小学奥数数阵图39045
宾尼-暑假实践
第十七周
数阵图
把一些数字按照一定的要求,排列成各种各样的图形,叫做数阵图。 数阵是
由幻方演化
出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数
字和相等。数阵则不仅有正方形、长
方形,还有三角形、圆、多边形、星形、花
瓣形、十字形,甚至多种图形的组合。变幻多姿,奇趣迷人。
一般按数字的组合
形式,将其分为三类,即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
【解题技巧】
数阵的分类:
封闭型:封闭型数阵图的解题突破口,是确定各边顶点
所应填的数。为确定
这些数,采用的方法是建立有关的等式,通过以最小值到最大值的讨论,来确定每条边上的几个数之和,再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数,其余的数再
利用和与顶点的数就
容易被填出。(1—6)
辐射型:辐射型数阵图,解法的关键是确定中心数。具体方法是
:通过所给
条件建立有关等式,通过整除性的讨论,确定出中心数的取值,然后求出各边上
数的
和,最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和,确定边上其他的数。
复合型:复合型数阵图,解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点
:每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表
达形式多为给出一定数量的数字,要
求填入指定的图中,使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是:
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”,列出关系式,找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后,对
照“和相等”的条件,用尝试的方法,求出其他各数。有时,
因数字存在不同的组合方法,答案往往不是
唯一的。
【铜牌例题】
将2、
3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的
9个方格中,使每行、每列及对角线之和相等,
小明已经填了5个数,请将其余4个数填入。
【答案】
【解析】
先根据最左边一列求出幻和,然后根据这个和和给出的数字逐步推算。
3+8+7=18;
第二行中间的数是:18-8-4=6;
第三行中间的数是:18-7-9=2;
第一行第一个数是:18-4-9=5;
第一行中间的数是:18-3-5=10;
【举一反三1】
(第十届走美杯初赛)小华需要构造一个3×3的乘积魔方,使得每行、每列、每
条对角线上三个正整数
的乘积都相等;现在他已经填入了2,3,6三个数,那当
小华的乘积魔方构造完毕后,x等于____
__。
【银牌例题】
(第十四届中环杯初赛真题)将0~9填入下图圆圈中,每个数字只能使用一次
,
使得,每条线段上的数字和都是13。
【答案】
【解析】
如右图,a-h被算了3次,x被算了4次,y被算了2次
则10×13=3×(0+1+2+
……+9)+x-y→y-x=5
由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6
所以c+d=a+h=b+x=7→f=6
所以,a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7
所以e,g,y分别为1、8、9
又y-x=5,所以y=8或9
若y=8,则x=3→b=4→e=1→g=9→a=0→d=10矛盾
所以y=9→x=4→b=3→e=1→g=8→a=2→d=7→c=0→
h=5
【举一反三2】
在下图的七个圆圈中各填一
个数,要求每一条边上的三个数中,当中的数是两边
数的平均数。现在已经填好了两个数,那么x是
。
【金牌例题】
(第十一届“走美杯”初赛)将0~5这6个数字中的4个数字填入如图的圆圈
中,
每条线段两端的数字作差(大减小),可以得到5个差,这5个差恰好为1-5,在
所有满
足条件的填法中,四位数的最大值是
。
【答案】5034
【解析】
因为四位数ABCD的
值最大,因此A=5,并且B和C中有一个为0,B作为百位数
字应尽量大。
若B=4,则C=0,但此时D无法填出,
因此B最大为3,B=3时,C=0,此时D=4。
因此,最大值为5034.
故答案为:5034。
【举一反三3】
(第十一届希望杯真
题)将1,2,3,4,5,6随意填入图中的小圆圈内,将相邻
两数相乘,再将所得的6个乘积相加,
则得到的和最小是 。
.
【王牌例题】
(第十届走美杯真题)请将1、2
、3、4、5、6、8、9、10、12这10个数填入右
图圆圈中,每个数用一次,使得每条线上4个
数的和都相等。
【答案】
【解析】
每条线上的和是:(1+2+3+4+5+6+8+9+10+12)×2÷5=24;
假设,5个顶点数是较小的,即1,2,3,4,5;
又因为1+3+8+12=24,1+
4+9+10=24;那么5个顶点,1与3在一条线上,1与
4在一条线上;那么2与5在一条线上;
因为每条线上的和是24,是一个偶数,根据奇数+奇数=偶数,也就是每条线上要
么有2个奇
数,要么没有奇数;那么3与5一条线上,2与4在一条线上;
可以确定5个顶点的数是:
;
还有一个奇数9,只能在1、4与2、5相交的点上,即:
;
又因为1+9+4+10=24,5+9+2+8=24;那么1、9、4线上最后一个圆圈填10;5
、
9、2线上最后一个圆圈填8,即:
;
又因为1+8+3+12=24;确定1
、8、3线上最后一个圆圈填12;5+10+3+6=24,
确定5、10、3线上最后一个圆圈填6
;即:
【举一反三4】
将2011至2019
这九个自然数填入图中的圆圈中,使得每个以圆圈为顶点的正方
形四个顶点上的数字之和相等,那么中心
圆圈内填的数字是 。
【大显身手】
1.(第十三届华
杯初赛)如图的4×4网格里,横、竖、对角线上的四个数之和均等
于“2008”,则a+b+c+d
= 。
2.
