中南财经政法大学武汉学院-中考加油的句子

1．和差倍问题

和差问题和倍问题差倍问题

已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数

一、和差倍问题

（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。

方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数

方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数

例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。

方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 .

（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。

方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

或 和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数）

例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。

方法：50÷（4+1）=10 10×4=40

（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。

方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数）










1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）
或 和-倍数（较小数）=几倍数（较大数）
例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。
方法： 80÷（5-1）=20 20×5=100
和与差和与倍数差与倍数

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2．年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的;

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;

③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量;

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄;

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．

3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”;题目一般用“照
这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;

4．植树问题

基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭 的曲线上植树;
两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树

三、植树问题

（一）不封闭型（直线）植树问题

1、直线两端植树： 棵数=段数+1=全长÷株距+1

全长=株距×（棵数-1 ）;

株距=全长÷（棵数-1 ）;

2、 直线一端植树： 全长=株距×棵数;

棵数=全长÷株距;

株距=全长÷棵数;

3 、直线两端都不植树： 棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;


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株距=全长÷（棵数+1 ）;

（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

棵数=总距离÷棵距;

总距离=棵数×棵距;

棵距=总距离÷棵数．

5．鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题;就是把假设错的那部分置换出来;

基本思路：

①假设;即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后;发生了和题目条件不同的差;找出这个差是多少;

③每个事物造成的差是固定的;从而找出出现这个差的原因;

④再根据这两个差作适当的调整;消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数;求鸡、兔各多少：
（总脚数- 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
例如;“有鸡、兔共36只;它们共有脚100只;鸡、兔各是多少只？”

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解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔;
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡;
36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数;当鸡的总脚数比兔的总脚数多时;可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数;
总头数- 兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数;
总头数- 鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数;当兔的总脚数比鸡的总脚数多时;可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数;
总头数- 兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法;可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣
分数）=不合格 品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷
（每只合格品得分数+每只 不合格品扣分数）=不合格品数。
例如;“灯泡厂生产灯泡的工人;按得分的多少给工资。每生产 一个合格品记4分;每生
产一个不合格品不仅不记分;还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡; 共得3525分;问其
中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）

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＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”;运到完好无 损者每只给运费××元;破损者不
仅不给运费;还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式 。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数;求鸡兔各多少的问题）;可用下
面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数
之差 ）〕÷2=鸡数;
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只 鸡兔脚
数之差）〕÷2=兔数。
例如;“有一些鸡和兔;共有脚44只;若将鸡数与兔数互换;则共有脚52只。鸡兔各是多
少只？”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

鸡兔同笼;这是一个古老的数学问题;在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼
问题的解法-- 假设法;并会将这种方法应用到一些实际问题中.

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然;也可以先假设全是鸡;那么就有：

兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

6．盈亏问题
基本思路：先将两种分配方案进行比较;分析由于标准的差异造成结果的变化;根据这个

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关系求出参加分配的总份数;然后根据题意求出对象的总量．

按不同的方法分配物品时;经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈;如果物品不
够就叫亏;这 就是盈亏问题的含义．

一般地;一批物品分给一定数量的人;第一种分配方法有多余的 物品(盈);第二种分配方法
则不足(亏);当两种分配方法相差n个物品时;那就有：

盈数+亏数= 人数×n

这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．

解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：

(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数;

(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数;

(亏 -亏)÷两次分得之差= 人数或单位数．

解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈;盈多少？什么情况下亏 亏多少？找
到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．

另外在解题后;应进行验算．
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

基本 思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份;根据两次不同的吃法;求出其中的总草量的差;
再找出造成这 种差异的原因;即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;










关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8．周期循环与数表规律

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周期现象：事物在运动变化的过程中;某些特征有规律循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：确定循环周期。

闰年：一年有366天;

①年份能被4整除;②如果年份能被100整除;则年份必须能被400整除;

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除;但不能被400整除;

9．平均数









基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：

①求出总数量以及总份数;利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间的关系;确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数
或 者中间数为基准数;以基准数为标准;求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求
出这些差的 平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和;就是所求的平均数;具体关系见基
本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里;那么必有一个抽屉中至少放有2个
物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里;也就是把4分解成三个整数的和;那么就有以下四种情
况：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1


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观察上面四种放物体的方式;我们会发现一个共同特点：总有那 么一个抽屉里有2个或
多于2个物体;也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里;其中n>m;那么必有一个抽屉至少有：

