应聘自我介绍-感恩节活动方案

小学奥数知识点及公式总汇（必背）
1．和差倍问题
2．年龄问题的三个基本特征：
3．归一问题的基本特点：
4．植树问题
5．鸡兔同笼问题
6．盈亏问题
7．牛吃草问题
8．周期循环与数表规律
9．平均数
10．抽屉原理
11．定义新运算
12．数列求和
13．二进制及其应用
14．加法乘法原理和几何计数
15．质数与合数
16．约数与倍数
17．数的整除
18．余数及其应用
19．余数、同余与周期
20．分数与百分数的应用
21．分数大小的比较
22．分数拆分
23．完全平方数
24．比和比例
25．综合行程
26．工程问题
27．逻辑推理
28．几何面积
29．立体图形
30．时钟问题—快慢表问题
31．时钟问题—钟面追及
32．浓度与配比
33．经济问题
33．经济问题
34．简单方程
35．不定方程
36．循环小数



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1

1． 和差倍问题

已知条件
公式适用范
围
和差问题
几个数的和与差
和倍问题 差倍问题
几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
已知两个数的和，差，倍数关系
①(和－差)÷2=较小
数
较小数＋差=较大数 和÷(倍数＋1)=差÷(倍数-1)=小
和－较小数=较大数 小数 数
②(和＋差)÷2=较大小数×倍数=大数 小数×倍数=大数
数 和－小数=大数 小数＋差=大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
求出同一条件下的
公式
关键问题
和与差
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特点：
问题中有一个不 变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”„„等
词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类
型
基本公
式
关键问
题
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
2

和与倍数 差与倍数
在直线或者不
在直线或者不封闭在直线或者不封闭的
封 闭的曲线上
的曲线上植树，两端曲线上植树，两端都不
植树，只有一端
都植树 植树
植树
棵数=段数＋1
棵距×段数=总长
棵数=段数－1
棵距×段数=总长
封闭曲
线上植
树
棵数=段数
棵距×段数=总长
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：一定量的对象， 按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，
又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路 ：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这
个关系求出参加分配的总份 数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数
的差
②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的
差
③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数
的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其 中的总草
量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数 - 较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短
时间）；
总草量= 较长时间×长时间牛头数- 较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰年：一年有366天；
3

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平
均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根 据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接
近的数或者中间数为基准数；以基准数 为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所
有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均 数和基准数的和，就是所求的
平均数，具体关系见基本公式②
10．抽屉原理
抽屉 原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2
个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种
情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种 放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或
多于2个物体，也就是说必有一 个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行
运算。
11．定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思 路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然
后按照基本运算过程、规 律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．
4

数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的
一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公
式中涉及四 个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中
涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第 四个。
基本公式：
通项公式： n = 1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：n,= (1+ n)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (n+ 1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（n－1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

5

aa
saa
aa
aa

13．二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示 不同的含义，十位
上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×10 2+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3 ×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+„„
+A3×102+A2×101+ A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An -6×2n-7
+„„+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后 把每次所得的
余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的 差，再找不大于这个差的2的n次方，
依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有 m1种不同方法，在第二
类方法中有m2种不同方法„„，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成 这件任务
共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理 ：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1
步用哪一种方法，第2步 总有m2种方法„„不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有
mn种方法，那么完成这件任务共有：m 1×m2....... ×mn种不同的方法。
6

关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+„+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+„+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+„+行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把 一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分
解质因数。任何一个合数分解质因 数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3„„an都是合数N的 质因数，且
a1求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)ׄ„×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数 公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数
的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
7

求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大
公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数
的最小公 倍数。
12的倍数有：12、24、36、48„„；
18的倍数有：18、36、54、72„„；
那么12和18的公倍数有：36、72、108„„；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
17．数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c， 而且没有余数，那
么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
8

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18.余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q„„r，且0除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡ c(modm)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡ b×d(modm)；
⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数
字的和，则M≡ Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
9

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一 类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换
成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分 数中一般指的是一倍量）下的分率转化
成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量 。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假
设某种情况 成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中 ，总有一个量是不变的，不论其他量如
何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量 发生变化，总量不变。
B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之 间的差
量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明
朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越
大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法
外，可以用同倍率的 变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22.分数拆分
将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
10

第一题你要拆112（也就是1A） 先列出12的约（因）数：1、2、3、4、6、12
随便选两个约数 分为a1 a2 这里我选3、4
公式：1A=A÷a1×（a1+a2）1+ A÷a2×（a1+a2）1
套入公式：112=12÷3×（3+4）1+ 12÷4×（3+4）1
最后等于：112=128+121
第二题就像上面的一样套入公式计算，要把第一题的其中一个答案再拆分就可以了。
答案是：121+184+142

23．























11

完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶
数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X
2
-Y
2
=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）
2
= X
2
+2XY+Y
2

完全平方差公式：（X-Y）
2
= X
2
-2XY+Y
2



费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p
整除，则ap-1≡1(mod p)。









12

24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩 小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正
比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B
成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺 。按比例分配：把几个数按一定
比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的
关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速
度和、速度差） 中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
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基本公式：①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们 完成工作总量所用时间的最小公倍
数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间 .
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介：
①条 件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，
如果有与题设条件矛盾的情况 ，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成
立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中 出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时 ，就需要进
行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析—— 图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个
对象之间的关系，有连线则表示“是，有 ”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表 示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相 应的
计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目 提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，
并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式 ，从而得到问题的解决。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能 直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、
旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则 的图形变为规则的图形进行计算；另外需
要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位
置上）。
4.利用特殊规律
14

①等腰直角三角形， 已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等
腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
名称
长方体



