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小学奥数必须掌握的30个知识

1.和差倍问题
和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系
公式 ①
(和-差)÷2=较小数
较小数+差=较大数
和-较小数=较大数
[(a+b)-(a-b)]÷2=b
b+(a-b)=a
(a+b)-b=a
[(a+b)+(a-b)]÷2=a ②(和+差)÷2=较大数
较大数-差=较小数
和-较大数=较小数
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
和-小数=大数
a-(a-b)=b
(a+b)-a=b
(a+b)(ab+1)=b
b*(ab)=a
(a+b)-b=a
(a-b)(ab-1)=b 差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数+差=大数


b*(ab)=a
b+(a-b)=a

关键点： 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数








2.年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的;
(a+n)-(b+n)=a-b
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
(a+n)-(b+n)=a-b
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
(a+n)(b+n)不一定等于ab

3.归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是 那个“单一量”，题目一般用“照这样的速
度”……等词语来表示。
关键点：根据题目中的条件确定并求出单一量;

例如：“一辆汽车 4小时行120千米，照这样计算，行180千米要用几小时？”先求
平均1小时行多少千米，再求行1 80千米要几小时．
这个题的单一量就是速度=路程÷时间=120千米4小时=30kmh
=30*1000米÷60*60秒=253(ms)读作3分之25米每秒

解题算式=180÷（120÷4）=180×4÷120=6(h)
=180(1204)=18030=6(h)
注意分子式的运算

4.植树问题

基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭
的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
a.棵数=段数+1
在一条长为50米的路上，每隔2米种一棵树，开始结尾都要种，总共要种
多少棵树。
段数=502=25段
棵树=段数+1=25+1=26棵

b.棵距×段数=总长 棵数=段数-1
两棵树相距50米，每隔2米种插一杆彩旗，总共要插多少彩旗。
段数=502=25段
杆数=25-1=24杆

c.棵距×段数=总长 棵数=段数

< br>学校运动会进行50米跑的准备，老师在起点插了一面彩旗，叫同学们每隔
2米插一杆彩旗，问同 学们总共要插多少彩旗。
段数=502=25段
杆数=段数=25杆


关键点： 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系





5.鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部
分置换出来;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚
数)
②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚
数)

关键点：找出总量的差与单位量的差。

例：有兔和鸡在一个笼子里，从上面数有头50个，从下面数有脚158只，
问鸡兔各多少只：
鸡=（4*50-158）（4-2）=21
兔=(158-2*50)(4-2)=29

用方程解：设鸡为X只，兔就是50-X只
2*X+(50-X)*4=158
2X+200-4X=158
2X=42
X=21
50-X=29


6.盈亏问题

基本概念：一定量的对 象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种
标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同， 造成结果的差异，由它们的
关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路：先将两种分 配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变
化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据 题意求出对象的总量.
基本题型：
①一次有余数，另一次不足;
基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键点：确定对象总量和总的组数。

例：少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其
中两人各 挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共
有多少名少先队员？共挖了多少树 坑？
分析：这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4
个树坑， 其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统
一成每人挖6个树坑，形成统一的 标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要
差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4 =7，所以，有少先队员7（6-5）
=7名，共挖了5*7+3=38个坑。

解答：盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先队员有7（6-5）=7名，共 挖了
5*7+3=38个树坑
。

设总人数为X
X*5+3=2*4+(X-2)*6
5X+3=8+6X-12
X=7 X*5+3=38
7.牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据 两次不同的吃法，求出
其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草< br>量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;

关键点：确定两个不变的量。

基本公式：
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-
短时间);
原草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
例：一个牧场长满青草，牛在吃草而 草又不断匀速生长，27头牛6天可以
把牧场上的草全部吃完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天，若 21头牛来吃，
几天吃完？
草每天生长量=(9*23-6*27)(9-6)=453=15
原草量=(9*23)-(9*15)=72 或根据：路程差=速度差×追及时间

原草量=（27-15）*6=72或（23-15）*9=72
21天可吃天数=72(21-15)=12天

牛吃草也是速度追及问题
草生长量是一个速度，牛吃草是一个速度，
吃多少天就是追及时间=路程差÷速度差




8.周期循环与数表规律

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天;
①年份能被4整除;
②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除;
②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

例一：有8名队员按顺时针围成一圈做传球游戏，从1号开始按顺时针传球，
传球的 同时开始报数，当报到76时球那在几号队员手上？





例二：某年2月有5个星期天，问这年










9.平均数

基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
6月一日是星期几？

总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确 定一个基准数;一般选与所有数
比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基 准数的
差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数
的和， 就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