①k=[nm]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量;而后依据抽屉原则进行
运算。


10.1、方阵问题

在方阵问题中;横的排叫做行;竖的排叫做列 ;如果行数和列数都相等;则正好排成一个正
方形;就是所谓的方阵。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层;每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层;每边上的人数就少
2 ;每层总数就少8 ．

②每边人（或物）数和每层总数的关系：

每层总数=[每边人（或物）数1]×4 每边人（或物）数=每层总数÷4+1 ．

③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．



11．定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号;这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则;把已知的数代入;转化为加减乘除的运算;然后按
照基本运算过 程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。


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注意事项：①新的运算不一定符合运算规律;特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12．数列求和

等差数列：在一列数中;任意相邻两个数的差是一定的;这样的一列数;就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数;一般用a1表示;

项数：等差数列的所有数的个数;一般用n表示;

公差：数列中任意相邻两个数的差;一般用d表示;

通项：表示数列中每一个数的公式;一般用an表示;

数列的和：这一数列全部数字的和;一般用Sn表示．

基本思路：等差数列中涉及五个 量：a1;an;d;n;sn;;通项公式中涉及四个量;如果己知其中
三个;就可求出第四个;求和 公式中涉及四个量;如果己知其中三个;就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d;

通项＝首项＋（项数一1)公差;

数列和公式：sn;=(a1+an)n2;









数列和＝（首项＋末项）项数2;
项数公式：n=(an+a1)d＋1;
项数=（末项-首项）公差＋1;
公差公式：d=（an－a1））（n－1）;
公差=（末项－首项）（项数－1）;

关键问题：确定已知量和未知量;确定使用的公式;

13．二进制及其应用

十进制：用0～9十个数字表示;逢10进1;不同数位上的数 字表示不同的含义;十位上的
2表示20;百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2 102+310+4。


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=An 10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-6 10n-7+……+A3102+A2101+A1100

注意：N0=１;N１=N（其中N是任意自然数）









二进制：用0～1两个数字表示;逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）=An2n -1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
+……+A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点;用2连续去除这个数;直到商为0 ;然后把每次所得的余数
按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2 的n次方;再求它们的差;再找不大于这个差的2的n次方;依
此方法一直找到差为0;按照二进制展开 式特点即可写出。

14．加法乘法原理和几何计数

加法原理 ：如果完成一件任务有n类方法;在第一类方法中有m1种不同方法;在第二类
方法中有m2种不同方法 ……;在第n类方法中有mn种不同方法;那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种 不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤 进行;做第1步有m1种方法;不管第1
步用哪一种方法;第2步总有m2种方法……不管前面n-1步 用哪种方法;第n步总有mn种方
法;那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同 的方法。










关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动;形成的轨迹。
直线特点：没有端点;没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

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线段特点：有两个端点;有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点;没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）;

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15．质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外;没有别的约数;这个数叫做质数;也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外;还有别的约数;这个数叫做合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数;那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来;叫做分解质因数。通常用短除法分
解质因数。任何一 个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=;其中a1、a 2、a3……an都是合数N的质因数;且
a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1;这两个数叫做互质数。

16．约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除;a叫做b的倍数;b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数;叫做这几个数的公约数;其中最大的一个;叫做这几个数的最
大公约数。

最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数;所得的几个商是互质数。


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2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数;都是这几个数的最大公约数的约数。

4、几个数都乘以一个自然数m;所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;

18的约数有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公约数有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公约数是：6;记作（12;18）=6;

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数;然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数;然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除;能够整除的那个余数;就是所求的最大公约
数。

公倍数：几个数公有的倍数;叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个;叫做这几个数的最
小公倍数。


















12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36;记作[12;18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
17．数的整除

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一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a;除以一个自然数b;得到一个整数商c;而且没有余数;那么叫做a能被b整除或b能整除a;记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”;不能整除符号“”;因为符号“∵”;所以的符号“∴”;

二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。













7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除;那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除;c是整数;那么a乘以c也能被b整除。

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3.如果a能被b整除;b又能被c整除;那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除;那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18．余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r;如果使得a÷b=q… …r;且0的余数;q叫做a除以b的不完全商。

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同;则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。









④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同;则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m; 如果m|a-b;就称a、b对于模m同余;记作a≡b(modm);读作a
同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(modm);