如图,“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1~7这7个数字.已知3
条直线上的3个数相
加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等.图中间的“好”
代表 。
3.根据图中的数字关系,算一算,“?”= 。
4.自然数1~12中有一些已经填入图中的○内,请将剩下的分别填
入空○内,使图
中每个三角形(共四个)周边上的数字之和都相等。
5.在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.
6.把1-10这十个自然数分别填入图中的○中,使每个圆
圈中的六个数之和都是36。
7.在圆的5
条直径的两端分别写着1~10(如图1).现在请你调整一部分数的位置,
但保留1、10、5、6不
动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两
数之和,画在另一个圆上(图2)。
8.把199
1,1992,1993,1994,1995分别填入图中的5个方格中,使得横排的三
个方格中的数
的和等于竖列的三个方格中的数的和.则中间方格中能填的数
是 。
9.请你从1~40中选出10个各不相同的整数填入图中的圆圈里,
使得每个数均为
与它相邻的两个数的最大公约数或最小公倍数。
10.如图,在每个小圆圈里填上一个数,使得每一条
直线上的三个数的和都等于大
圆圈上三个数的和。
11.据说美国有一位铁路职工花了50余年的业余时间,研
究得到了一个六角形幻
方,如图所示的每一个圆中分别填写了1、2、…、19中的
一个数字(不同的圆中填写的数字各不相同
),使得图中每一个横或斜方向的线段
上几个圆内的数之和都相等,现在已知该图中七个圆内
的
数字,则图中的x= 。
单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑
的力量都可以大到不可思议。
第十七周
数阵图
把一些数字按照一定的要求,排列成各种各样的图形,叫做数阵图。 数阵是
由幻方演化
出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数
字和相等。数阵则不仅有正方形、长
方形,还有三角形、圆、多边形、星形、花
瓣形、十字形,甚至多种图形的组合。变幻多姿,奇趣迷人。
一般按数字的组合
形式,将其分为三类,即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
【解题技巧】
数阵的分类:
封闭型:封闭型数阵图的解题突破口,是确定各边顶点
所应填的数。为确定
这些数,采用的方法是建立有关的等式,通过以最小值到最大值的讨论,来确定每条边上的几个数之和,再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数,其余的数再
利用和与顶点的数就
容易被填出。(1—6)
辐射型:辐射型数阵图,解法的关键是确定中心数。具体方法是
:通过所给
条件建立有关等式,通过整除性的讨论,确定出中心数的取值,然后求出各边上
数的
和,最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和,确定边上其他的数。
复合型:复合型数阵图,解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点
:每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表
达形式多为给出一定数量的数字,要
求填入指定的图中,使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是:
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”,列出关系式,找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后,对
照“和相等”的条件,用尝试的方法,求出其他各数。有时,
因数字存在不同的组合方法,答案往往不是
唯一的。
【铜牌例题】
将2、
3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的
9个方格中,使每行、每列及对角线之和相等,
小明已经填了5个数,请将其余4个数填入。
【答案】
【解析】
先根据最左边一列求出幻和,然后根据这个和和给出的数字逐步推算。
3+8+7=18;
第二行中间的数是:18-8-4=6;
第三行中间的数是:18-7-9=2;
第一行第一个数是:18-4-9=5;
第一行中间的数是:18-3-5=10;
【举一反三1】
(第十届走美杯初赛)小华需要构造一个3×3的乘积魔方,使得每行、每列、每
条对角线上三个正整数
的乘积都相等;现在他已经填入了2,3,6三个数,那当
小华的乘积魔方构造完毕后,x等于____
__。
【银牌例题】
(第十四届中环杯初赛真题)将0~9填入下图圆圈中,每个数字只能使用一次
,
使得,每条线段上的数字和都是13。
【答案】
【解析】
如右图,a-h被算了3次,x被算了4次,y被算了2次
则10×13=3×(0+1+2+
……+9)+x-y→y-x=5
由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6
所以c+d=a+h=b+x=7→f=6
所以,a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7
所以e,g,y分别为1、8、9
又y-x=5,所以y=8或9
若y=8,则x=3→b=4→e=1→g=9→a=0→d=10矛盾
所以y=9→x=4→b=3→e=1→g=8→a=2→d=7→c=0→
h=5
【举一反三2】
在下图的七个圆圈中各填一
个数,要求每一条边上的三个数中,当中的数是两边
数的平均数。现在已经填好了两个数,那么x是
。
【金牌例题】
(第十一届“走美杯”初赛)将0~5这6个数字中的4个数字填入如图的圆圈
中,
每条线段两端的数字作差(大减小),可以得到5个差,这5个差恰好为1-5,在
所有满
足条件的填法中,四位数的最大值是
。
【答案】5034
【解析】
因为四位数ABCD的
值最大,因此A=5,并且B和C中有一个为0,B作为百位数
字应尽量大。
若B=4,则C=0,但此时D无法填出,
因此B最大为3,B=3时,C=0,此时D=4。
因此,最大值为5034.
