小学奥数之递推法
朝阳师范高等专科学校-王赣骏
五年级下册奥数知识点：递推方法
计数方法与技巧（递推法概念）
计数方法与技巧（递推法例题）
例1：
的乘积中有多少个数字是奇数？
分析与解答：
如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入
手。
9×9＝81，有1个奇数；
99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数；
999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数；
……
从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。
例题2：
分析与解答：
这道题我们可以采用分
别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解
答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的
情况开始研究。
例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～
2000号，然后从左
到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的
离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这
时一共报了多少次？最后
留下的这个人原来的号码是多少？
分析与解答：
难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选
出
20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。
这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编
号依次是：2、4、
6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。
第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：
4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。
第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依
次是：
8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。
第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1
，这1人开始时的编号是：16，
都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。
由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，
这是一个规律。
2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?
第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500
第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125
第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31
第七次：31÷2＝15 ……1 第八次：15÷2＝7 ……1
第九次：7÷2＝3 ……1 第十次：3÷2＝1 ……1
所以共需报10次数。
那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：
2×2×2×…×2＝1024（号）
例题4：
平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？
分析与解答：
直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。
一个圆最多将平面分为2部分；
二个圆最多将平面分为4部分；
三个圆最多将平面分为8部分；
当第二个圆在第
一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个
交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每
一段圆弧都将所在平面的一
分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此
，
二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。
同样道理，三个圆最多
分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础
上增加4部分。因此，三个圆最多将平面
分为2＋2＋4＝8部分。
由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最
多有9×2＝18个交点，第
10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆
最多将平
面分成的部分数为：
2＋2＋4＋6＋…＋18
＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）
＝2＋2×9×（9＋1）÷2
＝92
类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：
2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）
＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]
＝2＋n（n－1）
＝n
2
－n＋2
一、填空题
1.将一个数做如下运算:乘以4,再加上112,减去20,最后除以4,这时得100.那么
这个数
是 .
2.李白提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒,壶中原有
斗酒.
3.甲、乙两个车站共停135辆汽车,如果从甲站开36辆到
乙站,从乙站开45辆到甲站,这时
乙站车是甲站的1.5倍.乙原来停 辆车.
4.农业站有一批化肥,第一天卖出一半又多15吨,第二次卖出余下的一半多8吨,第
三次
卖出180吨,正好卖完,这批化肥原来有 吨.
5.四个
袋子共有168粒棋子,小红过来一看,把棋子作如下的调整,把丁袋调3粒到丙袋,
丙调6粒到乙袋,
乙又调6粒到甲袋,甲袋调2粒到丁袋,这时,四个袋子的棋子一样多,乙袋原
来有
粒棋子.
6.一筐桔子,把它四等分后多一个,取走3份又一个,剩下的四等分后又剩
一个,再取走3
份又一个,剩下的四等分又剩一个,那么原来至少有 个桔子.
7.袋子里有若干个球,小华每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中
还有3个球,那么,袋中原来共有 个球.
8.3÷7的小数点后面第1999位上的数是 .
9.已知A,B,C,D四数之和为45,且A+2=B-2=C×2=D÷2,那么,这四个数依次是
.
10.两个小于1000的质数之积是一个偶数,这个偶数最大可能是
.
二、解答题
11.池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占
面积每天增加一倍,经过15天把池溏占满了,求
它几天占池塘的 ?
12.一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到20厘米,问第36天长多少厘米?
13.某人去银行取款,第一次取了存款的一半多5元,第二次取了余下的一半多10元,最后
剩下12
5元,求他原来有多少元?
14.王大爷把他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客,
把余下的一半又半个卖给第二
个顾客,……这样一直到他卖给第六个人以后,他一个西瓜也没有,求他原
来有西瓜多少个?
---------------答
案----------------------
一、填空题
1. (100×4+20-112)÷4=77
2.
斗
第三次见花前应有一斗;
第三次遇店前应有 (斗);
第二次见花前应有 (斗);
第二次遇店前应有 (斗);
第一次见花前应有 (斗);
第一次遇店前应有 (斗).