②对称性：若a≡b(modm);则b≡a(modm);
③传递性：若a≡b(modm);b≡c(modm);则a≡c(modm);
④和 差性：若a≡b(modm);c≡d(modm);则a+c≡b+d(modm);a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡b(modm);c≡d(modm);则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性：若a≡b(modm);则an≡bn(modm);
⑦同倍性：若a≡b(modm);整数c;则a×c≡b×c(modm×c);

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三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b;则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M;n表示M的各个数位上数字的和;则M≡n(mod9)或（mod3）;

②一个自然数M;X表示M的各个奇数位上数字的和;Y表示M的各个偶数数位上数字
的和 ;则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11);

五、费尔马小定理：如果p是质数（素数）;a是自然数;且a不能被p整除;则ap-1≡1(modp)。

20．分数与百分数的应用









基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份;表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）;分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份;表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法 ：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比
例和转换成倍数关系;把不同的标准 （在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条
件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为 一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便;可以把题目中不相等的量假设成相等或者 假设某种
情况成立;计算出相应的结果;然后再进行调整;求出最后结果。

⑤ 量不变思维方法：在变化的各个量当中;总有一个量是不变的;不论其他量如何变化;
而这个量是始终固 定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化;总量不变。B、总量发生
变化;但其中有的分量不变。 C、总量和分量都发生变化;但分量之间的差量不变化。


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⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量;从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21．分数大小的比较

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同;根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同;根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准;使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时;分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小;除了运用以上方法外;
可以用同倍率的变 化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数;结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数;得出的数和0比较。


















⑨倒数比较法：利用倒数比较大小;然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数;每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
①=+;
②=+（d为自然数）;
23．完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

16 25

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数;反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2









完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项;比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商;叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外）;比值不变。









比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘);ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍;B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）;则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍;B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时）;则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份;叫按比例分配。

25．综合行程

基本概念：行程问题是研究物体运动的;它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的
关系.


17 25

基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速- 水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速- 水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度;参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程;参照以上公式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速
度和、速度差）中任意两个量;求第三个量。

26．工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间










②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）;
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）;

18 25

利用上述三个基本关系;可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评：合久必分;分久必合。

27．逻辑推理

基本方法简介：

①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立;然后按照这个假设 去判断;如果有与
题设条件矛盾的情况;说明该假设情况是不成立的;那么与他的相反情况是成立的。例 如;假设
a是偶数成立;在判断过程中出现了矛盾;那么a一定是奇数。

②条 件分析—列表法：当题设条件比较多;需要多次假设才能完成时;就需要进行列表来
辅助分析。列表法就 是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中;表格的行、列分别表示
不同的对象与情况;观察表格内的 题设情况;运用逻辑规律进行判断。

③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种 关系时;就可用连线表示两个对象之
间的关系;有连线则表示“是;有”等肯定的状态;没有连线则表示 否定的状态。例如A和B两人
之间有认识或不认识两种状态;有连线表示认识;没有表示不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外;还要进行相应的计算;< br>根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理：根据题 目提供的特征和数据;分析其中存在的规律和方法;并从特殊
情况推广到一般情况;并递推出相关的关系 式;从而得到问题的解决。

28．几何面积

基本思路：

在一些面积的计算上;不能直接运用公式的情况下;一般需要对图形进行割补;平移、旋
转、翻折、分解、变形、重叠等;使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和
记 忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点;解题时可把任意点设置在特殊位置上）。


19 25

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形;已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角
三角形的面积）

②梯形对角线连线后;两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29．立体图形

长方体

8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh

正方体









8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等;S=6a2V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh
圆锥体
下底是圆;只有一个顶点;l：母线;顶点到底圆周上任意一点的距离;S=S侧+S底


















S侧=rlV=Sh
球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r3
30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题;
2、不同的表当成速度不同的运动物体;
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）;
4、时间是标准表所经过的时间;
合理利用行程问题中的比例关系;

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五、流水行船奥数知识点


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25 25

1．和差倍问题

和差问题和倍问题差倍问题

已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数

一、和差倍问题

（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。

方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数

方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数

例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。

方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 .

