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小学奥数题及答案大全（最全版本）

一、工程问题
1．甲乙两个 水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独
开，排一池水要10小时，若水池 没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打
开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成 ，乙队需要30天完成。如果两队
合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效 率是原来
的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，
且要 求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙的工效为1 30，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效&gt ;甲的工效>乙的
工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应 该让做的快的甲多做，16天内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽 可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10

答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合 做需5小时完成。现在先请
甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多
少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作
量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作
量。 < br>根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做
6小时、丙做2 小时一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替
轮流做，那么恰好用 整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间 要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）

得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人 加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时，徒弟完成了45 这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这 样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那
么徒弟第二次后共完成了45， 可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚
好是120个。
6．一批树苗，如果分给男女 生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。 甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。 现在先打开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开 乙管，
而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。 < /p>

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做 ，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天 ？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作 二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两 根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，
一天晚上停电，小芳同时点燃 了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问 ：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2

解得x＝40

二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的
脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相
差数就会少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为
396-2＝394，相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为
了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数

三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多 位数123456789.....2005,
这个多位数除以9余数是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那
么这个数也能被9整除； 如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就
是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19 ，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+ 20+30+……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1 000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1 ”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确
值是多少?

答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自 然数，因此8A+4B+C为一个整
数，可能是102，也有可能是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375
4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字 与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数 ,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原
来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两 位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方,这个和是多 少?

答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法 加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字 与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位 数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd

2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有一 个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数
除以个位数字与十位数字之和 ,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?

答案是10：20
解：
（287 99……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍然还
是10：21，因为事 先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步 是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排
法，但是因为是围成一 个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排
法只有120÷5＝24种。
第二步每 一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2×2×2＝32 种
综合两步，就有24×32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59

4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，
慢车在前面行驶 ，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过
慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解 ：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追
及慢车车头的点，因此追及的路程应 该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原
来起跑线的前方100米处相遇。
6．一 个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她
前面，已知火车鸣笛时离他13 60米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车
的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只 奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬
的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎 犬跑2步
的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。

解：
由“猎犬跑5步的 路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3 步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可
跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2 a：53a＝6：5，也就是
说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开 出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全 程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360
千米，从线段图可以看出， 甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别
AB两地同时出发相向而行 ，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B
地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点 之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33千米，相遇是已行
了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米
12．小华从甲 地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑
车,5分之2乘车,结果慢了半 小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,
问:甲乙两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175

路 程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求 跟他们
一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？
快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元 ”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么
每条鱼价值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当 于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相
当于乙吃之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。
2．一种商品，今年的成本 比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每
份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成 本占售价的几分之几？
答案2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成2 0份，利润看成5份，则今年的成本提高110，就是22
份，利润下降了25，今年的利润只有3份。 增加的成本2份刚好是下降利润的
2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的2225。

3．甲乙两车分别从A.B两地出发, 相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,
甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这 样,当甲到达B地时,乙离A地还有10
千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度
比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来 的34，
则面积是原来的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨 四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、
橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水 果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨

所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份

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一、工程问题
1． 甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独
开，排一池水要10小时 ，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打
开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成 ，乙队需要30天完成。如果两队
合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效 率是原来
的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，
且要 求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙的工效为1 30，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效&gt ;甲的工效&gt;乙的
工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应 该让做的快的甲多做，16天内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽 可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10

答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合 做需5小时完成。现在先请
甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多
少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作
量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作
量。 < br>根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做
6小时、丙做2 小时一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替
轮流做，那么恰好用 整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间 要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）

得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人 加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时，徒弟完成了45 这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这 样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那
么徒弟第二次后共完成了45， 可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚
好是120个。
6．一批树苗，如果分给男女 生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。 甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。 现在先打开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开 乙管，
而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。 < /p>

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做 ，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天 ？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作 二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两 根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，
一天晚上停电，小芳同时点燃 了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问 ：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2

解得x＝40

二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的
脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相
差数就会少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为
396-2＝394，相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为
了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数

三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多 位数123456789.....2005,
这个多位数除以9余数是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那
么这个数也能被9整除； 如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就
是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19 ，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+ 20+30+……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1 000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1 ”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确
值是多少?

答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自 然数，因此8A+4B+C为一个整
数，可能是102，也有可能是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375
4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字 与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数 ,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原
来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把一个两 位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方,这个和是多 少?

答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法 加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字 与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位 数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd

2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有一 个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数
除以个位数字与十位数字之和 ,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?

答案是10：20
解：
（287 99……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍然还
是10：21，因为事 先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步 是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排
法，但是因为是围成一 个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排
法只有120÷5＝24种。
第二步每 一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2×2×2＝32 种
综合两步，就有24×32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59

4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，
慢车在前面行驶 ，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过
慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解 ：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追
及慢车车头的点，因此追及的路程应 该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原
来起跑线的前方100米处相遇。
6．一 个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她
前面，已知火车鸣笛时离他13 60米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车
的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只 奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬
的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎 犬跑2步
的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。

解：
由“猎犬跑5步的 路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3 步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可
跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2 a：53a＝6：5，也就是
说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开 出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全 程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360
千米，从线段图可以看出， 甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别
AB两地同时出发相向而行 ，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B
地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点 之间有（）千米
10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33千米，相遇是已行
了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米
12．小华从甲 地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑
车,5分之2乘车,结果慢了半 小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,
问:甲乙两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175

路 程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求 跟他们
一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？
快快快
答案：甲收8元，乙收2元。
解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元 ”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么
每条鱼价值6元。
又因为“甲钓了三条”，相当 于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相
当于乙吃之前已经出资2*6＝12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以
甲还可以收回18-10＝8元
乙还可以收回12-10＝2元
刚好就是客人出的钱。
2．一种商品，今年的成本 比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每
份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成 本占售价的几分之几？
答案2225
最好画线段图思考：
把去年原来成本看成2 0份，利润看成5份，则今年的成本提高110，就是22
份，利润下降了25，今年的利润只有3份。 增加的成本2份刚好是下降利润的
2份。售价都是25份。
所以，今年的成本占售价的2225。

3．甲乙两车分别从A.B两地出发, 相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,
甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这 样,当甲到达B地时,乙离A地还有10
千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲：5×（1-20％）＝4
现在的乙：4×（1+20％）4.8
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度
比是多少？
答案为64：27
解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来 的34，
则面积是原来的916。
根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高
现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427
或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27
5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨 四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、
橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2。一共运来水 果多少吨？
第二题：答案为65吨
橘子+苹果＝30吨
香蕉+橘子+梨＝45吨

所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨
橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213
说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份