图形

特征
8个顶点；6个面；相对的面相等；
12条棱；相对的棱相等；
8个顶点；6个面；所有面相等；
12条棱；所有棱相等；
上下两底是平行且相等的圆；侧面
展开后是长方形；
表面积 体积
V=abh
S=2(ab+ah+bh)
=Sh
S=6a
2

S=S侧+2S底
S侧=Ch
V=a
3

V=Sh
正方体
圆柱体
圆锥体

球体


下底是圆；只有一个顶点；l:母线，
S=S侧+S底
S侧=rl
顶点到底圆周上任意一点的距离；
圆心到圆周上任意一点的距离是
球的半径。
S=4r
2

V=Sh
V=r
3

30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题；
2、不同的表当成速度不同的运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；
5、合理利用行程问题中的比例关系；
31．时钟问题—钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我 们称为1分格。分针每小时走60分
格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分 钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转36060 度，即6°，时针每
分钟转36012*60 度，即12 度。
15

32．浓度与配比
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比 例关系，进行混合的两种溶液的重量和
他们浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量×浓度；
浓度=（溶质／溶液）×100%
溶剂=溶液×（1-浓度）
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存在 这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和
他们浓度的变化成反比。
33．经济问题
利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；
34．简单方程
代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。
方程：含有未知数的等式叫方程。
列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。
列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。
等式性质：等式两边同时加上或减 去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个
数（除0），等式不变。
移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；
移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
加去括号规则： 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、去括号，
括号里面的运算符号都不变；如果 括号前面是“－”号，添、去括号，括号里面的运算
符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－” 的，都按有“+”处理。
16

移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；
方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。
解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。
消元的方法：①加减消元；②代入消元。
35．不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解 不唯一，
所以也叫做二元一次不定方程；
常规方法：观察法、试验法、枚举法；
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
多元不定方程解法 ：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就
把三元一次方程变成二元一次不定方 程，按照二元一次不定方程解即可；
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；
解不定方 程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特
征；6、确定答案；
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同
时考虑用 范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；
36．循环小数
一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的 数字组成的数作为分子，分母的各位
都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 < br>②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数
与不循环部 分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节
的位数相同，末几位是0，0 的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数， 如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么
这个分数化成的小数必定是混循环小 数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必
定 是纯循环小数。

*** 1至30的平方

1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121
12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361
20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729
28*28=784 29*29=841 30*30=900


17

*** 世界上最神奇的数字是1除以7的循环节：142857
17=0.142857 142857 142857............它神奇在哪里呢？
1、我们把它从1乘到6看看
142857 X 1 = 142857 1→4→2→8→5→7
142857 X 2 = 285714 2→8→5→7→1→4
142857 X 3 = 428571 4→2→8→5→7→1
142857 X 4 = 571428 5→7→1→4→2→8
142857 X 5 = 714285 7→1→4→2→8→5
142857 X 6 = 857142 8→5→7→1→4→2
同样的6个数字，只是依此调换了位置，反复出现。

2、我们从1乘到6除以7看看
17=0.142857...
27=0.285714...
37=0.428571...
47=0.571428...
57=0.714285...
67=0.857142.
1，3，5分别除以7所得商的规律是循环节的最高位后移，后面的前移。
2，4，6分别除以7所得商的规律是循环节的前两位后移，后面的前移。
3、那么把它乘以7是多少呢？我们会惊人的发现是999999
4、142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+9
5、我们用 142857 乘以142857=2 前五位+上后六位的得数是多少呢？
20408 + 122449 = 142857
“142857”发现于埃及金字塔内，它确实是一组神奇的数字。

*** 数学小故事：神奇美妙的“9 ”
九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将 天称为“九天”、
“九重”、“九霄”;将地划为“九州”、“九域 ”;将宗庙称为“九庙”;道路 谓之
“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九级”;官为“九品”。
在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位;
作为一个数学爱 好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。

《易经》上说，九数含有吉祥的意 思，如果按照“阴阳”来说，奇数为阳，偶数为
阴，而九是阳数中最大的，称为“极阳数”。十是一个完 美的数字，而九接近十而不到
18

十，具有很强的倾向 性，一位数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义
崇高。也许，就是这个原因，九有其最 多的奇妙特点，最多的趣味性质。
九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个 自然数除以九的余
数，则只要将这个数各位数字相加，其和如果仍是两位以上的数，则再将这个和的各位
数字相加，最后所得的一位数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总
使数学爱 好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“凑
九”法验算学生的算式是 否有误，而“凑九”法就是采纳了这一原理。九的倍数的各位
数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数 是一个非常和谐圆满的数系。
八位数12345679，如果将它同九相乘，奇怪的很，其积竟是 全由1组成的数字
111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九个2，乘27(九的3倍)， 可得九个3„„，直
到乘81，就可以得到九个9.这种整齐统一的特点，给人以多么美妙的印象啊!也 许有人
要问为什么把8去掉，填上会有规律吗?若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用
九去乘，还有规律吗?答案是肯定的。九这个数字就是这么神奇，我们来看下列算式：