（二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。

方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数）

1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

或 和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数）

例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。

方法：50÷（4+1）=10 10×4=40

（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。

方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数）










1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）
或 和-倍数（较小数）=几倍数（较大数）
例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。
方法： 80÷（5-1）=20 20×5=100
和与差和与倍数差与倍数

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2．年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的;

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;

③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量;

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄;

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．

3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”;题目一般用“照
这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;

4．植树问题

基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭 的曲线上植树;
两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树

三、植树问题

（一）不封闭型（直线）植树问题

1、直线两端植树： 棵数=段数+1=全长÷株距+1

全长=株距×（棵数-1 ）;

株距=全长÷（棵数-1 ）;

2、 直线一端植树： 全长=株距×棵数;

棵数=全长÷株距;

株距=全长÷棵数;

3 、直线两端都不植树： 棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;


2 25

株距=全长÷（棵数+1 ）;

（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

棵数=总距离÷棵距;

总距离=棵数×棵距;

棵距=总距离÷棵数．

5．鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题;就是把假设错的那部分置换出来;

基本思路：

①假设;即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后;发生了和题目条件不同的差;找出这个差是多少;

③每个事物造成的差是固定的;从而找出出现这个差的原因;

④再根据这两个差作适当的调整;消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数;求鸡、兔各多少：
（总脚数- 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
例如;“有鸡、兔共36只;它们共有脚100只;鸡、兔各是多少只？”

3 25

解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔;
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡;
36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数;当鸡的总脚数比兔的总脚数多时;可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数;
总头数- 兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数;
总头数- 鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数;当兔的总脚数比鸡的总脚数多时;可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数;
总头数- 兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法;可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣
分数）=不合格 品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷
（每只合格品得分数+每只 不合格品扣分数）=不合格品数。
例如;“灯泡厂生产灯泡的工人;按得分的多少给工资。每生产 一个合格品记4分;每生
产一个不合格品不仅不记分;还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡; 共得3525分;问其
中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）

4 25

＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”;运到完好无 损者每只给运费××元;破损者不
仅不给运费;还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式 。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数;求鸡兔各多少的问题）;可用下
面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数
之差 ）〕÷2=鸡数;
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只 鸡兔脚
数之差）〕÷2=兔数。
例如;“有一些鸡和兔;共有脚44只;若将鸡数与兔数互换;则共有脚52只。鸡兔各是多
少只？”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

鸡兔同笼;这是一个古老的数学问题;在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼
问题的解法-- 假设法;并会将这种方法应用到一些实际问题中.

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

当然;也可以先假设全是鸡;那么就有：

兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

6．盈亏问题
基本思路：先将两种分配方案进行比较;分析由于标准的差异造成结果的变化;根据这个

5 25

关系求出参加分配的总份数;然后根据题意求出对象的总量．

按不同的方法分配物品时;经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈;如果物品不
够就叫亏;这 就是盈亏问题的含义．

一般地;一批物品分给一定数量的人;第一种分配方法有多余的 物品(盈);第二种分配方法
则不足(亏);当两种分配方法相差n个物品时;那就有：

盈数+亏数= 人数×n

这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．

解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：

(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数;

(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数;

(亏 -亏)÷两次分得之差= 人数或单位数．

解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会盈;盈多少？什么情况下亏 亏多少？找
到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．

另外在解题后;应进行验算．
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

基本 思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份;根据两次不同的吃法;求出其中的总草量的差;
再找出造成这 种差异的原因;即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;










关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8．周期循环与数表规律

6 25

周期现象：事物在运动变化的过程中;某些特征有规律循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：确定循环周期。

闰年：一年有366天;

①年份能被4整除;②如果年份能被100整除;则年份必须能被400整除;

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除;但不能被400整除;

9．平均数









基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：

①求出总数量以及总份数;利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间的关系;确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数
或 者中间数为基准数;以基准数为标准;求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求
出这些差的 平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和;就是所求的平均数;具体关系见基
本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里;那么必有一个抽屉中至少放有2个
物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里;也就是把4分解成三个整数的和;那么就有以下四种情
况：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1


7 25

观察上面四种放物体的方式;我们会发现一个共同特点：总有那 么一个抽屉里有2个或
多于2个物体;也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里;其中n>m;那么必有一个抽屉至少有：

①k=[nm]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=nm个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量;而后依据抽屉原则进行
运算。


10.1、方阵问题

在方阵问题中;横的排叫做行;竖的排叫做列 ;如果行数和列数都相等;则正好排成一个正
方形;就是所谓的方阵。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层;每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层;每边上的人数就少
2 ;每层总数就少8 ．

