全国爱牙日-看花灯作文

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小学奥数专题
第1讲 计算综合（一）


繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先 算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其
上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需
将带分数化为假分 数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲 循环小数与分数]．


711
4
26
2
7
1．计算：
18
135
8
133
3416
71

46
2< br>7

【分析与解】原式=
1
8
1312
3

23
12

23
4
17

4
8128
3

2．计算：
【分析与解】 注意，作为 被除数的这个繁分数的分子、分母均含有
19
到改变运算顺序，如果分子与分母在
19
5
．于是，我们想
9
5
后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除 数
9
.

.
的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增 加我们的计算量．所以我们决定改变作为被
除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
59
19(35.22)
19930.41.6
91 0
原式=
()

527
19950.51995
19 (65.22)
950
5
191.32
19930.440.4 0.5
=
9
()

5
191.32
1995 0.419950.5
9
199320.40.4
1
=
1(
=
1

)
=
1
19950.50.5
4


3．计算：
1
1
1
1
1
1
1987

【分析与解】原式=
1
19861987
1
=
1
=
1987
39733973
1
1986


4．计算：已知=
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

8
，则x等于多少?
11
【分析与解】方法一：
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

1< br>1
1
2
4
4x1

18x68
< br>
4x1
12x711
1
8x6
交叉相乘有88x+ 66=96x+56，x=1．25．
方法二：有
1
1
2
1< br>x
1
4

13
182
113
2；所以
x
，那么
1
，所以
2
1
3< br>42
3
88
x
4
.

.
x
1.25．


5．求
4,43,443,...,44...43
这10个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：

4+43+443...44...43

9个4
=
4(441)(4441)...(44...41)

10个4
=
444444...44...49
=
10个4
4
(999999...999...9)9

9
10个9
=
4
[(101)(1001)(10 001)...(1000...01)]9

9
10个0
4
111.1009=4938271591
.
9
9个1
=

方法二：先计算这10个数的个位数字和为
39+4=31
；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为
36339
；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为
32335
；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为
28331
；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为
24327
；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为
20222
；
6218
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的 2，为
1
2113
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为
1
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为
819
；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为
4
．
所以，这10个数的和为4938271591．

；
；
.

.

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之
和是多少?

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

3(

117
0.60.875)1+0.75+1 .8+2.625=6.175=6

3440

7.我们规定，符号 “○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○
3.5=3.5．符号“△”表 示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计
23155
)(0.4)
33384
算：
1235
(0.3)(2.25)3104
(0.625
【分析与解】原式
0.625
155
384

5

155
2
7

25

1
838412256
2.25
3

8．规定（ 3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果
111

(16)(17)(17)
【分析与解】

，那么方框内应填的数是多少?
(
111(17)
1617181< br>)1
=
1
.
(16)(17)(17)(16)
1516175

.

.
9．从和式
等于1?
111111
 
中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和
24681012
1111
11
1
11

，所以,,,的和为l，因此应去掉与.
61248
1024
6
12
【分析与解】 因为


10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分 是一位
的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最 大的
为
9.291892915
．


11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有
114111111

，

，


6110
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
注意到
11ca11ca1
，当
acb
时，有．

abcbabcabcbabcac
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质 数的和等于另一个质数，必定有一个质
数为2，不妨设a为2，那么有
2cb
，显 然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：


12．计算：
(1
【分析与解】
111

，c与c+2均为质数即可.
2(c2）c(c2)2 c
111
）（1）...(1)

22331010
.

.
原式=
(21)(21)(31)(31)(101)(101)

...
22331010
13243546576 879810911
=
223344...1010
12334455...991011
=
22334 4...991010
12101111
==.
22101020


13．已知
a=
1166 1267136814691570
100
.问a的整数部分是多
1 1651266136714681569
少？
【分析与解】
11661267136814691570
100

11651266136714681569
11(651)12(66 1)13(671)14(681)15（691）
=
100

11651266136714681569
111213141 5
=
（1）100

1165126613671468 1569
1112131415
=
100100
.
1165+1266136714681569
1112
因为100
1165+1266136714681569
11121 31415100

100
（11121314+15）6565< br>10035
所以
a
＜
100+101
.
6565
1112
同时
100
11651266136714 681569
1112131415100

100
（1 1121314+15）6969
10031
所以a＞
100＝101.
6969
3135
综上有
101
＜a＜
101．所以a的整数部分为101．
6965
a=

＜
13
＞
13

14．问
135799
1
与相比，哪个更大，为什么?
...
2468100
10
.