纵观上面九个算式，不仅算式的结果很有规律，且积的数字之和都为九。第一个算
式到第九个算式的变化 ，更能显示出奇妙无比的秩序美。
19

如果你随 便找来一个两位以上的自然数，比如是317，将此数打乱，变成173、731、
713吧，我们现在 求出新数与原数的差，你猜会有什么结论?这些差144、414、396竟然
全是九的倍数。在这里， 无论是定数字，还是打乱所找数字的顺序，都是多么的随心所
欲啊!可是在这种繁乱中竟能出现规律，这 种规律的主宰者却是九。假如再随意找一个
两位以上的数，比方418，①先将它的各位数字之和求出; ②用原数减去其数字之和
(418-18)，其差405也是九的倍数。
下列算式的确是 种简明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果竟然是
一个常数， 且还是九的倍数，如所选的数是4位、5位，是否还有规律呢?我们敢于肯定
地说，九的奇妙一定处处再 现，无论是多少位，九的统一美的光芒定会时时闪耀。
九是一个神奇的反序数，在算式1089× 9=9801中可知，九乘某一个数字，能使其
顺序正好颠倒过来。从算式123456789×8+9 =987654321中也可知，九加某数也竟能使
其顺序颠倒;九也是一个神圣的自补数，因为92= 81，1+9=10;992=9801，
1+99=102;9992=998001，1+999= 103;„„又99×47=4658，而53+47=102，999×
321=320679，而6 70+321=103，九又是一个神秘的自生数，93=729，993=970299，
9993= 997002999;九也是一个奇妙的再植数，从算式109890×9=989010中看出，9竟然
将这个数的最高两位变成最低两位。九还是有趣的勾股数中不可缺少的成员：
2+402=412、9 2+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9.啊!九的奇特，操纵着无数数学
运算和游戏，它不愧为一位伟大的魔术师。
在除法中，九的奇异也使人迷恋。看下列等式：19 =0.111„„，29=0.222„„，
89=0.888„„，多有规律啊!在化循环小数为分数 时，九又是大显神手，10是完美的数
字，对于10，9和11是对称的，这种对称下也隐藏着许多秘密 ：111=0.09，211=0.18，
311=0.27，„，911=0.81，1011=0. 90，真巧，分母含11的倍数，化成循环小数，
其循环节的两个数竟然也是九的倍数。
九，在代数的世界里留有神奇的足迹„„
九的有趣性质简直是太多啦!实在是举不胜举。这么独特 的数字，难怪人们特别喜
欢它，非常崇拜它。正值冬天时，人们不数3，也不数10，偏偏数九：“头九 不算九;
二九冻死狗;三九、四九掩门唤狗;五九、六九水走头;七九、八九河边看柳;九九又一九，< br>犁牛遍地走”。重阳节是双九，人们十分重视这个节日，因为“九月九”家家有，此时
正是收获的 季节。
唐代诗人孟浩然写出“待到重阳日，还来就菊花”的诗句，至今一直被文人墨客所
称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶，所著的书名是《算术九章》，而书中共分
九大类，每类又有 九道题，他简直是九的又一个崇拜者。
过去北京的许多建筑都和“九”这个数目有关。例如，北京 城内最早是九个城门，
天安门的城楼是九重楼，故宫四个角楼的结构是九梁十八柱，皇家建筑物大门上的 钉数
是纵九横九，北海和故宫的九龙壁，都是九只龙，更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的
地方 ，无论是洁白的石栏杆，或是圆台上磨平的石块，其数目都和九字有关。在改革之
年，我相信人们将会以 九牛二虎之力，去九天 、到九州探宝，朝着九千九百九十九
的通天大路奋勇向前。
20

九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人们 最高的崇尚，最好的
赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱。看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美 的
数字10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原
因， 竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九
之规律所在，你会为此 兴奋不已，感叹不尽。可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独
特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳 而已!要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，
无论是那个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的 钻研。
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 =98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 =11
12 x 9 + 3 =111
123 x 9 + 4 =1111
1234 x 9 + 5 =11111
12345 x 9 + 6 =111111
123456 x 9 + 7 =1111111
1234567 x 9 + 8 =11111111
12345678 x 9 + 9 =111111111
123456789 x 9 +10=1111111111
很炫，是不是？
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 12345432
1111111 x 111111 = 1234565432
11111111 x 1111111 = 2
111111111 x 11111111 = 432
1111111111 x 111111111 =654321
21

再看看這個對稱式
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

***缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：
181＝0.345679012345679„„，缺8数和181的循环节有关。
在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？
我们看到，181＝19×19，把 19化成循环小数，其循环节只有一位，即19＝
0.111111111„„
19×19，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：
很明显，11的平方＝121 ，111的平方＝12321，„„，直到111111111的平方
654321。
但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？ 缺8数隐藏在循
环小数里
利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。
那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：
181×9＝19＝0.111111111„„
缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：
181×3＝127＝0.037037037„„，一开始就出现了三位的循环节。
缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走
马灯”了。
循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密
切关注。 由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼
于探索其精微的结构。
缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，
而根据“轮休学说” ，这正是题中应有之义）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、
22

41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：
12345679×22＝271604938
12345679×23＝283950617
前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（后一式的2移到后面，并5代以
4）
走马灯
当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第 二位的数2
却成了开路先锋。例如：
12345679×19＝234567901
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
深入的研究显示，当乘数为一个公
差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如：
12345679×8＝098765432
12345679×17＝209876543
12345679×26＝320987654
12345679×35＝432098765
一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾
道一以贯之”。例如：
乘数为9的倍数
12345679×243＝2999999997
只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。
乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84＝1037037036
只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。
乘数为3K＋1或3K＋2型
12345679×98＝1209876542
表面上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2
上去之后，所得数为2 09876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。
轮流休息
当乘数不是9或3的 倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看
到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同 ，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。
另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘 数在区间［10，17］的情
况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）：
12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
23

12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在［19，26］及其他区间（区间 长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺
什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不 多也不少，实在有趣。
三位一体
缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到“三位一体”，例如：
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×33＝407407407
12345679×57＝703703703
12345679×78＝962962962
清一色
缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如：
12345679×9＝111111111
12345679×18＝222222222
12345679×27＝333333333
12345679×36＝444444444
12345679×45＝555555555
12345679×54＝666666666
12345679×63＝777777777
12345679×72＝888888888
12345679×81＝999999999