②每边人（或物）数和每层总数的关系：

每层总数=[每边人（或物）数1]×4 每边人（或物）数=每层总数÷4+1 ．

③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．



11．定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号;这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则;把已知的数代入;转化为加减乘除的运算;然后按
照基本运算过 程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。


8 25

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律;特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12．数列求和

等差数列：在一列数中;任意相邻两个数的差是一定的;这样的一列数;就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数;一般用a1表示;

项数：等差数列的所有数的个数;一般用n表示;

公差：数列中任意相邻两个数的差;一般用d表示;

通项：表示数列中每一个数的公式;一般用an表示;

数列的和：这一数列全部数字的和;一般用Sn表示．

基本思路：等差数列中涉及五个 量：a1;an;d;n;sn;;通项公式中涉及四个量;如果己知其中
三个;就可求出第四个;求和 公式中涉及四个量;如果己知其中三个;就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d;

通项＝首项＋（项数一1)公差;

数列和公式：sn;=(a1+an)n2;









数列和＝（首项＋末项）项数2;
项数公式：n=(an+a1)d＋1;
项数=（末项-首项）公差＋1;
公差公式：d=（an－a1））（n－1）;
公差=（末项－首项）（项数－1）;

关键问题：确定已知量和未知量;确定使用的公式;

13．二进制及其应用

十进制：用0～9十个数字表示;逢10进1;不同数位上的数 字表示不同的含义;十位上的
2表示20;百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2 102+310+4。


9 25

=An 10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-6 10n-7+……+A3102+A2101+A1100

注意：N0=１;N１=N（其中N是任意自然数）









二进制：用0～1两个数字表示;逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）=An2n -1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
+……+A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点;用2连续去除这个数;直到商为0 ;然后把每次所得的余数
按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2 的n次方;再求它们的差;再找不大于这个差的2的n次方;依
此方法一直找到差为0;按照二进制展开 式特点即可写出。

14．加法乘法原理和几何计数

加法原理 ：如果完成一件任务有n类方法;在第一类方法中有m1种不同方法;在第二类
方法中有m2种不同方法 ……;在第n类方法中有mn种不同方法;那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种 不同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤 进行;做第1步有m1种方法;不管第1
步用哪一种方法;第2步总有m2种方法……不管前面n-1步 用哪种方法;第n步总有mn种方
法;那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同 的方法。










关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动;形成的轨迹。
直线特点：没有端点;没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

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线段特点：有两个端点;有长度。

射线：把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点;没有长度。

①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）;

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15．质数与合数

质数：一个数除了1和它本身之外;没有别的约数;这个数叫做质数;也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外;还有别的约数;这个数叫做合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数;那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来;叫做分解质因数。通常用短除法分
解质因数。任何一 个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=;其中a1、a 2、a3……an都是合数N的质因数;且
a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)

互质数：如果两个数的最大公约数是1;这两个数叫做互质数。

16．约数与倍数

约数和倍数：若整数a能够被b整除;a叫做b的倍数;b就叫做a的约数。

公约数：几个数公有的约数;叫做这几个数的公约数;其中最大的一个;叫做这几个数的最
大公约数。

最大公约数的性质：

1、几个数都除以它们的最大公约数;所得的几个商是互质数。


11 25

2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、几个数的公约数;都是这几个数的最大公约数的约数。

4、几个数都乘以一个自然数m;所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;

18的约数有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公约数有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公约数是：6;记作（12;18）=6;

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数;然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数;然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除;能够整除的那个余数;就是所求的最大公约
数。

公倍数：几个数公有的倍数;叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个;叫做这几个数的最
小公倍数。


















12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36;记作[12;18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
17．数的整除

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一、基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a;除以一个自然数b;得到一个整数商c;而且没有余数;那么叫做a能被b整除或b能整除a;记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”;不能整除符号“”;因为符号“∵”;所以的符号“∴”;

二、整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。













7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除;那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除;c是整数;那么a乘以c也能被b整除。

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3.如果a能被b整除;b又能被c整除;那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除;那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18．余数及其应用

基本概念：对任意自然数a、b、q、r;如果使得a÷b=q… …r;且0的余数;q叫做a除以b的不完全商。

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同;则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。