.
00
...＝A
，
...＝B
，
2 4681003579101
001
有
AB＝...
.
...＝
24681
【分析与解】方法一：令
而B中分数对应的都比A 中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
111111
1
＜
）＝
，所以有A×A＜

，那么A＜．
10
10
135799
11
即
...
与相比，更大．
2468100
1010
13579799
方法二：设
A＝...
，

246898100
1133559999
则
A
2
＝. ..


224466100100
1335577... 979799991
=，
2244668...96989 8100100
1335579799991
2
显然、、、…、、都是小 于1的，所以有A＜，于是A
2244669898100100
1
＜.
10
有A×A＜4×B
（＝

15．下面是两个1989位整数相乘 ：
111...11111...11
．问：乘积的各位数字之和是多少?
198 9个11989个1
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为
111... 11
能被9整除，所以将
1989个1
一个
111...11
乘以9 ，另一个除以9，使原算式变成：
1989个1
999......9912345679 0......012345679

1989个9共1988位数
=
（10 00......001）123456790......012345679

198 9个0共1988位数
=
123456790............001234567 90......012345679

共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790......456789876543209......98765432< br>
共1988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123 456790”和“987654320”及一个“12345678”和一
个“987654321” ，所以各位数之和为：
（12345679）220（987654 32）220

+
（12345678）（98765 4321）17901

评注：111111111÷9=12345679；
M×
999...9
的数字和为9×k．(其中M≤
999...9
)．可以利用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9

.

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小学奥数专题
第1讲 计算综合（一）


繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先 算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其
上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需
将带分数化为假分 数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲 循环小数与分数]．


711
4
26
2
7
1．计算：
18
135
8
133
3416
71

46
2< br>7

【分析与解】原式=
1
8
1312
3

23
12

23
4
17

4
8128
3

2．计算：
【分析与解】 注意，作为 被除数的这个繁分数的分子、分母均含有
19
到改变运算顺序，如果分子与分母在
19
5
．于是，我们想
9
5
后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除 数
9
.

.
的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增 加我们的计算量．所以我们决定改变作为被
除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
59
19(35.22)
19930.41.6
91 0
原式=
()

527
19950.51995
19 (65.22)
950
5
191.32
19930.440.4 0.5
=
9
()

5
191.32
1995 0.419950.5
9
199320.40.4
1
=
1(
=
1

)
=
1
19950.50.5
4


3．计算：
1
1
1
1
1
1
1987

【分析与解】原式=
1
19861987
1
=
1
=
1987
39733973
1
1986


4．计算：已知=
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

8
，则x等于多少?
11
【分析与解】方法一：
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

1< br>1
1
2
4
4x1

18x68
< br>
4x1
12x711
1
8x6
交叉相乘有88x+ 66=96x+56，x=1．25．
方法二：有
1
1
2
1< br>x
1
4

13
182
113
2；所以
x
，那么
1
，所以
2
1
3< br>42
3
88
x
4
.

.
x
1.25．


5．求
4,43,443,...,44...43
这10个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：

4+43+443...44...43

9个4
=
4(441)(4441)...(44...41)

10个4
=
444444...44...49
=
10个4
4
(999999...999...9)9

9
10个9
=
4
[(101)(1001)(10 001)...(1000...01)]9

9
10个0
4
111.1009=4938271591
.
9
9个1
=

方法二：先计算这10个数的个位数字和为
39+4=31
；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为
36339
；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为
32335
；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为
28331
；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为
24327
；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为
20222
；
6218
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的 2，为
1
2113
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为
1
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为
819
；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为
4
．
所以，这10个数的和为4938271591．

；
；
.