10.抽屉原理

抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至
少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就
有以下四种情况：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉
里有2个或多于 2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽
屉至少有:

①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[]=4;[]=0;[]=2;

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽
屉原则进行运算。

11.定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混
合)运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除
的运算，然后按 照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12.数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就
叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四
个量，如果 己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知
其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d;

通项=首项+(项数一1) ×公差;

数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2;

数列和=(首项+末项)×项数÷2;

项数公式：n= (an+ a1)÷d+1;

项数=(末项-首项)÷公差+1;

公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);

公差=(末项-首项)÷(项数-1);

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;

13.二进制及其应用

十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的
含义，十位上 的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3
×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10 n-4+An-4×10n-5+An-6×
10n-7+……+A3×102+A2×101+A1× 100

注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含
义。

(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n -5+An-6×
2n-7

+……+A3×22+A2×21+A1×20

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0 ，然后把
每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2 的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2
的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开 式特点即可写出。

14.加法乘法原理和几何计数

加法原理 ：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方
法，在第二类方法中有m2种不同方法 ……，在第n类方法中有mn种不同方法，
那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤 进行，做第1步有m1种方
法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步 用哪
种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn
种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点;没有长度。

①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);

②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15.质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫
做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因 数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常
用短除法分解质因数。任何一个合数分 解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3 ……an都是合数N的质
因数，且a1<……< p>

求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16.约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫
做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最
大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;

18的约数有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公约数有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公约数是：6，记作(12，18)=6;

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是
所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫
做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……;

18的倍数有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍数有：36、72、108……;

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法

17.数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个 整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没
有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a， 记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以
的符号“∴”;

二、整除判断方法：

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整
除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整
除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18.余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0< p>

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除
以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以
c的余数。

19.余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡
b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m);

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod
m);

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，
则ap-1≡1(mod p)。

20.分数与百分数的应用

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的
大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法 ：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是
转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准 (在分数中一般指的是一倍量)下的
分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为 一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或< br>者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他
量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，
总量不变。B、总量发 生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，
但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关
系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21.分数大小的比较

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系
比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系
比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分
数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以
上方法外，可以 用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化
规律)

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

22.分数拆分

一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：

① =+;

②=+(d为自然数);

23.完全平方数

完全平方数特征：

1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2. 除以3余0或余1;反之不成立。

3. 除以4余0或余1;反之不成立。

4. 约数个数为奇数;反之成立。

5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数
叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外)，比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A扩 大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时)，则A

与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时)，则A
与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

25.综合行程

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程
三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)

追及问题：追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)

流水问题：顺水行程=(船速+水速)×顺水时间

逆水行程=(船速- 水速)×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速- 水速

静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2

水 速=(顺水速度-逆水速度)÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、
速度(速度和、速度差)中任意两个量，求第三个量。

26.工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路：

①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);

②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小
公倍 数)，利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评：合久必分，分久必合。

27.逻辑推理

基本方法简介：

①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后 按照这个假设去判
断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相
反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a
一定是奇数。

②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需
要进 行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格
中，表格的行、列分别表示不同 的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断。

③条件分析 ——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示
两个对象之间的关系，有连线则表示“是 ，有”等肯定的状态，没有连线则表示
否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连 线表示认识，
没有表示不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件 分析的推理之外，还要进行相
应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方

法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解
决。

28.几何面积

基本思路：

在一些面积的计算 上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割
补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等， 使不规则的图形变为规则的图形
进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1. 连辅助线方法

2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在
特殊位置上)。

4. 利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等
于等腰直角三角形的面积)

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的%。

29.立体图形

名称 图形 特征 表面积 体积

长

方

体 8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等; S=2(ab+ah+bh)
V=abh

=Sh

正

方

体 8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3

圆

柱

体 上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形; S=S侧+2S底

S侧=Ch V=Sh

圆

锥

体 下底是圆;只有一个顶点;l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S
侧+S底

S侧=rl V=Sh

球

体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3

30.时钟问题—快慢表问题

基本思路：

1、 按照行程问题中的思维方法解题;

2、 不同的表当成速度不同的运动物体;

3、 路程的单位是分格(表一周为60分格);

4、 时间是标准表所经过的时间;

合理利用行程问题中的比例关系;