24

速算公式
【首同末合十的两位数 相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上
的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个 数便是“首同末合十”的两个两位
数，它们的积为
（10a+b）（10a+c）=（10a）
2
+10ab+10ac+bc
=10a+10a（b+c）+bc
=100a
2
+100a+bc
＝a（a+1）×100+bc。
根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首 位数乘以比
它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。
例如，72×78=（7×8）×100+2×8
=5616
45×45=（4×5）×100+5×5
=2025
首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算
中去。例如
256×254
25

22

可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得
256×254=[25×（25+1）]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如，155×155=（15×16）×100+5×5
=24025
【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，
且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两
位数，它们的积 为
（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c
2

＝100ab+10c（a+b）+c
2

=100ab+100c+c
2

=（ab+c）×100+c
2
。
根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数 相乘，可以先把两个首位数字
的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数 自乘的
积（末位数的平方）。
例如，34×74=（3×7+4）×100+4
2

=25×100+16
=2516
【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上 的
数字分别是a和b，则它们的积是
（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+1
2

＝10a×10b+（a+b）×10+1
由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先 把两个首位数值相乘，
然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后< br>在后面添上1。
例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1
26

=3500+12091
=3621。
这样的题目，口算的方法可以是：

【两个首位是1的两位数相乘公式 】设两个首位为1的两位数，个位上的数
字分别是a和b，则它们的积是：
（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab
=（10+a+b）×10+ab。
由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数
的末位数，所得 的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。
例如，17×16=（17+6）×10+7×6
=230+42
=272。
【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来
寻找它的速算方法。
（1）两个超过100的数相乘。
设两个超过100的数分别为a和b，它们与10 0的差分别为h和k，则a=100+h，
b=100+k。它们的积是
a·b＝（100+h）（100+k）
=（100+h）×100+100k-hk
=（100+h+k）×100+hk
=（a+k）×100+hk。
27

由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个 数与
100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补
充 数）的乘积。
例如，108×112=（108+12）×100+8×12
=12000+96
=12096。
快速口算的思考方法可以是：

又如，103×102=（103+2）×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是

（2）两个不足100的数相乘。
设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是
a· b=（100－h）（100－k）
=（100-h）×100-100k+hk
=（100-h-k）×100+hk
=（a-k）×100+hk。
由这个公式 可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另
一个因数与100的差，然后将所得结 果乘以100以后，再加上两个因数分别与100
的差（两个补充数）的乘积。
28

例如，89×97=（89-3）×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是

又如，89×88=（89-12）×100+11×12
=7700+132
=7832。
快速口算的思考方法可以是

（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。
设一个因数a比100大h，即a=10 0+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，
则它们的积是
a·b=（100+h）（100-k）
=（100+h）×100-100k+hk
=（100+h-k）×100+hk
＝（a-k）×100-hk。
由这个公式 可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大
于100的因数中，减去另一个因数 与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，
再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的 乘积。
例如，104×97=（104-3）×100-4×3
=10100-12
29

=10088
快速口算思考方法可以是

【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。
平方差公式用字母表达就是：
（a+b）（a-b）=a
2
-b
2

运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。例如
36
2
-26
2
=（36+26）×（36-26）
=62×10=620
67
2
-52
2
=（67+52）×（67-52）
=119×15
=1190+595=1785
87
2
-76
2
=（87+76）×（87-76）
=163×11
=1630+163
=1793
这个公式反过来， 也可以运用于两数相乘的速算。但其前提是：两个因数必
须能化成同样的两个数的和与差。例如
17×23=（20-3）×（20+3）
=（20+3）×（20-3）
=20
2
-3
2

=400-9
=391
30

94×86=（90+4）×（90-4）
=90
2
-4
2

=8100-16
=8084
以上两例的特点是：首位相差1，末位 数字之和是10。这样两个数相乘，可
用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后 运用平方差公
式进行速算。
【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相 乘，可先将一
个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的
积 。即
（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）×10a+bc
例如，43×46=（43+6）×40+3×6
=1978
84×87=（84+7）×80+4×7
=7308
【一因数两数字和是10， 另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数
的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为 11的倍数，这样的两个两位数
相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相 乘后乘
以100，然后加上两个个位数之积。即
（10a+b）（10c+c）=（a+1）c×100+bc。
例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4
=3212。
【个位数相同 的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两
个十位数字相乘，再乘以100，再加上一 个因数与另一个因数十位数值的和，然
后乘以另一因数的个位数。即
（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。
例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344。
31

【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘 以
十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积。即
（10a+b）（10+c）=10a×c+（10a+b）×10+bc。
例如，65×17=60×7+650+5×7
=1105。
【末两位为25的三 位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首
位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1 000倍，然后加上625。即
（100a+25）
2
=（10a+5）×1000a+625。
例如，725
2
=（70+5）×7000+625
=525625
如果直接写答案，可以是
725
2
=525 625
↑ ↑
75×7 25
2

又如，325
2
=105 625
↑ ↑
35×3 25
2

【末两位为75的三位数自乘公式】 末两位为75的三位数自乘时，可用首
位数字的10倍与5的和， 去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。
即
（100a+75）
2
=（10a+5）×（a+1）×1000+625。
例如，875
2
=（80+5）×（8+1）×1000+625
=765625
如果直接写答案，可以是
875
2
=765 625
32