④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同;则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m; 如果m|a-b;就称a、b对于模m同余;记作a≡b(modm);读作a
同余于b模m。

二、同余的性质：

①自身性：a≡a(modm);













②对称性：若a≡b(modm);则b≡a(modm);
③传递性：若a≡b(modm);b≡c(modm);则a≡c(modm);
④和 差性：若a≡b(modm);c≡d(modm);则a+c≡b+d(modm);a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡b(modm);c≡d(modm);则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性：若a≡b(modm);则an≡bn(modm);
⑦同倍性：若a≡b(modm);整数c;则a×c≡b×c(modm×c);

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三、关于乘方的预备知识：

①若A=a×b;则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M;n表示M的各个数位上数字的和;则M≡n(mod9)或（mod3）;

②一个自然数M;X表示M的各个奇数位上数字的和;Y表示M的各个偶数数位上数字
的和 ;则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11);

五、费尔马小定理：如果p是质数（素数）;a是自然数;且a不能被p整除;则ap-1≡1(modp)。

20．分数与百分数的应用









基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份;表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）;分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份;表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法 ：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比
例和转换成倍数关系;把不同的标准 （在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条
件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为 一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便;可以把题目中不相等的量假设成相等或者 假设某种
情况成立;计算出相应的结果;然后再进行调整;求出最后结果。

⑤ 量不变思维方法：在变化的各个量当中;总有一个量是不变的;不论其他量如何变化;
而这个量是始终固 定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化;总量不变。B、总量发生
变化;但其中有的分量不变。 C、总量和分量都发生变化;但分量之间的差量不变化。


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⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量;从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21．分数大小的比较

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同;根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同;根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准;使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时;分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小;除了运用以上方法外;
可以用同倍率的变 化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数;结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数;得出的数和0比较。


















⑨倒数比较法：利用倒数比较大小;然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数;每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
①=+;
②=+（d为自然数）;
23．完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

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2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.约数个数为奇数;反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2









完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项;比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商;叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外）;比值不变。









比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a：b=c：d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘);ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍;B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）;则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍;B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时）;则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份;叫按比例分配。

25．综合行程

基本概念：行程问题是研究物体运动的;它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的
关系.


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基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速- 水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速- 水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度;参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程;参照以上公式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速
度和、速度差）中任意两个量;求第三个量。

26．工程问题

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间










②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）;
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）;

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利用上述三个基本关系;可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评：合久必分;分久必合。

27．逻辑推理

基本方法简介：

①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立;然后按照这个假设 去判断;如果有与
题设条件矛盾的情况;说明该假设情况是不成立的;那么与他的相反情况是成立的。例 如;假设
a是偶数成立;在判断过程中出现了矛盾;那么a一定是奇数。

②条 件分析—列表法：当题设条件比较多;需要多次假设才能完成时;就需要进行列表来
辅助分析。列表法就 是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中;表格的行、列分别表示
不同的对象与情况;观察表格内的 题设情况;运用逻辑规律进行判断。

③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种 关系时;就可用连线表示两个对象之
间的关系;有连线则表示“是;有”等肯定的状态;没有连线则表示 否定的状态。例如A和B两人
之间有认识或不认识两种状态;有连线表示认识;没有表示不认识。

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外;还要进行相应的计算;< br>根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理：根据题 目提供的特征和数据;分析其中存在的规律和方法;并从特殊
情况推广到一般情况;并递推出相关的关系 式;从而得到问题的解决。

28．几何面积

基本思路：

在一些面积的计算上;不能直接运用公式的情况下;一般需要对图形进行割补;平移、旋
转、翻折、分解、变形、重叠等;使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和
记 忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点;解题时可把任意点设置在特殊位置上）。


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4.利用特殊规律

①等腰直角三角形;已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角
三角形的面积）

②梯形对角线连线后;两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29．立体图形

长方体

8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh

正方体









8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等;S=6a2V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh
圆锥体
下底是圆;只有一个顶点;l：母线;顶点到底圆周上任意一点的距离;S=S侧+S底


















S侧=rlV=Sh
球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r3
30．时钟问题—快慢表问题
基本思路：
1、按照行程问题中的思维方法解题;
2、不同的表当成速度不同的运动物体;
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）;
4、时间是标准表所经过的时间;
合理利用行程问题中的比例关系;

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五、流水行船奥数知识点


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