3. 甲:45辆;乙:90辆.
把后来甲站所停汽车的辆数看为的倍数,那么乙站所停的是1.5倍,那么辆就是
2.5倍,这样
甲站后来有:135÷2.5=54(辆)
乙站后来有:54×1.5=81(辆)
甲原有:54+36-45=45(辆)
乙原有:81+45-36=90(辆)
4. 782吨.
[(180+8)×2+15]×2=782(吨)
5.
甲38粒;乙42粒,丙45粒,丁43粒.
现各有168÷4=42(粒).
甲:42-6+2=38
乙:42-6+6=42
丙:42-3+6=45
丁:42-2+3=43
6. 85个.
1×4+1=5(个)
5×4+1=21(个)
21×4+1=85(个)
7. 34个.
(3-1)×2=4(个)
(4-1)×2=6(个)
(6-1)×2=10(个)
(10-1)×2=18(个)
(18-1)×2=34(个)
8. 4
3÷7=0.42857142……
6位
1999÷6=333……1
所以是4.
9. 设C数为M,则
A=2M-2
B=2M+2
C=M
D=4M
9M=45,M=5
∴A=8;B=12;C=5;D=20.
10. 1994
由于质数除2以外便都是奇数,奇数×奇数=奇数.
所以其中一个质数定是2,1000以最大的质数是:997.
997×2=1994
二、解答题
11. 第14天占
;第13天占 .
12. 39天长:40÷2=20(厘米);
38天长:20÷2=10(厘米);
37天长:10÷2=5(厘米);
36天长:5÷2=2.5(厘米).
13. [(125+10)×2+5]×2=550(元)
14. 第七个人:0个;
第六个人:(0.5+0)×2=1(个);
第五个人:(1+0.5)×2=3(个);
第四个人:(3+0.5)×2=7(个);
第三个人:(7+0.5)×2=15(个);
第二个人:(15+0.5)×2=31(个);
第一个人:(31+0.5)×2=63(个);
一共有:(63+0.5)×2=127(个).
五年级下册奥数知识点：递推方法
计数方法与技巧（递推法概念）
计数方法与技巧（递推法例题）
例1：
的乘积中有多少个数字是奇数？
分析与解答：
如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入
手。
9×9＝81，有1个奇数；
99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数；
999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数；
……
从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。
例题2：
分析与解答：
这道题我们可以采用分
别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解
答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的
情况开始研究。
例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～
2000号，然后从左
到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的
离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这
时一共报了多少次？最后
留下的这个人原来的号码是多少？
分析与解答：
难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选
出
20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。
这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编
号依次是：2、4、
6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。
第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：
4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。
第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依
次是：
8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。
第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1
，这1人开始时的编号是：16，
都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。
由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，
这是一个规律。
2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?
第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500
第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125
第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31
第七次：31÷2＝15 ……1 第八次：15÷2＝7 ……1
第九次：7÷2＝3 ……1 第十次：3÷2＝1 ……1
所以共需报10次数。
那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：
2×2×2×…×2＝1024（号）
例题4：
平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？
分析与解答：
直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。
一个圆最多将平面分为2部分；
二个圆最多将平面分为4部分；
三个圆最多将平面分为8部分；
当第二个圆在第
一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个
交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每
一段圆弧都将所在平面的一
分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此
，
二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。
同样道理，三个圆最多
分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础
上增加4部分。因此，三个圆最多将平面
分为2＋2＋4＝8部分。
由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最
多有9×2＝18个交点，第
10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆
最多将平
面分成的部分数为：
2＋2＋4＋6＋…＋18
＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）
＝2＋2×9×（9＋1）÷2
＝92
类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：
2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）
＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]
＝2＋n（n－1）
＝n
2
－n＋2
一、填空题
1.将一个数做如下运算:乘以4,再加上112,减去20,最后除以4,这时得100.那么
这个数
是 .
2.李白提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒,壶中原有
斗酒.
