9、平均数
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数
比较接近的数或者中间数为基 准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的
差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后 求这个差的平均数和基准
数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10、抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中
至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有
以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物 体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉
里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽 屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽
屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽
屉原则进行运算。
11、定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混
合）运算。
基 本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除
的运算，然后按照基本运算过程 、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

第三部分（知识点12-16）
12、数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列 数，就

叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,Sn,,通项公式中涉及四
个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式 中涉及四个量，如果己知
其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：Sn= (a1+ an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13、二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的 数字表示不同的含
义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4= 2×102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2× 10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10-7
+……+A3×10 2+A2×101+A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+ An-6×2-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用 2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次

所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2
的n次方，依此 方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方
法，在第二类方 法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，
那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第 1步有m1种方法，
不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法 ，
第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的
方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15、质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫
做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个 数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常
用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的 结果是唯一的。

，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1 求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16、约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫
做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
（1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
（2）几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
（3）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
（4）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的
最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
（1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
（2）短除法：先找公有的约数，然后相乘。
（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就
是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫
做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
（1）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
（2）两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

第四部分（知识点17-21）
17、数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没
有余数，那么叫做a能被b 整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以
的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整
除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整
除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18、余数及其应用
基本概念：

对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除
以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以
c的余数。
19、余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod
m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod
3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数
数位上数字的和 ，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整
除，则ap-1≡1(mod p)。

20、分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的
大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应 用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是
转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中 一般指的是一倍量）下
的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或
者假设某种情况 成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量 当中，总有一个量是不变的，不论其他
量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、 分量发生变化，
总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关
系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21、分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系
比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系
比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分
数值越大。
⑤ 倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以

上方法外，可以 用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化
规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

23、完全平方数
完全平方数特征：
（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24、比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数
叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则
A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则
A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25、综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程
三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、
速度（速度和、速度差） 中任意两个量，求第三个量。
26、工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成 工作总量所用时间的最小
公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27、逻辑推理
基本方法简介：
①条件分析-假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判
断，如果有与题设条件矛盾的 情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相
反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过 程中出现了矛盾，那么a
一定是奇数。
②条件分析-列表法：当题设条件比较多，需要多 次假设才能完成时，就需
要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格< br>中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断。
③条件分析--图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两
个对象之间的 关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否
定的状态。例如A和B两人之间有认识 或不认识两种状态，有连线表示认识，没
有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除 了要进行条件分析的推理之外，还要进行相
应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件 。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方
法，并从特 殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解
决。
28、几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行 割
补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形
进行计算；另 外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
（1）连辅助线方法
（2）利用等底等高的两个三角形面积相等。
（3）大胆假设（有些点的设置题目中 说的是任意点，解题时可把任意点设

置在特殊位置上）。
（4）利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于
等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29、立体图形


第五部分（知识点30-36）
30、时钟问题-快慢表问题
基本思路：
（1）按照行程问题中的思维方法解题；
（2）不同的表当成速度不同的运动物体；

（3）路程的单位是分格（表一周为60分格）；
（4）时间是标准表所经过的时间；
合理利用行程问题中的比例关系；
31、时钟问题-钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1 分格。分针每小时走
60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／
12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针 每分钟转36060度，即6°，时
针每分钟转360(12*60) 度，即12度。
32、浓度与配比
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量×浓度；
浓度=溶质溶液×100%=溶质（溶剂+溶质）×100%
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存在这样 的一个反比例关系，进行混合的两种溶
液的重量和他们浓度的变化成反比。
33、经济问题
利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；
34、简单方程
代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。
方程：含有未知数的等式叫方程。
列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。
列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。
等式性质：等式两边同时加上或减去一 个数，等式不变；等式两边同时乘以
或除以一个数（除0），等式不变。
移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；
移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
加去括号规则：在只 有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、
去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号 前面是“－”号，添、去括号，
括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的， 都按有
“+”处理。
移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；
方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。
解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。
消元的方法：①加减消元；②代入消元。
35、不定方程
一次不定方 程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的
解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程 ；
常规方法：观察法、试验法、枚举法；
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
多元不定方程解法：根 据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知
数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程， 按照二元一次不定方程解即
可；

涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；
解不定方程的步骤：①列方程；②消元；③写出表达式；④确定范围；⑤确
定特征；⑥确定答案；
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的
未知数，同时考 虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉
范围大的未知数；
36、循环小数
一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯循环小数小数部分 化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，
分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同， 最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数
字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个
数与一个循环 节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有 2和5以外的质因数，
那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成
的小数必定是纯循环小数。

小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、 组合七大板块，
其中必须掌握的三十六个知识点，内容从和差倍问题、年龄问题到循环小数，包
含了小学奥数七个模块的知识。

以下是小学奥数知识清单：

2、年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3、归一问题
基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照
这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