故答案为:5034。
【举一反三3】
(第十一届希望杯真
题)将1,2,3,4,5,6随意填入图中的小圆圈内,将相邻
两数相乘,再将所得的6个乘积相加,
则得到的和最小是 。
.
【王牌例题】
(第十届走美杯真题)请将1、2
、3、4、5、6、8、9、10、12这10个数填入右
图圆圈中,每个数用一次,使得每条线上4个
数的和都相等。
【答案】
【解析】
每条线上的和是:(1+2+3+4+5+6+8+9+10+12)×2÷5=24;
假设,5个顶点数是较小的,即1,2,3,4,5;
又因为1+3+8+12=24,1+
4+9+10=24;那么5个顶点,1与3在一条线上,1与
4在一条线上;那么2与5在一条线上;
因为每条线上的和是24,是一个偶数,根据奇数+奇数=偶数,也就是每条线上要
么有2个奇
数,要么没有奇数;那么3与5一条线上,2与4在一条线上;
可以确定5个顶点的数是:
;
还有一个奇数9,只能在1、4与2、5相交的点上,即:
;
又因为1+9+4+10=24,5+9+2+8=24;那么1、9、4线上最后一个圆圈填10;5
、
9、2线上最后一个圆圈填8,即:
;
又因为1+8+3+12=24;确定1
、8、3线上最后一个圆圈填12;5+10+3+6=24,
确定5、10、3线上最后一个圆圈填6
;即:
【举一反三4】
将2011至2019
这九个自然数填入图中的圆圈中,使得每个以圆圈为顶点的正方
形四个顶点上的数字之和相等,那么中心
圆圈内填的数字是 。
【大显身手】
1.(第十三届华
杯初赛)如图的4×4网格里,横、竖、对角线上的四个数之和均等
于“2008”,则a+b+c+d
= 。
2.
如图,“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1~7这7个数字.已知3
条直线上的3个数相
加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等.图中间的“好”
代表 。
3.根据图中的数字关系,算一算,“?”= 。
4.自然数1~12中有一些已经填入图中的○内,请将剩下的分别填
入空○内,使图
中每个三角形(共四个)周边上的数字之和都相等。
5.在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.
6.把1-10这十个自然数分别填入图中的○中,使每个圆
圈中的六个数之和都是36。
7.在圆的5
条直径的两端分别写着1~10(如图1).现在请你调整一部分数的位置,
但保留1、10、5、6不
动,使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两
数之和,画在另一个圆上(图2)。
8.把199
1,1992,1993,1994,1995分别填入图中的5个方格中,使得横排的三
个方格中的数
的和等于竖列的三个方格中的数的和.则中间方格中能填的数
是 。
9.请你从1~40中选出10个各不相同的整数填入图中的圆圈里,
使得每个数均为
与它相邻的两个数的最大公约数或最小公倍数。
10.如图,在每个小圆圈里填上一个数,使得每一条
直线上的三个数的和都等于大
圆圈上三个数的和。
11.据说美国有一位铁路职工花了50余年的业余时间,研
究得到了一个六角形幻
方,如图所示的每一个圆中分别填写了1、2、…、19中的
一个数字(不同的圆中填写的数字各不相同
),使得图中每一个横或斜方向的线段
上几个圆内的数之和都相等,现在已知该图中七个圆内
的
数字,则图中的x= 。
单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑
的力量都可以大到不可思议。