3.甲、乙两个车站共停135辆汽车,如果从甲站开36辆到
乙站,从乙站开45辆到甲站,这时
乙站车是甲站的1.5倍.乙原来停 辆车.
4.农业站有一批化肥,第一天卖出一半又多15吨,第二次卖出余下的一半多8吨,第
三次
卖出180吨,正好卖完,这批化肥原来有 吨.
5.四个
袋子共有168粒棋子,小红过来一看,把棋子作如下的调整,把丁袋调3粒到丙袋,
丙调6粒到乙袋,
乙又调6粒到甲袋,甲袋调2粒到丁袋,这时,四个袋子的棋子一样多,乙袋原
来有
粒棋子.
6.一筐桔子,把它四等分后多一个,取走3份又一个,剩下的四等分后又剩
一个,再取走3
份又一个,剩下的四等分又剩一个,那么原来至少有 个桔子.
7.袋子里有若干个球,小华每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中
还有3个球,那么,袋中原来共有 个球.
8.3÷7的小数点后面第1999位上的数是 .
9.已知A,B,C,D四数之和为45,且A+2=B-2=C×2=D÷2,那么,这四个数依次是
.
10.两个小于1000的质数之积是一个偶数,这个偶数最大可能是
.
二、解答题
11.池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占
面积每天增加一倍,经过15天把池溏占满了,求
它几天占池塘的 ?
12.一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到20厘米,问第36天长多少厘米?
13.某人去银行取款,第一次取了存款的一半多5元,第二次取了余下的一半多10元,最后
剩下12
5元,求他原来有多少元?
14.王大爷把他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客,
把余下的一半又半个卖给第二
个顾客,……这样一直到他卖给第六个人以后,他一个西瓜也没有,求他原
来有西瓜多少个?
---------------答
案----------------------
一、填空题
1. (100×4+20-112)÷4=77
2.
斗
第三次见花前应有一斗;
第三次遇店前应有 (斗);
第二次见花前应有 (斗);
第二次遇店前应有 (斗);
第一次见花前应有 (斗);
第一次遇店前应有 (斗).
3. 甲:45辆;乙:90辆.
把后来甲站所停汽车的辆数看为的倍数,那么乙站所停的是1.5倍,那么辆就是
2.5倍,这样
甲站后来有:135÷2.5=54(辆)
乙站后来有:54×1.5=81(辆)
甲原有:54+36-45=45(辆)
乙原有:81+45-36=90(辆)
4. 782吨.
[(180+8)×2+15]×2=782(吨)
5.
甲38粒;乙42粒,丙45粒,丁43粒.
现各有168÷4=42(粒).
甲:42-6+2=38
乙:42-6+6=42
丙:42-3+6=45
丁:42-2+3=43
6. 85个.
1×4+1=5(个)
5×4+1=21(个)
21×4+1=85(个)
7. 34个.
(3-1)×2=4(个)
(4-1)×2=6(个)
(6-1)×2=10(个)
(10-1)×2=18(个)
(18-1)×2=34(个)
8. 4
3÷7=0.42857142……
6位
1999÷6=333……1
所以是4.
9. 设C数为M,则
A=2M-2
B=2M+2
C=M
D=4M
9M=45,M=5
∴A=8;B=12;C=5;D=20.
10. 1994
由于质数除2以外便都是奇数,奇数×奇数=奇数.
所以其中一个质数定是2,1000以最大的质数是:997.
997×2=1994
二、解答题
11. 第14天占
;第13天占 .
12. 39天长:40÷2=20(厘米);
38天长:20÷2=10(厘米);
37天长:10÷2=5(厘米);
36天长:5÷2=2.5(厘米).
13. [(125+10)×2+5]×2=550(元)
14. 第七个人:0个;
第六个人:(0.5+0)×2=1(个);
第五个人:(1+0.5)×2=3(个);
第四个人:(3+0.5)×2=7(个);
第三个人:(7+0.5)×2=15(个);
第二个人:(15+0.5)×2=31(个);
第一个人:(31+0.5)×2=63(个);
一共有:(63+0.5)×2=127(个).