小学奥数必须掌握的30个知识

1.和差倍问题
和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系
公式 ①
(和-差)÷2=较小数
较小数+差=较大数
和-较小数=较大数
[(a+b)-(a-b)]÷2=b
b+(a-b)=a
(a+b)-b=a
[(a+b)+(a-b)]÷2=a ②(和+差)÷2=较大数
较大数-差=较小数
和-较大数=较小数
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
和-小数=大数
a-(a-b)=b
(a+b)-a=b
(a+b)(ab+1)=b
b*(ab)=a
(a+b)-b=a
(a-b)(ab-1)=b 差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数+差=大数


b*(ab)=a
b+(a-b)=a

关键点： 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数








2.年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的;
(a+n)-(b+n)=a-b
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
(a+n)-(b+n)=a-b
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
(a+n)(b+n)不一定等于ab

3.归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是 那个“单一量”，题目一般用“照这样的速
度”……等词语来表示。
关键点：根据题目中的条件确定并求出单一量;

例如：“一辆汽车 4小时行120千米，照这样计算，行180千米要用几小时？”先求
平均1小时行多少千米，再求行1 80千米要几小时．
这个题的单一量就是速度=路程÷时间=120千米4小时=30kmh
=30*1000米÷60*60秒=253(ms)读作3分之25米每秒

解题算式=180÷（120÷4）=180×4÷120=6(h)
=180(1204)=18030=6(h)
注意分子式的运算

4.植树问题

基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭
的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
a.棵数=段数+1
在一条长为50米的路上，每隔2米种一棵树，开始结尾都要种，总共要种
多少棵树。
段数=502=25段
棵树=段数+1=25+1=26棵

b.棵距×段数=总长 棵数=段数-1
两棵树相距50米，每隔2米种插一杆彩旗，总共要插多少彩旗。
段数=502=25段
杆数=25-1=24杆

c.棵距×段数=总长 棵数=段数

< br>学校运动会进行50米跑的准备，老师在起点插了一面彩旗，叫同学们每隔
2米插一杆彩旗，问同 学们总共要插多少彩旗。
段数=502=25段
杆数=段数=25杆


关键点： 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系





5.鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部
分置换出来;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚
数)
②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚
数)

关键点：找出总量的差与单位量的差。

例：有兔和鸡在一个笼子里，从上面数有头50个，从下面数有脚158只，
问鸡兔各多少只：
鸡=（4*50-158）（4-2）=21
兔=(158-2*50)(4-2)=29

用方程解：设鸡为X只，兔就是50-X只
2*X+(50-X)*4=158
2X+200-4X=158
2X=42
X=21
50-X=29


6.盈亏问题

基本概念：一定量的对 象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种
标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同， 造成结果的差异，由它们的
关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路：先将两种分 配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变
化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据 题意求出对象的总量.
基本题型：
①一次有余数，另一次不足;
基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键点：确定对象总量和总的组数。

例：少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其
中两人各 挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共
有多少名少先队员？共挖了多少树 坑？
分析：这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4
个树坑， 其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统
一成每人挖6个树坑，形成统一的 标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要
差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4 =7，所以，有少先队员7（6-5）
=7名，共挖了5*7+3=38个坑。

解答：盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先队员有7（6-5）=7名，共 挖了
5*7+3=38个树坑
。

设总人数为X
X*5+3=2*4+(X-2)*6
5X+3=8+6X-12
X=7 X*5+3=38
7.牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据 两次不同的吃法，求出
其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草< br>量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;

关键点：确定两个不变的量。

基本公式：
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-
短时间);
原草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
例：一个牧场长满青草，牛在吃草而 草又不断匀速生长，27头牛6天可以
把牧场上的草全部吃完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天，若 21头牛来吃，
几天吃完？
草每天生长量=(9*23-6*27)(9-6)=453=15
原草量=(9*23)-(9*15)=72 或根据：路程差=速度差×追及时间

原草量=（27-15）*6=72或（23-15）*9=72
21天可吃天数=72(21-15)=12天

牛吃草也是速度追及问题
草生长量是一个速度，牛吃草是一个速度，
吃多少天就是追及时间=路程差÷速度差




8.周期循环与数表规律

周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天;
①年份能被4整除;
②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;
平年：一年有365天。
①年份不能被4整除;
②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

例一：有8名队员按顺时针围成一圈做传球游戏，从1号开始按顺时针传球，
传球的 同时开始报数，当报到76时球那在几号队员手上？





例二：某年2月有5个星期天，问这年










9.平均数

基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
6月一日是星期几？

总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确 定一个基准数;一般选与所有数
比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基 准数的
差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数
的和， 就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