↑
85×9
又如，375
2
=140 625
↑
35×4




33

小学奥数知识点及公式总汇（必背）
1．和差倍问题
2．年龄问题的三个基本特征：
3．归一问题的基本特点：
4．植树问题
5．鸡兔同笼问题
6．盈亏问题
7．牛吃草问题
8．周期循环与数表规律
9．平均数
10．抽屉原理
11．定义新运算
12．数列求和
13．二进制及其应用
14．加法乘法原理和几何计数
15．质数与合数
16．约数与倍数
17．数的整除
18．余数及其应用
19．余数、同余与周期
20．分数与百分数的应用
21．分数大小的比较
22．分数拆分
23．完全平方数
24．比和比例
25．综合行程
26．工程问题
27．逻辑推理
28．几何面积
29．立体图形
30．时钟问题—快慢表问题
31．时钟问题—钟面追及
32．浓度与配比
33．经济问题
33．经济问题
34．简单方程
35．不定方程
36．循环小数



2
3

4
5
6

7

8
9
10
11
12
13
14
1

1． 和差倍问题

已知条件
公式适用范
围
和差问题
几个数的和与差
和倍问题 差倍问题
几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
已知两个数的和，差，倍数关系
①(和－差)÷2=较小
数
较小数＋差=较大数 和÷(倍数＋1)=差÷(倍数-1)=小
和－较小数=较大数 小数 数
②(和＋差)÷2=较大小数×倍数=大数 小数×倍数=大数
数 和－小数=大数 小数＋差=大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
求出同一条件下的
公式
关键问题
和与差
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特点：
问题中有一个不 变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”„„等
词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类
型
基本公
式
关键问
题
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
2

和与倍数 差与倍数
在直线或者不
在直线或者不封闭在直线或者不封闭的
封 闭的曲线上
的曲线上植树，两端曲线上植树，两端都不
植树，只有一端
都植树 植树
植树
棵数=段数＋1
棵距×段数=总长
棵数=段数－1
棵距×段数=总长
封闭曲
线上植
树
棵数=段数
棵距×段数=总长
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：一定量的对象， 按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，
又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路 ：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这
个关系求出参加分配的总份 数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数
的差
②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的
差
③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数
的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其 中的总草
量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数 - 较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短
时间）；
总草量= 较长时间×长时间牛头数- 较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰年：一年有366天；
3

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平
均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根 据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接
近的数或者中间数为基准数；以基准数 为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所
有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均 数和基准数的和，就是所求的
平均数，具体关系见基本公式②
10．抽屉原理
抽屉 原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2
个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种
情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种 放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或
多于2个物体，也就是说必有一 个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行
运算。
11．定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思 路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然
后按照基本运算过程、规 律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．
4

数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的
一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公
式中涉及四 个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中
涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第 四个。
基本公式：
通项公式： n = 1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：n,= (1+ n)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (n+ 1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（n－1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

5

aa
saa
aa
aa

13．二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示 不同的含义，十位
上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×10 2+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3 ×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+„„
+A3×102+A2×101+ A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An -6×2n-7
+„„+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后 把每次所得的
余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的 差，再找不大于这个差的2的n次方，
依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有 m1种不同方法，在第二
类方法中有m2种不同方法„„，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成 这件任务
共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理 ：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1
步用哪一种方法，第2步 总有m2种方法„„不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有
mn种方法，那么完成这件任务共有：m 1×m2....... ×mn种不同的方法。
6

关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+„+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+„+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+„+行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把 一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分
解质因数。任何一个合数分解质因 数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3„„an都是合数N的 质因数，且
a1求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)ׄ„×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数 公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数
的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
7

求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大
公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数
的最小公 倍数。
12的倍数有：12、24、36、48„„；
18的倍数有：18、36、54、72„„；
那么12和18的公倍数有：36、72、108„„；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
17．数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c， 而且没有余数，那
么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
8

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18.余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q„„r，且0除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod
m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(modm)；
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡ c(modm)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡ b×d(modm)；
⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(modm×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数
字的和，则M≡ Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
9

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一 类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换
成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分 数中一般指的是一倍量）下的分率转化
成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量 。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假
设某种情况 成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中 ，总有一个量是不变的，不论其他量如
何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量 发生变化，总量不变。
B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之 间的差
量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明
朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越
大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法
外，可以用同倍率的 变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22.分数拆分
将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
10

第一题你要拆112（也就是1A） 先列出12的约（因）数：1、2、3、4、6、12
随便选两个约数 分为a1 a2 这里我选3、4
公式：1A=A÷a1×（a1+a2）1+ A÷a2×（a1+a2）1
套入公式：112=12÷3×（3+4）1+ 12÷4×（3+4）1
最后等于：112=128+121
第二题就像上面的一样套入公式计算，要把第一题的其中一个答案再拆分就可以了。
答案是：121+184+142

23．























11

完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶
数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X
2
-Y
2
=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）
2
= X
2
+2XY+Y
2

完全平方差公式：（X-Y）
2
= X
2
-2XY+Y
2



费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p
整除，则ap-1≡1(mod p)。









12

24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩 小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正
比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B
成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺 。按比例分配：把几个数按一定
比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的
关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速
度和、速度差） 中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
13

基本公式：①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们 完成工作总量所用时间的最小公倍
数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间 .
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介：
①条 件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，
如果有与题设条件矛盾的情况 ，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成
立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中 出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时 ，就需要进
行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析—— 图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个
对象之间的关系，有连线则表示“是，有 ”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表 示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相 应的
计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目 提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，
并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式 ，从而得到问题的解决。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能 直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、
旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则 的图形变为规则的图形进行计算；另外需
要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位
置上）。
4.利用特殊规律
14

①等腰直角三角形， 已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等
腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
名称
长方体



图形

特征
8个顶点；6个面；相对的面相等；
12条棱；相对的棱相等；
8个顶点；6个面；所有面相等；
12条棱；所有棱相等；
上下两底是平行且相等的圆；侧面
展开后是长方形；
表面积 体积
V=abh
S=2(ab+ah+bh)
=Sh
S=6a
2