5、鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部
分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－
鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一
鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题
基本概念：一定量的对象， 按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种
标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成 结果的差异，由它们的
关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方 案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变
化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意 求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。


第二部分（知识点7-11）
7、牛吃草问题
基本思路： 假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出
其中的总草量的差；再找出造成这种差异 的原因，即可确定草的生长速度和总草
量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间
-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8、周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9、平均数
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数
比较接近的数或者中间数为基 准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的
差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后 求这个差的平均数和基准
数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10、抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中
至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有
以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物 体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉
里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽 屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽
屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽
屉原则进行运算。
11、定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混
合）运算。
基 本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除
的运算，然后按照基本运算过程 、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

第三部分（知识点12-16）
12、数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列 数，就

叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,Sn,,通项公式中涉及四
个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式 中涉及四个量，如果己知
其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：Sn= (a1+ an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13、二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的 数字表示不同的含
义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4= 2×102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2× 10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10-7
+……+A3×10 2+A2×101+A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+ An-6×2-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用 2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次

所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2
的n次方，依此 方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方
法，在第二类方 法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，
那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第 1步有m1种方法，
不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法 ，
第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的
方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15、质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫
做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个 数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常
用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的 结果是唯一的。

，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1 求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16、约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫
做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
（1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
（2）几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
（3）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
（4）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的
最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
（1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
（2）短除法：先找公有的约数，然后相乘。
（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就
是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫
做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
（1）两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
（2）两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

第四部分（知识点17-21）
17、数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没
有余数，那么叫做a能被b 整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以
的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整
除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整
除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18、余数及其应用
基本概念：

对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除
以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以
c的余数。
19、余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod
m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod
3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数
数位上数字的和 ，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整
除，则ap-1≡1(mod p)。

20、分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的
大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应 用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是
转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中 一般指的是一倍量）下
的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或
者假设某种情况 成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量 当中，总有一个量是不变的，不论其他
量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、 分量发生变化，
总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关
系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21、分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系
比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系
比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分
数值越大。
⑤ 倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以

上方法外，可以 用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化
规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

23、完全平方数
完全平方数特征：
（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24、比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数
叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则
A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则
A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25、综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程
三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、
速度（速度和、速度差） 中任意两个量，求第三个量。
26、工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成 工作总量所用时间的最小
公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27、逻辑推理
基本方法简介：
①条件分析-假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判
断，如果有与题设条件矛盾的 情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相
反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过 程中出现了矛盾，那么a
一定是奇数。
②条件分析-列表法：当题设条件比较多，需要多 次假设才能完成时，就需
要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格< br>中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断。
③条件分析--图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两
个对象之间的 关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否
定的状态。例如A和B两人之间有认识 或不认识两种状态，有连线表示认识，没
有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除 了要进行条件分析的推理之外，还要进行相
应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件 。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方
法，并从特 殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解
决。
28、几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行 割
补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形
进行计算；另 外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
（1）连辅助线方法
（2）利用等底等高的两个三角形面积相等。
（3）大胆假设（有些点的设置题目中 说的是任意点，解题时可把任意点设

置在特殊位置上）。
（4）利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于
等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29、立体图形


第五部分（知识点30-36）
30、时钟问题-快慢表问题
基本思路：
（1）按照行程问题中的思维方法解题；
（2）不同的表当成速度不同的运动物体；

（3）路程的单位是分格（表一周为60分格）；
（4）时间是标准表所经过的时间；
合理利用行程问题中的比例关系；
31、时钟问题-钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1 分格。分针每小时走
60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／
12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针 每分钟转36060度，即6°，时
针每分钟转360(12*60) 度，即12度。
32、浓度与配比
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量×浓度；
浓度=溶质溶液×100%=溶质（溶剂+溶质）×100%
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存在这样 的一个反比例关系，进行混合的两种溶
液的重量和他们浓度的变化成反比。
33、经济问题
利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；
34、简单方程
代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。
方程：含有未知数的等式叫方程。
列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。
列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。
等式性质：等式两边同时加上或减去一 个数，等式不变；等式两边同时乘以
或除以一个数（除0），等式不变。
移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；
移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
加去括号规则：在只 有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、
去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号 前面是“－”号，添、去括号，
括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的， 都按有
“+”处理。
移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；
方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。
解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。
消元的方法：①加减消元；②代入消元。
35、不定方程
一次不定方 程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的
解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程 ；
常规方法：观察法、试验法、枚举法；
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
多元不定方程解法：根 据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知
数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程， 按照二元一次不定方程解即
可；

涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；
解不定方程的步骤：①列方程；②消元；③写出表达式；④确定范围；⑤确
定特征；⑥确定答案；
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的
未知数，同时考 虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉
范围大的未知数；
36、循环小数
一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯循环小数小数部分 化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，
分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同， 最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数
字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个
数与一个循环 节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有 2和5以外的质因数，
那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成
的小数必定是纯循环小数。