10.抽屉原理

抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至
少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就
有以下四种情况：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉
里有2个或多于 2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽
屉至少有:

①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[]=4;[]=0;[]=2;

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽
屉原则进行运算。

11.定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混
合)运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除
的运算，然后按 照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12.数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就
叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四
个量，如果 己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知
其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d;

通项=首项+(项数一1) ×公差;

数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2;

数列和=(首项+末项)×项数÷2;

项数公式：n= (an+ a1)÷d+1;

项数=(末项-首项)÷公差+1;

公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);

公差=(末项-首项)÷(项数-1);

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;

13.二进制及其应用

十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的
含义，十位上 的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3
×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10 n-4+An-4×10n-5+An-6×
10n-7+……+A3×102+A2×101+A1× 100

注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含
义。

(2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n -5+An-6×
2n-7

+……+A3×22+A2×21+A1×20

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0 ，然后把
每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2 的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2
的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开 式特点即可写出。

14.加法乘法原理和几何计数

加法原理 ：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方
法，在第二类方法中有m2种不同方法 ……，在第n类方法中有mn种不同方法，
那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤 进行，做第1步有m1种方
法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步 用哪
种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn
种不同的方法。

关键问题：确定工作的完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：有两个端点，有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点;没有长度。

①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);

②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15.质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫
做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因 数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常
用短除法分解质因数。任何一个合数分 解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3 ……an都是合数N的质
因数，且a1<……< p>

求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16.约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫
做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最
大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;

18的约数有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公约数有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公约数是：6，记作(12，18)=6;

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是
所求的最大公约数。

公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫
做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……;

18的倍数有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍数有：36、72、108……;

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法

17.数的整除

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个 整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没
有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a， 记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以
的符号“∴”;

二、整除判断方法：

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整
除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整
除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：

1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18.余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0< p>

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除
以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以
c的余数。

19.余数、同余与周期

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡
b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m);

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod
m);

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);

三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，
则ap-1≡1(mod p)。

20.分数与百分数的应用

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的
大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法 ：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是
转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准 (在分数中一般指的是一倍量)下的
分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为 一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或< br>者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他
量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，
总量不变。B、总量发 生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，
但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关
系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21.分数大小的比较

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系
比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系
比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分
数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以
上方法外，可以 用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化
规律)

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

22.分数拆分

一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：

① =+;

②=+(d为自然数);

23.完全平方数

完全平方数特征：

1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2. 除以3余0或余1;反之不成立。

3. 除以4余0或余1;反之不成立。

4. 约数个数为奇数;反之成立。

5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数
叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外)，比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A扩 大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时)，则A

与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时)，则A
与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

25.综合行程

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程
三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)

追及问题：追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)

流水问题：顺水行程=(船速+水速)×顺水时间

逆水行程=(船速- 水速)×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速- 水速

静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2

水 速=(顺水速度-逆水速度)÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、
速度(速度和、速度差)中任意两个量，求第三个量。

26.工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路：

①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);

②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小
公倍 数)，利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评：合久必分，分久必合。

27.逻辑推理

基本方法简介：

①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后 按照这个假设去判
断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相
反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a
一定是奇数。

②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需
要进 行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格
中，表格的行、列分别表示不同 的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻
辑规律进行判断。

③条件分析 ——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示
两个对象之间的关系，有连线则表示“是 ，有”等肯定的状态，没有连线则表示
否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连 线表示认识，
没有表示不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件 分析的推理之外，还要进行相
应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方

法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解
决。

28.几何面积

基本思路：

在一些面积的计算 上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割
补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等， 使不规则的图形变为规则的图形
进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1. 连辅助线方法

2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在
特殊位置上)。

4. 利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等
于等腰直角三角形的面积)

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的%。

29.立体图形

名称 图形 特征 表面积 体积

长

方

体 8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等; S=2(ab+ah+bh)
V=abh

=Sh

正

方

体 8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3

圆

柱

体 上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形; S=S侧+2S底

S侧=Ch V=Sh

圆

锥

体 下底是圆;只有一个顶点;l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S
侧+S底

S侧=rl V=Sh

球

体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3

30.时钟问题—快慢表问题

基本思路：

1、 按照行程问题中的思维方法解题;

2、 不同的表当成速度不同的运动物体;

3、 路程的单位是分格(表一周为60分格);

4、 时间是标准表所经过的时间;

合理利用行程问题中的比例关系;