S=S侧+2S底
S侧=Ch
V=a
3

V=Sh
正方体
圆柱体
圆锥体

球体


下底是圆；只有一个顶点；l:母线，
S=S侧+S底
S侧=rl
顶点到底圆周上任意一点的距离；
圆心到圆周上任意一点的距离是
球的半径。
S=4r
2

V=Sh
V=r
3

30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题；
2、不同的表当成速度不同的运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；
5、合理利用行程问题中的比例关系；
31．时钟问题—钟面追及
基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题：①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
基本方法：
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我 们称为1分格。分针每小时走60分
格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分 钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转36060 度，即6°，时针每
分钟转36012*60 度，即12 度。
15

32．浓度与配比
经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比 例关系，进行混合的两种溶液的重量和
他们浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量×浓度；
浓度=（溶质／溶液）×100%
溶剂=溶液×（1-浓度）
理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。
经验总结：在配比的过程中存在 这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和
他们浓度的变化成反比。
33．经济问题
利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；
卖价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来确定；
定价=成本×（1+期望利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；
34．简单方程
代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。
方程：含有未知数的等式叫方程。
列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。
列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。
等式性质：等式两边同时加上或减 去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个
数（除0），等式不变。
移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；
移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。
加去括号规则： 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、去括号，
括号里面的运算符号都不变；如果 括号前面是“－”号，添、去括号，括号里面的运算
符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－” 的，都按有“+”处理。
16

移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。
乘法分配率：a(b+c)=ab+ac
解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；
方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。
解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。
消元的方法：①加减消元；②代入消元。
35．不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解 不唯一，
所以也叫做二元一次不定方程；
常规方法：观察法、试验法、枚举法；
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
多元不定方程解法 ：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就
把三元一次方程变成二元一次不定方 程，按照二元一次不定方程解即可；
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；
解不定方 程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特
征；6、确定答案；
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同
时考虑用 范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；
36．循环小数
一、把循环小数的小数部分化成分数的规则
①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的 数字组成的数作为分子，分母的各位
都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 < br>②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数
与不循环部 分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节
的位数相同，末几位是0，0 的个数与不循环部分的位数相同。
二、分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数， 如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么
这个分数化成的小数必定是混循环小 数。
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必
定 是纯循环小数。

*** 1至30的平方

1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121
12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361
20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729
28*28=784 29*29=841 30*30=900


17

*** 世界上最神奇的数字是1除以7的循环节：142857
17=0.142857 142857 142857............它神奇在哪里呢？
1、我们把它从1乘到6看看
142857 X 1 = 142857 1→4→2→8→5→7
142857 X 2 = 285714 2→8→5→7→1→4
142857 X 3 = 428571 4→2→8→5→7→1
142857 X 4 = 571428 5→7→1→4→2→8
142857 X 5 = 714285 7→1→4→2→8→5
142857 X 6 = 857142 8→5→7→1→4→2
同样的6个数字，只是依此调换了位置，反复出现。

2、我们从1乘到6除以7看看
17=0.142857...
27=0.285714...
37=0.428571...
47=0.571428...
57=0.714285...
67=0.857142.
1，3，5分别除以7所得商的规律是循环节的最高位后移，后面的前移。
2，4，6分别除以7所得商的规律是循环节的前两位后移，后面的前移。
3、那么把它乘以7是多少呢？我们会惊人的发现是999999
4、142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+9
5、我们用 142857 乘以142857=2 前五位+上后六位的得数是多少呢？
20408 + 122449 = 142857
“142857”发现于埃及金字塔内，它确实是一组神奇的数字。

*** 数学小故事：神奇美妙的“9 ”
九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将 天称为“九天”、
“九重”、“九霄”;将地划为“九州”、“九域 ”;将宗庙称为“九庙”;道路 谓之
“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九级”;官为“九品”。
在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位;
作为一个数学爱 好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。

《易经》上说，九数含有吉祥的意 思，如果按照“阴阳”来说，奇数为阳，偶数为
阴，而九是阳数中最大的，称为“极阳数”。十是一个完 美的数字，而九接近十而不到
18

十，具有很强的倾向 性，一位数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义
崇高。也许，就是这个原因，九有其最 多的奇妙特点，最多的趣味性质。
九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个 自然数除以九的余
数，则只要将这个数各位数字相加，其和如果仍是两位以上的数，则再将这个和的各位
数字相加，最后所得的一位数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总
使数学爱 好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“凑
九”法验算学生的算式是 否有误，而“凑九”法就是采纳了这一原理。九的倍数的各位
数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数 是一个非常和谐圆满的数系。
八位数12345679，如果将它同九相乘，奇怪的很，其积竟是 全由1组成的数字
111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九个2，乘27(九的3倍)， 可得九个3„„，直
到乘81，就可以得到九个9.这种整齐统一的特点，给人以多么美妙的印象啊!也 许有人
要问为什么把8去掉，填上会有规律吗?若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用
九去乘，还有规律吗?答案是肯定的。九这个数字就是这么神奇，我们来看下列算式：