.

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之
和是多少?

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

3(

117
0.60.875)1+0.75+1 .8+2.625=6.175=6

3440

7.我们规定，符号 “○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○
3.5=3.5．符号“△”表 示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计
23155
)(0.4)
33384
算：
1235
(0.3)(2.25)3104
(0.625
【分析与解】原式
0.625
155
384

5

155
2
7

25

1
838412256
2.25
3

8．规定（ 3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果
111

(16)(17)(17)
【分析与解】

，那么方框内应填的数是多少?
(
111(17)
1617181< br>)1
=
1
.
(16)(17)(17)(16)
1516175

.

.
9．从和式
等于1?
111111
 
中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和
24681012
1111
11
1
11

，所以,,,的和为l，因此应去掉与.
61248
1024
6
12
【分析与解】 因为


10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分 是一位
的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最 大的
为
9.291892915
．


11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有
114111111

，

，


6110
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
注意到
11ca11ca1
，当
acb
时，有．

abcbabcabcbabcac
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质 数的和等于另一个质数，必定有一个质
数为2，不妨设a为2，那么有
2cb
，显 然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：


12．计算：
(1
【分析与解】
111

，c与c+2均为质数即可.
2(c2）c(c2)2 c
111
）（1）...(1)

22331010
.

.
原式=
(21)(21)(31)(31)(101)(101)

...
22331010
13243546576 879810911
=
223344...1010
12334455...991011
=
22334 4...991010
12101111
==.
22101020


13．已知
a=
1166 1267136814691570
100
.问a的整数部分是多
1 1651266136714681569
少？
【分析与解】
11661267136814691570
100

11651266136714681569
11(651)12(66 1)13(671)14(681)15（691）
=
100

11651266136714681569
111213141 5
=
（1）100

1165126613671468 1569
1112131415
=
100100
.
1165+1266136714681569
1112
因为100
1165+1266136714681569
11121 31415100

100
（11121314+15）6565< br>10035
所以
a
＜
100+101
.
6565
1112
同时
100
11651266136714 681569
1112131415100

100
（1 1121314+15）6969
10031
所以a＞
100＝101.
6969
3135
综上有
101
＜a＜
101．所以a的整数部分为101．
6965
a=

＜
13
＞
13

14．问
135799
1
与相比，哪个更大，为什么?
...
2468100
10
.

.
00
...＝A
，
...＝B
，
2 4681003579101
001
有
AB＝...
.
...＝
24681
【分析与解】方法一：令
而B中分数对应的都比A 中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
111111
1
＜
）＝
，所以有A×A＜

，那么A＜．
10
10
135799
11
即
...
与相比，更大．
2468100
1010
13579799
方法二：设
A＝...
，

246898100
1133559999
则
A
2
＝. ..


224466100100
1335577... 979799991
=，
2244668...96989 8100100
1335579799991
2
显然、、、…、、都是小 于1的，所以有A＜，于是A
2244669898100100
1
＜.
10
有A×A＜4×B
（＝

15．下面是两个1989位整数相乘 ：
111...11111...11
．问：乘积的各位数字之和是多少?
198 9个11989个1
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为
111... 11
能被9整除，所以将
1989个1
一个
111...11
乘以9 ，另一个除以9，使原算式变成：
1989个1
999......9912345679 0......012345679

1989个9共1988位数
=
（10 00......001）123456790......012345679

198 9个0共1988位数
=
123456790............001234567 90......012345679

共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790......456789876543209......98765432< br>
共1988位数共1980位数
得到的结果中有1980÷9=220个“123 456790”和“987654320”及一个“12345678”和一
个“987654321” ，所以各位数之和为：
（12345679）220（987654 32）220

+
（12345678）（98765 4321）17901

评注：111111111÷9=12345679；
M×
999...9
的数字和为9×k．(其中M≤
999...9
)．可以利用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9

.

.





.