纵观上面九个算式，不仅算式的结果很有规律，且积的数字之和都为九。第一个算
式到第九个算式的变化 ，更能显示出奇妙无比的秩序美。
19

如果你随 便找来一个两位以上的自然数，比如是317，将此数打乱，变成173、731、
713吧，我们现在 求出新数与原数的差，你猜会有什么结论?这些差144、414、396竟然
全是九的倍数。在这里， 无论是定数字，还是打乱所找数字的顺序，都是多么的随心所
欲啊!可是在这种繁乱中竟能出现规律，这 种规律的主宰者却是九。假如再随意找一个
两位以上的数，比方418，①先将它的各位数字之和求出; ②用原数减去其数字之和
(418-18)，其差405也是九的倍数。
下列算式的确是 种简明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果竟然是
一个常数， 且还是九的倍数，如所选的数是4位、5位，是否还有规律呢?我们敢于肯定
地说，九的奇妙一定处处再 现，无论是多少位，九的统一美的光芒定会时时闪耀。
九是一个神奇的反序数，在算式1089× 9=9801中可知，九乘某一个数字，能使其
顺序正好颠倒过来。从算式123456789×8+9 =987654321中也可知，九加某数也竟能使
其顺序颠倒;九也是一个神圣的自补数，因为92= 81，1+9=10;992=9801，
1+99=102;9992=998001，1+999= 103;„„又99×47=4658，而53+47=102，999×
321=320679，而6 70+321=103，九又是一个神秘的自生数，93=729，993=970299，
9993= 997002999;九也是一个奇妙的再植数，从算式109890×9=989010中看出，9竟然
将这个数的最高两位变成最低两位。九还是有趣的勾股数中不可缺少的成员：
2+402=412、9 2+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9.啊!九的奇特，操纵着无数数学
运算和游戏，它不愧为一位伟大的魔术师。
在除法中，九的奇异也使人迷恋。看下列等式：19 =0.111„„，29=0.222„„，
89=0.888„„，多有规律啊!在化循环小数为分数 时，九又是大显神手，10是完美的数
字，对于10，9和11是对称的，这种对称下也隐藏着许多秘密 ：111=0.09，211=0.18，
311=0.27，„，911=0.81，1011=0. 90，真巧，分母含11的倍数，化成循环小数，
其循环节的两个数竟然也是九的倍数。
九，在代数的世界里留有神奇的足迹„„
九的有趣性质简直是太多啦!实在是举不胜举。这么独特 的数字，难怪人们特别喜
欢它，非常崇拜它。正值冬天时，人们不数3，也不数10，偏偏数九：“头九 不算九;
二九冻死狗;三九、四九掩门唤狗;五九、六九水走头;七九、八九河边看柳;九九又一九，< br>犁牛遍地走”。重阳节是双九，人们十分重视这个节日，因为“九月九”家家有，此时
正是收获的 季节。
唐代诗人孟浩然写出“待到重阳日，还来就菊花”的诗句，至今一直被文人墨客所
称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶，所著的书名是《算术九章》，而书中共分
九大类，每类又有 九道题，他简直是九的又一个崇拜者。
过去北京的许多建筑都和“九”这个数目有关。例如，北京 城内最早是九个城门，
天安门的城楼是九重楼，故宫四个角楼的结构是九梁十八柱，皇家建筑物大门上的 钉数
是纵九横九，北海和故宫的九龙壁，都是九只龙，更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的
地方 ，无论是洁白的石栏杆，或是圆台上磨平的石块，其数目都和九字有关。在改革之
年，我相信人们将会以 九牛二虎之力，去九天 、到九州探宝，朝着九千九百九十九
的通天大路奋勇向前。
20

九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人们 最高的崇尚，最好的
赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱。看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美 的
数字10差1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原
因， 竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九
之规律所在，你会为此 兴奋不已，感叹不尽。可你要知道，你这也仅仅是在九的奇妙独
特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳 而已!要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，
无论是那个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的 钻研。
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 =98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 =11
12 x 9 + 3 =111
123 x 9 + 4 =1111
1234 x 9 + 5 =11111
12345 x 9 + 6 =111111
123456 x 9 + 7 =1111111
1234567 x 9 + 8 =11111111
12345678 x 9 + 9 =111111111
123456789 x 9 +10=1111111111
很炫，是不是？
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 12345432
1111111 x 111111 = 1234565432
11111111 x 1111111 = 2
111111111 x 11111111 = 432
1111111111 x 111111111 =654321
21

再看看這個對稱式
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

***缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：
181＝0.345679012345679„„，缺8数和181的循环节有关。
在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？
我们看到，181＝19×19，把 19化成循环小数，其循环节只有一位，即19＝
0.111111111„„
19×19，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：
很明显，11的平方＝121 ，111的平方＝12321，„„，直到111111111的平方
654321。
但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？ 缺8数隐藏在循
环小数里
利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。
那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：
181×9＝19＝0.111111111„„
缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：
181×3＝127＝0.037037037„„，一开始就出现了三位的循环节。
缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走
马灯”了。
循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密
切关注。 由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼
于探索其精微的结构。
缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，
而根据“轮休学说” ，这正是题中应有之义）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、
22

41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：
12345679×22＝271604938
12345679×23＝283950617
前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（后一式的2移到后面，并5代以
4）
走马灯
当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第 二位的数2
却成了开路先锋。例如：
12345679×19＝234567901
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
深入的研究显示，当乘数为一个公
差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如：
12345679×8＝098765432
12345679×17＝209876543
12345679×26＝320987654
12345679×35＝432098765
一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾
道一以贯之”。例如：
乘数为9的倍数
12345679×243＝2999999997
只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。
乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84＝1037037036
只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。
乘数为3K＋1或3K＋2型
12345679×98＝1209876542
表面上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2
上去之后，所得数为2 09876543，是“缺1”数，仍是轮流“休息”。
轮流休息
当乘数不是9或3的 倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看
到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同 ，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。
另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘 数在区间［10，17］的情
况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）：
12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
23

12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在［19，26］及其他区间（区间 长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺
什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不 多也不少，实在有趣。
三位一体
缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到“三位一体”，例如：
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×33＝407407407
12345679×57＝703703703
12345679×78＝962962962
清一色
缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如：
12345679×9＝111111111
12345679×18＝222222222
12345679×27＝333333333
12345679×36＝444444444
12345679×45＝555555555
12345679×54＝666666666
12345679×63＝777777777
12345679×72＝888888888
12345679×81＝999999999













24

速算公式
【首同末合十的两位数 相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上
的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个 数便是“首同末合十”的两个两位
数，它们的积为
（10a+b）（10a+c）=（10a）
2
+10ab+10ac+bc
=10a+10a（b+c）+bc
=100a
2
+100a+bc
＝a（a+1）×100+bc。
根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首 位数乘以比
它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。
例如，72×78=（7×8）×100+2×8
=5616
45×45=（4×5）×100+5×5
=2025
首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算
中去。例如
256×254
25

22

可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得
256×254=[25×（25+1）]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如，155×155=（15×16）×100+5×5
=24025
【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，
且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两
位数，它们的积 为
（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c
2

＝100ab+10c（a+b）+c
2

=100ab+100c+c
2

=（ab+c）×100+c
2
。
根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数 相乘，可以先把两个首位数字
的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数 自乘的
积（末位数的平方）。
例如，34×74=（3×7+4）×100+4
2

=25×100+16
=2516
【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上 的
数字分别是a和b，则它们的积是
（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+1
2

＝10a×10b+（a+b）×10+1
由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先 把两个首位数值相乘，
然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后< br>在后面添上1。
例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1
26

=3500+12091
=3621。
这样的题目，口算的方法可以是：

【两个首位是1的两位数相乘公式 】设两个首位为1的两位数，个位上的数
字分别是a和b，则它们的积是：
（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab
=（10+a+b）×10+ab。
由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数
的末位数，所得 的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。
例如，17×16=（17+6）×10+7×6
=230+42
=272。
【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来
寻找它的速算方法。
（1）两个超过100的数相乘。
设两个超过100的数分别为a和b，它们与10 0的差分别为h和k，则a=100+h，
b=100+k。它们的积是
a·b＝（100+h）（100+k）
=（100+h）×100+100k-hk
=（100+h+k）×100+hk
=（a+k）×100+hk。
27

由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个 数与
100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补
充 数）的乘积。
例如，108×112=（108+12）×100+8×12
=12000+96
=12096。
快速口算的思考方法可以是：

又如，103×102=（103+2）×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是

（2）两个不足100的数相乘。
设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是
a· b=（100－h）（100－k）
=（100-h）×100-100k+hk
=（100-h-k）×100+hk
=（a-k）×100+hk。
由这个公式 可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另
一个因数与100的差，然后将所得结 果乘以100以后，再加上两个因数分别与100
的差（两个补充数）的乘积。
28

例如，89×97=（89-3）×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是

又如，89×88=（89-12）×100+11×12
=7700+132
=7832。
快速口算的思考方法可以是

（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。
设一个因数a比100大h，即a=10 0+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，
则它们的积是
a·b=（100+h）（100-k）
=（100+h）×100-100k+hk
=（100+h-k）×100+hk
＝（a-k）×100-hk。
由这个公式 可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大
于100的因数中，减去另一个因数 与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，
再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的 乘积。
例如，104×97=（104-3）×100-4×3
=10100-12
29

=10088
快速口算思考方法可以是

【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。
平方差公式用字母表达就是：
（a+b）（a-b）=a
2
-b
2

运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。例如
36
2
-26
2
=（36+26）×（36-26）
=62×10=620
67
2
-52
2
=（67+52）×（67-52）
=119×15
=1190+595=1785
87
2
-76
2
=（87+76）×（87-76）
=163×11
=1630+163
=1793
这个公式反过来， 也可以运用于两数相乘的速算。但其前提是：两个因数必
须能化成同样的两个数的和与差。例如
17×23=（20-3）×（20+3）
=（20+3）×（20-3）
=20
2
-3
2

=400-9
=391
30

94×86=（90+4）×（90-4）
=90
2
-4
2

=8100-16
=8084
以上两例的特点是：首位相差1，末位 数字之和是10。这样两个数相乘，可
用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后 运用平方差公
式进行速算。
【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相 乘，可先将一
个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的
积 。即
（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）×10a+bc
例如，43×46=（43+6）×40+3×6
=1978
84×87=（84+7）×80+4×7
=7308
【一因数两数字和是10， 另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数
的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为 11的倍数，这样的两个两位数
相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相 乘后乘
以100，然后加上两个个位数之积。即
（10a+b）（10c+c）=（a+1）c×100+bc。
例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4
=3212。
【个位数相同 的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两
个十位数字相乘，再乘以100，再加上一 个因数与另一个因数十位数值的和，然
后乘以另一因数的个位数。即
（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。
例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344。
31

【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘 以
十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积。即
（10a+b）（10+c）=10a×c+（10a+b）×10+bc。
例如，65×17=60×7+650+5×7
=1105。
【末两位为25的三 位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首
位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1 000倍，然后加上625。即
（100a+25）
2
=（10a+5）×1000a+625。
例如，725
2
=（70+5）×7000+625
=525625
如果直接写答案，可以是
725
2
=525 625
↑ ↑
75×7 25
2

又如，325
2
=105 625
↑ ↑
35×3 25
2

【末两位为75的三位数自乘公式】 末两位为75的三位数自乘时，可用首
位数字的10倍与5的和， 去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。
即
（100a+75）
2
=（10a+5）×（a+1）×1000+625。
例如，875
2
=（80+5）×（8+1）×1000+625
=765625
如果直接写答案，可以是
875
2
=765 625
32

↑
85×9
又如，375
2
=140 625
↑
35×4




33